Инфоурок Другое Другие методич. материалыМетодические рекомендации по проведению практических занятий

Методические рекомендации по проведению практических занятий

Скачать материал

Министерство науки и высшего образования и Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского»

 

Арзамасский филиал

 

отделение среднего профессионального образования

(Арзамасский политехнический колледж им. В.А. Новикова)

 

 

Методические рекомендации

для организации практических занятий

по учебной дисциплине

ЕН.01 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Специальность среднего профессионального образования

09.02.07 ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Арзамас, 2018

 

Разработчик(и):

 

 

АФ ННГУ отделение СПО

«Арзамасский политехнический

колледж им. В.А. Новикова»             преподаватель                        С.В. Копьёва_________

    (место работы)                        (занимаемая должность)                (и.о., фамилия)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Одобрено на заседании  методической комиссии

_естественнонаучного и гуманитарного циклов___

Протокол №_______ от «_____» _________ 20____г.

Председатель МК ________________ /Н.Г. Кузнецова/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

                                                                                                                                            

Введение………………………………………………………………………………………….4

Практическое занятие 1:  Комплексные числа. Формы записи комплексных чисел.

Геометрическое изображение комплексных чисел.……………………………………………………………………………………………...6

Практическое занятие 2: Вычисление пределов функций………………………………...12

Практическое занятие 3: Исследование функций и построение графиков.……………...21

Практическое занятие 4: Приложения определённых интегралов. ………………………27

Практическое занятие 5: Вычисление частных производных ……………………………33

Практическое занятие 6: Вычисление и приложения двойных интегралов..........……….41

Практическое занятие 7: Исследование сходимости знакоположительных рядов………51

Практическое занятие 8: Исследование сходимости знакочередующихся рядов……….60

 Практическое занятие 9: Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ……………………………………………………………….64

Практическое занятие 10: Вычисление определителей, нахождение обратной матрицы…………………………………………………………………………………………71.

Практическое занятие 11: Решение систем линейных уравнений.……………………….79

Практическое занятие 12: Выполнение операций над векторами.………………………..86

Практическое занятие 13: Составление уравнений прямых.……………………………...98

Практическое занятие 14: Составление уравнений кривых второго порядка…………..102

Литература……………………………………………………………………………………114

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Успешный процесс обучения в колледже зависит от разных причин, одной из которых является самостоятельная практическая работа студентов. Только при систематическом учебном труде информация, полученная на лекциях, может быть переработана в систему знаний, которая в ходе практических занятий преобразуется в соответствующую систему умений и навыков.

Методические рекомендации предназначены для проведения практических занятий по дисциплине Элементы высшей математики  по специальности СПО 09.02.07  Информационные системы и программирование, составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом, рабочим учебным планом, рабочей программой и календарно-тематическим планом учебной дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики по специальности среднего профессионального образования 09.02.07 Информационные системы и программирование.

Цель: формирование личности студента, развитие его интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений, при поиске оптимальных решений для осуществления научно-технического прогресса и выбора наилучших способов реализации этих решений;

Задачи: продемонстрировать студентам сущность научного подхода на примерах математических понятий и методов, специфику математики и ее роль в решении практических задач; научить студентов приемам исследования и решения математически формализованных задач, выработать у студентов умение анализировать полученные результаты, привить им навыки самостоятельного изучения литературы по математике и ее приложениям.

Настоящие методические рекомендации определяют объём и содержание теоретического материала: всех основных понятий, теорем, формул, методов решения типовых примеров и задач, а также  индивидуальных заданий для выполнения на практических занятиях.

 Критериями оценки результатов практической работы обучающихся являются:

- уровень освоения обучающимся учебного материала;

-умение обучающегося использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

- сформированность общеучебных умений;

- обоснованность и четкость изложения ответа;

- оформление материала в соответствии с требованиями.

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся без замечаний и в полном объёме выполнил все задания согласно хода работы.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся выполнил требования к оценке «отлично», но допустил 1-2 недочета существенно не отражающиеся на качестве выполнения практических заданий.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если работа выполнена не в полном объеме и  если в ходе работы были допущены и исправлены с помощью преподавателя существенные ошибки.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если при выполнении практической работы и подведении её результатов допущены и не исправлены существенные ошибки.

Настоящие методические указания содержат материалы, которые способствуют развитию творческой и исследовательской деятельности и направлены на формирование следующих общих компетенций (ОК):

ОК.01. Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности, применительно к различным контекстам.

ОК.05. Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке с учетом особенностей социального и культурного контекста.

           Теоретический материал, присутствующий в каждом практическом занятии, может быть использован студентами для выполнения всех видов практических заданий по дисциплине, в том числе для выполнения расчётно-графических работ (РГР).

           В целом материал данных методических рекомендаций достаточен для выполнения  практических и расчётных заданий без привлечения других источников.

           Однако для более глубокого изучения материала и успешной подготовки к промежуточной аттестации необходимо тщательно проработать рекомендуемые учебные пособия и сборники задач.(см. раздел Литература),конспекты лекций.

О проведении практической работы обучающимся сообщается заблаговременно: когда предстоит практическая работа, какие вопросы нужно повторить, чтобы ее выполнить. Просматриваются задания, оговаривается ее объем и время ее выполнения. Критерии оценки сообщаются перед выполнением каждой практической работы. Обучающиеся получают распечатанный или электронный вид с описанием этапов выполнения работы. Перед выполнением практической работы повторяются правила техники безопасности.

При выполнении практической работы обучающийся придерживается следующего алгоритма:

1.      Записать в тетради дату, тему и цель работы.

2.      Ознакомиться с правилами и условиями выполнения практического задания.

3.      Повторить теоретические основы, необходимые для выполнения работы и других практических действий, понять решения примеров, приведённых в методических рекомендациях к данному занятию.

4.      Выполнить работу по предложенному алгоритму действий.

 

 

Практическое занятие 1:  Комплексные числа. Формы записи комплексных чисел.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Цель работы: научиться выполнять действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, выполнять перевод одной формы в другую, давать геометрическую интерпретацию комплексному числу.

Время выполнения:2 часа

Теоретические основы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практические задания

       Задание 1 (10 вариантов)

Выполнить действия над комплексными числами, результат записать в тригонометрической, показательной и алгебраической формах.

 

                                             

                                

                                  

                         

                                  

Задание 2 (10 вариантов)

Выполнить действия. Результат записать во всех формах.

1.                    6.   

2.                                 7. 

3.               8.  

4.                                      9. 

5.                                            10.

Задание 3 (10 вариантов)

      Выполнить  действия над комплексными числами в тригонометрической форме, дать геометрическую интерпретацию результата.

1.                                 6. 

2.                                  7. 

3.                             8 .

4.                             9. 

5.                               10. 

Задание 4 (10 вариантов)

Записать комплексное число в тригонометрической и алгебраической форме

1.        1                             6.

2.                                         7.

3.                              8.  

4.                                          9. 

                 5.                                  10.

Контрольные вопросы

1.Какие действия выполняют над комплексными числами в тригонометрической и показательной  форме?

2.Сформулируйте алгоритм перехода из алгебраической в тригонометрическую форму.

3. Сформулируйте алгоритм перехода из тригонометрической в алгебраическую форму.

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие 2. Вычисление пределов функций.

Цель работы: научиться вычислять предел функции в точке, на бесконечности, применять замечательные пределы.

Время выполнения: 2 часа.

Теоретические основы

Рассмотрим функцию y=f(x),заданную на {x}, и точку а, быть может, и не принадлежащую множеству {x}, но обладающую тем свойством, что любая  – окрестность точки а принадлежит множеству {x}. Например, точка а может быть границей интервала, на котором задана функция.

Определение 2.2.1. Число b называется пределом функции y=f(x) в точке х=а, если для любой сходящейся к а последовательности  аргументов х, элементы  которой отличны от а, соответствующая последовательность её значений  сходится к b.

Принято записывать: .

Определение .Число b называется пределом функции y=f(x) в точке х=а, если для любого >0, сколь угодно малого, найдется отвечающее ему >0, такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство .

Оба эти определения эквивалентны. Необходимо сделать несколько замечаний, поясняющих смысл этих определений.

Замечание 1. В Определении 2.2.1 особенно важно, что элементы  отличны от а, а в Определении 2.2.2 , >0   означает, что y=f(x) не определена в точке х=а, но при этом может иметь предельное значение в точке х=а. Рассмотрим пример.

Пусть . Точка х=1 не входит в область определения f(x).  Нетрудно видеть, что f(x)=x+1, x ≠ 1. Построим график (см.рис.2.4)

Рис.2.4. График функции

Конечного значения f(x) в точке х=1 не имеет, но для >0, сколь угодно малого, для всех значений arg x, попадающих в - окрестность точки х=1, соответствующие значения f(x) попадают в – окрестность точки у=2.  Следовательно, .

Замечание 2. Можно перефразировать Определение 2.2.2 следующим образом:

Число b называется пределом функции y=f(x) в точке а, если для любого наперед заданного >0, сколь угодно малого, можно указать такую  - окрестность точки а,

число b приближает значение f(x) c точностью до

Рассмотрим пример – функцию y=f(x), представленную на рисунке 2.5. Здесь точка х=а принадлежит множеству задания функции {x} и частное значение f(x} в точке х=а совпадает с предельным значением f(a)=b.

Рис.2.5. Иллюстрация к примеру

Замечание 3. f(x) может иметь только один предел, равный b. Пример. Пусть y=f(x) имеет график функции, как показано на рисунке 2.6.:

Рис.2.6. Иллюстрация к примеру

На рисунке видно, что х=а не входит в область определения y=f(x) и конечного значения не имеет. Для всех значений arg x, находящихся слева от точки х=а, (а-< х <а), соответствующие значения функции попадают в  – окрестность точки b1 . Для всех значений arg x, попадающих на интервал (а, а + ) справа от точки х=а, соответствующие значения функции попадают в  – окрестность точки , , таким образом в точке х=а, функция не имеет конечного предельного значения.

            Введем следующие важные понятия:

Определение . Число b называется правым (левым) пределом у=f(x)  в точке х=а, если для >0, сколь угодно малого, найдется отвечающее ему >0, что для всех значений arg x, удовлетворяющих условию

 а< х <а+   (а-< х <а)

справедливо

Для обозначения правого предела принято

,

левого предела

.

Очевидно, в рассмотренном примере в точке х=а функция у=f(x) имеет левый и правые пределы:            ;           .

Замечание 4. Если в точке х=а функция у=f(x) имеет правый и левые пределы, и они равны, то f(x) имеет конечное предельное значение в точке х=а.

Определение 2.2.4. Число b называется пределом функции у=f(x) на бесконечности , если для любой бесконечно большой последовательности её arg {xn}, соответствующая последовательность её значений  сходится к b.

При этом принято обозначать:

Приведем примеры:

1. действительно на рисунке  видно, что для всех  соответствующие значения . При   f(x) также имеет предел .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.7. График функции

2.

 

 

 

 

 

 

Рис.2.8. График функции, для которой 

2.3. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций

Определение. Функция y=f(x) называется бесконечно малой в точке x=a (при x), если . Легко убедиться, что  является бесконечно малой. Действительно,     где  т- любое целое положительное число.

Определение. Функция у=f(x) называется бесконечно большой в точке а справа (слева), если для любой сходящийся к а последовательности заданий аргументов х   х1, х2, х3,…,хn, элементы которой больше а (меньше), соответствующая последовательность значений функции f(x1),f(x2),…,f(xn),…является бесконечно большой определённого знака.

 или ,

 или ,

 или ,

 или .

 

Познакомимся с методикой сравнения бесконечно малых функций.

Пусть  и  - две заданные на {x} функции, являющиеся бесконечно малыми в точке x=a.

1. Функция  является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , если

2. Функция  является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , если

3. Функции  и  являются бесконечно малыми одинакового порядка малости, если  , k0 и k1

4. Функции  и  являются эквивалентными бесконечно малыми, если .

Пусть А(х) и В(х) – две бесконечно большие в точке х=а справа функции, т.е.

 и

Будем говорить, что, если

 


 0, то В(х) – бесконечно большая более  высокого порядка роста, чем A(х);

*, то А(х) – бесконечно большая более высокого порядка роста, чем В(х);

 k, k0 , от А(х) и В(х) – бесконечно большие одинакового порядка роста.

 

Рассмотрим несколько примеров.

1. ,  – обе функции бесконечно малые в точке x=0

 и  являются бесконечно малыми одинакового порядка малости.

2.  ,  – обе функции являются бесконечно малыми в точке х=1.

 – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем

3. ,    – обе функции бесконечно большие в точке x=0.

А(х) и В(х) имеют одинаковый порядок роста в точке x=0 справа и слева.

 

Мы убедились, что при сравнении бесконечно малых и бесконечно больших предельное отношение  даёт неопределенность  (читается «нуль» на «нуль» ), а предел отношения  даёт неопределенность  (читается «бесконечность» на «бесконечность»).

Рассмотрим на примерах, как избавляться от неопределенностей  и  для алгебраических функций.

1.

2.

 

Первый и второй замечательные пределы.
Эквивалентные бесконечно малые

Очень часто сравниваются бесконечно малые (бесконечно большие) функции разных классов.

Например, y=sin x и y=x- две бесконечно малые функции в точке х=0. Предельное отношение  дает неопределенность ; y=arctg x и y=arcsin x – две бесконечно малые функции в точке х=0, их предельное отношение и т.д.

Избавиться от таких неопределенностей можно, используя I и II замечательные пределы.

 I замечательный предел

Докажем справедливость этого предельного отношения.

Доказательство

Пусть , тогда и . Для положительных х справедлива цепочка неравенств

sin x < x <tg x.                                                                      (1)

Это утверждение просматривается на тригонометрической окружности. Разделим неравенство (1) на sin x, т.к. sin x>0 для x>0, то получим неравенство (2)

Рис 2.9. Иллюстрация к доказательству

                                                             (2)

Запишем обратное неравенство:

                                                                    (3)

Перейдем к пределу в неравенстве (3) при , получим  или

,

что значит

.

Рассмотрим . Очевидно, что tgx < x < sinx. Разделим на sinx, т.к. sinx<0, то неравенство поменяет знак.

Получим .

Запишем обратное неравенство

.

Перейдем к пределу при

       или    ,  что означает .

Предельные отношения справа и слева от точки х=0 равны, следовательно

Рассмотрим примеры:

1.

2.

3.  

Из I замечательного предела видно, что ~х (синус бесконечно малого аргумента х эквивалентен х).

Также легко убедиться в эквивалентности бесконечно малых функций:

            arcsinx ~ x

            arctgx ~ x

            tgx ~ x

Эквивалентность бесконечно малых легко приводит к раскрытию неопределенностей .

Рассмотрим примеры:

1.~

2. ~

 II замечательный предел

Действительно,        

Если , то           при     ,тогда справедливо

Докажем, что, при действительном к.

, где t=kx, при , .

Очень часто II замечательный предел записывают в логарифмической форме. Для этого прологарифмируем равенство по основанию «е»:

или   – логарифмическая форма записи.

Отсюда видно, что ln(1+x)~x.

Рассмотрим примеры:

1. ~

2. ~

3. .

Практические задания

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

1)

1)

1)

1)

2)

2)

2)

2)

3)

3)

3)

3)

4)

4)

4)

4)

5)

5)

5)

5)

6)

6)

6)

6)

7)

7)

7)

7)

8)

8)

8)

8)

 

Контрольные вопросы.

1.Сформулируйте определение функции в точке, на бесконечности.

2.Назовите алгоритмы избавления от неопределённостей.

3.Сформулируйте 1-й и 2-й замечательные пределы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие 3. Исследование функций и построение графиков.

Цель работы: отработать навыки в применении производной и научиться строить графики функции.

Время выполнения: 2 часа.

Теоретические основы

Общая схема исследования функции

·                                 Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

·                                 Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

·                                 Найти точки пересечения с осями координат.

·                                 Установить, является ли функция чётной или нечётной.

·                                 Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

·                                 Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

·                                 Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

·                                 Найти наклонные асимптоты функции.

·                                 Построить график функции.

Примеры решений: исследование функции, построение графика

Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании.

 

 

 

 

 

 

Практическое задание

Вариант 1. Исследовать функцию и построить ее график.

http://www.matburo.ru/Examples/ma_issl/img2-1.gif

Вариант 2. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.
http://www.matburo.ru/Examples/ma_issl/img3-1.gif

Вариант 3. Провести полное исследование функции и построить график.

http://www.matburo.ru/Examples/ma_issl/img4-1.gif

Вариант 4. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.

http://www.matburo.ru/Examples/ma_issl/img5-1.gif

Вариант 5. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

http://www.matburo.ru/Examples/ma_issl/img6-1.gif

Вариант 6. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

http://www.matburo.ru/Examples/ma_issl/img7-1.gif

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте правило исследования функции на монотонность,экстремум.

2.Сформулируйте правило исследования функции на выпуклость, точки перегиба графика.

3.Напишите уравнения вертикальной и наклонной асимптот, укажите способы их составления.


Практическое занятие 4. Приложения определённых интегралов.

Цель работы: научиться вычислять площади фигур и объем тел вращения.

             Время выполнения: 2 час.

Теоретические основы

Если задана непрерывная функция  на [a,b], , то определенный интеграл с геометрической точки зрения представляет собой площадь так называемой, криволинейной трапеции (рис.4.1).

 
 

 

 


                                                                                                       (4.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть криволинейная трапеция с основанием [a,b] ограничена снизу кривой  (рис.4.2), то из соображений симметрии видим, что

 
 

 

 

 


                                                                                                    (4.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В некоторых случаях, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на сумму или разность двух или более криволинейных трапеций и применить формулы (4.1) или (4.2) (рис.4.3. и 4.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.3)

 
 


                                                                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Пример1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение - парабола. Найдем ее вершину и точки пересечения с осями координат.

;     или ,

Если , то   - вершина параболы.

  или    или      .

 - прямая линия.

Найдем абсциссы точек пересечения  прямой и параболы:

  или        .

Для вычисления площади  заштрихованной области  воспользуемся формулой  (4.4)

 

 

 

 

Пример2. Вычислить площадь двух частей, на которые круг  разделен параболой .

Решение. Сделаем чертеж (рис.4.6)

 - окружность с центром

в начале координат и  радиусом .

 

 

 

 


 - парабола, имеющая вершину

в т.О(0,0)

Найдем точки пересечения параболы

и окружности:

 - не удовлетворяет условию .

Если , то  или ,

Найдем площадь заштрихованной области по формуле (4.4), в которой изменены переменные интегрирования:

 

  ;

  .

Овал: =  

Овал: = 

  .

Найдем площадь второй (незаштрихованной) части, на которую круг разделен параболой

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой  и гиперболой  на отрезке .

.

Пример 4. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения: .

.

Практические задания

Вариант № 1.

    Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 2.

    Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 3.

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 4.

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 5.

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 6.

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 7.

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 8.

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 9.

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 10.

 

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 11.

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 12.

    Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 13.

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 14.

    Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 15.

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте задачу, приводящую к понятию определённого интеграла.

2.Что такое интегральная сумма данной функции на данном интервале?

3.Что называется определённым интегралом данной функции на данном интервале?

4.В чём состоит геометрический смысл определённого интеграла?

 

 

Практическое занятие 5. Вычисление частных производных.

 

Цель работы: научиться  дифференцировать функции нескольких переменных.

Время выполнения: 2 часа

 Теоретические основы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практические задания

25 вариантов

 

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте правило нахождения частных производных 1-го порядка

функции двух переменных в случаях явного и неявного её задания.

2.Напишите формулу полного дифференциала функции двух переменных.

 

 

Практическое занятие 6. Вычисление и приложения двойных интегралов.

Цель работы: научиться вычислять двойные интегралы.

Время выполнения: 2 часа

Теоретические основы

Понятие двойного интеграла

Пусть в области σ плоскости Оxy задана функция z=ƒ(P)= ƒ(x,y).

Выполним следующие действия.

1.     Разобьём область σ на n малых площадок ∆σ1, ∆σ2, …, ∆σn так, чтобы сумма площадей малых площадок была равна площади всей области σ: (см. рис.1).

Рис. 1

2.     В каждой малой площади  выберем произвольную точку . Умножим значение функции  в точке  на :

Составим суму всех таких произведений:

Сумма такого вида называется интегральной суммой, составленной для функций двух переменных .

3.     Рассмотрим предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа n малых площадок и при стягивании каждой из них в точку. Если этот придел существует и не зависит ни от способа разбития области σ на малые площадки , ни от выбора в каждой из них точек , то он называется двойным интегралом от функции  по области σ и обозначается так:  или .

Таким образом,

Или в другой записи .

Здесь подразумевается, что при , каждая из малых площадок  стягивается в точку; σ называется областью интегрирования, функция  называется подынтегральной функцией,  - подынтегральным выражением,  - элементом площади.

Итак, мы имеем следующее определение.

Определение. Двойным интегралом от функции  по области σ называется предел, к которому стремится интегральная сумма при неограниченном увеличении числа малых площадок  и при условии, что каждая из них стягивается в точку.

Объем цилиндрического тела численно равен двойному интегралу от аппликаты  взятому по области σ:

                 (2)

В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

 

Свойства двойного интеграла

1.     Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла, т.е. если k-некоторое число, то

.

2.     Двойной интеграл от суммы нескольких функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых:

.

2.1. Если в области интегрирования σ имеет место неравенство , то и .

2.2. Если в области интегрирования  и хотя бы в одной точке области  то .

3. Если в области интегрирования функции  и  удовлетворяют неравенству , то

 

4. Теорема о среднем значении. Пусть функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области σ. Тогда в области существует такая точка , что .

Если функция  в области σ, то эта теорема имеет следующий геометрический смысл.

Объем цилиндрического тела равен объему цилиндра с тем же основанием  σ, что и у цилиндрического тела, и с высотой, равной значению функции в некоторой точке  области σ. Значение функции , определяемое из равенства (*), называется средним значением функции  в области σ.

5.    Свойство аддитивности. Если область интегрирования разбить на несколько частей , то .

Геометрически, если рассматривать двойной интеграл как объем цилиндрического тела, это свойство очевидно. Оно выражает тот простой факт, сто если основание цилиндрического тела разбить на несколько частей , то объем всего цилиндрического тела равен сумме объемов составляющих его цилиндрических тел с основаниями .

Вычисление двойного интеграла

в декартовых координатах

Требуется вычислить двойной интеграл , от непрерывной функции .

Предположим сперва, что область интегрирования σ ограниченна двумя непрерывными кривыми  и  и двумя прямыми x=a, x=b, причем для всех значений x, заключенных между a и b, имеет место неравенство .

Проведем через точку (x; 0) оси 0x прямую, параллельную оси 0y. эта прямая встречает кривые, ограничивающие область σ, соответственно в очках  и . Точку  будем называть точкой входа, а точку  – точкой выхода. Их координаты обозначим соответственно  и . Ордината точки выхода равна , а ордината точки выхода равна . Известно что двойной интеграл  численно равен V цилиндрического тела, ограниченного частью поверхности , которая проектируется в площадку σ (см. рис.2):

  или  ,         (3)

или                                                (4)

Это и есть искомая формула.

 

 

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , если областью интегрирования σ является треугольник, ограниченный прямыми y=0, x=2, y= (см. рис.3).

Рис. 3

Решение. Если при вычислении двойного интеграла пользоваться формулой (3), то здесь (x)=0,  (так как точка входа лежит на оси 0x, а точка выхода - на прямой ); a=0, b=2.

Поэтому, применяя формулу (3), имеем  .

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным: .

Следовательно,  .

Применяя для вычисления двойного интеграла  формулу (4), получим, конечно, тот же результат. Замечая, что в этом случае  (так как точка входа лежит на прямой  или x=2y, а точка выхода на прямой x=2), c=0, d=1, получим .

Так как

,

то  

Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования σ ограниченна линиями x=0, y=x,  (см. рис.4).

Рис. 4

Решение. Применим для вычисления двойного интеграла формулу (3). Здесь , , a=0, b=1. поэтому .

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным: .

Следовательно,

.

Если при вычислении двойного интеграла  пользоваться формулой (4), то придется область интегрирования σ разбить на две части  и , так как линия ОАВ, на которой расположены точки выхода на отдельных участках, задается различными уравнениями. По свойству аддитивности .

Применяем формулу (4) к каждому из интегралов, стоящих в правой части последнего равенства: , так как , , c=0, d=1.

Вычисляем внутренний интеграл, помня, что y-постоянно:

.

Следовательно,  .

Аналогично находим , так как , , с=1, d=2.

.

Следовательно, .

Таким образом, окончательно, .

Вычисление площади плоской области

Площадь  плоской области  на плоскости  вычисляется по формуле

                                         (4)

Пример 4.

Вычислить площадь плоской области , ограниченной прямой  и параболой

Решение.

Область  можно проектировать на ось и на ось ; спроектируем ее на ось . Область симметрична относительно оси , поэтому достаточно вычислить площадь правой половины области  и результат удвоить. Правая половина области  проектируется на ось  в отрезок  и имеет левой границей прямую  а правой – линию  или  В результате получим:

, откуда

Или

 

 

Практическое задание

Задание 1

Вычислить двойной интеграл.

вариант

Задание

Ответ

1.

, где область D – прямоугольник (, )

2.

, где область D – прямоугольник  ()

3.

, где область D – треугольник с вершинами О (0;0), А (0;1), В (1;0)

4.

, где область D ограничена параболой  и прямыми  

.

5.

, где область D ограничена прямыми  ,  и гиперболой

6.

, где область D ограничена прямыми  ,  и

7.

, где область D ограничена

линиями ,  и

8.

, где область D ограничена линиями  ,  и

19,2

9.

, где область D ограничена линиями  ,  и

10.

, где область D ограничена линиями  ,  и

11.

, где область D ограничена линиями ,  и

12.

, где область D ограничена линиями ,  и

0

13.

, где область D ограничена линиями , ,

1

 

Задание 2

Найти площади плоских областей, ограниченных следующими линиями:

 

вариант

Задание

Ответ

(кв.ед.)

1.

Прямыми ,  и параболой

2.

Прямыми    и кривой

3.

Прямыми    и гиперболой

4.

Параболой  и прямой

5.

 , ,

6.

 , , ,

 

Контрольные вопросы

  1. Дайте определение двойного интеграла.          
  2. Перечислите свойства двойного интеграла.     
  3. Какой интеграл вычисляется в первую очередь (внутренний или внешний)?
  4. Как расставляются пределы интегрирования?
  5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие7. Исследование сходимости знакоположительных рядов.

Цель работы: научиться применять признаки сходимости знакоположительных рядов.

Время выполнения: 2 часа.

Теоретические основы

Основные сведения из теории числовых рядов.

    Пусть задана бесконечная числовая последовательность

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком плюс, т.е. выражение вида

числа называются членами ряда.

    Индекс, стоящий у каждого члена ряда, указывает его порядковый номер в ряде.

     Сокращенно числовой ряд обозначается так:

                                          (1)

    Член Un, номер которого не фиксирован, называется общим членом ряда.  

Определение. Сумма первых n членов числового ряда (1)

 называется n – ой частичной суммой.

     Для каждого числового ряда можно построить последовательность его частичных сумм:

     Определение. Числовой ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т.е. существует конечный предел

 

 

    Этот предел называют суммой ряда и записывают а разность - остатком ряда.

    Замечание. Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда

    Если последовательность частичных сумм расходится, т.е., при неограниченном возрастании числа слагаемых () в частичной сумме, она или не имеет предела или её предел равен бесконечности, то ряд называют расходящимся.

       Расходящийся ряд суммы не имеет.

   Рассмотрим основные теоремы о сходимости числовых рядов.

    Теорема 1. Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда (сумма при этом изменится).

    Теорема 2. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд

который получается из предыдущего умножением всех членов на одно и тоже число с, также сходится и имеет сумму cS.

 Теорема 3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е., если , тогда ряд  также сходится и имеет сумму

Теорема 4 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член Un стремится к нулю, при неограниченном возрастании n, т.е.

 Отсюда следует, что если  то ряд расходится.

 Замечание. Указанный признак не является достаточным, т.е. если то вопрос о сходимости ряда ещё не решен: он может быть как сходящимся так и расходящимся.

 При рассмотрении числовых рядов практически решаются две задачи:

1) исследовать, сходится или расходится ряд;

2) зная, что ряд сходится, найти его сумму.

 Мы будем решать первую задачу, т.е. исследовать ряды на сходимость.

 

Числовые ряды с положительными членами.

 Рассмотрим числовой ряд

                                      .                                                       (1)

Определение. Если все члены ряда (1) то ряд называется знакоположительным.

 Очевидно, в этом случае частичная сумма Sn возрастает с возрастанием n.

Поэтому положительный ряд либо сходится либо его сумма бесконечна, т.е.

или

 Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

 

Признак сравнения.

Пусть

                       =                    (2)

и                                                   (3)

         

- два ряда с положительными членами.

Пусть члены ряда (2), начиная с некоторого номера n0, меньше соответствующих членов ряда (3), т.е.  Тогда

 1) Если ряд (3) сходится, то ряд (2) также сходится. В этом случае ряд (3) называется мажорантой ряда (2).

    Таким образом, положительный ряд сходится, если он обладает сходящейся мажорантой.

2) Если ряд (2) расходится, то ряд (3) также расходится.

Схематично суть признака сравнения выглядит так

     Теорема (предельная форма признака сравнения). Если для рядов (2) и (3) выполняется условие

то рассматриваемые ряды одновременно сходятся или расходятся.

     Чтобы с помощью признака сравнения исследовать ряды на сходимость, нужно иметь такие ряды, о которых заранее известно, сходятся они или расходятся.

     Для сравнения обычно используются следующие эталонные ряды: геометрический, гармонический и другие.

 

Геометрический ряд

сходится при условии q < 1 и его сумма если то геометрический ряд расходится.

Гармонический ряд

расходится.

Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)

сходится, если  и расходится, если  

Признак Даламбера.

    Если члены ряда положительны и существует предел

то при  ряд сходится;

     при  ряд расходится;

     при  вопрос о том, сходится ряд или расходится, не решен и требуется дополнительное исследование с помощью других достаточных признаков сходимости.

Радикальный признак Коши.

     Если члены ряда положительны и существует предел

то при  ряд сходится;

     при  ряд расходится;

     при  вопрос о том, сходится ряд или расходится, не решен и требуется дополнительное исследование с помощью других достаточных признаков сходимости.

Указание 1.

     Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

где Un содержит произведения многих сомножителей (например, факториалы

     План решения. Если при вычислении предела

можно сократить множители в числителе и знаменателе дроби , то обычно применяют признак Даламбера.

1. Проверим, что Un>0 при всех

2. Найдем . Для этого в формуле определения общего члена ряда Un заменим n на n+1.

3. Вычислим предел 

4. Применим признак Даламбера.

     Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

1. Проверим, что члены ряда положительны. Действительно,

при всех

2. Найдем :

3. Вычислим предел

4. Применим признак Даламбера. Так как k=0<1, то ряд

сходится.

Указание 2.

     Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

где  существует и легко вычисляется.

     План решения. Если  имеет, например, вид или то  существует и легко вычисляется. В таком случае обычно применяют  радикальный признак Коши.

1. Проверим, что Un>0 при всех

2. Вычислим предел 

3. Применим радикальный признак Коши.

 Замечание. Полезно иметь в виду, что

,

где P(n) – многочлен относительно n.

     Пример. Исследовать сходимость ряда

     Решение. Общий член ряда имеет вид , где

1 способ.

1. Проверим, что члены ряда положительны. Действительно,

при всех  

2. Вычислим предел 

3. Применим радикальный признак Коши. Так как , то ряд

расходится.

2 способ. Нарушается необходимый признак сходимости ряда:

а не ноль. Следовательно, ряд расходится.

Практическое задание

Задание 1(10 вариантов)

Написать формулу  n-го члена ряда по данным первых его членов

                         

                    

            

                             

                    

Задание 2

Найти первые пять членов данного ряда  и исследовать на сходимость:

   

  

Задание 3 (10 вариантов)

Исследовать на сходимость, применяя необходимый признак сходимости

                                 

                               

                               

                       

                              

Задание 4 (10 вариантов)

Исследовать на сходимость, используя признак Даламбера

                

         

        

             

          

Индивидуальные задания.

Исследовать сходимость рядов.

 

  Ответы.

. Контрольные вопросы

1.     Определение числового ряда.

2.     Свойства и виды рядов.

3.     Определение суммы ряда.

4.     Необходимый признак сходимости.

5.     Признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие 8. Исследование сходимости знакочередующихся рядов.

Цель работы: научиться  применять признаки сходимости для знакочередующихся рядов.

Время выполнения:2 часа.

Теоретические основы

Знакочередующиеся ряды.

     Ряд вида

              =                 (1)

где  и два любых соседних члена имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся.  

     Исследование сходимости таких рядов проводится на основании теоремы Лейбница – достаточного признака сходимости знакочередующегося ряда.

     Теорема (Лейбница) Знакочередующийся ряд (1) сходится, если:

1) его члены монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

              и

2) его общий член Un стремится к нулю при , т.е.

     Замечание. Сумма такого ряда положительна и не превосходит первого члена ряда

     По знакочередующемуся ряду (1) можно построить соответствующий ему знакоположительный ряд

                           =.                       (2)

Признак сходимости знакочередующегося ряда.

      Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) также сходится.

     Определение.  Знакочередующийся ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1).

      Сходящийся знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Указание 1.

    Постановка задачи.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда                                                                                                (3)

    План решения.

1. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

и проверим, что  (если то ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости ряда).

2.  Для определения характера полученного положительного ряда применим один из признаков сходимости, рассмотренных выше.

    Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд (3) сходится абсолютно.

3. Если ряд из модулей расходится, то возможно исходный ряд (3) сходится условно. Чтобы проверить это, применим признак Лейбница.

Если оба условия признака выполняются, то ряд сходится условно, в противном случае он расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

 Решение.

1. Составим ряд из модулей:

 Проверим выполнение необходимого условия сходимости:

2. Сравним полученный положительный ряд с гармоническим рядом

о котором известно, что он расходится.

Получим 

тогда по теореме (предельная форма признака сравнения) ряд из модулей тоже расходится.

3. Проверим условия признака Лейбница:

1) члены ряда убывают по абсолютной величине:

 2) члены ряда стремятся к нулю при  (см. п. 1).

 Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится.

    Ответ. Ряд сходится условно

Практическое задание

Вариант 1

1.      Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

                      

2.       Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

                       

Вариант 2

1.      Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

                      

2.       Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

                       

Индивидуальное задание

1.Исследовать сходимость рядов.

 

Ответы.

2.Исследовать сходимость рядов.

 

         

 

Ответы.  

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте признак Лейбница.

2.Сформулируйте условие абсолютной сходимости знакочередующегося ряда.

3. Сформулируйте условие условной сходимости знакочередующегося ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие 9. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Цель работы: отработать навыки решения дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Время выполнения:2 час.

Теоретические основы

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

                                                                    (1)

действительные числа; f – непрерывная функция переменного х.

Определение. Если то уравнение 

                                                                                   (2)

называется однородным дифференциальным уравнением, соответствующим уравнению (1).

Если то уравнение (1) называется неоднородным.

 структура общего решения уравнения .

Если известно какое-нибудь частное решение (yч.н.) неоднородного уравнения (1),то его общее решение (yо.н) есть сумма общего решения (yо.о.) соответствующего однородного уравнения (2) и частного решения (yч.н.): yо.н.= yо.о+ yч.н.

Квадратное уравнение (3) называется характеристическим уравнением однородного уравнения (2).

Указание 1.

Постановка задачи. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

.

    План решения.

1. Составим характеристическое уравнение

                                    

Найдем его корни .

2. В зависимости от значений и , запишем общее решение уравнения (2). При этом выделяют три случая:

·        Если корни и  уравнения (3) действительные и , общее решение запишется так

·        Если корни и  уравнения (3) действительные и , общее решение запишется так

·       Если уравнение (3) имеет комплексно – сопряженные корни:  

тогда общее решение запишется так

                                           

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

                                          

     Решение.

1. Составим характеристическое уравнение

                                          

Решим полученное квадратное уравнение:

                                          

2. Так как и  - комплексно – сопряженные корни, тогда общее решение запишется так

 

Указание 2.

Постановка задачи. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

                                                                    (1)

План решения. По теореме (1)

                                       yо.н.= yо.о+ yч.н..                                                                             ()

1. Найдем общее решение (yо.о)  соответствующего однородного уравнения

                                                                          (2)

решив характеристическое уравнение

                                                          (3)

 (см. предыдущую задачу).

2. Ищем какое – либо частное решение (yч.н.) неоднородного уравнения (1), применяя метод подбора частных решений:

различным представлениям правой части f(x) уравнения (1) соответствуют свои виды частного решения yч.н.

    Возможны следующие случаи:

Если правая часть уравнения (1) имеет вид

         I.     , где - многочлен степени n, тогда, если

a)      - не корень (3) (и), то   yч.н=;

b)      - однократный корень (3) (=либо =), то      yч.н= 

c)      - двукратный корень (3) (==), то yч.н= 

где - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

      II.       , где M, N – числа, тогда, если

a)     - не корни (3) (и ()), то    yч.н=

b- корни (3) (=и ()=),  то     yч.н= где  A, B – числа.

   III.       , тогда, если

a)     не корни (3) (и ), то   yч.н= 

b)     корни (3) (=и ()=), то yч.н=

       где и

- многочлены степени l с неопределенными коэффициентами.

3. Находим неопределенные коэффициенты, подставляя построенное yч.н в исходное уравнение (1).

4. Записываем ответ по формуле().

    Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

                                                                                                                       (4)

       Решение. По теореме (1)

                                            yо.н.= yо.о+ yч.н..                                                                       ()

1. Найдем общее решение (yо.о).соответствующего однородного уравнения

                                                                                           (5)

Составим характеристическое уравнение

    

Оно имеет два различных действительных корня

Следовательно,

 общее решение уравнения (5) запишется так

     

2. Ищем какое – либо частное решение (yч.н.) неоднородного уравнения (4), применяя метод подбора частных решений.

Здесь правая часть уравнения (4) имеет вид (III) c

Так как - не корни характеристического уравнения и  , то частное решение будем искать в виде ( III.a)):

                                    yч.н=                           (6)

где A, B – неопределенные коэффициенты (неизвестные числа).

3. Находим неопределенные коэффициенты. Дважды продифференцируем yч.н и подставим в исходное уравнение (4). Имеем

 

Приравниваем коэффициенты при  в обеих частях равенства, получим

систему из двух уравнений с двумя неизвестными A и B, из которой определяем

Таким образом, по формуле (6)

yч.н.

4. Находим общее решение по формуле  ()

 

yо.н.=

   Ответ: yо.н.=

 

 

 

Практическое задание

Задание 1 (30 вариантов)

Найти общее решение дифференциального уравнения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21. 

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание 2 (5 вариантов)

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка

      

Контрольные вопросы

1.Какое уравнение называют характеристическим?

2.Запишите вид общего решения однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, соответствующего решению характеристического уравнения(3 случая)

3.Сформулируйте алгоритм решения неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.

4.Запишите вид какого-либо частного решения для каждого случая правой части неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое занятие 10. Вычисление определителей, нахождение обратной матрицы.

Цель работы: научиться вычислять определители, находить обратную матрицу.

Время выполнения: 2 часа.

.

Теоретические основы

Определители

Определители 2-го порядка

Определитель (или иначе, детерминант) обозначается следующим образом:     .

Простейшие из определителей – это так называемые определители 2-го порядка.

   Определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:.

Элементы  образуют главную диагональ ,  – побочную..

Основные свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3.  Определитель, имеющий два одинаковых ряда равен нулю.

4. Если все элементы одного ряда   умножить на некоторое число k, то весь  умножится на это число.

Это свойство можно сформулировать иначе:

Общий множитель элементов какого-либо ряда  можно вынести за знак .

5.  Если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам   параллельного ряда, то такой  равен 0.

6. Если элементы какого-либо ряда  представляют собой

суммы двух слагаемых, то может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

7. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Определители 3-го порядка

   Определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Элементы     образуют  главную  диагональ определителя, элементы  -  побочную.

Для нахождения значения определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно записать так:

                  

Определитель 3-го порядка представляет собой алгебраическую сумму шести произведений,  причем  три  произведения  берутся  со  знаком  „ + “ и три – со знаком  „  – “. Со знаком „ + “ берется произведение элементов, стоящих на главной диагонали, а также произведения элементов, стоящих на параллели к главной диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла таблицы. Со знаком  „ – “ берется произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, а также произведения элементов, стоящих на параллели к побочной диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла таблицы.

Можно пользоваться так называемым правилом Саррюса: приписать к определителю справа два первых столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов, параллельных ей:

 

 

Определители n-го порядка

  Определителем  n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме !  членов, каждый из которых является произведением   элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Заметим, что с ростом   резко увеличивается число членов определителя  (n !), поэтому даже для   использование формулы весьма трудоемко (получим 24 слагаемых!).

На практике при вычислении определителей высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.

  Минором некоторого элемента  определителя n-го порядка называется определитель (n-1)- го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается .

Так, если , то .

  Алгебраическим дополнением элемента  определителя называется его минор, взятый со знаком , где  i – номер строки,  j – номер столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается: . .

    Теорема:  Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им  алгебраические дополнения.

Обратная матрица.

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию l13image048. (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Доказательство:

  1. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A-1. Покажем, что |A| ≠ 0.

Прежде всего заметим, что можно доказать следующее свойство определителей l13image050.

Предположим, что |A| = 0. Тогда l13image052. Но с другой стороны l13image054. Полученное противоречие и доказывает, что |A| ≠ 0.

  1. Достаточность. Для простоты доказательство проведём для случая матрицы третьего порядка. Пусть l13image056и |A| ≠ 0.

Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица

l13image058, где Aij алгебраическое дополнение элемента aij.

Найдём AB=C.

Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Действительно, например,

l13image060

Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c22 = c33 = 1.

Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C равны нулю. Например, l13image062

Следовательно, AB=E. Аналогично можно показать, что BA=E. Поэтому

 B = A-1.

Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы.

Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице l13image056находится следующим образом

l13image065,

где Aij - алгебраические дополнения элементов aij данной матрицы A.

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

  1. Найти определитель матрицы A.
  2. Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу l13image067, элементами которой являются числа Aij.
  3. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице l13image067, и умножить её на l13image069– это и будет l13image071.

Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица l13image073.

Примеры.

6.Найти матрицу, обратную данной l13image075. Сделать проверку.

|A| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.

l13image077

Проверка:

l13image079.

Аналогично A∙A-1 = E.

 

 

 

 

 

Практическое задание

Задание1

1.Вычислить определители второго порядка:  ,       

 2.Вычислить определители третьего порядка: 

3. Решить уравнение:

 

Вариант

 

Вариант

1

3

-2

 

16

4

-1

2

4

1

 

17

5

1

3

3

-4

 

18

2

0

4

2

1

 

19

-2

1

5

3

-3

 

20

2

-2

6

1

5

 

21

0

7

7

-2

3

 

22

-1

4

8

6

-2

 

23

-3

3

9

-6

1

 

24

-4

1

10

-5

1

 

25

0

8

11

-2

4

 

26

4

-2

12

1

3

 

27

-1

3

13

-3

2

 

28

2

-3

14

-4

-1

 

29

-2

5

15

-1

5

 

30

-5

-1

Ответы

 

вариант

1 задание

2 задание

вариант

1 задание

2 задание

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

  1.  

-15

6

-180

-84

-220

127

  1.  

-16

63

-244

-89

-100

109

 

  1.  

-32

-63

-244

-63

-68

55

  1.  

-40

-65

68

-72

-68

45

 

  1.  

-39

6

-180

-104

2372

261

  1.  

-10

4

-116

-52

232

60

 

  1.  

-16

-71

-20

-45

-68

63

  1.  

16

-79

140

-9

-68

59

 

  1.  

-24

-219

-180

-94

1212

185

  1.  

-10

146

-116

-64

-220

90

 

  1.  

-40

-373

-52

-20

4028

145

  1.  

0

-925

12

-21

8092

85

 

  1.  

40

-229

140

-19

1308

-23

  1.  

29

-302

76

-24

2500

9

 

  1.  

-30

162

-372

-138

-220

286

  1.  

45

231

204

-16

1308

-85

 

  1.  

48

-87

396

27

-68

-65

  1.  

32

-83

268

9

-68

-9

 

  1.  

40

-85

332

18

-68

-35

  1.  

0

-600

12

-20

10628

90

 

  1.  

10

-304

140

-24

2500

-68

  1.  

-20

158

-244

-102

-220

172

 

  1.  

-20

-223

-52

-36

1308

91

  1.  

20

-227

76

-18

1308

27

 

  1.  

39

156

204

-8

452

-27

  1.  

14

229

-116

-73

1212

123

 

  1.  

16

63

268

31

-100

45

  1.  

80

-379

-140

-29

4028

-125

 

  1.  

40

-377

76

-26

4028

-15

  1.  

30

65

332

46

-100

55

 

 

Задание2

4 варианта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольные вопросы:

  1. Что называется определителем матрицы?
  2. Как вычислить определитель второго порядка?
  3. Какие способы вычисления определителя третьего порядка вам известны?
  4. Перечислите свойства определителей.
  5. Какая матрица называется невырожденной?
  6. Транспонированная матрица.
  7. Какая матрица  называется обратной по отношению к данной?
  8. Каков порядок вычисления обратной матрицы?

 

 

 

Практическая работа 11. Решение систем линейных уравнений.

Цель работы: отработать навыки в решении систем линейных уравнений различными способами.

Время выполнения: 2 часа.

Теоретические основы

Системы линейных уравнений

Система уравнений следующего вида:

,

где аij, bi – числовые коэффициенты, xi – переменные, называется системой линейных уравнений.

Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения системы в тождества.

Система линейных уравнений называется:

·              совместной, если она имеет хотя бы одно решение;

·              несовместной, если она не имеет решений;

·              определенной, если она имеет единственное решение;

·              однородной, если все bi = 0;

·              неоднородной, если все bi ≠ 0.

Правило Крамера

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

D = det A ¹ 0;

Теорема. (Правило Крамера):

Система из n уравнений с n неизвестными

В случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

хi = ;

где D - главный определитель, составленный из числовых коэффициентов при неизвестных, а Diвспомогательный определитель, получаемый из главного заменой i -го столбца столбцом свободных членов bi.

Di =

Пример. Решить систему, используя правило Крамера.

;

D1= ;                  D2= ;                D3= ;

x1 = ;                       x2 = ;                    x3 = ;

Пример. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D1 =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x1 =  = 1;

D2 =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x2 =  = 2;

D3 =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x3 =  = 3.

Если система однородна, т.е. bi = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.

Матричный метод

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Этот метод удобен для решения систем невысокого порядка. Он основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений

Введем обозначения:

A =  - матрица коэффициентов системы;

 

B =  матрица – столбец свободных членов;

X =  - матрица – столбец неизвестных.

Систему уравнений можно записать в матричной форме:

A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X = A-1×B,

т.к. А-1×А = Е, то Е×Х = А-1×В, получим

Х = А-1×В - решение матричного уравнения

Пример. Решить систему матричным методом

Решение. Обозначим:

,            ,                  .

Получаем матричное уравнение .

Его решение , т.е.

 

.

(Нахождение обратной матрицы было рассмотрено ранее).

Ответ:

Метод Гаусса

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Определение: Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы.

Определение: Матрица называется расширенной матрицей системы, если к матрице А присоединить столбец свободных членов системы.

Расширенная матрица – это закодированная запись системы. Строки матрицы соответствуют уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим уравнением эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работу с уравнениями можно заменить работой со строками матрицы.

Определение: Матрицу А называют ступенчатой, если:

А) любая ее строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент,

Б) первый отличный от нуля элемент каждой ее строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки.

Метод Гаусса является эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему ступенчатого вида, которая легко решается и исследуется. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

Разберем идею метода Гаусса на конкретных примерах.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем к виду:

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем:  z = 3; y = 2; x = 1.

Практическое задание

Решить систему уравнений разными методами. (30 вариантов)

 № 1.2.3.