Методические рекомендации по выполнению практических работ дисциплины ЕН.01.Математика для специальности 23.02.01

Практическое занятие № 16-17

Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Цель:

Сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

Краткая теория

Комплексное число – это выражение вида

, (1.1)

где x, y – вещественные числа, а – мнимая единица. Первое из вещественных чисел, x, называется вещественной (действительной) частью комплексного числа (используется обозначение ); второе, y, - мнимой частью (). Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Числом, сопряженным к , называют число вида . Используя формулу разности квадратов, получаем, что . Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант данного уравнения: меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

, т.е. ; .

Справедливы следующие правила арифметических действий над комплексными числами и :

1) (осуществляется сложение или вычитание алгебраических двучленов и приведение подобных);

2) (осуществляется перемножение алгебраических двучленов и приведение подобных с учетом того, что );

3) (эта операция возможна только в случае, когда ).

Пример 2. Вычислить и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:

;

поэтому , .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа , а на оси OY – чисто мнимые числа ).

Модулем комплексного числа назовем длину отрезка (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа () назовем угол, который вектор образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию . При этом выражение вида

(1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Преобразуем (1.1)

и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему

или (1.3.)

Пример 3. Записать комплексное число в тригонометрической форме _, указать модуль и аргумент комплексного числа.

Решение. По определению . Для определения аргумента воспользуемся формулой: . Получаем, что . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: .

Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра

. (1.4)

Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:

, k=0,1,…,n-1. (1.5)

Пример 4. Вычислить: a) ; b) .

Решение. В задании a), чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме. Имеем: ; и , т.е. (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно, и (в силу (1.4)). Учитывая что и используя свойства тригонометрических функций, получаем:

.

В задании b) тригонометрическая форма заданного числа имеет вид (|z|=1), поэтому в силу (1.5)

, k=0,1,2.

Выписываем три искомых корня:

;

;

.

Контрольные вопросы

1.      Какое число называется комплексным?

2.      Из каких частей состоит комплексное число?

3.      В каких формах может быть записано комплексное число?

4.      Что называют модулем комплексного числа?

Задания

1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7)

2. Запишите предложенные комплексные числа в тригонометрической форме:

1) ; 2) ; 3) ; 4) _{5) 6) 7)} .

3. Найти все корни уравнений:

1) ; 2) ; 4) ; 5) ; 6) 7)

Практическое занятие № 18

Тема: Решение задач профильной направленности.

Цель:

1) Формирование профессиональных  компетенций

2) Применение комплексных чисел для расчета цепей переменного тока.

Краткая теория. Задания

Изучить данный материал и составить конспект.

Для расчета цепей переменного тока используется представление мгновенных значений токов, напряжений, ЭДС в виде векторов.

Между мгновенным значением и векторным представлением синусоидальной величины существует взаимооднозначное соответствие – вектор несет информацию о действующем значении величины (длина вектора) и начальной фазе (угол поворота вектора относительного положительного направления горизонтальной оси). Т.е. вектор с точки зрения информации о параметрах синусоидальной величины является комплексом, совокупностью двух параметров.

Для графического изображения такого рода величин в математике существует комплексная плоскость.

Вектор на комплексной плоскости может быть представлен двумя способами: в полярной и прямоугольной системе координат.

Рассмотрим представление некой синусоидальной величины в комплексной форме -    

а=Аm sin(ωt+ψ)

Комплексное число можно представить на координатной плоскости двумя способами:

1.        В прямоугольной системе координат,

2.        В полярной системе координат.

В электротехнике принято обозначать комплексную единицу буквой j=.

Комплексы синусоидально изменяющихся величин обозначается -, а величин, не зависящих от времени - .

 

Представление комплексного числа в прямоугольной системе координат

	+j- ось мнимых  чисел

 

А’’

А’

0

                                                                                                                                                    

	+1- ось действительных чисел

 

=А’+jА’’- комплексное число представлено в алгебраической форме,

где А’- проекция на ось действительных чисел,

 А’’- проекция на ось мнимых чисел.

Представление комплексного числа в полярной системе координат

 

=А- комплексное число представлено в показательной форме,

А

где  А- модуль комплексного числа (соответствует длине вектора),

ψ

+1

 ψ – аргумент комплексного числа (соответствует повороту вектора относительно положительного направления оси действительных чисел).

	0

 

Разные формы записи комплексного числа используются для выполнения различных действий:

Для сложения и вычитания используется алгебраическая форма записи комплексного числа, а для умножения, деления и возведения в степень – показательная.

При вычислениях будет необходимо переходить из одной формы записи комплексного числа в другую:

А’= А∙cosψ, А’’= А∙sinψ

=А=А∙cosψ+А∙j∙sinψ = А’+jА’’

=, Ψ=arctg

Существует также третья, неосновная форма записи комплексного числа – тригонометрическая: А∙cosψ+А∙j∙sinψ. Она чаще всего используется для перехода из одной формы в другую.

Основные характеристики электрических цепей переменного тока в комплексной форме.

1.      Ток в комплексной форме.

Комплексом действующего значения синусоидального тока (комплексом тока) является величина, модуль которой равен действующему значению тока, а аргумент начальной фазе.

                             i=Im sin(ωt+ψi)

 

                                I=0,707Im

=I

 

 

2.      Напряжение в комплексной форме.

Комплексом действующего значения синусоидального напряжения (комплексом напряжения) является величина, модуль которой равен действующему значению, а аргумент начальной фазе. 

                           u=Um sin(ωt+ψu)

 

                               U=0,707Um

=U

3.      Сопротивление в комплексной форме.

Для вывода сопротивления можно воспользоваться законом Ома – комплексная величина равная отношению комплексного напряжения к комплексному току называется комплексным сопротивлением:

где Z - модуль комплексного сопротивления, равен полному сопротивлению,

+j

0

      φ = ψu - ψi – аргумент комплексного сопротивления, равен разности фаз между напряжением и током.

Z’

=R – проекция на ось действительных чисел равна активному сопротивлению,

Z’’=jX

f

Z’’=X – проекция на ось мнимых чисел равна реактивному сопротивлению.

Z’=R

+1

 

4.      Частные случаи комплексного сопротивления.

1.      Цепь с активным сопротивлением (R):

2.      Цепь с идеальной катушкой индуктивности(L):

3.      Цепь с идеальным конденсатором(C):

4.      Цепь с реальной катушкой индуктивности (RL):

5.      Цепь с реальным конденсатором (RC):

 

5.      Проводимость в комплексной форме.

Проводимость – это величина обратная сопротивлению:

где Y - модуль комплексной проводимости, равен полной проводимости,

+1

+j

Y’=G

-Y’’=-jB

      -φ = ψi - ψu – аргумент комплексной проводимости.

f

0

Y’ =G – проекция на ось действительных чисел равна активной проводимости,

-Y’’=-B – проекция на ось мнимых чисел равна реактивной проводимости.

 

 

6.      Мощность в комплексной форме.

Из треугольника мощностей получим:

S’’=jQ

S’=P

0

+j

+1

f

где:

S – модуль комплексной мощности, равен полной мощности,

f – аргумент комплексной мощности, равен углу сдвига фаз между током и напряжением:

φ = ψu - ψi

S’=P – проекция на ось действительных чисел, равна активной мощности,

S’’=Q – проекция на ось мнимых чисел, равна реактивной мощности.

Комплексная мощность – это произведение комплексного напряжения на комплексный ток.

А.     Если ψu≠0, ψi=0 (φ = ψu – ψi= ψu-0= ψu), то комплексную мощность можно рассчитать используя комплексное напряжение и комплексный ток.

В.      Если ψu≠0, ψi≠0 (φ = ψu – ψi), тогда для определения комплексной мощности используют сопряженный комплекс тока (это такой комплекс тока у которого отрицательная начальная фаза    )

 

f

     

 

Основные законы электрических цепей в комплексной форме.

1.      Закон Ома.

2.      Законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма комплексных токов в узле равна нулю.

составления уравнения по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно-положительное направление токов.

i-i1-i2-i3=0 или i=i1+i2+i3

в комплексной форме:

Второй закон Кирхгофа.

В контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексов Э.Д.С. источников равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения:

Для данной схемы:

 iR1+uc+uL+iR2=e1-e2

в комплексной форме:

Практическое занятие № 19-20

Тема: Операции над множествами. Решение задач табличным способом.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций:

2) Знать определение множества, действия над множествами

3) Уметь решать прикладные задачи на применение теории множеств.

Краткая теория

Любая совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы, называемых элементами, называется множеством. Или, множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п Множества обозначаются прописными буквами, а элементы – строчными. Запись аϵА обозначает, что а элемент множестваA.  Если b не принадлежит множеству А, то записывается: b∉А

Если каждый элемент множества А является и элементов множества В, то говорят, что множество А является подмножеством В  (А ⊆ В )

Если при этом в множестве В есть элементы, не принадлежащие множеству А, то пишут А ⊂В. Сумма двух множеств А∪ В является множеством, каждый элемент которого принадлежит либо к А либо к В. Пересечением двух множеств А ∩В является множество, каждый элемент которого принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Множество, состоящее из некоторого натурального числа элементов, называется конечным множеством. Если не существует такого числа, определяющего количество элементов в множестве, то такое множество называется бесконечным.

N –множество натуральных чисел; Zмножество целых чисел; R- множество действительных чисел; Q- множество рациональных чисел.  важные операции, которые можно производить с двумя множествами А и В – объединение двух множеств и построение их пересечения.

Объединение двух множеств – новое множество, состоящее из элементов как множества А, так и множества В. Это множество обозначается А∪ В

Пересечением двух множеств называется  множество, в которое входят только те элементы, которые одновременно принадлежат обоим  множествам А и В. Обозначается это множество через А ∩ В

Операции объединения и пересечения можно производить с любым конечным числом  множеств, а также  - и с бесконечным числом.

.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).

Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪(ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства:

Свойства перестановочности:

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Круги Эйлера (Эйлера-Вена) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Пример: Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Контрольные вопросы

1.Дайте определение понятия множества.

2.Что такое подмножество?

3.Дайте определение суммы множеств.

4.Что называют пересечением множеств?

5.Какое множество называется конечным? Бесконечным?

Задания

1) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={е, о, р, х} В={х, у}

б) А={х: -3<х<4} В={х: 0≤х≤6}

в) А={2n+1}, B={n+1} nєN

2) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}

б) А={х: 0<х<2} В={х: 1≤х≤4}

в) А={3-(n+1)}, B={n+5} nєN

3) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) только один язык?

б) испанский язык?

в) только немецкий язык?

г) знают английский и немецкий, но не знают французский?

4) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) ровно два языка?

б) только французский язык?

в) знают немецкий и французский, но не знают английский?

г) не знают испанский язык?

5)На очередном конкурсе «Евровидение» зрители поспорили, участник какой страны будет победителем. Были высказаны следующие предположения:

¾                                  первым будет исполнитель из России, а вторым участник их Белоруссии:

¾                                  исполнитель из России будет вторым, а из Норвегии – третьим;

¾                                  вторым будет участник из Франции, а норвежский исполнитель будет четвертым.

Оказалось, в каждом из высказанных предположений одно – истинно, другое – ложно. Определите победителей.

6)Есть 2 двери и 2 стражника, один всегда говорит правду, второй всегда лжёт. Одна дверь ведёт к замку, вторая — к гибели. Какой один вопрос следует задать одному из стражников, чтобы узнать, какая дверь ведёт к замку?

7)В поездке пятеро друзей – Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша – познакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причем каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение.

Дима сказал: «Моя фамилия – Григорьев,  а фамилия Бориса – Дмитриев». Антон  сказал: «Григорьев – это моя фамилия,  а фамилия Вадима – Антонов». Борис сказал: «Фамилия Вадима – Борисов, а моя фамилия – Григорьев». Вадим сказал: «Моя фамилия – Антонов,  а фамилия Гриши – Вадимов». Гриша сказал: «Да, моя фамилия – Вадимов,  а фамилия Антона  – Борисов».

Какую фамилию носит каждый из друзей?

Практическое занятие № 21-22

Тема: Представление булевой функции в виде совершенной ДНФ,КНФ.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций

2) Уметь представлять булевы функции в виде ДНФ, КНФ.

Краткая теория

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется такая дизъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одном и том же порядке. 

Перечислим свойства совершенства для СДНФ:

1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию.
2. Все логические слагаемые различны.
3. Ни одно слагаемое не содержит одновременно переменную и ее отрицание.
4. Ни одно слагаемое не содержит одну и ту же переменную дважды.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая конъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одном и том же порядке. 

Перечислим свойства совершенства для СКНФ:

• Каждый логический множитель формулы содержит все переменные, входящие в функцию.
• Все логические множители различны.
• Ни один множитель не содержит одновременно переменную и ее отрицание.
• Ни один множитель не содержит одну и ту же переменную дважды.

Алгоритм получения СДНФ по таблице истинности:

1. Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце которых стоят 1:

2. Выписать для каждой отмеченной строки конъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение в данной строке равно 1, то в конъюнкцию включать саму эту переменную, если равно  0, то ее отрицание: для 1-й строки   , для 3-й строки , для 4-й строки .

3. Все полученные конъюнкции связать в дизъюнкцию:

4. Упрощаем формулу, применяем законы логики.

Алгоритм получения СКНФ по таблице истинности

1. Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце которых стоят 0:

2. Выписать для каждой отмеченной строки дизъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение в данной строке равно 0, то в дизъюнкцию включать саму эту переменную, если равно  1, то ее отрицание: для 2-й строки .

3. Все полученные дизъюнкции связать в конъюнкцию:

4. Упрощаем формулу, применяем законы логики (если это необходимо).

Покажем, что полученные по двум алгоритмам СДНФ и СКНФ эквивалентны. СДНФ     и  СКНФ

Контрольные вопросы

1.      Сформулируйте определение СДНФ, СКНФ.

2.      По каким алгоритмам получают СДНФ, СКНФ?

Задания

Постройте совершенные ДНФ и КНФ для булевых функций, заданных таблично.

0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

а)                                                    б)

0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Практическое занятие №1

Тема: Теоремы о пределах функции. Два замечательных предела.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций,

2) Знать определение предела последовательности, свойства пределов, приемы использования замечательных пределов.

3) Уметь решать прикладные комбинированные задачи на применение замечательных пределов.

Краткая теория

Постоянное числоA  пределом функции y= f(x)в точкеx=a, если для всех x, сколь угодно мало отличающихся ота, т.е.  (|x-a|)<δ),значение функцииy сколь угодно мало отличается от числа A, т.е. (|y-A|<ε), т.е. если при x→ a, y→A, то.

Правила предельного перехода:

1.Предел суммы или разности равен сумме или разности пределов lim(x+y)=limx+limy;

lim(x-y)=limx- limy.

2.Предел произведения равен произведению пределов lim(x∙y)=limx∙limy

3.Предел отношения равен отношению пределов lim{x/y)=limx/limy

Свойства пределов:

1.limA=A, если А=constпредел постоянной равен этой постоянной

2. lim (C∙ y)=C ∙ limy, еслиС = const  постоянную можно вынести за знак предела.

Первый замечательный предел: =1

Второй замечательный предел:  = e;

=e

Пример 1

 =  = * 1=

Пример 2

 = )³  =e

Контрольные вопросы

1.      Дайте определение предела функции.

2.      Сформулируйте правила предельного перехода.

3.      Каковы свойства пределов.

4.      Чему равен предел отношения при x→0 ?

5.      Чему равен предел функции вида (1+x)^1/xпри x→0?

6.      Чему равен предел функции вида при x→∞?

Задания

1)Вычислить предел функции: ; ;  ;

 ; 

2)Найти предел функции:

1)   ;   2)

3)    ;  4)

5)     6) ^x/2

6)Lim [(x²-9)²/(x²-6x+9)]

     x→3

7) ;  

   8) lim [(x²-5x+6)/(x²-12x+20)]

      x→2

   9) lim [(tg4x)/x]

       x→0

   10) lim [(tgx)/(sin2x)]

       x→0

   11) lim [x/(x+1)]^x

       x→∞

   12) lim [(tg5x)/(sin2x)]

       x→0

   13) lim [(2x³-4x+1)/(x³+8)]

       x→∞

15) lim [(x-9)/x]^x

x→∞

16) lim [(x²+5x+6)/(x²+6x+8)]

x→-2

Практическое занятие №2-3

Тема: Нахождение производных сложных функций.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций

2) Знать определение производной функции, производные основных функций, правила нахождения производной сложной функции, геометрический смысл производной.

3) Уметь решать прикладные задачи на определение производной функции.

Краткая теория

Производной функции y=f(x) по переменной xназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента x, когда последнее стремится к нулю, т.е. y_x′=  = .

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции.

Дифференциалом функции y=f(x) называется главное слагаемое приращения функции, линейное относительно Δx.y′=

Формулы дифференцирования:

1) С=сonst,  (C)′=0;                  2) (C∙f(x))′=C∙f′(x);  

3) (f(x)+g(x))′= f′(x)+g′(x);      4) (f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g′(x);

5) = ;   6) (xⁿ)′=n∙x^n-1

7) (sinx)′=cosx;    8) (cosx)′=-sinx.

Производная сложной функции: (f(g(x)))′=f′((g(x))∙g′(x).

Контрольные вопросы

1.      Какая функция называется сложной? Приведите примеры сложных функций.     

2.      Сформулируйте правило вычисления производной сложной функции

3.      Каков геометрический смысл производной?

Задания

Вариант 1.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;  б) ;    в) ;   г) ;   д) .

Вариант 2.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;  б) ;   в) ;  г) ; 

д) .

Вариант 3.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;

д) .

Вариант 4.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;

д) .

Вариант 5.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;    

г) ;   д) .

Вариант 6.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ; 

 д) .

Вариант7.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;

д) ;

Вариант 8.

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;  

 д) .

Практическое занятие № 23

Тема:  Решение вероятностных задач.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций:

2) Знать определение вероятности, правила сложения и умножения вероятностей.

3) Уметь решать прикладные задачи на сложение и умножение вероятностей, уметь рассчитывать вероятность событий

Краткая теория

Изучение явлений связано с выполнением некоторых условий, или испытаний. Всякий результата или исход испытания называется событием. События А, В называются несовместимыми, если в условиях испытаний каждый раз возможно появление только одного события. События А и В называются совместимыми, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает  появление другого при том же испытании. Событие называется случайным, если исход испытания приводит либо к появлению, либо к не появлению этого события. М – число появления некоторого события; N- число испытаний.

– частость.Вероятность – мера объективной возможности появления события. За появление события принимается величина, около которой группируются наблюдаемые значения частости.

Под вероятностью Р(А) наступления события принимается отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к числу исходов испытания. Вероятность – устойчивая частость. P(A)=100%

Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления одного из нескольких несовместимых событий без указания какого именно, равно сумме вероятностей этих событий.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности наступления первого события на условную вероятность наступления второго события, вычисленную в предположении, что первое событие имеет место.

Пример 1. В ящике 20 шаров, среди которых 8 белых. Какова вероятность появления белого шара Р(А)?

 . m=8; n=20.      P(A)=100%=100%=40%

Пример 2. Поездка пассажиров с некоторой трамвайной остановки к месту работы обслуживаются маршрутами №3 и №11. Через данную остановку проходят трамваи пяти маршрутов. Известно, что из 40 трамваев 8 – маршрута №3, 10 – маршрута №11. Найти вероятность того, что первый проходящий трамвай будет соответствовать требуемому маршруту.

.m₁=8  m₂=10  n=40   P(№3, №11)=100%=100%=8%

Пример 3. В одной урне 10 шаров, из которых 5 белых, в другой – 12 шаров, из которых 8 белых.  Найти вероятность того, что при одном испытании будут выбраны одновременно из первой и второй урны два шара одновременно.

.m₁=5  n₁=10 m₂=8  n₂=12    P(AB)=P(A)*P(B) =**100%

P(AB)=**100%=*100%≈33%

Контрольные вопросы

1.Что называют испытанием? Событием?

2.Какое событие называется случайным?

3.Дайте определение вероятности.

4.Сформулируйте теорему сложения вероятностей.

5.Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

Задания

1. Из 10 билетов лотереи выигрышными являются два. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два выигрышных?

2. Восемь различных книг расставляют наугад на одной полке. Какова вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом?

3. В партии из 12 деталей имеется 9 стандартных. Найдите вероятность того, что среди семи взятых наугад деталей 6 стандартных.

4. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет не менее двух очков?

5. Из 50 электролампочек имеется 4 бракованных. Какова вероятность того, что две взятые наугад лампочки окажутся бракованными?

6. В книжном магазине на полке лежит 20 книг, причем 10 книг стоят по 200 руб. каждая, 3 книги  -  по 400 рублей и 7 книг – по 100 рублей. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 300 рублей.

7.В магазин поступала партия товара в количестве 100 штук, которая содержит 10 штук бракованного товара. Какова вероятность того, что покупатель выберет две штуки товара и обе бракованные?

8. В магазин поступило несколько 20 партий товара. Из них две – товары фирмы А, 3- фирмы Б, остальные товары фирмы С. Какова вероятность того, что первые две продажи выпадет на товары фирмы С?

Практическое занятие № 24

Тема:  Нахождение числовых характеристик случайных величин.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций:

2) Знать определение математического ожидания и дисперсии случайной величины.

3) Уметь решать прикладные  задачи на расчет математического ожидания и дисперсии случайной величины

Краткая теория

Основной характеристикой положения или расположения случайной величины является математическое ожидание М(х), определяемое по формулам: M(x)=X_iP_i(*) для дискретной случайной величины;

M(x) =(**)для непрерывной случайной величины.x_iвозможные  значения случайной величины, P_i- соответствующие им вероятности, f(x) – плотность распределения случайной величины. Предполагается, что (*) и(**) абсолютно сходятся.

Дисперсия случайной величины D[x] –математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания D[x] = M[x-M(x)]²

Пример 1

В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по 100 руб. и одна по 300 руб. определить математическое ожидание чистого выигрыша для студента, если он приобрел один билет стоимостью 100 рублей, а всего билетов 50.

Решение

Х – случайная величина, характеризующая сумму чистого выигрыша  для студента. Х может принимать значения: = - 1, если студент ничего не выиграл; х = 9, если выигрыш 100 рублей; х = 29, при выигрыше 300 рублей.

Вычисляем вероятность каждого выигрыша. Р(-1)=47/50 = 0,94; Р(9)=2/50=0,04; Р(29)=1/50=0,02

Определяем математическое ожидание:

M = -1∙0,94+9∙0,04+29∙0,02 = 0

Вычисляем дисперсию D(x)= (x₁-M)²+(x₂-M)²+(x₃-M)²

D(x) = (-1-0)²+(9-0)²+(29-0)²=1+81+841=923

Контрольные вопросы

1.Приведите пример случайной величины.

2.Дайте определение математического ожидания случайной величины.

3.Дайте определение дисперсии случайной величины.

Задания

1.Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины x. Закон распределения задан таблицей.

x	-0.1	-0.01	0	0.01	0.1
p	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

2. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

хi	1	2	5
рi	0,3	0,5	0,2

3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

хi	2	3	5
рi	0,1	0,6	0,3

4. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появления события в этих испытаниях.

Практическое занятие № 25-26

Тема:. Действия над матрицами.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций:

2) Знать определение матрицы, виды матрицы, правила выполнения действий над матрицами

3) Уметь выполнять сложение, вычитание и умножение матриц

Краткая теория

Матричные модели представляют собой модели, построенные в виде таблиц (матриц).Эти модели находят широкое применение при решении плановых или экономических задач и при обработке больших массивов информации. Матрица – прямоугольная таблица чисел. Например:

товар	Склад 1	Склад 2	Склад 3
Сахар	200	100	150
Соль	350	200	180
мука	400	250	260

Эти данные можно записать в виде матрицы (*)

   = А   (*)

Коэффициенты при неизвестных системы линейных уравнений

3x-5y+z=14

X+3y-7z=-22

2x+y-3z=-6  можно записать в виде матрицы (**)

 = А (**)

Матрица-прямоугольная таблица  чисел. Любое число такого массива называется элементом матрицы. Ряд чисел, расположенных в матрице горизонтально называется строкой, а вертикально – столбцом. Количество строк – m, количество столбцов – n, если m=n – матрица квадратная

Размерность матрицы – количество элементов в ней.

А=

Воображаемая линия квадратной матрицы, пересекающая ее от а₁₁ до а_mn называется главной  диагональю.Квадратная матрица, в которой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.Диагональная матрица, у которой  все элементы, расположенные  по главной диагонали – единицы, называется единичной.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой.

Суммой (разностью) двух матриц А и В, имеющих mстрок иnстолбцов, называется матрица, полученная в результате сложения (вычитания) одноименных элементов матриц А и В. Получаемая в результате матрицы С имеет ту же размерность m*n.

Матрицу можно умножить на число, для этого надо на это число  умножить каждый элемент матрицы.

Умножение матрицы-строки на матрицу-вектор:

A=(a1, a2, a3) –вектор-строка.

В=  | | - вектор-столбец

С=А*В = a₁∙b₁+ a₂∙b₂+a₃∙b₃ =

Произведением двух матриц  - матрицы А(m∙n) на матрицу B(n∙p) – называется матрицаC(m∙p), каждый элемент которой вычисляется по

n

формуле: С_ij = ∑a_ik∙b_kj

k=1

Контрольные вопросы

1. Дайте определение матрицы.

2.Что называют элементами матрицы.

3.Какая матрица называется квадратной? Диагональной? Единичной?

Вектор-столбцом? Вектор-строкой?

4.Дайте определение суммы матриц.

5.Сформулируйте правило умножения матрицы на число.

6.Сформулируйте правило умножения матриц.

Задания

1. Сложить матрицы| = А;  | | = B.

2.Вычесть из матрицы А матрицу В: A=|  |; B=|  |.

3. Умножить матрицу А на матрицу В:A= | 2  3  4 |; B=| | .

4. Сложить, вычесть и умножить каждую матрицу на 5 :

А) А =  и В =    б) А =            В =

Практическое занятие № 27

Тема: Определитель матрицы.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций:

2) Знать определение определителя матрицы, алгоритм вычисления определителя матрицы

3) Уметь вычислять определитель матрицы; решать прикладные задачи с использованием определителя матрицы.

Краткая теория

Определитель второго порядка вычисляется по формуле:

, результат вычисления – любое действительное число.

2) Для вычисления определителя третьего порядка (матрицы 3×3) применяют правило треугольника (Сарруса), по которому составляют формулу, аналогичную формуле пункта 1.

                                                                               

 

«+»                                                                        « - »

Элементы главной диагонали и ее параллелей умножаются со знаком «плюс», элементы побочной диагонали и ее параллелей – со знаком «минус»,
тогда:

3) Для вычисления матрицы, обратной данной, необходимо:

1. Найти определитель ∆ заданной матрицы по формулам пункта 1 и 2.

2. Найти алгебраические дополнения по формулам:

3. Составить матрицу:

Транспортировать ее (строки и столбцы поменять местами)

 и найти обратную матрицу по формуле:

4. Проверка производится по формуле:

.

Задания

Вычислить определители:

1) ;                                          2) ;

3)                                                       4) ;

5) ;                                                    6)

7) ;

Практическое занятие № 5

Тема: Исследование функций, нахождение асимптот.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций,

2) Знать алгоритм исследования функции с помощью производной,

3) Уметь решать прикладные задачи на исследование функции с помощью производной.

Краткая теория

Функция y=f(x) монотонно возрастает, если большему значению аргумента х соответствует большее значение функции f(x) и производная >0. Функция монотонно убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функциии производная <0.

В точке экстремума производная функции равна нулю.

Признаки максимума: производная в точке максимума равна нулю, и в этой точке меняет знак с «плюса» на «минус»

Признаки минимума: производная в точке минимума равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс»

Пример 1. Исследовать функцию y=2x²-3x

А) Определим точки, в которых производная равна нулю. y′=4x– 3

4x-3=0;    x_о=3/4; точка экстремума x_о=3/4.

Б) Определим знак производной при x<xo. y′(1/2)=4∙1/2-3= -1<0; y′(x<xo)<0.

В) Определим знак производной при x>xo. y′(1)=4∙1-3-1>0;

y′(x>xo)>0.

Г) Точка экстремума x=3/4  в этой точке производная меняет знак с «-» на «+», значит в точке x=3/4 минимум. На участке (-∞; 3/4) функция убывает; на участке (3/4; ∞) функция возрастает.

Контрольные вопросы

1.Каков геометрический смысл производной функции?

2.Каков признак возрастания функции?

3.Каков признак убывания функции?

4.Каков признак минимума функции?

5.Каков признак максимума функции?

6.Чему равна производная функции в точке минимума или максимума?

Задания

ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА

Задание. Исследуйте и постройте графики функции:

                а) ;                          б) .

№	План исследования	Применение	плана
шага	Функции	а)	б)
1	Находим область определения функции		, ,
2	Исследуем функцию на четность, нечетность	функция ни четная, ни нечетная	функция четная
3	Находим нули (корни) функции и промежутки её знакопостоянства	, , , - нуль функции	, - нуль функции
4	Находим производную функции и её критические точки	,  - критические точки функции	- критическая точка функции
5	Находим промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции	х=0 – не является точкой экстремума, х=1 – точка минимума,	, х=0 – точка максимума,
6	Находим предел функции при
7	Строим эскиз графика функции

Примеры. Исследуйте и постройте графики функций:

1) ;  2) ;   3) ;    4) ;       5) ;  6) ;        7) ;      8) ;      9) .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1.      Исследуйте функцию  на максимум и минимум.

2.      Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 2.

1.      Исследуйте функцию  на максимум и минимум.

2.      Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 3.

1.      Исследуйте функцию  на максимум и минимум.

2.      Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 4.

1.      Исследуйте функцию  на максимум и минимум.

2.      Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 5.

1.      Исследуйте функцию  на максимум и минимум.

2.      Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 6.

1.      Исследуйте функцию  на максимум и минимум.

2.      Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 7.

1.      Исследуйте функцию  на максимум и минимум.

2.      Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 8.

1.      Исследуйте функцию  на максимум и минимум.

2.      Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Практическое занятие № 28-29

Тема: СЛУ. Решение систем методом Гаусса.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций

2) Сформировать умение исследовать и использовать метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Краткая теория

Алгоритм метода Гаусса. Цель рассуждений – путем элементарных преобразований свести исходную систему к равносильной, решение которой можно выписать непосредственно. Основными шагами метода Гаусса являются следующие.

I. Прямой ход. Выписать расширенную матрицу системы, путем элементарных преобразований свести ее к эквивалентной ступенчатой и определить ранги матрицы и расширенной матрицы системы. Если они различны, то исходная система несовместна, т.е. не имеет решений. Если , то переходим к следующему этапу.

II. Сравнить ранг системы и число неизвестных, сделать вывод о количестве решений, учитывая теорему 2.

III. Обратный ход. Ступенчатую матрицу преобразовать к эквивалентной ей приведенной. Определить, какие неизвестные являются ведущими, какие – свободными.

IV. Выписать по полученной матрице систему, записать ответ (выразив, в случае неопределенной системы, ведущие элементы через свободные для построения общего решения).

Пример . Решить СЛАУ .

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

Последняя матрица – ступенчатая. Ведущими неизвестными для нее являются в первой строке, во второй и в третьей. Очевидно, что система совместна и ее ранг равен 3: . Поскольку число неизвестных также равно 3, исходная система является определенной.

Переходим к проведению преобразований по обратному методу Гаусса (теперь необходимо получать нули НАД ведущими элементами).

Теперь составляем по последней матрице систему и выписываем значения неизвестных в порядке их номеров: X=(3;1;1)^T. Это и есть ответ.

Задания

Задание 1. По расширенной матрице выписать СЛАУ.

1)

2)

3)

4)

Задание 2. Решить системы уравнений методом Гаусса.

1)

2)

3)

4)

Задание 3. Решить СЛАУ (в случае неопределенной системы выписывать общее и два любых частных решения).

1)

2)

3)

4)

Практическое занятие № 6-7

Тема: Нахождение частных производных функции двух переменных. Нахождение производных сложных функций.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций,

2) Знать определение функции нескольких переменных,

3) Уметь находить частные производные функций нескольких переменных.

Краткая теория

Пусть D – некоторое множество пар действительных чисел и пусть каждой паре (x; y) из D поставлено в соответствие число Z. Тогда говорят, что на множестве D задана функция двух переменных Z = f(x,y).

Переменные x,y называют независимыми переменными (или аргументами), Z - зависимой переменной; говорят также, что f(x,y) есть значение функции f в точке (x;y).

Множество D называют областью определения функции.

Все значения, которые принимает функция f(x,y) (при (x,y) принадлежащих области её определения), образуют область значений функции.

Аналогично можно ввести понятие функции трех переменных u = f(x,y,z), определенной на множестве D, состоящем не из действительных чисел (как для функции одной переменной) и не из пар действительных чисел (как для функции двух переменных), а из троек действительных чисел (x,y,z), рассматриваемых в определенном порядке. Можно ввести понятие функции четырех, пяти и вообще любого конечного числа переменных – все такие функции называют функциями нескольких переменных.

Пусть задана функция Z = f(x,y).

Переменной x дадим приращение dx, а y оставим без изменения. Если существует предел:

то он называется частной производной от функции Z = f(x,y) по переменной x.

Обозначать частную производную от функции Z = f(x,y) по переменной x можно любым из символов:

Чтобы найти частную производную от функции Z = f(x,y) по переменной x, нужно найти производную от этой функции по x, считая, что x является постоянной.

Аналогично, частной производной от функции Z = f(x,y) по переменной y, называется предел:

и обозначается одним из символов:

Частная производная от функции Z = f(x,y) по переменной y - это производная от функции Z = f(x,y) по переменной в предположении, что x = const..

Частные производные от функции нескольких переменных находятся как производные от функции одной переменной при условии, что все остальные переменные считаются на момент дифференцирования постоянными.

Частными производными второго порядка от функции Z = f(x,y) называются частные производные от частных производных первого порядка:

Частные производныеназываются смешанными частными производными второго порядка.

В точках, где смешанные производные непрерывны, они равны, т.е.:

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Контрольные вопросы

1.Какую функцию называют функцией нескольких переменных?

2.Какое множество называют областью определения(значений) функции?

3.Сформулируйте определение частной производной?

4.Что называют частными производными второго порядка?

Задания

             I.      Найти область определения функций:

1.     .

2.    

3.     .

4.    

5.    

          II.      . Найти  и .

1.     .

2.    

3.    

4.     .

5.    

       III.      . Найти .

1.    

2.    

3.     .

4.     .

5.     .

Практическое занятие № 30

Тема: Решение СЛУ методом Крамера.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций

2) Сформировать умение исследовать и использовать метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Краткая теория

При решении системы уравнений по формулам Крамера необходимо:

1) Найти определитель  матрицы системы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных x, y, zпо правилу треугольника.

2) Составить матрицу-столбец свободных коэффициентов.

3) Найти определитель при первом неизвестном (х). Для этого нужно вместо первого столбца матрицы системы подставить столбец свободных коэффициентов и найти .

4) Аналогично определить  и .

5) Найти x, y, z по формулам Сделать проверку.

6) Если , то система решений не имеет.

Пример решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера

Коэффициенты при неизвестных составляют матрицу системы А

, а свободные коэффициенты
матрицу – столбец

 (определитель системы)

Если в определителе поочередно менять столбец коэффициентов при х₁, х₂, х₃ на столбец свободных коэффициентов, то получим следующие определители:

Решением системы будет являться конечная последовательность чисел с₁, с₂, с₃, при которых каждое уравнение системы обращается в верное числовое равенство.

Особенности решения:

1)

Система имеет множество решений.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение:

Проверка:

Ответ: (-3; 2; -1).

Задания

Задание 2. Решить системы уравнений методом Крамера.

1)

2)

3)

4)

Практическое занятие № 8-10

Тема: Экстремумы функций двух переменных. Нахождение экстремумов функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций

2) Уметь решать задачи на применение производной к исследованию функций.

Краткая теория

Определение. Функция z=f(x,у) имеет в точке М₀(х₀,у₀) максимум, если в окрестности этой точки выполняется равенство f(x,у)<f(x₀,у₀). 
      Аналогично определяется минимум функции z=f(x,у) в точке М₀(х₀, у₀). 
Необходимый признак экстремума 
     Если М (х₀,у₀) – точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x,у)), то  
      то есть
Достаточный признак экстремума 
     Пусть z=f(x,у) – функция, для которой существуют производные первого и второго порядка в точке М(х₀,у₀):     . Составим выражение ?=АС–В². 
     Если ?>0, то М(х₀, у₀) – точка экстремума, а именно: точка максимума при A<0 (если C<0), точка минимума при A>0 (или С>0). Если ?<0, то в точке М нет экстремума.

Контрольные вопросы

1.      Дайте определение локального экстремума функции многих переменных.

2.      Сформулируйте необходимые условия локального экстремума.

3.      Какие точки называются стационарными и критическими?

Задания

Найдите экстремум функции двух переменных:

1.

2.

Практическое занятие № 11-12

Тема: Метод подстановки. Метод интегрирования по частям.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций

2) Закрепить и систематизировать знания по теме.

3) Знать  определение первообразной, правила вычисления интеграла, таблицу интегралов элементарных функций

4) Уметь выполнять интегрирование элементарных функций, заменой переменных, по частям.

Краткая теория

Первообразной функцией для выражения f(x)dxназывается функция F(x), дифференциал которой  равен f(x)dx. Однако дифференциалу функции соответствует  не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается . Таким образом , где f(x)dxназывается подынтегральным выражением, а С – произвольная постоянная интегрирования. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Интегрирование – действие, обратное дифференцированию.

Свойства неопределенного интеграла:

1) дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d;

2)неопределенный интеграл  от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

;

3) постоянную величину можно вынести за знак интеграла:

4) интеграл суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов: .

Формулы интегрирования:

1)= +C. где n≠-1;   2)

3);                 4)

5) .

Пример 1.

dx = dx=+ =  + ln|x|+C.

Интегрирование способом подстановки

Пример 2

. Положим 1+x = z; продифференцируем это равенство:

.d(1+x)= dz; dx=dz;  заменим в интеграле:

 =  =  +C.

Интегрирование по частям

=f∙g -

Пример 3

 =?

Положимf = x ;dg = sinxdx; df = dxg =-cosx.

получим = x∙(-cosx)- = -xcosx+sinx+C

Контрольные вопросы

1. Дайте определение первообразной функции.

2. Дайте определение неопределенного интеграла.

3. Что называют подынтегральным выражением?

4. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

5. Допишите формулы интегрирования:

=?;  =?; =?; =?; .

Задания

1) 2)  ;  3)  ; 4)  ;

5)  ; 6)  ;

7)  ;  8)  9) .

10)

Вариант 1.

1.      Является ли функция  первообразной для функции  на R

2.      а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 2.

1.      Является ли функция  первообразной для функции  на R?

2.      а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 3.

1.      Является ли функция  первообразной для функции  на R?

2.      а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 4.

1.      Является ли функция  первообразной для функции  на R?

2.      а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 5.

1.      Является ли функция  первообразной для функции  на R?

2.      а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 6.

1.      Является ли функция  первообразной для функции  на R?

2.      а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 7.

1.      Является ли функция  первообразной для функции  на R?

2.      а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 8.

1.      Является ли функция  первообразной для функции ?

2.      а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Практическое занятие № 4

Тема: Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций

2) Применять правило Лопиталя для нахождения пределов.

Краткая теория

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. или б.б. функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или и затем использовать формулу.

Контрольные вопросы

1.      Сформулируйте правило Лопиталя.

2.      При каких видах неопределенности можно применить правило Лопиталя?

3.      Какой существует прием для раскрытия неопределенности  ?

Задания

Найти пределы, используя правило Лопиталя.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическое занятие № 13

Тема: Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла.

Цель:

1) Формирование общих  компетенций

2) Знать  геометрический смысл определенного интеграла, алгоритм вычисления площади криволинейной трапеции.

3) Уметь вычислять площадь криволинейной трапеции.

Краткая теория

Приращение F(b)-F(a) любой из первообразных функций F(x)+C при изменении аргумента от x=a до  x=b называется определенным интегралом и обозначается: .

 = F(b)=F(a), где a- нижний предел интеграла, b- верхний предел интеграла.

Для вычисления определенного интеграла нужно найти соответствующий неопределенный интеграл, в полученное выражение подставить вместо x сначала верхний, а затем нижний пределы определенного интеграла и из первого результата вычесть второй.

= F(x)|^b_a=F(b) – F(a).

Пример 1

=sinx|^π/3₀  = sin  -sin0=0,5.

Свойства определенного интеграла:

1) = C∙, где С-постоянная величина.

2)  =+

3)  = -

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке  знака функции , прямыми  и отрезком . Площадь S криволинейной трапеции находится по формуле

.  (*)

Пример 2

Определить площадь фигуры, заключенной между ветвью кривой y=x², осью Ох и прямыми х = 0, х = 3.

S =  = |³_{0  =} -  _{= 9}

Контрольные вопросы

1.Дайте определение определенного интеграла.

2.Как вычислить определенный интеграл?

3.Каков геометрический смысл определенного интеграла?

Задания

ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА

Задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

                а) ;            б) .

№	План вычисления площади	Применение	плана
шага	криволинейной трапеции	а)	б)
1	Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру, площадь которой надо найти. Установим, является ли эта фигура криволинейной трапецией
2	Записываем формулу для вычисления площади искомой фигуры
3	Находим пределы интегрирования	,
4	Вычисляем искомую площадь по формуле (*)	,  (кв.ед.)	,  (кв.ед.)

Примеры. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1)      ;  2) ;    3) ;     4) ;

5) ;  6) ;    7) ;    8) ;

9) .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1.      Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2.     

Выберите правильный вариант ответа.

 Площадь фигуры, изображенной на 

рисунке, вычисляется по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

Вариант 2.

1.      Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2.     

Выберите правильный вариант ответа.

 Площадь фигуры, изображенной на

рисунке, вычисляется по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

Вариант 3.

1.      Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2.      Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна:

а) ;    б) 4;    в) .

Вариант 4.

1.      Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2.      Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна:

а) ;    б) ;    в) .

Вариант 5.

1.      Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2.      Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна , если, а равно:

 а) ;    б) 0,5;    в) .

Вариант 6.

1.      Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2.      Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна , если b равно:

 а) ;    б) 4;    в) .

Вариант 7.

1.      Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2.      Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна: 

а) ;    б) ;    в) .

Вариант 8.

1.      Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2.      Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна:

а) ;    б) ;    в) .

Практическое занятие № 14-15

Тема: Вычисление определенного интеграла различными методами.

Цель:

1.      Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление определенного интеграла».

2.      Закрепить и систематизировать знания по теме.

3.      Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

Краткая теория

Приращение F(b)-F(a) любой из первообразных функций F(x)+C при изменении аргумента от x=a до  x=b называется определенным интегралом и обозначается: .

 = F(b)=F(a), где a- нижний предел интеграла, b- верхний предел интеграла.

Для вычисления определенного интеграла нужно найти соответствующий неопределенный интеграл, в полученное выражение подставить вместо x сначала верхний, а затем нижний пределы определенного интеграла и из первого результата вычесть второй.

= F(x)|^b_a=F(b) – F(a).

Свойства определенного интеграла:

1) = C∙, где С-постоянная величина.

2)  =+

3)  = -

Контрольные вопросы

Что называется первообразной функции?

 б) Сформулируйте основное свойство первообразной.

 в) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

 г) Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

Задания

ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

Выберите правильный вариант ответа.

1.      Значение  равно: 

а);   б) ;   в) .

2.      Равенство  (где a > 0) верно, если а равно:

а) 1;   б) 2;   в) 3.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1.      Вычислите интегралы:   а) ;                     б) .

2.      Докажите справедливость равенства: .

Вариант 2.

1.      Вычислите интегралы:   а) ;               б) .

2.      Докажите справедливость равенства: .

Вариант 3.

1.      Вычислите интегралы:   а) ;                   б) .

2.      Докажите справедливость равенства: .

Вариант 4.

1.      Вычислите интегралы:   а) ;                      б) .

2.      Докажите справедливость равенства: .

Вариант 5.

1.      Вычислите интегралы:   а) ;                       б)

2.      Верно ли неравенство:  ?

Вариант 6.

1.      Вычислите интегралы:   а);                    б) .

3.      Верно ли неравенство: ?

Вариант 7.

1.      Вычислите интегралы:   а) ;                   б) .

2.      Верно ли неравенство:  ?

Вариант 8.

1.      Вычислите интегралы:   а) ;                          б) .

2.      Верно ли неравенство:  ?