Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по выполнению практических работ для студентов 1 курса

Методические рекомендации по выполнению практических работ для студентов 1 курса

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Самарской области «Самарский колледж сервиса производственного оборудования имени Героя Российской Федерации Е.В. Золотухина»






Дудукина А.И.






Математика



МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

МАТЕМАТИКА

ДЛЯ 1 КУРСА





















Самара, 2016







ОДОБРЕНА

Предметно- цикловой

комиссией

____ /Елшанская С.В./


« » 20__ г.


Составлена в соответствии с Государственными требованиями

к минимуму содержания

и уровню подготовки по специальности (профессии)



Рекомендовано к использованию

решением методического совета №

от « » 20__ г.


Председатель совета

зам. директора по УМР

/ФИО / (подпись)

« » 20___ г.


Разработал: Дудукина А.И.



Рецензент:













Текст аннотации. Данное пособие предназначено для студентов 1 курса.













Пояснительная записка

Практическое занятие - это форма организации учебного процесса, предполагающая выполнение обучающимися по заданию и под руководством преподавателя одной или нескольких практических работ.

Дидактическая цель практических работ - формирование у обучающихся профессиональных умений, а также практических умений, необходимых для изучения последующих учебных дисциплин, а также подготовка к применению этих умений в профессиональной деятельности.

Так, на практических занятиях по математике у обучающихся формируется умение решать задачи, которое в дальнейшем должно быть использовано для решения профессиональных задач по специальным дисциплинам.

В ходе практических работ обучающиеся овладевают умениями пользоваться информационными источниками, работать с нормативными документами и инструктивными материалами, справочниками, выполнять чертежи, схемы, таблицы, решать разного рода задачи, делать вычисления.

Задачи, которые решаются в ходе практических занятий по математике:

1) расширение и закрепление теоретических знаний по математике, полученных в ходе лекционных занятий;

2) формирование у обучающихся практических умений и навыков, необходимых для успешного решения задач по математике;

3) развитие у обучающихся потребности в самообразовании и совершенствовании знаний и умений в процессе изучения математики;

4) формирование творческого отношения и исследовательского подхода в процессе изучения математики;

5) формирование профессионально-значимых качеств будущего специалиста и навыков приложения полученных знаний в профессиональной сфере.


Критерии оценки:

Ответ оценивается отметкой «5», если:

  • работа выполнена полностью;

  • в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

  • в решении нет математических ошибок (возможны некоторые неточности, описки, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).


Отметка «4» ставится в следующих случаях:

  • работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

  • допущены одна ошибка, или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

  • допущено не более двух ошибок или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

  • допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.

























Практическая работа № 1


Тема: Показательные уравнения, неравенства, системы уравнений.

Цель: Отработать навыки решения показательных уравнений, неравенств, систем уравнений.

Методические рекомендации

  1. Показательные уравнения.

Определение. Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

  1. hello_html_m56e5a292.gif, hello_html_m2a6f7be4.gif, hello_html_m2f434281.gif - простейшее показательное уравнение

  2. hello_html_53630062.gif, hello_html_m2f434281.gif, hello_html_m2a6f7be4.gif равносильно уравнению hello_html_m5f0d75ed.gif

  3. hello_html_6097c904.gifрешается подстановкой hello_html_479f95d0.gif и сводится к квадратному уравнению hello_html_m4c1e1ffe.gif

II. Показательные неравенства.

Определение. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

hello_html_m7ddbab8b.gif, hello_html_m2a6f7be4.gif, hello_html_m2f434281.gif.

При hello_html_238b963f.gif

hello_html_m7ddbab8b.gifравносильно hello_html_m14e9cff.gif

при hello_html_6e5b9a3c.gif

hello_html_m7ddbab8b.gifравносильно hello_html_4d287226.gif

III. Основные показательные тождества.

hello_html_m4d94e0c5.gif

hello_html_m340ce822.gif

hello_html_m74f0b517.gif

hello_html_m385d6623.gif

    1. если hello_html_m2a6f7be4.gif, hello_html_m2f434281.gif и hello_html_m32b813cb.gif, то hello_html_2881b02b.gif

    2. если hello_html_238b963f.gif и hello_html_2f52da9d.gif, то hello_html_552311f6.gif

    3. если hello_html_6e5b9a3c.gif и hello_html_2f52da9d.gif, то hello_html_39be2afa.gif

    4. если hello_html_43d3a643.gif и hello_html_2200c2ba.gif, то hello_html_m7576aece.gif

10. если hello_html_43d3a643.gif и hello_html_3a6db098.gif, то hello_html_m467e0c25.gif

hello_html_450c4c2e.gif; hello_html_6be69e40.gif; hello_html_d7c46c3.gif; hello_html_m7503d1be.gif

Варианты заданий практической работы


Работа состоит из двух частей. Выполнение первой части работы (до черты) позволяет получить оценку «3». Для получения оценки «4» необходимо верно решить первую часть работы и одну из задач второй части (за чертой). Чтобы получить оценку «5», помимо выполнения первой части работы, необходимо решить не менее двух любых заданий из второй части.


1 вариант


2 вариант

1. Решить уравнение:

а)hello_html_m499581ff.gif; б)hello_html_3a22190b.gif

1. Решите уравнение:

а)hello_html_m7e3c60b0.gif; б)hello_html_1645699a.gif

2. Решить неравенство:hello_html_fd9c84b.gif

2. Решите неравенство:hello_html_565fd304.gif

3. Решить систему уравнений:hello_html_485b47f6.gif

3. Решить систему уравнений:

hello_html_4f5b20a9.gif

_______________________________

_______________________________

4. Решить неравенство:

а)hello_html_5a1d7889.gif; б)hello_html_2e787cbb.gif

4. Решить неравенство:

а)hello_html_1f1b8c66.gif; б)hello_html_m48ab78c7.gifhello_html_m53d4ecad.gif

5. Решить уравнение:hello_html_457f61c5.gif

5. Решить уравнение:

hello_html_m500ad878.gifhello_html_m5faa3211.gif

6. Решите уравнение:hello_html_18f5b58e.gif. В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

6. Решите уравнение:

hello_html_3cbd8870.gif. В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.



3 вариант


4 вариант

1. Решить уравнение:

а)hello_html_m44cb27ad.gif; б)hello_html_m686d857f.gif

1. Решить уравнение:

а)hello_html_m6ff3c793.gif; б)hello_html_m699f5437.gif

2. Решить неравенство:hello_html_m7496df58.gif

2. Решить неравенство:hello_html_695e1371.gif

3. Решить систему уравнений:

hello_html_m4f559f06.gif

3. Решить систему уравнений:

hello_html_m9c37185.gif

_____________________________

______________________________

4. Решить неравенство:

а)hello_html_m411e55c7.gif; б)hello_html_32d7baee.gif

4. Решить неравенство:

а)hello_html_2395abfa.gifhello_html_19cba1da.gif; б)hello_html_20cd385d.gif

5. Решить уравнение:hello_html_71bbaae2.gif

5. Решить уравнение:hello_html_m6aba0063.gif

6. Решите уравнение:

hello_html_m668b08cc.gif. В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

6. Решите уравнение:

hello_html_m72e99e9b.gif. В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Практическая работа № 2


Тема: Логарифмические уравнения, неравенства, системы уравнений.

Цель: Отработать навыки решения логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений.

Методические рекомендации


I. Свойства логарифмов.

  1. Основное логарифмическое тождество: hello_html_49c2281f.gif

  2. hello_html_62f824a7.gif

  3. hello_html_159de1fe.gif

  4. hello_html_m5d2873a5.gif

  5. hello_html_m5fcacdb0.gif

  6. hello_html_m70b2f0b9.gif

  7. hello_html_m90128ad.gif

  8. hello_html_me11d5f4.gif- формула перехода к другому основанию

  9. hello_html_m3d966d01.gif


II. Логарифмические уравнения.

Определение. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. hello_html_m1cde5a65.gif, hello_html_238b963f.gif, hello_html_m2f434281.gif. – простейшее логарифмическое уравнение.

Уравнение вида hello_html_2da5d6f5.gif равносильно системе: hello_html_18a504be.gif

Методы решения.

  1. Полученные корни подставляют в исходное уравнение для исключения посторонних корней.

  2. При решении уравнений полезен метод введения новой переменной.

  3. При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования.


Примеры.


1. hello_html_673def25.gif

hello_html_m6a844976.gif, hello_html_5c314ae1.gif

По определению логарифма:

hello_html_780f0b08.gif

hello_html_m31c62fae.gif

hello_html_4c2de8ba.gif

Ответ: 17.

2. hello_html_e5139ab.gif

hello_html_m753c7095.gif

hello_html_m16a8b25d.gif

hello_html_mc21285d.gif

hello_html_m430d96b1.gif

Пусть hello_html_10bee8b3.gif, тогда

hello_html_223317fa.gif

hello_html_35f61a6b.gif

hello_html_2e8d3c26.gifили hello_html_m7308db88.gif

hello_html_m4814a3e3.gifили hello_html_m38a9ffe.gif

hello_html_52100f42.gifили hello_html_m3e397d3e.gif

hello_html_m2a19c030.gifили hello_html_m5f3d3287.gif

Ответ: 5; hello_html_4f3a09b1.gif.


III. Логарифмические неравенства.

Определение. Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим неравенством.


hello_html_m26a3efc6.gif

при hello_html_238b963f.gif, данное неравенство равносильно системе неравенств hello_html_1e3cd3d5.gif

при hello_html_6e5b9a3c.gif, данное неравенство равносильно системе неравенств hello_html_m710dd0cf.gif

Примеры.

1. hello_html_60914c19.gif

hello_html_m62a250a5.gif, т.к. hello_html_m58496ef1.gif, то переходим к системе неравенств:

hello_html_7577399.gifhello_html_m482424c7.gifhello_html_m6dca8c1c.gifhello_html_m4855e294.gifhello_html_51dc25ed.gif, т.е. hello_html_6f7a6f59.gif


Варианты заданий практической работы


1 вариант


2 вариант

А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

hello_html_5c947c87.gif

1)hello_html_3e6f7702.gif; 2)hello_html_5a2c100b.gif; 3)hello_html_m4e436009.gif;

4)hello_html_61511ab6.gif

А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

hello_html_m5960b1a8.gif

1)hello_html_6fa21358.gif; 2)hello_html_272dae43.gif; 3)hello_html_29a11bc7.gif; 4)hello_html_6278ec1b.gif

А2. Найдите произведение корней уравнения:hello_html_mc895eb5.gif

1)hello_html_m77bf9606.gif 2)hello_html_4d65ec01.gif 3)hello_html_1ccdb570.gif 4)hello_html_m1f830ca1.gif

А2. Найдите произведение корней уравнения:hello_html_m19a24ba6.gif

1)hello_html_7c1b6c2d.gif; 2)hello_html_54862dbf.gif; 3)hello_html_meb1ceba.gif; 4)hello_html_m3af0314f.gif

А3. Решите неравенство:

hello_html_4a4fa4f4.gif

1)hello_html_107fa107.gif; 2)hello_html_59939819.gif; 3)hello_html_m4534d1e2.gif; 4)hello_html_5dd117d5.gif

А3. Решить неравенство:

hello_html_m6a94b3c0.gifhello_html_m64a09b8b.gif

1)hello_html_33b7599e.gif; 2)hello_html_76e59623.gif; 3)hello_html_44a6663.gif; 4)hello_html_3f5684f8.gif

А4. Решите неравенство:hello_html_m3bb16346.gif

1)hello_html_m2b4fcfce.gif; 2)hello_html_3a4795cb.gif; 3)hello_html_m3300dcab.gif;

4)hello_html_m7566870a.gif

А4. Решить неравенство:hello_html_m6536d4de.gif

1)hello_html_385410b7.gif ; 2)hello_html_33b7599e.gif; 3)hello_html_3f5684f8.gif; 4)hello_html_3e0f46e.gif

В1. Решите уравнение:hello_html_m4d195d7.gif

В1. Решите уравнение:hello_html_69427676.gif

В2. Решите уравнение:

hello_html_m61d87e61.gif. В ответе укажите наименьший из корней данного уравнения.

В2. Решите уравнение:

hello_html_mee0ac6.gif. В ответе укажите наибольший из корней данного уравнения.

В3. Найдите наибольшее целое значение hello_html_46dff828.gif, удовлетворяющее неравенству:hello_html_5d088c04.gif

В3. Найдите наименьшее целое значениеhello_html_46dff828.gif, удовлетворяющее неравенству:hello_html_7b9d44f9.gif

С1. Решите систему уравнений:

hello_html_63c61388.gif

С1. Решите систему уравнений:

hello_html_68e94809.gif


3 вариант


4 вариант

А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

hello_html_md243a76.gif

1)hello_html_59939819.gif; 2)hello_html_3f5684f8.gif; 3)hello_html_6d6ebcf8.gif; 4)hello_html_m33220266.gif

А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

hello_html_m5b013b7e.gif

1)hello_html_m51efcad7.gif; 2)hello_html_44a0773f.gif; 3)hello_html_m40af858b.gif; 4)hello_html_7d5813db.gif

А2. Найдите произведение корней уравнения:hello_html_26413faa.gif

1)hello_html_m60ba64f6.gif 2)hello_html_2b7946a0.gif 3)hello_html_506668f7.gif 4)hello_html_m3c06cbf7.gif

А2. Найдите произведение корней уравнения:hello_html_m6ab28f93.gif

1)hello_html_m6e94658c.gif; 2)hello_html_m57a6d14e.gif; 3)hello_html_m1f830ca1.gif; 4)hello_html_m371910b7.gif

А3. Решите неравенство:

hello_html_m2e5481a7.gif

1)hello_html_59939819.gif; 2)hello_html_51f2e409.gif; 3)hello_html_m76194cd0.gif; 4)hello_html_m53d4ecad.gifнет реш.

А3. Решите неравенство:

hello_html_4ee8d334.gif

1)hello_html_m45539fa6.gif; 2)hello_html_m43be7e80.gif; 3)hello_html_5e141af2.gif;

4)hello_html_m3eeab9e8.gif

А4. Решите неравенство:hello_html_m216a6b6f.gif

1)hello_html_70735a43.gif; 2)hello_html_m545e06.gif; 3)hello_html_m7648b6e3.gif; 4)hello_html_m4769afd5.gif

А4. Решите неравенство:hello_html_18961dc0.gif

1)hello_html_69f83233.gif; 2)hello_html_m622d2193.gif; 3)hello_html_49a8e110.gif; 4)hello_html_4e3bdfa2.gif

В1. Решите уравнение:hello_html_m75e76bb1.gif

В1. Решите уравнение:hello_html_m59e936bd.gif

В2. Решите уравнение:

hello_html_2d72aeea.gif. В ответе укажите наименьший корень данного уравнения

В2. Решите уравнение:

hello_html_390fff4f.gif. В ответе укажите наибольший корень данного уравнения.

В3. Найдите наибольшее целое значениеhello_html_46dff828.gif,удовлетворяющее неравенству:hello_html_1c28d841.gif

В3. Найдите наименьшее целое значение, удовлетворяющее неравенству:hello_html_b17b321.gif

С1. Решите систему уравнений:

hello_html_m11bb3416.gif

С1. Решите систему уравнений:

hello_html_m2c74325.gif


Практическая работа №5


Тема: Координаты вектора

Цель: Отработать умения использовать формулы координат вектора при решении задач.

Методические рекомендации


Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок. Обозначается hello_html_14d6e562.gif, hello_html_m4b213ebb.gif, hello_html_m102c13df.gif

Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим hello_html_m731cf7b0.gif векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.


hello_html_2b130def.png

Теорема. Вектор hello_html_48bd6304.gif имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда он представим в виде hello_html_267f44ee.gif





; hello_html_338e5f13.gif, тогда

hello_html_m56df5563.gif

hello_html_m52fd8ff1.gif

  1. Сложение векторов. Вычи­тание векторов.

hello_html_49667d99.gif; hello_html_b76185c.gif

hello_html_5ae1c98c.gif

hello_html_m4e164eca.gif

hello_html_m723e08c6.gif; hello_html_m2cbcb03a.gif, тогда

hello_html_m6e6994d4.gif

hello_html_m1df36a96.gif

  1. Нахождение координат век­тора.

При определении координат вектора из соответствующих координат его конца вычи­тают координаты начала

hello_html_1db055f0.gif; hello_html_m7433c85f.gif

hello_html_964d35b.gif

hello_html_m42c31fd3.gif, hello_html_3aa5da06.gif

hello_html_m60c96522.gif;

hello_html_53e99639.gif

  1. Длина вектора.

hello_html_49667d99.gif

hello_html_m1c8c563c.gif

hello_html_m62e13cd2.gif

hello_html_16c4dd08.gif

  1. Условие коллинеарности векторов: векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

hello_html_49667d99.gifи hello_html_b76185c.gif

hello_html_mddca7f7.gif

hello_html_m5772dd15.gif, hello_html_m3fae6eb0.gif

hello_html_19e5c343.gif

hello_html_m4855e294.gifвекторы коллинеарны

  1. Скалярное произведение векторов – это число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат.


hello_html_60522f57.gif




hello_html_49667d99.gifи hello_html_b76185c.gif

hello_html_17d721ea.gif







hello_html_m723e08c6.gif; hello_html_m2cbcb03a.gif

hello_html_m30284314.gif

hello_html_m6e3c8d83.gif

  1. Косинус угла между векторами.

hello_html_49667d99.gif; hello_html_b76185c.gif

hello_html_7ca5d12d.gif


  1. Условие перпендикулярности векторов: векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

hello_html_49667d99.gif; hello_html_b76185c.gif

hello_html_m4de6b12e.gif

hello_html_47d15954.gif

hello_html_m3c0f9a8f.gif; hello_html_m50cf11c8.gif

hello_html_53bd260.gif

hello_html_77c2ebec.gif





Задания практической работы


Даны точки: hello_html_mb61d5eb.gif, hello_html_656ac1c3.gif, hello_html_m6e98a70f.gif, hello_html_m27674bfa.gif, где hello_html_13800fd8.gif – номер студента по списку.

1. Найти координаты, абсолютные величины векторов hello_html_4551622c.gifи hello_html_m745e2658.gif.

2. При каком значении hello_html_m4324aa6.gif перпендикулярны векторы hello_html_m51347808.gif и hello_html_m712fd10a.gif?

3*. Проверьте, коллинеарные ли векторы hello_html_2517c3a3.gif и hello_html_7a59a8c4.gif?

4*. Образуют ли векторы hello_html_7d5dc351.gif, hello_html_76c1ba76.gif, hello_html_m751ed692.gif базис?

5**. Найти угол между векторами hello_html_77ec96a3.gif и hello_html_217425a2.gif.

6**. Образуют ли векторы hello_html_34a87955.gif, hello_html_m78f97349.gif, hello_html_m148ac6a8.gif базис? Если да, то найти в нем координаты вектора hello_html_3af28537.gif.


Примечание.

Чтобы получить оценку «3», достаточно решить задания: 1-3. Для получения оценки «4», необходимо решить задания: 1-5, а для получения оценки «5», нужно выполнить все задания.


Практическая работа № 6


Тема: Тригонометрические функции.

Цель: Отработать умения использовать свойства тригонометрических функций при преобразовании тригонометрических выражений.

Методические рекомендации


При выполнении заданий данной практической работы, воспользуйтесь методическими рекомендациями к практической работе № 4, а также предложенными методическими рекомендациями.


Знаки значений тригонометрических функций по четвертям.


Формулы приведения.

Если в формуле аргумент функции имеет вид:hello_html_2d571452.gif, то данные формулы называются формулами приведения.

При составлении формул приведения, необходимо пользоваться следующими правилами:

1. Знак функции, стоящей в правой части равенства, определяется по знаку функции, стоящей в левой части равенства.

2. Если аргумент функции имеет вид:hello_html_2226e950.gif, то название функции не меняется. Если же аргумент функции имеет вид:hello_html_5a4ab411.gif, то название функции меняется на сходное:hello_html_6b68b778.gifнаhello_html_m516e0799.gif,hello_html_5b2fb7b1.gifнаhello_html_m11f83dc8.gif и наоборот.


Варианты заданий практической работы


1 вариант


1. Найдите значение выражения:hello_html_m77bcae5.gif

4)hello_html_m3b977872.gif


2. Сравните с нулем выражения:hello_html_m47fa29f2.gif; hello_html_1985dff9.gif; hello_html_6b734973.gif.

3. Вычислите:hello_html_m44e908db.gif

4. Упростите выражение:hello_html_m2517a2e4.gif

4)hello_html_m65be32f3.gif


5. Упростите выражение:hello_html_m2aa32176.gif

4)hello_html_1ec64abb.gif


6. Упростите выражение:hello_html_788f3da3.gif

7. Вычислите:hello_html_5b672e8d.gif

8. Вычислите:hello_html_m55440dff.gif

9. Представив hello_html_476efb5a.gifкак hello_html_cddfc39.gif, вычислитеhello_html_7ab2b7b0.gif

10. Дано:hello_html_530b811f.gif, гдеhello_html_3ee41a6a.gif. Найдитеhello_html_73abf717.gif.

2 вариант


1. Найдите значение выражения:hello_html_m2f0c47dd.gif

2. Сравните с нулем выражения:hello_html_m67f192bf.gif; hello_html_m7a6d2088.gif; hello_html_2813d964.gif

3. Вычислите:hello_html_41640df5.gif

4. Упростите выражение:hello_html_1bb72976.gif

5. Упростите выражение:hello_html_m68060c25.gif

6. Упростите выражение:hello_html_m3acef698.gif

7. Вычислите:hello_html_m2aa75c9d.gif

8. Вычислите:hello_html_17804bbd.gif

9. Представив hello_html_mc710146.gifкак hello_html_m4efbb4dd.gif, вычислите hello_html_m76e3547d.gif

10. Дано:hello_html_783fdde1.gif, где hello_html_62b97201.gif. Найдите hello_html_m6524543b.gif


3 вариант


1. Найдите значение выражения:hello_html_m4c6659e3.gif

2. Сравните с нулем выражения:hello_html_m40746ec9.gif; hello_html_m17cc451.gif; hello_html_m60c9a0a1.gif

3. Вычислите:hello_html_m61c7ac67.gif

4. Упростите выражение:hello_html_m73b3ce7b.gif

5. Упростите выражение:hello_html_m5a19576e.gif

6. Упростите выражение:hello_html_652250cf.gif

7. Вычислите:hello_html_758ad7f.gif

8. Вычислите:hello_html_3b86e365.gif

9. Представив hello_html_5fabae1a.gifкак hello_html_198d50a.gif, вычислите hello_html_5b940cd0.gif

10. Дано:hello_html_m553fda46.gif. Вычислите hello_html_m792be791.gif


4 вариант


1. Найдите значение выражения:hello_html_661f7fe6.gif

2. Сравните с нулем выражение:hello_html_17b211bb.gif; hello_html_m7a145cf5.gif; hello_html_4dc3a865.gif

4) + - +


3. Вычислите:hello_html_1256d066.gif

4. Упростите выражение:hello_html_m73820674.gif

5. Упростите выражение:hello_html_m48a987de.gif

6. Упростите выражение:hello_html_m4feb3176.gif

7. Вычислите:hello_html_m2f137beb.gif

8. Вычислите:hello_html_m40746ec9.gif

9. Представьте hello_html_mc710146.gifкак hello_html_m4efbb4dd.gif и вычислите hello_html_3430a4b4.gif

10. Дано: hello_html_451990c.gif, hello_html_225ce4eb.gif. Найти hello_html_m3cadd6e9.gif.

Практическая работа № 7,8


Тема: Тригонометрические формулы.

Цель: Отработать навыки работы с тригонометрическими формулами.


Методические рекомендации


I. Основные тригонометрические тождества.

  1. hello_html_66768197.gif; hello_html_4249d8d2.gif; hello_html_7342b980.gif

  2. hello_html_m2b02c60d.gifhello_html_m4855e294.gifhello_html_33f4ba9e.gif

  3. hello_html_46fd24df.gifhello_html_m4855e294.gifhello_html_404fbe6a.gif

  4. hello_html_355a352e.gifhello_html_m4855e294.gifhello_html_m1c439c2f.gifи hello_html_m4d33023b.gif

  5. hello_html_1c5786ef.gif

  6. hello_html_m784474f9.gif

II. Формулы сложения.

  1. hello_html_m47d4163f.gif

  2. hello_html_m26530af5.gif

  3. hello_html_ma243726.gif

  4. hello_html_7fbf6fa8.gif

  5. hello_html_m1b3af8b.gif

  6. hello_html_m5b1adc28.gif

III. Формулы двойного и половинного аргументов.

  1. hello_html_m6e1dcbdb.gif

  2. hello_html_2f4d119.gif; hello_html_m7cd942b0.gif; hello_html_m6b65f5e9.gif

  3. hello_html_74c31aa4.gif

  4. hello_html_m1672c69e.gif

  5. hello_html_7048e0b0.gif

  6. hello_html_7695167c.gif

IV. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.

  1. hello_html_m21b8f88f.gif

  2. hello_html_3e062756.gif

  3. hello_html_m14327f68.gif

  4. hello_html_m1ca30a14.gif

  5. hello_html_70be5f22.gif


Варианты заданий практической работы № 7


1 вариант


2 вариант

1. Найдите значение выражения:

а)hello_html_52a3157b.gif;

б)hello_html_1cc2aedb.gif

1. Найдите значение выражения:

а)hello_html_m6623a122.gif;

б)hello_html_m6114155d.gif

2. Вычислите:

а)hello_html_1b8d54d.gif;

б)hello_html_m2f137beb.gif

2. Вычислите:

а)hello_html_218037e9.gif;

б)hello_html_m4087e154.gif

3. Упростите выражения:

а)hello_html_m3b39219.gifб)hello_html_m790c3dc.gif; в)hello_html_mde81a89.gif

3. Упростите выражения:

а)hello_html_m10fe0bd6.gifб)hello_html_5a4fbff7.gif; в)hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_4290bb53.gifhello_html_m53d4ecad.gif

  1. Доказать тождество:hello_html_29532492.gif

4. Доказать тождество:

hello_html_m10f6e7c3.gif


Варианты заданий практической работы № 8


1. Найдите значение выражения:

а)hello_html_5768cc5.gif ;

б)hello_html_1cca8355.gif


1. Найдите значение выражения:

а)hello_html_3fc14677.gif;

б)hello_html_affca4c.gif


2. Вычислите:

а)hello_html_5a3fc61e.gif;

б)hello_html_m1db48da4.gif

2. Вычислите:

а)hello_html_5327e58f.gif

б)hello_html_47e52c56.gif


3. Упростите выражения:

а)hello_html_m13879523.gif

б)hello_html_6f9787a1.gif; в)hello_html_mbd14a0d.gif

3. Упростите выражения:

а)hello_html_5970eeff.gif

б)hello_html_3730451.gif


4. Доказать тождество:

hello_html_458405fd.gif

4. Доказать тождество:

hello_html_m6496b48d.gif



Практическая работа № 9


Тема: Тригонометрические уравнения.

Цель: Отработать навыки решения различных видов тригонометрических уравнений.


Методические рекомендации


I. Решение простейших тригонометрических уравнений.

при hello_html_m4429e00.gifhello_html_285b44ce.gif, hello_html_33acf65a.gif

при hello_html_mdf5f1e0.gif - решений нет

hello_html_m31257d14.gif; hello_html_m2363b7b6.gif, hello_html_33acf65a.gif

hello_html_m37e665f5.gif; hello_html_m215d18.gif, hello_html_33acf65a.gif

hello_html_m63f331c1.gif, hello_html_m29a1e629.gif, hello_html_33acf65a.gif

hello_html_m1e3548c3.gif

при hello_html_m4429e00.gifhello_html_2e1334cb.gif, hello_html_26d7a981.gif

при hello_html_mdf5f1e0.gif - решений нет

hello_html_76264fcb.gif; hello_html_b3784b8.gif, hello_html_26d7a981.gif

hello_html_m5a6d238.gif; hello_html_m117b94a8.gif, hello_html_26d7a981.gif

hello_html_m74917e2e.gif; hello_html_4d3027a9.gif, hello_html_26d7a981.gif

hello_html_3e23d482.gif

hello_html_60d2f2c2.gif- любое число hello_html_6491d812.gif, hello_html_33acf65a.gif

-

hello_html_m75c1c77.gif

hello_html_60d2f2c2.gif- любое число hello_html_m94f06d8.gif, hello_html_33acf65a.gif

-










II. Тригонометрические уравнения.

Уравнение содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы) вида

hello_html_m5a9e05d0.gif

hello_html_m7e6f11e9.gif

и т.д.

Уравнение сводится к квадратному (биквадратному) относительно синуса (косинуса)

hello_html_m36b3145d.gif

hello_html_m59fb061b.gif

hello_html_2b60bfcd.gif

hello_html_m408f2512.gif

  1. Однородное уравнение I степени вида

hello_html_7bb8dfc4.gif

hello_html_m664a7dda.gif

Деление обеих частей на hello_html_561c4e88.gif. Получаем: hello_html_m4b0431c6.gif

hello_html_m7e104a80.gif

  1. Однородное уравнение II степени вида

hello_html_70840dab.gif

hello_html_54114c7c.gif

Деление обеих частей на hello_html_1e5c0f8c.gif. Получаем: hello_html_197a3a5e.gif

hello_html_71361678.gif

hello_html_5ef95bbe.gif

  1. Уравнение вида

hello_html_9c8fd3f.gif

Уравнение сводится к квадратному относительно тангенса заменой hello_html_m4d33023b.gif

hello_html_355a352e.gif

hello_html_m4d33023b.gif

III. Примеры решения тригонометрических уравнений.

1. hello_html_3ae26bd7.gif,

hello_html_m2f76ee81.gif,

hello_html_6c6a1ae9.gif

Пусть hello_html_m40226a93.gif, тогда

hello_html_7cb0585e.gif

hello_html_m1650886b.gif

hello_html_77264b58.gif

hello_html_m6900c662.gif

hello_html_39e3f9dd.gifи hello_html_8b29668.gif

hello_html_m696f168b.gif, решений нет,

hello_html_33acf65a.gifт.к. hello_html_23472aef.gif

Ответ: hello_html_m276ae39d.gif, hello_html_33acf65a.gif.

2. hello_html_759ed7e3.gif

т.к. если hello_html_76264fcb.gif, то и hello_html_m31257d14.gif, а этого быть не может.

Делим обе части уравнения на hello_html_5215b4dd.gif:

hello_html_1d3c5316.gif,

hello_html_6b955722.gif

hello_html_12edf5c6.gif, hello_html_33acf65a.gif

hello_html_842d64c.gif, hello_html_33acf65a.gif

Ответ: hello_html_m3b70e796.gif, hello_html_33acf65a.gif




Варианты заданий практической работы


1 вариант


1. Решите уравнения:

2. Решите уравнение, сделав подстановку:

3. Решите уравнение методом разложения на множители:

б)hello_html_m65a10441.gif


4. Решите уравнение, используя однородность:

2 вариант


1. Решите уравнения:

2. Решите уравнение, сделав подстановку:

3. Решите уравнение, методом разложения на множители:

4. Решите уравнение, используя однородность:

3 вариант


1. Решите уравнения:

2. Решите уравнение, сделав подстановку:

3. Решите уравнение методом разложения на множители:

б)hello_html_m4cccdd7f.gif


4 вариант

1. Решите уравнения:

2. Решите уравнение, сделав подстановку:

3. Решите уравнение методом разложения на множители:

4. Решите уравнение, используя однородность:

Практическая работа № 6


Тема: Тригонометрические неравенства.

Цель: Отработать навыки решения различных видов тригонометрических неравенств.

Методические рекомендации

Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.

К простейшим тригонометрически неравенствам относятся следующие 16 неравенств: 
sinx>a, sinx≥a, sinxcosx>a, cosx≥a, cosxtanx>a, tanx≥a, tanxcotx>a, cotx≥a, cotx
Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.

   Неравенства вида   sinx>asinx≥asinxsinx≤a

hello_html_5208ce5a.jpg

Неравенство sinx>a
  1. При |a|≥1 неравенство sinx>a не имеет решений: 
    x
    ∈∅

  2. При a<−1 решением неравенства sinx>a является любое действительное число: 
    x
    R

  3. При −1≤a<1 решение неравенства sinx>a выражается в виде 
    arcsina+2πn
    Z  (рис.1). 

   Неравенство sinx≥a

  1. При a>1 неравенство sinx≥a не имеет решений: 
    x
    ∈∅

  2. При a≤−1 решением неравенства sinx≥a является любое действительное число: 
    x
    R

  3. Случай a=1 
    x=π/2+2πn,n
    Z

  4. При −1arcsina+2πn≤x≤π−arcsina+2πn,nZ  (рис.1). 

   Неравенство sinx

  1. При a>1 решением неравенства sinxxR

  2. При a≤−1 у неравенства sinxx∈∅

  3. При −1−π−arcsina+2πnZ  (рис.2). 

   Неравенство sinx≤a

  1. При a≥1 решением неравенства sinx≤a является любое действительное число: 
    x
    R

  2. При a<−1 неравенство sinx≤a решений не имеет: 
    x
    ∈∅

  3. Случай a=−1 
    x=−π/2+2πn,n
    Z

  4. При −1−π−arcsina+2πn≤x≤arcsina+2πn,nZ  (рис.2). 

   Неравенства вида   cosx>acosx≥acosxcosx≤a

hello_html_5a32e980.jpg

Неравенство cosx>a
  1. При a≥1 неравенство cosx>a не имеет решений: 
    x
    ∈∅

  2. При a<−1 решением неравенства cosx>a является любое действительное число: 
    x
    R

  3. При −1≤a<1 решение неравенства cosx>a имеет вид 
    −arccosa+2πn
    Z  (рис.3). 

   Неравенство cosx≥a

  1. При a>1 неравенство cosx≥a не имеет решений: 
    x
    ∈∅

  2. При a≤−1 решением неравенства cosx≥a является любое действительное число: 
    x
    R

  3. Случай a=1 
    x=2πn,n

  4. При −1−arccosa+2πn≤x≤arccosa+2πn,nZ  (рис.3). 

   Неравенство cosx

  1. При a>1 неравенство cosxxR

  2. При a≤−1 неравенство cosxx∈∅

  3. При −1arccosa+2πnZ  (рис.4). 

   Неравенство cosx≤a

  1. При a≥1 решением неравенства cosx≤a является любое действительное число: 
    x
    R

  2. При a<−1 неравенство cosx≤a не имеет решений: 
    x
    ∈∅

  3. Случай a=−1 
    x=π+2πn,n
    Z

  4. При −1arccosa+2πn≤x≤2π−arccosa+2πn,nZ  (рис.4). 

   Неравенства вида   tanx>atanx≥atanxtanx≤a

hello_html_1775bf3f.jpg

Неравенство tanx>a
  1. При любом действительном значении a решение строгого неравенства tanx>a имеет вид 
    arctana+πn
    Z  (рис.5). 

   Неравенство tanx≥a

  1. Для любого значения a решение неравенства tanx≥a выражается в виде 
    arctana+πn≤x<π/2+πn,n
    Z  (рис.5). 

   Неравенство tanx

  1. Для любого значения a решение неравенства tanx−π/2+πnZ  (рис.6). 

   Неравенство tanx≤a

  1. При любом a неравенство tanx≤a имеет следующее решение: 
    −π/2+πn
    Z  (рис.6). 

   Неравенства вида  cotx>acotx≥acotxcotx≤a

hello_html_da6cc04.jpg

Неравенство cotx>a
  1. При любом a решение неравенства cotx>a имеет вид 
    πn
    Z  (рис.7). 

   Неравенство cotx≥a

  1. Нестрогое неравенство cotx≥a имеет аналогичное решение 
    πn
    Z  (рис.7). 

   Неравенство cotx

  1. Для любого значения a решение неравенства cotxarccot a+πnZ  (рис.8). 

   Неравенство cotx≤a

  1. При любом a решение нестрогого неравенства cotx≤a находится в полуоткрытом интервале 
    arccot a+πn≤x<π+πn,n
    Z  (рис.8). 


Варианты заданий практической работы


hello_html_45cc4526.png

hello_html_m7906c04d.png, hello_html_5fac2fdc.png,

hello_html_m157520fa.png, hello_html_m4b05decf.png.

Практическая работа № 11

Тема: Исследование функций.

Цель: Отработать навыки построения и исследования функций.


Методические рекомендации


Алгоритм исследования функции hello_html_45f47913.png и построения ее графика таков:

1. Находим область определения (D(f)) функции hello_html_45f47913.png.

2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения hello_html_m686bb35.png из D(f) значение hello_html_m6de4c411.png также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность.

Если hello_html_78b8934a.png, то функция четная. (Примером четной функции является функция hello_html_m4768385.png)

Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.

Если hello_html_5d395f5c.png, то функция нечетная. (Примером нечетной функции является функция hello_html_m3a5d2a65.png)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для hello_html_1f1391f4.pnghello_html_12d5dff5.png,  а затем соответствующим образом отразить ее.

3. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции - это точки пересечения графика функции hello_html_45f47913.png с осью абсцисс (OX).

Для этого мы решаем уравнение hello_html_m279fcdd4.png.

Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.

Находим точку пересечения графика функции hello_html_45f47913.png с осью ординат (OY). Для этого ищем значение функции при hello_html_57f5f85c.png.

4. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция hello_html_45f47913.pngсохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции hello_html_45f47913.png, нам нужно решить неравенства hello_html_5a025585.png hello_html_12d5dff5.png и hello_html_43db59.pnghello_html_12d5dff5.png.

5. Находим асимптоты графика функции.

6. Если функция периодическая, то находим период функции.


Варианты заданий практической работы


1. hello_html_m75dc725.png1. hello_html_49868541.png


2. hello_html_772aedb6.png2. hello_html_4ba065ac.png




Практическая работа № 12

Тема: Преобразование графиков.

Цель: Отработать навыки преобразования функций.


Методические рекомендации


Различают три вида геометрических преобразований графика функции:

  • Первый вид - масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.

На необходимость масштабирования указывают коэффициенты hello_html_2fe6d592.png и hello_html_m7631119b.pngотличные от единицы, если hello_html_3416ee65.png, то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если hello_html_3a952202.png, то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.

  • Второй вид - симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.

На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами hello_html_2fe6d592.png(в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и hello_html_m7631119b.png (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy ). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.

  • Третий вид - параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.

Это преобразование производится В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а – вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b|единиц, при отрицательном b – вниз на |b| единиц.


Варианты заданий практической работы


Вариант 1

1. Сравнить числа: а)hello_html_m71607a79.gif и hello_html_m77f54f96.gif; б)hello_html_7712d0a3.gif и hello_html_41e1a7aa.gif; в)hello_html_m46bed0ac.gif и hello_html_mf1bfbb7.gif.

2. Построить эскиз графиков функций: а)hello_html_175ccfb2.gif; б)hello_html_1e7df06c.gif; в)hello_html_5e05b49b.gif.

3. Построить графики функций: а)hello_html_60761912.gif; б)hello_html_m17cb3d9.gif; в)hello_html_m67680a7.gif.


Вариант 2

1. Сравнить числа: а)hello_html_m36cbc6d0.gif и hello_html_6a06edad.gif; б)hello_html_3111920b.gif и hello_html_m2cdbc4fe.gif; в)hello_html_6e2ba7ea.gif и hello_html_2fc6198e.gif.

2. Построить эскиз графиков функций: а)hello_html_50da9f84.gif; б)hello_html_m33c10576.gif; в)hello_html_38c0a87a.gif.

3. Построить графики функций: а)hello_html_9a335ca.gif; б)hello_html_3dee6020.gif; в)hello_html_48e09d91.gif.


Практическая работа № 13,14


Тема: Многогранники.

Цель: Знать формулы вычисления боковой и полной поверхности призмы. пирамиды, параллелепипеда и уметь применять их к решению задач.


Методические рекомендации


Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.

Основные формулы

hello_html_791a31ba.gif

hello_html_mce8661e.gif

V=a3

2.

Прямоугольный параллелепипед

hello_html_m24bed210.png


hello_html_1d514199.gif


V=a*b*c

V=Sосн*h

3.

Призма

hello_html_m3b4186fb.gif

hello_html_34b8193a.gif

hello_html_4013ce6b.gif

V=Sосн*h


4.

Пирамида

hello_html_m3677542.png

hello_html_me8cc596.gif

hello_html_1198c62f.gif

V=(1/3)*Sосн*h





Варианты заданий практической работы №13


1 вариант


  1. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 6 см и 12 см и углом 60. Диагональ B1D призмы образует с плоскостью основания угол в 30. Найдите площадь полной поверхности призмы.

  2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  3. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2 вариант

  1. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4hello_html_m1780cb41.gifсм и углом 30. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60. Найдите площадь полной поверхности призмы.

  2. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  3. Основание пирамиды – квадрат со стороной а. Одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две смежные с ней грани составляют с плоскостью основания угол . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Варианты заданий практической работы №14

1 вариант


  1. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 6 см и 6hello_html_m1780cb41.gifсм и углом 150. Диагональ B1D призмы образует с плоскостью основания угол в 60. Найдите площадь полной поверхности призмы.

  2. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковым ребром и основанием равен 60. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна H, а боковое ребро составляет с основанием угол . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2 вариант


  1. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 3 см и 6 см и углом 120. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 30. Найдите площадь полной поверхности призмы.

  2. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковым ребром и основанием пирамиды равен 30. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  3. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Угол между диагоналями смежных граней, исходящих из одной вершины, равен . Диагональ параллелепипеда равна d. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Практическая работа № 15


Тема: Уравнение касательной к графику функции.

Цель: Отработать умения применять геометрический смысл производной при решении различных видов задач.



Методические рекомендации



Геометрический смысл производной


hello_html_m5a80884e.gif


Найти значение функции hello_html_17aac240.gif.

Найти производную функции hello_html_39179ae1.gif.

Найти значение производной в т. hello_html_623827a9.gif.

Составить уравнение hello_html_3e054f22.gif.

Пример

а) Для функции hello_html_m76fdc0c2.gifсоставить уравнение касательной в точке hello_html_4a2cb0cd.gif.

Решение.

  1. hello_html_m612bd735.gif

  2. hello_html_7c982c02.gif

  3. hello_html_4a58e9ae.gif

  4. hello_html_m4ab7d1dc.gif

hello_html_m6622cae6.gif

hello_html_m347aa6ba.gif- искомое уравнение.

Правила дифференцирования и таблица производных основных функций.






Правила.

Производные основных элементарных функций.

Варианты заданий практической работы


В заданиях выберите правильный ответ среди предложенных, обозначенных буквами А, Б, В.


1 вариант


1. Найти угол, который образует с положительным направлением оси ОХ касательная к графику функции hello_html_m3d73f1d7.gif в точке hello_html_m237b1285.gif.

В)hello_html_3058afb5.gif


2. Сравнить углы hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif, которые образуют с положительным направлением оси ОХ касательные к графикам функций hello_html_m63dc167e.gif и hello_html_3efcac52.gif соответственно в точках hello_html_m7d52ade4.gif и hello_html_m30efc776.gif.

3. В каких точках угловой коэффициент касательной к графику функции

hello_html_5cfd3b5a.gifравен hello_html_7c1b6c2d.gif?

4. Написать уравнение касательной к графику функции hello_html_m256ffabf.gif, проходящей через точку с ординатой hello_html_m260a68f0.gif и наименьшей абсциссой.

5. Написать уравнение касательной, проходящей через общие точки кривыхhello_html_580a08b.gifи hello_html_m3f5eea7b.gif.

2 вариант


1. Найти угол, который образует с положительным направлением оси ОХ касательная к графику функции hello_html_m4b7c39d2.gif в точке hello_html_m63b2cfe6.gif.

2. Сравнить углы hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif, которые образуют с положительным направлением оси ОХ касательные к графикам функцийhello_html_m627beb13.gif и hello_html_7a9f9a06.gif соответственно в точках hello_html_m60272e6.gif и hello_html_m7efacec7.gif.

3. Найти угол наклона касательной к кривой hello_html_m66a31e82.gifhello_html_m712672e0.gif в точке hello_html_m517cfc5d.gif.

4. Написать уравнение касательной к графику функции hello_html_4880ae4b.gif, проходящей через точку с ординатой hello_html_m5d526491.gif.

  1. Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции hello_html_8c459fb.gif в точке hello_html_m688ff051.gif.

3 вариант


1. Найти угол, который образует с положительным направлением оси ОХ касательная к графику функции hello_html_m1510aa08.gif в точке hello_html_m63b2cfe6.gif.

2. В каких точках угловой коэффициент касательной к кривой hello_html_m72dae191.gif равен hello_html_m171b9fa1.gif?

3. Сравнить углы hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif, которые образуют с положительным направлением оси ОХ касательные к графикам функций hello_html_m1b941841.gif и hello_html_7b1c9172.gif соответственно в точках hello_html_4588bc46.gif и hello_html_78d49098.gif.

4. Написать уравнение касательной к графику функции hello_html_m5c15b55e.gifhello_html_46dff828.gif, проходящей через точку с ординатой hello_html_m5d526491.gif и наибольшей абсциссой.

5. Написать уравнение касательной, проходящей через общие точки кривых hello_html_m71a83910.gif и hello_html_m27d0da47.gif.

4 вариант


1. Найти угол, который образует с положительным направлением оси ОХ касательная к графику функцииhello_html_7f0f9983.gifв точке hello_html_m20b82b77.gif.

2. Сравнить углы hello_html_7a00ba7d.gif и hello_html_m4162108e.gif, которые образуют с положительным направлением оси ОХ касательные к графикам функций hello_html_m5bf19918.gif и hello_html_154086f6.gif соответственно в точках hello_html_70753fa4.gif и hello_html_m2b44b47.gif.

3. Найти угол наклона касательной к кривой hello_html_7a509eaf.gif, в точке hello_html_32afbde0.gif.

4. Написать уравнение касательной к графику функции hello_html_3a428369.gif, проходящей через точку с ординатой hello_html_m1f830ca1.gif.

5. Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции hello_html_m6265c873.gif в точке hello_html_4a2cb0cd.gif.

Практическая работа № 16


Тема: Производная сложной функции.

Цель: Отработать навыки нахождения производных сложной функций.


Методические рекомендации

Пусть функция hello_html_m6deeb092.png  определена на множестве hello_html_m28ba9c08.png и hello_html_4800473.png - множество значений этой функции. Пусть, множество hello_html_4800473.png (или его подмножество) является областью определения функции hello_html_7a8ccf28.png. Поставим  в соответствие каждому hello_html_m686bb35.png из hello_html_m28ba9c08.png число hello_html_2f3f3943.png. Тем самым на множестве hello_html_m28ba9c08.png будет задана функция hello_html_m2a0f5654.png. Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией,  hello_html_7a8ccf28.png - внешняя функция, hello_html_m6deeb092.png - промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:

hello_html_m57a23444.png

Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:

hello_html_m3dafd1ce.png

В этом выражении  с помощью hello_html_65126db0.png обозначена промежуточная функция.

Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно

1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.

2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а. Запишите уравнение функции.

б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.


Варианты заданий практической работы


Вариант 1

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции hello_html_m8e87964.gif равна:

а) hello_html_m1da10ee.gif; б) hello_html_m523d8cb7.gif; в) hello_html_34fbf7cd.gif.

  1. Производная функции hello_html_m449e2515.gif равна:

а) hello_html_m17752d43.gif; б) hello_html_3954f024.gif; в) hello_html_2e6bb04d.gif.

  1. Вычислить производную для функции hello_html_404c7.gif:

а) hello_html_m5d742407.gif; б) hello_html_cffba63.gif ; в) hello_html_5ab7d84d.gif.

Вариант 2

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции hello_html_1845a634.gif равна:

а) hello_html_6fbb0934.gif; б) hello_html_mca478ef.gif; в) hello_html_m5a835c9.gif.

  1. Производная функции hello_html_m47f840a9.gif равна:

а) hello_html_m1fdb5f24.gif; б) hello_html_5822a14c.gif; в) hello_html_m7c6a440.gif.

  1. Вычислить производную для функции hello_html_m77e4df58.gif:

а) hello_html_m6662eb93.gif; б) hello_html_m2507d941.gif; в) hello_html_m7f4c3ce6.gif.

Вариант 3

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции hello_html_4f67e531.gif равна:

а) hello_html_77418d3.gif; б) hello_html_2d3188ef.gif; в) hello_html_m22e7df2b.gif.

  1. Производная функции hello_html_mc4848c5.gif равна:

а) hello_html_4ff0193c.gif; б) hello_html_m41eac142.gif; в) hello_html_47708c9c.gif.

  1. Вычислить производную для функции hello_html_24afcdc4.gif:

а) hello_html_3151703c.gif; б) hello_html_33c90043.gif; в) hello_html_m7e7849a2.gif.

Вариант 4

Выберите правильный вариант ответа

  1. Производная функции hello_html_37957666.gif равна:

а) hello_html_m46945434.gif; б) hello_html_m2cfd09e9.gif; в) hello_html_m6beca61f.gif.

2 Производная функции hello_html_m4c56b2be.gif равна:

а) hello_html_m5427851f.gif; б) hello_html_b10bf7b.gif; в) hello_html_m35f170f1.gif.

3 Вычислить производную для функции hello_html_m7122a6c9.gif:

а) hello_html_71a956d3.gif; б) hello_html_m6902a4a.gif; в) hello_html_m4e53b896.gif.

Практическая работа № 17


Тема: Производная.

Цель: Отработать навыки нахождения производных функций. Уметь применять физический смысл производной к решению прикладных задач, схему исследования функции к построению графика функции, находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.


Методические рекомендации


Правила дифференцирования и таблица производных основных функций.


Правила.

Производные основных элементарных функций.

Найти область определения функции hello_html_m163c0731.gif.

Исследовать функцию на четность, нечетность.

а) найти точки пересечения с осью ОХ (если возможно), для этого достаточно решить систему hello_html_m24931da7.gif

б) найти точки пересечения с осью ОУ, для этого решить систему hello_html_m6f0975ed.gif

  1. Найти hello_html_39179ae1.gif и решить уравнение hello_html_69f79a13.gif.

  2. Найти интервалы монотонности и экстремума функции.

  3. Найти дополнительные точки.

  4. Построить график функции.

II.Нахождение наибольшего, наименьшего значения функции на отрезке.

  1. Найти производную функции hello_html_39179ae1.gif.

  2. Найти критические точки решив уравнение hello_html_69f79a13.gif.

  3. Вычислить значение функции в критических точках, принадлежащих данному промежутку.

  4. Вычислить значение функции на концах отрезка.

  5. Среди всех полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

О. Точка экстремума

hello_html_m261208d7.png

О. Точка максимума

для всех х, hello_html_4c91bac8.gif

О. Точка минимума

для всех х, hello_html_33281c4e.gif

ТПрямая соединительная линия 22. (необходимое условие экстремума)

1. hello_html_m66a31e82.gif определена в окрестности точки hello_html_48bafc8f.gif

2. hello_html_39179ae1.gif существует

3. hello_html_48bafc8f.gif - точка экстремума

hello_html_292b4ff0.gif

О. Стационарная точка hello_html_m66a31e82.gif

1. hello_html_mb528622.gif

2. корень hello_html_69f79a13.gif





Примеры.

hello_html_m111e4acb.png

hello_html_3c38c277.png











вhello_html_m25e63272.pnghello_html_2ccaf8ff.pnghello_html_5a7f5762.png)









ТПрямая соединительная линия 16. hello_html_m41b01381.gif, hello_html_2322169f.gif

hello_html_m66a31e82.gifвозрастает на hello_html_m32398097.gif



ТПрямая соединительная линия 15. hello_html_m156f41ec.gif, hello_html_2322169f.gif

hello_html_m66a31e82.gifубывает на hello_html_m32398097.gif

дhello_html_m49286131.pnghello_html_2fcd482a.pnghello_html_4fe0b04a.png)





















Теорема.

1. hello_html_69f79a13.gif, hello_html_48bafc8f.gif - стационарная точка

2. слева от hello_html_48bafc8f.gifhello_html_m156f41ec.gif

справа от hello_html_48bafc8f.gifhello_html_m41b01381.gif

Прямая соединительная линия 8Группа 9

hello_html_48bafc8f.gif- точка минимума

2. слева от hello_html_48bafc8f.gifhello_html_m41b01381.gif

Прямая соединительная линия 7справа от hello_html_48bafc8f.gifhello_html_515201.gif

Группа 4

hello_html_48bafc8f.gif - точка максимума


I. Нахождение интервалов монотонности функции hello_html_mb681d8a.gif

1. Вычислить hello_html_39179ae1.gif данной функции hello_html_m66a31e82.gif.

  1. Найти критические точки, для этого решить уравнение hello_html_69f79a13.gif.

  2. Критическими точками разбить область определения на интервалы.

  3. На каждом из интервалов определяем знак производной. Для этого берем произвольное число из рассматриваемого интервала и подставляем в производную функции. По знаку ответа определяем знак производной.

  4. По знаку производной делаем вывод о возрастании, убывании функции.

  1. Исследование функции на экстремум

  1. Найти производную функции hello_html_39179ae1.gif.

  2. Решить уравнение hello_html_69f79a13.gif и найти критические точки.

  3. Критическими точками разбить область определения на интервалы.

  4. Исследовать знак производной в некоторой окрестности каждой критической точки.

  5. а) если при переходе через т. hello_html_48bafc8f.gif производная меняет знак с «+» на «-», hello_html_48bafc8f.gif - точка максимума;

б) если при переходе через т. hello_html_48bafc8f.gif производная меняет знак с «-» на «+», то т. hello_html_48bafc8f.gif - точка минимума.


Примеры


а) Найдите наибольшее значение функции hello_html_6b072b27.gif на отрезке hello_html_4aabdbb8.gif.

Решение.

1. hello_html_m15972ed7.gif

2. hello_html_69f79a13.gif; hello_html_33470d75.gif; hello_html_m3fd93c1a.gif; hello_html_m26db2cb7.gif; hello_html_3113dfb3.gif; hello_html_1e9c6632.gif

3. hello_html_m5abbcea0.gif; hello_html_m51de9dcd.gif;

hello_html_5dab8f4e.gif; hello_html_m493b52bd.gif

4. hello_html_101209cc.gif; hello_html_bbfa9a0.gif

5. hello_html_2200fc1.gif


б) Исследовать и построить график функции hello_html_ba0e15b.gif.

Решение.

1. Область определения hello_html_m1aacfeb4.gif

2. hello_html_m11538789.gif

3. hello_html_69f79a13.gif; hello_html_33470d75.gif

hello_html_m3fd93c1a.gif

hello_html_m28b4ae9d.gif, 2 корня

hello_html_m112863ab.gif; hello_html_185e4611.gif

4; 5.

hello_html_m2d3ba724.png

hello_html_3e839c1d.gif- т. максимума; hello_html_m40519307.gif - т. минимума

6. hello_html_m4738f738.gif

hello_html_2f78b4c8.gif

т. hello_html_m6450f01c.gif, т. hello_html_dddb8a9.gif

7. hello_html_40b21446.gif, тогда hello_html_19d71356.gif, т. hello_html_m6c0af249.gif

8.

hello_html_m788f8ddd.png


Физический смысл первой производной.

Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость движения hello_html_m44208737.gif в момент времени t есть производная пути по времени, т.е.

hello_html_m4855ac84.gif


Варианты заданий практической работы


1 вариант


1. Найдите производную функции:

2. При движении тела по прямой, расстояние hello_html_m2c326bc5.gif(в метрах) изменяется по закону hello_html_m715931c1.gif. Через сколько секунд после начала движения мгновенная скорость будет равна hello_html_563c1a91.gif

3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции hello_html_m66a31e82.gif равна скорости изменения функции hello_html_2f01283e.gif?

hello_html_38f81577.gif; hello_html_1b0c2069.gif

4. Построить график функции hello_html_m28751926.gif.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_m5e2c9d98.gif на отрезке hello_html_m73b87791.gif.


2 вариант


1. Найдите производную функции


2. При движении тела по прямой, расстояние hello_html_m2c326bc5.gif(в метрах) изменяется по законуhello_html_4b6cf385.gif. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?

3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции hello_html_m66a31e82.gif равна скорости изменения функции hello_html_m23fc8831.gif

hello_html_m40fbd71d.gif; hello_html_m47e15829.gif

4. Построить график функции hello_html_m66db6721.gif.

5.Найти наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_m99c8857.gif на отрезке hello_html_m5cbe5937.gif.


3 вариант


1. Найти производную функции


2. При движении тела по прямой, расстояние hello_html_m2c326bc5.gif (в метрах) изменяется по закону hello_html_m3f1b3b91.gif. Найти скорость тела через hello_html_m3a774da8.gifпосле начала движения.

3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции hello_html_m66a31e82.gif равна скорости изменения функции hello_html_2f01283e.gif?

hello_html_m76fdc0c2.gif; hello_html_1d0f7ced.gif

4. Построить график функции hello_html_m556f6162.gif.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_4916ff46.gif на отрезке hello_html_m41202362.gif.


4 вариант


1. Найти производную функции


2. Тело движется по прямой по закону hello_html_m45bc13c4.gif. В какой момент времени скорость тела будет равна hello_html_m3d96893c.gif

3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции hello_html_m66a31e82.gif равна скорости изменения функции hello_html_m23fc8831.gif

hello_html_7e20fe25.gif; hello_html_m193d9ae7.gif

4. Построить график функции hello_html_m190c9d9.gif.


5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_m4557eabd.gif на отрезке hello_html_m61b8ecf7.gif.


Практическая работа № 18


Тема: Первообразная и интеграл.

Цель: Отработать навыки нахождения первообразной функции, значения определенного интеграла, использования геометрического и физического смысла определенного интеграла при решении прикладных задач.


Методические рекомендации


Определение 1. Функцияhello_html_270b4ed2.gif называется первообразной от функции hello_html_m66a31e82.gif на отрезке hello_html_5f5b2506.gif, если для всех hello_html_m7aa714ab.gif выполняется равенство:

hello_html_m49712624.gif

Таблица интегралов.

I. Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть дана функция hello_html_m66a31e82.gif непрерывная на hello_html_5f5b2506.gif. Рассмотрим график этой функции (некоторую кривую).

  • фhello_html_209747c.pngигура hello_html_m50811b1d.gif, ограниченная отрезком hello_html_5f5b2506.gif оси ОХ, отрезками параллельных прямых hello_html_m5e383f3d.gif и hello_html_6966b759.gif, и кривой hello_html_mb681d8a.gif, называется криволинейной трапецией.

  • Если интегрируемая на hello_html_5f5b2506.gif функция hello_html_m66a31e82.gif неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной hello_html_5f5b2506.gif оси ОХ, отрезками прямых hello_html_2bc8430d.gif, hello_html_6d92bdf.gif и графиком данной функции. В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

II. Вычисление площадей плоских фигур.

Из геометрического смысла определенного интеграла известно, что если hello_html_m490b7b29.gif, hello_html_m7aa714ab.gif, то площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

hello_html_9a713b9.gif

Очевидно, что если hello_html_ccecd8b.gif, hello_html_m7aa714ab.gif, то hello_html_6eeead39.gif

Рассмотрим основные случаи расположения плоских фигур:

1.

hello_html_485a8fe8.png

2.

hello_html_m6428e296.png

3.

hello_html_2726be5.png

4.

hello_html_7979415a.png


III. Применение определенного интеграла в физике.


  1. Путь, пройденный точкой при неравномерном движении за промежуток времени от hello_html_67dec7e8.gif до hello_html_m310efd46.gif вычисляется по формуле:

hello_html_2bbc25ce.gif

Варианты заданий практической работы


1 вариант


1. Определите функцию, для которой hello_html_m6d3c5892.gifявляется первообразной:

2. Для функции hello_html_1b4409bc.gif, найдите первообразную hello_html_270b4ed2.gif, принимающую заданное значение в заданной точке hello_html_7e3a48bb.gif.

3. Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени hello_html_m36526fb8.gif равнаhello_html_m5e53ea4b.gif. Найдите путь, пройденный точкой за время от hello_html_m371910b7.gif доhello_html_7c1b6c2d.gifсекунд, если скорость измеряется в hello_html_m3786c8ac.gif.

4. Вычислите: а)hello_html_3bf943d6.gif; б)hello_html_m558a8d4e.gifhello_html_m53d4ecad.gif.

а)

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

2 вариант


1. Определите функцию, для которой hello_html_3152f3a.gif является первообразной:

2. Для функции hello_html_68d1f04d.gifнайдите первообразную hello_html_270b4ed2.gif, график которой проходит через точку hello_html_26967528.gif.

3. Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени hello_html_m36526fb8.gif равна hello_html_m11e666c8.gif. Найдите путь, пройденный точкой за время от hello_html_m371910b7.gif до hello_html_m171b9fa1.gifсекунд, если измеряется в hello_html_m3786c8ac.gif.

4. Вычислите: а)hello_html_m5ba3ee6b.gif; б)hello_html_m3150a22a.gif

а)

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

3 вариант


1. Определите функцию, для которой hello_html_12b649ec.gif является первообразной:

2. Для функции hello_html_201b4cd9.gifнайдите первообразную hello_html_270b4ed2.gif, принимающую заданное значение в заданной точке: hello_html_m40712c91.gif

3. Скорость движения точки hello_html_m33528247.gif. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до остановки.

4. Вычислите: а)hello_html_23d4ce4d.gif; б)hello_html_4c7e2a01.gif

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

4 вариант


1. Определите функцию, для которой hello_html_5f1a3d33.gif является первообразной:

2. Для функции hello_html_d550375.gif найдите первообразную hello_html_270b4ed2.gif, график которой проходит через точку hello_html_m343bd735.gif.

3. Скорость движения точки hello_html_m23d90f12.gif. Найдите путь. Пройденный точкой за третью секунду.

4. Вычислите: а)hello_html_m22ae631d.gif ; б)hello_html_m431ce0f2.gif

а)

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:





Практическая работа № 19


Тема: Измерения в геометрии.

Цель: Знать формулы для нахождения объемов многогранников и тел вращения и уметь их применять их к решению задач.


Методические рекомендации


При выполнении практической работы, воспользуйтесь методическими рекомендациями к практической работе № 12;13.


1 вариант


1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 9. Объем параллелепипеда равен 81. Найдите высоту цилиндра.

2. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 8,5. Найдите его объем.

3. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 18.

4hello_html_m33995825.jpg. Объем конуса равен 112. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.


.

2 вариант


1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту цилиндра.

2. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6,5. Найдите его объем.

3. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 14.

4. Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5hello_html_m33995825.jpg. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 24. Найдите площадь поверхности шара.




Практическая работа № 3,4,20


Тема: Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.

Цель: Знать формулы комбинаторики, теории вероятностей и уметь применять их при решении задач.



Методические рекомендации


В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным (событие А)?

Решение. hello_html_437b9e92.gif, hello_html_b396828.gif

hello_html_m6de19af6.gif

  1. Вероятность достоверного события (U); вероятность невозможного события (V)

hello_html_m48fa03d7.gif; hello_html_1a8676d3.gif


КОМБИНАТОРИКА

  1. Размещения

hello_html_m1f2d9559.gif

hello_html_m7cf91f48.gif

  1. Перестановки

hello_html_5c2555e7.gif

hello_html_m7cee7634.gif

hello_html_6f290b70.gif

  1. Сочетания

hello_html_m6855cf0.gif

hello_html_19639a41.gif

  1. Теорема сложения и умножения вероятностей

hello_html_m2b79584.gif

hello_html_56363e04.gif

hello_html_m7a457482.gif, где

hello_html_m5c04d717.gif- вероятность противоположного события

  • Вероятность попадания снаряда в первый склад равна 0,225, во второй – 0,325. В результате детонации любое попадание взрывает оба склада. Какова вероятность того, что оба склада будут уничтожены?

Решение.

hello_html_m43f15a66.gif

hello_html_m581f6495.gif

  • Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна hello_html_m777300a1.gif, для второго стрелка равна hello_html_39e4aaa6.gif. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

hello_html_m3b290324.gif

hello_html_m3c91b0d5.gif

  1. Формула полной вероятности

hello_html_1e5321ab.gif


  1. Формула Бернулли

hello_html_1e7337cc.gif, hello_html_m10a69b06.gif

В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет 2 белых.

Решение.

hello_html_m50107673.gif; hello_html_m6f19aff3.gif

hello_html_62fd310.gif

hello_html_328e335b.gif

  1. Математическое ожидание hello_html_1d0acc34.gif

hello_html_m15610998.gif,

hello_html_m14e1650c.gif- дискретная с.в.

hello_html_m1f82ab0e.gif- соответствующие вероятности

Решение.

hello_html_349ee11a.gif

Свойства

1. hello_html_2ef44407.gif

2. hello_html_47051d8d.gif

3. hello_html_23a0e110.gif

4. hello_html_743d415b.gif

  1. Дисперсия дискретной с.в. hello_html_5ededfe9.gif

hello_html_1a660ff3.gif




hello_html_71bd64d0.gif

hello_html_m3c0f802e.gif

hello_html_2fae6a2f.gif

hello_html_60aafdce.gif

hello_html_ee9968f.gif


Хорошо известны следующие школьные формулы:

hello_html_m4ad3a507.png

Поставим вопрос о том, можно ли эти формулы обобщить на произвольную натуральную степень hello_html_3888b676.png , т.е. рассмотрим следующий многочлен относительно hello_html_16d32063.png и hello_html_76e2f6b2.png и степени hello_html_3888b676.png :

hello_html_5023053b.png

Данное равенство легко получить, раскрыв все скобки и приводя подобные члены. Здесь коэффициенты hello_html_4fdbcf15.png , где hello_html_m3c921346.png , являются неизвестными и требуются определения.

Бином Ньютона:

hello_html_m293c673b.png

где

hello_html_2dc8b29e.png

здесь hello_html_38e1ebd4.png и по определению hello_html_m4b04c280.png . Коэффициенты hello_html_m6d5de917.pngназываются биномиальными.

Это равенство можно доказать методом математической индукции.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем выражения для коэффициентов:

hello_html_m1cd04ae5.png

Рассмотрим еще один способ получения коэффициентов hello_html_4fdbcf15.png в разложении hello_html_m3c73ca5b.png - это треугольник Паскаля.

hello_html_745135ac.png

Опишем алгоритм построения данного треугольника. Каждая строка треугольника соответствует конкретной степени hello_html_3888b676.png многочлена, значения в строке соответствуют коэффициентам в разложении. Треугольник строится сверху вниз, т.е. от многочлена нулевой степени, каждый раз увеличивая степень на единицу. Стрелками показано, какие операции выполняются, т.е. сносятся каждые числа и складываются соседние.

Далее выписывается многочлен данной степени hello_html_3888b676.png и расставляются по порядку значения из hello_html_3888b676.png -ой строки треугольника.

Пример.

Найти разложение:

hello_html_m3429259d.png

Решение.

В данном примере: hello_html_m848ee0e.png , hello_html_27d2c646.png и hello_html_1878268d.png , т.е. нужно взять четвертую строку треугольника (где справа стоит hello_html_1878268d.png ).

Выписываем разложение с неопределенными коэффициентами:

hello_html_m723cb8f8.png

подставляем вместо hello_html_m848ee0e.png и hello_html_27d2c646.png , получаем

hello_html_m4fab5852.png

hello_html_m3306954.png

Теперь берем значения из четвертой строки треугольника и подставляем их по очереди вместо коэффициентов:

hello_html_m272546f0.png

hello_html_m795f73a1.png

Ответ: hello_html_1de2507.png

Здесь прослеживается реккурентная связь между коэффициентами. Получаем, что если известны коэффициенты для многочлена hello_html_5afaf002.png -ой степени, тогда для многочлена hello_html_3888b676.png -ой степени они находятся простым суммированием.

Получается, что элемент, стоящий в hello_html_3888b676.png -ой строке ( hello_html_m58e30e3a.png ), и в hello_html_90e3040.png -ом столбце ( hello_html_47342346.png ) определяется по формуле

hello_html_m70f3e5b8.png

т.е. это будет связь треугольника Паскаля с биномиальными коэффициентами.

Рассмотрим пример, про который говорилось в начале пункта: найти коэффициент, который стоит перед hello_html_m4a4db003.png многочлена hello_html_m38dc9771.png ?

Решение.

Используя бином Ньютона, получаем:

hello_html_47f497bc.png

Степень, равная hello_html_m3f0ebbc9.png -и, у hello_html_m739e19a5.png будет при hello_html_5e4ef69e.png , получаем, что коэффициент при hello_html_m4a4db003.png равен

hello_html_7a4a518c.png


Варианты заданий практической работы №3


hello_html_2c89e922.png

hello_html_m349a7100.png

Овал 9Овал 105 5

У одного студента 5 книг, у другого – 9. все книги различные. Сколькими способами студенты могут произвести обмен 2 книг на 2 книги?

Сколькими способами можно расставлять на полке 6 различных книг, чтобы определенные три из них стояли рядом?



Варианты заданий практической работы №4

  1. Найти номер члена разложения бинома hello_html_2829748e.gif, не содержащего х.

  2. Найти пятый член разложения бинома hello_html_4feac3f2.gif.

  3. Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома hello_html_m43a71909.gif, если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.

  4. Найти седьмой член разложения бинома hello_html_m45df10.gif, если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.

  5. Сколько членов разложения бинома hello_html_557da717.gif являются целыми числами?

  6. Вычислить сумму hello_html_m61fc2227.gif.

  7. Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома hello_html_d71a8b9.gif.

  8. Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения hello_html_7025b93.gif равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.

  9. При каких значениях х четвертое слагаемое разложения hello_html_2056dfec.gif больше двух соседних с ним слагаемых?

  10. При каком значении х четвертое слагаемое разложения hello_html_3f531f52.gif в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1?

  11. В какую наибольшую степень следует возвести бином hello_html_f6f770b.gif чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно hello_html_m6d4abde3.gif?


Варианты заданий практической работы №20


1 вариант

1. Решите уравнение:hello_html_mce2cc89.gif

2. Бригадир должен отправить на работу бригаду из 3-х человек. Сколько таких бригад можно составить из 8 человек?

3. Брошена игральная кость. Найти вероятность:

а) появления четного числа очков;

б) появления не больше двух очков.

4. В партии из 15 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей 3 стандартные.


2 вариант



1. Решите уравнение:hello_html_m6fea0b68.gif

2. Сколькими способами можно расставить 6 томов энциклопедии, чтобы они стояли в беспорядке?

3. В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется:

а) черным;

б) белым.

4. Первенство по футболу оспаривают 20 команд, среди которых 7 лидирующих. Путем жеребьевки команды распределяются на две группы по 10 команд в каждой. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу?

3 вариант


1. Решите уравнение:hello_html_1576d1be.gif

2. Из 10 кандидатов нужно выбрать 3-х на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

3. Брошена игральная кость. Найти вероятность:

а) появления четного числа очков;

б) появления не больше трех очков.

4. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

4 вариант


1. Решите уравнение:hello_html_m56d777e5.gif

2. Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг стола?

3. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,82, для второго 0,75. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

4. В ящике имеется 80 стандартных деталей и 20 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Какова вероятность появления стандартной детали при первом испытании, при втором испытании?


5 вариант


1. Решите уравнение:hello_html_5a949b3b.gif

2. Бригадир должен отправить на работу 4 человек. Сколькими способами это можно сделать, если бригада состоит из 10 человек?

3. В урне 20 шаров. 17 белых и 3 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего, шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров три белых.

4. Найти математическое ожидание с.в. Х, если закон ее распределения задан таблицей:

6 вариант


1. Решите уравнение:hello_html_3878b379.gif

2. Сколькими способами можно расставить 5 томов, чтобы они стояли в беспорядке?

3. В учебных мастерских на станках а, b и c изготавливают соответственно 30 %, 45 % и 25 % всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 13 %, 11 % и 5 %. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна.

4. Найти дисперсию дискретной с.в. Х, зная закон ее распределения:
























ЛИТЕРАТУРА


        1. Александров А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М. : Просвещение, 2014. – 271 с.

        2. Александров А.Д. Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М. : Просвещение, 2014. – 272 с.

        3. Башмаков М.И. Математика. Задачник : учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 4-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия» , 2014. – 416 с.

        4. Башмаков М.И. Математика : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 9-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2014. – 256 с.

        5. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М. : Просвещение, 2014. – 431 с.

        6. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М. : Просвещение, 2014. – 464 с.

        7. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – М. : просвещение, 2014. – 255 с.

Автор
Дата добавления 12.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров31
Номер материала ДБ-190428
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх