Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Получите деньги за публикацию своих
разработок в библиотеке «Инфоурок»
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru
Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодические рекомендации по выполнению практических работ ЕН.01 Математика

Методические рекомендации по выполнению практических работ ЕН.01 Математика

библиотека
материалов

35-36МИНИСТЕРСТВО образования и науки Российской Федерации ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ ГБПОУ ВО «ВОРОНЕЖСКИЙ ТЕХНИКУМ ПИЩЕВОЙ И ПЕРЕРАБАТЫВАЮЩЕЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ»





Комплект по УМК







Методические рекомендации

по выполнению практических работ


ЕН.01 Математика


специальности среднего профессионального образования


19.02.10«Технология продукции

общественного питания»





















Воронеж 2016

Рассмотрено

на заседании предметно-цикловой

комиссии дисциплин

общеобразовательного

цикла

Председатель комиссии

_______________/Шишлова Е.Н/

Протокол №_9_

«_29__» апреля 2016 г



Математика:

Методические рекомендации по выполнению практических работ / ВТППП /

Практические работы по математике направлены на систематизацию, закреплению и углублению знаний теоретического характера.

Данные рекомендации содержат в себе перечень практических занятий по дисциплине, определены цели, есть краткое содержание, задания и представлены примерны типового расчета.

Составитель преподаватель: О.А.Шатунова

Рекомендованы к изданию методическим советом техникума

19.05.16г., протокол № 8









СОДЕРЖАНИЕ

1 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА………………………………………….4

2 ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ………………………………..5

3 СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ………………………..6

4.СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………42

5.ПРИЛОЖЕНИЯ……………………………………………………………43









































ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические рекомендации по выполнению практических работ составлены в соответствии с ФГОС по специальности: 19.02.10 «Технология продукции общественного питания», на основе рабочей программы по дисциплине «Математика», рассчитанные на 6 занятий.

Цели практических занятий:

  • помочь студентам систематизировать, закрепить и углубить знания теоретического характера;

  • научить студентов приемам решения практических задач, способствовать овладению навыками и умениями выполнения расчетов, графических и других видов заданий;

  • научить их пользоваться справочной литературой и таблицами;

  • формировать умение учиться самостоятельно, т. е. овладевать методами, способами и приемами самообучения, саморазвития и самоконтроля.

В результате проведения практических занятий по дисциплине «Математика» студент должен уметь:

-решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

- применять простые математические модели систем и процессов в сфере профессиональной деятельности.


знать:

- значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

- основные понятие и методы математического анализа, теории вероятности и математической статистики;

- основные математические методы решения прикладных задач в профессиональной деятельности.

Решение задач прикладного характера Форма организации студентов на практических занятиях – индивидуальная. Выполнению практических занятий предшествует проверка знаний студентов - их теоретической готовности к выполнению задания.

Оценки за выполнение практических работ выставляются по пятибалльной системе и учитываются как показатели текущей успеваемости студентов.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

темы

Содержание практического занятия

Количество часов

1

Вычисление предела функции

2

2

Понятие производной. Дифференцирование функций. Геометрический и механический смысл производной.

5

3

Вычисление неопределенных интегралов.

4

4

Решение задач прикладного характера с применением определенного интеграла.

4

5

Вычисление среднего арифметического, математического ожидания и дисперсии случайной дискретной величины.


3

6

Численные методы математической подготовки

специалиста среднего звена

6

Итого:


24















Практическая работа № 1.

Тема: Вычисление предела функции.

Цель занятия: закрепить навыки вычисления пределов функции, применения теорем о пределах функции; раскрытия различных видов неопределенностей.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на занятии: применять теоремы о пределах и правила раскрытия неопределенностей типа

Наглядные пособия, оборудование: плакат с формулами теорем о пределах функции в точке; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями

(4 варианта).

Повторение теоретических основ:

  1. Предел функции в точке (определение).

  2. Основные свойства о пределах.

  3. Правило раскрытия неопределенности типа .

  4. Правило раскрытия неопределенности типа.

  1. Определение

Конечное число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |xx0| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| < ε. Для обозначения такого предела используют символику:
hello_html_m70ceed71.gif

  1. При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций:

  1. Если функция имеет конечный предел, то он единственный.

  2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
    hello_html_m4d78190c.gif

  3. Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными
    hello_html_m7f30eda5.gif

  4. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными
    hello_html_m7ad2d9ef.gif

  5. Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль
    hello_html_m6d61c600.gif

  1. Правило раскрытия неопределенности типа .

Пример типового расчета:

1. Найти предел функции
hello_html_50d3492.gif

Решение:

Имеем неопределенность вида hello_html_5d2ae4fd.gif



hello_html_5d2ae4fd.gif

Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
hello_html_m4dbe6b9b.gif

2. Найти предел функции
hello_html_m1618061f.gif

Решение:

Имеем неопределенность вида

hello_html_5d2ae4fd.gif

Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в знаменателе, на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель x - 4, который при x → 4 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
hello_html_b80b74e.gif

  1. Правило раскрытия неопределенности типа.

Пример типового расчета:

Найти предел функции
hello_html_m690f9221.gif

Решение:

Имеем неопределенность вида

hello_html_15dda80d.gif

Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.
hello_html_3206d71a.gif


Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным

дидактическим карточкам – заданиям (4 варианта).

Приложение: дидактические карточки с вариантами заданий

(4 варианта).

Контрольные вопросы:

  1. Что называется пределом функции в точке?

  2. Какие вы знаете основные свойства о пределах?

  3. Каковы правила раскрытия неопределенностей вида , .

Литература, необходимая для проведения работы:

  1. Мордкович А.Г.Алгебра и начала математического анализа. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/А.Г.Мордкович.-11-е изд. –М.:Мнемозина,2010.-399с.



Вариант- 1.

Вычислить:











Вариант- 2.

Вычислить:











Вариант -3.

Вычислить:











Вариант -4.

Вычислить:











Практическая работа № 2.

Тема: Понятие производной. Дифференцирование функций. Геометрический и механический смысл производной.

Цель занятия: систематизация и обобщение понятия производной; отработка техники дифференцирования функций; закрепление знаний о геометрическом и механическом смыслах производной; проверка и контроль знаний по данной теме; развитие умений работать самостоятельно.

Умение и навык, которые должны приобрести обучаемые на занятии: дифференцировать различного вида функции, в том числе, сложные функции; геометрический и механический смысл производной; умение записывать уравнение касательной к графику функции в заданной точке.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами дифференцирования; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями (6 вариантов).

Повторение теоретических основ:

  1. Определение производной функции.

  2. Формы дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций: (;.

  3. Сложная функция и правило ее дифференцирования.

  4. Правило дифференцирования функции, заданной неявно.

  5. Геометрический смысл производной.

  6. Механический смысл производной.

    1. Определение производной: Пусть функция f (x) определена на некотором промежутке, х- точка этого промежутка и число h 0, такое что х+h также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения при h 0(если этот предел существует) называется производной функции f(x) в точке х .

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначение производной. Если y=f (x), то производная по переменной x обозначается так:

hello_html_45fabe0.gif

    1. Формы дифференцирования.

Производные функций вычисляются с применением следующих теорем:

ТЕОРЕМА 1. Производная от константы равна нулю.

ТЕОРЕМА 2. Константу можно вынести за знак производной, то есть

hello_html_5f2d0de6.gif

ТЕОРЕМА 3. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем:

hello_html_6b7b09bb.gif

ТЕОРЕМА 4. Производная произведения двух функций равна

hello_html_m329b18ae.gif

ТЕОРЕМА 5. Производная частного двух функций равна

hello_html_79e75f13.gif

Пример типового расчета

а) hello_html_m4ea79248.gif

hello_html_m2ac1dd5b.gif

b) hello_html_2949237d.gif

hello_html_m41140472.gif

hello_html_m77f5e55a.gif

    1. Сложная функция и правило ее дифференцирования

ТЕОРЕМА 6. Пусть y=F(u), где u=j(x), тогда

hello_html_m254c5b2.gif

Комментарий. Эта теорема о производной сложной функции.

Пример типового расчета

hello_html_m1373ca19.gif



    1. Геометрический смысл производной

hello_html_68f1b282.png

hello_html_m5f547484.png

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая ( линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.


Пример типового расчета

Составьте уравнение касательной к графику функции hello_html_3cfc9cc2.gifв точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как hello_html_5f4ef666.gif

1. a = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f '(x) = x
2 – 4, f '(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

    1. Механический смысл производной. Мгновенная скорость. Ускорение


Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х(t) времени t. За промежуток времени от t
0) до t0) + Δt перемещение точки равно х (t0) + Δt) — х (t0)) = Δх, а ее средняя скорость такова:

При Δt<0 формула (1) также верна: перемещение равно х (t
0))—x (t0)+Δt) = —Δх, а продолжительность промежутка времени равна -Δt.

Обычно характер движения бывает таким, что при малых Δt средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример п. 13). Другими словами, значение средней скорости при Δt→0 стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют
мгновенной скоростью v (t0) материальной точки в момент времени to. Итак,

hello_html_779758d3.pngпри hello_html_2fb70255.png



Но по определению производной

hello_html_m1c276.pngпри hello_html_2fb70255.png


Поэтому считают, что мгновенная скорость v (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом

hello_html_26c37959.png



Коротко говорят:
производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t
1; t2) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то координата х (t) убывает.

Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения:

hello_html_35918ff4.png


Коротко говорят:
производная от скорости по времени есть ускорение.


Пример типового расчета:

Тело движется прямолинейно по закону hello_html_m5ebffb1d.png(м). Определить скорость его движения в момент hello_html_m39c7a355.pngс.

Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть

hello_html_1e2934ad.png

hello_html_m54c18cc.png

В заданный момент времени

hello_html_56b3b88d.png(м/с).

Ответ. hello_html_4e77123d.png(м/с).



Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам – заданиям( 6 вариантов).

Приложение: дидактические карточки – задания ( 6 вариантов).

Контрольные вопросы:

  1. Что называется производной функции?

  2. Как называется операция нахождения производной?

  3. Назовите основные правила дифференцирования?

  4. Каков геометрический и механический смысл производной?





Литература, необходимая для проведения работы:

  1. Мордкович А.Г.Алгебра и начала математического анализа. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/А.Г.Мордкович.-11-е изд. –М.:Мнемозина,2010.-399с.



Вариант -1.

  1. Найдите производную функции:

  1. 2

  2. (



  1. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(x)= в точке =1



  1. Тело движется по закону . 0пределите момент времени, когда скорость тела равна нулю.

Вариант -2.

  1. Найдите производную функции:

  1. 3

  2. (



  1. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(x)= в точке =2



  1. Тело движется по закону . 0пределите скорость тела в момент времени t=2.

Вариант -3.

  1. Найдите производную функции:



  1. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(x)= в точке =2



  1. Тело движется по закону . 0пределите ускорение тела в момент времени t=1.

Вариант -4.

  1. Найдите производную функции:



  1. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(x)= в точке = -3



  1. Тело движется по закону s(t)=Найдите ускорение тела через 2 с после начала движения.

Вариант- 5.

  1. Найдите производную функции:

  1. f(x)=



  1. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(x)= в точке = 2



  1. Тело движется по закону . Определите момент времени, когда скорость тела равна нулю.

Вариант- 6.

  1. Найдите производную функции:



  1. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(x)= в точке = -2



  1. Два тела движутся прямолинейно: одно по закону S другое- по закону S(t). Определить момент времени, когда скорости этих тел окажутся равными.

Практическая работа №3

Тема: Вычисление неопределенных интегралов.

Цель занятия: обобщить и систематизировать знания студентов при изучении основных формул интегрирования; продолжать формировать умения и навыки применения интегрирования функций; закрепить приемы и способы вычисления неопределенных интегралов, используя таблицу; развивать навыки сравнения при решении неопределенных интегралов одним из способов вычисления; воспитывать такие качества характера, как настойчивость в достижении цели.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на занятии:  в результате овладения содержанием раздела «неопределенные интегралы» студенты должны знать: определение понятия «неопределенный интеграл»; свойства неопределенного интеграла; методы вычисления неопределенного интеграла; уметь: применять известные методы вычисления неопределенных интегралов;

Наглядные пособия, оборудование: плакат с таблицей интегралов; плакат с основными свойствами интегрирования; дидактические карточки с заданиями (4 варианта)

Повторение теоретических основ:

  1. Определение неопределенного интеграла.

  2. Свойства неопределенного интеграла.

  3. Таблица основных формул интегрирования.

  4. Непосредственное интегрирование. Приемы непосредственного интегрирования.

  5. Метод подстановки при нахождении неопределенных интегралов.

  6. Формула интегрирования по частям.

1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) в промежутке a < x < b, если в любой точке этого промежутка ее производная равна f (x):

F’ (x) = ƒ (x) => dƒ (x) = ƒ (x) dx, a< x < b

Отыскание первообразной функции по заданной её производной f(x) или по дифференциалу ƒ (x) dx есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.

Совокупность первообразных для функций f(x) или для дифференциала (x) dx называется неопределённым интегралом и обозначается символом S ƒ (x) dx. Таким образом,

S ƒ (x) dx= F(x)+C если d[ F(x)+C]= ƒ(x)dx

F(x)- подынтегральная функция;

F(x)dx- подынтегральное выражение;

С- произвольная постоянная.


2. Основные свойства неопределенного интеграла:

  1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

.

  1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

, .

  1. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:

;

  1. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:

.

  1. Если и – любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то

.



3.Основные формулы интегрирования (таблица интегралов):

  1. ;

  2. , (n);

  3. ;

  4. ;

  5. ;

Методы интегрирования

Наиболее важными методами интегрирования являются:
1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения),
2) метод подстановки (метод введения новой переменной),
3) метод интегрирования по частям.

  1. Метод непосредственного интегрирования

Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов.

Пример типового расчета:

Найти неопределенный интеграл: ∫cos(7x-3)dx

cos(7x-3)=hello_html_m79648f37.png∫cos(7x-3)d(7x-3)=hello_html_m79648f37.pngsin(7x-3)+C

  1. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

  1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

  2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

  3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

  4. Производят замену под интегралом.

  5. Находят полученный интеграл.

  6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Пример типового расчета:



Введем подстановку:

hello_html_733f991a.gif 

Дифференцируя это равенство, имеем: hello_html_49289599.gif 

Выразив отсюда , получим: . Подставив в данный интеграл вместо и их выражения, получим:

)4.

6. Метод интегрирования по частям



Если подынтегральная функция представляет собой произведение либо тригонометрической функции на алгебраическую, либо показательной на алгебраическую, то за u следует принимать алгебраическую функцию.

Пример типового расчета:

Практика : студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта).

Приложение: дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта) .

Контрольные вопросы:

  1. Что называется неопределенным интегралом?

  2. Что такое интегрирование?

  3. Свойства неопределенного интеграла?

  4. Основные способы интегрирования?

  5. Таблица основных интегралов?

Литература, необходимая для проведения работы:

  1. Мордкович А.Г.Алгебра и начала математического анализа. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/А.Г.Мордкович.-11-е изд. –М.:Мнемозина,2010.-399с.

Вариант -1.

  1. Для функции y= найдите первообразную, график которой проходит через точку А (-1;0)



  1. Найти неопределенный интеграл





  1. Найдите неопределенный интеграл, используя способ замены переменной:



Вариант- 2.

  1. Для функции y= найдите первообразную, график которой проходит через точку А (-2;0)



  1. Найти неопределенный интеграл





  1. Найдите неопределенный интеграл, используя способ замены переменной:



Вариант -3.

  1. Для функции y= найдите первообразную, график которой проходит через точку А (-2;0)



  1. Найти неопределенный интеграл





  1. Найдите неопределенный интеграл, используя способ замены переменной:



Вариант -4.

  1. Для функции y= найдите первообразную, график которой проходит через точку А (1;1)



  1. Найти неопределенный интеграл






  1. Найдите неопределенный интеграл, используя способ замены переменной:



Практическая работа № 4.

Тема: Решение задач прикладного характера с применением определенного интеграла.

Цель занятия: закрепить навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера.

Умение и навыки, которые должны приобрести обучаемые на занятии: решать задачи на вычисление работы переменной силы; пути, пройденного телом при неравномерном движении; находить площади фигур с помощью определенного интеграла.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами интегрирования; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями.

Повторение теоретических основ:

  1. Что называется криволинейной трапецией?

  2. Вычисление площади криволинейной трапеции.

  3. Вычисление пути, пройденного телом при неравномерном движении, за промежуток времени от до , если задан закон движения тела .

  4. Вычисление работы переменной силы , вызвавшей перемещение от до .


  1. Криволинейная трапеция
    Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют
    криволинейной трапецией.

hello_html_m73add49e.jpg





  1. Площадь криволинейной трапеции.

S=F(b)-F(a).

Алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции

  1. Построить графики линий.

  2. Определить криволинейную трапецию.

  3. Выделить функцию f , ограничивающую трапецию.

  4. Определить отрезок [a; b] оси Ох.

  5. Найти одну из первообразных функции f .

  6. Используя формулу S=F(b)-F(a) , вычислить площадь.

Пример типового расчета:

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х2 и у = 0

Решение:

1. Построим криволинейную трапецию:

у = 4 - х2- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз.
у = 0 - ось абсцисс.

2. Найдём [а;b]:

4-х2 = 0; х2 = 4
х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2

3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а)

hello_html_77fd66.jpg

  1. Вычисление пути, пройденного точкой

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью hello_html_m14eaee5.gifза промежуток времени от hello_html_m52f1cc8d.gifдо hello_html_m19189cb0.gifвычисляется по формуле hello_html_m12db380c.gif.

Пример типового расчета:

  1. Скорость движения точки hello_html_dc36de3.gif м/с.

Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, hello_html_65824c05.gif. Следовательно, hello_html_4274c13b.gif

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью hello_html_m7ae6071a.gifм/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

hello_html_m41c22c75.gif

3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2—9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,29,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

hello_html_129eae47.gif

  1. Вычисление работы переменной силы , вызвавшей перемещение от до .

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле hello_html_95bb59.gifПри решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример типового расчета:

1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 0,2 = 0,02 (м), b=0,320,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

hello_html_m396fccd3.gif

Практика: студенты выполняют расчеты по выдаваемым дидактическим карточкам с заданиями – 6 вариантов.

Приложение: дидактические карточки с заданиями (6 вариантов).

Контрольные вопросы:

  1. Что называется определенным интегралом?

  2. Как вычисляется определенный интеграл?

  3. Свойства определенного интеграла?

  4. Что называется криволинейной трапецией?

  5. Как с помощью интеграла найти площадь криволинейной трапеции; путь, пройденный телом при неравномерном движении; работу переменной силы F, вызвавшей перемещение от ?



Литература необходимая для проведения работы:

  1. Мордкович А.Г.Алгебра и начала математического анализа. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/А.Г.Мордкович.-11-е изд. –М.:Мнемозина,2010.-399с.

Вариант-1.

1. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,02 м, если для сжатия ее на 0,04 м нужно приложить силу в 2 Н .

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=3t²­2t­1,м/c. Вычислить путь, пройденный точкой за 5 секунд после начала движения.

3.Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями:

y=2x­x²; y=0.

Вариант-2.

1.Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для сжатия ее на 0,03 м нужно приложить силу 15 Н.

2.Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=24t­6t²¸ м/с. Вычислить путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

3.Найти площадь фигуры, ограниченный кривыми, заданными уравнениями:

y= x², y= ­3x.

Вариант-3.

1. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м нужно приложить силу в 10 Н.

2. Скорость точки, движущийся прямолинейно, задана уравнением

v=18t-6t² , cм/с. Вычислить путь , пройденный точкой от начала движения до остановки.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y= -x²+6х-5 и y=0;

Вариант-4.

1. Найдите работу, которую необходимо затратить при сжатии пружины на 0,05 м, если сила в 4 Н требуется для ее сжатия на 0,1 м.

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением

v=6t²-4t-10, см /с. Вычислить путь, пройденный точкой за 4с от начала

движения.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:



Вариант-5.

1. Вычислить работу, которую нужно затратить при сжатии пружины на 3 см, если сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см.

2. Скорость движения точки V = 9thello_html_d0bdc3f.gif– 8t. Найти путь, пройденный точкой за четвертую секунду.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y= x²-2x+3 и y=x+3.

Вариант-6.

  1. Вычислить работу, которую нужно затратить при растяжении пружины на 8 см, если сила в 3 Н растягивает пружину на 1 см.

  2. Скорость движения тела задана уравнением V = м/c. Найти путь, пройденный телом за вторую секунду.

  3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = x2 и y = 2 – x2.

Практическая работа №5

Тема: Вычисление среднего арифметического, математического ожидания и дисперсии случайной дискретной величины.

Цели:

1.Сформировать навык нахождения числовых характеристик дискретной случайной величины;

2.Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.


Теоретическая часть.

Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

hello_html_582fa3bc.jpg

Пример 1. Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс. руб.

Найти среднюю заработную плату.
Решение:

(3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков). Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Представим это в виде следующей формулы:

hello_html_47a446a4.jpg

  • hello_html_62b2a85d.png — цена за единицу продукции;

  • hello_html_a6c5367.png — количество (объем) продукции;

Пример 2. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц

Заработная плата одного рабочего тыс. руб; X

Число рабочих: F

3,2

20

3,3

35

3,4

14

4,0

6

Итого:

75

Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

hello_html_e4159cb.jpg

Ответ: 3,35 тыс.руб.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + хпрп .

Пример 3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения: 

Х

5

4

3

p

0,2

0,5

0,3

Решение: По формуле находим математическое ожидание:

M (X) = 5*0,2 + 4*0,5 + 3*0,3 = 3,3.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D (X) = M [X - M (X)]2.

Пример 4. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения: 

Х

1

2

5

p

0,3

0,5

0,2

Решение: По формуле находим математическое ожидание:

M (X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3.

Записываем все возможные значения квадрата отклонения:

[X1 - M (X)]2 = (1 - 2,3)2 = 1,69;

[X2 - M (X)]2 = (2 - 2,3)2 = 0,09;

[X3 - M (X)]2 = (5 - 2,3)2 = 7,29.

Тогда закон распределения квадрата отклонения имеет следующий вид: 

[X - M (X)]2

1,69

0,09

7,29

p

0,3

0,5

0,2

По формуле находим дисперсию:

D (X) = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01.

Практическая часть.

1. Задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы указаны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности p этих возможных значений). Найти:

  1. математическое ожидание,

  2. дисперсию,

  3. построить многоугольник распределения.




1.1

Х

23

25

28

29

p

00,3

00,2

00,4

00,1


1.2

Х

17

21

25

27

p

00,2

00,4

00,3

00,1


1.3

Х

24

26

28

30

p

00,2

00,2

00,5

00,1


1.4

Х

12

16

19

21

p

00,1

00,5

00,3

00,1


1.5

Х

25

27

30

32

p

00,2

00,4

00,3

00,1


1.6

Х

30

32

35

40

p

00,1

00,5

00,2

00,2


1.7

Х

12

14

16

20

p

00,1

00,2

00,5

00,2




1.8

Х

21

25

28

31

p

00,1

00,4

00,2

00,3


1.9

Х

18

22

23

26

p

00,2

00,3

00,4

00,1


1.10

Х

25

28

30

33

p

00,1

00,2

00,4

00,3


2. Рассчитать средний возраст студентов в группе из 20 человек:  

п\п

Возраст

(лет)

п\п

Возраст

(лет)

п\п

Возраст

(лет)

п\п

Возраст

(лет)

1

2

3

4

5

18

18

19

20

19

6

7

8

9

10

20

19

19

19

20

1

12

13

14

15

22

19

19

20

20

16

17

18

19

20

21

19

19

19

19


Практическая работа №6

Тема: Решение задач прикладного характера

Цель занятия: закрепить навыки применения численных методов при решении задач прикладного характера.

Умение и навыки, которые должны приобрести обучаемые на занятии: решать задачи по определению расхода сырья и выхода полуфабрикатов при обработке мяса, субпродуктов, птицы, дичи


1Нормы взаимозаменяемость продуктов.

Для решении задач с использованием таблицы № 36 «Нормы взаимозаменяемости продуктов при приготовлении блюд» необходимо:
1. В колонке № 2 Таблицы найти наименование
заменяемого продукта;
2. В колонке № 4 Таблицы найти наименование
заменяющего продукта, а рядом с ним в колонке № 5 эквивалентную массу заменяющего продукта;
3. Умножить вес заменяемого продукта в кг на эквивалентную массу.

Пример типового расчета:

Заменить 750 г сахара – песка на мёд.

Решение: сахар – песок 750 г - 0,750 кг
Для замены 1 кг сахара – песка необходимо 1,25 кг мёда
а для замены 0,750 кг сахара - песка необходимо Х кг мёда
0,750 х 1,25 : 1 = 0,938 кг мёда.
Ответ: 0,938 кг мёда.

Задача 1. Сколько нужно шпината-пюре консервированного, если для приготовления 200 порций борща зеленого украинского требуется 16.2 кг. шпината свежего?
Задача 2. Сколько нужно взять сушеных овощей, если для приготовления блюд требуется 25 кг свежей моркови и 10 кг. свежего лука ?
Задача 3. Цех овощных полуфабрикатов по заявкам столовых в сентябре ежедневно заготовлял и в среднем 6 т. очищенного сульфитированного картофеля , 1,5 т. очищенной моркови , 0,6 т. очищенного лука. Какое количество сушеных овощей потребуется для выполнения этой задачи?
Задача 4. Определить, сколько нужно сушеных овощей, если для приготовления блюд требуется 450 кг свежей капусты и 85 кг. свежей моркови?
Задача 5. Определите закладку сушеных овощей, если для приготовления блюд требуется 20 кг. свежей моркови , 18 кг. свежего лука ?
Задача 6. Определить, сколько порций грибов, запеченных в сметанном соусе, можно приготовить из 5 кг жареных белых грибов, нарезанных дольками? Заменить свежие белые грибы на шампиньоны свежие.
Задача 7. Сколько грибов требуется для приготовления 100 порций супа из овощей (вес 1 порции 250г), если на производство поступили свежие шампиньоны? А если поступили грибы белые сушеные?
Задача 8. Для приготовления 100 пирожков используют 300 г меланжа. Сколько необходимо яичного порошка для приготовления 600 пирожков?



2.Определение расхода сырья и выхода полуфабрикатов при обработке рыбы и нерыбных морепродуктов


Расход сырья и выход полуфабрикатов зависят от вида рыбы, ее размера и способа разделки. Эти данные приводятся в таблицах 27,29,30. Сборника рецептур. Для определения количества общих и пищевых отходов следует пользоваться таблицами 27 ,28.


Пример типового расчета:


Задача 1. Определить количество отходов при разделке 20 кг. карася речного мелкого на целый с головой.
Решение: В табл. 27 (колонка7) находим ,что при разделке карася речного мелкого с головой отходы составляют 26%. Находим процент от числа: Задача 2.Определить количество пищевых и непищевых отходов при разделке 25 кг. крупной щуки на филе с кожей без реберных костей.
Решение : В табл. 27 ( колонка 3) находим, что общие отходы составляют 54%. Количество общих отходов получается:



По табл. 28 определяем, что пищевые отходы составляют 30 % . Пищевых отходов получается


Пищевые отходы составят : 13,5- 7.5 = 6 кг.

Задача 3. Определить выход филе без кожи и костей при разделке 8кг. крупной щуки.

Решение: В табл.27 (колонка 3)находим, что при разделке крупной щуки на чистое филе отходы составляют 60%. Масса нетто составит:

100%- 60 % =40%

определяем выход филе щуки:

Задача 4. Заменить 40 кг мелкого жереха крупными экземплярами.

Решение. Независимо от размера рыбы масса нетто будет одинакова, поэтому определяем массу нетто при обработке 40 кг молотого жереха. В табл. 27. (колонка 7) находим, что отходы при обработке мелкого жереха составят 40%. Тогда масса нетто составит:

100% - 40% = 60%.

Определим массу нетто:



Масса нетто при разделке крупного жереха составит также 24 кг. Определяем массу брутто крупного жереха:

Х кг брутто – 100%

24 кг нетто – (100% - 34%)

= 36, 3 (кг)

Задача 5. Определите закладку мелкого судака для приготовления 30 порций рыбы отварной (выход 100г).

Решение. В табл. 27 (колонка 6) находим, что для выхода 100 г. Готового продукта надо взять 187 г. Судака мелкого, а на 30 порций:

178 х 30 = 5610 (г.)

Задача 6. Найти количество отходов при разделке 28 кг крупного осетра с головой на порционные куски без кожи и хрящей.

Решение: В табл. 30 (колонка 3) находим процент отходов при обработке крупного осетра с головой на порционные куски без кожи и хрящей. Он составит:

48% + 15% =63%

48- отходов при холодной обработке и ошпаривания звеньев с последующим удалением кожи ,15%- потери при ошпаривании кусков без кожи. Следовательно, количество отходов составит:

Задача 7. Сколько котлетной массы получить из 27 кг мелкого сома ? Сколько порций котлет можно из нее приготовить в заводской столовой?

Решение: В табл. 29 находим, что из 74 г. (колонка 12) сома можно получить 57 г. полуфабрикатов (колонка 19). В состав полуфабрикатов, кроме котлетной массы, входят 5 г. сухарей, следовательно, массы получится:

57 г. – 5 г. =52 г.

Из 74 г. сома получается 52 г. котлетной массы, а из 27 кг сома получается Х кг. котлетной массы :



На одну порцию идет 52 г. котлетной массы. Определяем количество котлет, которые можно приготовить: 18973 : 52 =365 (шт.)

Задача 8. Определить количество общих и пищевых отходов при обработке 30 кг налима речного соленого, разделанного на филе без кожи и костей. Задача 9. Определить количество общих отходов при разделке на гуляш 40кг. карпа среднего неразделанного.

Задача 10. Определить количество отходов при обработке 120 кг трески мелкой неразделанной.

Задача 11. Сколько получится отходов при обработке 30 кг крупной щуки при разделке на филе с кожей и реберными костями?
Задача12. Определить количество общих и пищевых отходов при обработке 50 кг мелкого окуня, поступившего с головой.
Задача 13. Найти количество отходов при разделке на порционные куски без кожи и хрящей 80 кг севрюги с головой.

Задача 14. Найти количество отходов при разделке на порционные куски без кожи и хрящей 100кг. крупного осетра с головой.
Задача 15. Определить количество общих и пищевых отходов при обработке 120 кг севрюги. Севрюгу разделывать на звенья с кожей и хрящами.
Задача 16. Найти количество отходов при разделке на порционные куски без кожи и хрящей 80 кг средней севрюги с головой.


3.Определение расхода сырья и выхода полуфабрикатов при обработке
мяса, субпродуктов, птицы, дичи и кроликов.


Нормы отходов при обработке мяса зависит от вида и категории упитанности мяса, у субпродуктов – от их вида и термического состояния , у птицы- от вида птицы , способа обработки и категории упитанности . Для определения выхода полуфабрикатов и расхода сырья при обработке мяса ,птицы и субпродуктов следует пользоваться таблицами 10-13, 18, 20-23, 25, 26 сборника рецептур. Нормы вложения массой брутто в рецептурах стандартное сырье следующих кондиций : говядина- 1 категории; баранина, козлятина (без ножек) – 1 категории; свинина – мясная; субпродукты (кроме вымени)- мороженые; вымя - охлажденное; сельскохозяйственная птица- полупотрошеная 1 категории (Сборник рецептур, с. 501-504, 517-524, 525-534, 538-539.

Пример типового расчета:

Задача 1. Сколько говядины 2 категории надо взять для приготовления 30 порций блюда «мясо отварное» (по 2-ой колонке сборник рецептур)?
Решение. Выход готового продукта на одну порцию составляет 75 г. (рецептура 368, стр. 504). Из табл. 15 находим, что говядина 2 категории для выхода 75 г. нужно взять 172 г. (колонка 4) а для 30 порций:

172 х 30= 5160 (г.)

Задача 2. Определите количество порций гуляша из 157 кг говядины 2 категории, учитывая кулинарное назначения частей туши. Гуляш приготовляется в кафе.
Решение: Пользуйся табл. 10 находим, что гуляш нарезают из лопаточной и подлопаточной части , мякоти грудинки. По табл. 12 определяем выход этих частей в процентах:

Лопаточная часть (2.2 + 2.6) - 4,8%

Подлопаточнаячасть - 1.7%

Грудинка (мякоть) - 2.5%
________________
9,0%

Определяем вес этих частей от общего количества мяса:

Задача 3. Определить массу нетто мяса, если на производство поступило
185 кг говядины 1 категории.
Решение : Из табл. 12 находим, что выход мякоти у говядины 1 категории составляет 73,6 % . Определяем массу нетто мяса:

Задача 4. Сколько порций котлет получится из 15 кг котлетной массы ( по 2-ой колонке сборника рецептур)?
Решение : Из рецептуры 658 находим, что выход полуфабриката- 93 г. В состав полуфабриката, кроме котлетной массы, входят сухари-8 г. значит, на одну порцию котлетной массы идет:

93 г – 8 г = 85 г.
Из 15 кг котлетной массы получится: 15000 : 85
= 176 (порций).

Задача 5. Определить количество пищевых и непищевых отходов , которое З

Решение: Из табл. 20 находим, что пищевые отходы кур полупотрошеных 1 категории составляют 17,4% + 3,9% = 21, 3%, а непищевые-8,8. Определяем

количество отходов:

Пищевых -

Непищевых -

Задача 6. Определите количество отходов при обработке 18 кг охлажденной говяжьей печени.
Решение: Из табл. 18 находим, что отходы при обработке охлажденной говяжьей печени составляют 7%. Определяем количество отходов:

Задача 7.Сколько надо взять мороженых свиных почек, чтобы получить 15,5 кг жареных?
Решение : Пользуясь табл. 18, находим , что из 202 Г. (колонка 3) мороженых свиных почек получается 100 г. (колонка 7) жареных, следовательно:

Из 202 г получается 100 г.

Из Х г получается 15500 г.



Задача 8. Определите количество отходов при обработке 256 кг. мясной свинины.
Задача 9. Определить выход котлетной массы из говядины 1 категории весом 430 кг.
Задача 10. Определите массу мяса нетто и количество отходов при разделке и обвалке говяжьей туши 1 категории весом 380 кг.
Задача 11.Определить количество отходов при обработке 120 кг баранины 1 категории и 80 кг баранины 2 категории.
Задача 12. Сколько говядины 1 и 2 категории надо взять для приготовления надо взять для приготовления 30 порций лангета с выходом 50 г.?
Задача 13. Определить массу мяса, пригодного для жарки, если вес говяжьей туши 2 категории 188 кг.
Задача 14. Произведена обвалка свиной туши весом 126 кг. Определить массу мяса для тушения.
Задача 15. Определить массу мяса, пригодного для жарки, если вес говяжьей туши 1 категории 372 кг.
Задача 16. Произведена обвалка свиной мясной туши весом 252 кг. Определить вес мяса для жарки.
Задача 17. В столовую 2 категории поступило 140 кг говядины 1категории. Сколько говядины духовой можно приготовить, учитывая кулинарное назначения частей?
Задача 18. Сколько котлет натуральных получится из корейки свинины мясной в ресторан? Вес свиной туши 178 кг.
Задача 19. Определите количество порций гуляша с выходом 50 г. из 107 кг. говядина 1 категории, учитывая кулинарное назначение частей.
Задача 20. Определить количество порций рагу (по 2-ой колонке сборника рецептур) из 124 кг баранины 2 категории.
Задача 21. Сколько эскалопов получится из корейки мясной свинины? Вес туши 178 кг.
Задача 22. Определить количество порций ромштексов, если на производства поступило 86 кг говядина 2 категории.
Задача 23. Сколько порций плова можно приготовить из 80 кг. баранины различной упитанности при выходе готового изделия 100 г. ?
Задача 24. Сколько эскалопов с выходом 85 г. можно получить из 130 кг. жирной и 120 кг мясной свинины?
Задача 25. Определить, сколько порций полуфабрикатов шашлыка с выходом 79 г. можно приготовить из баранины туши 2 категории весом 80 кг.
Задача 26. Определить, сколько порций полуфабрикатов антрекота с выходом 100г. можно приготовить из говяжьей туши 2 категории весом 155кг.
Задача 27. Определить, сколько можно получить полуфабриката поджарки из обрезной свинины туши весом 95 кг.
Задача 28. Определить количество порций шашлыка из окорока баранины 1 категории, если вес туши 64 кг.
Задача 29. Определить, сколько порций зраз отбивных можно приготовить из говяжьей туши 1 категории весом 320 кг в столовой 2 категории.
Задача30. Определить массу брутто и нетто курицы (по 2 – ой колонки Сборки рецептур) для приготовления 60 порции рагу.
Задача 31. Определить по Сбору рецептур закладку брутто и нетто кур полупотрошённых 1 и 2 категории для приготовления 10 кг варёной птицы целыми тушками.
Задача32. Найти закладку брутто и нетто для приготовления 40 порций блюда «Рагу из кролика» (по 2 – ой колонке Сборника рецептур)
Задача33. Сколько надо взять индеек полупотрошённых 2 категории для 40 порций блюда «индейка отварная».
Задача 34. Определить, сколько мякоти с кожей и костей получится из 28 кг цыплят – бройлеров полупотрошённых.
Задача 35. Сколько нужно взять рябчиков для получения 18 штук жаренных.
Задача36. Сколько порций блюда « Фазан в красном соусе эстрагон» можно приготовить в столовой 2 категории из 28 кг фазана.
Задача 37. Определить, закладку сырья для приготовления 40 порций блюда « Тетерев жаренный» в ресторане.
Задача 38. Определить, набор сырья для 30 порция блюда «Котлеты из филе дичи, фаршированном молочном соусе с грибами» если на производство поступили глухари.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Г.Мордкович Алгебра и начала математического анализа. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/А.Г.Мордкович.-11-е изд. –М.:Мнемозина,2010.-399с.

2. Сборник рецептур блюд и кулинарных изделий для предприятий общественного питания.- М.: ООО «Дом Славянской книги», 2013.-576с.

3. Е.М.Алексеев. Основы учета и калькуляции в предприятиях общественного питания: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования/ Е.М.Алексеев.- М, «Экономика», 2013.- 200с.

4. И.И.Потапова. Калькуляция и учет: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования /И.И.Потапова. 6-е издание, - М.: Издательский центр «Академия», 2010.- 160с.





































ПРИЛОЖЕНИЯ

hello_html_m6a151004.gif

Таблица интегралов

hello_html_m47e0c584.png   гдеhello_html_6adb9064.png

hello_html_m11c63873.png

hello_html_77eeedc3.png

hello_html_7f9d5b10.png

hello_html_m1923e7fc.png

hello_html_4f8a7568.png

hello_html_3f7b61fb.png

hello_html_m3d35a8da.png

hello_html_703fa74a.png

hello_html_m7d484772.png














45

Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.