- 12.09.2016
- 459
- 0
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Самарской области «Самарский колледж сервиса производственного оборудования имени Героя Российской Федерации Е.В. Золотухина»
Дудукина А.И.
Математика
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ 1 КУРСА
Самара, 2016
Предметно- цикловой
комиссией
____ /Елшанская С.В./
« » 20__ г.
Составлена в соответствии с Государственными требованиями
к минимуму содержания
и уровню подготовки по специальности (профессии)
Рекомендовано к использованию
решением методического совета №
от « » 20__ г.
Председатель совета
зам. директора по УМР
/ФИО / (подпись)
« » 20___ г.
Рецензент:
Текст аннотации. Данное пособие предназначено для студентов 1 курса.
Пояснительная записка
Практическое занятие - это форма организации учебного процесса, предполагающая выполнение обучающимися по заданию и под руководством преподавателя одной или нескольких практических работ.
Дидактическая цель практических работ - формирование у обучающихся профессиональных умений, а также практических умений, необходимых для изучения последующих учебных дисциплин, а также подготовка к применению этих умений в профессиональной деятельности.
Так, на практических занятиях по математике у обучающихся формируется умение решать задачи, которое в дальнейшем должно быть использовано для решения профессиональных задач по специальным дисциплинам.
В ходе практических работ обучающиеся овладевают умениями пользоваться информационными источниками, работать с нормативными документами и инструктивными материалами, справочниками, выполнять чертежи, схемы, таблицы, решать разного рода задачи, делать вычисления.
Задачи, которые решаются в ходе практических занятий по математике:
1) расширение и закрепление теоретических знаний по математике, полученных в ходе лекционных занятий;
2) формирование у обучающихся практических умений и навыков, необходимых для успешного решения задач по математике;
3) развитие у обучающихся потребности в самообразовании и совершенствовании знаний и умений в процессе изучения математики;
4) формирование творческого отношения и исследовательского подхода в процессе изучения математики;
5) формирование профессионально-значимых качеств будущего специалиста и навыков приложения полученных знаний в профессиональной сфере.
Критерии оценки:
Ответ оценивается отметкой «5», если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможны некоторые неточности, описки, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится в следующих случаях:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
допущены одна ошибка, или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущено не более двух ошибок или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.
Практическая работа № 1
Тема: Показательные уравнения, неравенства, системы уравнений.
Цель: Отработать навыки решения показательных уравнений, неравенств, систем уравнений.
Методические рекомендации
Показательные уравнения.
Определение. Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.
, 
, 
- простейшее показательное уравнение
, , равносильно уравнению 
решается подстановкой 
и сводится к квадратному уравнению 
II. Показательные неравенства.
Определение. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.
, , .
При 
равносильно 
при 
равносильно 
III. Основные показательные тождества.
если , и 
, то 
если и 
, то 
если и , то 
если 
и 
, то 
10. если и 
, то 
; 
; 
; 
Варианты заданий практической работы
Работа состоит из двух частей. Выполнение первой части работы (до черты) позволяет получить оценку «3». Для получения оценки «4» необходимо верно решить первую часть работы и одну из задач второй части (за чертой). Чтобы получить оценку «5», помимо выполнения первой части работы, необходимо решить не менее двух любых заданий из второй части.
2 вариант
1. Решить уравнение:
а)
; б)
1. Решите уравнение:
а)
; б)
2. Решить неравенство:
2. Решите неравенство:
3. Решить систему уравнений:
3. Решить систему уравнений:
_______________________________
_______________________________
4. Решить неравенство:
а)
; б)
4. Решить неравенство:
а)
; б)
5. Решить уравнение:
5. Решить уравнение:
6. Решите уравнение:
. В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.
6. Решите уравнение:
. В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.
4 вариант
1. Решить уравнение:
а)
; б)
1. Решить уравнение:
а)
; б)
2. Решить неравенство:
2. Решить неравенство:
3. Решить систему уравнений:
3. Решить систему уравнений:
_____________________________
______________________________
4. Решить неравенство:
а)
; б)
4. Решить неравенство:
а)
; б)
5. Решить уравнение:
5. Решить уравнение:
6. Решите уравнение:
. В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.
6. Решите уравнение:
. В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.
Практическая работа № 2
Тема: Логарифмические уравнения, неравенства, системы уравнений.
Цель: Отработать навыки решения логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений.
Методические рекомендации
I. Свойства логарифмов.
Основное логарифмическое тождество: 
- формула перехода к другому основанию
II. Логарифмические уравнения.
Определение. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. 
, , . – простейшее логарифмическое уравнение.
Уравнение вида 
равносильно системе: 
Методы решения.
Полученные корни подставляют в исходное уравнение для исключения посторонних корней.
При решении уравнений полезен метод введения новой переменной.
При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования.
Примеры.
, 
По определению логарифма:
Ответ: 17.
2. 
Пусть 
, тогда
или 
или 
или 
или 
Ответ: 5; 
.
III. Логарифмические неравенства.
Определение. Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим неравенством.
при , данное неравенство равносильно системе неравенств 
при , данное неравенство равносильно системе неравенств 
Примеры.
1. 
, т.к. 
, то переходим к системе неравенств:
, т.е. 
Варианты заданий практической работы
2 вариант
А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
А2. Найдите произведение корней уравнения:
1)
2)
3)
4)
А2. Найдите произведение корней уравнения:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
А3. Решите неравенство:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
А3. Решить неравенство:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
А4. Решите неравенство:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
А4. Решить неравенство:
1)
; 2); 3); 4)
В1. Решите уравнение:
В1. Решите уравнение:
В2. Решите уравнение:
. В ответе укажите наименьший из корней данного уравнения.
В2. Решите уравнение:
. В ответе укажите наибольший из корней данного уравнения.
В3. Найдите наибольшее целое значение 
, удовлетворяющее неравенству:
В3. Найдите наименьшее целое значение, удовлетворяющее неравенству:
С1. Решите систему уравнений:
С1. Решите систему уравнений:
4 вариант
А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
1); 2); 3)
; 4)
А1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
А2. Найдите произведение корней уравнения:
1)
2)
3)
4)
А2. Найдите произведение корней уравнения:
1)
; 2)
; 3); 4)
А3. Решите неравенство:
1); 2)
; 3)
; 4)нет реш.
А3. Решите неравенство:
1)
; 2)
; 3)
;
4)
А4. Решите неравенство:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
А4. Решите неравенство:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
В1. Решите уравнение:
В1. Решите уравнение:
В2. Решите уравнение:
. В ответе укажите наименьший корень данного уравнения
В2. Решите уравнение:
. В ответе укажите наибольший корень данного уравнения.
В3. Найдите наибольшее целое значение,удовлетворяющее неравенству:
В3. Найдите наименьшее целое значение, удовлетворяющее неравенству:
С1. Решите систему уравнений:
С1. Решите систему уравнений:
Практическая работа №5
Тема: Координаты вектора
Цель: Отработать умения использовать формулы координат вектора при решении задач.
Методические рекомендации
Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок. Обозначается 
, 
, 
Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим 
векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.
Теорема. Вектор 
имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда он представим в виде 
, тогда 
Сложение векторов. Вычитание векторов.
; 
; 
, тогда
Нахождение координат вектора.
При определении координат вектора из соответствующих координат его конца вычитают координаты начала
; 
, 
;
Длина вектора.
Условие коллинеарности векторов: векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.
и
, 
векторы коллинеарны
Скалярное произведение векторов – это число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат.
и
;
Косинус угла между векторами.
;
Условие перпендикулярности векторов: векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
;
; 
Задания практической работы
Даны точки: 
, 
, 
, 
, где 
– номер студента по списку.
1. Найти координаты, абсолютные величины векторов 
и 
.
2. При каком значении 
перпендикулярны векторы 
и 
?
3*. Проверьте, коллинеарные ли векторы 
и 
?
4*. Образуют ли векторы 
, 
, 
базис?
5**. Найти угол между векторами 
и 
.
6**. Образуют ли векторы 
, 
, 
базис? Если да, то найти в нем координаты вектора 
.
Примечание.
Чтобы получить оценку «3», достаточно решить задания: 1-3. Для получения оценки «4», необходимо решить задания: 1-5, а для получения оценки «5», нужно выполнить все задания.
Практическая работа № 6
Тема: Тригонометрические функции.
Цель: Отработать умения использовать свойства тригонометрических функций при преобразовании тригонометрических выражений.
Методические рекомендации
При выполнении заданий данной практической работы, воспользуйтесь методическими рекомендациями к практической работе № 4, а также предложенными методическими рекомендациями.
Знаки значений тригонометрических функций по четвертям.
Если в формуле аргумент функции имеет вид:
, то данные формулы называются формулами приведения.
При составлении формул приведения, необходимо пользоваться следующими правилами:
1. Знак функции, стоящей в правой части равенства, определяется по знаку функции, стоящей в левой части равенства.
2. Если аргумент функции имеет вид:
, то название функции не меняется. Если же аргумент функции имеет вид:
, то название функции меняется на сходное:
на
,
на
и наоборот.
Варианты заданий практической работы
1 вариант
1. Найдите значение выражения:
2. Сравните с нулем выражения:
; 
; 
.
4. Упростите выражение:
5. Упростите выражение:
6. Упростите выражение:
7. Вычислите:
8. Вычислите:
9. Представив 
как 
, вычислите
10. Дано:
, где
. Найдите
.
2 вариант
1. Найдите значение выражения:
; 
; 
3. Вычислите:
5. Упростите выражение:
6. Упростите выражение:
7. Вычислите:
8. Вычислите:
9. Представив 
как 
, вычислите 
10. Дано:
, где 
. Найдите 
3 вариант
1. Найдите значение выражения:
2. Сравните с нулем выражения:
; 
; 
3. Вычислите:
4. Упростите выражение:
5. Упростите выражение:
6. Упростите выражение:
7. Вычислите:
8. Вычислите:
9. Представив 
как 
, вычислите 
10. Дано:
. Вычислите 
4 вариант
1. Найдите значение выражения:
2. Сравните с нулем выражение:
; 
; 
3. Вычислите:
4. Упростите выражение:
6. Упростите выражение:
7. Вычислите:
8. Вычислите:
9. Представьте как и вычислите 
10. Дано: 
, 
. Найти 
.
Практическая работа № 7,8
Тема: Тригонометрические формулы.
Цель: Отработать навыки работы с тригонометрическими формулами.
Методические рекомендации
I. Основные тригонометрические тождества.
; 
; 
и 
II. Формулы сложения.
III. Формулы двойного и половинного аргументов.
; 
; 
IV. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.
Варианты заданий практической работы № 7
2 вариант
1. Найдите значение выражения:
а)
;
б)
1. Найдите значение выражения:
а)
;
б)
2. Вычислите:
а)
;
б)
2. Вычислите:
а)
;
б)
3. Упростите выражения:
а)
б)
; в)
3. Упростите выражения:
а)
б)
; в)
Доказать тождество:
4. Доказать тождество:
Варианты заданий практической работы № 8
а)
;
б)
1. Найдите значение выражения:
а)
;
б)
2. Вычислите:
а)
;
б)
2. Вычислите:
а)
б)
3. Упростите выражения:
а)
б)
; в)
3. Упростите выражения:
а)
б)
4. Доказать тождество:
4. Доказать тождество:
Практическая работа № 9
Тема: Тригонометрические уравнения.
Цель: Отработать навыки решения различных видов тригонометрических уравнений.
Методические рекомендации
I. Решение простейших тригонометрических уравнений.
, 
при 
- решений нет
; 
,
; 
,
, 
,
при 
, 
при - решений нет
; 
,
; 
,
; 
,
- любое число 
,
-
- любое число 
,
-
II. Тригонометрические уравнения.
и т.д.
Уравнение сводится к квадратному (биквадратному) относительно синуса (косинуса)
Однородное уравнение I степени вида
Деление обеих частей на 
. Получаем: 
Однородное уравнение II степени вида
Деление обеих частей на 
. Получаем: 
Уравнение вида
Уравнение сводится к квадратному относительно тангенса заменой
III. Примеры решения тригонометрических уравнений.
, 
,
Пусть 
, тогда
и 
, решений нет,
т.к. 
Ответ: 
, .
2. 
т.к. если , то и , а этого быть не может.
Делим обе части уравнения на 
:
,
,
,
Ответ: 
,
Варианты заданий практической работы
1 вариант
1. Решите уравнения:
2. Решите уравнение, сделав подстановку:
3. Решите уравнение методом разложения на множители:
б)
4. Решите уравнение, используя однородность:
2 вариант
1. Решите уравнения:
2. Решите уравнение, сделав подстановку:
3. Решите уравнение, методом разложения на множители:
4. Решите уравнение, используя однородность:
3 вариант
1. Решите уравнения:
2. Решите уравнение, сделав подстановку:
3. Решите уравнение методом разложения на множители:
б)
4 вариант
1. Решите уравнения:
2. Решите уравнение, сделав подстановку:
3. Решите уравнение методом разложения на множители:
4. Решите уравнение, используя однородность:
Практическая работа № 6
Тема: Тригонометрические неравенства.
Цель: Отработать навыки решения различных видов тригонометрических неравенств.
Методические рекомендации
Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.
К простейшим тригонометрически неравенствам относятся следующие 16 неравенств:
sinx>a, sinx≥a, sinxcosx>a, cosx≥a, cosxtanx>a, tanx≥a, tanxcotx>a, cotx≥a, cotxЗдесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.
Неравенства вида sinx>a, sinx≥a, sinx, sinx≤a
При |a|≥1 неравенство sinx>a не имеет решений:
x∈∅
При a<−1 решением неравенства sinx>a является любое действительное число:
x∈R
При −1≤a<1 решение неравенства sinx>a выражается в виде
arcsina+2πn∈Z (рис.1).
Неравенство sinx≥a
При a>1 неравенство sinx≥a не имеет решений:
x∈∅
При a≤−1 решением неравенства sinx≥a является любое действительное число:
x∈R
Случай a=1
x=π/2+2πn,n∈Z
При −1arcsina+2πn≤x≤π−arcsina+2πn,n∈Z (рис.1).
При a>1 решением неравенства sinxx∈R
При a≤−1 у неравенства sinxx∈∅
При −1−π−arcsina+2πn∈Z (рис.2).
Неравенство sinx≤a
При a≥1 решением неравенства sinx≤a является любое действительное число:
x∈R
При a<−1 неравенство sinx≤a решений не имеет:
x∈∅
Случай a=−1
x=−π/2+2πn,n∈Z
При −1−π−arcsina+2πn≤x≤arcsina+2πn,n∈Z (рис.2).
Неравенства вида cosx>a, cosx≥a, cosx, cosx≤a
При a≥1 неравенство cosx>a не имеет решений:
x∈∅
При a<−1 решением неравенства cosx>a является любое действительное число:
x∈R
При −1≤a<1 решение неравенства cosx>a имеет вид
−arccosa+2πn∈Z (рис.3).
Неравенство cosx≥a
При a>1 неравенство cosx≥a не имеет решений:
x∈∅
При a≤−1 решением неравенства cosx≥a является любое действительное число:
x∈R
Случай a=1
x=2πn,n∈Z
При −1−arccosa+2πn≤x≤arccosa+2πn,n∈Z (рис.3).
При a>1 неравенство cosxx∈R
При a≤−1 неравенство cosxx∈∅
При −1arccosa+2πn∈Z (рис.4).
Неравенство cosx≤a
При a≥1 решением неравенства cosx≤a является любое действительное число:
x∈R
При a<−1 неравенство cosx≤a не имеет решений:
x∈∅
Случай a=−1
x=π+2πn,n∈Z
При −1arccosa+2πn≤x≤2π−arccosa+2πn,n∈Z (рис.4).
Неравенства вида tanx>a, tanx≥a, tanx, tanx≤a
При любом действительном значении a решение строгого неравенства tanx>a имеет вид
arctana+πn∈Z (рис.5).
Неравенство tanx≥a
Для любого значения a решение неравенства tanx≥a выражается в виде
arctana+πn≤x<π/2+πn,n∈Z (рис.5).
Для любого значения a решение неравенства tanx−π/2+πn∈Z (рис.6).
Неравенство tanx≤a
При любом a неравенство tanx≤a имеет следующее решение:
−π/2+πn∈Z (рис.6).
Неравенства вида cotx>a, cotx≥a, cotx, cotx≤a
При любом a решение неравенства cotx>a имеет вид
πn∈Z (рис.7).
Неравенство cotx≥a
Нестрогое неравенство cotx≥a имеет аналогичное решение
πn∈Z (рис.7).
Для любого значения a решение неравенства cotxarccot a+πn∈Z (рис.8).
Неравенство cotx≤a
При любом a решение нестрогого неравенства cotx≤a находится в полуоткрытом интервале
arccot a+πn≤x<π+πn,n∈Z (рис.8).
Варианты заданий практической работы
, 
,
, 
.
Практическая работа № 11
Тема: Исследование функций.
Цель: Отработать навыки построения и исследования функций.
Методические рекомендации
Алгоритм исследования функции 
и построения ее графика таков:
1. Находим область определения (D(f)) функции .
2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения 
из D(f) значение 
также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность.
Если 
, то функция четная. (Примером четной функции является функция 
)
Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.
Если 
, то функция нечетная. (Примером нечетной функции является функция 
)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для 
, а затем соответствующим образом отразить ее.
3. Находим точки пересечения графика с осями координат.
Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (OX).
Для этого мы решаем уравнение 
.
Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.
Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (OY). Для этого ищем значение функции при 
.
4. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нам нужно решить неравенства 
и 
.
5. Находим асимптоты графика функции.
6. Если функция периодическая, то находим период функции.
Варианты заданий практической работы
1. 
1. 
2. 
2. 
Практическая работа № 12
Тема: Преобразование графиков.
Цель: Отработать навыки преобразования функций.
Методические рекомендации
Различают три вида геометрических преобразований графика функции:
Первый вид - масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.
На необходимость масштабирования указывают коэффициенты 
и 
отличные от единицы, если 
, то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если 
, то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.
Второй вид - симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.
На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy ). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.
Третий вид - параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.
Это преобразование производится В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а – вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b|единиц, при отрицательном b – вниз на |b| единиц.
Варианты заданий практической работы
Вариант 1
1. Сравнить числа: а)
и 
; б)
и 
; в)
и 
.
2. Построить эскиз графиков функций: а)
; б)
; в)
.
3. Построить графики функций: а)
; б)
; в)
.
Вариант 2
1. Сравнить числа: а)
и 
; б)
и 
; в)
и 
.
2. Построить эскиз графиков функций: а)
; б)
; в)
.
3. Построить графики функций: а)
; б)
; в)
.
Практическая работа № 13,14
Тема: Многогранники.
Цель: Знать формулы вычисления боковой и полной поверхности призмы. пирамиды, параллелепипеда и уметь применять их к решению задач.
Методические рекомендации
Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников.
Основные формулы
V=a3
2.
Прямоугольный параллелепипед
V=a*b*c
V=Sосн*h
3.
Призма
V=Sосн*h
4.
Пирамида
V=(1/3)*Sосн*h
Варианты заданий практической работы №13
1 вариант
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 6 см и 12 см и углом 60. Диагональ B1D призмы образует с плоскостью основания угол в 30. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
2 вариант
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4
см и углом 30. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Основание пирамиды – квадрат со стороной а. Одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две смежные с ней грани составляют с плоскостью основания угол . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Варианты заданий практической работы №14
1 вариант
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 6 см и 6см и углом 150. Диагональ B1D призмы образует с плоскостью основания угол в 60. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Сторона правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковым ребром и основанием равен 60. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна H, а боковое ребро составляет с основанием угол . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
2 вариант
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 3 см и 6 см и углом 120. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 30. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковым ребром и основанием пирамиды равен 30. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Угол между диагоналями смежных граней, исходящих из одной вершины, равен . Диагональ параллелепипеда равна d. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Практическая работа № 15
Тема: Уравнение касательной к графику функции.
Цель: Отработать умения применять геометрический смысл производной при решении различных видов задач.
Методические рекомендации
Геометрический смысл производной
. Найти производную функции 
.
Найти значение производной в т. 
.
Составить уравнение 
.
Пример
а) Для функции 
составить уравнение касательной в точке 
.
Решение.
- искомое уравнение.
Правила дифференцирования и таблица производных основных функций.
Правила.
Производные основных элементарных функций.Варианты заданий практической работы
В заданиях выберите правильный ответ среди предложенных, обозначенных буквами А, Б, В.
1 вариант
1. Найти угол, который образует с положительным направлением оси ОХ касательная к графику функции 
в точке 
.
2. Сравнить углы 
и 
, которые образуют с положительным направлением оси ОХ касательные к графикам функций 
и 
соответственно в точках 
и 
.
равен ?
4. Написать уравнение касательной к графику функции 
, проходящей через точку с ординатой 
и наименьшей абсциссой.
5. Написать уравнение касательной, проходящей через общие точки кривых
и 
.
2 вариант
1. Найти угол, который образует с положительным направлением оси ОХ касательная к графику функции 
в точке 
.
2. Сравнить углы и , которые образуют с положительным направлением оси ОХ касательные к графикам функций
и 
соответственно в точках 
и 
.
3. Найти угол наклона касательной к кривой 
в точке 
.
4. Написать уравнение касательной к графику функции 
, проходящей через точку с ординатой 
.
Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции 
в точке 
.
3 вариант
1. Найти угол, который образует с положительным направлением оси ОХ касательная к графику функции 
в точке .
2. В каких точках угловой коэффициент касательной к кривой 
равен 
?
3. Сравнить углы и , которые образуют с положительным направлением оси ОХ касательные к графикам функций 
и 
соответственно в точках 
и 
.
4. Написать уравнение касательной к графику функции 
, проходящей через точку с ординатой и наибольшей абсциссой.
5. Написать уравнение касательной, проходящей через общие точки кривых 
и 
.
4 вариант
1. Найти угол, который образует с положительным направлением оси ОХ касательная к графику функции
в точке 
.
2. Сравнить углы и , которые образуют с положительным направлением оси ОХ касательные к графикам функций 
и 
соответственно в точках 
и 
.
3. Найти угол наклона касательной к кривой 
, в точке 
.
4. Написать уравнение касательной к графику функции 
, проходящей через точку с ординатой .
5. Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции 
в точке .
Тема: Производная сложной функции.
Цель: Отработать навыки нахождения производных сложной функций.
Методические рекомендации
Пусть функция 
определена на множестве 
и 
- множество значений этой функции. Пусть, множество (или его подмножество) является областью определения функции 
. Поставим в соответствие каждому из число 
. Тем самым на множестве будет задана функция 
. Ее называют композицией функций или сложной функцией.
В этом определении, если пользоваться нашей терминологией, - внешняя функция, - промежуточный аргумент.
Производная сложной функции находится по такому правилу:
Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:
В этом выражении с помощью 
обозначена промежуточная функция.
Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно
1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.
2. Определить промежуточный аргумент.
В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:
а. Запишите уравнение функции.
б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.
Варианты заданий практической работы
Вариант 1
Выберите правильный вариант ответа
Производная функции 
равна:
а) 
; б) 
; в) 
.
Производная функции 
равна:
а) 
; б) 
; в) 
.
Вычислить производную для функции 
:
а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 2
Выберите правильный вариант ответа
Производная функции 
равна:
а) 
; б) 
; в) 
.
Производная функции 
равна:
а) 
; б) 
; в) 
.
Вычислить производную для функции 
:
а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 3
Выберите правильный вариант ответа
Производная функции 
равна:
а) 
; б) 
; в) 
.
Производная функции 
равна:
а) 
; б) 
; в) 
.
Вычислить производную для функции 
:
а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 4
Выберите правильный вариант ответа
Производная функции 
равна:
а) 
; б) 
; в) 
.
2 Производная функции 
равна:
а) 
; б) 
; в) 
.
3 Вычислить производную для функции 
:
а) 
; б) 
; в) 
.
Практическая работа № 17
Тема: Производная.
Цель: Отработать навыки нахождения производных функций. Уметь применять физический смысл производной к решению прикладных задач, схему исследования функции к построению графика функции, находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Методические рекомендации
Правила дифференцирования и таблица производных основных функций.
Правила.
Производные основных элементарных функций.
Найти область определения функции
. Исследовать функцию на четность, нечетность.
а) найти точки пересечения с осью ОХ (если возможно), для этого достаточно решить систему 
б) найти точки пересечения с осью ОУ, для этого решить систему 
Найти и решить уравнение 
.
Найти интервалы монотонности и экстремума функции.
Найти дополнительные точки.
Построить график функции.
II.Нахождение наибольшего, наименьшего значения функции на отрезке.
Найти производную функции .
Найти критические точки решив уравнение .
Вычислить значение функции в критических точках, принадлежащих данному промежутку.
Вычислить значение функции на концах отрезка.
Среди всех полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
О. Точка экстремума
для всех х, 
О. Точка минимума
для всех х, 
. (необходимое условие экстремума) 1. определена в окрестности точки 
2. существует
3. - точка экстремума
О. Стационарная точка
1. 
2. корень
Примеры.
в
)
. 
, 
возрастает на 
Т. 
,
убывает на
д
)
1. , - стационарная точка
2. слева от
справа от
- точка минимума
2. слева от
справа от 
- точка максимума
1. Вычислить данной функции .
Найти критические точки, для этого решить уравнение .
Критическими точками разбить область определения на интервалы.
На каждом из интервалов определяем знак производной. Для этого берем произвольное число из рассматриваемого интервала и подставляем в производную функции. По знаку ответа определяем знак производной.
По знаку производной делаем вывод о возрастании, убывании функции.
Исследование функции на экстремум
Найти производную функции .
Решить уравнение и найти критические точки.
Критическими точками разбить область определения на интервалы.
Исследовать знак производной в некоторой окрестности каждой критической точки.
а) если при переходе через т. производная меняет знак с «+» на «-», - точка максимума;
б) если при переходе через т. производная меняет знак с «-» на «+», то т. - точка минимума.
Примеры
а) Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
.
Решение.
1. 
2. ; 
; 
; 
; 
; 
3. 
; 
;
; 
4. 
; 
5. 
.б
б) Исследовать и построить график функции 
.
Решение.
1. Область определения 
2. 
3. ;
, 2 корня
; 
4; 5.
- т. максимума; 
- т. минимума
6. 
т. 
, т. 
7. 
, тогда 
, т. 
8.
Физический смысл первой производной.
Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость движения 
в момент времени t есть производная пути по времени, т.е.
Варианты заданий практической работы
1 вариант
1. Найдите производную функции:
2. При движении тела по прямой, расстояние
(в метрах) изменяется по закону 
. Через сколько секунд после начала движения мгновенная скорость будет равна 
3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции равна скорости изменения функции 
?
; 
4. Построить график функции 
.
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
2 вариант
1. Найдите производную функции
(в метрах) изменяется по закону
. Через сколько секунд после начала движения тело остановится? 3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции равна скорости изменения функции 
; 
4. Построить график функции 
.
5.Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
3 вариант
1. Найти производную функции
(в метрах) изменяется по закону 
. Найти скорость тела через 
после начала движения. 3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции равна скорости изменения функции ?
; 
4. Построить график функции 
.
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
4 вариант
1. Найти производную функции
. В какой момент времени скорость тела будет равна 
3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции равна скорости изменения функции
; 
4. Построить график функции 
.
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
Практическая работа № 18
Тема: Первообразная и интеграл.
Цель: Отработать навыки нахождения первообразной функции, значения определенного интеграла, использования геометрического и физического смысла определенного интеграла при решении прикладных задач.
Методические рекомендации
Определение 1. Функция
называется первообразной от функции на отрезке 
, если для всех 
выполняется равенство:
Таблица интегралов.
I. Геометрический смысл определенного интеграла.
Пусть дана функция непрерывная на . Рассмотрим график этой функции (некоторую кривую).
ф
игура 
, ограниченная отрезком оси ОХ, отрезками параллельных прямых 
и 
, и кривой , называется криволинейной трапецией.
Если интегрируемая на функция неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной оси ОХ, отрезками прямых 
, 
и графиком данной функции. В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.
II. Вычисление площадей плоских фигур.
Из геометрического смысла определенного интеграла известно, что если 
, , то площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
Очевидно, что если 
, , то 
Рассмотрим основные случаи расположения плоских фигур:
1.
2.
3.
4.
III. Применение определенного интеграла в физике.
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении за промежуток времени от 
до 
вычисляется по формуле:
Варианты заданий практической работы
1 вариант
1. Определите функцию, для которой 
является первообразной:
2. Для функции 
, найдите первообразную , принимающую заданное значение в заданной точке 
.
3. Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени 
равна
. Найдите путь, пройденный точкой за время от досекунд, если скорость измеряется в 
.
; б)
. а)
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
2 вариант
1. Определите функцию, для которой 
является первообразной:
2. Для функции 
найдите первообразную , график которой проходит через точку 
.
равна 
. Найдите путь, пройденный точкой за время от до секунд, если измеряется в . 4. Вычислите: а)
; б)
а)
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
3 вариант
1. Определите функцию, для которой 
является первообразной:
2. Для функции 
найдите первообразную , принимающую заданное значение в заданной точке: 
3. Скорость движения точки 
. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до остановки.
; б)
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
4 вариант
1. Определите функцию, для которой 
является первообразной:
2. Для функции 
найдите первообразную , график которой проходит через точку 
.
3. Скорость движения точки 
. Найдите путь. Пройденный точкой за третью секунду.
4. Вычислите: а)
; б)
а)
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
Практическая работа № 19
Тема: Измерения в геометрии.
Цель: Знать формулы для нахождения объемов многогранников и тел вращения и уметь их применять их к решению задач.
Методические рекомендации
При выполнении практической работы, воспользуйтесь методическими рекомендациями к практической работе № 12;13.
1 вариант
1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 9. Объем параллелепипеда равен 81. Найдите высоту цилиндра.
2. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 8,5. Найдите его объем.
3. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 18.
4
. Объем конуса равен 112. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
5. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
.
2 вариант
1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту цилиндра.
2. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6,5. Найдите его объем.
3. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 14.
4. Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
5. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 24. Найдите площадь поверхности шара.
Практическая работа № 3,4,20
Тема: Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.
Цель: Знать формулы комбинаторики, теории вероятностей и уметь применять их при решении задач.
Методические рекомендации
Решение. 
, 
Вероятность достоверного события (U); вероятность невозможного события (V)
; 
КОМБИНАТОРИКА
Размещения
Перестановки
Сочетания
Теорема сложения и умножения вероятностей
, где
- вероятность противоположного события
Вероятность попадания снаряда в первый склад равна 0,225, во второй – 0,325. В результате детонации любое попадание взрывает оба склада. Какова вероятность того, что оба склада будут уничтожены?
Решение.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 
, для второго стрелка равна 
. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.
Формула полной вероятности
Формула Бернулли
, 
В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет 2 белых.
Решение.
; 
Математическое ожидание 
,
- дискретная с.в.
- соответствующие вероятности
Решение.
Свойства
1. 
2. 
3. 
4. 
Дисперсия дискретной с.в. 
Хорошо известны следующие школьные формулы:
Поставим вопрос о том, можно ли эти формулы обобщить на произвольную натуральную степень 
, т.е. рассмотрим следующий многочлен относительно 
и 
и степени :
Данное равенство легко получить, раскрыв все скобки и приводя подобные члены. Здесь коэффициенты 
, где 
, являются неизвестными и требуются определения.
Бином Ньютона:
где
здесь 
и по определению 
. Коэффициенты 
называются биномиальными.
Это равенство можно доказать методом математической индукции.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем выражения для коэффициентов:
Рассмотрим еще один способ получения коэффициентов в разложении 
- это треугольник Паскаля.
Опишем алгоритм построения данного треугольника. Каждая строка треугольника соответствует конкретной степени многочлена, значения в строке соответствуют коэффициентам в разложении. Треугольник строится сверху вниз, т.е. от многочлена нулевой степени, каждый раз увеличивая степень на единицу. Стрелками показано, какие операции выполняются, т.е. сносятся каждые числа и складываются соседние.
Далее выписывается многочлен данной степени и расставляются по порядку значения из -ой строки треугольника.
Пример.
Найти разложение:
Решение.
В данном примере: 
, 
и 
, т.е. нужно взять четвертую строку треугольника (где справа стоит ).
Выписываем разложение с неопределенными коэффициентами:
подставляем вместо и , получаем
Теперь берем значения из четвертой строки треугольника и подставляем их по очереди вместо коэффициентов:
Ответ: 
Здесь прослеживается реккурентная связь между коэффициентами. Получаем, что если известны коэффициенты для многочлена 
-ой степени, тогда для многочлена -ой степени они находятся простым суммированием.
Получается, что элемент, стоящий в -ой строке ( 
), и в 
-ом столбце ( 
) определяется по формуле
т.е. это будет связь треугольника Паскаля с биномиальными коэффициентами.
Рассмотрим пример, про который говорилось в начале пункта: найти коэффициент, который стоит перед 
многочлена 
?
Решение.
Используя бином Ньютона, получаем:
Степень, равная 
-и, у 
будет при 
, получаем, что коэффициент при равен
Варианты заданий практической работы №3
5 5
Сколькими способами можно расставлять на полке 6 различных книг, чтобы определенные три из них стояли рядом?
Варианты заданий практической работы №4
Найти номер члена разложения бинома 
, не содержащего х.
Найти пятый член разложения бинома 
.
Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома 
, если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.
Найти седьмой член разложения бинома 
, если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.
Сколько членов разложения бинома 
являются целыми числами?
Вычислить сумму 
.
Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома 
.
Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения 
равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.
При каких значениях х четвертое слагаемое разложения 
больше двух соседних с ним слагаемых?
При каком значении х четвертое слагаемое разложения 
в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1?
В какую наибольшую степень следует возвести бином 
чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно 
?
Варианты заданий практической работы №20
1 вариант
1. Решите уравнение:
2. Бригадир должен отправить на работу бригаду из 3-х человек. Сколько таких бригад можно составить из 8 человек?
3. Брошена игральная кость. Найти вероятность:
а) появления четного числа очков;
б) появления не больше двух очков.
4. В партии из 15 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей 3 стандартные.
2 вариант
1. Решите уравнение:
2. Сколькими способами можно расставить 6 томов энциклопедии, чтобы они стояли в беспорядке?
3. В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется:
а) черным;
б) белым.
4. Первенство по футболу оспаривают 20 команд, среди которых 7 лидирующих. Путем жеребьевки команды распределяются на две группы по 10 команд в каждой. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу?
3 вариант
1. Решите уравнение:
2. Из 10 кандидатов нужно выбрать 3-х на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?
3. Брошена игральная кость. Найти вероятность:
а) появления четного числа очков;
б) появления не больше трех очков.
4. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
4 вариант
1. Решите уравнение:
2. Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг стола?
3. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,82, для второго 0,75. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.
4. В ящике имеется 80 стандартных деталей и 20 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Какова вероятность появления стандартной детали при первом испытании, при втором испытании?
5 вариант
1. Решите уравнение:
2. Бригадир должен отправить на работу 4 человек. Сколькими способами это можно сделать, если бригада состоит из 10 человек?
3. В урне 20 шаров. 17 белых и 3 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего, шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров три белых.
4. Найти математическое ожидание с.в. Х, если закон ее распределения задан таблицей:
6 вариант
1. Решите уравнение:
2. Сколькими способами можно расставить 5 томов, чтобы они стояли в беспорядке?
3. В учебных мастерских на станках а, b и c изготавливают соответственно 30 %, 45 % и 25 % всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 13 %, 11 % и 5 %. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна.
4. Найти дисперсию дискретной с.в. Х, зная закон ее распределения:
ЛИТЕРАТУРА
Александров А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М. : Просвещение, 2014. – 271 с.
Александров А.Д. Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М. : Просвещение, 2014. – 272 с.
Башмаков М.И. Математика. Задачник : учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 4-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия» , 2014. – 416 с.
Башмаков М.И. Математика : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 9-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2014. – 256 с.
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М. : Просвещение, 2014. – 431 с.
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М. : Просвещение, 2014. – 464 с.
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – М. : просвещение, 2014. – 255 с.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 661 510 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Дудукина Анна Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.