Практическая работа № 1. Матрицы.
Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.
Матрицы (и соответственно
математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так
как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть
математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица"
появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее
у арабских математиков.
Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел,
содержащая m - строк и n - столбцов.
Элементы матрицы aij, у которых i=j, называются
диагональными и образуют главную
диагональ.
Для квадратной матрицы (m=n) главную
диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann .
Равенство матриц.
A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij (i=1,2,...,m;
j=1,2,...,n)
Действия над матрицами.
1. Сложение матриц - поэлементная операция
2. Вычитание матриц - поэлементная
операция
3. Произведение матрицы на число -
поэлементная операция
4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть
равно числу строк матрицы B)
Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сij матрицы Cmn равен сумме произведений элементов
i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B ,
т.е.
Покажем операцию умножения матриц на
примере
5. Возведение в степень
m>1 целое положительное число. А -
квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц
6. Транспонирование матрицы А.
Транспонированную матрицу обозначают AT или A'
Строки и столбцы поменялись местами
Пример
Свойства операций над матрицами
Виды матриц
1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые
числа
2. Квадратные: m=n
3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5
7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором
4. Матрица столбец: n=1. Например
5. Диагональная матрица: m=n и aij=0,
если i≠j.
Например
6. Единичная матрица: m=n и
7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Треугольная матрица: все элементы ниже
главной диагонали равны 0.
Пример.
9. Симметрическая матрица: m=n и aij=aji (т.е. на симметричных
относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A
Например,
10. Кососимметрическая матрица: m=n и aij=-aji (т.е. на симметричных относительно
главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на
главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем aii=-aii)
Пример.
Ясно, A'=-A
11. Эрмитова матрица: m=n и aii=-ãii (ãji - комплексно - сопряженное к aji, т.е.
если A=3+2i, то
комплексно - сопряженное Ã=3-2i)
Пример
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.