Методические рекомендации по изучению темы "Текстовые задачи на работу"

Методическая копилка

Формирование

умения решать 

текстовые задачи « на работу»

Учитель математики

первой квалификационной категории

 МБОУ лицей №2

Бугульминского муниципального района

Мальцева Ирина Федоровна

г. Бугульма

2016

                   Польский математик Стефан Банах говорил: « Математик – это тот, кто умеет находить аналогии».

                     Аналогия – сходство в каком-нибудь отношении между явлениями, предметами, понятиями. Хороший математик всегда сведёт задачу к уже известной.

                     В начальной школе учащиеся   очень много решают задач  «на движение». Эти задачи не вызывают затруднений даже у среднестатистического школьника. В среднем звене появляются задачи «на работу».  Задачи вызывают затруднение как при  изучении, так и на экзаменах в 9 и 11 классах. Нужно суметь подвести детей тому, что эти задачи аналогичны задачам на движение.

                   Проследим сами эту аналогию.

 В задачах «на движение» участвуют три величины: скорость , время , расстояние ( пройденный путь).

	v (скорость) км/ч, м/с …	t (время) ч, с…	S (путь) км, м…
1
2

Известно, что

s = v  t

 откуда следует, что

v =

и  

t=

В задачах «на работу» также три величины:

производительность (скорость работы, показывает какая часть работы выполняется за единицу времени),

 время работы,

работа (площадь вспаханного или убранного поля, количество деталей, объём бассейна и т. д.).

	v (производительность) детали в час, гектары в день, литры в минуту …	t (время) часы, дни, минуты…	А (работа) Детали, площадь, объём …
1
2
Вместе

Аналогично задачам на движение имеем

А = v  t

 откуда следует, что

v =

и 

t=

Провести такую аналогию можно уже в 6 классе.

 Задача 1. Первый конвейер выпускает 67 кг карамели за 108 минут, а второй конвейер 51 кг карамели за 106 минут. Какой из конвейеров имеет большую производительность?

	v (производительность) кг  в минуту	t (время) минуты	А (работа) кг
1 конвейер		108	67
2 конвейер		106	51

Так как v = , то

1)   67: 108 =  (кг/мин) -  v₁

2)   51:106 =  (кг/мин) -  v₂

3)     , а  , значит  .

Ответ: производительность 1 конвейера больше.

Следующие задачи  из экзаменационных материалов 9 и 11 классов.

Задача 2. Плиточник должен уложить 182 м² плитки. Если он будет укладывать на  9 м²  в день больше, чем запланировано, то закончит работу на 1 день раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

	v (производительность) м2  в день	t (время) дни	А (работа) Площадь, м2
По плану	х		182
Фактически	х+1	, на 1 меньше	182

По принципу « из большего вычитаем меньшее равно разнице» записываем уравнение  -  = 1.

По условию задачи х0, х₁ =13, х₂ 0 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 13 м².

Задача 3. На изготовление 21 детали первый рабочий затрачивает на 4 часа меньше. Чем второй рабочий на изготовление 35 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

	v (производительность) детали в час	t (время) часы	А (работа) всего деталей
По плану	х + 2	, на 4 меньше	21
Фактически	х		35

По принципу « из большего вычитаем меньшее равно разнице» записываем уравнение  -  = 4.

По условию задачи х0, х₁ =5, х₂ 0 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:5 деталей в час.

 Ещё большие затруднения вызывают задачи «на совместную работу». Здесь важно подвести детей к тому, что скорость совместной работы  равна сумме скоростей  участников этой работы.

 По аналогии с задачами на движение многие учащиеся называют эту величину «общей скоростью».

v общая = v1 + v2

              Важный момент в задачах на работу: если про объём работы не говорится конкретно (не указывается количество литров, деталей, гектаров и т. д.),  то работа принимается равной 1.

Об этом можно формировать понятие уже в 6 классе.

Задача 4: Один комбайн уберёт всё поле за 6 дней, а другой – за 4 дня. Какой комбайн имеет большую производительность? На сколько? Какую часть поля уберут оба комбайна за 2 дня, работая совместно?

	v (производительность) часть поля в день	t (время) дни	А (работа) поле
1 комбайн	?	6	1
2 комбайн	?	4	1
Вместе	?	2	?

Так как v = А/t, то

1)   1:6=  (поля в день) -  v₁

2)   1:4=  (поля в день) -  v₂

Так как V_общая = v₁ + v_2, то

3)    +  = (поля в день) - вместе за 1 день (v_общая).

Так как А = v  t, то

4)     2 =  (поля) - вместе за 2 дня.

Ответ:  поля.

Следующие задачи  из экзаменационных материалов 9 и 11 классов.

Задача 5. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая?

	v (производительность) часть бассейна в час	t (время) часы	А (работа) бассейн
1 труба		х	1
2 труба		х+3	1
Вместе		2	1

Так как V_общая = v₁ + v_2, то составляем уравнение:

 +   =

По условию задачи х0, х₁ =3, х₂ 0 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: за 3 часа.

Задача 6. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать некоторый участок дороги на 4 часа быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок первая бригада, если известно, что за 24 часа совместной работы они заасфальтировали 5 таких участков?

	v (производительность) часть бассейна в час	t(время) часы	А (работа) бассейн
1 бригада		х	1
2 бригада		х - 4	1
Вместе		24	5

Так как V_общая = v₁ + v_2, то составляем уравнение:

 +   =

По условию задачи х4, х₁ =12, х₂ 4 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: за 12 часов.

Задача 7. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу и через 2 ч, не закрывая её, открыли вторую. Через 4 ч совместной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна первая. За сколько часов может наполнить одна первая труба?

		v (производительность) часть бассейна в час	t (время) часы	А (работа) бассейн
1 труба			х	1
2 труба			1,5х	1
Вместе	1 труба		2 +4 =6		1
	2 труба		4

Уравнение:
 + =
По условию задачи х0, х₁ =8, х₂  0 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: за 8 часов.

Задача 8. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий – за 12 минут,  первый  и третий – за 18 минут.  За сколько минут эти три насоса  заполнят бассейн, работая вместе?

	v (производительность) часть бассейна в мин	t (время) минуты	А (работа) бассейн
1  и 2 насосы	x+y	9	1
2 и 3 насосы	y+z	12	1
1и 3 насосы	x+ z	18	1
Вместе	x+y+z	?	1

Так как v = А/t, то

x+y =  ;

y+z =  ;

x+ z = .

Тогда 2х +2y + 2z =  ,

откуда x+y+z =  ( бассейна в мин) - v_общая .

1 :  = 8 (мин) время заполнения бассейна совместно.

Ответ: за 8 минут.

Некоторые нестандартные задачи можно решить этим же способом.

Задача 9. Два кота одновременно начали есть палку колбасы с разных сторон и съели её за 4 минуты.  Один из котов съел бы всю колбасу за 12 минут. За сколько минут съел бы всю колбасу второй кот?

	v(производительность) часть колбасы в минуту	t (время) минуты	А (работа) колбаса
1 кот	?	12	1
2 кот	?	?	1
Вместе	?	4	1

1)   1:12 =  (колбасы в минуту) – 1 кот

2)    1: 4 =   (колбасы в минуту) –вместе

3)     -  = (колбасы в минуту) –2 кот

4)  :  = 6 (минут) – t 2-го кота.

Ответ: за 6 минут съест всю колбасу второй кот.

Задача учителя научить детей замечать закономерности и аналогии, преподносить учебный материал так, чтобы сложное казалось простым. Предложенный методический подход к  объяснению данного типа задач, надеюсь, будет полезен и учителям, и учащимся.

Литература.

1.     Математика 6, Виленкин Н.Я,  Жохов В.И, Чесноков А. С., Шварцбурд С.И., М: Мнемозина, 2013г.

2.      Алгебра, 9,Макарычев Ю. И., Миндюк Н. Г. и др. М: Просвещение, 2013

3.     Семёнов А. Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. М: «Экзамен», 2014

Открытый банк заданий ФИПИ.