Методические рекомендации по выполнению практических работ. 2 курс СПО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БРАТСКИЙ ЦЕЛЛЮЛОЗНО-БУМАЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Специальность 140102

«Теплоснабжение и теплотехническое оборудование»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ

по дисциплине «Математика»

Братск 2014г

Составила (разработала)

Шевчук И.Н., преподаватель кафедры физико-математических и социально-гуманитарных дисциплин

Рассмотрено на заседании кафедры физико-математических и социально-гуманитарных дисциплин

«___________________20___г. _______________________

(Подпись зав. кафедрой)

Одобрено и утверждено редакционно-издательским советом

____________________

_{(Подпись председателя РС)}

«____» ________________20___г. № _______________________

Содержание

Введение………………………………………………………………………….. 5

1 Элементы линейной алгебры…………………………………………………..6

1.1 Матрицы и определители. Операции над матрицами. Определители, миноры, алгебраические дополнения. Обратная матрица…………………..6

1.2 Системы линейных уравнений, методы их решения: правило Крамера, метод исключения неизвестных – метод Гаусса, матричный метод………10

1.3 Задания к практической работе№1……………………………………...12 1.4 Задания к практической работе №2……………………………………..15

2 Основы математического анализа……………………………………………19

2.1Теория пределов…………………………………………………………...19

2.2 Непрерывность функций…………………………………………………20

2.3 Задания к практической работе№3……………………………………...21

3 Основы дифференциального исчисления…………………...........................25

3.1 Понятие производной. Правила и формулы дифференцирования.

Производная сложной функции……………………………………………...25

3.2 Правило Лопиталя для вычисления пределов. Дифференциал функции………………………………………………………………………..29

3.3 Применение производной к исследованию функций и построению графиков ………………………………………………………………………30

3.4 Задания к практической работе №4……………………………………..34

3.5 Задания к практической работе №5……………………………….........39

4 Основы интегрального исчисления………………………………………….41

4.1 Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его

свойства. Основные табличные интегралы. Интегрирование функций….41

4.2 Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Вычисление определенных интегралов …………………………………….48

4.3 Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур…………………………………………………………………50

4.4 Задания к практической работе №6 ……………………………………53

4.5 Задания к практической работе №7 …………………………………...56

5 Основы теории вероятностей и математической статистики……......................................................................................................58

5.1 Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания…...58

5.2 События и их виды. Операции над событиями………………………....60

5.3 Вычисление вероятностей простых и сложных событий………………63

5.4 Задания к практической работе № 8……………………………………66

5.5 Дискретные случайные величины ( ДСВ). Законы распределения ДСВ. Числовые характеристики ДСВ…………………………………...................68

5.6 Элементы математической статистики…………………………….........71

5.7 Задания к практической работе № 9……………………………….........78

6 Основы теории комплексных чисел………………………………………….80

6.1 Определение комплексного числа в алгебраической форме, действия с комплексными числами………………………………………………………80

6.2 Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Решение алгебраических уравнений…………………………………………………...82

6.3 Задания к практической работе №10………………………… ………...86

Заключение …………………………………………............................................88

Список использованных источников…………………………………………...89

Введение

Данное методическое пособие содержит лекционный материал курса «Математика» для студентов второго курса очного факультета, а также дидактический материал по десяти практическим работам.

В пособии особое внимание уделяется практическим задачам таких разделов математики как, «Элементы линейной алгебры», «Основы дифференциального исчисления», «Основы интегрального исчисления» и «Основы теории вероятностей и математической статистики».

Методическое пособие поможет студентам восполнить пробелы в знаниях, а преподавателям подготовиться к занятиям.

Раздел 1 Элементы линейной алгебры

1.1 Матрицы и определители. Операции над матрицами. Определители, миноры, алгебраические дополнения. Обратная матрица

Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.

a_ij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.

Основные виды матрицы:

• квадратная (это матрица с равным числом столбцов и строк);

• транспонированная (можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A размера при этом преобразовании станет матрицей A^T размерностью );

• единичная (квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные равны нулю)

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

• сложение матриц, имеющих один и тот же размер;

• умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк);

• в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы).

Рассмотрим операции над матрицами более подробно.

1. Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

2. Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

3. Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго (умножение строки на столбец).

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , матрица B — , то размерность их произведения AB = C есть .

Пример 1: Найти А+2В, если , .

Решение:

Пример 2: Найти, если ,

Решение:

Пример 3: Решить матричное уравнение: ,

,

Решение: , ,

Определение: Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или ΔA.

Формула для вычисление определителя второго порядка:

, (1)

Формулы для вычисление определителя третьего порядка:

а) разложение по элементам первой строке:

(2)

= a₁₁a₂₂a₃₃ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ ,

б) по правилу звездочки (или Саррюса)

Основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен нулю.

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на —1.

Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Определение 8. Минором, соответствующим данному элементу a_ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a_ij будем обозначать M_ij.

Пример 4: минором M₁₂, соответствующим элементу a₁₂, будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор M_ij, умноженный на (–1)^i+j. Алгебраическое дополнение элемента a_ij обозначается A_ij.

Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A_ij = (–1)^i+jM_ij.

Например,

Пример 5: Дан определитель . Найти A₁₃, A₂₁, A₃₂.

Решение:

Определение. Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел). Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

1. Найти определитель матрицы A.

2. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице.

3. Найти алгебраические дополнения A_ij всех элементов матрицы A^Т и составить матрицу, элементами которой являются числа A_ij.

4. Умножить матрицу, полученную в пункте 3 на

Пример 6: Найти обратную матрицу А^-1, если и выполнить проверку.

Решение:

, , аналогично , , , , , , ,

, . Для проверки используется формула: , где .

1.2 Решение систем линейных уравнений

Дана система:

1. Метод Гаусса. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы, и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

• перестановка строк или столбцов;

• умножение строки на число, отличное от нуля;

• прибавление к одной строке другие строки.

2. Матричный метод. Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов:

, получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B

Пример 7: Решить систему методом Гаусса.

решая систему с конца, получим z=1, y=1, x=1

Пример 8: Решить систему методом обратной матрицы

1.3 Задания к практической работе №1

Даны две матрицы А и В. Найти: А∙В; А^-1; А∙А^-1;

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

5 вариант

6 вариант

7 вариант

8 вариант

9 вариант

10 вариант

1.4 Задания к практической работе №2

1 вариант

1. Решить систему по формулам Крамера:

;

2.Решить систему матричным методом:

;

3. Решить систему методом Гаусса:

2 вариант

1. Решить систему по формулам Крамера:

;

2.Решить систему матричным методом:

;

3. Решить систему методом Гаусса:

3 вариант

1. Решить систему по формулам Крамера:

;

2.Решить систему матричным методом:

;

3. Решить систему методом Гаусса:

4 вариант

1. Решить систему по формулам Крамера:

;

2.Решить систему матричным методом:

;

3. Решить систему методом Гаусса:

5 вариант

1. Решить систему по формулам Крамера:

;

2.Решить систему матричным методом:

;

3. Решить систему методом Гаусса:

6 вариант

1. Решить систему по формулам Крамера:

;

2.Решить систему матричным методом:

;

3. Решить систему методом Гаусса:

7 вариант

1. Решить систему по формулам Крамера:

;

2.Решить систему матричным методом:

;

3. Решить систему методом Гаусса:

8 вариант

1. Решить систему по формулам Крамера:

;

2.Решить систему матричным методом:

;

3. Решить систему методом Гаусса:

9 вариант

1. Решить систему по формулам Крамера:

;

2.Решить систему матричным методом:

;

3. Решить систему методом Гаусса:

10 вариант

1. Решить систему по формулам Крамера:

;

2.Решить систему матричным методом:

;

3. Решить систему методом Гаусса:

Раздел 2.Основы математического анализа

2.1Теория пределов

Число b называется пределом функции f(x) при xa (читается: «при х, стремящемся к а»), если, по мере того как х приближается к а – будь то справа или слева, - значение f(x) неограниченно приближается к b.

Запись:

Примеры:

Основные теоремы о пределах

1. = - + ;

2. = ∙ ∙ ;

3. = ; если ≠0;

4. ;

5. = e (e ≈ 2,71828);

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

2.2 Непрерывность функций

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ если эта функция определена в некоторой окрестности точки х₀ и существует предел , равный .

Если при каком-либо значении х₀ не выполняются указанные условия, то точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x).

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она непрерывна в этом промежутке.

Различают точки разрыва I и II рода. Точка х₀ называется точкой разрыва I рода, если для нее существуют конечные пределы

и они не равны между собой. Все остальные точки разрыва носят название точек разрыва II рода.

Если =, то точка разрыва х₀ называется устранимой.

Если выполняется равенство, то говорят, что функция непрерывна слева в точке х₀. Аналогично, если, то функция непрерывна справа в точке х₀.

2.3 Задания к практической работе №3

Вариант 1

Найти пределы:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Вариант 2

Найти пределы:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Вариант 3

Найти пределы:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Вариант 4

Найти пределы:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Вариант 5

Найти пределы:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Вариант 6

Найти пределы:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Вариант 7

Найти пределы:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Вариант 8

Найти пределы:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Вариант 9

Найти пределы:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Вариант 10

Найти пределы:

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Раздел 3. Основы дифференциального исчисления

3.1 Понятие производной. Правила и формулы дифференцирования. Производная сложной функции

Рассмотрим задачу: Точка движется по параболе неравномерно. Дана парабола и два промежутка (1; 2) и (3; 4). Найти скорость движения точки по параболе в указанных промежутках.

Решение:

- средняя скорость движения точки на указанном промежутке.

Найдем среднюю скорость движения точки на первом промежутке. Рассмотрим рисунок 1. Здесь и . Подставив

эти значения в функцию , получим и . Тогда .

Аналогично при и находим и . Тогда .

Рисунок1 - Движение точки по параболе

Чем меньше промежуток, тем точнее средняя скорость выражает действительную скорость движения точки по параболе.

Значение скорости движения точки в общем виде выражают формулой: - производная функции , (3)

Создатели: Лейбниц, Ньютон, Эйлер.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Дифференцирование – это операция нахождения производной функции.

Пример: Найти производную функции по определению.

Решение: Будем искать производную по определению

Получаем следующее выражение:

.

Дифференцирование состоит из двух этапов:

• применение правил дифференцирования;

• применение формул дифференцирования.

Правила и формулы дифференцирования.

С – const; u, v – функции

1.

2. –для конечного числа слагаемых

3.

4.

_{Таблица 1 - Таблица производных}

;

10.

15.

11.

16.

12.

17.

Примеры:

1)

Применяем правило: , получим:, т.к. _;

2)

Применяем правило: , получим: , т.к. _;

3)

Применяем правило: , получим: , т.к. _;

4)

Применяем правило: , получим: , т.к. _;

5)

Применяем правило: , получим: , т.к. _;

Аналогично:

6), получим: _;

7)

По формуле , получим: _;

Аналогично:

8) , получим: _;

9) , получим: _;

10)

По правилу , получим: _;

11)

Применяем правило: , получим:

_;

12)

Применяем правило: , получим:

_;

Решите самостоятельно:

а)_;

б) (по правилу умножения и по правилу частного)

Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция y=g(u), где u=f(x).

Теорема 1. Если функция u=f(x) дифференцируема в некоторой точке x, а функция y=g(u) определена на множестве значений функции f(x) и дифференцируема в точке u=f(x), то сложная функция y=g(f(x)) в данной точке x имеет производную, которая находится по формуле

или , (4)

Примеры:

1) Найти производную функции

Данная функция является сложной степенной функцией y= u⁹ , где

u = . Поэтому получим:

2) Найти производную функции

Эта функция также является сложной степенной функцией, а именно

, где u=. Поэтому

3.2 Производные высших порядков. Правило Лопиталя для вычисления пределов

Пусть есть производная от функции f(x), тогда производная от функции называется второй производной от функции f(x) и обозначается .

Вторая производная называется также производной второго порядка. В отличие от нее функцию называют производной первого порядка, или первой производной.

Производная от второй производной называется третьей производной функции f(x) (или производной третьего порядка); она обозначается .

Таким же образом определяются производные четвертого порядка, пятого порядка и т.д.

Пример. Найти последовательные производные от функции f(x)=х⁴.

Решение. =4х³, =12х², =24х, =24, =0.

Правило Лопиталя

Для разыскания предела отношения двух функций, бесконечно малых при х→a (или при х→∞), можно рассматривать отношение их производных. Если оно стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к тому же пределу стремится и отношение.

Примеры.

1) Найти = =

2) Найти

3.3 Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Признаки возрастания и убывания функции

Теорема. Если производная функции y=f(x) в данном промежутке значений x положительна, то функция возрастает в этом промежутке, а если отрицательна, то функция убывает.

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает,- промежутками монотонности.

Максимум и минимум функции

Значения аргумента, при которых значения функции являются наибольшими или наименьшими, называются соответственно точками максимума или минимума функции, а значение функции при этих значениях аргумента – максимумом или минимумом (или экстремумами) ее.

Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то функция имеет в точке экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция в точке не имеет экстремума.

Наименьшее и наибольшее значения функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1) найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

2)найти значения функции на концах промежутка;

3)сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

Выпуклость и вогнутость кривой и точки перегиба

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке > 0, то кривая выпукла вниз (или вогнута) в этом промежутке; если же < 0, то кривая выпукла вверх (или выпукла) в этом промежутке.

Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определения функции y=f(x), в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то график функции имеет точку перегиба ().

Примеры:

1) Найти промежутки монотонности функции f(x)=x²-8x+12

Решение. Находим производную: ; имеем

2x-8=0

x=4

Последующие рассуждения представим в таблице 2.

Таблица 2- Нахождение промежутков монотонности

x

-∞<x<4

4

4

f´(x)

_

0

+

f(x)

↘

↗

Таким образом, данная функция в промежутке -∞<x<4 убывает, а в промежутке 4<x<∞ возрастает.

2) Исследовать на экстремум функцию f(x)=-x²+5x+6

Решение. Находим производную:

-2x+5=0

x=2,5

Составим таблицу 3.

Таблица 3 - Нахождение экстремумов функции

x

-∞

2,5

2,5

f´(x)

+

0

-

f(x)

↗

F_max=f(2,5)=0,25

↘

Графиком функции f(x)=-x²+5x+6 служит парабола, изображенная на рис. 2.

y

A (2,5;0,25)

0 x

Рисунок 2 - График функции f(x)=-x²+5x+6

3) Найти наименьшее и наибольшее значения функции f(x)=x²-4x+3 в промежутке 0≤ х≤3

Решение.

f ′(x)=2x-4

2x-4=0

x=2 – критическая точка. Находим f(2)=-1;далее вычисляем значения функции на концах промежутка: f(0)=3, f(3)=0.

Итак, наименьшее значение функции равно -1 и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка (рис.3).

Рисунок 3 - График функции f(x)=x²-4x+3

4) Найти промежутки выпуклости кривой f(x)=x⁴-2x³+6x-4.

Решение. Находим

f ′(x)=4x³-6x²+6

f ′′(x)=12x²-12x=12x(x-1). Очевидно, что в промежутках -∞<х<0 и 1<х<∞ выполняется неравенство f ′′(x)>0,т.е. в этих промежутках кривая выпукла вниз, а в промежутке 0<х<1 имеет место неравенство f ′′(x)<0, т.е. в этом промежутке кривая выпукла вверх.

5) Найти точки перегиба кривой f(x)=6х²-х³

Решение. Находим

f ′(x)=12х-3х²

f ′′(x)=12-6х.

Полагая, что f ′′(x)=0, получим единственную критическую точку х=2.Так как в промежутке -∞<х<2 имеем f ′′(x)>0, а в промежутке 2<х<∞ имеем f ′′(x)<0, то при х=2 кривая имеет точку перегиба. Найдем ординату этой точки: f(2)=16. Итак, (2;16) – точка перегиба.

3.4 Задания к практической работе № 4

1 вариант

1. Найти производную следующих функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Найти производные высших порядков

1. , если y =3x²+2x-1

2. ,если у = (х+3)⁴

3. ,если у = 3

3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя

2 вариант

1. Найти производную следующих функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Найти производные высших порядков

1. , если y =

2. ,если у =

3. ,если у =

3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя

3 вариант

1. Найти производную следующих функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Найти производные высших порядков

1. , если y =

2. ,если у = ( 4x²+3x+1)³

3. ,если у =

3.Найти предел функции, используя правило Лопиталя

4 вариант

1. Найти производную следующих функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Найти производные высших порядков

1. , если y =

2. ,если у =

3. ,если у =

3.Найти предел функции, используя правило Лопиталя

5 вариант

1. Найти производную следующих функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Найти производные высших порядков

1. , если y =

2. ,если у =

3. ,если у =

3.Найти предел функции, используя правило Лопиталя

6 вариант

1. Найти производную следующих функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Найти производные высших порядков

1. , если y =3x²+2x-1

2. ,если у = (х+3)⁴

3. ,если у = 3

3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя

7 вариант

1. Найти производную следующих функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Найти производные высших порядков

1. , если y =

2. ,если у =

3. ,если у =

3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя

8 вариант

1. Найти производную следующих функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Найти производные высших порядков

1. , если y =

2. ,если у = ( 4x²+3x+1)³

3. ,если у =

3.Найти предел функции, используя правило Лопиталя

4. )

9 вариант

1. Найти производную следующих функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Найти производные высших порядков

1. , если y =

2. ,если у =

3. ,если у =

3.Найти предел функции, используя правило Лопиталя

10 вариант

1. Найти производную следующих функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2. Найти производные высших порядков

1. , если y =

2. ,если у =

3. ,если у =

3.Найти предел функции, используя правило Лопиталя

3.5 Задания к практической работе № 5

Исследовать функцию и построить график:

1 вариант

1) ;

2)

2 вариант

1)

2)

3 вариант

1) ;

2)

4 вариант

1)

2)

5 вариант

1) ;

2)

6 вариант

1) ;

2)

7 вариант

1) ;

2)

8 вариант

1) ;

2)

9 вариант

1) ;

2)

10 вариант

1)

2)

Раздел 4. Основы интегрального исчисления

4.1 Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его

свойства. Основные табличные интегралы. Интегрирование функций

Определение: Функция называется первообразной для функции на промежутке , если в любой точке этого промежутка её производная равна :

Отыскание первообразной функции по заданной её производной или по дифференциалу есть действие, обратное дифференцированию – интегрирование.

Пример: Дана функция . Её первообразная , т.к. . Очевидно, что первообразными будут также любые функции , т.к. и .

Совокупность всех первообразных для функции или для дифференциала называется неопределенным интегралом и обозначается:

, (5)

где - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Постоянный множитель выносится за знак интеграла:

.

2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций

.

Для вычисления интегралов используют таблицу интегрирования элементарных функций

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Непосредственное интегрирование

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)

Найти неопределенные интегралы.

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Формула интегрирования по частям имеет вид:

4.2 Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Вычисление определенных интегралов

Рисунок 4 - Функция y=f(x), графиком которой является произвольная кривая

Рассмотрим функцию y=f(x), графиком которой является произвольная кривая (рис.3 ). Она определена и непрерывна на . Разобьем на n одинаковых отрезков. Фигуру АВСД назовем криволинейной трапецией. При указанном построении трапеция разбилась на несколько фигур, называемых также криволинейными трапециями. Представим их прямоугольниками: возьмем i- отрезок, тогда длина данного прямоугольника . Выберем произвольную точку и вычислим значение функции - ширина прямоугольника. Для вычисления площади прямоугольника нужно найти произведение его длины на ширину: . Тогда площадь все прямоугольников криволинейной трапеции равна: - интегральная сумма.

Определение: Если предел существует и не зависит от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой на , а такой предел называется определенным интегралом от функции f(x) на и обозначается:

- определенный интеграл, где a и b – нижний и верхний пределы интегрирования соответственно.

Основные свойства определенного интеграла.

1. Интеграл не зависит от обозначения переменной:

Примеры:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

4.3 Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью Ох и двумя прямыми х = а и х = в, где а≤ х≤ в, f(x)≥0 (рис.5)

Рисунок 5 - Криволинейная трапеция

Так как дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой f(x), т.е. dS=f(x)dx, то, интегрируя это равенство в пределах от а до в, получим

Если криволинейная трапеция прилегает к оси Oy так, что c≤y≤d, x=φ(y)≥0 (рис.6),

Рисунок 6 - Криволинейная трапеция прилегает к оси Oy

то дифференциал переменной площади S равен dS=f(y)dy, откуда

, (6)

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = в, лежит под осью Ох (рис.7),

Рисунок 7 - Криволинейная трапеция лежит под осью Ох

площадь находится по формуле

, (7)

Если фигура, ограниченная кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = в, расположена по обе стороны от оси Ох (рис.8),

Рисунок 8 - Криволинейная трапеция расположена по обе стороны от оси Ох

то

, (8)

Пусть, наконец, фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x) и прямыми х = а и х = в, где a≤x≤b и f₁(x)≤ f₂(x) (рис.9).

Рисунок 9 - Фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x)

Тогда ее площадь находится по формуле

, (9)

4.4 Задания к практической работе №6

Найти интегралы.

Вариант 1

1. 2.(

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Вариант 2

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Вариант 3

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Вариант 4

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Вариант 5

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Вариант 6

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Вариант 7

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7 8.

9. 10.

Вариант 8

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Вариант 9

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Вариант 10

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

4.5 Задания к практической работе №7

Вычислить интегралы:

1 вариант

а) б) в) dx

г) д) е)

2 вариант

а) б) в)

г) д) е) dx

3 вариант

а) б) в) dx

г) д) е)

4 вариант

а) б) в)

г) д) е)

5 вариант

а)dx б) в)

г) д) е)

6 вариант

а) б) в)

г) д) е)

7 вариант

а) б) в) dx

г) д) е)

8 вариант

а) б) в)

г) д) е) dx

9 вариант

а) б) в) dx

г) д) е)

10 вариант

а) б) в)

г) д) е)

Раздел 5. Основы теории вероятностей и математической статистики

5.1 Элементы комбинаторики: размещения, перестановки,

сочетания

Основная задача комбинаторики – пересчет и перечисление элементов в конечных множествах.

Если нас интересует, сколько элементов принадлежащих данному конечному множеству обладают некоторым свойством, то это задача пересчета.

Если необходимо выделить все элементы множества, обладающие заданными свойствами, то это задача перечисления.

Рассмотрим следующие элементы комбинаторики, позволяющие решать вышеупомянутые задачи. К таким объектам относятся:

1. перестановки (с повторением и без них);

2. размещения (с повторением и без них);

3. сочетания (с повторением и без них);

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается

(без повторений), (10)

Перестановки с повторениями вычисляются по формуле:

, (11)

где - число повторений элементов каждого вида.

Пример 39. Определим, сколько различных слов можно составить из слова «литература».

В слове «литература» п₁=1 буква «л», п₂=1 буква «и», п₃=2 буквы «т», п₄=1 буква «е», п₅=2 буквы «р», п₆=2 буквы «а», п₇=1 буква «у».

Тогда из слова «литература» можно составить Р(п₁,п₂,п₃,п₄,п₅,п₆,п₇)= различных слов.

Сочетанием называются такие комбинации элементов, которые отличаются между собой в каждой группе только самими элементами (но не порядком их расположения в группе).

(без повторения) , (12)

(с повторением) , (13)

Пример 40. В почтовом отделении продаются открытки п=5 видов. Определим число способов покупки т=7 открыток.

Число способов покупки открыток равно числу сочетаний с повторениями из п=5 элементов по т=7 элементов и равно .

Размещением называются такие комбинации элементов, которые отличаются между собой или самими элементами или порядком их расположения в группе.

(без повторения) , (14)

(с повторением) , (15)

Пример 41. Определим, сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 3,5,6,7,8.

Составление четырехзначных чисел из пяти цифр – размещение из п=5 элементов по т=4 элемента с повторениями. Тогда всего можно составить чисел.

5.2 События и их виды. Операции над событиями

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

К понятию «вероятность» существует несколько подходов.

Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим множество W всех возможных исходов опыта; каждый его элемент будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Ω: .

Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.

События A_k (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

При преобразовании выражений можно пользоваться следующими тождествами:

.

  Примеры:

1. Пусть испытание - бросание кубика. Событие А - выпадение четного количества очков, В - нечетного, С - выпадение очков менее 4-х. Тогда событие А+В- выпадение четного или нечетного количества очков, т.к. эти события несовместны; событие C+В(совместные события)- выпадение нечетных очков или выпадение очков менее 4-х, или одновременное наступление событий C и В - выпадение 3-х или одного очка.

2. Испытание - бросание кубика. События: А - выпадение четного количества очков, В - выпадение очков, кратных трем. Тогда событие АВ - выпадение шести очков.

Используя операции сложения и умножения событий можно сложное событие разложить на более простые и наоборот.

3. Пусть некоторый прибор состоит из трех независимо работающих элементов. Испытание -работа элементов прибора в течении некоторого отрезка времени. Обозначим события: А₁- поломка первого элемента в течение указанного времени, А₂- поломка второго, А₃- поломка третьего. Рассмотрим противоположные им события : _{А1, А2, А3} - бесперебойная работа соответственно первого, второго и третьего элементов. Записать с помощью операций событие: а) только второй элемент выйдет из стоя за время работы; б) только один элемент выйдет из строя; в) какие-либо два элемента выйдут из строя; г) все элементы выйдут из строя; д) ни один элемент не выйдет из строя; е) хотя бы один элемент выйдет из строя.

Решение: а) Это событие означает совместное наступление трех событий: _А1 -бесперебойная работа первого элемента и А₂ -поломка второго и - _А3 работа третьего. Этому событию соответствует выражение - _{А1А2 А3}

б) Это событие означает поломку или первого, или второго , или третьего. Поломка первого-_{А1А2 А3} ; поломка второго-_{А1А2 А3} ; поломка третьего- _{А1А2 А3} Событие- только один элемент выйдет из строя- это сумма описанных событий, являющихся несовместными, ему соответствует выражение

_{А1А2 А3+А1А2 А3+А1А2 А3.}

в) Это событие можно представить как сумму несовместных событий : произошла поломка первого и второго, а третий - работает _{А1А2 А3} ; поломка первого и третьего и работа второго _{А1А2 А3} ; поломка второго и третьего и работа первого _{А1А2 А3} . Искомое событие - _{А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3.}

г) Это совместное наступление событий - поломка первого и второго и третьего, а значит их произведение : А₁А₂А₃;

д) Это совместное наступление событий - работа первого и второго и третьего, а значит их произведение           _{А1А2 А3.}

е) Это событие означает поломку или одного, или двух, или всех трех элементов. Этому событию соответствует выражение: А₁+А₂+А₃ или _{А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3+ А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3+}А₁А₂А₃. Но это событие является противоположным событию - ни один элемент не выйдет из строя, тогда его можно записать в виде:

5.3 Вычисление вероятностей простых и сложных событий

Вероятность события

В повседневной жизни в разговоре часто используется слово "вероятный". Например, " завтра, вероятно, пойдет дождь", "вероятнее всего команда выиграет матч" и т.д. При употреблении этого слова интуитивно оценивают возможность того или иного события. При такой оценке помогает здравый смысл и жизненный опыт. Но встречаются события, сравнить или оценить возможность наступления которых, основываясь на чисто интуитивных соображениях, трудно. Например, события - герб появился три раза при пятикратном бросании монеты, или появилась цифра. У монеты две стороны, появление герба и цифры - равновозможные события. Поэтому заранее с большей уверенностью сказать какое же событие вероятнее трудно. Поэтому необходима некоторая оценка события. Такой оценкой является вероятность.

Определение: Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления.

Таким образом, каждому событию в соответствие ставится число - его вероятность. Пусть имеется, полня группа событий попарно несовместных и равновозможных. Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов (элементарных событий), благоприятствующих наступлению события А к общему числу исходов испытания. Если N общее число исходов испытания, а М число благоприятствующих исходов, то вероятность события А равна

, (16)

Эта формула называется классической формулой вероятности.

Примеры:

Пример1. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8?

Подсчитаем сначала общее количество исходов: каждый из двух кубиков может упасть любой из шести граней. Бросание кубиков осуществляем последовательно, тогда по правилу умножения всего возможных исходов 36. Перечислим благоприятствующие нашему событию исходы. Составим таблицу 5: 

Таблица 4 - Благоприятствующие событию исходы

2

3

4

5

6

Число очков на 2-ом кубике

6

5

4

3

2

Сумма очков

8

8

8

8

8

  Всего благоприятствующих исходов пять. По классической формуле получаем, что вероятность события равна Р=5/36 _~ 0,14.

Пример 2. В урне 7 белых и 5 черных шаров. Наудачу вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что: а) все шары белые; б) два черных и один белый.

Общее количество исходов это количество сочетаний из 7+5=12 по 3:

Количество благоприятствующих исходов для события -все шары белые- это число сочетаний из 7 по 3:  

Тогда вероятность этого события равна Р=35/220 _~ 0,16.

Количество благоприятствующих исходов для события - два черных и один белый: первое действие - выбор черных шаров, можно выполнить _С7² способами, второе действие - выбор одного черного шара можно выполнить 5 способами. По правилу умножения количество благоприятствующих исходов равно

Тогда вероятность этого события рвана Р=105/220 _~ 0,48.

Рассмотрим свойства вероятности:

1.      Вероятность достоверного события равна 1. Действительно, если событие достоверное, то любой исход является благоприятствующим , тогда N=M, а значит Р=1.

2.      Вероятность невозможного события равна 0 . Действительно, любой исход не будет благоприятствующим, т.е. М=0, тогда Р=0/N=0.

3.      Вероятность события А удовлетворяет неравенству 

Достоинством классического определения вероятности является возможность вычислить вероятность события непосредственно, т.е. не прибегая к опытам, их заменяют логическими рассуждениями.

5.4 Задания к практической работе №8

1. Найти среди событий А_i достоверные и невозможные:

А₁ – «появление 10 очков при бросании игральной кости»;

А₂ – «появление 10 очков при бросании трех игральных костей»;

А₃ – «появление 20 очков при бросании трех игральных костей»;

А₄ – «наугад выбранное двузначное число не больше 100»;

А₅ – «появление двух гербов при бросании двух монет».

2. Являются ли несовместными события А₁ и А₂:

1) испытание – бросание монеты; события: А₁ – «появление герба», А₂ – «появление цифры»;

2) испытание – бросание игральной кости; события: А₁ – «появление трех очков», А₂ – «появление нечетного числа очков»;

3) испытание – бросание двух монет; события: А₁ – «появление герба на одной из монет», А₂ – «появление герба на второй монете»?

3. Являются ли равновозможными события А₁ и А₂:

1) испытание – бросание игральной кости; события: А₁ – «появление двух очков», А₂ – «появление пяти очков»;

2) испытание – бросание игральной кости; события: А₁ – «появление двух очков», А₂ – «появление четного числа очков»;

3) испытание – два выстрела по мишени, события: А₁- «промах при первом выстреле», А₂ – «промах при втором выстреле»?

4. Найти сумму событий:

1) испытание – два выстрела по мишени, события: А- «попадание с первого выстрела», В – «попадание со второго выстрела»;

2) испытание – бросание игральной кости; события: А – «появление одного очка», В – «появление двух очков», С – «появление трех очков»;

3) испытание – приобретение лотерейных билетов; события: А – «выигрыш 10 рублей», В – «выигрыш 20 рублей», С – «выигрыш 25 рублей».

5. Найти произведение событий:

1) испытание – два выстрела по мишени, события: А - «попадание первым выстрелом», В – «попадание вторым выстрелом»;

2) испытание – бросание игральной кости; события: А – «непоявление трех очков», В – «непоявление пяти очков», С – «непоявление нечетного числа очков».

6. Назовите противоположные события для событий:

А – «выпадение двух гербов при бросании двух монет»;

В – «появление белого шара», если опыт состоит в извлечении одного шара из урны, в которой имеются белые, черные и красные шары;

С – «пять попаданий при пяти выстрелах»;

D – «не более трех попаданий при пяти выстрелах»;

Е – «хотя бы одно попадание при пяти выстрелах».

7. В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

8. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

9. Из колоды в 52 карты наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 дамы.

Игральный кубик бросают дважды. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 4.

10.На карточке спортлото написаны числа от 1 до 49. Какова вероятность того, что наугад зачеркнутое число на этой карточке кратно 6?

11. Выбирают наугад число от 1 до 100. Определить вероятность того, что в этом числе не окажется цифры 3.

12. Определить вероятность того, что квадрат наудачу взятого двузначного числа оканчивается единицей.

13. На десяти одинаковых карточках написаны различные цифры от 0 до 9. Определить вероятность того, что образованное с помощью данных карточек двузначное число делится на 5.

14. На карточках написаны буквы А, Б, В, Г. Наугад берут две карточки. Определить вероятность того, что буквы, написанные на этих карточках, будут соседними по алфавиту.

15. Определить вероятность того, что взятое наудачу трехзначное число делится на пять.

16. В кармане 3 пятикопеечные монеты и 7 десятикопеечных монет. Наугад берется одна за другой две монеты. Вторая оказалась десятикопеечной. Определить вероятность того, что и первая десятикопеечная.

5.5 Дискретные случайные величины ( ДСВ). Законы распределения ДСВ. Числовые характеристики ДСВ

Случайной величиной называют такую переменную величину, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел.

Случайная величина Х называется дискретной, если результаты наблюдений представляют собой конечный или счетный набор возможных чисел.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соотношение, устанавливающее связь между отдельными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Соответствие между возможными значениями x₁, x₂,…,x_n случайной величины Х и их вероятностями p₁, p₂,…,p_n называется законом распределения случайной величины Х.

Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы:

Таблица 5 - Закон распределения случайной величины

x₁

x₂

…

x_i

…

x_n

Р

p₁

p₂

…

p_i

…

p_n

Сумма вероятностей равна единице, т.е. p₁+ p₂+…+p_n=1.

Биномиальное распределение. Пусть случайная величина Х- число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p, а непоявления – q=1-p. Очевидно, что Х может принимать значения 0,1,2,…,n, вероятности которых определяются по формуле Бернулли:

, m=1,2,3…n, (17)

Закон распределения случайной величины Х, имеющий вид (табл.6):

Таблица 6 - Биномиальное распределение случайной величины Х.

0

1

2

…

m

…

n

Р

называется биномиальным распределением.

Пример.

Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.

Решение. Случайная величина Х – число попаданий в цель при четырех выстрелах – может принимать значения 0,1,2,3,4, а соответствующие им вероятности находим по формуле Бернулли:

Итак, искомый закон распределения имеет вид (табл.7):

Таблица7 - Закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах

0

1

2

3

4

Р

0,0001

0,0036

0,0486

0,2916

0,6561

Математическое ожидание. Среди числовых характеристик ДСВ весьма важной является математическое ожидание, которое указывает, какое среднее значение случайной величины следует ожидать в результате испытаний или наблюдений.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

M(X)= , (18)

Пример.

Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон распределения (табл.8):

-1

0

1

2

3

Р

0,2

0,1

0,25

0,15

0,3

Таблица 8 - Закон распределения ДСВ

По формуле находим

М(Х)=-1∙0,2+0∙0,1+1∙0,25+2∙0,15+3∙0,3=1,25

Дисперсия.

Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

D(X)=M(X-M(X))^{2 ,} (19)

Более удобной для вычисления является формула:

D(X)=М(Х²) – (М(Х))^{2 ,} (20)

Пример.

Дискретная случайная величина распределена по закону (табл.9):

Таблица 9 - Закон распределения ДСВ

-1

0

1

2

Р

0,2

0,1

0,3

0,4

Найти D(X).

Находим сначала

М(Х)=-1∙0,2+0∙0,1+1∙0,3+2∙0,4=0,9, а затем

М(Х²)=1∙0,2=0∙0,1+1∙0,3+4∙0,4=2,1.

D(X)=2,1-0,9²=2,1-0,81=1,29

Среднее квадратическое отклонение ДСВ.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

σ(Х)= , (21)

5.6 Задачи математической статистики. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики выборки

Основные понятия и определения

Приведем только самые основные понятия и определения. Более подробно материал изучите по учебникам, ориентируясь на вопросы для самоконтроля к этому разделу.

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.

Целью статистического исследования является обнаружение и исследование соотношений между статистическими (экономическими) данными и их использование для прогнозирования и принятия лучших решений. Под термином статистические данные будем подразумевать набор наблюдаемых значений одной или нескольких переменных, характеризующих изучаемое явление или рассматриваемый экономический объект.

Генеральной совокупностью называются все возможные наблюдения интересующего нас объекта (показателя), все исходы случайного испытания или всю совокупность реализации случайной величины Х в пределах всего объекта наблюдения.

Пример генеральной совокупности – данные о доходах всех жителей какой–либо страны, антропометрические данные групп людей, совокупность чисел, соответствующих срокам службы некоторых изделий и др.

Выборка, или выборочная совокупность, - это множество статистических наблюдений, составляющих часть генеральной совокупности, отобранную случайным образом.

Число единиц (элементов) статистической совокупности называется ее объемом и обозначается n.

Значения изучаемого признака или показателя, характеризующего некоторое явление, называется вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется выборочным или вариационным рядом.

Пусть из генеральной совокупности отобрана выборка, в которой значение х₁ признака Х наблюдалось n₁ раз, значение х₂ – n₂ раз, …, значение x_k – n_k раз. Если объем выборки равен n , то:

_{, (22)}

Числа n₁, n₂, n₃, …, n_k называются частотами, а их отношения к объему выборки, т.е. – относительными частотами соответствующих вариант.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот:

Таблица 10 - Распределение выборки

или

Геометрическая интерпретация статистических распределений выборки

Если на оси абсцисс прямоугольной системы координат расположить варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты, то в плоскости получим точки (x_i; n_i). Соединим точки отрезками прямых.

Определение. Ломаная линия, отрезки которой соединяют точки (x_i;n_i), называется полигоном частот.

Аналогично можно сформулировать определение полигона относительных частот.

Если статистическое распределение выборки задается в виде последовательности интервалов значений вариант и их частот, то геометрическое изображение дается при помощи гистограммы частот.

Рисунок 10 – Полигон частот

Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, построенных на частичных интервалах с длиной h и высотой, равной отношению n_i/h (плотность частоты на интервале).

Гистограммы относительных частот строятся аналогичным образом.

Рисунок 11 – Гистограмма частот

Числовые характеристики (точечные оценки) выборки (вариационного ряда)

К числовым характеристикам вариационного ряда относятся средняя арифметическая (простая и взвешенная), выборочна и генеральная средние, выборочная и генеральная дисперсии, выборочное среднее квадратическое отклонение. Рассмотрим основные из них.

Выборочная средняя

Определение. Выборочной средней выборки объема со статистическим распределением из таблицы 10 называется среднее арифметическое значений признака выборки, т.е.

_, (23)

Выборочная дисперсия

Определение. Выборочной дисперсией D_в некоторой выборки называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от выборочной средней :

Более удобна формула:

, (24)

В практических исследованиях используется часто величина, которая называется исправленной выборочной дисперсией:

n , (25)

Выборочное среднее квадратическое отклонение

Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется также как у случайных величин – корень квадратный из дисперсии:

, (26)

Отметим, что выборочная средняя по сути то же самое, что и математическое ожидание, дисперсия показывает рассеяние значений признака вокруг своего среднего значения.

Наиболее точно оценивается колеблемость с помощью коэффициента вариации. Этот показатель измеряется в процентах и позволяет оценить, на сколько процентов колеблется изучаемый признак около среднего значения.

Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

, (27)

Принято считать, что если коэффициент вариации больше 35%, то изучаемая статистическая совокупность является неоднородной и колеблемость признака высока. Следовательно, использование средней арифметической для ее характеристики неверно. В таком случае необходимо использовать моду или медиану для характеристики наиболее типичного значения варианты признака рассматриваемой совокупности.

Определение. Модой М₀ вариационного ряда называется то из значений х₁, х₂, х₃, …, х_n, которому соответствует наибольшая частота.

Определение. Медиана М_е – это значение варианты, которое является серединой вариационного ряда.

Если вариант четное количество, то медиана вычисляется как среднее двух вариант, находящихся в середине вариационного ряда.

Пример. В учебном заведении исследовали возраст студентов. Для этого использовали случайную выборку из 30 студентов. В результате были получены следующие данные: 18, 17, 23, 18, 17, 16, 14, 18, 20, 17, 22, 17, 19, 21, 18, 18, 15, 20, 22, 15, 14, 17, 21, 18, 18, 19, 17, 23, 17, 21.

Постройте вариационный ряд, полигон и гистограмму частот; рассчитайте числовые характеристики выборки, коэффициент вариации, моду и медиану.

Решение.

1.Составим интервальный ряд, разбив исходные данные на 5 частичных интервалов длиной h=2, и подсчитаем частоты. Границы интервалов включаются только в один интервал (или в левый, или в правый), например, 16 – в первый, 18 – во второй, 20 – в третий, 22 – в четвертый, 24 – в пятый (таблица 11).

Таблица 11 – Интервальный ряд.

14 - 16

16 - 18

18 - 20

20 - 22

22 - 24

5

14

4

5

2

Чтобы составить вариационный ряд примем в качестве вариант середины частичных интервалов:

Получаем таблицу 12.

Таблица 12 – Вариационный ряд.

2. Построим полигон частот:

Рисунок 12 – Полигон частот

Обратите внимание: если через концы ломаной провести кривую, то она будет иметь форму кривой Гаусса. Это позволяет сделать вывод, что данная выборка подчиняется нормальному распределению.

Построим гистограмму частот:

Рисунок 13 – Гистограмма частот

Если Вам необходимо построить полигон и гистограмму относительных частот, то в таблицу добавьте строку w_i и подсчитайте относительные частоты.

3. Считаем выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение:

= = 2,3

4. Вычисляем коэффициент вариации:

V(x) = ∙ 100 % = 12,8% 35 %,

что позволяет сделать вывод: изучаемая статистическая совокупность является однородной.

5. Вычисляем значение моды:

М₀ = 17

6. Вычисляем значение медианы:

М_е = 19

5.7 Задания к практической работе №9

Вариант 1

1. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?

2. Проводится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина Х – частота появления события А в трёх опытах. Найдите закон распределения случайной величины Х, её математическое ожидание и дисперсию.

Вариант 2

1. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что два первых наугад выбранных билетов будут выигрышными?

2. По многим статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины Х – числа мальчиков в семье, имеющей четверых детей. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Вариант 3

1. В партии из 10 деталей имеются 4 бракованных. Какова вероятность того, что две окажутся бракованные?

2. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращённых в срок кредитов из пяти выданных. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Вариант 4

1. В ящике 20 шаров, из них 12 белых, остальные голубые. Извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

2. Вероятность того, что студент найдёт в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Вариант 5

1. В ящике 20 шаров, из них 12 белых, остальные голубые. Извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара голубые.

2. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырёх выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Вариант 6

1. Среди 25 деталей, подвергаемых проверке, 21 точная. Какова вероятность того, две наудачу взятых детали окажутся точными?

2. Торговый агент имеет пять телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Вариант 7

1. В урне находятся 5 шаров белого цвета, 7 – синего и 8 – желтого. Наудачу берут 3 шара. Найти вероятность того, что все они будут цветными.

2. Составить закон распределения числа попаданий в цель при пяти выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Вариант 8

1. В урне находятся 5 шаров черного цвета, 3 желтого и 7 зеленого. Наудачу вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что первым будет вынут желтый шар, затем черный.

2. Вероятность безотказной работы одной ячейки доильной установки равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х(числа безотказно работающих ячеек доильной установки) во время дойки 6 коров. Найти М(Х) и Д(Х).

Раздел 6. Основы теории комплексных чисел

6.1 Определение комплексного числа в алгебраической форме, действия с комплексными числами

Во множестве действительных чисел нельзя решить уравнение . Расширяя действительные числа, введем число   - мнимая единица: . Тогда, уравнение будет иметь решение .

Алгебраическая форма комплексного числа

Определение. Комплексным числом называется число , где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается ;  называется мнимой частью комплексного числа и обозначается . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.

Пример. . , .

Определение. Модулем комплексного числа  называется величина .

Определение. Аргументом комплексного числа   называется число: . Главное значение аргумента обозначается: arg z=  или .

Пример.

Определение. Два комплексных числа ,   называются равными , если , .

Определение. Комплексное число  равно 0, если  и .

Определение. Число  называется сопряженным комплексному числу ,причем .

Пример. ; .

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов; учитывая при этом, что  и т.д.

Пусть

.

Замечание.

6.2 Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Решение алгебраических уравнений

Геометрическое изображение комплексных чисел

Рисунок 14– Геометрическое изображение комплексного числа

Комплексное число z изображается точкой (x, y) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.

Модуль и аргумент комплексного числа  

Модулем комплексного числа  называется неотрицательное действительное число

, (28)

Геометрически модуль комплексного числа — это длина вектора, изображающего число z, или полярный радиус точки (x, y).

Аргумент комплексного числа z — это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это полярный угол точки (x, y)).

Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула

, (29)

причем, при определении угла  по его тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z:

Решение квадратных уравнений

Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения

x² = – 1.

Покажем, что расширив поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение разрешимо, т.е. имеет решение. Так, уравнение x² = – 1 имеет два решения:   x₁ = i, x₂ = – i.

Это нетрудно установить проверкой:    i•i = i² = – 1, (– i)•(– i) = i² = – 1.

Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида:

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0),

где x – неизвестная, a, b, c – действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем a ≠ 0. Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований.

· Разделим все члены уравнения на a № 0 и перенесем свободный член в правую часть уравнения: 

• К обеим частям уравнения прибавим выражение   с тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых:

• Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения: 

• Найдем значения неизвестной: 

Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения. Если  b² – 4ac > 0, то есть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни. Если же – мнимое число, квадратное уравнение имеет мнимые корни.

Результаты исследования представлены ниже в таблице13:

Таблица 13 - Решение квадратных уравнений

Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений. В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение.

Примеры:

1. Решите уравнение x² – 2x – 8 = 0.

Решение. Найдем дискриминант  D = b² – 4ac = (– 2)² – 4•1•(– 8) = 36 > 0;

Уравнение имеет два действительных корня: 

2. Решите уравнение x² + 6x + 9 = 0.

Решение. D = 6² – 4•1•9 = 0, уравнение имеет два равных действительных корня: ;

3. Решите уравнение x² – 4x + 5 = 0.

Решение. D = 16 – 4•1•5 = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни:  

6.3 Задания к практической работе №10

1 вариант

1. Выполнить операции (z₁+z₂; z₁-z₂; z₁∙z₂; z₁:z₂) над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы, указав четверть:

z₁= 4-i ; z₂=8+3i

2.Решить уравнение:

2 вариант

1. Выполнить операции (z₁+z₂; z₁-z₂; z₁∙z₂; z₁:z₂) над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы, указав четверть:

z₁= -5+4i ; z₂=3-2i

2. Решить уравнение:

3 вариант

1. Выполнить операции (z₁+z₂; z₁-z₂; z₁∙z₂; z₁:z₂) над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы, указав четверть:

z₁= 1+10i ; z₂=3-7i

2. Решить уравнение:

4 вариант

1. Выполнить операции (z₁+z₂; z₁-z₂; z₁∙z₂; z₁:z₂) над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы, указав четверть:

z₁= 2+5i ; z₂=3i

2. Решить уравнение:

5 вариант

1. Выполнить операции (z₁+z₂; z₁-z₂; z₁∙z₂; z₁:z₂) над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы, указав четверть:

z₁= 8-i ; z₂=5+2i

2. Решить уравнение:

6 вариант

1. Выполнить операции (z₁+z₂; z₁-z₂; z₁∙z₂; z₁:z₂) над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы, указав четверть:

z₁= 3-i ; z₂=5+4i

2. Решить уравнение: х²+1=0

7 вариант

1. Выполнить операции (z₁+z₂; z₁-z₂; z₁∙z₂; z₁:z₂) над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы, указав четверть:

z₁= -8-i ; z₂=1-i

2. Решить уравнение: х²+4=0

8 вариант

1. Выполнить операции (z₁+z₂; z₁-z₂; z₁∙z₂; z₁:z₂) над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы, указав четверть:

z₁= 5+i ; z₂=8-i

2. Решить уравнение: х²-2х+10=0

9 вариант

1. Выполнить операции (z₁+z₂; z₁-z₂; z₁∙z₂; z₁:z₂) над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы, указав четверть:

z₁= 7-4i ; z₂=4-2i

2. Решить уравнение: х²-6х+18=0

10 вариант

1. Выполнить операции (z₁+z₂; z₁-z₂; z₁∙z₂; z₁:z₂) над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; построить по ним радиус-векторы, указав четверть:

z₁= 11+i ; z₂=-3i

2. Решить уравнение: х⁴-6х²+25=0

Заключение

В данных методических рекомендациях мы кратко изложили теоретический материал, вошедший в программу изучения дисциплины «Математика» для специальности 140102 «Теплоснабжение и теплотехническое оборудование» по новым ФГОС.

В каждый раздел были включены примеры решения задач по теме и задачи для самостоятельного решения, которые дают возможность студенту основательно подготовиться к практической работе, зачету и экзамену.

Список использованных источников

1. Дадаян А.А. Математика. Учебник. – М., ИД «ФОРУМ»: ИНФРА – М,2006.

2. Григорьев С.Г. Математика. Учебник для студенческих средне профессиональных учреждений. – М., Издательский центр « Академия», 2005.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. Учебное пособие для средне профессиональных учебных заведений. – М., «Высшая школа», 2009.

4. Валуцэ И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов на базе средней школы. Учеб. Пособие. – 2-е изд. – М., Наука., 1990 – 576 с.

5. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, части 1и 2. Учебник под ред. Яковлева Г.Н.,1986.

6. Щипачев В. С Высшая математика. Учебник для немат. спец. вузов/Под ред. акад. А.Н. Тихонова. – М., Высш. шк., 1985.

7. http://www.webmath.ru, (решения задач);

8. http://e-science.ru, (Портал Естественных Наук).

85