Методические рекомендации по приближенным методам для студентов колледжей

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ПРИБЛИЖЕННЫМ МЕТОДАМ И ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ КОЛЛЕДЖЕЙ

СОДЕРЖАНИЕ

1 ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ДО N ЗНАЧАЩИХ ЦИФР. 3

2 СВЯЗЬ АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛА С КОЛИЧЕСТВОМ ВЕРНЫХ ЦИФР ЭТОГО ЧИСЛА.. 3

3  ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ. УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ КОРНЯ НА ОТРЕЗКЕ [A, B]. 4

4 АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.. 5

5 ПРИМЕРЫ ДЕЙСТВИЙ НАД ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ, В КОТОРЫХ ВСЕ ЗНАКИ ВЕРНЫЕ В УЗКОМ СМЫСЛЕ.. 6

7 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.. 9

1 ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ДО N ЗНАЧАЩИХ ЦИФР

Для округления числа до n значащих цифр следует отбросить все цифры, стоящие справа от n-ой значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разряда (в случае целого числа), заменяют их нулями. При этом выполняются следующие условия:

1)                     если первая отброшенная цифра больше 5, то к округляемому разряду прибавляют 1;

2)                     если первая отброшенная цифра меньше 5, то округляемый разряд остается без изменения;

3)                     если первая отброшенная цифра равна 5 и среди остальных отброшенных цифр есть отличные от нуля, то к округляемому разряду прибавляют 1.

4)                     если первая отброшенная цифра равна 5 и все остальные отброшенные цифры есть нули, то округляемый разряд остается неизменным, если он определен четной цифрой и увеличивается на 1, если он определен нечетной цифрой.

Очевидно, что при применении этого правила погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

2 СВЯЗЬ АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛА С КОЛИЧЕСТВОМ ВЕРНЫХ ЦИФР ЭТОГО ЧИСЛА

Связь абсолютной и относительной погрешности числа с количеством верных цифр этого числа выражается следующей теоремой.

Теорема. Если положительное приближенное число a имеет n верных десятичных знаков (значащих цифр) в узком смысле, то относительная погрешность этого числа удовлетворяет следующему неравенству

                                     (1)

Принимая во внимание, что d = D/a, получим

                                  (2)

Итак, по числу верных знаков, пользуясь формулами (1) и (2) можно определить его относительную и абсолютную погрешности.

Обратная задача — нахождение числа верных (в узком смысле) знаков приближенного числа по известной относительной погрешности решается с помощью формулы, полученной из (1):

В качестве числа верных знаков n берется ближайшее к  целое число.

3  ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ. УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ КОРНЯ НА ОТРЕЗКЕ [A, B].

Говорят, что корень x^* отделен на отрезке [a, b], если он содержится в данном отрезке, и если на этом отрезке нет других корней.

Пусть дано уравнение  f(x)=0          (1)     , причем функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, b].

Всякое значение x^*, такое что f(x^*)=0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции.

Число x^* называется корнем k-ой кратности, если это число обращает в нуль вместе с функцией f(x) и ее производные до (k-1) порядка включительно

f(x^*) = f^’¢(x^*) = f¢¢(x^*) = … f^(k-1)(x^*) = 0

Однократный корень называют простым.

Отделение корней является первым этапом приближенного решения алгебраических уравнений типа (1).

Процесс отделения корней основывается на следующей теореме, которая выражает условие существования корня на отрезке [a, b].

Теорема 1 (о существовании корня). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков (f(a)f(b)<0), то внутри отрезка [a, b] существует, по крайней мере, один корень уравнения f(x)=0, т. е. $ сÎ [a, b] (хотя бы одно), такое что f(с)=0.

При выполнении условий теоремы 1 корень может быть и неединственным. Для того чтобы корень был единственным, условия теоремы 1 следует дополнить и потребовать, чтобы функция f(x) была еще и монотонной на [a, b], тогда теорема 1 станет теоремой существования и единственности корня на отрезке [a, b].

Отделение корней проводят графически. Интервал [a, b] разбивают сеткой a=x₁<x₂<…x_n=b и вычисляют значения функции в узлах f(x_i). Если выполняется условие f(x_i)f(x_i+1)<0, то по теореме 1 интервал (x_i;x_i+1) содержит корень уравнения f(x)=0. Если нам известно, что функция f(x) монотонна, то корень заведомо единственный. Иначе этот вопрос следует уточнить, деля интервал на 2,4, … частей и проверяя знак f(x) в точках деления.

4 АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА

Приближенным числом a некоторого точного числа x называют число незначительно отличающееся от x. Если a<x, то а есть приближение с недостатком, если a>x, то — с избытком.

Модуль разности точного и приближенного значений называют абсолютной погрешностью числа D = |x - a|. Отсюда следует, что

a-D<x<a+D или x = a±D.

На практике точное значение той или иной величины часто бывает неизвестно, поэтому вводят оценку фактически неизвестной нам абсолютной погрешности, которую называют предельной абсолютной погрешностью приближения и обозначают D_а, D£D_а.

Знания только абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения. Для этого служит относительная погрешность d.

Относительная погрешность d приближенного числа a определяется формулой d = D/|x|. Так на практике точное значение x обычно неизвестно, то применяют формулу d = D/|a|. Отсюда D = d|a|.

Для точного значения имеем оценку

a - ad £ x £ a + ad.

5 ПРИМЕРЫ ДЕЙСТВИЙ НАД ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ, В КОТОРЫХ ВСЕ ЗНАКИ ВЕРНЫЕ В УЗКОМ СМЫСЛЕ

Опр. 1. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой, считая слева направо.

При вычислении используем теорему об алгебраической сумме нескольких приближенных слагаемых, согласно которой абсолютная погрешность суммы не превышает суммы абсолютных погрешностей слагаемых

Выполним действия, сохраняя запасные знаки, согласно общим правилам проведения вычислений:

1)                a = 17,83+1,07+1,1×10² = 128,9 (один запасной знак).

D₁=D₂=0,005, D₃= 0,5. D=0,505 =0,51, т.е. в результате последняя цифра сомнительная. Учитывая это, конечный результат: а = 129.

Выполним действия, сохраняя запасные знаки.

2)                153,21-81,329 = 71,881.

D₁= 0,005, D₂=0,0005, D=0,0055, следовательно, в результате две последняя цифра сомнительные, отбрасывая ее и применяя правило дополнения, получим, а =71,9. Применяя правило А.Н.Крылова можно не отбрасывать предпоследнюю сомнительную цифру, так как ее ошибка не превосходит 1; окончательно получим: конечный результат: а = 71,88.

При вычитании чисел, мало отличающихся друг от друга, происходит потеря точности.

3)                61,32-61,31 = 0,01.

D₁=D₂=0,005. D=0,01. d=0,01/0,01 = 1, следовательно, в результате нет ни одной верной цифры.

4)                35,2×1,748 = 61,60

Наибольшую относительную погрешность имеет число 35,2 D₁= 0,05, которое содержит три верных знака, D₂= 0,0005. Поэтому можно считать, что относительная погрешность результата не превосходит d=0,05/35,2 = 0,142% и содержит три верных цифры. Конечный результат: а = 61,60.

5)                65,3×78,5 = 5126,05

D₁=D₂=0,05, d₁= 0,05/65,3=0,00077; d₂= 0,05/78,5 = 0,00064,

d = d₁+d₂ = 0,14%.

В результате одна цифра сомнительная цифра, отбрасываем ее. Конечный результат: а = 5126,1

6)                7,62,314= 3,284

D₁= 0,05, D₂= 0,0005, d₁= 0,05/7,6 = 0,00658; d₂= 0,0005/2,314 = 0,000216

d = d₁+d₂ = 0,68%.

Наибольшую относительную погрешность имеет число 35,2, которое содержит три верных знака. Поэтому можно считать, что относительная погрешность результата не превосходит d=0,68% и содержит три верных цифры. Конечный результат: а = 3,28.

7)                1705 = 34

D₁=D₂=0,5,           d₁= 0,5/170 = 0,003;                d₂= 0,5/5 = 0,1,

d = d₁+d₂ = 0,103.

D = 34*0,103 =3,5 < 4. ×конечный результат: а = 34±3,5, последняя цифры сомнительная.

8)                40,5³ = 66430,125

D₁ =0,05,               d₁= 0,05/40,5 =0,00123;                   d = 3d₁ = 0,37%.

D = 0,00370*40,5 = 0,15, учтя погрешность округления, получим конечный результат: 40,5³  = 66430,1±0,2.

9)                 = 7,3966

D₁= 0,005,            d₁= 0,005/54,71 = 0,000091; d = d₁/2 = 0,000046.

D = 0,000046*54,71 = 0,0025, значит, учитывая погрешность округления конечный результат 7,40±0,01.

6.  ВЫЧИСЛИТЕ КОЛИЧЕСТВО ИТЕРАЦИЙ N ПОИСКА КОРНЯ X^* С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ e НА ОТРЕЗКЕ [A₀, B₀] В МЕТОДЕ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ

В результате выполнения алгоритма метода половинного деления или дихотомии получим систему вложенных отрезков , для которых имеют место условия:

f(a_n)f(b_n)<0                   (n = 0,1,2,3…),

,               (n = 0,1,2,3…),

a_n< x^* < b_n                      (n = 0,1,2,3…),

Процесс половинного деления продолжаем до тех пор, пока не выполнится одно из двух условий:

1)    мы обнаружим точку (середину какого-либо из построенных отрезков), которая будет искомым корнем (в практике вычислений такой случай является исключительно редким);

2)    придем к отрезку , в котором содержится искомый корень, причем длина этого отрезка  (1). Тогда в качестве приближенного значения искомого корня с требуемой точностью можно выбрать любой из концов отрезка , а лучше — их среднее арифметическое. Число n показывает, сколько итераций (половинных делений) нужно сделать для достижения заданной точности.

Следовательно, из условия (1) можно выразить n и в качестве N (числа итераций) взять целую часть найденного значения.

Разрешив неравенство  относительно n, получим , где квадратные скобки означают целую часть выражения

Ответ:        число итераций равно .

7 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 1 . Найти АП и ОП объема земного шара, если средний радиус Земли равен R = 5378±5 км, p=3,14. Определить количество верных знаков и записать результат.

Решение

Объем шара вычислим по формуле          V=pR³.

По условию D_R = 5, следовательно, d_R =D_R/R = 5/5378 = 0,00093 = 0,093%.

Так как точность числа p значительно превосходит точность R, то на погрешность вычислений она не влияет.

Считая числа 4/3 и p точными, определим предельную относительную погрешность R³ по формуле d = nd_R, которая и будет определять предельную относительную погрешность результата.

d = 3*0,00093 » 0,00279 =0,279% .

Абсолютная погрешность объема земного шара может быть найдена по формуле D = dV = 0,00279 * 651224571036 » 1 816 357 115.

Объем земного шара равен V =  » 651224571036 » 6512*10⁸ (км³), учитывая найденную абсолютную погрешность и оставляя запасные знаки.

Количество верных знаков в результате определим по формуле = 1 - lg(0,016734846) = 1 -1,776378288 = 2,776. Выбирая ближайшее целое, получим, что число верных знаков равно 3.

Итак, оставляя в ответе только верные знаки, получим V = 615×10⁹ км³.

Ответ:                 Объем земного шара равен V = 615×10⁹ км³;

                            D = 1 816 357 115, . d = 0,00279 =0,28%.

Очевидно, что точность измерения радиуса земного шара, приведенная в условии задачи является недостаточной, приводя к очень грубому результату.

ЗАДАЧА 2.  Каковы АП и ОП (в узком смысле) приближенных чисел

а) 36,1 и б) 0,08, полученных при округлении чисел?

Решение

Опр. 1. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой, считая слева направо.

В соответствие с этим определением в первом числе три значащие цифры, во втором — одна, так как первые два нуля служат для установления разрядов.

Найдем АП и ОП этих чисел

а)      36,1.

D = 0,05, d = 0,05/36,1 = 0,14%.

б)      0,08.

D = 0,005, d = 0,005/0,08 = 6,3%.

Вывод: несмотря на то, что абсолютная погрешность второго числа на порядок ниже, чем у первого, относительная погрешность этого числа значительно превосходит погрешность первого, что является свидетельством более грубого приближения.