Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по организации практической работы по математике (2 курс)

Методические рекомендации по организации практической работы по математике (2 курс)

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:













Методические указания

по организации и проведению практической работы студентов

по учебной дисциплине

математика


для специальности:

42.02.03 Педагогика дополнительного образования

по программе базовой подготовки



















Методические указания по организации и проведению практической работы студентов по дисциплине математика



ВВЕДЕНИЕ

Материалы к практическим занятиям по дисциплине «Математика» предназначены для студентов специальности 42.02.03 Педагогика дополнительного образования. Материалы могут быть использованы при подготовке и организации практических занятий, при подготовке к текущему и итоговому контролю.

Данная дисциплина входит в раздел ЕН.00 «Математический и общий естественнонаучный цикл» по направлению 42.02.03 Педагогика дополнительного образования.

Дисциплина является практико-ориентированной. Компетентности, сформированные в результате освоения программы, необходимы при изучении профессиональных модулей. Темы, входящие в программу, могут осваиваться в составе МДК для совершенствования практических навыков и дальнейшего формирования общих и профессиональных компетентностей.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

- применять математические методы для решения профессиональных задач;

- решать текстовые задачи;

- выполнять приближенные вычисления;

- проводить элементарную статистическую обработку информации и результатов исследований, представлять полученные данные графически.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

- понятие множества, отношения между множествами, операции над ними;

- понятия величины и ее измерения;

- историю создания систем единиц величины;

- этапы развития понятий натурального числа и нуля;

- системы счисления;

- понятие текстовой задачи и процесса ее решения;

- историю развития геометрии;

- основные свойства геометрических фигур на плоскости и в пространстве;

- правила приближенных вычислений;

- методы математической статистики.


Обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 48 часов из них 26 часов практических работ.







Перечень рекомендуемой литературы

(в том числе Интернет-ресурсы)





  1. Стойлова Л.П. Математика:учебник.–М.:Издательский центр «Академия», 2010.

  2. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник. - М.: Мастерство, 2003.

  3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», - М., 2003.

  4. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А., Герасимова И.А., Житников И.В. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. - Ростов н/Д: Феникс, 2001.

  5. Смолеусова Т.В.. Основы начального курса математики в схемах и таблицах. Учебно-методическое пособие. - Учебно-методическое пособие. - Новосибирск. Издательство НИПК и ПРО., 2002.

  6. Моро М.И., С.И. Волкова, С.В. Степанова. Математика. Учеб.для 1кл. нач. шк. В 2 ч. - М.: Просвещение, 2010.

  7. Моро М.И., С.И. Волкова, С.В. Степанова. Математика. Учеб.для 2кл. нач. шк. В 2 ч. - М.: Просвещение, 2010.

  8. Моро М.И., С.И. Волкова, С.В. Степанова. Математика. Учеб.для 3кл. нач. шк. В 2 ч. - М.: Просвещение, 2010.

  9. Моро М.И., С.И. Волкова, С.В. Степанова. Математика. Учеб.для 4кл. нач. шк. В 2 ч. - М.: Просвещение, 2010.

Интернет ресурсы:



  1. Пакет прикладных программ по курсу математики: ОС Windows, ХР - сервисная программа, MSOffice, ХР - сервисная программа

  2. Интернет - ресурс «Парадоксы теории множеств». Форма доступа: www.edu.ru/modules.php





Раздел 1 Множества и операции над ними.
Практическое занятие №1 (2ч)
Отношения между множествами



Цель: формирование умений задавать множества указанием характеристического свойства и перечислением элементов; выделять подмножества, устанавливать отношения между множествами, изображать их с помощью кругов Эйлера.



Требования к знаниям и умениям:

Знать а) Понятия: - множество;

- элемент множества;

- характеристическое свойство элементов множества;

- подмножество;

- равные множества;

- пустое множество;

- конечное, бесконечное множество.

б) Обозначения: - а Î А, b Ï A (для записи предложений «а принадлежит множеству А» и b не принадлежит множеству А»);

- А = {1, 2, 3, 4}( для задания множества путем перечисления всех его элементов);

- A = {x / x Î N, x £ 4} (для задания множества путем указания характеристического свойства его элементов);

- А Ì В (для записи предложения «А подмножество В);

- А = В (для записи предложения «Множества А и В равны»;

- обозначения числовых множеств: N, Z, Q, I, R.

Уметь: задавать множества, выделять подмножества, устанавливать отношения между множествами, изображать отношения между множествами с помощью кругов Эйлера



Профессиональные компетентности:

- Умение определять и формулировать цели деятельности,

- умение планировать деятельность,

- умение осуществлять поисковую деятельность,

- умение осуществлять аналитико-синтетическую деятельность, сравнивать, обобщать,

- умение логически доказывать, опровергать,

- умение кодировать и декодировать информацию;

- умение отбирать информацию в соответствии с целью;

- умение транслировать информацию.

Терминологический минимум: множество, элемент множества, способ задания множества, подмножество, равные множества, круги Эйлера.



Вопросы к теме:

- Раскройте содержание понятия “множество”, “элемент множества”.

- Какие бывают множества?

- Назовите способы задания множеств.

- Какое множество называется подмножеством?

- Какие множества называются равными?

- Какие существуют отношения между множествами? Как каждое из отношений можно изобразить с помощью кругов Эйлера?



Задание 1: Объясните, почему множество Х= {2,4,6} является подмножеством множества Y={1,2,3,4,5,6,7}. Изобразите множества Х и Y с помощью кругов Эйлера.



Задание 2: Даны два множества: А={2,4,6} и В= {0,2,4,6,8}. Верно ли, что:

а) множества А и В пересекаются;

в) множество А является подмножеством множества В;

с) множество Р={4,0,6.8,2} равно множеству В?



Задание 3: Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами:

а) С- множество двузначных чисел,

D={3, 43, 34, 56, 103};

в) С- множество двузначных чисел,

D- множество четных натуральных чисел;

с) С- множество двузначных чисел,

D- множество трехзначных чисел;

d) С- множество двузначных чисел,

D- множество натуральных чисел, не меньших 10.



Задание 4: А – множество выпуклых четырехугольников,

В - множество параллелограммов,

С- множество прямоугольников,

D- множество ромбов,

F- множество квадратов.

Изобразите с помощью кругов Эйлера отношения между множествами:

а) А и В,

в) В и С,

с) С и D,

d) С, D и F,

е) А, В, С, D и F.



Задание 5: Какое из данных множеств является подмножеством другого:

а) А- множество натуральных чисел, кратных 3,

В- множество натуральных чисел, кратных 6,

С- множество натуральных чисел, кратных 3.

в) А- множество треугольников,

В- множество прямоугольных треугольников,

С- множество остроугольных треугольников.



Задание 6: Установите, с какими теоретико-множественными понятиями встречаются учащиеся начальных классов, выполняя задания:

а) запиши по порядку числа от 10 до 19. Подчеркни и прочитай четные числа;

б) из ряда чисел от 1 до 20 выпиши по порядку числа, которые делятся без остатка на 5;

в) из чисел 27, 45, 38, 62, 53, 72, 8, 48 выпиши те, которые при делении на 5 дают в остатке 3.



Задание 7: Изобразите отношение между множествами N, Z, Q и R с помощью кругов Эйлера.

Материал для самостоятельной работы:

  1. Приведите примеры заданий из начального курса математики, при выполнении которых рассматриваются отношения между множествами.

  2. Составьте классификационные схемы для объема понятий (не менее трех).



КИМ для самоконтроля:

  1. Известно, что элемент а содержится в множестве А и в множестве В. Следует ли отсюда, что: 1) АÌВ; 2) ВÌА; 3) А=В?

  2. Известно, что каждый элемент множества А содержится в множестве В. Следует ли отсюда, что: 1) АÌВ; 2) ВÌА; 3) А=В?

  3. Дано множество А={2,4,6,8}. Образуйте все подмножества, содержащие два элемента.



Практическое занятие №2 (2ч)
Операции с множествами

Цель: формирование умений выполнять операции с множествами: объединение, пересечение, разность (дополнение), декартово произведение. Формирование умений строить график декартова произведения числовых множеств.

Требования к знаниям и умениям:

  • Знать а) Понятия:

  • пересечение множеств;

  • объединение множеств;

  • вычитание множеств;

  • дополнение подмножества;

  • декартово произведение множеств.

б) Обозначения:

- А Ç В = {x / x Î A и x Î B} (для записи определения пересечения множеств А и В);

- А È В = {x / x Î A или x Î B}(для записи определения объединение множеств А и В);

- А \ В = {x / x Î A и x ÏB}(для записи определения разности множеств А и В);

- В¢А – (для записи дополнения множества В до А);

- А ´ В = {(x, у) / x Î A и у ÎB}(для записи определения декартова произведения множеств А и В).

в) Свойства операций:

- коммутативность пересечения и объединения

Ç В = В Ç А, А È В = В È А, "А, В);

- ассоциативность пересечения и объединения

Ç В) Ç С = А ÇÇ С),

È В) È С = А ÈÈ С) "А, В, С;

- дистрибутивность пересечения относительно объединения

È В) Ç С = (А Ç С) ÈÇ С) "А, В, С;

- дистрибутивность объединения относительно пересечения

Ç В) È С = (А È В) ÇÈ С) "А, В, С;

- дистрибутивность декартова произведения относительно объединения и вычитания (А È В) ´ С = (А ´ С) È´ С), (А \ В) ´ С = (А ´ С) \ (В ´ С) "А, В, С;



Уметь: -выполнять операции объединения, пересечения, разности (дополнения), декартова произведения множеств;

- строить график декартова произведения числовых множеств.

Профессиональные компетентности:

- Умение определять и формулировать цели деятельности;

- умение планировать деятельность;

- умение осуществлять поисковую деятельность;

- умение осуществлять аналитико-синтетическую деятельность, сравнивать, обобщать;

- умение логически доказывать, опровергать;

- умение кодировать и декодировать информацию;

- умение транслировать информацию.



Терминологический минимум: объединение множеств, пересечение множеств, разность (дополнение) множеств, декартово произведение множеств, график декартова произведения множеств.



Вопросы к теме:

-Сформулировать определение,

-записать его схематически,

-привести пример.

1. Определение подмножества.

2. Определение равных множеств

3. Определение пересечения множеств.

4. Определение объединения множеств

5. Определение разности множеств.

6. Определение дополнения множеств.

7. Определение декартова произведения множеств.



Задание 1:Даны множества А и В. Найти: АÇ В, АÈВ, А/ В, В/ А,

а) А={a, b, c, d, e, f}, В={ b, e, f, к};

б) А={26, 39, 5, 58, 17, 81}, В={17, 26, 58};

в) А={26, 39, 5, 58, 17, 81}, В={17, 26, 58, 5, 39, 81}.



Задание 2: М - множество однозначных чисел, Р – множество нечетных натуральных чисел. Найти:

МÇ Р, МÈР, М/ Р, Р/ М.



Задание 3:Найти: N Ç Z, Z Ç Q, Q Ç R, QÇ I, N È Z, Z È Q, Q ÈR, Q È I, R /Q, R / I.



Задание 4: Найти: АÇ В, АÈВ, А/ В, В/ А,

а) А= [2; 6] и В= (-3; 4];

б) А= (-1; 6) и В= [-3; 8];

в) А= (-2; 2) и В= (3;6).

г) А= (3: ∞) и В= (-∞; 4].



Задание 5:Сформулируйте характеристические свойство элементов множеств

а) АÇВÇС, б) АÈВÈС, с) АÇВÈС,

д) АÈВÇС, е) А/ÈС), ж) А/В/С,

если А-множество студентов педагогического колледжа, В- множество студентов группы 101, С-множество спортсменов в педагогическом колледже.

Задание 6: Докажите, что для любых множеств А,В и С справедливы равенства:

а) АÇ/С)=(АÇВ) /ÇС)
б) (А
ÈВ)/С=(А/С)È/С).



Материал для самостоятельной работы:

1. Приведите примеры заданий из начального курса математики, при выполнении которых используются операции с множествами.

2. Составьте структурно-логическую схему по теме «Множества и операции над ними».



КИМ для самоконтроля:

1. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие утверждения:

а) 5 Î А Ç В; б) 7 Ï А Ç В;

в) 5 Î А È В; г) 7 Ï АÈ В;

д) 5 Î А / В; е) 7 Ï А / В.

2. Известно, что хÎА. Следует ли из этого, что хÎ А Ç В?

3. Известно, что хÎ А Ç В.Следует ли из этого, что хÎ А?

4. Известно, что хÎА. Следует ли из этого, что хÎ А È В?

5. Известно, что хÎ А È В.Следует ли из этого, что хÎ А?

6 Известно, что хÎ А / В. Следует ли из этого, что хÎ А? хÎ В?


Практическое занятие №3 (2ч)
Число элементов в объединении, разности и декартовом
произведении конечных множеств.
Решение комбинаторных задач
.



Цель: - научить определять число элементов в объединении и разности конечных множеств,

- научить решать простейшие комбинаторные задачи.



Требования к знаниям и умениям:

Знать: - научить использовать правило суммы, правило произведения, правило подсчета числа различных размещений из m по k элементов (с повторением и без повторений) : правило подсчета числа сочетаний из m по k элементов (без повторений), правило подсчета числа перестановок из k элементов без повторений при решении комбинаторных задач.

- способы определения числа элементов в объединении и разности конечных множеств, в случаях: а) когда множества не пересекаются, б) когда множества пересекаются;

- способы определения числа элементов в декартовом произведении конечных множеств.

Уметь: - разными способами (по формуле или с помощью кругов Эйлера) определять число элементов в определении и разности конечных множеств,

- разными способами (по формуле или с помощью построения дерева возможных вариантов) определять количество элементов в декартовом произведении конечных множеств.



Профессиональные компетентности:

- Умение определять и формулировать цели деятельности;

- умение планировать деятельность;

- умение осуществлять поисковую деятельность;

- умение осуществлять аналитико-синтетическую деятельность, сравнивать, обобщать;

- умение логически доказывать, опровергать;

- умение кодировать и декодировать информацию;

- умение транслировать информацию.

Терминологический минимум: правило суммы, правило произведения, способ выбора объектов, дерево возможных вариантов, размещение из m по k элементов (с повторением и без повторений), сочетание из m по k элементов (без повторений),число элементов множества, дерево возможных вариантов.



Вопросы к теме:

1. Какими способами можно вычислить количество элементов в объединении конечных непересекающихся множеств?

2. Какими способами можно вычислить количество элементов в объединении конечных пересекающихся множеств?

3. Какими способами можно вычислить количество элементов в разности конечных множеств?

4. Какими способами можно вычислить количество элементов в декартовом произведении конечных множеств?

5. Сформулируйте правило суммы;

6.Сформулируйте правило произведения;

7. Запишите формулу для подсчета числа различных размещений из m по k элементов с повторениями;

8. Запишите формулу для подсчета числа сочетаний из m по k элементов без повторений;

9. Запишите формулу для подсчета числа перестановок из k элементов.

Задание 1: Из 50 учащихся 37 изучают английский язык, 17- немецкий, Сколько человек изучают оба языка?

Задание 2: В классе несколько мальчиков собирали марки. 15 человек собирали марки СССР, 11 человек иностранные марки, из них 6 человек собирали и марки СССР, и иностранные марки. Сколько мальчиков в классе собирали марки?

Задание 3: Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8 занимаются и в той и в другой секции. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секции?



Задание 4: Из 110 студентов английский язык изучают 44 человека, немецки50, французский 49, английский и немецкий- 13, английский и французский- 14, немецкий и французский- 12. Все три языка изучают 5 учащихся. Сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка?



Задание 5: У девочки три ленты голубая, красная и белая. Девочка должна выбрать две ленты. Сколькими способами она может осуществить этот выбор.



Задание 6: У Алексея четыре шара: зеленый, желтый, красный и синий.

а) Сколькими способами он может выбрать три шара?

б) Сколькими способами он может выбрать два шара?



Задание 7: Набор составляется из книги и блокнота. Сколько различных наборов можно составить, если имеется 20 видов различных книг и 15 видов различных блокнотов?



Задание 8: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3 и 4, если цифры в записи числа: 1) повторяются, 2) не повторяются?



Задание 9: Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3, 4 и 0, если цифры в записи не повторяются?



Материал для самостоятельной работы:

1.Подобрать комбинаторные задачи, которые можно использовать в начальной школе для организации внеклассной работы по математике.



КИМ для самоконтроля:

1.В группе 30 учащихся, из них 18 увлекается математикой, а 17 – русским языком. Каким может быть число учащихся, увлекающихся обоими предметами? Увлекающихся хотя бы одним предметом?

2. За границу выехала группа туристов из 100 человек. 10 из них не знали ни немецкого, ни французского языка, 75 знали немецкий язык, 83 – французский. Сколько туристов владело обоими иностранными языками?

3.В классе изучается 10 предметов. В понедельник 5 уроков, причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

4.Для ведения собрания из 36 человек надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?



Практическое занятие №4 (2ч)
Контрольная работа



Цель: проверить сформированность предметных компетентностей по теме «Множества и операции над ними».

Примерное содержание контрольной работы.

1.Укажите характеристические свойства множества:

а) Вhello_html_m2c0134f2.gifСhello_html_m3f510064.gifА , в)А\ (Сhello_html_m2c0134f2.gifВ)

если А = [2; 7], В = (-3; 3] , С = [2;4)



2. I- множество студентов группы 101, А- множество блондинок в группе 101, В- множество спортсменок этой группы, С- множество студентов этой группы, посещающих студию танцев.

а) Изобразите множества I, A ,B и C с помощью кругов Эйлера,

в) Отметьте штриховкой множество Х = (Вhello_html_m3f510064.gifС)\А и укажите его характеристические свойства.



3. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения X hello_html_m7e6c7897.gifY, если

Х={x\ х hello_html_m7cb53dec.gifR, 4hello_html_3813d461.gif х hello_html_3813d461.gif7},

У= {у\уhello_html_m7cb53dec.gifZ, -2hello_html_3813d461.gif у hello_html_3813d461.gif2}.



4. Докажите, что для любых множеств А, В и С имеет место равенство : (А\ В)hello_html_m3f510064.gif С = ( Аhello_html_m3f510064.gifC)\( Вhello_html_m3f510064.gifС).



5.О каких теоретико-множественных понятиях идет речь в задании: “Запиши по порядку числа от 10 до 20, подчеркни четные числа.



Раздел 2 Отношения на множестве.
Соответствия между множествами.

Практическое занятие №1 (2ч)
Свойства отношений



Цель: научить определять свойства отношений, строить графы отношений на множестве, определять виды отношений: порядка и эквивалентности.



Требования к знаниям и умениям:

Знать:

- определения понятий: отношения на множестве, рефлексивности отношения, симметричности отношения, антисимметричности отношения, транзитивности отношения, связанности отношения, отношения порядка, упорядоченного множества, отношения эквивалентности.

-теорему о взаимосвязи между отношением эквивалентности на множестве Х и разбиением его на классы.

Уметь:

- Умение определять свойства отношений на множестве,

- умение строить графы отношений на множестве,

- умение определять отношения порядка и отношения эквивалентности,

- умение определять классы эквивалентности.



Профессиональные компетентности:

- Умение определять и формулировать цели деятельности;

- умение планировать деятельность;

- умение осуществлять поисковую деятельность;

- умение осуществлять аналитико-синтетическую деятельность, сравнивать, обобщать;

- умение логически доказывать, опровергать;

- умение отбирать информацию в соответствии с целью;

- умение кодировать и декодировать информацию;

- умение структурировать, обобщать, систематизировать информацию;

- умение транслировать информацию.



Терминологический минимум: отношение на множестве, свойства отношений, рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связанность, отношение порядка, упорядоченное множество. Отношение эквивалентности, классы эквивалентности.



Вопросы к теме:

Сформулировать определение,

-записать его в схематическом виде,

- привести пример.

1.Определение бинарного отношения.

2.Свойство рефлексивности.

3.Ссвойство транзитивности.

4.Свойство симметричности.

5.Свойство антисимметричности.

6.Свойство связанности.

7.Отношение эквивалентности.

8.Отношение порядка





Задание 1: Отношение «не больше» задано на множестве Х={0,1,2,3}. Постройте граф этого отношения. Определите свойства отношения.



Задание 2: На множестве В={3, 6, 9, 12} заданы отношения Т и Р;

Т={(3,3),(6,3),(9,3),(12,3),(12,6),(6,6),(9,9),(12,12)};

Р={(6,3),(9,6),(12,9)}.

Определите свойства отношений Т и Р.



Задание3: На множестве отрезков заданы отношения:

Р: «отрезок х равен отрезку у»;

Q: «отрезок х длиннее отрезка у»,

R: « отрезок х короче в два раза отрезка у».

Укажите среди данных отношений:

а) рефлексивное отношение; б) симметричное отношение; в)антисимметричное отношение; г) симметричное и транзитивное отношение; д) рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение.



Задание 4: На множестве людей заданы отношения: «быть старше по возрасту», « быть сестрой», «жить в одном и том же доме», «быть знакомым». Выясните, какие из этих отношений упорядочивают это множество.



Задание5: Дано множество числовых выражений А={72-5; 19+8; 48:6; 37∙2}, на котором задано отношение Р: «значение выражения х не больше значения выражения у».

а) Постройте граф отношения Р.

б) Докажите, что отношение Р упорядочивает множество А.



Задание 6: Отношение S: «число х имеет тот же остаток при делении на 3, что и число у» задано на множестве Х={x\ xÎN, x≤8}.

а) Постройте граф отношения S.

б) Выясните, какие из чисел множества Х удовлетворяют условию: хР4, 6Ру, хР3.

в) Докажите, что S - отношение эквивалентности.

г) Найдите классы эквивалентности.



Задание 7: Множество пар, находящихся в отношении Т между элементами множества {1,2,3}, таково: {(1,2), (1,1), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Можно ли утверждать, что Т – отношение эквивалентности?



Материал для самостоятельной работы:

1. Подобрать задания из школьных учебников математики, в которых устанавливаются отношения на множестве.



КИМ для самоконтроля:

1.Учащиеся в начальной школе решают такие задачи:

а) Из следующих дробей выбери пары равных дробей и запиши равенства: 1\2, 1\5, 3\5, 3\4, 4\8, 6\10, 1\4, 2\10, 6\8, 2\8.

б) выпиши величины, равные между собой: 8м36см, 140т, 6ц50кг, 836см, 2кг 10г, 50руб, 2м8дм, 19км600м, 140 000кг, 80ц, 2800мм, 8т, 650кг, 5000коп, 2010кг, 19600м.

Выясните, о каком отношении идет речь в каждом из этих заданий, на каком множестве оно рассматривается. Является ли это отношение отношением эквивалентности? Если да, то укажите классы эквивалентности.


Практическое занятие №2 (2ч)
Соответствия между двумя множествами



Цель: научить устанавливать соответствия между множествами, находить соответствие обратное данному, строить графы и графики соответствия.

Требования к знаниям и умениям:

Знать: а) определения понятий:

- соответствия;

- соответствие, обратное данному;

- взаимно-однозначное соответствие;

- равномощные множества;

- граф соответствия;

- график соответствия;

- счетное множество;

б) свойства:

- свойства графиков взаимно-обратных соответствий;



Уметь: - устанавливать соответствия между двумя множествами;

- получать соответствие, обратное данному;

- строить граф и график соответствия;

- устанавливать взаимно-однозначное соответствие;



Профессиональные компетентности:

- Умение определять и формулировать цели деятельности;

- умение планировать деятельность;

- умение осуществлять поисковую деятельность;

- умение осуществлять аналитико-синтетическую деятельность, сравнивать, обобщать;

- умение логически доказывать, опровергать;

- умение отбирать информацию в соответствии с целью;

- умение кодировать и декодировать информацию;

- умение структурировать, обобщать, систематизировать информацию;

- умение транслировать информацию



Терминологический минимум: соответствие между множествами, соответствие обратное данному, взаимно-однозначное соответствие, равномощные множества, график соответствия, граф соответствия, счетное множество.

Вопросы к теме:

-сформулировать определение.

-записать его в схематическом виде,

- привести пример:

1.Определение соответствия.

2.Соответствие обратное данному.

3.Взаимно- однозначное соответствие.

4.Равномощные множества.

5.Функциональное соответствие.



Задание 1:Даны множества: Х={2,5} и Y={3,6}. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какие из подмножеств задает соответствие: а) «меньше», б) «больше», в) «меньше на 1», г) « меньше в 3 раза»?



Задание2: Соответствие «число х в два раза больше числа у» рассматривается между множествами Х и Y. Каким будет его график, если:

а) Х={2,4,6,8}, Y=N;

б) Х=[2,8], Y=R;

в) Х= Y=R



Задание 3:Множества Х={1,3,4,6} и Y={0,1} находятся в соответствии S={(1,1),(3,0),(3,1),(4,0),(4,1),(6,1)}.Задайте соответствие S-1 и постройте на одном чертеже их графики.

Задание 4:Между множеством Х-углов треугольника АВС и множеством Y-его сторон задано соответствие Т- «угол х лежит против стороны у». Задайте соответствие Т-1, обратное соответствию Т, при помощи: а) предложения с двумя переменными; б) графа.



Задание 5:Задайте при помощи графа три соответствия между множествами Х ={a,b,c} и Y={0,1,2}, так, чтобы одно из них было взаимно-однозначным.



Задание 6: Х-множество прямоугольников, Y=N. Между элементами этих множеств установлено соответствие Р:»прямоугольник х имеет площадь, равную у». Постройте граф соответствия Р. Является ли оно взаимно-однозначным?

Задание 7:Докажите, что множество счетно, если:

а) А={9,10,11,12,……};

б) А={a\a=3n, nÎN};

c) А={a\a=n2, nÎN}.



Материал для самостоятельной работы:

1. Подобрать задания из школьных учебников математики, в которых устанавливаются соответствия между множествами.



КИМ для самоконтроля:

Покажите, что выполняя нижеприведенные задания, учащиеся начальных классов используют понятие равночисленности множества:

а) нарисуй, не считая, столько же квадратов и столько же отрезков, сколько треугольников;

hello_html_m691d1ecc.gifhello_html_4e3349fe.gifhello_html_2fa665e6.gif

hello_html_m43f15b9e.gifhello_html_5c24640e.gif



б) у Димы было 28 марок, а у Коли на 7 марок больше. Сколько марок у Коли?

Для детского сада купили 8 зеленых шаров , а красных на 3 меньше. Сколько купили красных шаров?

Практическое занятие №3 (2ч)
Функциональное соответствие.
Решение задач с пропорциональными величинами
.



Цель: на основе свойств прямой и обратной пропорциональности научить решать текстовые задачи с пропорциональными величинами.

Требования к знаниям и умениям:

Знать: а) определения понятий:

- числовая функция;

- область значений функции;

- область определения функции;

- график функции;

- прямая пропорциональность;

- обратная пропорциональность.

Уметь:

- задавать функцию с помощью формулы;

- определять свойства функций;

- строить графики элементарных функций;

- решать текстовые задачи с пропорциональными величинами на основе свойств прямой и обратной пропорциональности.



Профессиональные компетентности:

- Умение определять и формулировать цели деятельности;

- умение планировать деятельность;

- умение осуществлять поисковую деятельность;

- умение осуществлять аналитико-синтетическую деятельность, сравнивать, обобщать;

- умение логически доказывать, опровергать;

- умение отбирать информацию в соответствии с целью;

- умение кодировать и декодировать информацию;

- умение структурировать, обобщать, систематизировать информацию;

- умение транслировать информацию



Терминологический минимум: числовая функция, область определения функции, область значений функции, график функции, прямая пропорциональность, обратная пропорциональность.



Вопросы к теме:

-дайте определение числовой функции;

- дайте определение графика функции;

- как можно задать функцию;

-какая функция называется прямой (обратной) пропорциональностью;

- какими свойствами обладает прямая (обратная) пропорциональность?



Задание 1:Постройте график функции у=5-х, если ее область определения Х такова:

а) А={0, 1, 2, 3, 4, 5};

б) Х=[0;5];

в) Х=R



Задание 2: Функция f задана при помощи таблицы:



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



а) Укажите ее область определения и область значений.

б) Задайте функцию f при помощи формулы,

в) Постройте график функции f на координатной плоскости.

г) Докажите, что функция f возрастает на всей области определения.



Задание3: Известно, что функция f является прямой пропорциональностью, задана на множестве Х={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} и при х равном 3, значение функции равно 12.

а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.

б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?

в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «В 3 пакета разложили поровну 12кг муки. Сколько килограммов муки можно разложить в 6 таких пакетов?»



Задание4: Известно, что функция f является обратной пропорциональностью, задана на множестве Х={ 1, 2, 3, 5, 6, 10,15,30 } и при х равном 5, значение функции равно 6.

а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.

б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?

в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «Муку разложили в 10 пакетов по 3кг в каждый. Сколько получилось бы пакетов, если бы в каждый положили по 6кг муки?»



Задание 5: Дана задача: « Из 24м ткани сшили 8 одинаковых платьев. Сколько потребуется ткани на 16 таких же платьев?»

а) Покажите, что зависимость между величинами, о которых идет речь в задаче, может быть выражена формулой y = kx.

б) Учитель, проводя с детьми анализ этой задачи, спрашивает: «Если на 8 платьев израсходовали 24м ткани, то на 16 платьев израсходуется больше или меньше ткани?» Дети отвечают, что больше, так как 16 больше 8. О каком свойстве и какой функции в этом случае идет речь?



Задание 6: Одна сторона прямоугольника 3см, а другая – х см. Какова площадь (у см2) этого прямоугольника? Постройте график полученного соответствия при условии, что х≤6. Докажите, что это соответствие-функция.



Задание 7: Обоснуйте, используя определения прямой и обратной пропорциональности и их свойства, решение различными арифметическими способами следующих задач:

а) С участка собрали 6 мешков картофеля по 40кг в каждом. Этот картофель разложили в ящик по 20кг в каждый. Сколько ящиков потребуется?

б) Из куска ткани длиной 24м сшили 8 одинаковых костюмов. Сколько потребуется ткани на 32 таких костюма?



Материал для самостоятельной работы:

1. Подобрать задания из школьных учебников математики, в которых устанавливаются функциональное соответствие между множествами.



КИМ для самоконтроля:

Какие из нижеприведенных задач можно решить в начальной школе двумя способами:

а) Велосипедист ехал со скоростью 12км\ч и был в пути 2ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 4км\ч?

б) Из 100кг свеклы при переработке получается 16кг сахара. Сколько килограммов сахара получится из 3т свеклы?

в) Два опытных участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого участка 30м, ширина второго -40м. Найдите длину первого участка, если длина второго участка равна 75м.



Практическое занятие №4 (1ч)
Контрольная работа №2



Цель: проверить сформированность предметных компетентностей по теме «Множества и операции над ними».



Примерное содержание контрольной работы



1.На множестве Х= {5-2, 8-5, 9-7, 5-3., 6-4, 7-2} задано отношение R:”иметь одинаковое значение”.

а) Построить граф R.

б) Определить свойства отношения R.

в) Является ли R – отношением эквивалентности?

г) Назовите классы эквивалентности.

2. Можно ли упорядочить множество деревьев отношением «быть выше»?

3. Между множествами Х= {-1, 0, 1, 2, 3.} и Y = R задано соответствие М : “ х больше чем у в 2 раза”.

а) Задайте М в виде упорядоченных пар,

б ) Cформулируйте соответствие, обратное данному в виде предложения с двумя переменными,

в) Постройте графики соответствия и соответствия обратного данному.

г) Верно ли, что 2 М 1 ; 1М2 ?



Раздел 3 Натуральные числа и ноль

Практическое занятие №1 (1ч)
Теоретико-множественный смысл натурального числа,
нуля и отношения «меньше»
.



Цель: разъяснить теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше».



Требования к знаниям и умениям:

Знать:

- теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля;

- теоретико-множественный смысл отношений «равно» и «меньше»;

Уметь:

- объяснять теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше».

Профессиональные компетентности:

- Умение определять и формулировать цели деятельности;

- умение планировать деятельность;

- умение осуществлять поисковую деятельность;

- умение осуществлять аналитико-синтетическую деятельность, сравнивать, обобщать;

- умение логически доказывать, опровергать;

- умение отбирать информацию в соответствии с целью;

- умение кодировать и декодировать информацию;

- умение структурировать, обобщать, систематизировать информацию;

- умение транслировать информацию.



Терминологический минимум: теоретико-множественный смысл натурального числа, теоретико-множественный смысл нуля, теоретико-множественный смысл отношения «меньше».



Вопросы к теме:

Сформулируйте определения:

-натурального числа и нуля,

-отношения меньше (теоретико-множественый смысл),

- отношения меньше (на основе счета),

-отношения меньше (через сумму).



Задание 1:

-Прочитайте записи: n(A)=5, n(B)=1, n(C)=0.

-Запишите предложения, используя символы:

а) число элементов множества А равно 7,

б) множество В не содержит элементов.

-Найдите n(A), если А:

а) множество граней куба,

б) множество ребер куба,

в) множество вершин куба.



Задание 2: Почему на уроке, изучая число «четыре», можно использовать картинку с изображением четырех яблок, четырех тетрадей, а можно воспользоваться и другими примерами четырехэлементных множеств?



Задание 3: Объясните смысл равенства 3=3.



Задание 4: Объяснить разными способами, почему 2<5.



Задание 5: Какой подход к определению отношения «меньше» используется при ознакомлении младших школьников с неравенством 2<3, если выполняются следующие действия: возьмем два розовых кружка и три синих и каждый розовый кружок наложим на синий; видим, что синий кружок остался незакрытым, значит розовых кружков меньше синих, поэтому можно записать: 2<3.



Задание 6: Множество А равномощно собственному подмножеству множества В, множество В равномощно собственному подмножеству множества С, (A)=a, n(B)=b, n(C)=c. Какие высказывания истинны:

а) a< b< с;

б) a< с;

в) b≤с;

г) a≤ b.



Материал для самостоятельной работы:

1. Приведите примеры заданий из учебников математики для начальных классов, в которых отношение «меньше» («больше») рассматривается с теоретико-множественных позиций.



КИМ для самоконтроля:

1. Объяснить разными способами, почему 2<5.

2.Почему отношение «меньше» упорядочивает множество целых неотрицательных чисел, а отношение «непосредственно следовать за» нет?





Практическое занятие №2 (1ч)
Теоретико-множественный смысл суммы и разности.
Обоснование выбора действий в текстовых задачах.



Цель: разъяснить теоретико-множественный смысл суммы и разности. Научить обосновывать выбор действий в задачах на сложение и вычитание.



Требования к знаниям и умениям:

Знать:

- теоретико-множественный смысл суммы, разности;

- законы сложения и умножения.

Уметь:

- объяснять теоретико-множественный смысл выражений а + b, ab;

- обосновать выбор действий в текстовой задаче;

- дать теоретико-множественное истолкование законов сложения;

- применять законы действий для рациональных преобразований и вычислений.



Профессиональные компетентности:

- Умение определять и формулировать цели деятельности;

- умение планировать деятельность;

- умение осуществлять поисковую деятельность;

- умение осуществлять аналитико-синтетическую деятельность, сравнивать, обобщать;

- умение логически доказывать, опровергать;

- умение отбирать информацию в соответствии с целью;

- умение кодировать и декодировать информацию;

- умение структурировать, обобщать, систематизировать информацию;

- умение транслировать информацию.



Терминологический минимум: теоретико-множественный смысл суммы, теоретико-множественный смысл разности,



Вопросы к теме:

-сформулировать теоретическое положение;

-сделать его логический и математический анализ;

- составить план доказательства;

- доказать:

  1. Коммутативный закон сложения.

  2. Ассоциативный закон сложения.

  3. Условие существования разности.

  4. Правило вычитания числа из суммы.

  5. Правило вычитания суммы из числа.

Задание 1: Каков теоретико-множественный смысл суммы:

а) 3+5; б) 0+4; в) 0 +0.



Задание 2:

Дайте теоретико-множественное истолкование суммы k слагаемых и, используя полученный вывод, объясните теоретико-множественный смысл суммы:

а) 3 + 4 + 2; б) 1 + 2 + 3 + 4.



Задание 3: Объясните с теоретико-множественной точки зрения смысл выражений:

а) 8 – 3; б) 4 – 4; в) 4 – 0.



Задание 4: Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются сложением.

а) В коробке 8 синих карандашей и 4 красных. Сколько карандашей в коробке?

б) После того как из коробки взяли 4 карандаша, в ней осталось 5. Сколько карандашей было в коробке?

в) Из коробки взяли 2 красных карандаша, а синих на 3 больше. Сколько синих карандашей взяли из коробки?

г) ) Из коробки взяли 2 красных карандаша, это на 3 меньше, чем синих. Сколько синих карандашей взяли из коробки?



Задание 5: Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются вычитанием.

а) На столе стояло 8 чашек. 5 из них убрали в шкаф. Сколько чашек осталось на столе?

б) На столе стояло 8 чашек, после того как несколько чашек убрали, осталось 3. Сколько чашек убрали?

в) На столе стояло 8 чашек, а стаканов на 3 меньше. Сколько стаканов стояло на столе?

г) На столе стояло 8 чашек, это на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов стояло на столе?



Материал для самостоятельной работы:

Запишите, используя символы, и дайте теоретико-множественное истолкование.

а) правила вычитания суммы из числа и дайте его теоретико-множественное истолкование.

б) правила вычитания числа из суммы.

КИМ для самоконтроля:

1.Обоснуйте выбор действия в задаче:

а) Таня купила книгу за 28 рублей, у нее осталось 22рубля. Сколько денег было у Тани?

б) В одном автобусе ехало 38 человек, а во втором на 3 человека меньше, Сколько человек ехало во втором автобусе.



Практическое занятие №3 (1ч)
Теоретико-множественный смысл произведения и частного. Обоснование выбора действий в текстовых задачах.



Цель: разъяснить теоретико-множественный смысл произведения и частного. Научить обосновывать выбор действий в задачах на сложение и вычитание.



Требования к знаниям и умениям:

Знать:

- теоретико-множественный смысл произведения и частного;

- законы умножения и свойства частного.

Уметь:

- объяснять теоретико-множественный смысл выражений а ∙ b, a : b;

- обосновать выбор действий в текстовой задаче;

- дать теоретико-множественное истолкование законов умножения;

- применять законы действий для рациональных преобразований и вычислений,

- уметь выполнять деление с остатком.



Профессиональные компетентности:

- Умение определять и формулировать цели деятельности;

- умение планировать деятельность;

- умение осуществлять поисковую деятельность;

- умение осуществлять аналитико-синтетическую деятельность, сравнивать, обобщать;

- умение логически доказывать, опровергать;

- умение отбирать информацию в соответствии с целью;

- умение кодировать и декодировать информацию;

- умение структурировать, обобщать, систематизировать информацию;

- умение транслировать информацию.



Терминологический минимум: теоретико-множественный смысл произведения, теоретико-множественный смысл частного, деление с остатком.



Вопросы к теме:

-сформулировать теоретическое положение;

-сделать его логический и математический анализ;

- составить план доказательства;

- доказать:

  1. Коммутативный закон умножения.

  2. Ассоциативный закон умножения.

  3. Дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

  4. Условие существования частного.

  5. Правило деления суммы на число.

  6. Правило деления числа на произведение.



Задание 1: Объясните, почему 3∙2=6, 1∙4=4, 0∙2=0, 4∙1=4, 0∙2=0, используя определение произведения через:

1) сумму, 2) декартово произведение.



Задание 2: Используя теоретико-множественный смысл частного, объясните смысл равенств: 10:2=5, 5:1=5, 5:5=1.



Задание 3: Найти рациональным способом значение выражений:

9∙13+9∙87 (770+600):12

4∙17∙25 420:(7∙2)

297∙8 (8∙379)∙125

5∙(12+44)



Задание 4: Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются умножением.

а) Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев по 5 штук в ряду. Сколько деревьев они посадили?

б) Школьники посадили 5 берез, а лип в 4 раза больше. Сколько посадили лип?

в) Школьник посадили 5 берез, это в 4 раза меньше, чем лип. Сколько посадили лип?



Задание 5: Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются делением.

а) Школьники посадили в парке 20 деревьев по 5 штук в ряду. Сколько рядов деревьев они посадили?

б) Школьники посадили в парке 20 деревьев в 5 рядов поровну. Сколько деревьев в каждом ряду?

в )Школьники посадили 20 берез, а лип в 4 раза меньше. Сколько посадили лип?

г) Школьник посадили 20 берез, это в 4 раза больше, чем лип. Сколько посадили лип?



Материал для самостоятельной работы:

Запишите, используя символы, и дайте теоретико-множественное истолкование.

а) правила деления суммы на число и дайте его теоретико-множественное истолкование.

б) правила деления числа на произведение.



КИМ для самоконтроля:

1.Обоснуйте выбор действия в задаче:

а) В трех пучках по 5 редисок. Сколько редисок в пучках?

б) 15 редисок разложили в 3 пучка поровну. Сколько редисок в каждом пучке?

в) 15 редисок разложили по 5 в каждый пучок. Сколько получили пучков?









Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 07.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров314
Номер материала ДБ-113538
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх