Методические рекомендации по выполнению практических заданий по дисциплине ЕН "Математика"

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по выполнению практической работы

по дисциплине «математика»

 (для всех специальностей)

Преподаватель:

Горская Н.В.

Калининград, 2015

СОДЕРЖАНИЕ

Теория пределов. 2

Примеры решения задач. 3

Линейная алгебра. 6

Решение. 7

Решение. 7

Решение. 8

Дифференциальное исчисление. 8

Примеры решения задач. 9

Интегральное исчисление. 11

Примеры решения задач. 11

Решение. 11

Дискретная математика. 14

Элементы теории вероятностей. 15

Теория пределов

       Изучить по учебной литературе вопросы:

1.      Определение предела функции.

2.      Свойства пределов функций.

3.      Вычисление пределов функций при наличии неопределенности типа 0/0.

4.      Вычисление пределов функций, являющихся неопределенностями типа ¥/¥.

5.      Понятие разрыва функции. Типы разрывов.

6.      Асимптоты графиков функций, их виды и уравнения.

7.      Первый и второй замечательные пределы.

Примеры решения задач

1.      Вычислить пределы функций:

 

    

2.      Составить уравнения асимптот к графику функции:

Решение

        а) Графики функций могут иметь асимптоты трех видов: горизонтальные, вертикальные и наклонные.

     Для определения горизонтальной асимптоты следует вычислить предел функции при условии, что х®¥. Если такой предел существует, то график функции имеет горизонтальную асимптоту.

   В примере    График функции имеет горизонтальную асимптоту с уравнением  у=2.

   Для определения вертикальной асимптоты следует определить значения, при которых функция не существует и найти левые и правые пределы функции. Если хотя бы один из пределов бесконечен, то имеется вертикальная асимптота.

    В примере функция не существует при х=3.

              Так как оба предела бесконечны, то имеется

вертикальная асимптота с уравнением  х=3.

    Для определения наклонной асимптоты с уравнением   y=kx +b  находят

       Если первый предел не существует или равен 0, то нет наклонной асимптоты.

    В примере   

   Так как  k=0, то наклонной асимптоты не имеется.

   б) 

    Выполним последовательно значения пределов:

   График функции не имеет горизонтальной асимптоты.

   Функция не существует при х=0,5

     График функции имеет вертикальную асимптоту

   с уравнением  х=0,5

   Вычислим     График функции имеет наклонную асимптоту. 

Наклонная асимптота имеет уравнение    у=0,5х + 0,25

3.  Построить график функции, определив тип точек разрыва:

    

   Для заданной функции точками разрыва являются значения аргумента (-2) и 1.

Найдем левые и правые предельные значения функции для этих значений аргумента.

  

Для построения графика функции с учетом определения типов точек разрыва, потребуется вычисление значений функции в некоторых промежуточных точках

  а)  x<-2    y=-x²-6x-7 (парабола)

xi	-5	-4	-3	-2
yi	-2	1	3	1

   б)  -2<x<1    y=x+3 (прямая)    

xi	-2	1
yi	1	4

   в)  х>1    

xi	1,1	1,5	2	5	9
yi	9	1	0	-0,75	-0,875

    Если вычислить , то получим уравнение горизонтальной

     асимптоты     у=-1

Линейная алгебра

Изучить по учебной литературе вопросы:

1.      Матрицы, их виды.

2.      Действия над матрицами.

3.      Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

4.      Обратная матрица, ее определение и получение обратной матрицы второго и третьего порядков.

5.      Решение матричных уравнений.

6.      Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, в виде матричного уравнения.

Примеры решения задач.

         !. Выполнить действия над матрицами

             Составить матрицу М=(2А – В)(В+Е)

        Решение

   Составим матрицу 2А – В, для чего все элементы матрицы А умножим на 2, а затем из каждого элемента матрицы 2А вычтем соответствующий элемент матрицы В.

Составим матрицу В+Е, где матрица Е является единичной матрицей третьего порядка:

 

Матрица М является произведением полученных матриц, то-есть каждый ее элемент равен сумме произведений соответствующих элементов строки матрицы 2А-В и столбца матрицы В+Е

2. Вычислить определитель матрицы:

     а)

Решение

а) Для вычисления определителя второго порядка воспользуемся правилом, изложенным в учебной литературе:

                 

б) Для вычисления определителя третьего порядка воспользуемся одним из правил, называемым разложением по элементам первой строки:

  

3. Найти обратную матрицу для матрицы второго порядка

Решение

Для получения обратной матрицы А^-1 воспользуемся формулой  , где

Для проверки можно найти произведение матриц А и А^-1; должна получиться единичная матрица второго порядка.

4. Решить систему уравнений по формулам Крамера 

Решение

Для решения задачи нужно вычислить четыре определителя третьего порядка:

·         главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных;

·         дополнительный для х, полученный из главного определителя заменой чисел первого столбца на свободные члены;

·         дополнительный для у, полученный из главного определителя заменой чисел второго столбца на свободные члены;

·         дополнительный для z, полученный из главного определителя заменой чисел третьего столбца на свободные члены;

Для получения значений неизвестных требуется разделить значения дополнительных определителей на главный определитель.

Решение задачи можно проверить при помощи найденных значений в уравнения системы.

Дифференциальное исчисление

   Изучить по учебной литературе вопросы:

7.      Производная функция: определение, свойства, таблица производных.

8.      Исследование функции на монотонность.

9.      Исследование функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба.

10.  Исследование функции на экстремум.

11.  Геометрический и механический смыслы производной.

12.  Построение графика функции, используя схему исследования свойств.

   Примеры решения задач

1.      Найти производные функций:

        

Решение

При выполнении дифференцирования будем использовать свойства производных, таблицу производных, правило дифференцирования сложных функций.

 

2.      Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции  f(x)=x³ - 3x² - 45x + 20

   Решение

   Воспользуемся некоторыми пунктами исследования функции:

1)Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Эта функция не является четной или нечетной. График этой функции не имеет асимптот.

2)      Найдем первую производную и определим соответствующие свойства

       функции.   f^’(x)=3x² – 6x –45. Решим уравнение  3х² – 6х – 45 = 0. Корнями уравнения являются числа (-3) и 5.

       Воспользуемся таблицей:

х	(-¥; -3)	-3	(-3;5)	5	(5;¥)
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)		max		min

Функция возрастает в интервалах (-¥;-3) и (5;¥), убывает в интервале (-3; 5).

Функция имеет максимальное значение f(-3)=101, имеет минимальное значение  f(5)= - 155.

3)                                Найдем вторую производную f^”(x)=(3x² – 6x –45)^’=6x-6.

                    Решим уравнение 6х-6=0. Решением уравнения является х=1.

                   Для определения свойств функции воспользуемся таблицей:

х	(-¥; 1)	1	(1;¥)
f”(x)	-	0	+
f(x)	Ç выпуклая	точка перегиба	È вогнутая

4)      Для построения графика функции воспользуемся результатами вычислений, оформленными в виде таблицы:

х	- 6	-5	-3	- 1	0	1	2	4	5	7	9
f(x)	- 34	45	101	61	20	- 27	-74	-144	-155	-99	101
			max			пер.			min

Интегральное исчисление

   Изучить по учебной литературе вопросы:

1.      Неопределенный интеграл: определение, свойства, таблица интегралов.

2.      Способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки.

3.      Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.

4.      Способы вычисления определенного интеграла.

5.      Применение определенного интеграла к решению практических задач: вычисление площадей плоских фигур.

Примеры решения задач

1)                                  Найти неопределенные интегралы:

Решение

При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.

б)  Выполнив почленное деление в подынтегральной функции, получим:

   

в)

 

г)  Будем использовать подстановку:

      

д)  Воспользуемся подстановкой:

  

2)                                              Вычислить определенные интегралы:

Решение

При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница

  .  Получение первообразной функции F(x) будем выполнять или непосредственно или способом подстановки.

               

б)

   

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=1 – х² + 4х    и   2х – у – 2 =0

     Для определения точек пересечения линий составим уравнение из равенства выражений этих линий:  1 – х² + 4х = 2х – 2; получим уравнение:  х² – 2х – 3 = 0.

     Корнями этого уравнения являются числа:  (-1) и 3. Для построения линий найдем

 значения функций и составим их таблицы:

х	-1	0	1	2	3		х	-1	3
у1	-4	1	4	5	4		у2	-4	4

Построив фигуру на плоскости, вычислим ее площадь, определив значение интеграла

                                         

Дискретная математика

     Изучить по учебной литературе вопросы:

6.      Множества, их виды, способы задания.

7.      Простейшие действия над множествами.

8.      Отношения, их некоторые виды.

9.      Графы, их основные элементы.

10.  Некоторые виды графов.

  Упражнения и их решение.

1)      Составить объединение,  пересечение и разность двух множеств.

а) А={3; 4; 6; 7},  B={2; 3; 4; 5}

   AÈB={2; 3; 4; 5; 6; 7},   AÇB={3; 4},   A \ B ={6; 7}

б) А=(-1; 3]; B=[1; 5]

      AÈB=(-1;5];     AÇB=[1; 3];    A \ B=(-1; 1) 

  В этом упражнении решение следует сопровождать рисунками.

3.      Комплексные числа

          Изучить по учебной литературе вопросы:

1.                                                                                      Определение комплексного числа в алгебраической форме.

2.                                                                                      Геометрическое изображение комплексного числа.

3.                                                                                      Тригонометрическая форма комплексного числа.

4.      Выполнение арифметических действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.

 Примеры решения задач

1)      Построить на координатной плоскости числа Z₁ , Z₂, где  Z₁=3-2i, Z₂=-1+i.

Решение

       На координатной плоскости изобразим точки (3; -2), (-1; 1) и соединим их с началом

        координат, получив векторы, конечными точками которых являются заданные точки.

2)      Выполнить действия сложения, вычитания, умножения, деления над комплексными числами в алгебраической форме.

Z₁=3+4i, Z₂=2i¹⁸-5i¹⁵

Решение

Предварительно преобразуем второе число, используя значения степеней мнимой единицы. i¹⁸=i¹⁶⁺²=i¹⁶i²=1i²=-1, i¹⁵=i¹²⁺³=i¹²i³=i³=-i, Z₂=-2+5i

Выполним действия над числами:

Z₁+Z₂=(3+4i)+(-2+5i)=3+4i-2+5i=(3-2)+(4i+5i)=1+9i

Z₁-Z₂=(3+4i)-(-2+5i)=3+4i+2-5i=(3+2)+(4i-5i)=5-I

Z₁ ^.Z₂=(3+4i) ^. (-2+5i)=-6+15i – 8i +20i²=-6+7i – 20= - 26 + 7i

3)      Представить число в тригонометрической форме Z=

   Найдем модуль и аргумент комплексного числа

  

Элементы теории вероятностей

              Изучить по учебной литературе вопросы:

5.                                                                                      Случайные события, их виды.

6.                                                                                      Вероятность случайного события, способы ее получения.

7.      Комбинаторика. Применение элементов комбинаторики к вычислению вероятности.

8.      Действия над случайными событиями, вычисление вероятностей результатов действий.

9.      Случайные величины, их виды. Закон распределения случайной величины

10.  Ряд и функция распределения дискретной случайной величины.

11.  Математическое ожидание дискретной случайной величины.

12.  Дисперсия дискретной случайной величины.

Примеры решения задач

1)      Имеется набор разноцветных шариков, среди которых 5 синих, 3 красных и 2 зеленых. Наугад извлекают 4 шарика. Найти вероятность того, что среди извлеченных шариков 2 синих, 1 красный и 1 зеленый.

Решение

  Для определения вероятности случайного события будем использовать классическую формулу  , в которой n – число всех возможных исходов, m- число исходов, благоприятных появлению события. В задаче значения этих величин следует находить при помощи сочетаний.

2)      Из карточек разрезной азбуки составлено слово «панорама». Карточки перемешали и наудачу по одной извлекают 5 карточек, выкладывая их в порядке извлечения. Найти вероятность того, что окажется составленным слово «роман».

Решение

В этой задаче можно воспользоваться произведением зависимых случайных событий

   А – получение слова «роман»; В₁ – извлечение первой карточки с буквой «р»;

В₂ – извлечение второй карточки с буквой «о»; и т.д. Тогда А=В₁ ^. В₂ ^. В₃ ^. В₄ ^. В₅

 Р(А)=Р(В₁) ^.  Р(В₂) ^. Р(В₃) ^.  Р(В₄) ^. Р(В₅)=

3)      В трех ящиках имеется по 6 одинаковых изделий, среди которых соответственно 2,  

      1, 3 бракованных. Наугад из каждого ящика извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что среди них окажутся два качественных и одно бракованное изделия.

 Решение

Для решения задачи рассмотрим события: А – извлечение двух качественных и одного бракованного изделий,  В₁ – извлечение качественного изделия из первого ящика;

     В₂ – извлечение качественного изделия из второго ящика; В₃– извлечение качественного изделия из третьего ящика; извлечение бракованного изделия для каждого ящика является событиями Составим событие А и вычислим его вероятность

          

4)      Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. Имеется заданный ряд распределения дискретной случайной величины

хi	-1	2	6
pi	0,5	0,3	0,2

Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой   

Получим   M(X)=(-1)^.0,5+2^.0,3+6^.0,2=1,3

Для вычисления дисперсии воспользуемся двумя соотношениями, одно из которых соответствует определению дисперсии, другое – ее свойству.

В примере получим: D(X)=(-1-1,3)^{2 .} 0,5+(2-1,3)^{2 .}  0,3+(6-1,3)^{2 .} 0,2=7,21

M(X²)=(-1)^{2 .} 0,5+2^{2 .} 0,3+6^{2 .} 0,2=8,9

D(X)= 8,9 – 1,3² =7,21 (значения должны совпадать)

Для построения многоугольника распределения нужно на координатной плоскости построить точки (x_i ;p_i) и последовательно их соединить отрезками.

Для построения функции распределения воспользуемся схемой:

                    

В примере получим

Используя значения заданного примера получим графики: