Методические рекомендации по обучению задач на построение

Методические рекомендации по обучению решению задач на построение

       Как и в каком месте курса геометрии необходимо знакомить учащихся с общей схемой решения задач на построение? Здесь мы увидим два разных методических вопроса. 1-ый из них — это вопрос о том_, с какого времени в преподавании геометрии при решении задач должны фактически производиться анализ, построение, доказательство, исследование? Второй вопрос, в  отличие от предыдущего — это вопрос, когда учащийся должен быть ознакомлен с логической схемой решения задачи.

      Переходя к 1 вопросу, увидим, что начальным вводимым элементом лучше выбрать построение в смысле перечисления и описания тех или иных действий. Тут имеется в виду само описание процесса употребления инструмента.

     Следующим моментом по времени изучения в школьном курсе геометрии лучше взять исследование задачи. Первый элемент исследования увидим при решении задачи о построении треугольника по трем элементам. Рассмотрим вопрос о том, можно ли выбрать все три стороны произвольно. К этому должно скоро добавиться изучение о возможности существования нескольких решений одной и той же задачи. Этому моменту нужно придавать весьма большую значимость. Дело в том, что если говорят “найти точку” то необходимо“найти все точки, которые...” (а не просто “какую-либо точку, которая...”).

Задачи на геометрические построения с двумя решениями (или более) –это случай, когда учащийся встречается с такого рода выражениями в математике, и очень важно, чтобы он умел видеть их с самого начала изучения геометрии.

    Третий момент, который появится примерно, в одно и тоже время с элементами исследования, становится доказательство правильности выполнения построения.  В 7 классе решают такие задачи  как деление отрезка на два равных, построение перпендикуляра, угла, равного данному с помощью циркуля и линейки и т. д.. И здесь возникает вопрос о том, будет ли отрезок действительно разделен на два равных отрезка, будет ли построенная прямая перпендикулярна к данной, и т. д.? Поэтому некоторые, даже сравнительно сложные, задачи на построение, не могут оставаться без особого доказательства. К примеру, задача, решаемая методом геометрических мест: построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

     И наконец, заключительным по времени элементом решения, на котором необходимо уделить  внимание учащихся, станет анализ задачи. Прежде чем начать  данную работу следует обратиться к ученикам, которые уже решили задачи, с вопросом: “А как ты это решение нашел?”. Затем постепенно надо подвести учащихся к мысли о том, чтобы фиксировать свое внимание на самом процессе отыскания метода решения, этот процесс и получает название анализа.

      Рассмотрим теперь  второй вопрос – вопрос о введении в курсе геометрии схемы выделения при решении задач на построение  4 части. Задачу следует, конечно, подобрать так, чтобы она допускала один наиболее естественный ход решения, чтобы она требовала исследования, и в то же время, чтобы это исследование не было сложным. Кроме того задача не должна быть и  слишком простой, так как в этом случае способ решения может оказаться очевидным для учащихся, и тогда анализ задачи покажется им не естественным. Наиболее подходящими для этой цели являются задачи, решаемые методом геометрических мест. Хорошим примером для иллюстрации общей схемы решения задач на построение является задача: “Построить треугольник по двум сторонам и острому углу, лежащему против одной из них”.

   Сделав чертеж произвольного треугольника, учащиеся составляют план построения и при определенном выборе данных получают два решения. Они видят, что необходимо доказательство: проверки, какой из полученных треугольников является искомым, кроме того и необходимость исследования (всегда ли получим два решения?). Здесь обязательно выделяются все этапы и очевидна их целесообразность. Если учащиеся хорошо владеют основными построениями, то больших затруднений в оформлении решений они не будут испытывать.

Эта задача на построение является хорошим примером, показывающим связь между числом решений задачи на построение треугольника по определенным данным и признаками равенства треугольников.

     При решении задач на построение параллелограммов хорошим примером для повторения общей схемы будет задача: “Построить параллелограмм по стороне и двум диагоналям”.

После того как схема решения задачи на построение объяснена учащимся, этой схемы следует придерживаться при решении всех дальнейших задач на построение.

    Тем не менее, необязательно все задачи решать, строго придерживаясь схемы с подробным описанием всех этапов. Ученики проводят анализ лишь тогда, когда решение задачи не очевидно, доказательство – когда в нем есть необходимость.

   Усвоение учащимися общей схемы имеет большое значение не только для решения задач на построение. С методической точки зрения и при решении арифметических задач, и при решении задач на составление уравнений мы пользуемся теми же четырьмя этапами, что и при решении задач на построение.

    Рассмотрим более подробно этап “исследование”. Каждая задача на построение включает в себя требование построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую определенным условиям, которые в большинстве своем задаются размерами или положением некоторых геометрических образов. Условия задач формулируются в самом общем виде, а поэтому исходные данные являются как бы параметрами, принимающими всевозможные допустимые значения. Необходимо учить школьников видеть эти допустимые значения.

   Они определяются чаще всего естественным образом. Например, в задаче: “Построить треугольник по двум сторонам а и bи углу N между ними” допустимыми значениями для а и b будут всевозможные отрезки, которые можно характеризовать положительными числами, их длинами, а угол N может принимать различные значения в пределах от 0° до 180°.

    Рассмотрим задачу: “Построить окружность, касающуюся данной окружности в данной на ней точке и данной прямой”. В ней прямая может занимать любое положение на плоскости. Окружностью также может быть любая окружность на плоскости. Но так как окружность характеризуется положением центра и величиной радиуса, то можно сказать, что центром данной окружности может быть любая точка плоскости, а радиусом – любой отрезок, длина которого (0;∞).

    Иногда рассматриваем и направленные окружности, тогда уже радиус может быть и числом не положительным, но такие случаи обычно оговариваются в условии задачи. Точка тоже может занимать произвольное положение, но уже не на плоскости, а на данной окружности, так как она обязательное условие: она должна принадлежать этой прямой.

  Решение задачи на построение будем считать завершенным, если указаны необходимые и достаточные условия, при которых найденное решение является ответом на задачу. Значит, мы при всяком выборе данных должны устанновить: имеет ли задача решение и если имеет, то сколько. Например: “Построить окружность, проходящую через три данные различные точки”. Если данные точки не лежат на одной прямой, то задача имеет решение и притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, то задача решения не имеет.

     Перейдем теперь к одному из самых существенных, в методическом отношении, вопросов исследования задачи на построение. Как установить и перечислить все те случаи, которые имеют существенное значение для решения данной задачи? Известно, что очень часто учащиеся, решающие ту или иную задачу, особенно на первых порах, пытаются исследовать ее, исходя из вопроса: “А что будет, если…”, придумывая те или иные “если” более или менее произвольно. Необходимо приучать учащихся вести исследование по самому ходу построения. Желая исследовать задачу, надо в последовательном порядке перебрать еще раз те операции, из которых слагается построение, и для каждой из этих операций определить, всегда ли она возможна, какое число точек, отрезков и т. д. эта операция может давать. Таким путем удается сравнительно легко научиться исследованию задачи.

     Исследование является составной частью решения. Решение задачи на построение можно считать законченным, если узнаем, сколько искомых фигур получим при определенных условиях, и, в частности, указано, когда получим искомый геометрический образ. Но исследование в задачах на построение, как и исследование при решении других задач по математике, имеет и общеобразовательное значение.

В процессе исследования учащиеся упражняются в практическом применении диалектического метода мышления. Они видят, что изменение данных задачи вызывает изменение искомой фигуры. Мы имеем дело не с “закостенелыми”, а с изменяющимися геометрическими образами, изменение одних величин обусловлено изменением других.

    Для правильного проведения исследования нужно обладать хорошо развитым логическим мышлением. Значит, с другой стороны, исследование задач на построение является хорошим материалом для развития логического мышления учащихся.

    Много  внимания уделяем обычно отысканию решения, то есть анализу.  Анализ – это основной этап при решении задач на построение: не найдя решения, мы не сможем  провести ни построения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполнения исследование является не менее сложным этапом. Наибольшее количество ошибок допускается именно при проведении исследовании.

     Отсюда можно сделать вывод: усвоение учащимися общей схемы решения задач на построение имеет большое значение. Анализ, построение, доказательство и исследование точно соответствуют этапам каждого логического рассуждения. При введении данных понятий следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, – настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.