Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по проведению практических занятий по математике для студентов 2 курса СПО по специальности 220703 Автоматизация технологических процессов и производств
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические рекомендации по проведению практических занятий по математике для студентов 2 курса СПО по специальности 220703 Автоматизация технологических процессов и производств

библиотека
материалов

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Губернский колледж г. Сызрани»

технический профиль





hello_html_4647e53.png

МЕТОДИЧЕСКИЕ

Р Е К О М Е Н Д А Ц И И

ПО ОРГАНИЗАЦИИ ВЫПОЛНЕНИЯ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ





Специальность:

190623 Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог.

220703 Автоматизация технологических процессов и производств.



Разработала преподаватель Барабанова Л.Н.


Методические рекомендации для студентов СПО разработаны преподавателем для использования их при выполнении практических работ на уроках математики. Практические задания подобраны по уровню сложности: блок А для слабоуспевающих обучающихся; блок В для сильных.





2013 - 2014 учебный год



Успешно решать задачу обучения математике возможно лишь при наличии активной познавательной деятельности и самостоятельности студентов. В результате активной учебной работы учащиеся не только овладевают знаниями, но и развивают умственные способности, знакомятся с методами познания, формируют умственные и физические силы для решения проблемы преемственности в системе непрерывного образования. Для лучшего усвоения теоретического материала математические понятия следует формировать на основе практики, параллельно с процессом абстрагирования.

По дидактическим функциям практические занятия делятся на обучающие, познавательные и проверочные. Эффективность познавательной деятельности учащихся повышается при проведении обучающего практического занятия. В результате такой работы новые знания не поступают извне в виде информации, а являются внутренним продуктом практической деятельности самих учащихся. Практические работы проводятся по учебному плану по темам:

Вычисление пределов функции. – Вычисление производных. – Исследование функций. – Вычисление неопределенных интегралов. – Вычисление определенных интегралов. – Приложение интеграла к решению задач. – Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. – Операции над множествами. – Вычисление вероятностей.

Изучив теоретический материал по данной теме, учащиеся выполняют практическую работу. Она предлагается как сильным ученикам, так и слабоуспевающим. Примеры подобраны по уровню сложности: для слабоуспевающих – блок А, для сильных–блок В. Сам учащийся определяет уровень сложности на первом этапе решения и впоследствии может его изменить. При решении можно пользоваться справочным материалом. Данные работы носят как репродуктивный, так и поисковый характер. Формы работы фронтальная и индивидуальная.





ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Темеа. Вычисление пределов функции.

Цель: закрепить навыки вычисления пределов функции

Определение. Число в называется пределом функции ƒ( х ), при х стремящемся к а, если при любом ε > 0 существует такая окрестность точки а, что для любого х ≠ а из этой окрестности Ιƒ(х) – bΙ < ε. Предел обозначается так: hello_html_m61d9f2e5.gif = b

Теорема 1. Если при х hello_html_c45ce28.gif а существуют пределы функций ƒ(х) и g(х), то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций ƒ(х) и g(х): hello_html_m5e2d6490.gif = hello_html_m756eb259.gif + hello_html_1a6e0796.gif.

Теорема 2. Если при х hello_html_c45ce28.gif а существуют пределы функций ƒ(х) и g(х), то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций ƒ(х) и g(х): hello_html_3b6f8fc5.gif = hello_html_m756eb259.gif · hello_html_1a6e0796.gif.

Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак предела. hello_html_m7815552d.gif = khello_html_mef43de5.gif.

Теорема 3. Если при х hello_html_c45ce28.gif а существуют пределы функций ƒ(х) и g(х), то существует также и предел их отношения, равный отношению пределов функций ƒ(х) и g(х): hello_html_623df48a.gif = hello_html_m756eb259.gif / hello_html_1a6e0796.gif.

Пример 1. Найти hello_html_67bf1946.gif. Решение. По теореме 1 о пределе суммы функций и следствию из теоремы 2 имеем: hello_html_67bf1946.gif = hello_html_m6507adf4.gif + hello_html_m12cd1c93.gif = hello_html_m3ff8d0bc.gif + 8hello_html_m6e63cd58.gif = = 2 ·25 + 8 · 5 = 90.

Фронтальная практическая работа.

Упражнения.

Вычислить пределы функций: 1.1 hello_html_m63091967.gif + 3hello_html_1477f6c5.gif - х + 5); 1.2 hello_html_m42789fbd.gif ; 1.3 hello_html_mc0afcfe.gif ; 1.4 hello_html_2b3aa157.gif;

(Ответы. 1.1. 11. 1.2. - hello_html_m4ccea8f3.gif . 1.3. 0,1 1.4. 5.) При решении примеров на отыскание пределов при х hello_html_25a06e35.gif следует использовать следующую таблицу простейших пределов, в которых С и а > 0 постоянные.

1. hello_html_75a95817.gif = hello_html_22d4989c.gif 2. hello_html_m2c1148ec.gif = hello_html_6bc3f8c0.gif 3. hello_html_m40c1ef03.gif = hello_html_22d4989c.gif 4. hello_html_57c9dac8.gif = hello_html_22d4989c.gif

5. hello_html_m24d0570e.gif = 0, если а < 1. 6. hello_html_m24d0570e.gif = hello_html_4b4119be.gif, если а > 1.

7. hello_html_6d94c258.gif = hello_html_4b4119be.gif, если а < 1. 8. hello_html_6d94c258.gif = 0, если а > 1.

Пример 2. Найти предел функции hello_html_7ebdb385.gif .

Решение. hello_html_7ebdb385.gif = hello_html_48e5059f.gif = hello_html_558bdae4.gif = 1. Упражнения. Найдите предел функции:

1.5 hello_html_m1963546.gif. 1.6 hello_html_7380f8b9.gif . 1.7 hello_html_5ead9818.gif.

(Ответы. 1.5 1. 1.6 1. 1.7 - hello_html_m4ccea8f3.gif . )

Индивидуальная практическая работа.

1. Докажите равенство.

Блок А. Блок В

а) hello_html_4b485e.gif = 0. а) hello_html_56942910.gif = hello_html_63a6b001.gif .

б) hello_html_7c1da411.gif= 14. б) hello_html_2dd0db7b.gif = 3.

2. Найдите предел функции.

Блок А. Блок В.

а) hello_html_7da1cd48.gif ; а) hello_html_324df743.gif ;

б) hello_html_m6a1fba90.gif; б) hello_html_133da669.gif ;



в) hello_html_m16099327.gif в) hello_html_m55b955f4.gif ;













ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема. Вычисление производных.

Цель:

Производная функции у = ƒ(х) в точке х0 – это предел отношения приращения функции hello_html_m5552b9b2.gifу в этой точке к соответствующему приращению аргумента hello_html_m5552b9b2.gifх при hello_html_6bdb4f16.gif 0.

у΄(х) = hello_html_m677a8e24.gif = hello_html_m3271d06a.gif .

Производная обозначается у΄ («игрек штрих») или (х) («эф штрих от икс») или hello_html_m662eb956.gif ( «де игрек по де икс»).

Таблица производных

1

(С)΄ = 0, где С – постоянное число

10

(х)΄ = 1

2

hello_html_m5861e036.gif ѵ)΄ = υ΄ hello_html_m1ad1989e.gif΄

11

(hello_html_13be7c36.gif )΄ = - hello_html_15400806.gif

3

(υѵ)΄= υ΄ѵ + υѵ΄

12

(hello_html_63c3fd0b.gif)΄ = hello_html_m1de518e5.gif

4

hello_html_4de3aa0.gif ΄ = hello_html_m46a9b053.gif

13

hello_html_27ebeb79.gif )΄ = hello_html_15287bb0.gif

5

(Сυ)΄ = Сυ´

14

(sinх)΄=cоs х

6

(hello_html_m41a7af29.gif)΄ = nhello_html_m1c192fad.gif

15

(cоs х)΄ = - sin х

7

(hello_html_m663bdc12.gif )΄= hello_html_13be7c36.gif

16

(tg х)΄ = hello_html_m1bcc8ae3.gif

8

hello_html_237b81dd.gif )΄ = hello_html_m1684444f.gifhello_html_m5eb5c9fc.gif

17

(ctg х)΄ = - hello_html_m6ade377.gif

9

(hello_html_m5f9406c6.gif)΄= hello_html_743f2af8.gif

18




Фронтальная практическая работа

1. Найдите производные функций

а) у = hello_html_1477f6c5.gif - 4х + 3 б) у = hello_html_63c3fd0b.gif + hello_html_m128c2471.gifhello_html_15400806.gif + hello_html_m5211ff4.gif в) у = hello_html_54ffdf39.gif г) у = hello_html_m3e7edc7d.gif

2. Найти производную второго порядка от функции у = хhello_html_47278024.gifsinх.

3. В какой момент времени скорость тела, движущегося по закону Ѕ = 3hello_html_2ba3ab1c.gif- 15t + 2, равна 0? Найти ускорение тела.



Индивидуальная практическая работа

  1. Найти производную первого порядка :

Блок А Блок В

а) у = ех + е а) у = 4 е5х - 1

б) у = hello_html_63c3fd0b.gif + 5hello_html_66939158.gif + х б) у = hello_html_md66e744.gifhello_html_m2cf417b.gif

в) у = hello_html_3e08143b.gif в) у = hello_html_6511ad57.gif + hello_html_1477f6c5.giftgх

г) у = hello_html_509e34ee.gif sin х + hello_html_63c3fd0b.gif г) у = sin (2х - 1)hello_html_47278024.gifеах

2. Решить задачи:

а) Тело движется по закону Ѕ = hello_html_m127f2faf.gif - 6hello_html_2ba3ab1c.gif- 4t – 8(м). Определите скорость тела в конце 5 – ой секунды.

б) Найти ускорение тела, движущего по закону Ѕ = 0,5hello_html_47278024.gif sin 2t (м), при t = hello_html_m520d3cf1.gif.























































ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема. Исследование функций.

Схема исследования функций:

  • Найти область определения функции.

  • Установить, не является ли функция четной, нечетной, периодической.

  • Найти точки разрыва и исследовать пределы функции в этих точках.

  • Найти точки экстремума и значения функции в этих точках.

  • Исследовать интервалы возрастания и убывания функции.

Для исследования функции на возрастание и убывание находят производную ƒ΄(х) функции ƒ(х) определяют ее знак. (Если ƒ΄(х) hello_html_m42ce3b3b.gif 0, то ƒ(х) возрастает; если ƒ΄(х) hello_html_25434063.gif 0, то ƒ(х) убывает)

  • Найти точки перегиба.

  • Исследовать график функции на выпуклость и вогнутость.

  • Найти точки пересечения с осями координат.

  • Определить промежутки знакопостоянства функции, т.е. промежутки, на которых ƒ(х) hello_html_m42ce3b3b.gif 0 и ƒ(х) hello_html_25434063.gif 0.

  • Построить график заданной функции.

Пример 1. Исследовать функцию у = hello_html_m64ec7b5.gif и построить ее график. Решение. Область определения функции – вся числовая ось, кроме точки х = 1, поэтому, D(у) = (-hello_html_m4d339f38.gif1) hello_html_m4238755f.gif (1; +hello_html_4b4119be.gif). * Так как у (-х) = hello_html_m67d4abb0.gif = - hello_html_m64ec7b5.gif , то функция ни четная и ни нечетная. * Так как у(х + Т) = hello_html_m1bee8450.gif = hello_html_m9803f2d.gif ни при каком Т hello_html_m76c12b1f.gif0, то данная функция не периодическая. * Строим прямую х = 1. В случае, когда х приближается к 1 слева, значения функции стремятся к – hello_html_4b4119be.gif, а в случае, когда х приближается к 1 справа, значения функции стремятся к + hello_html_4b4119be.gif. Так как у = hello_html_406f8b71.gif + hello_html_61c62b59.gif = х + 1 + hello_html_61c62b59.gif , то при |х| hello_html_m37d5bf8e.gif график этой функции приближается к графику функции у1 = х +1. * Находим производную у΄ = hello_html_m7296cb61.gif = hello_html_m658ca167.gif и из уравнения hello_html_725ba36f.gif- 2х – 3 = 0 определяем критические точки: х1 = - 1 и х2 = 3. Так как для точек интервала ( - hello_html_4b4119be.gif; - 1) производная имеет знак «+», а для точек интервала ( - 1; 1) производная имеет знак «-», то точка х1 = -1 является точкой максимума функции. Аналогично убеждаемся, что точка х2 = 3 является точкой минимума функции. * Так как уравнение х2 + 3 = 0 не имеет действительных корней, то график функции не пересекает ось 0х. * На интервале (- hello_html_4b4119be.gif; - 1) функция возрастает, на интервале ( - 1; 1) – убывает, на интервале (1; 3) вновь убывает, на интервале (3; + hello_html_4b4119be.gif) – возрастает. Найдем точки графика при х1 = - 1 и х2 = 3; А ( - 1; - 2); В (3; 6). * Найдем точки пересечения графика функции с осью 0у: у(0) = - 3. * Построим график исходной функции.

у

hello_html_6e1e92c1.gifhello_html_59e77132.gifhello_html_m371ab53b.gifhello_html_5ace5448.gif

hello_html_312992e9.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_m2fe76a9.gifhello_html_m13a61b2e.gif6 В у = х + 1

hello_html_79ebe228.gif

hello_html_64f0209c.gif

hello_html_m7eaa7d36.gif

hello_html_m6c7aa170.gif

hello_html_m43717290.gif

hello_html_m22bfa973.gifhello_html_m6c7aa170.gif-1 1 3 Х

hello_html_79ebe228.gif

hello_html_m62fb6cc1.gifhello_html_531e35ce.gifА -2

-3

х = 1





Фронтальная практическая работа



Исследуйте функцию и постройте ее график



1. у = hello_html_725ba36f.gif+ 2х. 2. у = 3х - hello_html_509e34ee.gif.



3. у = hello_html_md1c10f9.gif . 4. у = х + hello_html_13be7c36.gif .

5. у = хhello_html_63c3fd0b.gif – 6х. 6. х3 – 6 х2.



















ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема: Вычисление вероятностей.

Испытанием называется совокупность условий, при которых может произойти данное случайное событие.

Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.(Например: выпадение от 1 до 6 очков при бросании игральной кости)

Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания не может произойти.(Например: выпадение 7 очков при бросании игральной кости)

Случайное событие – это событие, которое в результате испытания может произойти или не произойти. (Например: выпадение от 1 до 6 очков при бросании игральной кости)

События называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого. (Например: при бросании монеты выпадение одновременно орла и решки)

События называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого. (Например: при игре в карты появление валета и масти пик).

Для количественной оценки возможностей реализации события вводится понятие вероятности события – это число, характеризующее степень возможности появления событий при многократном повторении событий.

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятствующих исходов m к общему числу n: Р(А) = hello_html_347294ff.gif .

10. Теорема сложения вероятностей. Если события А и В несовместны, то Р(А + В) = В(А) + Р(В).

Если события А и В совместны, то Р(А + В) = В(А) + Р(В) – Р(АВ).

20. Теорема умножения вероятностей. Если события А и В независимы, то

Р(АВ) = Р(А) hello_html_47278024.gif Р(В).

30. Вероятность противоположного события Ā вычисляется по формуле

Р(Ā) = 1 – Р(А).

Ā – событие, противоположное событию А (читается «не А»)[событие, состоящее в ненаступлении события А]

Пример 1. В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).

Решение.

Число исходов, благоприятствующих событию А, равно сумме красных и зеленых шаров: m = 10. Общее число равновозможных несовместных исходов равно общему числу шаров в урне: n = 20. Тогда :

Р(А) = hello_html_347294ff.gif = hello_html_7630a4b5.gif =0,5.

Пример 2. Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при бросании игральной кости.

Решение.

Событие А – выпадение цифры 2, вероятность этого события Р(А) = hello_html_m56c92d0a.gif . Событие В(А) – вы- падение цифры 3, вероятность этого события Р(В) = hello_html_m56c92d0a.gif . События несовместные, поэтому

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = hello_html_m56c92d0a.gif + hello_html_m56c92d0a.gif = hello_html_m2770b11c.gif =hello_html_m4ccea8f3.gif .

Пример 3. В билете 3 раздела. Из 40 вопросов первого раздела студент знает 30 вопросов, из 30 вопросов второго – 15, из 30 вопросов третьего – 10. Определить вероятность правильного ответа студента по билету.

Решение.

Учитывая, что ответ на каждые разделы есть независимые события А, В, С, а их вероятности соответственно равны: Р(А) = hello_html_m2dbe7b95.gif.

Тогда вероятность правильного ответа на билет Р(К) находим по формуле

Р(К) = Р(А) hello_html_47278024.gif Р(В) hello_html_47278024.gif Р(С) = hello_html_m12cdc6bb.gif =0,125.

Фронтальная практическая работа.

  1. В урне 12 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 8 черных 4 белых. Из урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется белым?

  2. Из 600 наудачу взятых деталей 12 оказались бракованными. Найти частоту появления бракованных деталей.

  3. На складе имеется 50 деталей, изготовленных тремя бригадами. Из них 25 изготовлено первой, 15 – второй и 10 – третьей. Найти вероятность того, что на сборку поступила деталь, изготовленная второй или третьей бригадой.

  4. В одной урне 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.



ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема: Операции над множествами.



Множеством называют совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Множество состоит из элементов (множество студентов колледжа, рациональ- ных чисел). Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С … Элементы множества обозначаются малыми латинскими буквами а, b, с, … ,у. Пример 1. Если N – множество натуральных чисел, то 2 hello_html_76aaf380.gif, 10 hello_html_5b360e33.gif N, но - 5 hello_html_m50f80456.gif N. Пример 2. Пусть А – множество всех стран Европы, тогда Англия hello_html_5b360e33.gif А, в то время как Индия hello_html_m50f80456.gif А.

Объединением множеств А1 и А2 называют множество В, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А1 ,А2 .

Пересечением множеств А1 и А2 называют множество В, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А1 и множествуА2 одновременно.

Разностью множеств А1 и А2 называют множество В, состоящее только из тех элементов множества А1 , которые не содержатся в множестве А2.

Дополнением (до U) множества А называется множество Ā всех элементов, не принадлежащих А, но принадлежащих универсальному множеству U.

Фронтальная практическая работа.

  1. Запишите множество А, элементы которого суть делители числа 24.

  2. Найдите множество целых корней уравнения 9х2 – 1 = 0.

  3. Найдите пересечение множеств А = {0, 1, 2,3}, В = { -1,2, 3, 4, 5, 6}.

  4. Пусть Х – это множество государственных предприятий с годовым оборотом b не ниже а. Пусть Y – это множество предприятий с годовым оборотом b не выше с. (Пусть, аhello_html_25434063.gif с). Определить пересечение множеств Х hello_html_1a9d7e6.gif Y.

  5. Найдите разность множеств А = { 2n – 1, n hello_html_5b360e33.gif N} и В = {4m + 1, m hello_html_5b360e33.gif N}.

  6. Даны множества А1 = {а, b, с}; А2 = {с, d, e, f}; U = { а, b, c, d, е,f }. Осуществите над множествами операции а) объединения;

б) пересечения;

в) разности;

г) дополнения.





ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема: Вычисление неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл функции у = f(х) – это совокупность всех первообразных функций F(х) + С для функции f(х). Обозначается символом hello_html_m16da22aa.gif= F(х) + С, где hello_html_1070d831.gifзнак интеграла; f(х) – подынтегральная функция; f(х) dх – подынтегральное выражение; С – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение; х – переменная интегрирования.

Интегрирование – это отыскание первообразной по ее производной. Это действие, обратное дифференцированию.

hello_html_m44178e41.gifГеометрический смысл неопределенного интеграла: это семейство кривых, зависящих от одного параметра С, которые получаются путем параллельного переноса вдоль оси 0у.

hello_html_m44178e41.gifhello_html_ccb647c.gifhello_html_m5e88e258.gifу

hello_html_ccb647c.gifhello_html_24522952.gif

hello_html_m4315d3f8.gifhello_html_24522952.gifhello_html_m44178e41.gifС1 Кубическая парабола у = hello_html_2f354673.gif = hello_html_509e34ee.gif + С;

hello_html_ccb647c.gifС2 0 х

hello_html_24522952.gif

С3

Основные свойства неопределенного интеграла

  1. d hello_html_m617e7cf4.gif = f(х) + С.

  2. hello_html_m41634226.gif = f(х) + С.

  3. hello_html_m5fc07713.gif = С hello_html_m14b9392.gif – постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

  4. hello_html_m28f038c.gif = hello_html_m14b9392.gif + hello_html_4023f734.gif - интеграл суммы равен сумме интегралов.

Основные способы интегрирования

  1. Метод непосредственного интегрирования, который заключается в использовании основных свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличному виду.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл hello_html_m3ec99059.gif.

Решение. Используя 3 и 4 свойства неопределенного интеграла и таблицу интегрирования, получаем (таблица прилагается) hello_html_m3ec99059.gif = 3 hello_html_3b933b80.gif + 2 hello_html_3d011a06.gif = 3 hello_html_m3309f7ba.gif- 2cоs х + С.





  1. Метод подстановки или метод введения новой переменной.

Это самый эффективный прием сведения неопределенного интеграла к табличному виду.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл hello_html_m5b798bc2.gif.

Решение. Положим х + 1 = t, тогда х = t – 1; hello_html_1477f6c5.gif = hello_html_70ce8ed4.gif; hello_html_6be59ca5.gif = hello_html_m127f2faf.gif. Продифференцировав х + 1 = t, получим = dt. hello_html_m5b798bc2.gif = hello_html_6787f50b.gif = hello_html_m2169c949.gif = hello_html_710bfd97.gif - 2hello_html_715afa6d.gif + hello_html_m4f93bd16.gif = hello_html_710bfd97.gif - 2hello_html_m5139a572.gif +hello_html_mb8ac1e.gif =

hello_html_m554ed744.gif - 2 hello_html_m5ffcecd9.gif + hello_html_6d856c39.gif = hello_html_m554ed744.gif + hello_html_3cd50982.gif - hello_html_2e0773a5.gif + С = hello_html_m454ed570.gif+ hello_html_m7b7c317f.gif - hello_html_1d8f6310.gif + С.

  1. Метод интегрирования по частям. Пусть функция u = u(х) и v = v(х) определены и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям: hello_html_25aa2d1a.gif= uv - hello_html_m25b08940.gif.

Пример 3. Найти hello_html_1e44e0d6.gif .

Решение. Обозначим u = hello_html_m663bdc12.gif; dv = dх, hello_html_m587fadd4.gif = hello_html_m1d127b1f.gif ,т.е. v = х; du = (hello_html_m663bdc12.gif)' dх. По формуле (1) получаем: hello_html_m2d168adb.gif = х hello_html_m663bdc12.gifhello_html_7de52e35.gif = х hello_html_m663bdc12.gifhello_html_5c6224c5.gif = х hello_html_m663bdc12.gif - х + С = х (hello_html_m24c29671.gif)+ С.

Фронтальная практическая работа.

Найти неопределенный интеграл:

  1. hello_html_m3918b06e.gif. 2. hello_html_m71e225ee.gif.

hello_html_3352310f.gif. 4. hello_html_1600b394.gif.

hello_html_m3ae688fe.gif . 6. hello_html_4a435886.gif.

7.hello_html_7df7e30e.gif. 8. hello_html_m4f6df6e8.gif .

9. hello_html_2575d6df.gif. 10. hello_html_m3a623e54.gif

Индивидуальная практическая работа

Найти неопределенный интеграл:

Блок А Блок В

  1. hello_html_m7fa073.gif. 1. hello_html_5b8e81a5.gif . 2. hello_html_5f651eea.gif.

  2. hello_html_59f00683.gif. 3. hello_html_m6ef8f0a8.gif. 4. hello_html_m632ed899.gif.

  3. hello_html_m27704ff3.gif . 5. hello_html_m729c34c8.gif.

  4. hello_html_m1336545.gif . 6. hello_html_684ae784.gif. 7. hello_html_m3ed64afe.gif .

  5. hello_html_34edc7c0.gif . 6. hello_html_55310f8e.gif . 8. hello_html_m243e277c.gif. 9.hello_html_m297ae3e6.gif.

hello_html_1c70f053.gifПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема: Вычисление определенного интеграла.

Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(х) на отрезке [а, b]. Определенный интеграл обозначается: hello_html_b5c5c5f.gif, где f(х) – подынтегральная функция; х – переменная интегрирования; число а называется нижним пределом интеграла, bверхним; [а, b] – промежуток интегрирования.

Если F(х) – первообразная функция для непрерывной функции у = f(х), т.е. F'(х) = f(х), то имеет место формула: hello_html_b5c5c5f.gif = F(х)|hello_html_m238e7fa6.gif= F(b) – F(а). Это формула Ньютона – Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределенным интегралом. Она читается так: Определенный интеграл это разность значений любой первообразной функции для f(х) при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Разница между определенным и неопределенным интегралами: определенный интеграл – это число, а неопределенный интеграл – это функция.

Основные свойства определенного интеграла

  1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

hello_html_b5c5c5f.gif = - hello_html_63b0690b.gif.

  1. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

hello_html_44601c12.gif = 0.

  1. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

hello_html_3b1b00d5.gifhello_html_m5a7c56c1.gif.

  1. Определенный интеграл от алгебраической суммы(разности) функций равен алгебраической сумме(разности) их определенных интегралов:

hello_html_1764bc69.gif = hello_html_b5c5c5f.gifhello_html_m5861e036.gifhello_html_m64a929f7.gif.

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

hello_html_m589ba33e.gif = С hello_html_b5c5c5f.gif.

  1. Если функция f(х)hello_html_65568132.gif0 всегда на отрезке [а,b], то hello_html_b5c5c5f.gifhello_html_194bd5b5.gif

  2. Если f(х) hello_html_5f6f4b85.gif g(х) всюду на отрезке [а,b], то hello_html_b5c5c5f.gifhello_html_5f6f4b85.gifhello_html_m64a929f7.gif.

Гhello_html_m87b7d8c.gifhello_html_2f0dab80.gifhello_html_m7620e0a2.gifhello_html_2d9019d0.gifhello_html_6e0639f8.gifеометрический смысл определенного интеграла: он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = а, х = b и частью графика функции у = f(х), взятой со знаком плюс, если функция положительна, и со знаком минус, если функция отрицательна у b

Гhello_html_m77eb49ec.gifhello_html_m5dc47f72.gifhello_html_736b7325.gifhello_html_37524368.gifhello_html_7345df8e.gifhello_html_367e0cef.gifеометрическая интерпретация а определенного интеграла.

х

Пример 1. Вычислите: hello_html_5ec4cd96.gif.

Решение. Применим формулу Ньютона – Лейбница и свойства определенного интеграла:

hello_html_5ec4cd96.gif = 3 hello_html_f73e56.gif =hello_html_509e34ee.gif|32 = hello_html_7d8b364d.gif - hello_html_7b1d2f5a.gif = 27 – 8 = 19.

Пример 2. Вычислите: hello_html_4221460e.gif .

Решение. Обозначим 4х + 3 = z, откуда 4dх = dz или dх = hello_html_m67264fb9.gif ; при х = – 1, tн = – 4 + 3 = – 1; при х = 1, tв = 4 +3 = 7. Следовательно,

hello_html_m3f430938.gif =hello_html_6b464d2f.gif = hello_html_md66e744.gifhello_html_m61117c34.gif = hello_html_md66e744.gifhello_html_m52a26b44.gif= hello_html_m24d9fad1.gif .

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную графиками функций у = hello_html_1477f6c5.gif и у = х.

Рhello_html_205ea87c.gifешение. Построим графики данных функций, найдя предварительно точки их пересечения путем решения системы: у = х2, у = х. Решив систему, получим точки О (0; 0) и А (1; 1).

hello_html_m7c901542.gifhello_html_2769a6f1.gifhello_html_168cb233.gifhello_html_m2b292b13.gifу = х2 у Взяв f(х) = х, вычислим площадь hello_html_m5552b9b2.gifОАВ, а

hello_html_66705ccc.gifвзяв f(х) = х2 , вычислим площадь криво-

у = х линейного hello_html_m5552b9b2.gif ОАВ. Затем из первого

hello_html_m13a61b2e.gifhello_html_259f0e95.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_259f0e95.gifhello_html_m2635b5b4.gifА результата вычтем второй. Итак,

hello_html_m58c91b97.gifhello_html_m69870290.gifhello_html_259f0e95.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m65022cf7.gifhello_html_m69870290.gifВ х hello_html_m1a30b785.gif = hello_html_m3b63cc37.gif|hello_html_33fb54e2.gif= hello_html_m1722f874.gif – 0 = hello_html_m1722f874.gif ;

hello_html_18c66177.gif0 1 hello_html_3cb09a29.gif = hello_html_m18f92fcf.gif|hello_html_33fb54e2.gif = hello_html_m67a136ab.gif – 0 = hello_html_m4ccea8f3.gif. Следовательно, площадь S фигуры, ограниченная заданными линиями S = hello_html_m1722f874.gif - hello_html_m4ccea8f3.gif = hello_html_m56c92d0a.gif (кв.ед.)

Фронтальная практическая работа.

Вычислите:

  1. hello_html_3f93fadb.gif. 2. hello_html_mfc04b0a.gif. 3. hello_html_m67f548e5.gif. 4. hello_html_7f2379ca.gif . 5. hello_html_5f701a4c.gif.

6. Определить площадь полуволны синусоиды.

7. Определить площадь, ограниченную графиками функций у = х2 и у = 3х.

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х3 – 6х2 + 11х – 6, осью 0х и прямыми х = 0 и х = 4.



Пhello_html_1c70f053.gifРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема: Приложение интеграла к решению задач.

Определенный интеграл находит широкое применение при решении физико-технических задач различного характера. С его помощью можно вычислить работу, производимую силой; давление жидкости; путь, пройденный телом; центр тяжести фигуры; объемы тел по площадям сечений и многие другие величины.

При всем их разнообразии эти задачи объединяет общность метода решения, а именно: во всех задачах необходимо вычислить предел суммы растущего числа малых слагаемых.

Применение определенного интеграла к решению задач прикладного характера проводится по следующим правилам.

  1. Выбирают независимую переменную, искомую величину разбивают на как угодно малые части, постепенно увеличивая их число так, что величина каждой стремится к нулю.

  2. Отбрасывая, бесконечно малые более высокого порядка малости, заменяют каждую из бесконечно малых частей искомой величины эквивалентной, так называемой элементарной, ее частью f (х)hello_html_m5552b9b2.gifх.

  3. Независимая переменная изменяется в пределах от а до b, и потому искомая величина равна hello_html_36e7b1f9.gif = hello_html_b5c5c5f.gif.

Вычисление работы, производимой силой.

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси 0х материальной точки от х = а до х = b, находится по формуле А = hello_html_b5c5c5f.gif.

Пример 1. Найти работу, необходимую для выкачивания воды из бассейна, имеющего форму полуцилиндра, длина которого a = 25 м, а радиус R = 20 м.

Решение. Примем за х высоту, на которую надо поднять воду, чтобы выкачать ее из бассейна. Разобьем объем бассейна на слои, параллельные поверхности воды, толщина которых , длина а, ширина 2hello_html_2e9fdb29.gif. Назовем их элементарными слоями. Объем элементарного слоя, находящегося на глубине х, dV = 2 аhello_html_646aea5.gif.

Для подъема этого слоя воды на высоту х необходимо выполнить элементарную работу dА = hello_html_77af3cb4.gifgхdV = hello_html_m75777a42.gifg ахhello_html_18c4335d.gif, где hello_html_77af3cb4.gifплотность воды.

Значит, вся работа по выкачиванию воды из бассейна А = hello_html_186cd5c8.gifаhello_html_77af3cb4.gifg hello_html_m776f9e0e.gif. = – аhello_html_77af3cb4.gifg hello_html_6a7c2f7c.gif|hello_html_m28eb2499.gif = = hello_html_m3d7734e1.gif hello_html_77af3cb4.gifgаhello_html_500c7313.gif = hello_html_m3d7734e1.gif hello_html_77af3cb4.gifg25hello_html_m4172f415.gifhello_html_m61dd7eb1.gifhello_html_77af3cb4.gifg.

При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука: F = kх, где F – сила, Н; х – абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F; k – коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример 2. Вычислить работу силы F при сжатии винтовой пружины на 0,04м, если для сжатия ее на 0,01м нужна сила 10 Н.

Решение. Так как х = 0,01м при F = 10 Н, то по закону Гука 10 = khello_html_47278024.gif0,01, откуда k = 1000 Н/м. Значит F = 1000 k, т.е. f(х) = 1000 х. Искомую работу найдем по формуле А = hello_html_b5c5c5f.gif, полагая а = 0, b = 0,04;

А = hello_html_75eb3280.gif = 500hello_html_1477f6c5.gif|hello_html_m188cf334.gif = 0,8 Дж.

Вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Если точка движется по некоторой линии и ее скорость hello_html_2fdf101a.gif = f(t) есть данная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t1; t2], S = hello_html_2b0a4a63.gif.

Пример 3. Найти путь, пройденный материальной точкой за 10 секунд от начала движения со скоростью hello_html_2fdf101a.gif = 0,1 hello_html_m127f2faf.gifм/с.

Решение. S = hello_html_7a834b3f.gif = 0,1hello_html_a83abc1.gif |hello_html_m3fb4eff8.gif= 0,1hello_html_6947c279.gif – 0 = 250м.

Фронтальная практическая работа.

  1. Скорость движения точки по закону ѵ = (3t2 + 2t + 1) м/с. Найти путь, пройденный точкой эа 10 секунд от начала движения.

  2. Скорость движения точки ѵ = (9t2 – 8t) м/с. Найти путь, пройденной точкой за четвертую секунду.

  3. Скорость движения точки ѵ = (12t – 3t2) м/с. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

  4. Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из полусферического сосуда, диаметр которого 20м.

  5. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

  6. При сжатии пружины на 0,05 м затрачивается работа 25 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1м?

  7. Для растяжения пружины на 0,04 м необходимо совершить работу 20 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу 80 Дж? hello_html_1c70f053.gif







ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Дифференциальные уравнения широко используются для решения прикладных задач. Многие производственные процессы достаточно просто и полно описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому весьма важно не только уметь решать сами дифференциальные уравнения, но и уметь в каждом конкретном случае, исходя из чисто практических нужд, составлять эти уравнения. Составление дифференциального уравнения по условию задачи состоит обычно в определении математической зависимости между переменными величинами, фигурирующими в условии задачи, и их приращениями, которые обычно заменяются соответствующими дифференциалами.

Общими положениями при составлении дифференциального уравнения по условию задачи являются следующие.

  1. В результате анализа условия задачи установить, какую из величин надо принять за аргумент, а какую – за функцию.

  2. Установит, какой конкретный смысл имеет производная искомой функции или дифференциалы аргумента и функции.

  3. Найти соотношения, связывающие производную искомой функции (или дифференциалы), т.е. составить дифференциальное уравнение, соответствующее условию задачи.

  4. Определить начальные условия.

Пример 1. Найти закон движения тела по оси 0х, если оно начало двигаться из точки М (4;0) со скоростью ѵ = 2t + 3t2.

Решение. При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по времени. Обозначив путь через х, имеем ѵ = hello_html_m27296f46.gif ; тогда hello_html_m27296f46.gif = 2t +3t2, или = (2t + 3t2) dt. Проинтегрировав, получим х = hello_html_2ba3ab1c.gif + hello_html_m127f2faf.gif + С. Используя начальные условия, найдем С. Так как х = 4 при t = 0, то, подставив эти значения в общее решение, находим С = 4. Итак, закон движения тела имеет вид х = hello_html_2ba3ab1c.gif + hello_html_m127f2faf.gif + 4.

Пример 2. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М (2; -3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом 4х – 3.

Решение. Согласно условию задачи, имеем hello_html_78d5007a.gif = 4х -3, или = (4х -3) dх. Проинтегрировав, получим у = 2х2 – 3х + С. Используя начальные условия х = 2 и у = – 3, находим С = – 5. Следовательно, искомое уравнение имеет вид у = 2х2 – 3х – 5.

Индивидуальная практическая работа.

Подобрать (задать) условие задачи на составление дифференциального уравнения.

Автор
Дата добавления 02.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров456
Номер материала ДВ-221947
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх