Методические рекомендации по решению текстовых задач 9-11 кл.

Методическая разработка внеклассного занятия в 9, 11 классах по теме «Решение текстовых задач в плане подготовки к ЕГЭ и ГИА»

Сопроводительная записка

Тема данного занятия выбрана из-за того, что при подготовке учащихся к сдаче экзаменов ЕГЭ и ГИА по математике постоянно наталкиваешься на «боязнь» учащихся текстовых задач и неумение их решать, хотя у них за плечами все темы школьного курса математики 5-9 классов: «Решение линейных уравнений», «Решение текстовых задач с помощью линейных уравнений», «Решение квадратных уравнений», «Системы уравнений с двумя неизвестными», «Решение задач с помощью квадратных уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными».

Основные затруднения:

а) выделение неизвестной величины, ее связи с другими величинами задачи;

б) составление уравнений, систем уравнений;

в) выбор ответа.

После занятия выпускники должны уяснить, что существует последовательная система работы с задачей, которая приводит к положительному результату.

Зная данные особенности подхода к решению задач, учащиеся убеждаются, что задачи решаются, даже не очень сильными учениками, хотя это требует дальнейшего подтверждения на аналогичных занятиях.

Тема: Решение текстовых задач в плане подготовки ЕГЭ и ГИА.

Девиз: «Нахождение способа решения задачи подобно изобретению, а изобретение требует воображения, догадки, фантазии. Поэтому развивайте у себя эти качества»

Цель занятия:

1)    Образовательная: знакомство с «умным» подходом к решению текстовых задач способом составления уравнений, совершенствование расширением знаний в этой области;

2)    Воспитательная: воспитание чувства ответственности, формирование творческого подхода к решению поставленной задачи, интереса к познавательному поиску;

3)    Развивающая: развитие логики, внимания, мыслительной деятельности.

Оборудование: компьютер с проектором, диск с содержанием данного занятия (задачи).

Тип занятия: урок решения текстовых задач, содержащихся в примерных вариантах ЕГЭ.

I.      Организация на занятие

II.   Сообщение темы и целей занятия.

В беседе с учащимися о содержании текстовых задач выявляются основные виды задач, предлагаемых на экзамене.

Виды задач, предлагаемых на экзамене:

а) задачи на «деление на части», пропорции, проценты, «куплю-продажу».

б) задачи на движение

в) задачи на работу

г) задачи на смеси, сплавы, растворы

и так далее.

III.         Устная работа.

1)    В летнем лагере на каждого участника полагается 15г. масла в день. В лагере 87 человек. Сколько упаковок масла по 200г. понадобится на 1 день?

2)    В обменном пункте 1 украинская гривна стоит 3 рубля 90 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили арбуз весом 6 кг. по цене 2 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка.

3)    Для ремонта квартиры купили 50 рулонов обоев. Сколько пачек обойного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 6 рулонов.

4)    Рубашка стоила 1000 рублей. После снижения цены она стала стоить 780 рублей. На сколько % была снижена цена на рубашку.

5)    Призерами городской олимпиады по математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

6)     Мобильный телефон стоит 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили на 280 рублей. На сколько % была снижена цена?

IV.         По итогам устной работы учащимся предлагается назвать способы решения задач, которые были ими применены. Далее учитель дополняет составленный учащимися список нестандартными способами решения задач и представляет их кратко.

Способы решения задач.

1)    Арифметический способ;

2)    С помощью уравнений или систем уравнений;

Нестандартные способы решения задач.

1)    Переформулировка задач

2)    «Лишние» неизвестные

3)    Использование делимости

4)    Решение задач в общем виде

5)    Метод подобия

V. Далее ученикам обосновывается необходимость структурного подхода к решению текстовых задач. С помощью наводящих вопросов учащиеся строится наглядная схема процесса решения задач и параллельный пошаговый план работы при решении текстовой задачи.

Процесс решения задачи

Схема решения задачи

·        Анализ условия задачи

·        Составление плана решения

·        Построение математической модели

·        Решение задачи в различных моделях

·        Поиск других решений

·        Описание решения задачи и выделение общей схемы

·        Составление обратных задач и их решение

·        Установление границ применения способа решения задачи для задач с другим содержанием

·        Составление обобщений задачи, ее решения и исследования.

Далее производится конкретный разбор каждого пункта полученной схемы. На первом шаге рассматриваются приемы анализа условия задач.

Приемы анализа текста задачи: «Чтобы узнать, надо знать».

1)    Переформулировка вопроса задачи, замена поставленного вопроса.

2)    Постановка вопроса к данному условию задачи.

3)    Нахождение необходимых для ответа на поставленный вопрос.

4)    Исследование задач с недостающими, лишними, противоречивыми данными

5)    Сравнение условий нескольких задач.

При разборе математических моделей большее внимание уделяется решению текстовых задач с помощью уравнений.

Решение задач с помощью уравнения

Чтобы составить уравнение по задаче, нужно ответить на вопросы, постепенно оформляя на черновике краткое условие задачи.

1.     О каком процессе в задаче идет речь? Какими величинами характеризуется этот процесс?

2.     Сколько процессов в задаче?

3.     Какие величины известны и что нужно найти?

4.     Как связаны величины в задаче?

5.     Какую величину удобно обозначить, например, буквой Х.

6.     Какое условие нужно использовать для составления уравнения?

7.     Легко ли решить полученное уравнение?

VI.     После окончания разбора каждого пункта плана решения задач на примере конкретной задачи разбираются различные способы ее решения. Учащимся демонстрируется необходимость сознательно-творческого подхода к задаче, а также то, что каждый из них может решить задачу правильно, но различными способами.

Задача для разбора

Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Через 45 минут из А в В выехал велосипедист. Когда велосипедист прибыл в пункт В, пешеходу оставалось пройти 3/8 всего пути. Сколько времени потратил пешеход на весь путь, если известно, что велосипедист догнал пешехода на половине пути из пункта А в пункт В, а скорости пешехода и велосипедиста постоянны?

Решение.

1 способ.

Пусть время движения пешехода из А в В составляет х ч, а время движения велосипедиста из А в В составляет у ч. Тогда на половину пути пешеход затратил  ч, что равно . Составим первое уравнение: .

Так как при движении с постоянной скоростью пройденное расстояние пропорционально времени движения, то в тот момент, когда велосипедист прибыл в В, пешеход прошел  расстояния от А до В и затратил на это  ч, что равно ч. Составим второе уравнение: .

Решив систему уравнений

Найдем, что х=2, y=0,5. То есть время движения пешехода из А в В составляет 2ч.

2 способ.

Так как скорости велосипедиста и пешехода постоянны, то и вторую половину пути велосипедист проедет на  ч быстрее, чем пешеход, то есть на  всего пути пешеход затратит  от времени, затраченного им на движение от пункта А до пункта В. Тогда  ч составляют  от времени движения пешехода от пункта А до пункта В, которое составляет  ч.

3 способ.

Пусть пешеход прошел весь путь за х часов. Поскольку встреча произошла на половине пути, то велосипедист проезжает половину пути за  часа, а весь путь за (х-3/2) часа. Значит, скорость пешехода составляет , а велосипедиста - . После встречи за время  часа велосипедист доехал до пункта В, то есть проехал ½ пути, а пешеход прошел  пути. Составим уравнение:

Ответ: Пешеход потратит на весь путь 2 часа.

VII.   Далее проводится самостоятельная работа учащихся в группах для практического применения и закрепления полученных знаний.

Учащиеся выбирают задачу из предложенных, решают их в группах, оформляют их решение, обсуждают различные способы, представляют решения для других групп, делая акцент на предложенную схему процесса решения задачи.

Самостоятельное решение задач из примерных вариантов ЕГЭ.

а) два велосипедиста одновременно отправились в 110-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 1 км/ч больше, чем скорость второго и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

б) заказ на 120 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 2 детали больше.

в) в течение февраля цены на огурцы выросли на 30%, а в течении марта – на 20% от цены февраля. На сколько процентов поднялась цена за два месяца.

г) если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится число 2. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится 2,25. Найдите это число.

д) кусок первого сплава меди и олова весом 1 кг содержит 30% меди. При сплавлении этого куска с некоторым количеством второго сплава меди и олова, содержащего 40% олова, получится сплав, в котором содержание меди и олова относилось как 2:3. Сколько килограмм второго сплава было добавлено.

Подведение итогов занятия

Ответы учащихся на вопрос учителя, что нового для себя в работе над задачей узнали, с какими трудностями встретились при решении задач.

Вывод: любая задача проверяет не только владение определенным набором математических умений, но и умение анализировать ситуацию, рассуждать, делать выводы, проверять правильность полученного результата, применять знания в нестандартной ситуации.

Литература

1.     Р. Г. Зияитдинов «Решение текстовых задач»

2.     Л. М. Фридман «Как научиться решать задачи»

3.     М.К.Кузин «Задачи как цель и средство обучения математике», Ж-л. «Математика в школе», №4, 1980г.

4.     В.П.Рудченко «Текстовые задачи и развитие продуктивного мышления учащихся», Ж-л. «Математика в школе», №4, 1993г.

5.     А.В.Шевкин «Текстовые задачи в школьном курсе математики» (5-9 классы)

6.     П.Сапунов «Решение задач методом составления уравнения с одним неизвестным»

7.     А. Горский «К вопросу методики решения задач на составление уравнений»

• 1 слайд

  ГОТОВИМСЯ
  к ОГЭ 2016
  ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
  ( 2 часть)
  

• 2 слайд

  Если вы хотите научиться плавать,
  то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи,
  то решайте их!
  (Д. Пойа)
  

• 3 слайд

  
  Содержание
  
  Памятки по решению различных задач
  Приведено решение – 8 задач
  Для самостоятельной работы – 7 задач
  

• 4 слайд

  Памятка при решении задач на
  движение
  Путь = скорость · время
  При движении по реке:
  Скорость по течению = собственная скорость транспорта + скорость течения реки
  Скорость против течения = собственная скорость транспорта - скорость течения реки
  

• 5 слайд

  Памятка для решения задач на проценты
  Процентом числа называется его сотая часть.
  Например:
  1% от числа 500 – это число 5.
  -нахождение процента от числа:
  Найти 3 % от числа 500;15 % от числа 60.
  -нахождение числа по его процентам:
  Найти число, 12% которого равны 30.
  -нахождение % отношения чисел:
  Сколько % составляет 120 от 600?
  
  

• 6 слайд

  Памятка для решения задач на концентрацию, смеси, сплавы.
  концентрация(доля чистого вещества в смеси)
  -количество чистого вещества в смеси
  -масса смеси.
  масса смеси · концентрация = количество чистого вещества.
  
  

• 7 слайд

  Памятка при решении задач на работу
  -время работы
  -объем работы
  -производительность
  
  Объем работы = время работы · производительность
  
  

• 8 слайд

  При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получился раствор, содержащий 30% кислоты.
  В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
  Решение.
  20%=1/5
  
  30%=3/10
  50%=1/2
  Составим уравнение:
  1/5 ·х + 1/2·у = 3/10·(х + у)
  х
  у
  х + у
  получили
  

• 9 слайд

  Решаем уравнение: 1/5·х + 1/2·у = 3/10·(х + у)
  1/5·х + 1/2·у = 3/10·х + 3/10·у
  1/5·х - 3/10·х = 3/10·у - 1/2·у
  х (1/5 - 3/10) = у (3/10 - 1/2 )
  Надо найти отношение первого и второго растворов, т.е. как х : у, поэтому уравнение делим на у:
  Получаем: х/у ·(-1/10) = -1/5
  х/у = (-1/5) : (-1/10) = -1/5 · (-10/1) = + 2
  Значит х : у = 2:1
  Ответ: 2:1
  

• 10 слайд

  При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 48%, получился раствор, содержащий 42% кислоты.
  В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
  Решение.
  (самостоятельно)
  
  Ответ: 2:1
  

• 11 слайд

  Теплоход плывёт из А в В двое суток, из В в А трое суток. Сколько суток
  плывет из А в В плот?
  Решение: если S – путь из А в В
  х – собственная скорость теплохода
  у – скорость течения реки,
  то время движения плота равно S/у
  Т.к. S = (х+у)·2 и S = (х-у)·3
  составим уравнение: 2х+2у = 3х-3у
  -х = -5у; х = 5у
  Значит S = 2х+2у = 2·5у+2у = 12у
  Тогда S/у = 12у : у = 12
  Ответ: 12 суток
  

• 12 слайд

  В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 84, а сумма второго и третьего членов равна 112. Найдите первые три члена этой прогрессии.
  Решение. по условию задачи
  но (по опред.геом.прог.) а2= а1·q; а3= а1·q²,
  тогда
  

• 13 слайд

  продолжение
  
  
  
  
  84q + 84q² - 112 – 112q = 0
  84q² - 28q-112=0 |:28
  3q² - q – 4 = 0
  т.к. а-в+с=0, то q1=-1
  (не подходит по ОДЗ)
  q2=4/3
  Найдем
  
  1+q ≠ 0
  q ≠ -1
  Ответ: 36; 48; 64
  

• 14 слайд

  В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 40, а сумма второго и третьего равна 60. Найдите первые три члена этой прогрессии.
  Решение.
  самостоятельно в парах.
  
  
  Ответ: 16; 24; 36
  

• 15 слайд

  Теплоход проходит по течению до пункта назначения 126 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 2 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается ровно через сутки после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
  Решение.
  Пусть х – км/ч собственная скорость теплохода
  (х+2) – скорость по течению
  (х-2) – скорость против течения
  т.к. 8 часов длилась стоянка, то (24-8)=16 часов время движения.
  

• 16 слайд

  Составим уравнение по условию задачи:
  (х+2)(х-2) ≠ 0
  х ≠ - 2 и х ≠ 2
  126х – 252 + 126х + 252 = 16х² - 64
  126х – 252 + 126х + 252 - 16х² + 64 = 0
  -16х² + 252х + 64 = 0 |: (-4)
  4х² - 63х – 16 = 0
  D = 63² -4·4·(-16)= 3969+256=4225=65²
  х1 = 128 : 8 = 16
  х2 = -2 : 8 <0 (не подходит)
  Ответ: 16 км/ч
  Проверка.
  

• 17 слайд

  Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения160 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается ровно через 20 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
  Решение.
  самостоятельно в парах.
  
  Ответ: 2
  

• 18 слайд

  На изготовление 180 деталей первый рабочий тратит на 3 часа меньше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 3 детали больше.
  Решение.
  Пусть х – производительность (дет./час) второго рабочего, тогда
  (х+3) – производительность первого рабочего
  Значит
  

• 19 слайд

  Составим уравнение по условию задачи:
  х (х + 3) ≠ 0
  х ≠ 0 ; х ≠ - 3
  180х + 3х² + 9х = 180х + 540
  3х² + 9х – 540 = 0 | : 3
  х² + 3х – 180 = 0
  D = 9 - 4·(- 180) =9 + 720 = 729 = 27²
  х1 = 24: 2 = 12
  х2 = -30 : 2 < 0 (не подходит)
  Проверка.
  Ответ: производительность второго рабочего 12 деталей в час
  

• 20 слайд

  Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа.За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая?
  Решение.
  самостоятельно в парах.
  
  Ответ: 3
  

• 21 слайд

  Туристы на моторной лодке прошли 1 час по течению реки, после чего выключили мотор и плыли по течению реки ещё 30 минут.
  Затем они, включив мотор, повернули обратно и через 3 часа после этого прибыли к месту старта. Во сколько раз скорость течения реки меньше собственной скорости лодки.
  Решение.
  Пусть х –км/ч собственная скорость лодки
  у – скорость течения реки
  Тогда (х+у) - скорость лодки по течению
  (х-у) – скорость лодки против течения
  Надо найти х:у?
  

• 22 слайд

  Знаем, что S = v·t и 30 минут = ½ часа,
  Путь лодки по течению: S = (х+у)·1+у·1/2
  Путь лодки против течения: S = (х-у)·3
  Т.к. путь один и тот же, то составим уравнение:
  ×2
  2х + 2у + у = 6х – 6у
  2х – 6х = -3у -6у
  -4х = - 9у (делим на у)
  Значит:
  Ответ: в 2,25 раз….
  

• 23 слайд

  Туристы на моторной лодке прошли 2 часа против течения реки, после чего повернули обратно и 12 минут шли по течению, выключив мотор. Затем они включили мотор и через 1 час после этого прибыли к месту старта. Во сколько раз скорость течения реки меньше собственной скорости лодки?
  Решение.
  самостоятельно в парах.
  
  Ответ: 3,2
  

• 24 слайд

  Из города А в город В выехала грузовая машина. Спустя 1,2 часа из пункта А вслед за ней выехал автобус. Через 0,8 часа после своего выезда он отставал от машины на 24 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она больше скорости грузовой машины на 30 км/ч.
  Решение.
  Пусть х – км/ч скорость автобуса, тогда
  (х-30) – скорость грузовой машины.
  Время движения автобуса:
  Время движения машины:
  Путь, пройденный автобусом: 0,8 · х
  Путь, пройденный машиной: 2 · (х-30)
  
  

• 25 слайд

  Составим уравнение по условию задачи:
  0,8х + 24 = 2(х-30)
  0,8х + 24 = 2х – 60
  0,8х – 2х = - 24 – 60
  - 1,2х = - 84
  12х = 840
  х = 840 : 12 = 70
  Проверка (по условию задачи).
  Ответ: скорость автобуса 70 км/ ч
  

• 26 слайд

  Из города А в город В выехал автобус, Спустя 0,5 часа вслед за ним из пункта А выехал автомобиль. Через 1,1 часа после своего выезда он, обогнав автобус, находился на расстоянии 2 км от него. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 20 км/ч меньше скорости автомобиля.
  Решение.
  самостоятельно в парах.
  
  Ответ: 40
  

• 27 слайд

  Теплоход идет по течению реки в 5 раз медленнее, чем скутер против течения, а по течению скутер идёт в 9 раз быстрее, чем теплоход против течения. Во сколько раз собственная скорость скутера больше собственной скорости теплохода?
  Решение.
  Пусть х –собственная скорость теплохода
  у – собственная скорость скутера
  а – скорость течения реки
  Надо найти ?
  

• 28 слайд

  Составим систему уравнений по условию задачи:
  +
  -4х = - 16а
  х = 4а
  если у + а = 9х - 9а, то у = 9х – 10а
  Найдем у: у = 9·4а – 10а = 26а
  Найдем :
  Ответ: в 6,5 раза ….
  

• 29 слайд

  Теплоход идёт по течению реки в 2 раза медленнее, чем скутер против течения, а по течению скутер идёт в 4 раза быстрее, чем теплоход против течения.
  Во сколько раз собственная скорость скутера больше собственной скорости теплохода?
  Решение.
  самостоятельно в парах.
  
  
  Ответ: в 2,75 раза
  

• 30 слайд

  Интернет-ресурсы
  Фон:
  http://www.flywebtech.com/images/bg.jpg
  
  Компьютер:
  http://moodle.belmont.gloucs.sch.uk/file.php/1/ICT_2.png
  Автор шаблона: Ранько Елена Алексеевна, учитель начальных классов МАОУ лицей №21 г. Иваново
  А.В. Семенов и др. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика 2014., М., Интелект-Центр, 2014
  

Тема: Подготовка к ГИА. Решение текстовых задач.

Задача №1

Велосипедист едет сначала 3 минуты с горы, а затем 9 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 12 минут. При этом в гору велосипедист едет всегда с одной и той же скоростью, а с горы – с большей, но также всегда одинаковой скоростью. Во сколько раз скорость движения велосипедиста с горы больше, чем его же скорость в гору?

Решение:

Пусть    м/мин скорость велосипедиста с горы,  м/мин скорость велосипедиста в гору, тогда 3 (м) длина спуска, 9 (м) длина подъема  (мин) велосипедист потратил на обратном пути на путь с горы, и   (мин) – потратил на путь в гору. Известно, что на обратный путь он потратил 12 мин

Уравнение: +=12

                     +=4

Обозначим =k, тогда k+=4

                    -4k+3=0

                    D=-=4

                   ==1;    ==3

Т.к.     =k, то =1 (не удовлетворяет условию задачи, т.к. скорость велосипедиста с горы больше, чем скорость велосипедиста в гору), значит =3

Ответ: 3

Задача №2

Велосипедист едет сначала 8 минут с горы, а затем 12 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 35 минут. При этом в гору велосипедист едет всегда с одной и той же скоростью, а с горы – с большей, но также всегда одинаковой скоростью. Во сколько раз скорость движения велосипедиста с горы больше, чем его же скорость в гору?

Решение:

Пусть    м/мин скорость велосипедиста с горы,  м/мин скорость велосипедиста в гору, тогда 8 (м) длина спуска, 12 (м) длина подъема  (мин) велосипедист потратил на обратном пути на путь с горы, и   (мин) – потратил на путь в гору. Известно, что на обратный путь он потратил 12 мин

Уравнение: +=35

Обозначим =k, тогда 8k+=35

                    8-35k+12=0

                    D=-=1225-384=841

                   ==;   ==4

Т.к. скорость велосипедиста с горы больше, чем скорость велосипедиста в гору, то =4

Ответ: 4

Задача №3

Два велосипедиста одновременно отправились в 153-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 8 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

Решение:

	V (км/ч)	S (км)	t (ч)
I велосипедист	x+8	153
II велосипедист	x	153

Известно, что второй велосипедист был в пути на 8 часов больше, чем первый.

Уравнение:

                    -=8, где x≠0, x≠-8

                     153(x+8)-153x=8x(x+8)

                     153x+1224-153x=8+64x

                      8+64x-1224=0

                     +8x-153=0

                     =16+153=169

                      = -4-13= -17 (не удовлетворяет условию задачи);

                      = -4+13=9, значит 9 км/ч скорость второго велосипедиста

                      9+8=17 (км/ч) скорость первого велосипедиста

Ответ: 17 км/ч.

Задача №4

Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через один час пути вынужден был сделать остановку на 15 мин. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение:

	V (км/ч)	S (км)	t (ч)
Из А в В	x	88
Из В в А	x	x	1
	x+2	88-x

Известно, что велосипедист на обратном пути делал остановку на 15 мин = ч

Уравнение:

                   

                 , где x≠0, x≠-2

                   352(x+2)-4x(88-x)-5x(x+2)=0

352x+704-352x+4-10x=0

--10x+704=0

+10x-704=0

=25+704=729

=-5-27= -32 (не удовлетворяет условию задачи);

=-5+27=22, значит 22 км/ч скорость велосипедиста на пути из А в В.

Ответ: 22 км/ч.

Задача №5

Четыре бригады должны были разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвертая бригада вместе могут выполнить эту работу за четыре часа, первая, третья и четвертая- за четыре часа. Если же будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за шесть часов. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе.

Решение:

Весь объем работы обозначим за 1.

Пусть x- производительность первой бригады,

y- производительность второй бригады,

z- производительность третьей бригады,

t- производительность четвертой бригады.

По условию задачи составим систему уравнений:

               y+z+y+t=,

               x+z+t=,

                x+y=;

2(x+y+z+t)=

x+y+z+t=- это производительность всех четырех бригад, когда они работают одновременно.

1: (часа) потребуется четырем бригадам, работая вместе, чтобы разгрузить вагон.

Ответ:  часа.

Задача №6

Катер рыбнадзора патрулирует участок реки длиной 240 км. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если по течению катер проходит патрулируемый участок на 2 часа быстрее, чем против течения.

Решение:

Пусть x км/ч скорость катера в стоячей воде

	V (км/ч)	S (км)	t (ч)
По течению	x+2	240
Против течения	x-2	240

Известно, что патрулируемый участок катер против течения реки проходит на 2 часа медленнее, чем по течению реки.

Уравнение:

-=2, где x≠-2, x≠2

-=1

120(x+2)-120(x-2)=(x+2)(x-2)

120x+240-120x+240=-4

-484=0

(x-22)(x+22)=0

x=22 или x=-22 (не удовлетворяет условию задачи)

22 км/ч скорость катера в стоячей воде

Ответ: 22 км/ч

Задача №7

На путь по течению реки катер потратил 1 час и проплыл 15 км. На обратный путь катер затратил 90 минут. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки (в км/ч).

Решение:

Пусть x км/ч собственная скорость катера,

y км/ч скорость течения реки.

	V (км/ч)	S (км)	t (ч)
По течению	x+y	15
Против течения	x-y	15

Известно, что на путь по течению реки катер потратил 1 час, а на обратный путь катер потратил 90 минут=часа.

Уравнение:

                 =1,

                 =;

                  x+y=15,

                  3(x-y)=30;

                   x+y=15,

                   x-y=10;

                  2x=25

                  x=12,5

                  12,5 км/ч собственная скорость катера

                  y=15-12,5=2,5

                  2,5 км/ч скорость течения реки

Ответ: 12,5 км/ч, 2,5 км/ч

Задача №8

Спортсмен проплыл на байдарке против течения некоторое расстояние. Затем час отдохнул и вернулся обратно. Все путешествие заняло 4,5 часа. Определите, на сколько км от исходной точки удалился спортсмен, если скорость течения реки составляет 3 км/ч, а собственная скорость байдарки составляет 7 км/ч.

Решение:

	V (км/ч)	S (км)	t (ч)
По течению	7+3	x
Против течения	7-3	x

Известно, что спортсмен отдыхал 1 час и все  путешествие заняло 4,5 часа.

Уравнение:

+=4,5

+=

2x+5x=70

7x=70

x=10, значит на 10 км от исходной точки удалился спортсмен.

Ответ: 10 км.

Задача №9

На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходит круг на 3 минуты быстрее другого и через час обогнал ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?

Решение:

Пусть за x минут проходил круг первый лыжник, тогда за (x+3) минуты проходил круг второй лыжник.

 кругов проходил первый лыжник за час,

 кругов проходил второй лыжник за час.

Известно, что второй лыжник обогнал первого ровно на один круг.

Уравнение:

-=1, где x≠0, x≠-3

60(x+3)-60x=x(x+3)

60x+180-60x=+3x

+3x-180=0

 (не удовлетворяет условию задачи);

За 12 минут проходил круг первый лыжник, второй лыжник проходил круг за 12+3=15 (минут).

Ответ: 12 минут, 15 минут.

Задача №10

На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 2 минуты быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?

Решение:

Пусть за x минут проходил круг второй лыжник, тогда за (x-2) минуты проходил круг первый лыжник.

 кругов проходил второй лыжник за час,

 кругов проходил первый лыжник за час.

Известно, что первый лыжник обогнал второго ровно на один круг.

Уравнение:

-=1, где x≠0, x≠2

60x-60(x-2)=x(x-2)

60x-60x+120=-2x

-2x-120=0

=1+120=121

=1-11= -10 (не удовлетворяет условию задачи);

=1+11=12

За 12 минут проходил круг второй лыжник, за 12-2=10 (минут) проходил круг первый лыжник.

Ответ: 10 минут, 12 минут.

Задача №11

Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, одновременно отравились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 часа раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.

Решение:

	V (км/ч)	S (км)	t (ч)
Пешеход	x	24
Велосипедист	y	24

Известно, что велосипедист прибыл в пункт В на 4 часа раньше пешехода,

тогда -=4

	V (км/ч)	S (км)	t (ч)
Пешеход	x	24
Велосипедист	y-4	24

Известно, что велосипедист на путь из А в В он затратил вдвое меньше времени,

тогда =

Решим систему уравнений:

              -=4,             -=1,                6y-6x=xy,              6y-6x=xy,           

              =;              =;            2x=y-4;                  y=2x+4;

         6(2x+4)-6x=x(2x+4)

         12x+24-6x=2+4x

          2-2x-24=0

          -x-12=0

         =-3 (не удовлетворяет условию задачи);

         =4

4 км/ч скорость пешехода.

Ответ: 4км/ч.

Задача №12

Две машинистки, работая вместе, могут напечатать 22 страницы текста за 1 ч. Чтобы напечатать 120 страниц текста, первая машинистка потратит 2 ч больше, чем вторая. За сколько часов первая машинистка сможет напечатать 300 страниц?

Решение:

Пусть x страниц печатает за час первая машинистка, тогда (22 – х) страницы за час печатает 2 машинистка.

За часов напечатает первая машинистка 120 страниц, а за часов напечатает вторая машинистка 120 страниц.

Известно, что первая машинистка напечатала текст на 2 часа дольше, чем вторая.

Уравнение:

                             -  = 2, где x , x

 - = 1

60(22 – х) – 60х = х (22 – х)

1320 – 60х – 60х = 22х – х²

х² – 142х + 1320 = 0

D₁ = (-71)²  – 1320 = 5041 – 1320 = 3721

= 71 – 61 = 10;

 = 71 + 61 = 132 (не удовлетворяет условию задачи)

10 страниц за час печатает первая машинистка

За = 30 (часов) сможет напечатать 300 страниц первая машинистка.

Ответ: 30 часов.

Задача №13

Два оператора, работая вместе, могут набрать 40 страниц текста за 1 час. Работая отдельно, первый оператор на набор 90 страниц этого текста тратит на 5 часов больше, чем второй оператор на набор 25 страниц. За сколько часов второй оператор сможет набрать 275 страниц этого текста?

Решение:

Пусть x страниц набирает за час второй оператор, тогда (40 – х) страниц за час набирает первый оператор.

За часов наберет второй оператор 25 страниц, а за часов наберет первый оператор 90 страниц.

Известно, что первый оператор тратит на 5 часов больше, чем второй.

Уравнение:

  -  = 5, где x , x

 - = 1

18х – 5(40 – х)= х(40 – х)

18х – 200 + 5х = 40х – х²

х² – 17х – 200 = 0

D₁ = (-17)²  + 800 = 1089

= =-8 (не удовлетворяет условию задачи);

= =25

25 страниц набирает за час второй оператор.

За 275:25=11(часов) второй оператор сможет набрать 275 страниц этого текста.

Ответ: 11 часов.

Задача №14

Цена на товар была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 2000 р, а окончательная – 1805 рублей?

Решение:

Пусть на x % снизили цену товара первый раз, тогда

товар стал стоить (1 – 0,01х)руб. После снижения цены 2 раз на x % товар стал стоить (1 – 0,01х) (1 – 0,01х) руб.

Известно, что товар стал стоить 1805 рублей.

Уравнение:

 (1 – 0,01х) (1 – 0,01х)  = 1805

(1 – 0,01х)² = 1805

(1 – 0,01х)² =

(1 – 0,01х)² =

(1 – 0,01х)² = , т.к. 1 – 0,01х > 0, то

1 – 0,01х =

1 – 0,01х = 0,95

0,01х = 0,05

х = 5, значит на 5% снижалась цена товара каждый раз.

Ответ: 5%.

Задача №15

Цена телевизора в магазине ежегодно уменьшается на один и тот же процент по сравнению с предыдущим годом. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена телевизора, если, выставленный на продажу за 40000 рублей, через два года он был продан за 22500 рублей.

Решение:

Пусть на x % снизили цену телевизора первый раз, тогда

телевизор стал стоить (1 – 0,01х)руб. После снижения цены 2 раз на x % телевизор стал стоить (1 – 0,01х) (1 – 0,01х) руб.

Известно, что телевизор стал стоить 22500 рублей.

Уравнение:

(1 – 0,01х) (1 – 0,01х)  = 22500

(1 – 0,01х)² = 22500

(1 – 0,01х)² =

(1 – 0,01х)² =

(1 – 0,01х)² = , т.к. 1 – 0,01х > 0, то

1 – 0,01х =

1 – 0,01х = 0,75

0,01х = 0,25

х = 25, значит на 25% каждый год уменьшалась цена телевизора.

Ответ: 25%.

Задача №16

Один автомобиль проходит в минуту на 200 м больше, чем другой, поэтому затрачивает на прохождение одного километра на 10 с меньше. Сколько километров в час проходит каждый автомобиль?

Решение:

200 м/мин = 200м/час=12000 м/час = 12 км/час

10 секунд = час

	V (км/ч)	S (км)	t (ч)
Первый автомобиль	x	1
Второй автомобиль	x+12	1

Известно, что второй автомобиль затрачивает на 1 км пути на  часа меньше, чем первый автомобиль.

Уравнение:

  - =, где x, x

360(х+12) – 360х = х(х+12)

360х+4320 – 360х = х²+12х

х²+12х – 4320=0

D₁=6²+4320=4356

= -6 – 66=-72 (не удовлетворяет условию задачи);

= -6 + 66 = 60

60 км/ч проходит первый автомобиль

60+12=72 (км/ч) проходит второй автомобиль.

Ответ: 60 км/ч; 72 км/ч.

Задача №17

Двум землекопам было поручено вырыть канаву за 3 ч 36 мин. Однако второй приступил к работе тогда, когда первый уже вырыл треть канавы и перестал копать. В результате канава была вырыта за 8 ч. За сколько часов каждый землекоп может вырыть канаву один?

Решение:

3 часа 36 минут = ч = ч

Вся канава - 1

	Выроет всю канаву (за  часов)	Производительность за 1 час
Первый землекоп	x
Второй землекоп	y

Известно, что оба землекопа выроют всю канаву за  часа, тогда

(+)=1

Известно, что если первый землекоп выроет треть канавы, а второй оставшуюся часть, то канава будет вырыта за 8 часов

Решим систему уравнений:

              (+)=1,     +=,           18(x+y)=5xy,           18(24-2y+y)=5(24-2y)y,

               ;         x+2y=24;               x=24-2y;                  x=24-2y;    

Найдем y:

432-18y=120y-10

10-138y+432=0

5-69y+216=0

D=(-69)-=4761-4320=441

; 

Найдем x:

;   

 Значит за 14,4 часа и 4,8 часа или за 6 и 9 часов каждый из землекоп может вырыть канаву один                     

Ответ: 14,4 часа, 4,8 часа или 6 часов, 9 часов.

Задача №18

60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 часа быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если работая вместе, они изготавливают за 1 час 30 деталей.

Решение:

	За 1 час	Количество деталей	Время (ч)
Первый рабочий	x деталей	60
Второй рабочий	y деталей	60

Известно, что 60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 часа быстрее, чем второй, значит -  = 3

Известно, что они изготавливают за 1 час 30 деталей, значит x+y=30

Решим систему уравнений:

           -  = 3,             -  = 1,        20x-20y=xy,            20(30-y)-20y=(30-y)y,

            x+y=30;                    x+y=30;                x=30-y;                    x=30-y;

Найдем y:

 600-20y-20y=30y-

-70y+600=0

D₁ = (-35)² – 600=1225-600=625

;

 (не удовлетворяет условию задачи)

10 деталей за час изготавливает второй рабочий.

За 90:10=9 (часов) второй рабочий изготовит 90 деталей.

Ответ: 9 часов.

Список использованной литературы

1.      Л.В.Кузнецова, Е.А.Бунимович идр. Алгебра. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. М., Дрофа 2003.

2.      Т.А.Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В.Шевелева. Математика . Тренировочные задания. Г(И)А 2013 9 класс. М., Эксмо 2012.

3.      Д.Д.Лаппо, М.А.Попов. Математика. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. М., Экзамен 2009.

4.      Ф.Ф.Лысенко, С.Ю,Кулабухова. Математика 9 класс. Подготовка к Г(И)А 2012. Ростов – на – Дону, Легион 2011.

5.      Ф.Ф.Лысенко, С.Ю,Кулабухова. Математика 9 класс. Подготовка к Г(И)А 2013. Ростов – на – Дону, Легион 2012.

6.      А.В.Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко и др. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 класса в новой форме. М., Интеллект – Центр 2012.

7.      Полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ. Математика 2012 под общей редакцией А.Л Семенова, И.В.Ященко. М., Астрель 2011.