Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по теме "Элементарные и опорные задачи по теме "Треугольник""

Методические рекомендации по теме "Элементарные и опорные задачи по теме "Треугольник""

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Элементарные и опорные задачи по теме «Треугольники»

Какой бы путь решения не был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения их применять.

В теоретическую часть школьного курса геометрии включены в основном теоремы, работающие на сам этот курс, необходимые для дальнейшего развития. Многие теоремы, областью приложения которых является задачи, а не теория, из курса исключены. В связи с этим возникает необходимость возникает необходимость в выделении некоторого количества, так называемых, опорных задач, дополнительных к курсу теории. Учащийся большей частью заняты изучением конкретной темы и решением задач по этой теме. Времени на то, чтобы порешать задачи по всему курсу геометрии в целом, практически не остается.

В отличие от школьного курса предлагаемая последовательность изучения задачного материала определяется не тематикой и соответствием порядку изложения в учебнике, а уровнем сложности задач и степенью их стандартности.


Треугольники.

Произвольный треугольник (а, в, с – стороны; ,, - противолежащие им углы, р – полупериметр, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, S – площадь, ha – высота, проведенная к стороне а)

hello_html_m2cf0ffc.gif (1); hello_html_42ded3cd.gif (2);

hello_html_2dc2de67.gif (3); hello_html_m3c9de7fe.gif (4); hello_html_1211ab85.gif (5);

а222-2вс cos (теорема косинусов) (6);

hello_html_m5cbdcd69.gif (теорема синусов) (7)

8) три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

9) Длина медианы треугольника выражается формулой: ma=hello_html_519dd477.gif

10) Длина стороны треугольника выражается формулой: а=hello_html_m3a63df9e.gif

11) Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

12) Длина биссектрисы треугольника выражается формулой: hello_html_1100f47c.gif

13) Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон а, в, с по формуле hello_html_4058905.gif

14) Для всякого треугольника зависимость между его высотами ha, hb, hc и радиусом r вписанной окружности выражается формулой:

hello_html_m46195be6.gif

15) пусть известны длины двух сторон в и с треугольника АВС, и угол А, образуемый ими, тогда длина биссектрисы AD треугольника, проведенной из вершины этого угла выражается формулой

hello_html_m1e66d94d.gif

16) Определение вида треугольника по его сторонам (а,в,с – стороны, с – наибольшая)

а) если с222, то треугольник остроугольный;

б) если с222, то треугольник прямоугольный;

б) если с222, то треугольник тупоугольный.


Надо научить школьников решать базисные задачи, т.е. которые входят как составные элементы во многие другие задачи.


Задача: стороны треугольника равны а, в, с. Вычислить медиану mс, проведенную к стороне С.

hello_html_m74599436.png

Решение.

Удвоим медиану, достроив ∆АВС до параллелограмма АСВР и применим к этому параллелограмму теорему: d12 + d22= 2а2 + 2в2, получим:

СР2 + АВ2 = 2АС2 + 2ВС2, т.е. (2mс)2 + С2 = 2в2 + 2а2hello_html_m23785cf1.gifhello_html_6cd622a2.gif

Замечание: при решении часто приходится делать дополнительные построения:

а) Проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся на рисунке.

б) удвоение медианы треугольника, чтобы достроить треугольник до параллелограмма.

в) проведение вспомогательной биссектрисы. и т.д.


Задача: В треугольнике АВС стороны АВ и ВC равны, ВН – высота. На стороне ВC взята точка D так, что ВD/ CD =hello_html_195e3951.gif. В каком отношении отрезок AD делит высоту ВН?

Замечание: Если в задаче требуется найти отношение каких-либо величин, то, как правило, она решается методом вспомогательного параметра. В начале решения задачи какая-либо величина принимается как известная; обозначив ее, например, буквой а, выражают через а те величины, отношения которых требуется найти. Тогда при составлении искомого отношения вспомогательный параметр а сократится.

hello_html_m3b139a0e.png

Решение.

  1. Пусть BD = а, тогда CD = 4a, АВ = 5а.

  2. Проведем НКAD, т.к. НК – средняя линия треугольника ADC, то DK =KC=2a.

  3. ∆ВНК. Имеем: BD=a, DK = 2a, МDНК, По теореме Фалеса: hello_html_m4daadf24.gif, но hello_html_69dff3ac.gif, значит hello_html_m2f60414.gif


Задача: Определите вид треугольника и найдите косинус наибольшего угла треугольника, если его стороны равны: а) 6, 7, 9, б) 7, 24, 25, в) 23, 25, 34.

Решение.

а)92=81

62+72=36+49=85

92>72hello_html_m23785cf1.gif остроугольный треугольник cos = hello_html_56b97b8f.gif

б) прямоугольный, т.к. 252=72+242

в) тупоугольный, т.к. cos = -hello_html_5e8e74ab.gif

Задача: В треугольник со сторонами 10, 17, 21 см. вписан прямоугольник так, что две его вершины на одной стороне треугольника, а две другие – на двух других сторонах треугольника. Найти стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 22,5 см.

hello_html_m13dbc58a.png

Решение.

Можно ли вписать прямоугольник и как?

  1. Определим вид треугольника: 102 = 100, 172 = 289, 212 = 441.

212>102 + 172 => треугольный, а, значит, вписать в него прямоугольник можно только одним способом – расположить две вершины на большей стороне.

  1. Найдем HB.

hb =hello_html_m5667f4f5.gif

HB=hello_html_m33af3084.gif= 8(см)

  1. Пусть ED = х, тогда EF = 11,25-x , BF = 8-x

BEF ABC, значит, hello_html_175ee406.gif(отношение соответственных высот равно коэффициенту подобия) hello_html_m5d48812e.gif; х=6.

Стороны прямоугольника 6 см. и 5,25 см.


Задача: В треугольнике АВС известно, что угол АСВ, сторона ВС на 2 см. больше стороны АВ, а Ас = 5см. Найти АС и АВ?

hello_html_196a326b.png

Решение.

  1. Проведем биссектрису АD угла САВ, получим, что  ВАD= DAC = ACB.

  2. ∆АDC – равнобедренный => AD = DC.

  3. Пусть АВ = х, AD=DC=y, тогда ВС = х + 2, BD = х + 2 – у.

  4. ADB ABC, т.к. В – общий, BAD=BCA

hello_html_3429bb8e.gif

hello_html_m8c1090c.gif, hello_html_318f6a13.gif.

  1. Составим систему:

hello_html_m28f60d79.gif или hello_html_4113e13b.gif

5y-10 = 2y,

3y=10

y=hello_html_2c93d871.gif

hello_html_m5accef4d.gif; 3x=2x+4; x=4

Ответ: АВ = 4см, ВС = 6см.

Замечание:

Если ∆АВС∆DEF, то выполните следующее:

  1. Загоните стороны одного треугольника в числители:

hello_html_28f2e916.gif

  1. соответственными сторонами считаются те, которые лежат против равных углов: AB и DE, BC и DF.


Задачи для самостоятельного решения.

  1. определите вид треугольника (задача решена)

  2. В треугольнике АВС отрезок, соединяющий середины АВ и ВС, равен 3, стороны АВ = 7, угол С = 600. Найти сторону ВС.

  3. В треугольнике АВС известны стороны АС = 2, АВ = 3, ВС = 4. Пусть BD – высота этого треугольника ( D – на стороне АС). Найти длину отрезка CD.

  4. В треугольнике со сторонами 3, 4 и 6 проведана медиана к большей стороне. Определите косинус угла, образованного медианой с меньшей стороной треугольника.



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 06.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров294
Номер материала ДВ-036404
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх