Методические рекомендации к внеаудиторным самостоятельным работам по дисциплине ЕН.01 Математика

Коми Республикаса велöдан да том йöз политика министерство

Министерство образования и молодёжной политики Республики Коми

«Печораса промышленнöй да экономическöй техникум» уджсикасö велöдан канму учреждение (УВКУ «ППЭТ»)

государственное профессиональное образовательное учреждение «Печорский промышленно-экономический техникум» (ГПОУ «ППЭТ»)

Методические рекомендации

к внеаудиторным самостоятельным работам по дисциплине

ЕН.01 Математика основной профессиональной образовательной программы

по специальности среднего профессионального образования

34.02.01  Сестринское дело

г. Печора, 2016 год

Пояснительная записка

Внеаудиторные самостоятельные работы являются обязательным элементом учебной программы по дисциплине ЕН.01 Математика для специальности среднего профессионального образования 34.02.01 Сестринское дело. Календарно – тематическим планом предусмотрено выполнение пяти самостоятельных работ общей продолжительностью 16 часов: самостоятельная работа № 1 «Вычисление пределов функции» (3 ч); самостоятельная работа № 2 «Дифференциальное исчисление» (3 ч), самостоятельная работа № 3 «Интегральное исчисление» (4 ч), самостоятельная работа № 4 «Решение дифференциальных уравнений I и II порядков» (3 ч)  и самостоятельная работа № 5 «Операции над множествами» (3 ч).

Методические указания к самостоятельным работам предназначены для развития навыков самостоятельной работы обучающихся, а также формирования общих и профессиональных компетенций. Они содержат примеры решения различных задач по указанным темам, с подробным планом решения задач.

Для оформления самостоятельных работ рекомендуется использовать тоненькие тетради в клетку или отдельные листы, скрепленные между собой. На титульном листе необходимо указать название учебного заведения, номер, тему и вариант самостоятельной работы, а также номер группы, инициалы и фамилию студента.

Методические рекомендации к самостоятельной работе № 1

Тема: Вычисление пределов функций.

Цель: Закрепить знания и умения вычисления пределов функций.

Пример № 1. Найдите предел .

План решения:

Вычисление пределов числовых последовательностей и функций, представляющих собой рациональные и иррациональные дроби, сводится к следующему алгоритму:

1. Подставьте предельное значение аргумента в исследуемое выражение.
2. Определите вид неопределенности. (Имеем неопределенность типа ).
3. Выделите старшую степень числителя и знаменателя .
4. Разделите числитель и знаменатель на старшую степень .
5. Найдите предел полученного выражения.

Решение:

.

Ответ: .

Пример № 2. Найдите предел .

План решения:

1. Подставьте предельное значение аргумента в исследуемое выражение.
2. Определите вид неопределенности. (Имеем неопределенность типа ).
3. Умножьте и разделите выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему выражение .
4. Найдите предел полученного выражения.

Решение:

Ответ: 0.

Пример № 3. Найдите предел .

План решения:

1. Подставьте предельное значение аргумента в исследуемое выражение.
2. Определите вид неопределенности. (Имеем неопределенность типа ).
3. Преобразуйте функцию, таким образом, чтобы для вычисления данного предела можно было использовать первый замечательный предел: .
4. Найдите предел полученного выражения.

Решение:

.

Ответ: .

Пример № 4. Найдите предел .

План решения:

1. Подставить предельное значение аргумента в исследуемое выражение.
2. Определить вид неопределенности. (Имеем неопределенность типа ).
3. Преобразуйте функцию, таким образом, чтобы для раскрытия неопределенности можно было воспользоваться вторым замечательным пределом: .
4. Найдите предел полученного выражения.

Решение:

.

Ответ: .

Методические рекомендации к самостоятельной работе № 2

Тема: Дифференциальное исчисление.

Цель: Закрепить знания и умения вычисления производных, полученные на уроках. Научить применять производную для исследования функций, решать прикладные задачи с помощью дифференцирования.

Пример 1. Вычислите  производную  функции  f(х) =   в  точке  х= 2.

План  решения:  

1. Вычислите  производную  функции,  применяя  правило  дифференцирования  частного:   .

2.  Найдите значение производной в заданной точке .

Решение:

1. Вычислим производную функции:

2. Найдем значение производной в заданной точке:

 Ответ:

Пример № 2. Вычислите производную функции  в точке х=1.

План решения:

1. Вычислите производную сложной функции , применяя правила дифференцирования сложной функции.
2. Найдите значение производной в заданной точке .

Решение:

1. Найдем производную данной функции:
2. Вычислим значение производной в точке:

.

Ответ: .

Пример 3.  Точка  движется  прямолинейно  по  закону  S = 2t³ + t² – 4.  Найдите  значение  скорости  и  ускорения  в  момент  времени  t = 4. (Скорость  измеряется  в  м/с , ускорение  в  м/с² ).

План  решения: 

При  прямолинейном  движении  точки  скорость  v  в  данный  момент  времени  t = t₀  есть  производная    от  пути  s  по  времени   t , вычисленная  при  t = t₀ .

Ускорение  a  в  данный  момент  времени  t = t₀  есть  производная    от  скорости  v  по  времени  t ,  вычисленная  при   t = t₀.

1. Запишите зависимость скорости от времени в виде производной от пути по времени: и найдите ее.
2. Вычислите значение скорости при t = t_0.
3. Запишите зависимость ускорения от времени в виде производной от скорости по времени: и найдите ее.
4. Вычислите значение ускорения при t = t₀

Решение:  

1. Запишем зависимость скорости  движения  точки от времени:   v = = 6t² + 2t.
2.  Вычислим скорость  движения  точки  в  момент  времени   t = 4: v (4) = 64² + 24 = 104 (м/c).
3. Найдем  ускорение  движения  точки  в  любой  момент  времени  t:

a =  = 12t + 2.

4.   Вычислим  ускорение  движения  точки  в  момент  времени  t = 4:

а (4) = 124 + 2 = 50 (м/с²).

 Ответ: 104 м/c, 50 м/с².

Пример № 4. Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции . Вычислите наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке .

План решения:

1. Вычислите производную данной функции.
2. Найдите стационарные точки кривой и точки, в которых производная функции не существует.
3. Отметьте на числовой оси найденные точки и определите знаки производной  в каждом их полученных интервалов.
4. Определите интервалы монотонности функции, воспользовавшись достаточным условием монотонности функции: если , то функция убывает, если , то функция возрастает.
5. Используя достаточное условие локального экстремума, определите точки экстремумов функции и вычислите значение функции в этих точках.
6. Вычислите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение:

1. Вычислим производную функции:

2. Найдем стационарные точки и точки, в которых производная функции не существует:

 при х=0.

не существует при х=-1.

3. Отметим на числовой оси найденные точки и определим знаки производной  в каждом их полученных интервалов:

                                                       Рис. 1

4. Определим интервалы монотонности функции:

 - функция убывает;

 - функция возрастает.

5. Определим точки экстремума функции:

- точка максимума.

.

6. Вычислим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вычислим значение функции на концах отрезка:

,

.

Следовательно, ; .

Ответ:  - функция убывает; - функция возрастает; ; .

Пример № 5.   Исследуйте  функцию  y = х³ – 6х² + 9х – 3  и  постройте  ее  график.

План  решения:

Исследование  функции  проводится  по  общей  схеме:

1.  Найдите  область  определения  функции.

2.  Выясните, не является  ли  функция  четной, нечетной  или  периодической.

3.  Найдите  точки  пересечения  с  осями  координат (если  это  не  вызывает  затруднений).

4.  Найдите  асимптоты  графика  функции.

5.  Найдите  промежутки  монотонности  функции  и  ее  экстремумы.

6.  Найдите  промежутки  выпуклости  графика  функции  и  точки  перегиба.

7.  Постройте  график, используя  полученные  результаты  исследования.

Решение: 

1. Функция  определена  на  всей  числовой  прямой, т.е.  D(y)=R.

 2.  Данная  функция  не  является  ни четной, ни  нечетной; кроме  того,  она  не  является периодической.

7. Найдем  точку  пересечения  графика  с  осью  Оу: полагая  х = 0, получим  у = -3.

Точки пересечения  графика  с  осью  Ох  в  данном  случае  найти  затруднительно.

4. Очевидно, что  график  не  имеет  асимптот.

5. Найдем производную функции: .

Приравнивая ее нулю, найдем точки возможного экстремума: 3х²–12х+9=0.

Значит     х₁ = 1 и  х₂ = 3 являются точками возможного экстремума.  Они делят  область  определения  функции  на  три  промежутка (рис. 2). Используя достаточные условия локального экстремума функции, определим интервалы монотонности функции.

 

                                                                       Рис. 2

Функция  убывает  при  х,т.к.  < 0;  функция  возрастает  при  х,т.к. > 0.

При  переходе  через  точку  х = 1 производная  меняет  знак  с  плюса  на  минус, а  при переходе  через  точку  х = 3 – с  минуса  на  плюс.

Значит,  у_max = у(1) = 1,  у_min = у(3) = - 3. 

8. Найдем  промежутки выпуклости и точки перегиба (рис. 3):

; , 6х – 12 = 0;  х = 2.

 

                                                                       Рис. 3                   

При  х,,  значит  кривая  выпукла  вверх.  При  х, ,  кривая  выпукла  вниз.  Таким  образом,  получаем  точку  перегиба  .

у=х3-6х2+9х-3.

7. Используя  полученные  данные, строим  график функции (рис.4):

Методические рекомендации к самостоятельной работе № 3

Тема: Интегральное  исчисление.

Цель: Закрепить знания и умения вычисления определенных и неопределенных интегралов, полученные на уроках. Научить решать прикладные задачи с помощью интегрирования.

Пример № 1. Вычислите  интеграл .

План решения:

Данный интеграл вычисляется методом непосредственного интегрирования. При этом используется таблица простейших интегралов и основные свойства неопределенных интегралов:

1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:

.

2. Постоянный множитель можно выносить из под знака интеграла:

, .

Решение:

.

Ответ: .

Пример № 2. Найдите  интеграл   .

План решения:

Данный интеграл вычисляется с помощью метода интегрирования по частям:

.

1. Введите новые переменные u и  v.
2. Вычислите интеграл, используя формулу интегрирования по частям.

Решение:

1. Пусть   ;  , можно  допустить что С = 0.
2. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

 

Ответ: 

Пример № 3. Вычислите интеграл .

План решения:

Данный интеграл вычисляется с помощью метода интегрирования по частям:

.

1. Введите новые переменные u и  v.
2. Вычислите интеграл, используя формулу интегрирования по частям.
3. В полученное выражение, подставьте пределы интегрирования и, используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислите определенный интеграл.

Решение:

1. Пусть , . Тогда , .
2. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

.

3. Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислим интеграл:

.

Ответ: .

Пример № 4.  Найти  площадь  фигуры, ограниченной  осью  Ох  и  графиком  функции 

,  при  .

План  решения: 

Для  нахождения  площади  фигуры, ограниченной  линиями  х = a , х = b и  графиком  функции  , применяется  формула вычисления площади криволинейной трапеции  и свойство аддитивности площадей, согласно которому площадь фигуры равна сумме площадей непересекающихся частей фигуры.

1. Изобразите схематически фигуру, площадь которой требуется вычислить.
2. Определите пределы интегрирования.
3. Вычислите площадь фигуры, как сумму площадей частей фигуры, расположенных выше оси Ох и ниже ее.

Решение:

1. Фигура, ограниченная графиком функции , при  и осью Ох, имеет вид, изображенный на рис.5.
2. Пределы интегрирования:   и .
3. Найдем площадь фигуры как сумму площадей частей фигуры, лежащих ниже оси Ох и выше нее:

.

 (кв.ед.)

(кв. ед.)

(кв.ед.)

Ответ: кв.ед.

Пример № 5. Найдите путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения. Если скорость тела  (м/с).

План решения:

Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении,  скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени, т. е. . Тогда . Интегрируя полученное равенство в пределах от  до , получим .

1. Запишите зависимость пути от времени в виде интеграла.
2. Определите пределы интегрирования.
3. Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислите интеграл.

Решение:

1. Запишем зависимость пути от времени в виде.
2. Пределами интегрирования являются .
3. Вычислим интеграл: (м).

Ответ: 88 м.

Методические рекомендации к самостоятельной работе №4

Тема: Решение дифференциальных уравнений I и II порядков.

Цель: Закрепить методы решения дифференциальных уравнений первого порядка и простейших дифференциальных уравнений второго порядка.

Пример №1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

.

План решения:

1.          Представьте уравнение в виде: , где   - функции, зависящие только от одной переменной.

2.          Найдите решение уравнений и.

3.          Разделите переменные в области, где , записав уравнение в виде

.

4.          Проинтегрируйте полученное уравнение с разделенными переменными.

5.          Запишите общий интеграл уравнения в виде: (в области), при этом постоянные  и  можно опустить.

6.          Учитывая найденные ранее решения вида и , запишите все  решения исходного дифференциального уравнения

Решение:         

1. Введем функции .

2. Найдем решение уравнений и .

Следовательно, и- решения исходного дифференциального уравнения.

3. Разделим переменные: , при .

4. Проинтегрируем полученное уравнение с разделенными переменными:

.

;

.

5. Тогда общий интеграл данного дифференциального уравнения в области  примет вид: .

6. Т.к ине определенны прии, соответственно, то решения ини при каких не входят в общий интеграл уравнения, найденный в пункте 5.

Следовательно, множество всех решений дифференциального уравнения  есть

Ответ:

Пример №2. Решите однородное дифференциальное уравнение первого порядка

.

План решения:

1. Введите новую переменную  и с ее учетом перепишите уравнение.
2. Разделите переменные в полученном уравнении и проинтегрируйте его.
3. Вернитесь к старой переменной и получите общий интеграл исходного уравнения.

Решение: 

1. Сделаем замену переменной  , тогда   и . Подставляя   новую переменную в исходное уравнение, получим  или .
2. Разделяя переменные, получим  или .

Проинтегрируем полученное уравнение:  или .

3. Подставляя , получим общий интеграл исходного уравнения: .

Получить у как явную функцию от х в данном случае невозможно. Здесь легко выразить х через у: .

Ответ: .

Пример №3. Решите линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

План решения:

1. Методом подбора найдите некоторое решение линейного неоднородного уравнения .
2. Найдите общее решение соответствующего однородного уравнения .
3. Общее решение уравнения представьте в виде .

Решение: 

1. Подбором найдем некоторое решение данного уравнения.
2. Решим соответствующее однородное уравнение. 

Общее решение однородного уравнения имеет вид , где  - некоторая заданная функция. В нашем случае , поэтому общее однородного уравнения .

3. Тогда общее решение данного линейного неоднородного уравнения задается формулой:

.

Ответ: .

Пример № 4.  Найдите общее решение дифференциального уравнения второго порядка

.

План решения:

Данное уравнение относится к дифференциальным уравнениям второго порядка, допускающим понижение степени.

1. Введите новую переменную  .
2. Приведите уравнение к дифференциальному уравнению первого порядка с разделяющимися переменными.
3. Решите дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными и найдите его общий интеграл.
4. Вернитесь к переменной  х и получите общее решение исходного уравнения.

Решение:

1. Введем новую переменную .
2. Приведем исходное уравнение к дифференциальному уравнению первого порядка с разделяющимися переменными .
3. Решим полученное дифференциальное уравнение.

Очевидно, что у = 0 решение этого д.у., тогда и - решение исходного д.у.

Разделяя переменные в уравнении для у , получаем . Интегрируя уравнение, получаем  или .

Для имеем.

Для  общее решение уравнения .

4. Вернемся к старой переменной и найдем общий интеграл исходного уравнения:

Для имеем   или .

Для  . Тогда

 или

.

Следовательно, множество решений исходного д.у. есть

.

Ответ: .

Пример № 5. Решите дифференциальное уравнение .

План решения:

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения применяется следующий алгоритм:

1. Составьте характеристическое уравнение.
2. Найдите корни характеристического уравнения.
3. Найдите общее решение уравнения.

Решение:   

1.     Так как данное  уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, то для его решения составим характеристическое уравнение .

2.     Решим характеристическое уравнение.

.

Корни характеристического уравнения действительные: ; . 

3.      Следовательно, общее решение уравнения будем искать в виде:

 или , где  и  - любые постоянные величины.

Ответ: .

Пример № 6. Найдите решение дифференциального уравнения ,

удовлетворяющее начальным условиям:,.

План решения:

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения применяется следующий алгоритм:

1. Составьте характеристическое уравнение.
2. Найдите корни характеристического уравнения.
3. Найдите общее решение уравнения.
4. Найдите, частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение:   

1.      Составим характеристическое уравнение .

2.      Решим характеристическое уравнение.

Так как , то уравнение не имеет действительных корней. 

3.      Следовательно, общее решение уравнения будем искать в виде:

, где  и.

Тогда, общее решение имеет вид:

.

4. Для определения постоянных коэффициентов найдем производную : .

Учитывая начальные условия, получим алгебраическую линейную систему уравнений относительно

.

Откуда .

Решением задачи является функция .

Ответ: .

Методические рекомендации к самостоятельной работе № 5

Тема: Операции над множествами

Цель: Закрепить знания и умения, полученные на уроках, для выполнения операции над множествами.

Пример. Даны два множества и

 Найдите: а) б) в) .

Установите, является ли соответствие заданное формулой взаимно - однозначным?

План решения:

1. Определите, какие элементы принадлежат множеству, а какие нет.
2. Найдите объединение, пересечение и разность множеств.
3. Установите, является ли соответствие множеств взаимно – однозначным.

Решение:

1. Множеству А принадлежат числа 5, 11, 17, 23, 29, … и не принадлежат числа 0, 1, 2, 3, 4, 6,7, 8 ,9 , …

Множеству В принадлежат числа 2, 5, 8, 11, 14, 17 … и не принадлежат числа 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, …

2. Найдем  объединение, пересечение и разность множеств: ;

;

. Это множество можно задать также в виде: .

3. Соответствие  не является взаимно – однозначным, так как имеются элементы множества В, например 2, которым не соответствуют ни один элемент множества А.

Ответ: а) ; б) ; в) .

Соответствие не является взаимно – однозначным.