Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по выполнению практических работ дисциплины ЕН.01.Математика для специальности 40.02.01

Методические рекомендации по выполнению практических работ дисциплины ЕН.01.Математика для специальности 40.02.01

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Название документа Практическое занятие №1.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие №1

Тема: Вычисление пределов функции.

Цель:

1) Формирование общих компетенций,

2) Знать определение предела последовательности, свойства пределов, приемы использования замечательных пределов.

3) Уметь решать прикладные комбинированные задачи на применение замечательных пределов.


Краткая теория


Постоянное числоA пределом функции y= f(x)в точкеx=a, если для всех x, сколь угодно мало отличающихся ота, т.е. (|x-a|)<δ),значение функцииy сколь угодно мало отличается от числа A, т.е. (|y-A|<ε), т.е. если при xa, yA, то.

Правила предельного перехода:

1.Предел суммы или разности равен сумме или разности пределов lim(x+y)=limx+limy;

lim(x-y)=limx- limy.

2.Предел произведения равен произведению пределов lim(xy)=limxlimy

3.Предел отношения равен отношению пределов lim{x/y)=limx/limy

Свойства пределов:

1.limA=A, если А=constпредел постоянной равен этой постоянной

2. lim (Cy)=Climy, еслиС = const постоянную можно вынести за знак предела.


Первый замечательный предел: =1

Второй замечательный предел: = e;

=e

Пример 1

= = * 1=

Пример 2

= )3 =e


Контрольные вопросы

  1. Дайте определение предела функции.

  2. Сформулируйте правила предельного перехода.

  3. Каковы свойства пределов.

  4. Чему равен предел отношения при x→0 ?

  5. Чему равен предел функции вида (1+x)1/xпри x→0?

  6. Чему равен предел функции вида при x→∞?




Задания

1)Вычислить предел функции: ;


;

2)Найти предел функции:

1) ; 2)

3) ; 4)

5) 6) x/2


6)Lim [(x2-9)2/(x2-6x+9)]

x→3

7) ;


8) lim [(x2-5x+6)/(x2-12x+20)]

x→2

9) lim [(tg4x)/x]

x→0

10) lim [(tgx)/(sin2x)]

x→0

11) lim [x/(x+1)]x

x→∞

12) lim [(tg5x)/(sin2x)]

x→0

13) lim [(2x3-4x+1)/(x3+8)]

x→∞

15) lim [(x-9)/x]x

x→∞

16) lim [(x2+5x+6)/(x2+6x+8)]

x→-2



Название документа Практическое занятие №10.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие № 10

Тема: Нахождение числовых характеристик случайных величин.

Цель:

1) Формирование общих компетенций:

2) Знать определение математического ожидания и дисперсии случайной величины.

3) Уметь решать прикладные задачи на расчет математического ожидания и дисперсии случайной величины


Краткая теория


Основной характеристикой положения или расположения случайной величины является математическое ожидание М(х), определяемое по формулам: M(x)=XiPi(*) для дискретной случайной величины;

M(x) =(**)для непрерывной случайной величины.xiвозможные значения случайной величины, Pi- соответствующие им вероятности, f(x) – плотность распределения случайной величины. Предполагается, что (*) и(**) абсолютно сходятся.

Дисперсия случайной величины D[x] –математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания D[x] = M[x-M(x)]2

Пример 1

В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по 100 руб. и одна по 300 руб. определить математическое ожидание чистого выигрыша для студента, если он приобрел один билет стоимостью 100 рублей, а всего билетов 50.

Решение

Х – случайная величина, характеризующая сумму чистого выигрыша для студента. Х может принимать значения: = - 1, если студент ничего не выиграл; х = 9, если выигрыш 100 рублей; х = 29, при выигрыше 300 рублей.

Вычисляем вероятность каждого выигрыша. Р(-1)=47/50 = 0,94; Р(9)=2/50=0,04; Р(29)=1/50=0,02

Определяем математическое ожидание:

M = -1∙0,94+9∙0,04+29∙0,02 = 0

Вычисляем дисперсию D(x)= (x1-M)2+(x2-M)2+(x3-M)2

D(x) = (-1-0)2+(9-0)2+(29-0)2=1+81+841=923


Контрольные вопросы

1.Приведите пример случайной величины.

2.Дайте определение математического ожидания случайной величины.

3.Дайте определение дисперсии случайной величины.



Задания

1.Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины x. Закон распределения задан таблицей.

2. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения: хi

1

2

5

рi

0,3

0,5

0,2

3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

хi

2

3

5

рi

0,1

0,6

0,3

4. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появления события в этих испытаниях.



Название документа Практическое занятие №11.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие № 11

Тема: Абсолютная и относительная погрешности. Округление чисел.

Цель:

1) Формирование общих компетенций;

2) Знать о приближенных значениях величины,об арифметических действиях с приближенными числами;

3) Уметь выполнять арифметические действия с действительными числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенное значение величины; находить погрешности приближений (абсолютную и относительную); выполнять действия с приближенными числами.




Краткая теория

Абсолютной погрешностью измерения называется величина, определяемая разницей между результатом измерения x и истинным значением измеряемой величины x0:

Δx = |xx0|.

Величина δ, равная отношению абсолютной погрешности измерения к результату измерения, называется относительной погрешностью:

δ = hello_html_m5164dc5c.gif

Пример 2.1. Приближённым значением числа π является 3.14. Тогда погрешность его равна 0.00159… . Абсолютную погрешность можно считать равной 0.0016, а относительную погрешность равной 0.0016 / 3.14 = 0.00051 = 0.051 %.

Значащие цифры. Если абсолютная погрешность величины a не превышает одной единицы разряда последней цифры числа a, то говорят, что у числа все знаки верные. Приближённые числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52 400 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 · 10 2 или 0.524 · 10 5. Оценить погрешность приближённого числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. При подсчёте значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа.

Например, число 0.0283 имеет три верных значащих цифры, а 2.5400 – пять верных значащих цифр.

Правила округления чисел. Если приближённое число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры (d) округлённого числа. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причём если первая отбрасываемая цифра больше или равна d/2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются (как и лишние нули). Например, если погрешность измерения 0.001 мм, то результат 1.07005 округляется до 1.070. Если первая из изменяемых нулями и отбрасываемых цифр меньше 5, остающиеся цифры не изменяются. Например, число 148 935 с точностью измерения 50 имеет округление 148 900. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр или идут нули, то округление производится до ближайшего чётного числа. Например, число 123.50 округляется до 124. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр больше 5 или равна 5, но за ней следует значащая цифра, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу. Например, число 6783.6 округляется до 6784.

Пример 2.2. При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 – 1284 = 16, а при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280 – 1284 = 4.

Пример 2.3. При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200 – 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0.01523 или приближённо 3/200 ≈ 1.5 %.



Задания

ВАРИАНТ – 1

  1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

2,645              25,689

  1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

17,349             0,785

  1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

4382           72356

  1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что - 0,143 является приближенным значением для  .

  2. Округлить число 21,345  тремя способами, найти ошибки округления.

  3. Выполнить действия:

а) 428, 263+107,316+264,2+748,35;

б) найти с точностью до 100

     283,425+15627,321+17216,35.

ВАРИАНТ – 2

  1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

0, 428            16,452

  1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

16,285           60,605

  1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

1835            10428

  1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,777 является приближенным значением для 7/9.

  2. Округлить число 18,315  тремя способами, найти ошибки округления.

  3. Выполнить действия:

а) 15,283+4,04527+8,253741+17,52;

б) найти с точностью до 0,01

564,375+7489,296+114,206+748,601.

ВАРИАНТ – 3

  1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

8,993

81,341

  1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

34,931

2,501

  1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

64975

6872,73

  1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,444 является приближенным значением для  4/9.

  2. Округлить число 31,317  тремя способами, найти ошибки округления.

  3. Выполнить действия:

а) 12030+645,29+478,5+1652,375;

б) найти с точностью до 100

     563+14879+74596+23702.

ВАРИАНТ – 4

  1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

10,328

15,1613

  1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

785,501

0,499

  1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

16765

1335,42

  1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,273 является приближенным значением для 3/11.

  2. Округлить число 24,815  тремя способами, найти ошибки округления.

  3. Выполнить действия:

а) 26,35+1400+729,3+745,68;

б) найти с точностью до 0,01

172,350+113,215+712,305+546,554.



Название документа Практическое занятие №12.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие № 12

Тема:. Действия над матрицами.

Цель:

1) Формирование общих компетенций:

2) Знать определение матрицы, виды матрицы, правила выполнения действий над матрицами

3) Уметь выполнять сложение, вычитание и умножение матриц


Краткая теория

Матричные модели представляют собой модели, построенные в виде таблиц (матриц).Эти модели находят широкое применение при решении плановых или экономических задач и при обработке больших массивов информации. Матрица – прямоугольная таблица чисел. Например:

Эти данные можно записать в виде матрицы (*)

= А (*)

Коэффициенты при неизвестных системы линейных уравнений

3x-5y+z=14

X+3y-7z=-22

2x+y-3z=-6 можно записать в виде матрицы (**)

= А (**)

Матрица-прямоугольная таблица чисел. Любое число такого массива называется элементом матрицы. Ряд чисел, расположенных в матрице горизонтально называется строкой, а вертикально – столбцом. Количество строк – m, количество столбцов – n, если m=n – матрица квадратная

Размерность матрицы – количество элементов в ней.

А=

Воображаемая линия квадратной матрицы, пересекающая ее от а11 до аmn называется главной диагональю.Квадратная матрица, в которой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.Диагональная матрица, у которой все элементы, расположенные по главной диагонали – единицы, называется единичной.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой.

Суммой (разностью) двух матриц А и В, имеющих mстрок иnстолбцов, называется матрица, полученная в результате сложения (вычитания) одноименных элементов матриц А и В. Получаемая в результате матрицы С имеет ту же размерность m*n.

Матрицу можно умножить на число, для этого надо на это число умножить каждый элемент матрицы.

Умножение матрицы-строки на матрицу-вектор:

A=(a1, a2, a3) –вектор-строка.


В= | | - вектор-столбец

С=А*В = a1b1+ a2b2+a3b3 =

Произведением двух матриц - матрицы А(mn) на матрицу B(np) – называется матрицаC(mp), каждый элемент которой вычисляется по

n

формуле: Сij = ∑aikbkj

k=1

Контрольные вопросы

1. Дайте определение матрицы.

2.Что называют элементами матрицы.

3.Какая матрица называется квадратной? Диагональной? Единичной?

Вектор-столбцом? Вектор-строкой?

4.Дайте определение суммы матриц.

5.Сформулируйте правило умножения матрицы на число.

6.Сформулируйте правило умножения матриц.

Задания

1. Сложить матрицы| = А; | | = B.

2.Вычесть из матрицы А матрицу В: A=| |; B=| |.


3. Умножить матрицу А на матрицу В:A= | 2 3 4 |; B=| | .

4. Сложить, вычесть и умножить каждую матрицу на 5 :

А) А = и В = б) А = В =



Название документа Практическое занятие №13.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие № 13

Тема: Вычисление определителя матрицы.

Цель:

1) Формирование общих компетенций:

2) Знать определение определителя матрицы, алгоритм вычисления определителя матрицы

3) Уметь вычислять определитель матрицы; решать прикладные задачи с использованием определителя матрицы.



Краткая теория

Определитель второго порядка вычисляется по формуле:

, результат вычисления – любое действительное число.

2) Для вычисления определителя третьего порядка (матрицы 3×3) применяют правило треугольника (Сарруса), по которому составляют формулу, аналогичную формуле пункта 1.







«+» « - »

Элементы главной диагонали и ее параллелей умножаются со знаком «плюс», элементы побочной диагонали и ее параллелей – со знаком «минус»,
тогда:


3) Для вычисления матрицы, обратной данной, необходимо:

1. Найти определитель ∆ заданной матрицы по формулам пункта 1 и 2.

2. Найти алгебраические дополнения по формулам:


3. Составить матрицу:

Транспортировать ее (строки и столбцы поменять местами)

и найти обратную матрицу по формуле:


4. Проверка производится по формуле:

.



Задания

Вычислить определители:

1) hello_html_m717b4486.gif; 2) hello_html_m7e61f03.gif;

3) hello_html_m3d2cbce4.gif 4) hello_html_m272ca160.gif;

5) hello_html_4c30de7c.gif; 6) hello_html_m5b2345b7.gif

7) hello_html_m89b570a.gif;





Название документа Практическое занятие №14-15.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие № 14-15

Тема: СЛУ. Решение систем методом Гаусса.

Цель:

1) Формирование общих компетенций

2) Сформировать умение исследовать и использовать метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.


Краткая теория

Алгоритм метода Гаусса. Цель рассуждений – путем элементарных преобразований свести исходную систему к равносильной, решение которой можно выписать непосредственно. Основными шагами метода Гаусса являются следующие.

I. Прямой ход. Выписать расширенную матрицу системы, путем элементарных преобразований свести ее к эквивалентной ступенчатой и определить ранги матрицы и расширенной матрицы системы. Если они различны, то исходная система несовместна, т.е. не имеет решений. Если hello_html_50c72ce8.gif, то переходим к следующему этапу.

II. Сравнить ранг системы и число неизвестных, сделать вывод о количестве решений, учитывая теорему 2.

III. Обратный ход. Ступенчатую матрицу преобразовать к эквивалентной ей приведенной. Определить, какие неизвестные являются ведущими, какие – свободными.

IV. Выписать по полученной матрице систему, записать ответ (выразив, в случае неопределенной системы, ведущие элементы через свободные для построения общего решения).

Пример . Решить СЛАУ hello_html_m4f7b7d1c.gif.

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

hello_html_m642e158a.gif

Последняя матрица – ступенчатая. Ведущими неизвестными для нее являются hello_html_3e8e55ff.gifв первой строке, hello_html_m41992dfa.gifво второй и hello_html_m18b2a4eb.gifв третьей. Очевидно, что система совместна и ее ранг равен 3: hello_html_a51f56.gif. Поскольку число неизвестных также равно 3, исходная система является определенной.

Переходим к проведению преобразований по обратному методу Гаусса (теперь необходимо получать нули НАД ведущими элементами).

hello_html_m3ebd2f96.gif

Теперь составляем по последней матрице систему hello_html_4d7e5a7c.gifи выписываем значения неизвестных в порядке их номеров: X=(3;1;1)T. Это и есть ответ.



Задания

Задание 1. По расширенной матрице выписать СЛАУ.

1) hello_html_3535cef2.gif

2) hello_html_m13519437.gif

3)hello_html_m3e789cce.gif

4) hello_html_5093f065.gif

Задание 2. Решить системы уравнений методом Гаусса.

1) hello_html_m23d44371.gif

2) hello_html_m796e178e.gif

3) hello_html_m84ff67d.gif

4) hello_html_m7b7610ba.gif



Задание 3. Решить СЛАУ (в случае неопределенной системы выписывать общее и два любых частных решения).

1) hello_html_538d3a3a.gif

2) hello_html_594f36b.gif

3) hello_html_87e572d.gif

4) hello_html_4c5bb63a.gif





Название документа Практическое занятие №2.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие №2

Тема: Производная функции. Механический и геометрический смысл производной.

Цель:

1) Формирование общих компетенций

2) Знать определение производной функции, производные основных функций, правила нахождения производной сложной функции, геометрический смысл производной.

3) Уметь решать прикладные задачи на определение производной функции.


Краткая теория

Производной функции y=f(x) по переменной xназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента x, когда последнее стремится к нулю, т.е. yx′= = .

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции.

Дифференциалом функции y=f(x) называется главное слагаемое приращения функции, линейное относительно Δx.y′=

Формулы дифференцирования:

1) С=сonst, (C)′=0; 2) (Cf(x))′=Cf′(x);

3) (f(x)+g(x))′= f′(x)+g′(x); 4) (f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g′(x);

5) = ; 6) (xn)′=n∙xn-1

7) (sinx)′=cosx; 8) (cosx)′=-sinx.

Производная сложной функции: (f(g(x)))′=f′((g(x))∙g′(x).


Схема исследования функции и построения еѐ графика:

1) найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются;

2) исследовать функцию на четность и нечетность;

3) исследовать функцию на периодичность;

4) определить точки пересечения с осями координат, если это возможно;

5) найти критические точки функции;

6) определить промежутки монотонности и экстремумы функции;

7) определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой и найти точки перегиба;

8) найти асимптоты графика функции;

9) используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой; иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Например. Исследовать функцию у = х3 – 6х2 + 9х - 3 и построить еѐ график.

Решение:

1) функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(у) = R;

2) у(-х) = (-х)3- 6(-х)2 + 9(-х) – 3= - х3- 6х2- 9х – 3, функция не является ни четной, ни нечетной;

3) функция не является периодической;

4) найдем точку пересечения графика с осью ОУ: полагая х = 0, получим у = - 3; точки пересечения графика с осью ОХ в данном случае найти затруднительно.

5) найдем производную f '(х)= 3х2- 12х + 9; найдем критические точки

f '(х)=0, 3х2- 12х + 9= 0, получим х = 1 и х = 3 – критические точки.

6) в промежутках (-∞; 1) и (3; +∞) у' >0, функция возрастает; в

hello_html_m3c06f1e.png

промежутке (1; 3) у' <0, функция убывает. При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с плюса на минус,

а при переходе через точку х = 3 – с минуса на плюс. Значит

ymax = у(1)= 1, ymin = у(3) = - 3.


7) найдем вторую производную у''= 6х – 12, у''=0, 6х – 12= 0, х = 2; в промежутке (-∞; 2) у'' <0, кривая выпукла вверх,

в промежутке (2; +∞) у'' >0, кривая выпукла вниз.

hello_html_m31f24113.pnghello_html_3a6330df.gif

Получаем точку перегиба (2;-1). 8) график функции асимптот не имеет;

9) используя полученные данные, строим искомый график.



1 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=cos3(x2+8); б) f(x)= в) f(x)=sin3(4x2+3x-8);

2.Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 3xx3

2 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=3(x5+7x3+1)4; б) f(x)=; в) f(x)=4ln(x6+5)-5x+2.

2.Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – 12x

3 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=3(5x2-x+4)6; б) f(x)=2ln(x6+5); в) f(x)=cos4(4x-x2).

2.Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = x3 – 12x

4 вариант.

1. Найти производную функции:

а) f(x)=tg4(x-x2); б) f(x)=3cos5x+2 в) f(x)=(x2-1)*(x+3)4.

2.Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график: f(x) = 5x - x3



Название документа Практическое занятие №3.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие №3

Тема: Нахождение производных сложных функций.

Цель:

1) Формирование общих компетенций

2) Знать определение производной функции, производные основных функций, правила нахождения производной сложной функции, геометрический смысл производной.

3) Уметь решать прикладные задачи на определение производной функции.


Краткая теория

Производной функции y=f(x) по переменной xназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента x, когда последнее стремится к нулю, т.е. yx′= = .

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции.

Дифференциалом функции y=f(x) называется главное слагаемое приращения функции, линейное относительно Δx.y′=

Формулы дифференцирования:

1) С=сonst, (C)′=0; 2) (Cf(x))′=Cf′(x);

3) (f(x)+g(x))′= f′(x)+g′(x); 4) (f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g′(x);

5) = ; 6) (xn)′=n∙xn-1

7) (sinx)′=cosx; 8) (cosx)′=-sinx.

Производная сложной функции: (f(g(x)))′=f′((g(x))∙g′(x).



Контрольные вопросы

  1. Какая функция называется сложной? Приведите примеры сложных функций.

  2. Сформулируйте правило вычисления производной сложной функции

  3. Каков геометрический смысл производной?



Задания


Вариант 1.

Вычислите производные сложных функций:

а) hello_html_6c4b279a.gif; б) hello_html_56aed5b3.gif; в) hello_html_1e67210f.gif; г) hello_html_5a67c72e.gif; д) hello_html_7d9a87e8.gif.

Вариант 2.

Вычислите производные сложных функций:

а) hello_html_m5a090e25.gif; б) hello_html_m7f279a04.gif; в) hello_html_351c4b21.gif; г) hello_html_5e5cc92c.gif;

д) hello_html_5fa6ca27.gif.


Вариант 3.

Вычислите производные сложных функций:

а) hello_html_2cab14eb.gif; б) hello_html_m17e3f66b.gif; в) hello_html_m2ceb1601.gif; г) hello_html_m2e5192bc.gif;

д) hello_html_mee9c37.gif.

Вариант 4.

Вычислите производные сложных функций:

а) hello_html_m2c13de58.gif; б) hello_html_5846905c.gif; в) hello_html_1c8deebe.gif; г) hello_html_4f215fcd.gif;

д) hello_html_m58760d00.gif.

Вариант 5.

Вычислите производные сложных функций:

а) hello_html_3ef41687.gif; б) hello_html_439451be.gif; в) hello_html_m4318ce04.gif;

г) hello_html_m27f31a49.gif; д) hello_html_5f4fe6b0.gif.

Вариант 6.

Вычислите производные сложных функций:

а) hello_html_67e7281a.gif; б) hello_html_5f3db927.gif; в) hello_html_m3bd26c2d.gif; г) hello_html_m330a5fa5.gif;

д) hello_html_m29e04a04.gif.

Вариант7.

Вычислите производные сложных функций:

а) hello_html_m282ffdac.gif; б) hello_html_c9593dc.gif; в) hello_html_m6c7ab3d8.gif; г) hello_html_m17b85600.gif;

д) hello_html_m4daba73c.gif;

Вариант 8.

а) hello_html_67821430.gif; б) hello_html_md33d585.gif; в) hello_html_32c0723a.gif; г) hello_html_412d55fa.gif;

д) hello_html_58624afc.gif.




Название документа Практическое занятие №4.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие № 4

Тема: Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

Цель:

1) Формирование общих компетенций

2) Применять правило Лопиталя для нахождения пределов.


Краткая теория

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. hello_html_4eb490a9.gifили б.б. hello_html_ba0aff0.gifфункций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

hello_html_m3f1e39f.gif

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность hello_html_4eb490a9.gifили hello_html_ba0aff0.gifи затем использовать формулу.



Контрольные вопросы

  1. Сформулируйте правило Лопиталя.

  2. При каких видах неопределенности можно применить правило Лопиталя?

  3. Какой существует прием для раскрытия неопределенности ?




Задания

Найти пределы, используя правило Лопиталя.

1) hello_html_704c4fc2.gif

2) hello_html_m15b45644.gif

3) hello_html_m28c31690.gif

4) hello_html_40339edb.gif

5) hello_html_m423eaf5c.gif

6) hello_html_m4c73e626.gif





Название документа Практическое занятие №5.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие № 5

Тема: Исследование функций, нахождение асимптот.

Цель:

1) Формирование общих компетенций,

2) Знать алгоритм исследования функции с помощью производной,

3) Уметь решать прикладные задачи на исследование функции с помощью производной.


Краткая теория

Функция y=f(x) монотонно возрастает, если большему значению аргумента х соответствует большее значение функции f(x) и производная >0. Функция монотонно убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функциии производная <0.

В точке экстремума производная функции равна нулю.

Признаки максимума: производная в точке максимума равна нулю, и в этой точке меняет знак с «плюса» на «минус»

Признаки минимума: производная в точке минимума равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс»

Пример 1. Исследовать функцию y=2x2-3x

А) Определим точки, в которых производная равна нулю. y′=4x– 3

4x-3=0; xо=3/4; точка экстремума xо=3/4.

Б) Определим знак производной при x<xo. y′(1/2)=4∙1/2-3= -1<0; y′(x<xo)<0.

В) Определим знак производной при x>xo. y′(1)=4∙1-3-1>0;

y′(x>xo)>0.

Г) Точка экстремума x=3/4 в этой точке производная меняет знак с «-» на «+», значит в точке x=3/4 минимум. На участке (-∞; 3/4) функция убывает; на участке (3/4; ∞) функция возрастает.



Контрольные вопросы

1.Каков геометрический смысл производной функции?

2.Каков признак возрастания функции?

3.Каков признак убывания функции?

4.Каков признак минимума функции?

5.Каков признак максимума функции?

6.Чему равна производная функции в точке минимума или максимума?




Задания

ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА

Задание. Исследуйте и постройте графики функции:

а) hello_html_m1caf3e4.gif; б) hello_html_181af0e7.gif.




Функции

а) hello_html_m1caf3e4.gif

б) hello_html_181af0e7.gif

1

Находим область определения функции

hello_html_m7f967939.gif

hello_html_m54d8b23a.gif, hello_html_m272eca2f.gif,

hello_html_9ad255d.gif

hello_html_m4a40fd2c.gif

2

Исследуем функцию на четность, нечетность

hello_html_m47764063.gifhello_html_m2e115fd6.gifфункция ни четная, ни нечетная

hello_html_m2515f4bd.gifhello_html_m2e115fd6.gifфункция четная

3

Находим нули (корни) функции и промежутки её знакопостоянства

hello_html_m3aa7b2ce.gifhello_html_217025d4.gif, hello_html_m4570fdaa.gif,

hello_html_390d0463.gif, hello_html_m221b22cc.gif- нуль функции

hello_html_1dfa5aa3.gif,

hello_html_m5f14f1f4.gif- нуль функции

4

Находим производную функции и её критические точки

hello_html_24d37f65.gifhello_html_m1bcc010f.gif,

hello_html_2cb9c2e6.gifhello_html_53c6f5c2.gif- критические точки функции

hello_html_mc42e1de.gif

hello_html_m56e75332.gifhello_html_2cb9c2e6.gifhello_html_m461685e6.gif- критическая точка функции

5

Находим промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции





hello_html_m5924b64c.gif

х=0 – не является точкой экстремума, х=1 – точка минимума, hello_html_62aa54c4.gif





hello_html_30a6570.gif

hello_html_m379eed89.gif,

х=0 – точка максимума,

hello_html_589c4841.gif

6

Находим предел функции при hello_html_m70daa2bc.gif

hello_html_25d9918d.gif

hello_html_m4dc4a28a.gif

7

Строим эскиз графика функции




Примеры. Исследуйте и постройте графики функций:

1) hello_html_e491704.gif; 2) hello_html_m266a71ca.gif; 3) hello_html_mee18a3d.gif; 4) hello_html_2dafd8c5.gif; 5) hello_html_m6d6990d4.gif; 6) hello_html_m27ed15ad.gif; 7) hello_html_m68db6928.gif; 8) hello_html_55c78461.gif; 9) hello_html_m142de20c.gif.


ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

  1. Исследуйте функцию hello_html_m663e1673.gif на максимум и минимум.

  2. Исследуйте с помощью производной функцию hello_html_5123dd3a.gif и постройте ее график.


Вариант 2.

  1. Исследуйте функцию hello_html_220634da.gif на максимум и минимум.

  2. Исследуйте с помощью производной функцию hello_html_304c0ff4.gif и постройте ее график.

Вариант 3.

  1. Исследуйте функцию hello_html_2b6e9173.gif на максимум и минимум.

  2. Исследуйте с помощью производной функцию hello_html_2d52390b.gif и постройте ее график.

Вариант 4.

  1. Исследуйте функцию hello_html_7e133dfa.gif на максимум и минимум.

  2. Исследуйте с помощью производной функцию hello_html_4e52a655.gif и постройте ее график.

Вариант 5.

  1. Исследуйте функцию hello_html_m376db10c.gif на максимум и минимум.

  2. Исследуйте с помощью производной функцию hello_html_m1e59ab14.gif и постройте ее график.

Вариант 6.

  1. Исследуйте функцию hello_html_533cd700.gif на максимум и минимум.

  2. Исследуйте с помощью производной функцию hello_html_220634da.gif и постройте ее график.

Вариант 7.

  1. Исследуйте функцию hello_html_79f76e4d.gif на максимум и минимум.

  2. Исследуйте с помощью производной функцию hello_html_32fc9603.gif и постройте ее график.

Вариант 8.

  1. Исследуйте функцию hello_html_599d56fb.gif на максимум и минимум.

  2. Исследуйте с помощью производной функцию hello_html_mc97d0d0.gif и постройте ее график.






Название документа Практическое занятие №6-7.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие № 6-7

Тема: Неопределенный интеграл. Различные методы интегрирования. Вычисление неопределенных интегралов.

Цель:

1) Формирование общих компетенций

2) Закрепить и систематизировать знания по теме.

3) Знать определение первообразной, правила вычисления интеграла, таблицу интегралов элементарных функций

4) Уметь выполнять интегрирование элементарных функций, заменой переменных, по частям.




Краткая теория


Первообразной функцией для выражения f(x)dxназывается функция F(x), дифференциал которой равен f(x)dx. Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается . Таким образом , где f(x)dxназывается подынтегральным выражением, а С – произвольная постоянная интегрирования. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Интегрирование – действие, обратное дифференцированию.

Свойства неопределенного интеграла:

1) дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d;

2)неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

;

3) постоянную величину можно вынести за знак интеграла:


4) интеграл суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов: .

Формулы интегрирования:

1)= +C. где n≠-1; 2)

3); 4)

5) .

Пример 1.

dx = dx=+ = + ln|x|+C.

Интегрирование способом подстановки

Пример 2

. Положим 1+x = z; продифференцируем это равенство:

.d(1+x)= dz; dx=dz; заменим в интеграле:

= = +C.

Интегрирование по частям

=fg -

Пример 3

=?

Положимf = x ;dg = sinxdx; df = dxg =-cosx.

получим = x∙(-cosx)- = -xcosx+sinx+C



Контрольные вопросы

1. Дайте определение первообразной функции.

2. Дайте определение неопределенного интеграла.

3. Что называют подынтегральным выражением?

4. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

5. Допишите формулы интегрирования:

=?; =?; =?; =?; .




Задания

1) 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) 9) .

10)



Вариант 1.

  1. Является ли функция hello_html_1e527e64.gif первообразной для функции hello_html_5485f03f.gif на R

  2. а) Найдите общий вид первообразных для функции hello_html_41942645.gif.

б) Для функции hello_html_711f6a3d.gif найдите первообразную, график которой проходит через точку hello_html_4b531916.gif.

Вариант 2.

  1. Является ли функция hello_html_m6351c8a2.gif первообразной для функции hello_html_m77c71e5e.gif на R?

  2. а) Найдите общий вид первообразных для функции hello_html_m63d4830b.gif.

б) Для функции hello_html_m1b371f7a.gif найдите первообразную, график которой проходит через точку hello_html_m70d354ba.gif.

Вариант 3.

  1. Является ли функция hello_html_38e4a00a.gif первообразной для функции hello_html_11f09fde.gif на R?

  2. а) Найдите общий вид первообразных для функции hello_html_m6f87a6c6.gif.

б) Для функции hello_html_1e67210f.gif найдите первообразную, график которой проходит через точку hello_html_m68d9e007.gif.

Вариант 4.

  1. Является ли функция hello_html_29a5f787.gif первообразной для функции hello_html_53b34931.gif на R?

  2. а) Найдите общий вид первообразных для функции hello_html_74bfe1e6.gif.

б) Для функции hello_html_11e14128.gif найдите первообразную, график которой проходит через точку hello_html_m474e1b19.gif.

Вариант 5.

  1. Является ли функция hello_html_18c4d969.gif первообразной для функции hello_html_3b94f670.gif на R?

  2. а) Найдите общий вид первообразных для функции hello_html_210e488c.gif.

б) Для функции hello_html_19fadcf3.gif найдите первообразную, график которой проходит через точку hello_html_m5cc25ba2.gif.

Вариант 6.

  1. Является ли функция hello_html_2033acce.gif первообразной для функции hello_html_1242e23c.gif на R?

  2. а) Найдите общий вид первообразных для функции hello_html_3aa95c2f.gif.

б) Для функции hello_html_m17ef849d.gif найдите первообразную, график которой проходит через точку hello_html_m2e39d65e.gif.

Вариант 7.

  1. Является ли функция hello_html_53138a3b.gif первообразной для функции hello_html_17229906.gif на R?

  2. а) Найдите общий вид первообразных для функции hello_html_3ae8a2e.gif.

б) Для функции hello_html_5728906.gif найдите первообразную, график которой проходит через точку hello_html_558d0bbd.gif.

Вариант 8.

  1. Является ли функция hello_html_ac5805a.gif первообразной для функции hello_html_84e7141.gif?

  2. а) Найдите общий вид первообразных для функции hello_html_7f4a4b01.gif.

б) Для функции hello_html_mc1f7e8e.gif найдите первообразную, график которой проходит через точку hello_html_m4be5abfa.gif.





Название документа Практическое занятие №8.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие № 8

Тема: Логические операции. Решение задач табличным методом.

Цель:

1) Формирование общих компетенций:

2) Знать определение множества, действия над множествами

3) Уметь решать прикладные задачи на применение теории множеств.


Краткая теория

Любая совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы, называемых элементами, называется множеством. Или, множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п Множества обозначаются прописными буквами, а элементы – строчными. Запись аϵА обозначает, что а элемент множестваA. Если b не принадлежит множеству А, то записывается: bА

Если каждый элемент множества А является и элементов множества В, то говорят, что множество А является подмножеством В (А В )

Если при этом в множестве В есть элементы, не принадлежащие множеству А, то пишут А В. Сумма двух множеств А В является множеством, каждый элемент которого принадлежит либо к А либо к В. Пересечением двух множеств А ∩В является множество, каждый элемент которого принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Множество, состоящее из некоторого натурального числа элементов, называется конечным множеством. Если не существует такого числа, определяющего количество элементов в множестве, то такое множество называется бесконечным.

N –множество натуральных чисел; Zмножество целых чисел; R- множество действительных чисел; Q- множество рациональных чисел. важные операции, которые можно производить с двумя множествами А и В – объединение двух множеств и построение их пересечения.

Объединение двух множеств – новое множество, состоящее из элементов как множества А, так и множества В. Это множество обозначается А В

Пересечением двух множеств называется множество, в которое входят только те элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам А и В. Обозначается это множество через А ∩ В

Операции объединения и пересечения можно производить с любым конечным числом множеств, а также - и с бесконечным числом.

.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x  Х ( — принадлежит).

Если множество А является частью множества В, то записывают А  В ( — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А  В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А  B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2}  {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства:

Свойства перестановочности:

A  B = B  A

A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство:

(A  B)  C = A  (B  C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Круги Эйлера (Эйлера-Вена) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Пример: Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Контрольные вопросы

1.Дайте определение понятия множества.

2.Что такое подмножество?

3.Дайте определение суммы множеств.

4.Что называют пересечением множеств?

5.Какое множество называется конечным? Бесконечным?

Задания

1) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={е, о, р, х} В={х, у}

б) А={х: -3<х<4} В={х: 0≤х≤6}

в) А={2n+1}, B={n+1} nєN

2) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}

б) А={х: 0<х<2} В={х: 1≤х≤4}

в) А={3-(n+1)}, B={n+5} nєN

3) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) только один язык?

б) испанский язык?

в) только немецкий язык?

г) знают английский и немецкий, но не знают французский?

4) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) ровно два языка?

б) только французский язык?

в) знают немецкий и французский, но не знают английский?

г) не знают испанский язык?

5)На очередном конкурсе «Евровидение» зрители поспорили, участник какой страны будет победителем. Были высказаны следующие предположения:

  • первым будет исполнитель из России, а вторым участник их Белоруссии:

  • исполнитель из России будет вторым, а из Норвегии – третьим;

  • вторым будет участник из Франции, а норвежский исполнитель будет четвертым.

Оказалось, в каждом из высказанных предположений одно – истинно, другое – ложно. Определите победителей.




Название документа Практическое занятие №9.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическое занятие № 9

Тема: Решение вероятностных задач.

Цель:

1) Формирование общих компетенций:

2) Знать определение вероятности, правила сложения и умножения вероятностей.

3) Уметь решать прикладные задачи на сложение и умножение вероятностей, уметь рассчитывать вероятность событий


Краткая теория


Изучение явлений связано с выполнением некоторых условий, или испытаний. Всякий результата или исход испытания называется событием. События А, В называются несовместимыми, если в условиях испытаний каждый раз возможно появление только одного события. События А и В называются совместимыми, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании. Событие называется случайным, если исход испытания приводит либо к появлению, либо к не появлению этого события. М – число появления некоторого события; N- число испытаний.

частость.Вероятность – мера объективной возможности появления события. За появление события принимается величина, около которой группируются наблюдаемые значения частости.

Под вероятностью Р(А) наступления события принимается отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к числу исходов испытания. Вероятность – устойчивая частость. P(A)=100%

Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления одного из нескольких несовместимых событий без указания какого именно, равно сумме вероятностей этих событий.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности наступления первого события на условную вероятность наступления второго события, вычисленную в предположении, что первое событие имеет место.

Пример 1. В ящике 20 шаров, среди которых 8 белых. Какова вероятность появления белого шара Р(А)?

. m=8; n=20. P(A)=100%=100%=40%

Пример 2. Поездка пассажиров с некоторой трамвайной остановки к месту работы обслуживаются маршрутами №3 и №11. Через данную остановку проходят трамваи пяти маршрутов. Известно, что из 40 трамваев 8 – маршрута №3, 10 – маршрута №11. Найти вероятность того, что первый проходящий трамвай будет соответствовать требуемому маршруту.

.m1=8 m2=10 n=40 P(№3, №11)=100%=100%=8%

Пример 3. В одной урне 10 шаров, из которых 5 белых, в другой – 12 шаров, из которых 8 белых. Найти вероятность того, что при одном испытании будут выбраны одновременно из первой и второй урны два шара одновременно.

.m1=5 n1=10 m2=8 n2=12 P(AB)=P(A)*P(B) =**100%

P(AB)=**100%=*100%≈33%

Контрольные вопросы

1.Что называют испытанием? Событием?

2.Какое событие называется случайным?

3.Дайте определение вероятности.

4.Сформулируйте теорему сложения вероятностей.

5.Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

Задания

1. Из 10 билетов лотереи выигрышными являются два. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два выигрышных?

2. Восемь различных книг расставляют наугад на одной полке. Какова вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом?

3. В партии из 12 деталей имеется 9 стандартных. Найдите вероятность того, что среди семи взятых наугад деталей 6 стандартных.

4. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет не менее двух очков?

5. Из 50 электролампочек имеется 4 бракованных. Какова вероятность того, что две взятые наугад лампочки окажутся бракованными?

6. В книжном магазине на полке лежит 20 книг, причем 10 книг стоят по 200 руб. каждая, 3 книги - по 400 рублей и 7 книг – по 100 рублей. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 300 рублей.

7.В магазин поступала партия товара в количестве 100 штук, которая содержит 10 штук бракованного товара. Какова вероятность того, что покупатель выберет две штуки товара и обе бракованные?

8. В магазин поступило несколько 20 партий товара. Из них две – товары фирмы А, 3- фирмы Б, остальные товары фирмы С. Какова вероятность того, что первые две продажи выпадет на товары фирмы С?



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 03.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров143
Номер материала ДБ-004678
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх