Методические рекомендации к выполнению практической работы по теме "Правила дифференцирования"

Содержание

стр.

Пояснительная записка ………………………………………………………3

Теоретический материал

       §1. Понятие производной, ее геометрический и физический

             смысл …………………………………………………………….. ..  4 - 5 

       §2. Правила дифференцирования. Производные основных 

             элементарных  функций ………………………………………...... 6 – 7

Примеры решения задач по нахождению производной……………........ 8 - 10

Задания для выполнения практической работы ........................................11-15

Контрольные вопросы ……………………………………………………   16

Литература  …………………………………………………………………  17

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данная методическая разработка предназначена для студентов первого курса специальностей  08.02.05 «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов», 23.02.04 «Техническая эксплуатация подъемно-транспортных, строительных, дорожных машин и оборудования (по отраслям)», 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», а так же для преподавателей дисциплины «Математика»

Данное пособие содержит шесть вариантов для выполнения практической работы, необходимый теоретический материал для самостоятельного изучения студентами правил дифференцирования, а так же примеры решения задач по данной теме. В конце приводятся контрольные вопросы, для закрепления пройденного материала.  

Теоретический материал

§1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.

  Производной y ' =f ' (x) данной функции y = f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.

Геометрический смысл производной. 

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной.

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная  – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке.  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная– скорость в момент времени.  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то  – скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени. Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

§2.  Правила дифференцирования. Производные основных 

             элементарных  функций

Формулы дифференцирования

C ' =0,
x ' =1,

Правила дифференцирования

1) Производная константы равна нулю, т.е  , где C  – константа.

2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е .                                            .

3) Производная произведения находится по правилу: .

4) , где  - константа.

5) Производная дроби находится по правилу:.

6) Если функция имеет производную в точке, а функцияимеет производную в точке, то сложная функция имеет производную в точке , причем (правило дифференцирования сложной функции).

 7) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке, причем .  Если существует обратная функция , то она имеет производную в точкеи  (производная обратной функции).

Примеры решения задач по нахождению производной.

 1. 

2. 

3. 

4. y = x² − 5x.

      

5. y = (3 − 2x)(2 − 3x).

      

6. .

      

7.  y = ln x².

      

  8. y = ln² x.

      

9.  y = cos(3x + 2).

      

 10.        

11.   

      

12.  

      

13. Найти значение производной функции  y = sin x/3  при  x = 2π. 

Решение.

Производная данной функции равна:

      

Подставляя значение  x = 2π,  получаем

     

14.

15.

16.

17.

.

.

Задания для выполнения практической работы.

ВАРИАНТ – I

1. Найдите производные функций:

а. ;

б. ;

в.

2. Найдите производную:

3. Решите уравнение

4. Найдите производные сложных функций:

а.

б.

в.

г.

д.

5. Найдите значение производной функции в точке х₀:

ВАРИАНТ – II

1. Найдите производные функций:

а. ;

б. ;

в.

2. Найдите производную:

3. Решите уравнение

4. Найдите производные сложных функций:

а.

б.

в.

г.

д.

5. Найдите значение производной функции в точке х₀:

ВАРИАНТ – III

1. Найдите производные функций:

а. ;

б. ;

в.

2. Найдите производную:

3.  Решите уравнение

4. Найдите производные сложных функций:

а.

б.

в.

г.

5. Найдите значение производной функции в точке х₀:

ВАРИАНТ – IV 1. Найдите производные функций: а. ; б. ; в. 2. Найдите производную: 3.  Решите уравнение 4. Найдите производные сложных функций: а. б. в. г. д.

5. Найдите значение производной функции в точке х₀:          

ВАРИАНТ – V 1. Найдите производные функций: а.; б.; в. 2. Найдите производную:   3.  Решите уравнение 4. Найдите производные сложных функций: а. б. в. г. д. 5. Найдите значение производной функции в точке х0:

.

ВАРИАНТ – VI

1.  Найдите производные функций:

а.;

б.;

в.

2. Найдите производную:  

3.  Решите уравнение

4. Найдите производные сложных функций:

а.

б.

в.

г.

д.

5. Найдите значение производной функции в точке х₀:

.

Контрольные вопросы 

1. Понятие производной

2. Геометрический смысл производной

3. Физический смысл производной

4. Производная постоянной величины

5. Производная суммы

6. Производная произведения

7. Производная частного

8. Производная сложной функции  

9. Производная степени

10. Производная тригонометрических функций

11. Производная логарифма

Литература

1.     Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: Просвещение, 2012.

2.     Башмаков М.И. Математика. Учебник, ОИЦ «Академия», 2013

3.     Березина Н.А., Максина Е.П. Математика. Учебник ИД «Риор»,  2010

4.     Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. Учебник. Издательство "Дрофа", 2010

5.     Григорьев С. Г., Иволгина С. В., Гусев В. А. Математика. Учебник. ОИЦ «Академия», 2013

6.     Пехлецкий И.Д. Математика. ОИЦ «Академия», 2014