Методические рекомендации "Моделирование при решении текстовых задач"

ГОСУДАРСТВЕННОЕ   БЮДЖЕТНОЕ   ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ   УЧРЕЖДЕНИЕ

 ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО   ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО   ОБРАЗОВАНИЯ   РЕСПУБЛИКИ   КРЫМ

 «КРЫМСКИЙ   РЕСПУБЛИКАНСКИЙ   ИНСТИТУТ   ПОСТДИПЛОМНОГО

ПЕДАГОГИЧЕСКОГО   ОБРАЗОВАНИЯ»

Кафедра дошкольного и начального образования

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Методические рекомендации

г. Симферополь

2017

Моделирование при решении текстовых задач в начальной школе. Методические рекомендации – Симферополь 2017 – 53 с.

Методические рекомендации предназначены для учителей начальных классов, учителей, осуществляющих организацию самоподготовки по математике во 2-4 классах, для учителей математики основной школы с целью обеспечения преемственности в обучении математике. Данный материал обобщает основные подходы в методике работы над текстовыми задачами, раскрывает содержание действия моделирования, акцентирует внимание на основных теоретических и практических вопросах формирования графического моделирования на разных этапах работы младших школьников над текстовой задачей в соответствии с  требованиями ФГОС НОО.

Автор-составитель:

Гавриш А.И., преподаватель

Одобрено на заседании кафедры дошкольного и начального образования 06.03.2017 (протокол № 5)

Одобрено на заседании Ученого совета ГБОУ ДПО РК КРИППО «26» апреля 2017 г. (протокол № 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ                                                                                                                                         4 - 6

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Общие вопросы методики обучения младших школьников решению текстовых       7 - 13

    задач                                                                                                

2. Моделирование при решении текстовых задач на уроках математики в начальной

    школе   

2.1.Понятие моделирования и его роль в учебной деятельности   младшего                   14 - 16

      школьника                                                                                                              

2.2.Виды моделей, их характерные особенности                                                                 16 - 20

2.3.Моделирование отношений между данными и искомым через «части» и «целое»   20 - 21

2.4.Схема как ведущий прием мыслительной деятельности при решении текстовых     21 - 27

       задач

2.5.Методика обучения решению текстовых задач через действие моделирования         27 - 33

ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                                                        34

ЛИТЕРАТУРА                                                                                                                          35

ПРИЛОЖЕНИЕ                                                                                                                        36 - 56

ВВЕДЕНИЕ

В век новейших технологий и информационного общества математическое образование продолжает быть значимым в развитии любого государства, в его конкурентоспособности на мировом уровне. В связи с этим, математическое образование – основа формирования личности современного человека, способного логически мыслить, решать нестандартные задачи в любой профессиональной деятельности.

Математическому образованию необходимо уделять внимание уже в начальной школе с целью формирования системы теоретических знаний, основных математических понятий, развития мышления младшего школьника, умения применять математические знания к решению конкретных практических задач в повседневной жизни. О важности получения качественных знаний по математике в начальной школе указано в ФГОС НОО. В результате обучения у младшего школьника должны быть сформированы математические компетенции, содержание которых предполагает:

            - использование математических знаний для описания, понимания и решения задач, возникающих в повседневной жизни;

            - понимание новой информации, которая представлена не только в виде словесного описания, а дана в таблицах, диаграммах, графиках;

- умение решать новые задачи математического характера и проблемы, которые требуют применения математики.

Немаловажное значение в формировании математических компетенций отводится текстовым задачам. Одно из направлений процесса работы над решением задач в начальной школе – это формирование способностей к решению задачи любого вида, второе - это использование текста задачи для развития и воспитания школьников. Традиционно определяется четыре функции задачи: обучающая, развивающая, познавательная и воспитательная. Поэтому, согласно рабочим программам по математике всех УМК в начальной школе, большая часть содержания – текстовые задачи. Все методисты указывают на то, что текстовая задача – это универсальное специальное упражнение, применение которого способствует формированию качественных математических понятий, практических умений, необходимых школьнику при обучении в основной школе и при решении возникающих практических задач в повседневной жизни, чем обеспечивается связь теории с практикой. Так же они указывают на то, что работа с задачами эффективно влияет на умственные способности детей, развивает аналитическое мышление школьников, так как требует выполнения таких логических действий как анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, конкретизация, абстрагирование, умение выдвинуть гипотезу, ее обосновывать и доказывать. Важную роль играют текстовые задачи и в отработке изучаемого предметного материала, в формировании всех групп универсальных учебных действий.

Вопросу методики решению текстовых задач посвящено много страниц в каждой авторской методической литературе, предусмотрено определенное количество часов и в дополнительной профессиональной программе повышения квалификации учителей начальных классов в ГБОУ ДПО РК КРИППО. Большое внимание обучению решению задач уделяют и сами учителя на практике.

Однако по результатам опросов учителей, обучающихся по дополнительной профессиональной программе повышения квалификации учителей начальных классов, можно утверждать, что выполнить перечисленные действия, т.е. решить любую задачу из учебников начальной школы в конце 4 класса, могут 35-50% от количества учащихся в классе, задачу нового вида (типа) или задачу олимпиадного характера - 5-15 % из класса, выполнить самопроверку решенной текстовой задачи умеют 3 -5 %.

Основными ошибками в работе учащихся над текстовыми задачами являются:

- неумение выделить в задаче данные, искомое;

-неумение содержание задачи связать с имеющимся жизненным практическим опытом;

- непонимание связи между величинами, входящими в задачу;

- неумение записать краткое условие (другие виды моделей при работе над текстовой задачей учащиеся часто не знают);

-неумение проанализировать задачу и составить план решения;

- незнание, как выполнить проверку полученного результата в задаче, многие даже и не пытаются проверять результат;

- решение с опорой на аналогичную задачу, угадывание способа решения и т.д.

Выше перечисленные ошибки указывают на незнание или непонимание важности учителями некоторых вопросов методики обучения решению текстовых задач, среди которых основными являются:

- отсутствие знаний об инновационных подходах к работе над текстовыми задачами;

- пренебрежение рекомендациями известных авторов и методистов, очень часто неуверенность в своих знаниях по вопросу моделирования, незнание, как построить модели к составным задачам;

- отсутствие системы в работе над текстовыми задачами на всех этапах работы;

- ориентация на заучивание способов решения тех или иных текстовых задач;

- неправильное понимание значения выражения «решить задачу».

Решить текстовую задачу – это выполнить сложную систему взаимосвязанных между собой действий: умение дать объяснение о выборе арифметических действий над числами, умение при помощи знаков и цифр записать решение, доказать правильность своих рассуждений, проверить самостоятельно выполненное решение, дать устно и письменно ответ на вопрос задачи. Выполнению этой системы взаимосвязанных действий нужно учиться. В методике обучения решению текстовых задач авторами развивающего обучения давно рекомендуется моделирование как эффективный прием осуществления мыслительной деятельности младшего школьника при установлении связи между данным и искомым в задачах всех видов, связанных даже с абстрактными понятиями. Особенно важно графическое моделирование, обучение которому необходимо начинать в 1 классе. В отличие от краткого условия, оно доступно и понятно, помогает ученику выполнить анализ задачи и решить ее. В учебниках математики УМК «Школа России» графическая модель (схема) предлагается во 2 классе при решении простых текстовых задач и не рассматривается при решении составных задач, что не может способствовать эффективности использования схемы в обучении. Следует отметить, что по предложенным в учебниках графическим моделям трудно понять систему работы над текстовой задачей при помощи схем. Да и времени в рамках дополнительной профессиональной программы повышения квалификации недостаточно для усвоения методики работы над задачей на основе моделирования, что ограничивает возможности учителей начальных классов применять все виды моделей, особенно схем, в системе при обучении решению текстовых задач.

Данные методические рекомендации помогут учителям, обучающим школьников математике, грамотно выстроить систему работы с моделями, начиная с подготовительного этапа работы с текстовой задачей, создать проблемные ситуации при работе над простыми и составными текстовыми задачами, научат составлять графические модели, познакомят с вариантами схем к математическим текстам и к текстовым составным задачам, предложенным в учебниках УМК «Школа России». Это позволит на более качественном уровне научить учащихся понимать и решать задачи.

1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ В ОБУЧЕНИИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

Работа над текстовой задачей – один из сложных вопросов в методике обучения математике младших школьников. В истории методики обучения решению текстовых задач прослеживается несколько направлений, которые имеют общие подходы, без которых невозможен процесс работы с данным практическим материалом.

Общие вопросы методики в обучении решению текстовых задач должен знать и систематически придерживаться в своей работе каждый учитель начальных классов и при применении математического моделирования.

I. Общими являются требования к решению текстовых задач учащимися:

- умение правильно читать текст задачи с выделением опорных слов и понимание смысла прочитанного математического текста;

- умение выполнять анализ текста задачи (аналитический и синтетический) с целью выявления его структуры и взаимоотношений между данными и искомым;

- умение правильно выбирать и выполнять арифметические действия на основе установления связи между данными и искомым;

- умение записывать решение задач с помощью соответствующей математической символики.

II. При ознакомлении с понятием «текстовая задача» и при ознакомлении с решением задач каждого вида следует соблюдать описанные во всех методических пособиях определенные этапы работы.

1. Подготовительный этап:

- при ознакомлении с понятием текстовой задачи (чаще всего, рекомендуется на основе задач на нахождение суммы или на нахождение остатка) должен включать работу с математическими текстами (детям предлагается предметный материал или рисунки с предметами, по которым они должны описывать изображаемый сюжет; по ним выполнять арифметические действия по заданию учителя);

- при ознакомлении с остальными видами задач на сложение и вычитание включает выполнение операций над множествами в период обучения нумерации первого десятка в соответствии с видом задачи (например, при подготовке к ознакомлению с задачами на увеличение на несколько единиц следует выполнить несколько упражнений, предусматривающих соответственное практическое действие);

- при подготовке к решению простых задач на нахождение произведения, на деление на равные части и деление по содержанию в период обучения нумерации в пределах ста необходимо выполнить практические действия с предметами по формированию понятий «по 3», «в каждом 4», «разложить по 5», «разделить на 3 равные части»;

- при работе над составными задачами подготовительная работа включает решение простых задач, входящих в состав каждой конкретной составной задачи;

- при подготовке к решению задач с пропорциональными величинами предусматривает формирование у учащихся знаний о соответствующих величинах и взаимосвязях между ними: стоимость одного предмета (цена) – количество – стоимость всех предметов, норма выработки – количество часов работы - вся выполненная работа, скорость – время – расстояние и т.п.

2. Ознакомление с задачей рассматриваемого вида, ее решением.

Работа на данном этапе строится по определенному плану:

- ознакомление с содержанием рассматриваемой задачи;

- анализ задачи, установление связей между компонентами задачи, поиск решения;

- выполнение решения задачи;

- проверка решения задачи;

- формулировка и запись ответа.

3. Формирование умения решать задачи рассматриваемого вида.

            На данном этапе учащиеся должны научиться решать любую задачу рассматриваемого вида независимо от ее конкретного содержания, обобщить решение задач данного вида.

III. Главное условие достижения качественных результатов при решении текстовых задач - обучение учащихся анализу текстовой задачи.

В начальной школе учащийся должен научиться выполнять два вида разбора: аналитический и синтетический.

Аналитический вид разбора предполагает рассуждение от вопроса к числовым данным при составлении плана решения текстовой задачи, т.е. обращается основное внимание на вопрос и выясняется, что нужно предварительно узнать, чтобы ответить на вопрос задачи. Например, при решении задачи: «Туристы ехали на автобусе 4 часа со скоростью 80 км/час, а затем шли пешком 2 часа со скоростью 2 км/час. Сколько всего километров пути они преодолели?» необходимо вести рассуждение по такому плану:

- Что нужно узнать в задаче? (Сколько всего километров пути прошли и проехали туристы?)

- Можно ли сразу ответить на поставленный вопрос? (Нет.)                                                          

- Почему? (Не знаем, сколько километров они проехали на автобусе и сколько - пешком.)

- Можно ли сразу узнать, сколько туристы проехали на автобусе? (Можно.)

- Почему? (Известны скорость и время движения.)

- Можно ли сразу узнать, сколько они прошли пешком? (Можно.)

- Почему? (Известны скорость и время движения.)                                                                         - Что узнаем в первом действии? Как? (Расстояние, которое проехали туристы на автобусе. Скорость умножим на время.)

- Что узнаем во втором действии? Как? (Расстояние, которое прошли пешком. Скорость умножим на время.)

- Что узнаем дальше? (Все расстояние, сложив результаты первого и второго действий.)

- Ответили на вопрос задачи? (Да.)

            При синтетическом виде разбора рассуждение ведется от условия к вопросу и будет при работе над той же текстовой задачи выглядеть так:

- Если в задаче известно, с какой скоростью и сколько времени ехали туристы на автобусе, что можно узнать за этими данными? (Расстояние, которое проехали туристы на автобусе.)

- Как? (Скорость умножим на время.)

- Что можно узнать за следующими данными: 2 часа и 2 км/час? (Расстояние, которое прошли туристы пешком.)

- Как? (Скорость умножим на время.)

- Что можно узнать теперь? (1 вариант. Весь путь туристов. 2 вариант. На сколько больше км туристы проехали, чем прошли пешком.)

- Прочтите вопрос задачи. Ответили на вопрос задачи? (Да по 1 варианту. Если будет выбран другой вариант, решение задачи будет получено позже и не позволит ученику увидеть все решение в целом.)

Аналитический способ разбора задачи более эффективен, так как предполагает более целенаправленную работу по составлению плана решения, активизирует процесс мышления: ученик понимает и рассуждает над решением в целом. Синтетический способ разбора предполагает лишние шаги, так как не опирается на вопрос задачи. Несмотря на это, обучать необходимо обоим видам анализа текстовой задачи, так как при решении задач нового вида лучше применять аналитический анализ, а при решении сразу «узнаваемых» задач – синтетический анализ.

Каждому разбору учащихся нужно тщательно обучать, придерживаясь определенного порядка.

1. Коллективная работа над решением задачи, когда пример рассуждений дает учитель в виде вопросов, на которые отвечают учащиеся. Слушая учителя, ученики накапливают опыт осуществления разбора.

2. Целенаправленное ознакомление учащихся с каждым видом рассуждений.

3. Тренировка в использовании каждого вида разбора при самостоятельном решении задач.

4. Самостоятельное использование различных видов разбора при решении задач разных видов.

IV. Формы записи решения текстовой составной задачи.

Задача. Велосипедисты в первый день ехали со скоростью 15 км/час и были в пути 4 часа, во второй день велосипедисты ехали со скоростью 14 км/час и были в пути 5 часов. Сколько километров они проехали за два дня?

1.      Запись решения в виде отдельных действий с письменным пояснением в утвердительной форме.

1)      15 * 4 = 60 (км) – проехали велосипедисты в первый день.

2)      14 * 5 = 70 (км) – проехали велосипедисты во второй день.

3)      60 + 70 = 130 (км) - проехали велосипедисты за два дня.

Ответ: 130 километров.

Или

1)   15 * 4 = 60 (км) – проехали велосипедисты в первый день.

2)   14 * 5 = 70 (км) – проехали велосипедисты во второй день.

3)   60 + 70 = 130 (км)

Ответ: 130 километров проехали велосипедисты за два дня.

2.                  Запись решения в виде отдельных действий с письменным пояснением в вопросительной форме (формирует у школьника понимание плана решения задачи).

     1). Сколько километров проехали велосипедисты в первый день?

           15 * 4 = 60 (км)

     2). Сколько километров проехали велосипедисты во второй день?

           14 * 5 = 70 (км)

      3). Сколько километров проехали велосипедисты за два дня?

     60 + 70 = 130 (км)

Ответ: 130 километров проехали велосипедисты за два дня.

3.                  Запись решения в виде отдельных действий без письменного пояснения (с устным пояснением рассуждений).

1)  15 * 4 = 60 (км)

2)  14 * 5 = 70 (км)

3)  60 + 70 = 130 (км)

Ответ: 130 километров проехали велосипедисты за два дня.

4.      Запись решения в виде выражения.

15 * 4 + 14 * 5 = 130 (км)

Ответ: 130 километров проехали велосипедисты за два дня.

5.      Запись решения в виде уравнения без записи пояснений.

           Задача. Садоводы посадили 3 ряда груш по 18 деревьев в каждом ряду и 6 рядов яблонь. Сколько деревьев яблонь посадили в одном ряду, если всего посадили 174 дерева?

х – количество яблонь в одном ряду;

18 * 3 (д.)

х * 6 (д.)

18 * 3 + х * 6 = 174

54 + х * 6 = 174

х * 6 = 174 – 54

х * 6 = 120

х = 120 : 6

х = 20

Ответ: 120 деревьев яблонь посадили в одном ряду.

6.      Запись решения в виде уравнения с записью пояснений.

х – количество яблонь в одном ряду;

18 * 3 (д.) – посадили груш

х * 6 (д.) – посадили яблонь

18 * 3 + х * 6 = 174

54 + х * 6 = 174

х * 6 = 174 – 54

х * 6 = 120

х = 120 : 6

х = 20

Ответ: 120 деревьев яблонь посадили в одном ряду.

V. Способы проверки решения текстовой задачи.

1.Установление соответствий между полученным в ответе числом и числами, данными в условии текстовой задачи.

2. Решение задачи другим способом (при наличии этого способа).

3. Составление и решение обратной задачи по отношению к решаемой.

Важным моментом в работе учителя над текстовой задачей является этап ознакомления с данным практическим упражнением.

1. Методика ознакомления учащихся начальных классов с текстовой задачей.

Ознакомление с текстовой задачей происходит в 1 классе и разворачивается в такой последовательности: подготовка к ознакомлению с текстовой задачей (подготовительный этап), непосредственная работа над ней (основной этап), закрепление знаний, умений и навыков работы над текстовой задачей, самостоятельная работа школьника при ее решении (этап закрепления). В методике преподавания математики в начальных классах следует выделить два основных подхода в ознакомлении с текстовыми задачами: традиционный и системно-деятельностный.

Традиционный подход предусматривает передачу знаний о текстовой задаче, решение задач с целью формирования конкретного смысла действий, обучение решению определенных видов задач (Богданович М.В., Моро М.И., Бантова М.А. и др.). В практике учитель знакомит ученика с текстом задачи, выделив в нем условие и вопрос, сам указывает на важность наличия этих компонентов. После этого задача решается и озвучивается ответ. Результатом данной работы становится опора-модель, которая служит для организации дальнейшего обучения учащихся решению текстовых задач:

Условие Вопрос Решение Ответ

Этот подход много лет применяется в методике и используется учителями начальных классов по основной действующей программе. Данная работа осуществляется, в основном, в самом начале устно, так как учащиеся еще не все хорошо и быстро могут читать и писать, что не способствует получению качественного уровня усвоения понятия «текстовая задача» и в последующем отрицательно сказывается при работе с этим видом математического упражнения.

Системно-деятельностный подход предусматривает на подготовительном этапе формирование логических приемов мышления, тех математических понятий и отношений, которые школьник будет использовать при решении текстовых задач (Э.И. Александрова, Л.Г. Петерсон, Н.Б. Истомина, И.И. Аргинская). Авторы указывают необходимые компоненты к восприятию понятия текстовой задачи. Это сформированность понятий сложения и вычитания, умения сюжет задачи «переводить» на математический язык через моделирование, сформированность приемов логических учебных действий. Введение понятия текстовой задачи на основе системно-деятельностного подхода требует от учителя четкого понимания структуры данного урока. (Приложение 1,2)

2. Подход к решению текстовых задач.

Общий подход включает знание, что такое задача, знание этапов решения задачи и умение выполнять эти этапы. Частный подход предусматривает знакомство с алгоритмом и доведение уровня работы по нему до автоматизма. Алгоритм должен быть составлен самими учащимися после решения нескольких задач для решения простых задач, а затем усовершенствован для работы над составной задачей. (Приложение 5)

Практика показывает необходимость применения обоих подходов с целью достижения высоких результатов учащимися при решении текстовых задач.

Однако при выполнении всех выше перечисленных рекомендаций не удается достичь высоких результатов. Основная причина заключается в том, что в период начала работы с текстовыми задачами большинство детей еще не умеют хорошо читать. При чтении ученик думает о правилах чтения, а не о содержании задачи и не в состоянии планировать соответствующие с содержанием умственные действия. На помощь в решении данной проблемы должно прийти моделирование, так как только модель способствует применению младшим школьником всех приемов мыслительной деятельности на практике, чем обеспечивает возможность применения математических знаний при решении текстовых задач.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

2.1. Понятие моделирования и его роль в учебной деятельности младшего школьника

Моделирование в изучении и обучении математике используется давно, так как математика чаще всего оперирует абстрактными понятиями, которые трудны для восприятия и понимания младшими школьниками. В связи с этим, необходимо применять такие средства обучения, которые позволят математические понятия выразить в предметной форме. Вот поэтому модели давно применяются при изучении математики в начальной школе, в том числе и при решении текстовых задач. В практике начальной школы модель используется как средство, которое заменяет оригинал предлагаемого текста в виде схемы, знака, формулы, предмета и т.д., не меняя взаимосвязь между составляющими понятиями оригинала. В связи с этим модель должна предполагать выполнение определенных действий с ней: построение модели в соответствии с данными, ее исследование, построение плана решения, демонстрация отношений между данными, возможность переноса полученного результата на оригинал.

Математическое моделирование является компонентом содержательного анализа объекта и способствует формированию логических универсальных действий, регулятивных действий, так как рассматривается в нескольких аспектах:

- моделирование свойств предложенного объекта (текста задачи) и связей внутри его, что способствует привлечению действий анализа, контроля, оценки, прогнозирования;

- выполнение действий с создаваемой моделью с целью определения новых свойств и отношений, что создает ситуацию потребности в познавательной деятельности, переходящей в стойкий мотив и дает возможность ученику выявить новую учебную задачу;

- поиск учащимися необходимости в выполнении данного моделирования, прогнозирование предполагаемого результата;

- решение поставленной учебной задачи через модель, если данная модель помогает ее решить, или преобразование модели, если построенная модель не соответствует решаемой учебной задаче (модель к задаче на увеличение на несколько единиц нужно дополнить при решении составной задачи на нахождение суммы числа и результата решения предыдущей задачи);

- моделирование полученного результата (данный аспект моделирования эффективно использовать при проверке решения текстовой задачи).

Понятие «модель» сегодня в обучении имеет широкое применение. С помощью модели можно выразить многие абстрактные понятия, выделить существенные признаки, характеристики этих понятий, продемонстрировать внутренние их отношения, и сделать их доступными для восприятия и понимания. Осуществление образовательного процесса на основе системно-деятельностного подхода на всех этапах учебной деятельности не может быть без работы с моделями.

Но самая главная функция модели просматривается в реализации познавательной деятельности, где она выступает как средство получения новых знаний: фиксация проблемы в виде модели конкретизирует учебную задачу, над которой нужно будет работать, дает возможность исследовать только проблему, показывает способы ее решения и помогает конкретно продемонстрировать результат. Модели, особенно, если созданы самими школьниками, легко запоминаются в отличие от правил, очень часто громоздких, объемных. Благодаря своим свойствам модель является эффективным средством познания, запоминания, формирования на качественном уровне знаний, умений и навыков, помогает систематизировать и обобщать как изучаемый материал, так и способы познавательной деятельности.  Любая модель необходима для того, чтобы отделить способ действия от самого предметного действия и представить его как общий способ. Вначале модель в познавательной деятельности рассматривалась как средство фиксации найденного учащимися общего способа действий по отношению к практическим действиям, которые ими выполнялись. Теперь мы говорим о работе с моделью на всех этапах познания, начиная с постановки учебной задачи, построения плана действий, моделировании всех учебных действий, преобразовании моделей до получения результата, его представления в виде модели. Т.е., процесс моделирования цикличен, так как помогает действовать на всех этапах учебной деятельности. При решении текстовых задач он включает в себя построение модели, составление по ней плана решения и его выполнение. Построение модели – есть средство осмысления содержания задачи. В начале моделирования модель позволяет представить рассматриваемый объект, далее предполагает изучение объекта, в результате чего знания об объекте расширяются и уточняются, а созданная модель преобразуется с целью соответствия появившимся частным задачам. В процессе всего моделирования идет коррекция, убираются и исправляются обнаруженные недостатки. Авторами моделирования выделяются несколько этапов, применяемых при изучении всех тем курса математики начальной школы:

1. Качественный анализ предложенного практического материала.

2. Построение математической модели.

3. Постановка проблемы, ее отражение в модели и качественный анализ.

4. Анализ построенной модели с точки зрения соответствия условиям и поставленной учебной задаче.

5. Прогнозирование результата.

6. Численное решение.

7. Анализ полученных численных результатов и их применение при проверке решения.

            На примере работы с текстовой задачей: «У девочки 8 книг с рассказами о животных, а книг со сказками – на 5 книг больше. Сколько книг у девочки со сказками и с рассказами о животных?» данные этапы будут прослеживаться в той же последовательности (пример на основе символической модели).

1.      Чтение текста задачи и представление данных и вопроса в виде модели.

8 книг с рассказами о животных – изобразить в виде восьми овалов.

Со сказками – на 5 книг больше – это их столько же и еще 5).

Нужно узнать, сколько всего.

2.       

                                                                                                                                                ?

                                       

(пример рассуждения: их столько же и еще 5)

  3. 

             

                                                                                                                                                 ?

            ?          

   4. Передача содержания модели в словесной форме и сопоставление с тестом решаемой задачи.

   5. Число в ответе должно быть больше числа 8 и больше 8 и 5.

   6. 8 + 8 + 5 = 21(кн.) - запись решения может быть и в другом виде.

   7.  Проверка числового результата с помощью модели.

                                                                   8

                                                                                                                                                    ?   21

            ? (13)       

В методической литературе рассматриваются различные виды моделей, их применение дает эффективные результаты усвоения математического материала в начальной школе.

2.2. Виды моделей, их характерные особенности

Для того, чтобы решить текстовую задачу, необходимо построить ее математическую модель, которая позволит применить известные способы для нахождения числового значения искомых величин. Эта задача непростая, так как для осуществления перехода от словесной формулировки к математической модели школьнику нужно научиться абстрагироваться. Поэтому на разных этапах обучения решению текстовых задач нужно применять разные модели. В методике обучения математике в начальных классах рассматривается несколько классификаций, среди которых можно выделить основные виды моделей: предметные, словесные, знаковые или символичные, графические. Каждая из этих моделей должна выступать в роли помощника на всех этапах работы над текстовой задачей: переносить текст на модель с понятным для ребенка соотношением, показывать взаимосвязь между компонентами задачи, помогать в анализе и решении задачи, соотносить полученный ответ-результат с реальностью. Для достижения данных результатов учитель должен усвоить, что ученик должен иметь представление и уметь применять все виды моделей первоначально для моделирования текстов с числами, далее для моделирования простых задач, а затем и составных. При работе над составной задачей ученик должен уметь построить как модель ко всей задаче, так и моделировать в отдельности простые задачи, из которых она состоит, так как данное умение позволит ему увидеть план решения задачи и выбрать правильное арифметическое действие. Очень важно для учителя понимать, что на каждом этапе обучения решению текстовых задач возможно применение различных видов моделей. Поэтому ученик должен уметь строить все виды моделей, но выбрать для собственной работы над задачей может самую понятную для него модель. С целью понимания задачи перед построением к ней модели ученик должен выполнять соответствующие шаги, которые можно оформить в виде алгоритма, рассмотрев важность выполнения каждого шага.

1.      Внимательное, правильное чтение или прослушивание текста задачи.

2.      Мысленное представление той ситуации, которая описана в задаче, ее проживание.

3.      Постановка вопросов по содержанию задачи.

4.      Деление текста на смысловые части с выделением главных слов.

5.      Замена данного описания ситуации другим с теми отношениями и количественными характеристиками, но более конкретными.

6.      Моделирование.

7.      Проверка построения модели через сопоставление с предложенным текстом задачи.

Предметные модели. К предметным моделям относится: подбор соответствующих тексту задачи предметов или рисунков описанных в задаче предметов с демонстрацией отношений между данными и искомым, прием драматизации: есть задачи о детях, сюжет которых можно проиграть. Эти модели очень понятны детям, они помогают материализовать содержание задачи, понять смысл всех арифметических действий. Поэтому эти модели эффективны на этапе подготовки к ознакомлению и на самом этапе ознакомления с текстовой задачей; при решении задач, раскрывающих конкретный смысл действий умножения и деления; при затруднениях в выборе арифметического действия; при проверке правильности решения задачи. Но данные модели имеют и недостатки:

- предметные модели не позволяют школьнику отвлечь внимание от несущественных деталей в задаче, выделить элементы, помогающие ее решить;

- выполнение предметной модели требует длительного времени;

- при выполнении данных моделей концентрируется внимание на рисовании, а не поиске решения текстовой задачи;

- применение модели на практике удобно только при работе в пределах десятка;

- нет возможности использовать при решении задач с величинами;

- нельзя использовать при решении задач с буквенными данными;

- результат можно получить путем пересчета, поэтому у детей не появляется потребность в решении задач.

Словесные модели. К словесным моделям относятся краткая запись и таблица.  Отношение к краткой записи ведущих методистов неоднозначно. Одни считают, что краткая запись – является эффективным средством при решении текстовой задачи, помогает ученику видеть взаимосвязь между числовыми значениями величин, облегчает анализ и нахождение способа решения задач. Другие считают, что краткая запись не дает ученику возможность понимать содержание и решать задачи, а ученик просто механически работает с числами. Краткая запись – это запись искомого и данных с помощью опорных слов и числовых данных с указанием величин и связями между данными и искомыми величинами. Таблица – это та же краткая запись, только занесенная в таблицу. При работе с краткой записью следует придерживаться определенных правил:

- составлять краткую запись нужно только к задачам, которые требуют другой (более понятной) формулировки (так к простым задачам на нахождения остатка краткая запись не обязательна);

- краткая запись должна составляться только на основе анализа;

-краткая запись должна наглядно представлять связи между величинами и соответствующими числовыми данными;

- в ней должно быть минимальное количество обозначений;

- количество вопросительных знаков в краткой записи должно быть равно числу арифметических действий в задаче.

Образец краткой записи к текстовой задаче: «У Вероники 15 открыток, а у Светланы в 3 раза меньше. На сколько открыток больше у Вероники, чем у Светланы?»

В. – 15 откр.                                   на ? откр. больше

С. – ?, в 3 р. меньше       

 

Образец краткой записи к текстовой задаче: «Когда портниха пришила по 5 пуговиц к 6 пальто, у нее осталось 48 пуговиц. Сколько пуговиц было у портнихи?».

Было - ?

Пришила – 6 по 5 пуг

Осталось – 48 пуг.

или

Пришила – 6 по 5 пуг.

Осталось – 48 пуг.                  ?

Таблица – модель, которая помогает решению задач: демонстрирует взаимосвязь между данными и искомым, помогает провести анализ задачи и составить план решения, выбрать соответствующее арифметическое действие. Таблица эффективна при решении задач на движение, на работу, на стоимость.

Образец составления таблицы к текстовой задаче «С двух станций одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Первый поезд прошел 480 км со скоростью 80 км/час, второй прошел 540 км до встречи. Какова скорость второго поезда? ».

Скорость	Время	Расстояние
80 км/час	Одинаковое	480 км
?		540 км

Недостатки данных моделей при применении на всех этапах обучения решению текстовых задач:

- составление краткой записи требует от первоклассника определенного уровня читательских и графических навыков;

- трудность в усвоении символики, которая используется при краткой записи: когда какая ставится скобка, стрелки и т.д.;

- краткое условие не способствует пониманию отношений между данными и искомым;

- в таблице можно записать только задачи с пропорциональными величинами.

Знаково - символические модели. Знаково-символические модели как бы заменяют предметные модели. Описанные в текстовой задаче предметы и действия с ними можно заменить знаками или символами, в качестве которых могут выступать треугольники, точки, кружки, стилизованное изображение предметов и т.д., может быть изображение в разном цвете. Эти модели более доступны детям в исполнении, чем предметные, и так же понятны им. Использование их эффективно при поиске решения задачи, но на практике удобно только при работе в пределах десятка, так как при больших числовых данных данные модели отнимают много времени и требуют много места в тетради. Использование знаково-символических моделей невозможно при работе с задачами с пропорциональными величинами, с буквенными данными.

 Графические модели. Графические модели - это схемы, шкалы, графики, чертежи, пространственные макеты и др. В начальной школе доступны для учащихся схемы и чертежи, на которых данные изображаются отрезками, которые по необходимости дополняются математическими знаками и символами. Опираясь только на графическую модель, младшему школьнику легко дать ответ на вопрос задачи. При решении задач на нахождение площади и периметра графический способ решения задачи предусматривает не только построение отрезков, но и измерение их длин, т.е. способствует формированию жизненно-важных практических навыков.

Авторами традиционного подхода в методике работы с текстовой задачей давно применяется чертеж, но, в основном, при решении задач на движение. Чертеж – отрезок, который передает условное изображение предметов, их количественную характеристику, взаимосвязей между данными и искомым, но с соблюдением определенного (приблизительного) масштаба.  Использование чертежа эффективно, когда учащиеся затрудняются в выборе арифметического действия при решении задач; при рассмотрении плана решения задач на движение; при решении задач на нахождение числа по его доле, доли от числа. Однако есть недостатки:

- чертёж эффективен для задания одного отношения, а не нескольких (особенно сложно работать с задачами, предусматривающими получение конечного ответа через выполнение более трех действий, т.е. решении составных задач, которые состоят из более трех простых задач);

- чертеж можно применять после ознакомления учащихся с отрезками и отношениями между ними, выраженные в единицах измерения величин (это не с 1 класса, когда учащиеся уже учатся решать задачи).

2.3. Моделирование отношений между данными и искомым через «части» и «целое»

Одновременно с указанными видами моделей следует ввести еще один вид, предусматривающий рассмотрение данных и искомого в каждом тексте задачи как «частей» и «целого». Введение этих понятий связано с необходимостью установления взаимосвязи между данными и искомым: что в тексте «целое», а что является «частями» этого «целого». Установление данных взаимосвязей и создаст ситуацию для понимания выбора арифметического действия при решении. Вводятся эти понятия на основе практических упражнений: делении листа бумаги, полосок, яблок и т.д. на части и наблюдения за тем, что при соединении «частей» получаем «целое», а при отделении одной из частей из целого получаем вторую часть. Моделью этих отношений могут служить различные геометрические фигуры или другие значки. Многие авторы наиболее удобными считают треугольник и круг (овал).

    +                      =   

      -           =    

Удобно данные отношения показать на схеме или в виде буквенно-графической модели. Указывать величины можно как латинскими буквами, так и буквами русского алфавита.

                              

После введения обозначений необходимо с учащимися выполнить ряд упражнений, в результате выполнения которых должно быть сформировано, что понятия «целое» и «части» - относительные понятия. Пока не начнешь выполнять какие-нибудь практические действия с объектами, не поймешь, чем является исследуемый объект: частью или целым. Продемонстрировать это можно на простом упражнении. Нужно предложить детям для анализа двойной лист из тетради и предложить им определить, частью или целым является данный лист. Поскольку лист находится в руках учителя, и анализ осуществляется визуально, то ответ будет: «Это целое». После данного ответа учитель разворачивает лист, и учащиеся видят, что данный лист является частью двойного листа. Вывод: одна и та же величина может быть целым по отношению к одной величине, одна и та же величина может быть частью по отношению к другой величине. Для лучшего понимания можно добавить еще несколько предметов: пол-яблока – это часть или целое. (Часть по отношению к целому яблоку; целое, если эту половинку нужно разделить между двумя друзьями.) После действий с предметами следует перейти к графическому моделированию.

                             

 Главное, что должны понять дети – это основное свойство этого отношения: целое не может быть меньше части, а часть не может быть больше целого. Части могут быть равными или неравными; не имеет значение, какая из частей меньше, а какая больше. Главное, что целое состоит из частей, т. е. оно равно сумме частей, а часть равна разности целого и части. Каждое выполненное с предметами упражнение на объединение в «целое» или выделение «части» из «целого» необходимо подкреплять графической моделью, а после ознакомления с буквенной символикой и формулой (отлично будет, если хотя бы три буквы латинского алфавита будут введены в первом классе).

Рассмотрение взаимосвязи частей и целого следует продолжить при рассмотрении ситуаций математического характера, на математических текстах. Например,

1) Детям предлагается несколько полосок различной длины и задается провокационный вопрос: «Какие из этих полосок «части», а какие – «целое»?». (Каждая из этих полосок может быть и частью, и целым.)

2) На занятия танцевального кружка пришли А детей, из них В девочек.

- А – это часть или целое?

- В – это часть или целое?

- Какой объект (предмет или кто) будет второй частью?

3) На троллейбусной остановке стояло 8 человек. 5 человек уехали.

- Укажи «целое» и «части». Выполни модель.

В дальнейшем понятия частей и целого являются важным средством для анализа текста задачи и ее решения, для решения задач через составление уравнений, а, значит, и для решения уравнений. Данный подход к решению задач будет эффективен только при опоре на схемы.

2.4. Схема как ведущий прием мыслительной деятельности

 при решении текстовых задач

Традиционная методика предлагает от предметного моделирования переход к записи краткого условия. Проблемы, возникающие у учащихся при переходе к словесному моделированию, указаны при описании видов моделей. Авторы противоположного традиционному подходу к обучению решению текстовых задач рекомендуют использовать схемы и определение частей и целого при работе с данным практическим упражнением.

Схема - условное изображение предметов и взаимосвязей между ними, абстрактных понятий и взаимоотношения величин с помощью отрезков.  Схема имеет ряд преимуществ.

1.      Схема доступна для восприятия младшим школьником, не требует многословных описаний, может быть условной.

2.      Выполнение схемы заостряет внимание ученика на тексте задачи, помогает выделить условие и вопрос.

3.      Схема передает информацию лишь о существенных признаках задачи.

4.      Схема может заменять предметы, имеющие любую количественную характеристику (от 1 до 10000, т.д.).

5.      На схеме можно показать все абстрактные понятия (скорость, время, расстояние, цену, количество, стоимость и т.д.).

6.      Дает возможность конкретно видеть зависимость между величинами, о которых идет речь в текстовой задаче.

7.      На основе связи между искомыми и данными легко составить план решения или решить задачу.

8.      Схему легко достраивать, упрощать, выполнять ее практические преобразования.

9.      Схема помогает выполнить проверку решения.

10.  Помогает перенести часть умственных действий в действия практические, проектировать результат в виде материального объекта.

11.  Создает условия для самостоятельной работы над текстовой задачей.

12.  Способствует формированию теоретического мышления, общего подхода к решению текстовых задач.

13.  Через схему доступно понимание содержания задач на увеличение и уменьшение на несколько единиц в косвенной форме, на увеличение и уменьшение в несколько раз, обратных задач.

14.  Для выполнения не нужны особые графические навыки, можно выполнять без линейки (от руки), не придерживаться масштаба.

Основные правила работы со схемой при решении текстовых задач.

1.      Схема должна строиться только на основе анализа задачи.

2. Отрезки-части схемы должны быть построены в соответствии с числовыми данными (при построении отрезков к числам 3 и 7 – первый отрезок визуально должен быть меньше, без соблюдения масштабности).

3. При работе со схемой все показывать на ней руками.

4. На схеме должно отсутствовать наименование, так как при помощи одной и той же схемы можно решить не только данную задачу, а и задачи с различными сюжетами и величинами.

Главное преимущество схемы в том, что с самого начала работы над простыми текстовыми задачами она позволяет ребенку понять, о чем эта задача, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные и искомое. С этой целью необходимо с первых уроков учить детей делить текст задачи на смысловые части и моделировать отношения между смысловыми частями и ситуации, обозначенные в задаче.

Образцы схем к простым текстовым задачам

Задачи на нахождение суммы двух чисел

Вера подготовила для поздравления одноклассников с днем рождения 6 открыток, а Лена – 4 открытки. Сколько всего открыток подготовили девочки?

                   

Задачи на нахождение остатка

Во время подготовки домашнего задания по математике нужно было решить 9 примеров. Витя решил 6 примеров. Сколько примеров осталось решить Вите?

Задачи на нахождение неизвестного слагаемого по известной сумме и известному слагаемому

Ребята посадили возле школы 7 плодовых деревьев. Из них 5 яблонь, а остальные – груши. Сколько груш посадили ребята?

Задачи на нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и разности.

Когда отремонтировали 7 книг, им осталось привести в порядок 2 книги. Сколько было книг.

Задачи на нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности.

Ребята сделали 6 скворечников. Когда несколько скворечников они прикрепили к деревьям, у них осталось 3 скворечника. Сколько скворечников прикрепили ребята?

Задачи на разностное сравнение двух видов.

1.      В торговую палатку привезли 10 ящиков яблок и 7 ящиков груш. На сколько больше привезли ящиков с яблоками, чем ящиков с грушами?

2.      В торговую палатку привезли 10 ящиков яблок и 7 ящиков груш. На сколько меньше привезли ящиков с грушами, чем ящиков с яблоками?

Данная модель помогает у учащихся сформировать понимание смысла сравнения двух величин. Учащиеся видят, чтобы узнать, на сколько больше или меньше одна из величин, нужно вычесть из большей величины меньшую. После этого следует ввести и другие применяемые модели к задачам данного вида. 

     

Задачи на увеличение числа на несколько единиц в прямой и косвенной форме.

1. У школы росло 6 елей, а сосен – на 2 больше. Сколько сосен росло у школы?

2. У школы росло 6 елей, это на 2 дерева меньше, чем сосен. Сколько сосен росло у школы?

Задачи на уменьшение числа на несколько единиц в прямой и косвенной форме.

1. У школы росло 6 елей, а сосен – на 2 дерева меньше. Сколько сосен росло у школы?

2. У школы росло 6 елей, это на 2 дерева больше, чем сосен. Сколько сосен росло у школы?

 

Задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведения)

В коробке 6 карандашей. Сколько карандашей в 4 таких коробках?

Постепенно модель упрощается.

                       

Задачи на деление на равные части

Второклассники посадили возле школы 6 кустов роз на 3 клумбах. Сколько кустов роз они посадили на каждой клумбе?

Задачи на деление по содержанию

Сколько новогодних детских костюмов можно сшить из 15 метров ткани, если на каждый костюм идет 3 метра ткани?

Задачи на кратное сравнение чисел двух видов

1.      Мама купила 2 упаковки конфет и 6 упаковок печенья. Во сколько раз она купила

больше печенья, чем конфет?

2.      Мама купила 2 упаковки конфет и 6 упаковок печенья. Во сколько раз она купила меньше конфет, чем печенья?

Задачи на увеличение в несколько раз в прямой и косвенной форме

1.      В классе 6 девочек, а мальчиков – в 2 раза больше, чем девочек. Сколько мальчиков в классе?

2.      В классе 6 девочек, это в 2 раза меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в классе?

Задачи на уменьшение в несколько раз в прямой и косвенной форме

1.В классе 6 девочек, а мальчиков – в 2 раза меньше, чем девочек. Сколько мальчиков в классе?

2.В классе 6 девочек, это в 2 раза больше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в классе?

Анализ данных схем подтверждает их действенность при осуществлении фиксации условия и вопроса: ребенку не нужно думать об опорных словах, а просто следовать предложенной ситуации в каждом тексте. Связь между компонентами и результатами действий, раскрытие смысла арифметических действий благодаря схеме имеет предметный характер. Даже количество схем к простым текстовым задачам значительно меньше количества кратких условий, предусмотренных классификацией простых задач. При возникновении новой ситуации (введение нового вида задачи на основе системно-деятельностного подхода предусматривает самостоятельное решение новой задачи) схема помогает проанализировать новую ситуацию соотношения частей и целого, выбрать верное решение и ответить на вопрос задачи.

Решение составных задач предполагает выполнение еще большего количества действий, поскольку составная задача включает в себя две и более простых задачи, связанных между собой так, что искомые одних задач являются данными других. Схема к составной задаче представляет собой объединение схем к простым задачам в одну общую модель. (Приложение 4.)

При помощи модели и понятия частей и целого ученику проще, чем с кратким условием, выполнить анализ задачи, наметить план решения, решить и проверить решение текстовой задачи. Рассмотрим вариант анализа на примере текстовой задачи: «В мебельном магазине было 7 компьютерных столов и 9 письменных. 10 столов продали. Сколько столов осталось в магазине?».

-В задаче спрашивается, сколько осталось столов. (Ученик должен искомое и дальнейшие рассуждения подкреплять показом на модели руками.) Это «часть». Для того, чтобы найти неизвестную «часть», нужны «целое» и «часть». «Часть» есть, а «целое» неизвестно. (Учащийся в ходе рассуждения преобразует модель.) Но есть «части», из которых состоит «целое». В начале найду «целое» - это все столы, а потом из «целого» вычту «часть» - осталось столов в магазине.

Проверку ученик должен выполнить по схеме с подкреплением показа руками по сюжету задачи, потом записать ответ.

Если ребенку трудно составить план решения и его проверку, то модель к составной задаче доступно заменить системой простых моделей или промоделировать отдельно только непонятную ситуацию. Например, при решении задачи «С участка собрали 120 кг помидоров. 25 килограммов положили в корзину, а остальные помидоры разложили в ящики по 19 кг в каждый. Сколько ящиков помидоров потребовалось?» можно построить одну общую модель, а можно разделить на две, так как трудна в понимании вторая ситуация. Такое разбиение на более простые модели эффективно и при проверке решения текстовых задач, где вместо неизвестных следует подставить числовые данные.

или

2.5. Методика обучения решению текстовых задач через действие моделирования

Согласно УМК «Школа России» схемы вводятся во 2 классе после того, как учащимся предложены два вида моделей: готовые рисунки предметов в учебнике и в тетради с печатной основой и краткое условие как основная форма фиксации условия и вопроса текстовой задачи. Многие из учащихся в этот период так и не усвоили, на что опираться следует при записи краткого условия, и поэтому схема является новым непонятным явлением. В дальнейшем схема изредка рекомендуется как вспомогательное средство для нахождения способа решения текстовой задачи. Позднее введение в работу и отсутствие систематической работы со схемой не может решить проблемы в работе с текстовыми задачами. Формирование понятия о схеме и умение через нее передавать математический текст целесообразно начинать с первого класса.

Работа через графическую модель (схему) над введением понятия «текстовая задача» и над введением каждого вида текстовой задачи предусматривает определенные этапы. Подготовительный этап. С целью мотивации учащихся к использованию схемы с первых уроков математики в 1 классе необходимо для них задавать конкретные практические задачи. Первыми следует дать задачи на сравнение и изображение в тетради любых величин: разные по высоте шкафы, по объему банки или другим измеряемым признакам предметы. Учащиеся пытаются изобразить в тетрадях (отдельных листочках) предметы с различными заданными величинами, что непросто не натренированной руке первоклассника, да и много времени занимает данная работа. Потом через выяснение, что хотят учащиеся показать на рисунке при изображении основных характеристик каждой пары предметов, вывести их на изображение, а затем сравнение отрезков (схем).

После этого учащимся следует предлагать задания на сравнение разных величин двух предметов с помощью схем. Очень важно, чтобы ребенок сразу осознал способ изображения: отрезки должны быть параллельными и один конец отрезка при возможном наложении совпадать с другим:

Все свои действия учащийся должен в начале выполнять, а потом объяснять якобы для того, чтобы научить других детей чертить такие же схемы.

            Многие методисты рекомендуют начинать работу с числовыми данными. По учебнику 1 класса 1 части УМК «Школа России» начать строить схемы можно со страницы 10 без пересчета предмета с приблизительным соотношением, каких предметов больше, меньше или столько же:

больше или меньше

столько же

В дальнейшем возможно моделирование всех математических текстов с числовыми и буквенными данными, что подготовит учащихся к моделированию текстовых задач: учащиеся уже на этом этапе учатся устанавливать и изображать взаимосвязь между данными.

Дополнить работу с данными следует заданиями, которыми в последующем могут быть вопросы текстовых задач: покажите все фрукты, покажите, каких фруктов больше или меньше  и на сколько больше или меньше и т.д.

Для закрепления знаний, умений и навыков в работе со схемами целесообразно учащимся предлагать для выполнения задания:

1.      Даны предметы и величина. Нужно построить схему.

- Через схемы покажи высоту ели и березы (1часть, с. 18).

- Построй схемы, указав, какие величины ты моделируешь (1 часть, с. 19).

      2. Даны предметы и схема. Надо указать величину, которая с предметов перенесена на схему.

- О какой величине может рассказывать эта схема? (1 часть, с.20)

                          

 (О количестве кукол и мишек, о величине грибов.)

     3.Даны схема и величина. Нужно подобрать предметы (часть 1, с.20).

                    

Эти рекомендации помогут сформировать понятие о работе схемы и сформировать навык работы с ней при четком выполнении последовательных действий:

- учащийся выполняет практические действия с реальными предметами (потом с воображаемыми предметами);

- выполнение предметной модели в виде копирующего рисунка (изображения рассматриваемого рисунка с точки зрения какой-нибудь величины);

- выполнение графической модели (схемы);

- объяснение учащимся схемы;

- подбор величин, которые можно охарактеризовать при помощи предложенных схем.

            Введение схем для обозначения количества можно начать и после обозначения количественных данных символами-знаками: треугольниками, квадратиками, звездочками и другими значками. При помощи этих моделей учащиеся могут сравнивать группы предметов по количеству, располагая модели первой группы под моделями второй группы, различными способами:

- соединить парами;

- зачеркнуть по одному знаку одновременно;

- пересчитать и сравнить числа.

Символы-знаки помогают изобразить и математические тексты: «На ветке видели 3 снегиря и 4 синички». Первоначально учащиеся должны научиться соотносить предложенные модели и числовые данные.  (Моделей должно быть больше.)

- Закрасьте красным цветом столько фигур, сколько на ветке сидело снегирей.

- Закрасьте желтым цветом столько фигур, сколько на ветке сидело синичек.

В последующем математические тексты моделировать самим, выбирая знаки-символы и их изображая самостоятельно. К тексту: «На стоянке стояло 3 легковых автомобиля, а грузовых – на 2 больше.» учащиеся могут выполнить модели, изобразив легковые автомобили треугольниками, а грузовые – четырехугольниками или одинаковыми фигурами, но разного цвета:

           

Поскольку действия уже в первом классе предстоят с двузначными числами, и поэтому этот вид моделирования трудоемок, следует начать применять одновременно для моделирования схему:

Важным элементом в подготовке учащихся к выполнению схемы к задаче являются задания, которые подготовят школьника к выделению в тексте частей и целого, соотношения этих понятий при анализе данных и вопроса: что дано – части, целое; что нужно найти – часть или целое. Например, к тексту: «В автобусе ехали 8 пассажиров, на остановке вышли 3.» следует дать задания (модели даны):

- Обведи столько кругов, сколько пассажиров ехало в автобусе.

- Карандашом подчеркни столько кругов, сколько пассажиров вышло на остановке.

- Ручкой подчеркни столько треугольников, сколько пассажиров осталось в автобусе.

Основной этап. Данный этап включает непосредственное обучение решению текстовых задач.

Первоначально дети самостоятельно выполняют собственные схемы при ознакомлении с понятием «текстовая задача»: во время подготовительного этапа учащиеся уже умеют моделировать данные, а вопрос показать на схеме для учащихся несложно. Далее первые модели обсуждаются и выбираются самые логичные.

В последующем учащиеся учатся решать текстовые задачи, применяя схемы. При решении текстовых задач в самом начале обучения текст задачи должен читать учитель, потому что для приобретения опыта в чтении задач необходимо время. Учитель должен читать задачу в определенной последовательности:

- Сначала учитель читает весь текст задачи для ознакомления.

- Потом читает по частям: читает такую часть текста, которая позволит ученику выполнить элемент схемы, мысленно определив, чем является услышанное - «целое» или «часть» и т.д.

При решении простой текстовой задачи «У девочки было 8 открыток. После того, как несколько открыток она подписала, у нее осталось 2 открытки. Сколько открыток подписала девочка?» с использованием схемы ученик может рассуждать примерно так:

1.      При чтении (слушании) текста сразу ученик определяет, чем является искомое, чем данные – частью или целым.

2.      Выполняет схему, действуя последовательно по сюжету.

а) 8 – все открытки, «целое».

б) Подписала несколько – это часть данного целого. Показывает на схеме.

в) Осталось 2 – это часть. Показываю на схеме.

3.      Возвращается к вопросу: «В задаче нужно узнать, сколько открыток она подписала». Ставит вопрос.

4.      Расставляет знаки частей и целого.

5.      Рассуждает: «Найти нужно часть. Чтобы найти часть, нужно из целого вычесть известную часть».

6.      Записывает решение.

8 – 2 = 6 (откр.)

7.      Проверяет решение по схеме: было 8, подписала 6, осталось 2. Задача решена верно.

8.      Записывает ответ.

Наряду с решением первых простых текстовых задач важно проводить упражнения на закрепление умения читать схемы, связывать содержание текста задачи со схемой, выполнять все продуктивной деятельности: сравнение, преобразование, обобщение и т.д.

1.      Составь по схеме равенства.

2.      К рисунку подбери схему из предложенных схем.

3.      Расскажи по рисунку задачу, построй к ней схему.

4.      Упражнения на преобразование схем:

- исправление ошибок,

- перестроение данной схемы в соответствии с предложенным текстом,

- подбор числовых данных,

- изменение схемы так, чтобы задача решалась другим действием,

- постановка нового вопроса на схеме.

5.      Упражнения, предусматривающие контроль и оценку выполненной схеме:

а) К задаче «В одной коробке 6 карандашей, а во второй – на 4 карандаша больше. Сколько карандашей в двух коробках?» ученик выполнил схему. Проверь и сделай вывод: правильно выполнена схема или нет. (Схема может быть правильная или нет.)

      б) К задаче несколько схем, а ученик выбирает только правильную модель.

6.      По схеме составь текст задачи.

7.      Проведение математических диктантов:

а) На плакате несколько моделей под номерами. Учитель читает текст, а учащиеся подбирают соответствующую тексту схему и записывают номер, под которым она находится. Эффективно, когда к одной и той же задаче даны несколько вариантов схем.

б) Учитель читает тексты задач, а ученик рисует к каждой схемы (возможно указание дополнительно «частей» и «целого», устное решение задачи).

8.      Составление при помощи схемы обратных задач.

9.      Упражнения на группировку, сравнение схем.

Использование схемы доступно при записи условия и эффективно при поиске решения ее решения с использованием отношений «целого» и «частей». Но при работе с составными задачами, которые состоят из более трех простых, учащимся трудно на схеме видеть переходы целого в части и наоборот, так много элементов в модели. Поэтому во в третьем классе (по желанию учащихся) можно перейти к записи краткого условия текстовой задачи, так как уже все хорошо умеют читать, легко выделяют опорные слова и, главное, понимают взаимоотношения между данными и искомым. Моделировать через схему можно по частям, дополняя краткое условие.

В 3-4 классах в программу курса математики вводятся задачи с пропорциональными величинами, которые удобно заносить в таблицу, которая демонстрирует взаимоотношение между данными и искомым, помогает увидеть план решения, а, значит, и решить задачу. Например, при решении задачи на движение: «Легковой автомобиль за 6 часов проехал 480 км. Какое расстояние проедет за это же время грузовой автомобиль, если его скорость на 15 км/час меньше скорости легкового автомобиля?» учащийся может составить таблицу, в ней показать «части» и «целое»

Скорость	Время	Расстояние
?	6 час	480 км
на 15 км/час меньше	6 час	?

и рассуждать так:

1. Мне нужно найти расстояние, которое проедет грузовой автомобиль, это «целое». Чтобы его найти, мне нужно перемножить «части», скорость умножить на время пути.

2. Время есть, а скорость неизвестна. Но сказано, что скорость на 15 км/час меньше, чем скорость легкового автомобиля. Нужно вычитать.

3. Но скорость легкового автомобиля неизвестна. Но дано время (часть) и расстояние (целое). Чтобы найти скорость (часть), нужно расстояние разделить на время (целое на известную часть)

4. План решения:

- нахожу скорость легкового автомобиля: расстояние делю на скорость;

- нахожу скорость грузового автомобиля: скорость вычесть 15;

- нахожу расстояние: скорость легкового автомобиля умножаю на время.

            В методике обучения математике рассматривается и вариант объединения двух моделей. Начиная с первого класса, выполняется схема к задаче, потом по схеме записывается краткое условие (по схеме, восстанавливая текст, ученику легче выделить опорные слова), выполняется анализ и решается задача.

Например, при решении задачи «Мальчик решал примеры. Когда он решил 4 примера, ему осталось решить еще 6. Сколько примеров должен был решить мальчик?» работа может выглядеть так:

Краткое условие	Схема
Всего -?                                                                                               Решил – 4 пр.                                                                                    Осталось – 6 пр.

В результате обучения решению текстовых задач через моделирование учащийся должен знать и понимать все виды моделей и использовать тот вид модели при решении той или иной задачи, которая, по его мнению, больше всего ему помогает понять, проанализировать и решить рассматриваемую задачу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 Данные методические рекомендации являются результатом изучения теоретического материала о математическом моделировании и применения его в собственной педагогической деятельности, подтвержденным высокими показателями обученности учащихся решению задач. Методические рекомендации отвечают на основные вопросы учителей РК, касающиеся эффективных подходов к формированию общего «умения решать текстовые задачи», среди которых важное место занимает схема.

Схема - это эффективное средство, которое позволяет каждому школьнику при решении простых текстовых задач выполнить более качественный анализ условия задачи, помогает видеть решение задачи, при работе с составной задачей помогает наметить план решения, дает возможность каждому ученику быть успешным при выполнении непростого данного практического упражнения. Благодаря тому, что при помощи изображения схемы можно показать все величины, представить все описанные в сюжетах задач ситуации, проследить все зависимости между величинами и предупредить ошибки в решении, объединить все приемы мыслительной деятельности и продемонстрировать даже абстрактные понятия, данную модель можно считать универсальной на этапе формирования первичных математических понятий. Использование схемы эффективно и при формировании понятий смысла арифметических действий, при обучении учащихся решению уравнений, при работе с обыкновенными дробями. В связи с этим разъяснены важные вопросы методики работы на основе графического моделирования (схемы) при работе над текстовыми задачами:

- первичное введение схемы при моделировании отношений «больше», «меньше», «равно», «столько же» с первых уроков математики в начальной школе;

- моделирование на основе схемы математических текстов, применяемых на этапе ознакомления с нумерацией чисел концентра «Десяток»;

- решение проблемной ситуации, предусматривающей определение самими учащимися понятия «текстовая задача» через использование схемы;

- построение и решение проблемной ситуации при введении понятия о составной задаче.

- требования к построению схемы (учащиеся могут придумывать и свои схемы).   

            Предложенный практический материал окажет помощь учителям начальных классов в построении уроков на основе системно-деятельностного подхода с опорой на моделирование, в построении схем к составным задачам, предложенным в учебниках математики УМК «Школа России», поможет выстроить в системе работу над текстовой задачей через грамотное применение всех видов моделей.

ЛИТЕРАТУРА

1.      Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (утвержден приказом Минобрнауки России от 6 октября 2009 г. № 373; в ред. приказов от 26 ноября 2010 г. № 1241, от 22 сентября 2011 г. № 2357).

2.      Истомина Н. Б. Учимся решать задачи. Пособие для учителя начальных классов/Н.Б. Истомина – Ярославль: LINKA-PRESS, 2001 – 208 с.

3.      Александрова Э.И. Методика обучения математике в начальной школе/

Э.И. Александрова - М.: «Вита Пресс», 2002 – 132 с.

4.      Моро М.И., Волкова С.И. Для тех, кто любит математику/ М.И. Моро и др. – М.: «Просвещение», 2010 -126 с.

5.      Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе (курс лекций) /А.В. Белошистая – М: «Владос», 2007 – 453 с.

6.      Салмина Н.Г., Сохина В.П. Обучение математике в начальной школе/ Н.Г.Салмина и др. – М.: «Просвещение»,1995 - 196 с.

7.      Кураченко З.В. Личностно-ориентированный подход в системе обучения математике / Начальная школа - №4, 2004 - с. 60-63.

8.      Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальной школе/ П.М. Эрдниев и др. – М.: Просвещение, 1986 - 352с.

9.      Коржуев А.В. Познавательные затруднения в учении школьников // Педагогика. – 2000.- №1.

10.   Микулина Г. Г. Учим понимать математику/ Г.Г. Микулина – М.: «Интор», 2005 – 86 с.

11.  Узорова О. В., Нефедова Е. А. 2000 задач и примеров по математике/ О.В. Узорова и др. – М.: «Астрель», 2005 – 196 с.

12.  Аргинская И.И, Ивановская. Математика. Учебник для 1,2,3,4 класса четырехлетней начальной школы/ И.И. Аргинская - Самара: Изд. дом «Федоров», 2000.

13.  Царёва С. Е. Нестандартные виды работы с задачами на уроке как средство реализации современных педагогических концепций и технологий// Начальная школа. – 2004. - №4 - с. 49-56.

14.  Узорова О. В., Нефедова Е. А. 2000 задач и примеров по математике/ О.В. Узорова и др. – М.: «Астрель», 2005 – 198 с.

15.  Кравцова Л.Ф. Развитие мыслительной деятельности младших школьников при решении текстовых задач на уроках математики // Истоки.- Симферополь – 2003.- №1.

16.  Гавриш А.И. Использование алгоритмов в обучении младших школьников математике // Проблемы современного педагогического образования Сер.: Педагогика и психология. – Сб. статей: – Ялта: РВВ КГУ, 2014. – Вып. 46. –  Ч.5. – 50 с.