Методические рекомендации по математике по теме" Применение некоторых свойств модуля, квадратного корня и квадрата выражения"

Применение общего свойства модуля, квадратного корня и квадрата некоторого выражения.

  Готовясь к итоговой аттестации в 9 классе, ребята часто сталкиваются с нестандартными заданиями, которые не встретишь в учебнике, но решаются они просто, если обратить внимание на одну особенность модуля, квадратного корня и квадрата некоторого выражения, в частности на то, что все эти выражения при любом значении переменной больше или равны нулю.

Рассмотрим некоторые задания из сборников для подготовки к ОГЭ

Задание № 1

Решить уравнение: ( х² -1)² +( х²-6х-7)² =0

Решение: Т.к. квадрат любого выражения больше либо равен нулю, то сумма двух квадратов будет равна нулю  только в том случае, когда оба эти  выражения равны нулю одновременно, т.е.

х² -1=0                                      и                     х²-6х-7=0

х= -1                                                                 х=7

х=1                                                                   х= -1

Заметим, что при х= - 1 эти выражения равны нулю одновременно, а значит и их сумма равна нулю.

Ответ: - 1

Задание № 2

Найти наименьшее значение выражения:  | 2х + у + 1|+| - 3х – 4у + 6| и указать при каких значениях х и у это достигается.

Т.к. модуль любого выражения больше либо равен нулю, то сумма модулей будет наименьшей при условии, что оба модуля будут равны нулю и достигаться это будет если

Решая эту систему имеем:  х= - 2;    у=3

Ответ Наименьшее значение выражения | 2х + у + 1|+| - 3х – 4у + 6| равно нулю при х= - 2 ;   у=3.

Задание № 3

Решить уравнение:  + = 0

Конечно данное уравнение можно решать как иррациональное, но 9- классники не умеют этого делать, поэтому воспользуемся тем же свойством, что и в первых двух примерах.

Т.к каждый корень квадратный больше либо равен нулю, то сумма корней равна нулю при условии, что каждый равен нулю одновременно, т.е.

х²- 9=0                                               и                  (х – 3)(х – 2)=0

х= - 3                                                                      х=3   

х=3                                                                         х=2

Ответ: 3