Методические рекомендации к теме “УРАВНЕНИЯ”

Методические рекомендации к теме  “УРАВНЕНИЯ”

1. Корень уравнения . Корнем уравнения называется значение переменной, при под­становке которого в уравнение получается верное равенство.

Примеры

х³ + х = 0 — один корень: х = 0.

(х² + х – 12) ^. = 0 —два корня: х = -3, х = 3.

Ѕіn(πx) =0 — бесконечное число корней х  Z.

х² + 2х + 1 = (х + I)² — верно при всех х  R.

х² = х² + 1 — нет корней (пустое множество корней ø).

2.       Равносильность уравнений.   Два уравнения называются равносильными, если множества их

корней совпадают.

Примеры

х² = х + 2        и  х² –  х –  2 = 0          равносильны.

х⁴ + 2 = -16     и ЅіnЗх = 2               равносильны.

 = 2х – 6   и х = (2х – 6)²           неравносильны.

            Неравносильные преобразования могут привести к:

потере корня
х(х + 5) = 2х х+ 5 = 2 х=-3 Потерян корень х = 0.	правильное решение: х2 + 5х – 2х = 0 х2 + Зх = 0 х(х + 3) = 0 х = 0; х = -3
появлению «посторонних» корней
х2 + х – 1 = 4х – 3 х2 – 3х + 2 = 0 х = 1  и  х = 2 «Посторонний» корень х =1	Правильное решение: Ответ: х = 2.

3.                  Методы решения уравнений

Разложение на множители

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них ноль, а остальные при этом существуют.

   Ответ: 0; 1; 2.

Замена переменной

        Ответ: -2; 0.

Использование монотонности

2^х + 5^х  = 29.

Функция f(х) = 2^х + 5^х возрастает; f(2) = 29 => х = 2 — единственный корень. Ответ: 2.

Сравнение обеих частей по величине

Использование однородности

3(х + 8)² – 4(х +8)(х² +2х + 2) + (х² + 2х + 2)² = 0.

Пусть х + 8 = а;  х² +2х + 2 =в. Тогда  3а² – 4ав +в² = 0,

.

         х + 8 = х² + 2х + 2        или                          3х + 24 = х² + 2х + 2

         х² + х – 6 = 0                                                 х² – х – 22 = 0

         х₁ = -3;  х₂ = 2                                              

       Ответ: -3; 2; .

4.      Алгебраические уравнения высших степеней

приводимые к виду f(х) = 0, где f(х)  — многочлен степени выше 2.

Разложение на множители

х³ –  2х² –  х + 2 = 0,

х² (х - 2) – (х - 2) = 0,

(х – 2)(х² – 1) = 0,

х = 2; х = ±1.

Ответ: 2, ±1.

Подстановка

(биквадратное уравнение)

х⁴ –  Зх² + 2 = 0;      х² = t

t² –  3t + 2 = 0,

t = 1; t = 2   => х = ±1; х = ± .

Ответ: ±1; ± .

Применение схемы Горнера

х³ –  4х² + х + 6 = 0

-1  2  3	1	-4	1	6	х = -1 х = 2 х = 3
	1	-5	6	0
	1	-3	0
	1	0

Ответ: -1; 2; 3.

Использование монотонности

х³+х – 6 = 0,     х³+х = 6,

Функция F(х) = х³ + х возрас­тает на R;  F() = 6 => х =  -  единственный корень. Ответ: .

Возвратное уравнение

2х⁴ – 5х³ + 6х² –  5х + 2 = 0.

Так как х = 0 не является кор­нем, можно делить на х².

Подстановка: у = х + ;  у² – 2 = х² + .

2(у² – 2) –5у + 6 = 0,  2у² –  5у + 2 = 0.

Использование однородности

Зх² + 4х(х² + Зх + 4) + (х² + Зх + 4)² = 0.

Пусть у = х² + Зх + 4. Тогда Зх² + 4ху + у² = 0.

Решаем относительно х:

х = -у,  х = -у. Следовательно,  .

Ответ: -2; -3 ±.

Уравнение 3 степени – формула Кардано

у³ + pу + q = 0.

.

 > 0 – уравнение имеет один действительный и два комплексных корня;

 = 0 – уравнение имеет два действительных и ни одного комплексного корня – вернее, три действительных, но два из них совпадают ( кратный корень);

 < 0 – три действительных различных корня (формула Кардана не применима).

Метод Феррари

х⁴ + ах³ + вх² +сх + d = 0.

Левая часть уравнения разлагается на произведение двух  квадратных трехчленов.

Метод неопределенных коэффициентов

х⁴ + ах³ + вх² +сх + d = 0.

х⁴ + ах³ + вх² +сх + d = (х² + Ах + В)(х² + Сх + D).

Уравнения вида f(f(х)) = х.

f(f(х)) = х. Корни уравнения f(х) = х являются корнями уравнения f(f(х)) = х.