Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по теме "Приближенное интегрирование"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические рекомендации по теме "Приближенное интегрирование"

библиотека
материалов

Низамова Ирина Владимировна, преподаватель математики, Государственное профессиональное образовательное учреждение «Донецкий политехнический техникум»


АННОТАЦИЯ

Данная разработка методических рекомендаций представляет собой пример раздела методического пособия для самостоятелоной работы студентов при изучении темы «Определенный интеграл». Кратко изложенный теоретический материал знакомит студентов с основными методами приближеного вычисления интегралов, приводится пример их применения. Также предлагаются варианты индивидуальных заданий и контрольные вопросы. Для более детального изучения данной темы указывается учебная литература.



МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ДЛЯ САМОСТЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПО ТЕМЕ

«ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ»

Цель работы: ознакомиться с численными методами вычисления определенных интегралов, научиться решать примеры с использованием формул Симпсона и трапеций.

Основные теоретические сведения. Численное интегрирование применяется, когда:

  1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчетной сетки.

  2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, f(x) =

  3. Возможно вычисление первообразной по формуле Ньютона-Лейбница, но вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Определённый интеграл можно рассматривать как площадь криволинейной трапеции под графиком функции .

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

,

где   — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа  — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона).

Метод прямоугольников

Разобьем отрезок интегрирования на равных частей и обозначим точки разбиения , Вычислим значения подынтегральной функции в точках . Если заданная функция — положительная и возрастающая, то формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников. Она называется формулой левых прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников. Она называется формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение искомого интеграла, вычисляемое по этим формулам.

Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций. Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезков одинаковой длины:

Метод парабол (Симпсона)

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид:

Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем



Для оценки погрешности вычислений этого метода используется формула: .

Пример.

Вычислить интеграл методами трапеций и Симпсона при делении отрезка интегрирования на 8 равных частей.

Решение.

Найдем шаг:

Составим таблицу значений функции и её конечных разностей до четвертого порядка:

Вычислим интеграл по формуле трапеций:

.

Вычислим интеграл по формуле Симпсона:



Где .

.

Для оценки точности полученного результата воспользуемся формулой:

. Все полученные десятичные знаки верны.

Ответ: ; .



Примерные вопросы по защите работы:

  1. В каких случаях используется численное интегрирование?

  2. Постановка задачи численного интегрирования.

  3. Какие существуют методы интегрирования функций?

  4. Графическая интерпретация метода прямоугольников.

  5. Графическая интерпретация метода трапеций.

  6. Графическая интерпретация метода Симпсона.

  7. Как оценить погрешность метода Симпсона?

Задание для самостоятельной работы:

Найти приближенное значение интеграла заданной функции f(x) на отрезке [a, b] по формулам трапеций и Симпсона при делении отрезка на 8 равных частей, произвести оценку погрешности метода Симпсона. Сравнить результаты, полученные разными методами.



Варианты заданий.

Литература:

  1. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики,- С-Петербург, Москва, Краснодар, 2006.

  2. Воробьёва Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам,- М.: Высшая школа, 1979.



Краткое описание документа:

Данная разработка методических рекомендаций представляет собой пример раздела методического пособия для самостоятелоной работы студентов при изучении темы «Определенный интеграл». Кратко изложенный теоретический материал знакомит студентов с основными методами приближеного вычисления интегралов, приводится пример их применения. Также предлагаются варианты индивидуальных заданий и контрольные вопросы.

Автор
Дата добавления 28.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров66
Номер материала ДБ-101720
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх