МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ И ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА, НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ ОПОП СПО по профессии Продавец, контролер-кассир по теме "Функции и графики"

Министерство образования и науки Алтайского края

Краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Егорьевский лицей профессионального образования»

МЕТОДИЧЕСКИЕ  РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ И ВЫПОЛНЕНИЮ  ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ по учебной дисциплине

  МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА, НАЧАЛА

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ

основной профессиональной образовательной программы

по профессии 38.01.02  Продавец, контролер-кассир

по теме «Функции и графики»

п.им. Мамонтова

 2019

Методические рекомендации  по организации и выполнению  практических занятий по учебной дисциплине   МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА, НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ основной профессиональной образовательной программы разработаны в соответствии с требованиями к результатам обучения ФГОС СОО, ФГОС СПО  по профессии 38.01.02  Продавец, контролер-кассир и рабочей программой учебной дисциплины.

Разработчики: Корбмахер С.Р., преподаватель  высшей квалификационной категории

СОДЕРЖАНИЕ

		Стр.
Введение		4
Общие требования для обучающихся по выполнению практических занятий и оформлению отчета, критерии оценивания работ		5
Тема 8. Функции и графики  (ПЗ- 15)		7
	Практическое занятие: Примеры зависи­мостей между переменными. ( Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Гармонические колебания. Прикладные задачи.)	7
	Практическое занятие: Свойства   линейной и кусочно-линейной функций.	12
	Практическое занятие: Свойства  квадратичной функции.	14
	Практическое занятие: Свойства    дробно-линейной функций.	15
	Практическое занятие: Исследование функций и построение графиков (Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.)	16
	Практическое занятие: Исследование функций и построение графиков (Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.)	20
	Практическое занятие: Исследование функций и построение графиков (Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.)	22
	Практическое занятие: Свойства и график  функции  синуса. (Непрерывные и периодические  функции.  Свойства и график функции синус.)	24
	Практическое занятие: Свойства и график функции косинус.(Непрерывные и периодические  функции.  Свойства и графики функции  косинус.)	25
	Практическое занятие: Свойства и графики  функций  тангенс и  котангенс.	26
	Практическое занятие: Преобразования графика функции.	28
	Практическое занятие: Преобразования графика функции.	29
	Практическое занятие: Преобразования графика функции.	31
	Практическое занятие: Обратные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции.	35
	Практическое занятие: Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства.	38
Список используемой  литературы		41

Введение

Методические указания  по организации и выполнению  практических занятий разработаны согласно рабочей программы ОУД.06 МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА, НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ для студентов, обучающихся по профессии 38.01.02  Продавец, контролер-кассир и требованиям к результатам обучения федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образованиям (далее – ФГОС СОО).

Практические занятия направлены на достижение следующих целей:

¾    обеспечение сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;

¾    обеспечение сформированности логического, алгоритмического и математического мышления;

¾    обеспечение сформированности умений применять полученные знания при решении различных задач;

¾    обеспечение сформированности представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.

Практические занятия являются важными видами учебной работы студента по учебной дисциплине и выполняются в пределах часов, предусмотренных учебным планом ОПОП.

Обязательная аудиторная нагрузка на каждое практическое занятие приведено в таблице

Таблица

Аудиторная нагрузка на выполнение практических занятий

№ п/п	Название работы	Нагрузка в часах
Тема 8. Функции и графики		15
1	Практическое занятие: Примеры зависи­мостей между переменными. ( Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Гармонические колебания. Прикладные задачи.)	1
2	Практическое занятие: Свойства   линейной и кусочно-линейной функций.	1
3	Практическое занятие: Свойства  квадратичной функции.	1
4	Практическое занятие: Свойства    дробно-линейной функций.	1
5	Практическое занятие: Исследование функций и построение графиков (Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.)	1
6	Практическое занятие: Исследование функций и построение графиков (Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.)	1
7	Практическое занятие: Исследование функций и построение графиков (Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.)	1
8	Практическое занятие: Свойства и график  функции  синуса. (Непрерывные и периодические  функции.  Свойства и график функции синус.)	1
9	Практическое занятие: Свойства и график функции косинус.(Непрерывные и периодические  функции.  Свойства и графики функции  косинус.)	1
10	Практическое занятие: Свойства и графики  функций  тангенс и  котангенс.	1
11	Практическое занятие: Преобразования графика функции.	1
12	Практическое занятие: Преобразования графика функции.	1
13	Практическое занятие: Преобразования графика функции.	1
14	Практическое занятие: Обратные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции.	1
15	Практическое занятие: Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства.	1
	ИТОГО:	15

Общие требования для обучающихся по выполнению  практических занятий и оформлению отчета, критерии оценивания работ

1.      Перед выполнением практического занятия необходимо повторить теоретический материал, используя рекомендованную литературу, конспект лекций и теоретическую часть работы.

2.      Обучающиеся обязаны иметь при себе линейку, карандаш, калькулятор, тетрадь для выполнения практических  занятий.

3.      Отчеты по практическим занятиям оформляются аккуратно и должны включать в себя следующие пункты:

·         тему и цель практического занятия;

·         решение предложенных задач или примеров.

Критерии оценивания работ

Отметку за работу на практическом занятии, студент получает в случае выполнения им практического задания у доски, или самостоятельного выполнения его в тетради для практических и теоретических занятий.

  В случаях отсутствия обучающихся на практических занятиях,  практические задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием  настоящих методических рекомендаций.   В этом случае отметку по каждому пропущенному  практическому  занятию  студент получает после её выполнения и предоставления отчета в письменном  виде, а также ответов на вопросы преподавателя, если таковые возникнут при проверке выполненного занятия

Отметка «5» ставится, если:

¾    работа выполнена более чем на 90%.;

¾    в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

¾    в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

¾    работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки),

¾    допущены одна   существенная ошибка или две-три несущественных ошибки или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки),

¾    работа выполнена полностью более чем на 70%.

Отметка «3» ставится, если:

¾    допущены более одной существенной ошибки или более двух-трех несущественных ошибок, но обучающийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме;

¾    при этом правильно выполнено не менее половины работы.

Отметка «2» ставится, если:

¾    допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере,

¾    правильно выполнено меньше половины работы,

¾    работа показала полное отсутствие у обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

¾    не приступил к выполнению работы.

К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, связанные с незнанием, непониманием студентами основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов решения практических заданий, предусмотренных программой.

К категории несущественных ошибок следует отнести погрешности, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к искажению смысла задания и его выполнения. При наличии существенной ошибки задание считается невыполненным.

  Самостоятельные работы и контрольные тесты  с выбором ответа, матричные тесты предусмотренные во время практических занятий дают возможность проверить наработанные умения обучающихся.  Данные работы оцениваются отдельно по пятибалльной шкале.

Критерии оценивания  самостоятельных работ, контрольных тестов, математических диктантов	Оценка
Выполнено 90-100 % заданий	«5»
Выполнено 71-89 % заданий	«4»
Выполнено 50-70 % заданий	«3»
Выполнено менее 50 % заданий	«2»

Тема 8. Функции и графики  (ПЗ- 15)

Практическое занятие по теме: Примеры зависи­мостей между переменными. ( Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин.Гармонические колебания. Прикладные задачи.) Цель: Закрепление  теоретических знаний  на примерах  зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Решение прикладных  задач. Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал. Время выполнения: 1 час. Содержание: Самостоятельная работа 1.                  При температуре 0оС рельс имеет длину l0= 19 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(tо) = l0(1 + αtо), где α = 1,2·10–5 – коэффициент теплового расширения в градусах Цельсия в минус первой степени, tо – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 5,7 мм. Ответ выразить в градусах Цельсия. 2.                  Выcота над землeй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону , где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколькоcекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее шести метров? 3.                  В ходе раcпада радиоактивного изотопа, его маccауменьшаетcя по закону , где  — начальная маccа изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураcпада в минутах. В лаборатории получили вещеcтво, cодержащее в начальный момент времени  мг изотопа Z, период полураcпада которого T = 8 мин. В течение cкольких минут маccа изотопа будет не меньше 39 мг? Теоретический материал: 1.                  Линейная функция. Пример линейной функции дает зависимость между различными шкалами температур. Абсолютная температура Т (по Кельвину) связана с температурой t0C на шкале Цельсия формулой t = T + 2730C. Другой пример – напряжение в электрической цепи прямо пропорционально силе тока U = I·R. Рассмотрим задачу на линейное расширение тел. Задача. При температуре 0оС рельс имеет длину l0= 12,5 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(tо) = l0(1 + αtо), где α = 1,2·10–5 – коэффициент теплового расширения в градусах Цельсия в минус первой степени, tо – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм. Ответ выразить в градусах Цельсия. Решение. Выразим из заданной формулы t: . Заметим, , тогда Ответ: 40. 2.                  Квадратичная функция. Среди различных зависимостей, являющихся квадратичными функциями, можно отметить зависимость пути от времени при равноускоренном движении (S = v0 t +), зависимость мощности электрического тока при постоянном сопротивлении от силы тока (Р = R), зависимость площади круга от его радиуса (S = π) и т.д. Задача. Выcота над землeй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону , где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколькоcекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трeх метров? Решение. Решим неравенство t1 = 1,4, t2 = 0,2 0,2 ≤ t ≤ 1,4 Получили, что решением неравенства является интервал [0,2;1,4]. Здесь необходимо представить сам процесс полёта мяча. Мяч подбросили, через 0,2 секунды он достиг высоты 3 метра и полетел выше, далее начал падать. Через 1,4 секунды опустился до 3 метров и полетел ниже. То есть мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров от 0,2 до 1,4 секунды с момента броска. Значит промежуток времени нахождения на указанной высоте равен 1,4 – 0,2=1,2 секунды. Ответ: 1,2 с. 3.                  Показательная функция. Показательная функция очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах.       Описание радиоактивного распада связано с показательной функцией. Количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имевшемуся количеству вещества. Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М0·е-kt, где: Мо – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент. Задача. В ходе раcпада радиоактивного изотопа, его маccауменьшаетcя по закону , где  — начальная маccа изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураcпада в минутах. В лаборатории получили вещеcтво, cодержащее в начальный момент времени  мг изотопа Z, период полураcпада которого T = 10 мин. В течение cкольких минут маccа изотопа будет не меньше 5 мг? Решение. Подставим соответственные значения переменных в формулу: t = 30.Ответ: 30 минут. Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции       Определение. Пусть   X   – некоторое множество чисел. Говорят, что на множестве   X   задана числовая функция,  если указано правило, с помощью которого каждому числу   x   из множества   X   ставится в соответствие некоторое число.       Это принято обозначать так:   y = f (x), причем в этой записи   x   называют аргументом функции  или независимой переменной, а   y   называют значением функции,  соответствующим аргументу   x .       Множество   X   называют областью определения функции   f   и обозначают   D ( f ) .   Множество   Y   всех возможных значений функции   y = f (x)   называют множеством значений функции   f   и обозначают   E ( f )   (рис. 1). Рис.1 Примеры решения задач       Часто в задачах известна формула, задающая функцию   f ,   и требуется найти наиболее широкое множество чисел, к которым данную формулу можно применить. В этом случае указанная задача формулируется так: «Найти область определения функции   y = f (x)». В некоторых задачах требуется найти не только область определения функции, но и множество ее значений.       Задача 1. Найти область определения функции       Решение. Указанная функцию представляет собой результат, полученный при делении числа   x4   на число   (3 + x) .   Поскольку единственным ограничением является запрет деления на число   0 ,   то число   (3 + x)   не может равняться   0 ,   то есть   .       Ответ.   .       Задача 2. Найти область определения функции       Решение. Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, то область определения данной функции задается неравенством которое эквивалентно неравенству и может быть записано в виде.       Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим       Ответ.   .       Задача 3. Найти область определения функции       Решение. Исходя из определений логарифма и квадратного корня, область определения данной функции задается следующей системой неравенств (1) Решая второе неравенство системы с помощью метода интервалов, Получим       Таким образом, система (1) эквивалентна системе       Решением этой системы является интервал       Ответ. .       Задача 4 . Найти множество значений функцииy = 3sin x + 4cos x       Решение. Воспользовавшись формулой дополнительного угла (вспомогательного аргумента),получимy = 5 sin (x + φ) , где       Поскольку множеством значений функции   y = sin (x + φ)   является отрезок   [–1, 1],   то множеством значений функции   y = 5 sin (x +φ)   будет отрезок   [–5, 5].       Ответ. .       Задача 5 . Найти множество значений функцииy = x2 + 6x + 8       Решение. Поскольку и для каждого числа  существуют решения уравненияx2 + 6x + 8 = y , определяемые формулой то множеством значений функции   y = x2 + 6x + 8   будет множество    .       Ответ. . Ограниченные и неограниченные функции       Обозначим буквой   X   некоторое множество чисел, входящих в область определения   D ( f )    функции   y = f (x).       Определение 1. Функцию   y = f (x)   называют ограниченной сверху на множестве   X ,   если существует такое число   a ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство          Определение 2. Функцию   y = f (x)   называют ограниченной снизу на множестве   X ,   если существует такое число   b ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство       Определение 3. Функцию   y = f (x)   называют ограниченной на множестве   X ,   если существуют такие числа   a    и   b ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство       Определение 4. Функцию   y = f (x)   называют неограниченной сверху на множестве   X ,  если для любого числа   a   существует такой   x   из множества   X ,   для которого выполнено неравенство       Определение 5. Функцию   y = f (x)   называют неограниченной снизу на множестве   X ,  если для любого числа   b   существует такой   x   из множества   X ,   для которого выполнено неравенство       Определение 6. Функцию  y = f (x)   называют неограниченной на множестве   X ,  если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.       Проиллюстрируем эти определения следующими примерами. Пример 1.  Функция   y = x2     является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве  Пример 2.  Функция   y = – x2     является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве        Пример 3.  Функция   y = x    неограничена сверху и неограничена снизу на множестве  Пример 4.  Функция   y = arctg x    ограничена на множестве  Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4 Монотонные функции       Определение 7. Функцию   y = f (x)   называют возрастающей на множестве   X ,  если для любых чисел  и ,   удовлетворяющих неравенству   x1 < x2 ,   выполнено неравенство       Определение 8. Функцию  y = f (x)   называют убывающей на множестве   X ,  если для любых чисел  и ,   удовлетворяющих неравенству   x1 < x2 ,   выполнено неравенство         Определение 9. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными/       Пример 5. Функция   y  = x2   (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве и строго возрастающей на множестве        Пример 6. Функция   y = – x2   (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве и строго убывающей на множестве        Пример 7. Функция   y = x   (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве        Пример 8. Функция   y = arctg x   (рис. 4) является строго возрастающей на множестве  Четные и нечетные функции       Определение 10. Функцию   y = f (x) ,   определенную на множестве   X ,  называют четной функцией, если для любого числа   x   из множества   X   число   – x   также принадлежит множеству   X  и выполняется равенство   f (– x) = f (x)       Определение 11. Функцию   y = f (x) ,   определенную на множестве   X ,   называют нечетной функцией, если для любого числа   x   из множества   X   число   – x   также принадлежит множеству   X  и выполняется равенство   f (– x) = – f (x)       Пример 9. Функции   y = x2   и   y = – x2   являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции   y = x   и   y = arctg x   являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).       Пример 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.       Периодические и непериодические функции. Период функции       Определение 12. Число  называют периодом функции   y = f (x) ,   если для любого числа   числа   x + T   и   x – T   также принадлежат области определения   D ( f )   и справедливы равенства f ( x + T ) = f (x) ,    f ( x – T ) = f (x)     Определение 13. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.       Замечание 4. Если число   T   является периодом некоторой функции, то и число   kT ,   где   k   – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.       Пример 11. Функции   y = sin x   и   y = cos x   являются периодическими функциями с периодом   2π , функции   y = tg x   и   y = ctg x   являются периодическими функциями с периодом   π .       Пример 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями. График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций       Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат   Oxy .       Определение 14.  Графиком функции   y = f (x)   называют множество всех точек, координаты которых имеют вид  (x; f (x)) , где  .       Замечание 5. График четной функции симметричен относительно оси ординат   Oy   (см., например, рис. 1 и рис. 2), график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, рис. 3 и рис. 4).       Замечание 6. График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс   Ox   на период вправо или влево.  Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом   T,   достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс   Ox   длины   T,   а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния   nT ,   где   n   – любое натуральное число. Контрольные вопросы: 1.                 Какая величина называется переменной? 2.                 Сформулируйте определение функциональной зависимости. 3.                 Какая зависимость называется прямой пропорциональностью? 4.                 Является ли прямая пропорциональность линейной функцией? 5.                 Какие процессы описывает линейная функция? 6.                 Какая зависимость называется квадратичной? Какие процессы она описывает? 7.                 Какие процессы описывает показательная функция? 8.                 Приведите примеры зависимостей между переменными в реальных процессах. Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Свойства линейной и кусочно-линейной  функций. Цель: Закрепление  теоретических знаний по теме свойства линейной и кусочно-линейной  функций, исследование функций,  построение и чтение  графиков функций. Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: Cамостоятельная работа Построить и прочитать графики функций: Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3. а) а) а) б) б) б) Теоретический материал: 1.                 Построить и прочитать график линейной функции y = x + 2. Решение. Чтобы построить график линейной функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y. Например, чтобы построить график функции y = x + 2, удобно взять х = 0их = 3, тогда ординаты эти точек будут равны у = 2и у = 3. Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график  функцииy = x + 2: Рис. 1 Рис. 1 Прочитаем график, построенной функции: 1) D(y) = R; 2) E(y) = R; 3) Функция общего вида; 4) Непериодическая; 5) Точки пересечения с осями координат: Ox: x + 2 = 0, x = - 6, следовательно (- 6; 0) – точка пересечения с осью абсцисс. Oy: при х = 0 y = 2, следовательно (0; 2) – точка пересечения с осью ординат; 6) y = x + 2 положительна при х  ( - 6; +∞) и отрицательна при х  ( - ∞; - 6) 7) y = x + 2  возрастает на всей области определения. 2.                 Построить и прочитать график кусочно – линейной функции . Решение. Рассмотрим функцию. На рисунке показан график этой функции. Чтобы его получить, построим график функцииy = 2 – xприx< 1 иy = x приx ≥ 1. Рис. 2 Прочитаем график построенной функции: 1. D(y)=R 2. E(y)=[ 1; + ∞) 3. Функция общего вида; 4. Непериодическая; 5. Точки пересечения с осями координат: Ox: нет точек пересечения Oy: (0; 2) – точка пересечения с осью ординат; 6. Функция положительна на всей области определения; 7. Функция возрастает на [ 1; + ) и убывает на ( - ∞; 1] Контрольные вопросы: 1.                 Сформулируйте определение линейной функции. 2.                 Что является графиком линейной функции? 3.                 Как построить график линейной функции? 4.                 Дайте определение возрастающей функции. 5.                 Какая функция называется убывающей? Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Свойства  квадратичной функции. Цель: Закрепление  теоретических знаний по теме свойства  квадратичной функции при исследовании данных функций и построении их графиков Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: Cамостоятельная работа Построить и прочитать графики функций: Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3. МАТРИЧНЫЙ ТЕСТ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Теоретический материал: Построить и прочитать график квадратичной функции y = 2х2  + 3х – 5. Решение. 1. Так как а = 2  0,ветви параболы направлены вверх. 2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х2  + 3х – 5 Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение 2х2  + 3х – 5 = 0 3. Координаты вершины параболы: 4.Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы. Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой: Рис. 2 Прочитаем график построенной функции: 1. D(y)=R 2. E(y)=[-6,125; + ∞) 3. Нули функции: - 2,5 и 1. 4. у  0 при x  (- 2,5; 1), у  0 при x  (-∞; - 2,5)(1;+∞). 5. Функция возрастает на [ -6,125; + ) и убывает на ( - ∞; - 6,125]. 6. График симметричен относительно прямой х = - 0,75. 7.ymin = - 6,125 при х = - 0,75. Контрольные вопросы: 1.                 Какая функция называется квадратичной? Что является ее графиком? 2.                 Какую информацию мы можем извлечь из старшего коэффициента в записи квадратичной функции? Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Свойства   дробно-линейной функции. Цель: Закрепление  теоретических знаний по теме свойства  дробно-линейной функций при исследовании данных функций и построении их графиков Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: Самостоятельная работа: Построить и прочитать графики функций: Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3. Теоретический материал: Построить график дробно-линейной функции . Решение. Представим дробь в виде . Для этого x + 8 запишем в следующем виде: x – 2 + 10 (т.е. 8 представили в виде –2 + 10). Получим: . Итак, мы получили все необходимые значения: k = 10, m = 2, n = 1. Таким образом, мы нашли асимптоты нашей гиперболы (исходя из того, что x = m, y = n): x = 2, y = 1. То есть одна асимптота гиперболы проходит параллельно оси y на расстоянии 2 единиц справа от нее, а вторая асимптота проходит параллельно оси x на расстоянии 1 единицы выше ее. Рис. 1 Построим график данной функции. Для этого сделаем следующее: 1) проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты – прямую x = 2 и прямую y = 1. 2) так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения этих ветвей составим две таблицы: одну для x < 2, другую для x > 2. Сначала подберем значения x для первого варианта (x <2 ). Результаты всех полученных вычислений вписываем в таблицу: x -3 -2 -1 0 1 y -1 -1,5 -2,3 -4 -9 Теперь составим таблицу для варианта x > 2: x 3 4 5 6 7 y 11 6 4,3 3,5 3 3) Далее просто составляете график функции с полученными координатами. Контрольные вопросы: 1.     Что является графиком дробно-линейной функции? 2.     Что означают коэффициенты n и m в записи дробно-линейной функции ? Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Исследование функций и построение графиков (Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.) Цель: Закрепление  теоретических  знаний по теме построение и чтение графиков функций, исследование степенных функций. Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ С ВЫБОРОМ ОТВЕТА Теоретический материал: Функция вида  , где R (любое действительное число), называется степенной. Графики степенных функций  зависят  от показателя степени. Степенная функция с натуральным показателем. Функция у = хn, где n - натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х. – график - прямая При n = 2 получаем функцию у = х2. Функция у = х2. Перечислим свойства функции у = х2. 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) у = х2 - четная функция  (f ( - х) = ( - х)2 = х2 = f (x)). 3) На промежутке [0; + ∞) функция возрастает (если 0 ≤ х1< х2 , то х12< х22, а это и означает возрастание функции). 4) На промежутке ( - ∞ ; 0] функция убывает ( если x1< x2 ≤ 0, то х12> х22 , а это и означает убывание функции). Графиком функции у = х2 является парабола При n = 3 получаем функцию у = х3. Функция у = х3. Перечислим свойства функции у = х3. 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) у = х3 - нечетная функция (f (- х) = (- х)3= - х3 = - f (x)) 3) Функция у = х3 возрастает на всей числовой прямой. График функции у = х3 изображен на рисунке. Он называется кубической параболой. Пусть n - произвольное четное натуральное число, большее двух: n = 4, 6, 8, ... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |x| > 1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |x| < 1 тем "теснее прижимаются" к оси х, чем больше n. (рис. а) Пусть n - произвольное нечетное число, большее трех: n = 5, 7, 9, … . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n) (рис. б). Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n. Степенная функция с целым отрицательным показателем. Рассмотрим функцию у = х -n, где n - натуральное число. При n = 1 получаем у = х -1 или у = 1/х. Пусть n - нечетное число, большее единицы, n = 3, 5, 7, … В этом случае функция у = х -n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = 1/х. График функции у = х -n (n = 3, 5, 7, …) напоминает график функции у = 1/х (рис. а). Пусть n - четное число, например n = 2. Перечислим некоторые свойства функции у = х -2, т. е. функции у = 1/х2. 1) Функция определена при всех x ≠ 0 2) y =1/х2 - четная функция. 3) y = 1/х2 убывает на (0; + ∞) и возрастает на ( - ∞; 0). Теми же свойствами обладают любые функции вида у = х -n при четном n, большем двух. График функции у = 1/х2 изображен на рисунке б. Аналогичный вид имеет график функции у = х -n, если n = 4, 6, ... Функция у = х1/n. Функция у = х1/2. Перечислим свойства функции у = . 1) Область определения - луч [0; + ∞). Это следует из того, что выражение определено лишь при х ≥ 0. 2) Функция у = ни четна, ни нечетна. 3) Функция у = возрастает на луче [0; + ∞). График функции у = изображен на рисунке а. При четном n функция y = обладает теми же свойствами, что и функция у = , и график ее напоминает график функции у = . Функция у = х1/3. Перечислим свойства функции у = . 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) Функция у = нечетна. 3) Функция у = возрастает на всей числовой прямой. График функции у = изображен на рисунке б. При нечетном n функция у = обладает теми же свойствами, что и функция у = , и график ее напоминает график функции у = . Степенная функция с положительным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = хr, где r - положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции. 1) Область определения - луч [0; + ∞). 2) Функция ни четная, ни нечетная. 3) Функция у = хr возрастает на [0; + ∞). На рисунке а изображен график функции у = х2,5 . Он заключен между графиками функций у = х2 и у = х3, заданных на промежутке [0; + ∞). Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где r > 1. На рисунке б изображен график функции у = х2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где 0 < r < 1. Степенная функция с отрицательным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = х -r, где r - положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции. 1) Область определения - промежуток (0; + ∞). 2) Функция ни четная, ни нечетная. 3) Функция у = х -r убывает на (0; + ∞) Построим график функции у = х -1/2 (рис. в). Подобный вид имеет график любой функции у = хr, где r - отрицательная дробь Контрольные вопросы. 1.     Дать определение понятия функция. 2.     Какая функция называется степенной? 3.     Какая переменная определяет  множество значений? 4.     Областью определения называется… 5.     Какой симметрией обладает график четной функции? 6.     Какой симметрией обладает график нечетной функции? Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Исследование функций и построение графиков (Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.) Цель: Закрепление  теоретических  знаний по теме построение и чтение графиков функций, исследование  показательных функций. Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: Теоретический материал: Показательная функция задается формулой у = ах, где а > 0 и а ≠ 1. Свойства показательной функции Свойства показательной функции y = ax ,a > 1 y = ax ,0< a < 1 График функции 1.      Область определения функции 2. Область значений функции 3.Промежутки сравнения с единицей при x > 0, ax > 1 при x > 0, 0<ax < 1 при x < 0, 0<ax < 1 при x < 0, ax > 1 4. Чётность, нечётность. Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). Это следует из того, что а -х ≠ ах и а -х ≠ - ах. 5.Монотонность. монотонно возрастает на R монотонно убывает на R 6. Экстремумы. Показательная функция экстремумов не имеет. 7.Асимптота Ось Ox является горизонтальной асимптотой. 8. При любых действительных значениях xи y; Контрольные вопросы. 1.     Дать определение понятия показательная функция. 2.     Какая функция называется степенной? 3.     Какая переменная определяет  множество значений? 4.     Областью определения называется… 5.     Дайте определение возрастающей функции. 6.     Какая функция называется убывающей? 7.     Дайте определение точки минимума функции. Что такое минимум функции? 8.     Какая точка называется точкой максимума функции? Что такое максимум функции. Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Исследование функций и построение графиков (Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.) Цель: Закрепление  теоретических  знаний по теме построение и чтение графиков функций, исследование логарифмических функций. Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: Теоретический материал: Функцию вида y = loga(x), где a любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а. Здесь и далее для обозначения логарифма мы будем использовать следующую нотацию: loga(b) - данная запись будет обозначать логарифм b по основанию а. Основные свойства логарифмической функции: 1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а. 2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел. 3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0<a 4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0). 5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1. 6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0<x<1: (0<a<1) 7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вида. 8. Функция не имеет точек максимума и минимума. Контрольные вопросы. 1.                 Дать определение понятия логарифмическая функция. 2.                 Что называют логарифмом? 3.                 Написать основное логарифмическое тождество. 4.                 Свойства логарифмов. Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Свойства и график  функции  синуса. (Непрерывные и периодические  функции.  Свойства и график функции синус.) Цель: Закрепление  теоретических  знаний по теме свойства и графики синуса. Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: г) постройте графики функций. Теоретический материал: Функция синус Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная. Функция нечетная:sin(−x)=−sin x для всех х ∈R. График функции симметричен относительно начала координат. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: sin(x+2π·k) = sin x, где k ∈Z для всех х ∈R. sin x = 0 при x = π·k, k ∈Z. sinx > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈Z. sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈Z. Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: Контрольные вопросы. 1.                  Дать определение понятию функция. 2.                  Какая функция называется тригонометрической? 3.                  Какая переменная определяет  множество значений? 4.                  Областью определения называется… 5.                  Единичная числовая окружность. Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Свойства и график функции косинус. (Непрерывные и периодические  функции.  Свойства и графики функции  косинус.) Цель: Закрепление  теоретических  знаний по теме свойства и графики  косинуса.Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: г) постройте графики функций. Теоретический материал: Функция косинус Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная. Функция четная:cos(−x)=cos x для всех х ∈R. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: cos(x+2π·k) = cos x, где k∈Z для всех х ∈R. cos x = 0 при cosx > 0 для всех cos x < 0для всех Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: Контрольные вопросы. 1.                  Дать определение понятию функция. 2.                  Какая функция называется тригонометрической? 3.                  Какая переменная определяет  множество значений? 4.                  Областью определения называется… 5.                  Единичная числовая окружность. Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Свойства и графики  функций  тангенс и  котангенс. Цель: Закрепление  теоретических  знаний по теме свойства и графикитангенса и котангенса. Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: г) постройте графики функций. 9) y= ctg (x-1) Теоретический материал: Функция тангенс  Область определения функции — множествовсех действительных чисел, кроме Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная. Функция нечетная:tg(−x)=−tg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π·k) = tg x, k∈Z для всех х из области определения. tg x = 0 при tgx > 0 для всех tg x < 0для всех Функция возрастает на промежутках: Функция котангенс   Область определения функции — множествовсех действительных чисел, кроме чисел Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная. Функция нечетная:ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg x, k∈Z для всех х из области определения. ctg x = 0 при ctgx > 0 для всех ctg x < 0для всех Функция убывает на каждом из промежутков Контрольные вопросы. Дать определение понятию функция. Какая функция называется тригонометрической? Какая переменная определяет  множество значений? Областью определения называется… Единичная числовая окружность. Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Преобразования графика функции. Цель: Закрепление  теоретических  знаний при решении задач по преобразованию функций:  симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, относительно прямой у = х. Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: 3)     Постройте график симметричный графику функции у=f (x) относительно прямой у = х 7.53.  Дан график функции y=f(x).Постройте график h(x) = f(-x) +2 Теоретический материал: Элементарные преобразования графиков функций — термин, используемый в школьной программе для обозначения линейных преобразований функции или еёаргумента вида . Применяется также для обозначений операций с использованием модуля. Общий вид функции Преобразования Симметричное отражение графика относительно оси ординат. Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс. ·        При  — график остаётся без изменений, ·        при  — график симметрично отражается относительно оси абсцисс. ·        При  — график остаётся без изменений, ·        при  — график симметрично отражается относительно оси ординат. Геометрические преобразования графиков функции № Функция Преобразование Графики 1 y = −ƒ(x) Сначала строим график функции ƒ(x), а затем симметрично отображаем его относительно оси OX. y = − (x2) y = x2 → − (x2) 2 y = ƒ(−x) Сначала строим график функции ƒ(x), а затем симметрично отображаем его относительно оси OY. y = √ (−x) y =√(x) → √ (−x) Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Преобразования графика функции. Цель: Закрепление  теоретических  знаний при решении задач по преобразованию функций: параллельный перенос. Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Теоретический материал: Элементарные преобразования графиков функций — термин, используемый в школьной программе для обозначения линейных преобразований функции или еёаргумента вида . Применяется также для обозначений операций с использованием модуля. Общий вид функции Преобразования Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на  единиц ·        вправо, если ; ·        влево, если . Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на  единиц ·        вверх, если , ·        вниз, если . Геометрические преобразования графиков функции № Функция Преобразование Графики 3 y = ƒ(x) +A A - const Сначала строим график функции ƒ(x), а затем, если А>0 поднимаем полученный график на А единиц вверх по оси OY. Если А<0, то опускаем вниз. y = x2 → x2 +1 y = x2 → x2 –1 4 y = ƒ(x −а) Сначала строим график функции ƒ(x), а затем, если а>0, то график функции смещаем на а единиц вправо, а если а<0, то на а единиц влево. "−" − → "+" − ← y = x2 → (x + 1)2 y = x2 → (x -1)2 Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Преобразования графика функции. Цель: Закрепление  теоретических  знаний при решении задач по преобразованию функций:   растяжение и сжатие вдоль осей координат Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: Задание1. Задание 2. Постройте график функции y=sin (3x),y= 2cosx Теоретический материал: Элементарные преобразования графиков функций — термин, используемый в школьной программе для обозначения линейных преобразований функции или еёаргумента вида . Применяется также для обозначений операций с использованием модуля. Общий вид функции Преобразования ·        При  — сжатие графика к оси ординат в  раз, ·        при  — растяжение графика от оси ординат в  раз. ·        При  — растяжение графика от оси абсцисс в  раз, ·        при  — сжатие графика к оси абсцисс в  раз.   Геометрические преобразования графиков функции № Функция Преобразование Графики 1 y = K ƒ(x) k − const k>0 Сначала строим график функции ƒ(x), а затем, если K>0, то растягиваем полученный график в K раз вдоль оси OY↕. А если 0< K<1, то сжимаем полученный график в 1 ∕ K раз вдоль оси OY. ↓↑ y = sin(x) → 2sin(x) y = sin(x) → Ѕ sin(x)  2 y = ƒ(к x ) k − const k>0 Сначала строим график функции ƒ(x), а затем, если к >1, то сжимаем полученный график в к раз вдоль оси OХ. А если 0< к<1, то растягиваем полученный график в 1∕ к раз вдоль оси OХ. к >1 − →← 0< к<1 − ←→ ƒ( x ) → ƒ(к x ) y = sin(x) → sin(2x) y = sin(x) → sin (Ѕ x) Сжатие графика функции к оси ординат Пример 1Построить график функции . Сначала изобразим график синуса, его период равен : К слову, чертить графики тригонометрических функций вручную – занятие кропотливое, поскольку и т.д., то есть на стандартной клетчатой бумаге аккуратным нужно быть вплоть до миллиметра, даже до полумиллиметра. Теперь поиграем на бесконечно длинном баяне. Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к осив 2 раза: То есть, график функции получается путём сжатия графика к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже уполовинился: В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку: Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так. Пример 2Построить график функции «Чёрная гармошка» сжимается к осив 3 раза: Итоговый график проведён красным цветом. Исходный период косинуса закономерно уменьшается в три раза: (отграничен жёлтыми точками). Растяжение графика функции от оси ординат Это противоположное действие, теперь баян не сжимается, а растягивается. Случай имеет место, когда АРГУМЕНТ функции умножается на число . Пример 3Построить график функции Берём в руки нашу «бесконечную гармошку»: И растягиваем её от осив 2 раза: То есть, график функции получается путём растяжения графика от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: , он толком даже не вместился на данный чертёж. Операции сжатия/растяжения графиков, разумеется, выполнимы не только для тригонометрических функций. С помощью геометрических преобразований графика функции f(x) может быть построен график любой функции вида , где  - коэффициенты сжатия (при ) или растяжения (при ) вдоль осей oy и ox соответственно, знаки «минус» перед коэффициентами  и  указывают на симметричное отображение графика относительно координатных осей, а и b определяют сдвиг относительно осей абсцисс и ординат соответственно. Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции: · Первый вид - масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат. На необходимость масштабирования указывают коэффициенты  и  отличные от единицы, если , то происходит сжатие графика относительноoy и растяжение относительно ox , если , то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс. · Второй вид - симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей. На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и  (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается. · Третий вид - параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy. Это преобразование производится В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а – вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b| единиц, при отрицательном b – вниз на |b| единиц. Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Обратные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции. Цель: Закрепление  теоретических  знаний по теме обратные функции и их графики.,  Обратные тригонометрические функции. Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ С ВЫБОРОМ ОТВЕТА Теоретический материал:     Обратными тригонометрическими функциями называют функции:      Графики этих функций изображены на рисунках 1, 2, 3, 4.       Рис. 1. График функции   y = arcsin x       Таблица значений функции   y = arcsin x x – 1  0  1 y = arcsin x 0       Рис. 2. График функции   y = arccos x       Таблица значений функции   y = arccos x x – 1  0   1  y = arccos x π 0       Рис. 3. График функции   y = arctg x       Таблица значений функции   y = arctg x                x – 1 0  1  y = arctg x  0        Рис. 4. График функции   y = arcctg x       Таблица значений функции   y = arcctg x x – 1 0 1 y = arcctg x Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме: Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства. Цель: Закрепление  теоретических  знаний при решении показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств  графически. Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, линейка, карандаш, ластик. Время выполнения: 1 час. Содержание: Теоретический материал: Пример 1. Графически решить уравнение:  Решение: Построим графики функций  (Рис. 1). Графиком функции  является парабола, проходящая через точки  График функции  – прямая, построим её по таблице.        0        3 0 Графики пересекаются в точке  Других точек пересечения нет, т.к. функция  монотонно возрастает, функция  монотонно убывает, а, значит, их точка пересечения является единственной. Ответ:  Графическое решение систем уравнений Решить графически систему уравнений - это значит найти координаты общих точек графиков уравнений, построенных в одной системе координат. Пример 2 1.    - уравнение окружности с центром в точке с координатами (-1;-2) и радиусом  r = 2 2. у = 0 – уравнение оси Ох Общая точка:  А(-1:0), значит х  =  -1,     у  =  0. Проверка: х=-1, у=0, то система примет вид:         ,        ,    Значит, (-1;0) решение системы Ответ:(-1;0) А(-1;0)   Пример 3. Решить неравенство a.                    b.  Решение: a. Чтобы выполнялось неравенство, график функции  должен располагаться над прямой  (Рис. 1). Это выполняется при  b. В этом случае, наоборот, парабола  должна находиться под прямой. Это выполняется при  Ответ: a. b.                                                            Пример 4. Решить неравенство  Решение: Построим графики функций (Рис. 2). Найдем корень уравнения  При  нет решений. При  существует одно решение  . Чтобы выполнялось неравенство  гипербола  должна располагаться над прямой  Это выполняется при . Ответ:  Пример 4. Решить графически неравенство: a.  b.  Решение. Область определения:  Построим графики функций  для  (Рис. 3). a. График функции  должен располагаться под графиком  это выполняется при  b. График функции  расположен над графиком  при  Но т.к. в условии имеем нестрогий знак, важно не потерять изолированный корень  Ответ: a. b.  Графическое решение системы неравенств Решить графически систему неравенств – это значит найти область решений, координаты которой будут удовлетворять обеим неравенствам. Пример 5 у = х2   - квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз у = 2х  -  линейная функция, график – прямая/ 1.    А(0;-1), неравенство примет вид:       0-1<0(истинно) , значит координаты  всех точек внутренней области параболы без границы являются решениями первого неравенства. 2.   В(-1;0), неравенство примет вид:       0+2>0(истинно), значит координаты всех точек области над прямой без границы являются решениями второго неравенства. Вывод: Т.о, координаты всех точек во внутренней области параболы, но лежащие выше прямой без границы являются решениями системы неравенств. Требования к содержанию отчета по работе: Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия. В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Список используемой литературы:

Основные источники:

1. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

2. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

3. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

Дополнительные источники

1. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа,геометрия: Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

2. Гусев В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В.  Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

3. Математика: алгебра и начала анализа, геометрия: учебное пособие для студентов учреждений проф. Образования / М.И. Башмаков. – М. : Издательский центр «Академия», 2016. 

4. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования/М.И. Башмаков. – М. : Издательский центр «Академия», 2014.

5. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин] – М. : Просвещение, 2012.

6. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни//[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин] – М. : Просвещение, 2012.

7. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – М. : Просвещение, 2012.

Интернет-ресурсы

1.      www.fcior.edu.ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы).

2.      www.school-collection.edu.ru (Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов).