Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Получите деньги за публикацию своих
разработок в библиотеке «Инфоурок»
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru
Инфоурок Алгебра СтатьиМетодические рекомендации к теме “УРАВНЕНИЯ”

Методические рекомендации к теме “УРАВНЕНИЯ”

библиотека
материалов


Методические рекомендации к теме “УРАВНЕНИЯ

  1. Корень уравнения . Корнем уравнения называется значение переменной, при под­становке которого в уравнение получается верное равенство.

Примеры

х3 + х = 0 — один корень: х = 0.

(х2 + х – 12) . hello_html_108f6880.gif= 0 —два корня: х = -3, х = 3.

Ѕіn(πx) =0 — бесконечное число корней х hello_html_m7cb53dec.gifZ.

х2 + 2х + 1 = (х + I)2 — верно при всех х hello_html_m7cb53dec.gifR.

х2 = х2 + 1 — нет корней (пустое множество корней ø).

  1. Равносильность уравнений. Два уравнения называются равносильными, если множества их

корней совпадают.

Примеры

х2 = х + 2 и х2х – 2 = 0 равносильны.

х4 + 2 = -16 и ЅіnЗх = 2 равносильны.

hello_html_m1bea497e.gif= 2х – 6 и х = (2х – 6)2 неравносильны.

Неравносильные преобразования могут привести к:

потере корня

х(х + 5) = 2х

х+ 5 = 2

х=-3

Потерян корень х = 0.

правильное решение:

х2 + 5х – 2х = 0

х2 + Зх = 0

х(х + 3) = 0

х = 0; х = -3

появлению «посторонних» корней

hello_html_203f4428.gif

х2 + х – 1 = 4х – 3

х2 – 3х + 2 = 0

х = 1 и х = 2

«Посторонний» корень х =1

Правильное решение:

hello_html_m36dca2a8.gif

Ответ: х = 2.



  1. Методы решения уравнений


Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них ноль, а остальные при этом существуют.

hello_html_mea12cdb.gifОтвет: 0; 1; 2.

hello_html_m3abc8f14.gifОтвет: -2; 0.

2х + 5х = 29.

Функция f(х) = 2х + 5х возрастает; f(2) = 29 => х = 2 — единственный корень. Ответ: 2.

hello_html_46dcb78e.gif

3(х + 8)2 – 4(х +8)(х2 +2х + 2) + (х2 + 2х + 2)2 = 0.

Пусть х + 8 = а; х2 +2х + 2 =в. Тогда 3а2 – 4ав +в2 = 0,

hello_html_m65ef27b9.gif.

х + 8 = х2 + 2х + 2 или 3х + 24 = х2 + 2х + 2

х2 + х – 6 = 0 х2х – 22 = 0

х1 = -3; х2 = 2 hello_html_7a126ef6.gif

Ответ: -3; 2; hello_html_75d38961.gif.


  1. Алгебраические уравнения высших степеней


приводимые к виду f(х) = 0, где f(х) многочлен степени выше 2.


Разложение на множители

х3 – 2х2х + 2 = 0,

х2 (х - 2) – (х - 2) = 0,

(х – 2)(х2 – 1) = 0,

х = 2; х = ±1.

Ответ: 2, ±1.

Подстановка

(биквадратное уравнение)

х4 – Зх2 + 2 = 0; х2 = t

t2 – 3t + 2 = 0,

t = 1; t = 2 => х = ±1; х = ± hello_html_m20df9de3.gif.

Ответ: ±1; ± hello_html_m20df9de3.gif.

Применение схемы Горнера

х3 – 4х2 + х + 6 = 0

Ответ: -1; 2; 3.

Использование монотонности

х3+х – 6hello_html_5f32f1c5.gif = 0, х3+х = 6hello_html_5f32f1c5.gif,

Функция F(х) = х3 + х возрас­тает на R; F(hello_html_5f32f1c5.gif) = 6hello_html_5f32f1c5.gif => х = hello_html_5f32f1c5.gif - единственный корень. Ответ: hello_html_5f32f1c5.gif.

Возвратное уравнение

2х4 – 5х3 + 6х2 – 5х + 2 = 0.

Так как х = 0 не является кор­нем, можно делить на х2.

hello_html_m7359455a.gif

Подстановка: у = х + hello_html_20397a7b.gif; у2 – 2 = х2 + hello_html_3c307184.gif.

2(у2 – 2) –5у + 6 = 0, 2у2 – 5у + 2 = 0.

Использование однородности

Зх2 + 4х(х2 + Зх + 4) + (х2 + Зх + 4)2 = 0.

Пусть у = х2 + Зх + 4. Тогда Зх2 + 4ху + у2 = 0.

Решаем относительно х:

х = -у, х = -hello_html_m17d6a7ed.gifу. Следовательно, hello_html_m72437fdc.gif.

Ответ: -2; -3 ±hello_html_5f32f1c5.gif.

Уравнение 3 степени – формула Кардано

у3 + + q = 0.

hello_html_64ec1fb9.gif.

hello_html_31c2543c.gif> 0 – уравнение имеет один действительный и два комплексных корня;

hello_html_31c2543c.gif= 0 – уравнение имеет два действительных и ни одного комплексного корня – вернее, три действительных, но два из них совпадают ( кратный корень);

hello_html_31c2543c.gif< 0 – три действительных различных корня (формула Кардана не применима).

Метод Феррари

х4 + ах3 + вх2 +сх + d = 0.

Левая часть уравнения разлагается на произведение двух квадратных трехчленов.

Метод неопределенных коэффициентов

х4 + ах3 + вх2 +сх + d = 0.

х4 + ах3 + вх2 +сх + d = (х2 + Ах + В)(х2 + Сх + D).


Уравнения вида f(f(х)) = х.

f(f(х)) = х. Корни уравнения f(х) = х являются корнями уравнения f(f(х)) = х.









Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Проверен экспертом
Общая информация
Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

Номер материала: ДБ-902681

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Подростковый возраст - важнейшая фаза становления личности»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Основы управления проектами в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Управление информационной средой на основе инноваций»
Курс повышения квалификации «Финансовые инструменты»
Курс профессиональной переподготовки «Техническая диагностика и контроль технического состояния автотранспортных средств»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика музейного дела и охраны исторических памятников»
Курс профессиональной переподготовки «Организация процесса страхования (перестрахования)»
Курс профессиональной переподготовки «Технический контроль и техническая подготовка сварочного процесса»
Курс профессиональной переподготовки «Стандартизация и метрология»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.