Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по выполнению практических работ РАЗДЕЛ "Теория вероятностей"

Методические рекомендации по выполнению практических работ РАЗДЕЛ "Теория вероятностей"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И

ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»



Западный филиал РАНХиГС











Учебно-методическое пособие


(раздел «Теория вероятностей»)


































Калининград, 2014


Содержание


Пояснительная записка…………………………………………..3

Решение задач…………………………………………………….4

Тренировочный тест……………………………………….........11

Библиографический список…………………………………….14




















































В пособии рассматриваются задачи по темам:

  • алгебра событий;

  • формула полной вероятности;

  • дискретная случайная величина и ее характеристики;

  • непрерывная случайная величина и ее характеристики;

  • распределения случайной величины: биномиальное, нормальное.

В каждой теме даны подробные решения типовых задач и необходимый теоретический материал. В пособии содержится тренировочный тест с ответами для самоконтроля знаний. Основное назначение пособия – помочь студенту при подготовке к зачету и итоговой контрольной работе по дисциплине математика.
















РЕшение задач

Задача 1. Три стрелка стреляют по мишени с вероятностями попадания 0,8, 0,9 и 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень

а) попадут все три стрелка; б) не попадет ни один;

в) попадет ровно один стрелок; г) попадет хотя бы один стрелок.

Решение. Обозначим А1, А2 и А3 − попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно, а hello_html_24359a10.gif, hello_html_4d5a7ec6.gif и hello_html_m7f72d6d9.gif − непопадания для этих же стрелков. Так как произведение событий есть событие, состоящее в совместном появлении перемножаемых величин, то А1А2А3 означает три попадания, а hello_html_5a05a9a6.gif − три промаха.

События А1, А2, А3 независимы (появление одного не влияет на вероятность появления другого), поэтому вероятность трех попаданий (случай а)) равна произведению вероятностей

hello_html_4739eeb2.gif.

События А1 и hello_html_24359a10.gif − противоположные события, значит удовлетворяют соотношению

hello_html_2a57bd4.gif.

Но тогда hello_html_1e7ac862.gif. Аналогично,

hello_html_m2fe63f6c.gif, hello_html_m64be981e.gif.

Таким образом, вероятность трех промахов (случай б)) равна

hello_html_m2c432de3.gif.

Рассмотрим случай в). Искомое событие − попадет ровно один стрелок − состоит в появлении одного из событий:

hello_html_m3719144a.gif(первый попал в мишень, а второй и третий промахнулись),

hello_html_50a809f.gif(второй попал, а два других промахнулись),

hello_html_4845ea7b.gif(третий попал, остальные − нет).

Так как событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий, есть их сумма, получим, что искомое событие равно

hello_html_m3e846aba.gif.

Слагаемые этой суммы − несовместные события (появление одного из них исключает появление другого), поэтому вероятность суммы равна сумме вероятностей. Следовательно, вероятность того, что попадет ровно один стрелок, равна

hello_html_53d01779.gif

hello_html_m666d6790.gif.

Рассматривая случай г), обозначим В − событие, состоящее в том, что в мишень попадет хотя бы один стрелок, т.е. при одном залпе будет от одного до трех попаданий. Если к событию В добавить событие, означающее все три промаха, получим полную группу событий с вероятностью, равной 1. Но тогда событие, означающее три промаха, есть hello_html_192f36a8.gif, а его вероятность уже найдена (случай б)).

Итак,

hello_html_m2d5ef775.gifи hello_html_77819893.gif.


Задача 2. В ящике содержится 10 деталей, изготовленных на заводе №1, 15 деталей, изготовленных на заводе №2 и 20 деталей, изготовленных на заводе №3. Вероятности брака для трех заводов соответственно равны 0,1, 0,3 и 0,2. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной.

Решение. Обозначим А − событие, состоящее в том, что взятая деталь бракованная. Возможны три предположения (гипотезы):

Н1 − деталь изготовлена на заводе №1,

Н2 − деталь изготовлена на заводе №2,

Н3 − деталь изготовлена на заводе №3.

Вероятности этих гипотез равны

hello_html_4105293c.gif, hello_html_49a49d29.gif, hello_html_584a332f.gif.

По формуле полной вероятности (с учетом всех гипотез)

hello_html_m8191027.gif.

Здесьhello_html_m4d46814.gif − вероятность того, что взятая деталь является бракованной при условии, что она изготовлена на заводе №1. Согласно условию задачи hello_html_m1a700990.gif. Аналогично, hello_html_m39c58d03.gif, hello_html_m3ce11afd.gif.

Но тогда

hello_html_2c4adb08.gif.


Задача 3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х

1

3

р

0,8

р2


Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х) случайной величины Х.

Решение. Найдем р2 из условия

hello_html_1014589.gif.

Получим

hello_html_3966ac4f.gif.

Для дискретной случайной величины

hello_html_m3ece927c.gif, hello_html_m2c1f3f32.gif.

Поэтому

hello_html_m47191f4e.gif,

hello_html_m3f17e8d0.gif.


Задача 4. Дискретная случайная величина задана законом распределения

Х

1

х2

5

р

р1

0,3

0,4


Найти х2, если М(Х) = 2,9.

Решение. Так как hello_html_4bba1980.gif, то

hello_html_m60b06979.gif.

В формулу математического ожидания

hello_html_1591da.gif

подставим известные значения и найдем х2

hello_html_3d152c96.gif,

hello_html_549b0d83.gif,

hello_html_mc02fc02.gif.


Задача 5. Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х:

hello_html_4aee4a01.gif

Найти hello_html_m6057493c.gif.

Решение. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на отрезок [a, b] определяется формулой

hello_html_m3dc3dc90.gif.

Поскольку на отрезке [2, 4] плотность распределения f(x) задана различными аналитическими выражениями, интеграл заменяется суммой интегралов и тогда

hello_html_m5f49b6d6.gif.


Задача 6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

hello_html_256f217d.gif

Найти М(Х), D(Х).

Решение. Найдем сначала плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х по формуле

hello_html_60e89c25.gif.

Получим

hello_html_eb93fd9.gif.

Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х) непрерывной случайной величины X вычисляются по формулам

hello_html_m1267c33d.gif, hello_html_m26290e37.gif.

Получаем

hello_html_m6421a1b4.gif,

hello_html_m48b05fd2.gif.


Задача 7. Случайная величина Х − число появлений события А в n испытаниях − распределена по биномиальному закону с математическим ожиданием М(Х) = 4 и дисперсией D(Х) = 3. Найти вероятность появления события А в каждом испытании.

Решение. Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, справедливы формулы

М(Х) = np, D(Х) = npq,

где р − вероятность появления события А в каждом испытании, а q – вероятность противоположного события, q =1 − p.

Имеем: np = 4, npq = 3.

Разделив второе равенство на первое, найдем q:

hello_html_m6f735858.gif, отсюда hello_html_m6281a856.gif.


Задача 8. Найти дисперсию случайной величины Х − числа появлений события А в 20 независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, а М(Х) = 2.

Решение. Так как испытания независимы, а вероятность появления события А в каждом испытании одинакова, то случайная величина распределена по биномиальному закону. Но тогда

М(Х) = np, D(Х) = npq.

Из первого равенства найдем

hello_html_ma63ab39.gif.

Тогда

hello_html_37f2919d.gif,

значит,

hello_html_m3a7c812b.gif.


Задача 9. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами М(Х) = 2 см, D(Х) = 0,25 см2. Деталь считается годной, если ее диаметр не менее 1,5 см и не более 3 см. Определить процент годных и процент бракованных деталей.

Решение.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, примет значение, принадлежащее отрезку hello_html_m7f18d901.gif, равна

hello_html_m3676df34.gif,

где hello_html_m38c6491d.gif − функция Лапласа,

hello_html_m4293c9ce.gifсреднее квадратическое отклонение (hello_html_7fe0639e.gif).

Поэтому

hello_html_m71512b3b.gif

или, с учетом нечетности функции Лапласа,

hello_html_6a8b33d0.gifhello_html_2dcd1f48.gif

(значения функции Лапласа находятся в таблице приложений [1]).

Полученный результат означает, что процент годных деталей составит 81,85%, бракованных − 18,15%.


Задача 10. Дальность полета снаряда распределена нормально с математическим ожиданием 200 м и средним квадратическим отклонением 10 м. Определить интервал, в который согласно правилу hello_html_6dfa504b.gif попадет снаряд с вероятностью 0,9973.

Решение. Если в формуле вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок hello_html_m7f18d901.gif (см. задачу 20) принять hello_html_m490fff8.gif, hello_html_2ed94129.gif, окажется, что

hello_html_m1eaaf02b.gif

hello_html_m95660fb.gif.

Это и есть правило hello_html_6dfa504b.gif − более 99,7% значений случайной величины попадут в интервал радиуса hello_html_6dfa504b.gif, симметричный относительно математического ожидания.

С учетом данных задачи получим

hello_html_m5e46f285.gif.









Приложение

Тренировочный тест


Задания

Варианты ответов


1

2

3

4

5


1

Устройство содержит 4 независимо работающих элемента с вероятностями отказа 0,9; 0,4; 0,2; 0,5. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

0,976

0,024

0,964

0,97

0,98

2

Из 10 стрелков 5 попадают в цель с вероятностью 0,4; 2 – с вероятностью 0,8; 3 – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в цель.

0,48

0,18

0,54

0,64

0,72

3

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти D(X), если М(Х)=2,9.

hello_html_4c4c9687.gif

18,9

2,89

0,89

1,09

1,89

4

Дискретная случайная величина задана рядом распределения. Найти D(X).

hello_html_m417ef2a5.gif

6,76

4,28

3,75

5,12

2,44

5

Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения. Найти hello_html_6bde3bdf.gif, если М(Х)=1,7.

hello_html_mb57e553.gif

1

4

3

5

2

6

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

hello_html_m53d4ecad.gif.hello_html_m5796e143.gif. Найти hello_html_m3f1fe1df.gif.

hello_html_m5f655a16.gif

hello_html_27fcd4fe.gif

hello_html_6cca5c72.gif

hello_html_m282e0eba.gif

hello_html_3637e08c.gif


7

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

hello_html_5d17960a.gif. Найти М(Х).

hello_html_64bfa1ff.gif

1

hello_html_m4f2d4bc4.gif

hello_html_m391f2153.gif

4

8

Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события А в 18 независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, а М(Х)=8.

hello_html_meaabde0.gif

hello_html_473aa3c3.gif

hello_html_m40ec005e.gif

hello_html_13f0175f.gif

hello_html_19614d7d.gif

9

Случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях распределена по биномиальному закону с М(Х)=10, D(X)=7. Найти вероятность появления события А в каждом испытании.

0,3

0,2

0,35

0,4

0,43

10

Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами: М(Х)=0,5 см, D(X)=0,36 см2. Деталь считается годной, если ее диаметр не менее 0,464 и не более 0,536 см. Определить, какой процент деталей будет забракован.

4,78%

95,22%

97,61%

2,39%

90,27%

11

Дальность полета снаряда распределена нормально с математическим ожиданием 800 м и средним квадратическим отклонением 40 м. Определить интервал, в который согласно правилу 3hello_html_m70c60c3a.gifпопадет снаряд с вероятностью 0,9973.

(720,880)

(780,820)

(760,840)

(680,920)

(640,960)


Правильные ответы


задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Ответ

1

3

5

5

2

1

4

3

1

2

4

Библиографический список


  1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2004. 404 с.

  2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004. 479 с.

  3. Квальвассер В.И., Фридман М.И. Теория поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1967. 240 с.

  4. Краснов М.И., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 256 с.

  5. Кручкович Г.И., Мордасова Г.М. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики. М.: Высшая школа, 1970. 511 с.

  6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Лань, 2002. 688 с.

  7. Мартыненко В.С. Операционное исчисление. Киев: Высшая школа, 1990. 359 с.





































































Избранные главы высшей математики для заочников Теория функций комплексной переменной», «Операционное исчисление», «Теория вероятностей»)



Составители: Лиманова Лариса Владимировна

МУРАТОВА Лидия Александровна



Редактор Н. В. Б е г а н о в а

Технический редактор Г. Н. Ш а н ь к о в а



Подписано в печать 10.12.08.

Формат 60х84. 1/16. Бум. типогр.№2.

Печать офсетная.

Усл. п. л. 1,39. Усл. кр.-отт. 1,39. Уч.-изд. л. 1,25.

Тираж 50 экз. С-26.



Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет»

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус


hello_html_4b761621.png


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 04.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров285
Номер материала ДВ-417071
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх