Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по выполнению практических заданий . Раздел "Интегралы"

Методические рекомендации по выполнению практических заданий . Раздел "Интегралы"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И

ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»



Западный филиал РАНХиГС






МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ


Дисциплина: Математика


Раздел: «Интеграл»






















Калининград, 2015г.





Утверждено

Заседанием ПЦК

«Общеобразовательных дисциплин»

Протокол №____ от ______________

Председатель ПЦК

____________Н.В.Горская








Составитель: Горская Наталия Владимировна, преподаватель Западного филиала РАНХиГС

Пояснительная записка

Дидактические материалы в пособии задания снабжены решениями или указаниями сразу после их формулировки.


В главе содержатся:

1)дидактические материалы к теме программы, а так же материалы, позволяющие преподавателю организовать повторение изученного;

2)контрольные работы по теме;

Каждая тема включает:

1)справочные сведения;

2)примеры и задачи с подробными решениями;

3)разноуровневые задачи для самостоятельной работы в двух вариантах, позволяющие организовать «плавную» дифференциацию работы с группой (каждое задание имеет условную балловую оценку степени его сложности).


Используя балловую оценку заданий для самостоятельной работы и для подготовки к экзаменам, преподаватель может организовать:

  • «плавную» дифференциацию обучения математике: в зависимости от качества усвоения темы каждому студенту предлагать конкретный балловый диапазон выполняемых заданий, помогая постепенно поднимать уровень своих математических знаний и умений;

  • разнообразные виды частично-самостоятельных, самостоятельных и проверочных работ, предложив, например, к выполнению избыточный набор заданий разной степени сложности и указав, сколько баллов нужно набрать для получения той или иной оценки («3», «4» или «5»).


Следует заметить, что обязательному уровню знаний и умений соответствуют задания, оцененные в пособии, в основном, баллами 1,2,3,4.

Студенты, претендующие на отличную оценку, должны справляться с заданиями, оцененными в 1-7 баллов.

Контрольные работы по темам состоят из двух частей. Выполнение первой части работы («до черты») позволяет студенту получить оценку «3». Для получения оценки «4» учащийся должен справиться с первой частью работы и верно решить одну из задач второй части («за чертой»). Чтобы получить оценку 5, помимо выполнения первой части работы, студент должен решить не менее двух заданий из второй части работы.



Содержание


1. Справочные сведения.

2. Примеры с решениями.

3. Задачи для самостоятельной работы.



ИНТЕГРАЛ


Первообразная

Справочные сведения


  1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство hello_html_m62192c06.gif(x) = f(x)

  2. Если F(x) – первообразная функции f(x) на промежутке hello_html_2e85d6ba.gif, то функция F(x) + C, где C – любое число, также является первообразной функции f(x) на промежутке hello_html_2e85d6ba.gif.

  3. Если функция f(x) имеет на промежутке hello_html_2e85d6ba.gif первообразную F(x), то любая первообразная F(x) функции f(x) на промежутке hello_html_2e85d6ba.gif имеет вид:

F(x) = F(x) + C,

где С – некоторое число. Графики любых двух первообразных

hello_html_7dd0f5cc.jpg


F1(x) и F2(x) функции f(x) получаются один из другого сдвигом вдоль оси Oy (рис. 95).


  1. Для того чтобы выделить из совокупности первообразных функцийf(x) какую-либо первообразную F1(x), достаточно указать точку M0(x0;y0), принадлежащую графику функции y = F1(x).











Примеры с решениями


  1. Показать, что функция F(x) – первообразная функции f(x) на всей числовой прямой, если:

1) hello_html_49829678.gif 2) hello_html_4d203237.gif

3) hello_html_28bc059.gif 4)hello_html_2057dca2.gif

Решение.

1) Применяя правила дифференцирования и учитывая, что hello_html_b1f700c.gif, получаем hello_html_2b0a5838.gif.

2) hello_html_m5fd05cd4.gif

3) hello_html_cd980cd.gif

4) hello_html_3c559854.gif

  1. Для функции f(x) найти такую первообразную F(x), график которой проходит через точку M: 1) f(x) = hello_html_f737a55.gif, М (-1;3); 2) f(x) = hello_html_4768d053.gif, M(4;5)

Решение. 1) Функция hello_html_m793213cd.gif - первообразная функции xp для любого phello_html_21283049.gif-1 при x>0.

В частности, для функции hello_html_f737a55.gif=x -2 первообразная F(x) имеет вид:

hello_html_m23bc0aa.gif

По условию, F(-1) =3, т.е. 3 = 1+C , откуда C=2 и F(x) = 2-hello_html_11372e73.gif

2) Одной из первообразных функции hello_html_4768d053.gif= hello_html_m31b4e0ae.gif является функция hello_html_m617718a3.gif, а искомая первообразная F(x) имеет вид F(x) = hello_html_m57499b88.gif+C

Так как F(4) = 5, то 5 = hello_html_3b1db548.gif + C, т.е. 5 = hello_html_28ef4b0c.gif + C, откуда C =hello_html_m2a2851e0.gif,

F(x) =hello_html_m2d97b2c9.gif.

Ответ. 1) hello_html_639dfbe9.gif; 2) hello_html_m2d97b2c9.gif



Задания для самостоятельной работы


Вариант I


Показать, что функция F(x)-первообразная функции f(x) на всей числовой прямой (1-6):

hello_html_7507777c.gif1. 3 F(x) = hello_html_6b6082f6.gif, f(x) = hello_html_2e29710e.gif

hello_html_7507777c.gif2. 3 F(x) = hello_html_6e405677.gif, f(x) = hello_html_18dcc82f.gif

hello_html_7507777c.gif3. 3 F(x) = hello_html_55e89950.gif+ 2, f(x) = hello_html_m69fec1b7.gif

hello_html_7507777c.gif4. 3 F(x) = hello_html_m5d91ed07.gif, f(x) = hello_html_528e7d3d.gif

hello_html_7507777c.gif5. 3 F(x) = hello_html_m1b3e856e.gif, f(x) = hello_html_m2ab5d4a0.gif

hello_html_7507777c.gif6. 4 F(x) = hello_html_1cb1cc37.gif, f(x) = =hello_html_m20c52f3d.gif


Вариант II


Показать, что функция F(x)-первообразная функции f(x) на всей числовой прямой (1-6):

hello_html_7507777c.gif1. 3 F(x) = hello_html_432faffe.gif, f(x) = hello_html_6c8b98e2.gif

hello_html_7507777c.gif2. 3 F(x) = hello_html_m60fd429c.gif, f(x) =hello_html_1f342938.gif

hello_html_7507777c.gif3. 3 F(x) =hello_html_7957cdf.gif+ 3, f(x) =hello_html_45d67194.gif

hello_html_7507777c.gif4. 3 F(x) =hello_html_6d688561.gif, f(x) =hello_html_6b58ac9c.gif

hello_html_7507777c.gif5. 3 F(x) = hello_html_m5036331f.gif, f(x) =hello_html_m66ed09fd.gif

hello_html_7507777c.gif6. 4 F(x) =hello_html_d6e4fbc.gif, f(x)=

= hello_html_m679ab31a.gif

Правила нахождения первообразных


























Функция

Первообразная


hello_html_m7e1d8939.gif, p hello_html_m3ae27fe4.gif -1

hello_html_m3f6680cf.gif, x > 0

sin x

cos x

hello_html_m3b752e2.gif+ C

ln x +C

-cos x

sin x



Справочные сведения


Таблица первообразных

Правила нахождения первообразных (правила интегрирования). Если F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке, то:

1) функция F(x) + G(x) – первообразная функции f(x) + g(x);

2) функция aF(x) – первообразная функции a f(x), a- постоянная;

3) функция hello_html_33e18371.gifF(kx + b), где k, b – постоянные, k hello_html_m39e1fea0.gif0, является первообразной функции f (kx + b).



Примеры с решениями


Найти все первообразные данной функции:

1) hello_html_189c5020.gif; 4) hello_html_5ff37281.gif

2) sin 2x - hello_html_m254f476b.gif; 5) sinhello_html_5df1e7d6.gif2x

3) 5 cos(3x + 2) – (x - 1)hello_html_3a44b7e9.gif + hello_html_m6f3f232e.gif

Решение.

1) Используя таблицу первообразных и правила интегрирования для функции xhello_html_79cb9629.gifпри p=2 и p=-1, находим все первообразные данной функции:

xhello_html_3a44b7e9.gif + 2 lnx + C, x > 0

2) Первообразными функций sin 2x и hello_html_m254f476b.gif являются соответственно функцииhello_html_m3b4d2129.gif и -hello_html_m254f476b.gif, а совокупность всех первообразных данной функции записывается в виде:

hello_html_f079073.gif

3) Первообразными функций cos(3x+2),hello_html_1944e921.gif являются, соответствен- но, функции hello_html_26c48da3.gif, hello_html_556ceda4.gif и 2hello_html_m8f65604.gif, а совокупность всех перво-образных данной функции имеет вид:


hello_html_4c6caf17.gif.

4) Так как hello_html_m1a55b138.gif, то совокупность всех первообразных данной функции можно записать в виде:

hello_html_556badac.gif, x > 2

5) Используя равенство sinhello_html_6ba1168f.gif2x = hello_html_m370bbe25.gif, находим искомое множество всех первообразных данной функции:

hello_html_4463ab13.gif


Задания для самостоятельной работы


Вариант I

Найти все первообразные данной функции (1-17):

hello_html_7507777c.gif1. 3 hello_html_m47c5a304.gif

hello_html_7507777c.gif2. 3 hello_html_6137335.gif

hello_html_7507777c.gif3. 3 hello_html_m23ba38e.gif

hello_html_7507777c.gif4. 4 hello_html_m608ba0cb.gif

hello_html_7507777c.gif5. 4 hello_html_6f1aa43c.gif

hello_html_7507777c.gif6. 5 hello_html_m1cc9b779.gif

hello_html_7507777c.gif7. 4 hello_html_m25f09044.gif

hello_html_7507777c.gif8. 4 hello_html_111a2738.gif

hello_html_7507777c.gif9. 4 hello_html_36c59dd.gif

hello_html_7507777c.gif10. 5 hello_html_m149be.gif

hello_html_7507777c.gif11. 5 hello_html_6b22c4da.gif

hello_html_7507777c.gif12. 6 hello_html_18d7583.gif

hello_html_7507777c.gif13. 6 hello_html_3b9b7f58.gif

hello_html_7507777c.gif14. 7 hello_html_644698c2.gif


Вариант II

Найти все первообразные данной функции (1-17):

hello_html_7507777c.gif1. 3 hello_html_3f7d1976.gif

hello_html_7507777c.gif2. 3 hello_html_m69894cc9.gif

hello_html_7507777c.gif3. 3 hello_html_41d3b8d9.gif

hello_html_7507777c.gif4. 4 hello_html_m80ab857.gif

hello_html_7507777c.gif5. 4 hello_html_m15fe1db9.gif

hello_html_7507777c.gif6. 5 hello_html_m11733b5a.gif

hello_html_7507777c.gif7. 4 hello_html_m4dac3560.gif

hello_html_7507777c.gif8. 4 hello_html_5849633d.gif

hello_html_7507777c.gif9. 4 hello_html_522ad0eb.gif

hello_html_7507777c.gif10. 5 hello_html_m435e6e8f.gif

hello_html_7507777c.gif11. 5 hello_html_3c1dc5e0.gif

hello_html_7507777c.gif12. 6 hello_html_m2539edbd.gif

hello_html_7507777c.gif13. 6 hello_html_m167f1c9f.gif

hello_html_7507777c.gif14. 7 hello_html_49e7ab87.gif


hello_html_7507777c.gif15. 7 hello_html_79144ddb.gif

hello_html_7507777c.gif16. 7 hello_html_67610dc2.gif

hello_html_7507777c.gif17. 8 hello_html_58460ab7.gif

Для функции f(x) найти первооб-разную, график которой проходит через точку M (18-21):

hello_html_7507777c.gif18. 4 f(x) = hello_html_428c5ecf.gif, M (1;-2)

hello_html_7507777c.gif19. 5 f(x) = sin x – cos x, M (hello_html_m408dc49.gif;1)

hello_html_7507777c.gif20. 5 f(x) = hello_html_1d4df80f.gif, M (1;-2)

hello_html_7507777c.gif21. 5 f(x) = hello_html_2d14c2fe.gif, M (0;2)

Найти первообразную F(x) фун-кции f(x), принимающую указанное значение в заданной точке (22-24):

hello_html_7507777c.gif22. 5 f(x) = hello_html_m55d7c0c7.gif, F(0)=1

hello_html_7507777c.gif23. 6 f(x) =hello_html_4e13313.gif,

F(0) = 0

hello_html_7507777c.gif24. 7 f(x) =hello_html_20f28386.gif, F(1) = -1.


hello_html_7507777c.gif15. 7 hello_html_240fb90c.gif

hello_html_7507777c.gif16. 7 hello_html_m3b584154.gif

hello_html_7507777c.gif17. 8 hello_html_m13bf2fed.gif

Для функции f(x) найти первооб-разную, график которой проходит через точку M (18-21):

hello_html_7507777c.gif18. 4 f(x) =hello_html_m74daf97b.gif, M (2;-1)

hello_html_7507777c.gif19. 5 f(x) = cos x + sin x, M (hello_html_m2433856d.gif;-2)

hello_html_7507777c.gif20. 5 f(x) =hello_html_791f9a52.gif, M (1;-3)

hello_html_7507777c.gif21. 5 f(x) =hello_html_e3af370.gif, M (0;-2)

Найти первообразную F(x) фун-кции f(x), принимающую указанное значение в заданной точке (22-24):

hello_html_7507777c.gif22. 5 f(x) = hello_html_m7f3e9410.gif, F(hello_html_m408dc49.gif)=1

hello_html_7507777c.gif23. 6 f(x) =hello_html_490d6217.gif,

F(0) = 1

hello_html_7507777c.gif24. 7 f(x) =hello_html_m26f592a4.gif, F(-1) = 1.




Площадь криволинейной трапеции


Справочные сведения

  1. Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная отрезком [a;b] оси OX, отрезками прямых x = a и x =b (рис. 96) и графиком непрерывной на отрезке [a;b] функции y = f(x), где f(x) hello_html_7161be22.gif 0 при xhello_html_m7f499848.gif[a;b].

  2. Если S – площадь криволинейной трапеции, F(x) – некоторая

первообразная функции f (x) на [a;b], то

hello_html_m4248fc17.gif

S = F(b) – F(a) (1)


Формулу (1) называют формулой Ньютона-Лейбница.

hello_html_m51f86942.jpg



Примеры с решениями


  1. Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную:

1) графиком функции hello_html_md75eab8.gif, осью OX и прямыми x = π и x = hello_html_m520af4df.gif;

2) графиком функции hello_html_79e62c1d.gif, осью OX и прямыми x = -1 и x = 2;

3) графиком функции hello_html_m589574e6.gif и осью OX .


Решение. Криволинейные трапеции изображены на рис. 97-99.



hello_html_7ec04099.jpg

Рис. 97


hello_html_6b5440c5.jpg




  1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками прямых x = a, x = b, осью OX и графиком функции y = f(x):

1) a = 1, b = 3, f(x) = 6x - xhello_html_6ba1168f.gif;

2) a = hello_html_m196f88dc.gif, b = hello_html_m88da608.gif, f(x) = hello_html_3d47316b.gif;

3) a = -2, b = 2, f(x) = hello_html_871cbcd.gif.

Решение.

1) Применяя формулу (1), получаем

hello_html_5246a5af.gif

где F(x) – одна из первообразных функции. Так как 3xhello_html_6ba1168f.gif и hello_html_46a84d7e.gif - первообразные функций 6x и xhello_html_6ba1168f.gif, то в качестве F(x) можно взять функцию F(x) = 3xhello_html_6ba1168f.gif- hello_html_46a84d7e.gif. Тогда F(3) = 27 – 9 = 18, F(1) = 3 - hello_html_2ac294f4.gif=hello_html_5f57bc87.gif, откуда S = 18 - hello_html_5f57bc87.gif = hello_html_22785b0b.gif.

2) Функция F(x) = hello_html_5e02250.gif является первообразной функции

f(x) = hello_html_3d47316b.gif. По формуле (1) находим:

hello_html_3c86485c.gif3) Функция hello_html_5b98d9d7.gif является четной, ее график симметричен относительно оси Oy (рис. 100); при x hello_html_7161be22.gif 0 функция принимает вид hello_html_62238c3a.gif. кроме того, прямая x = 1 – ось симметрии параболы hello_html_m684b274f.gif, а точки (0;0) и (0;2) симметричны относительно прямой x = 1.

hello_html_4ef28198.jpg



Поэтому S = 4S1 , где S1 – площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 0, x = 1, y = 0 и графиком функции hello_html_m684b274f.gif. Так как

hello_html_m2bc36af2.gif

то S = hello_html_m11542fbd.gif.

Ответ. 1) hello_html_22785b0b.gif; 2) hello_html_60b7d2de.gif; 3) hello_html_m11542fbd.gif.


Задания для самостоятельной работы

Вариант I

Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью OX , прямыми x = a, x = b и графиком функции y = f(x)

(1-4):

  1. hello_html_7507777c.gif4 a = 1, b = 3, f(x) = 6x - xhello_html_6ba1168f.gif

  2. hello_html_7507777c.gif4 a = -4, b = -2, f(x) = hello_html_m6ba993c9.gif

  3. hello_html_7507777c.gif5 a = hello_html_12edb95.gif, b = hello_html_m5c52f0d8.gif, f(x)=hello_html_m70cb8091.gif

  4. hello_html_7507777c.gif6 a = -2, b = 4, f(x) = =hello_html_m14f9f389.gif

  5. hello_html_7507777c.gif5 Выяснить, какая из кри-волинейных трапеций, изо-браженных на рис. 101, 102, 103 имеет площадь S = 6,5


hello_html_207c5beb.jpg

Вариант II

Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью OX , прямыми x = a, x = b и графиком функции y = f(x)

(1-4):

  1. hello_html_7507777c.gif4 a = 2, b = 4, f(x) = 5x - xhello_html_6ba1168f.gif

  2. hello_html_7507777c.gif4 a = -3, b = -1, f(x) = hello_html_m796de72d.gif

  3. hello_html_7507777c.gifhello_html_7507777c.gif5 a = hello_html_a8b9b29.gif, b =hello_html_509b55af.gif, f(x) = hello_html_m4f25621e.gif

  4. 6 a = -6, b = 3, f(x) = =hello_html_m7f787831.gif

  5. hello_html_7507777c.gif5 Выяснить, какая из кри-волинейных трапеций, изо-браженных на рис. 104, 105, 106 имеет площадь S = 5,5



hello_html_m752507a6.jpg



hello_html_m65f9eb9d.jpg


hello_html_dbdcd36.jpg


Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямы-ми x = a, x = b, графиком функции y = f(x) и осью OX

(6-16):

  1. hello_html_7507777c.gif4 a = -1, b = 2, f(x) = xhello_html_6ba1168f.gif

  2. hello_html_7507777c.gif4 a = 0, b = 2, f(x) = xhello_html_6ba1168f.gif- 2x+2

  3. hello_html_7507777c.gif4 a = 3, b = 5, f(x) = 6x - xhello_html_6ba1168f.gif

  4. hello_html_7507777c.gif5 a = 1, b = 2, f(x) = hello_html_307b403d.gif

  5. hello_html_7507777c.gif 4 a = hello_html_7c1d267f.gif, b = hello_html_3722cef.gif, f(x) =hello_html_m796de72d.gif

  6. hello_html_7507777c.gif 4 a = 1, b = 27, f(x) = hello_html_2149a1c.gif

  7. hello_html_7507777c.gif 5 a = 1, b = 4, f(x) = hello_html_71a59136.gif

  8. hello_html_7507777c.gif 7 a = 0, b = 3, f(x) = hello_html_m281adcd8.gif

  9. hello_html_7507777c.gif 7 a = -1, b = 1, f(x) = hello_html_m6bf25c5e.gif

  10. hello_html_7507777c.gif 7 a = hello_html_m6d9da1ba.gif, b = hello_html_m88da608.gif, f(x) =hello_html_m4b3093c3.gif

  11. hello_html_7507777c.gif 7 a = 1, b = 2, f(x) = hello_html_716223f6.gif

hello_html_m3def88f7.jpg


hello_html_m10a3c373.jpg


Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямы-ми x = a, x = b, графиком функции y = f(x) и осью OX

(6-16):

  1. hello_html_7507777c.gif4 a = -2, b = 1, f(x) = 2xhello_html_6ba1168f.gif

  2. hello_html_7507777c.gif4 a = 1, b = 3, f(x) = xhello_html_6ba1168f.gif- 4x+5

  3. hello_html_7507777c.gif4 a = 2, b = 6, f(x) = 8x - xhello_html_6ba1168f.gif

  4. hello_html_7507777c.gif5 a = 0, b = 3, f(x) = hello_html_m3b175cf8.gif

  5. hello_html_7507777c.gif 4 a =hello_html_m509ccd64.gif, b =1, f(x) =hello_html_m5faa2e86.gif

  6. hello_html_7507777c.gif 4 a = 1, b = 64, f(x) =hello_html_2720614c.gif

  7. hello_html_7507777c.gif 5 a = 2, b = 5, f(x) = hello_html_4c9243ee.gif

  8. hello_html_7507777c.gif 7 a = 0, b = 2, f(x) = hello_html_2beee698.gif

  9. hello_html_7507777c.gif 7 a = -1, b = 1, f(x) =hello_html_m168017a6.gif

  10. hello_html_7507777c.gif 7 a =hello_html_m714c0222.gif, b =hello_html_a8b9b29.gif, f(x) =hello_html_e30a390.gif

  11. hello_html_7507777c.gif 7 a = 2, b = 4, f(x) = hello_html_m668e5e64.gif

Найти площадь фигуры, ограни-ченной графиком функции

y = f(x) и осью OX (17-20):

  1. hello_html_7507777c.gif 4 f(x) = hello_html_4b0b17ea.gif

  2. hello_html_7507777c.gif 4 f(x) = hello_html_m5b6e2dd7.gif

  3. hello_html_7507777c.gif 5 f(x) = hello_html_m29a8a62b.gif

  4. hello_html_7507777c.gif 5 f(x) = hello_html_462d76bd.gif, hello_html_m2fdc522.gif


Найти площадь фигуры, ограни-ченной графиком функции

y = f(x) и осью OX (17-20):

  1. hello_html_7507777c.gif 4 f(x) = hello_html_48e31fcf.gif

  2. hello_html_7507777c.gif 4 f(x) = hello_html_m3684435d.gif

  3. hello_html_7507777c.gif 5 f(x) =hello_html_m4d2d9a55.gif

  4. hello_html_7507777c.gif 5 f(x) = hello_html_m1f521426.gif, hello_html_m19709816.gif




Вычисление интегралов


Справочные сведения

Если F(x) – первообразная функции f(x) на промежутке [a;b], то по формуле Ньютона-Лейбница

hello_html_1a2497aa.gif

hello_html_19e388e3.gif



Примеры с решениями


1. Вычислить интеграл J =hello_html_m719481b1.gif

Решение. Так как hello_html_m7f6ec12b.gif - первообразная функции hello_html_m54451d8e.gif, то

J = hello_html_6f56e0a3.gif.


2. Вычислить интеграл J = hello_html_727e4e71.gif


Решение. Находим


J = hello_html_m55292435.gif

3. Вычислить интеграл J = hello_html_26ce5dcd.gif

Решение. Пусть f(x) = hello_html_4b909efc.gif, тогда f(x) = hello_html_7d30f670.gif = hello_html_32da1236.gif-hello_html_ma1819ed.gif. В качестве первообразной для функции f(x) можно взять функцию F(x) = hello_html_7aa962e5.gif+hello_html_md614324.gif. Поэтому J = F(3) – F(1), где F(3) = =hello_html_5a029f67.gif, F(1) = hello_html_2670a0d3.gif. Итак, J = hello_html_m10a9b40a.gif.


4. Вычислить интеграл J = hello_html_m25e8199d.gif

Решение. Применяя формулу понижения степени, получаем

hello_html_m60a9b812.gif,


где cos hello_html_5df1e7d6.gif2x = hello_html_mca80e06.gif. Следовательно,

hello_html_m4ed5608c.gif,

а в качестве первообразной для функции hello_html_m3e0cd92a.gif можно взять функцию

hello_html_58677450.gif.

Так как F(0) = 0, F(hello_html_m3e0c6731.gif) = hello_html_3e6fdfac.gif, то J = F(hello_html_m3e0c6731.gif) - F(0) = hello_html_3e6fdfac.gif.


Задания для самостоятельной работы

Вариант I

Вычислить интеграл (1-18):

  1. hello_html_7507777c.gif4 hello_html_26a4666c.gif

  2. hello_html_7507777c.gif5 hello_html_76925515.gif

  3. hello_html_7507777c.gif4 hello_html_1f97fc4f.gif


Вариант II

Вычислить интеграл (1-18):

  1. hello_html_7507777c.gif4 hello_html_1e7430e2.gif

  2. hello_html_7507777c.gif5 hello_html_m41dc54ed.gif

  3. hello_html_7507777c.gif4 hello_html_m48d0af8c.gif




  1. hello_html_7507777c.gif4 hello_html_m7ba6eb59.gif

  2. hello_html_7507777c.gif5 hello_html_874a005.gif

  3. hello_html_7507777c.gif6 hello_html_m1f6115f1.gif

  4. hello_html_7507777c.gif6 hello_html_3e6de81e.gif

  5. hello_html_7507777c.gif6 hello_html_m682a76e5.gif

  6. hello_html_7507777c.gif6 hello_html_m680563ff.gif

  7. hello_html_7507777c.gif 7 hello_html_m4fc5a8d1.gif

  8. hello_html_7507777c.gif 7 hello_html_77a2d7cc.gif

  9. hello_html_7507777c.gif 8 hello_html_m2e258baf.gif

  10. hello_html_7507777c.gif 8 hello_html_m76dcca1e.gif

  11. hello_html_7507777c.gif 8 hello_html_m4ab7e528.gif

  12. hello_html_7507777c.gif 8 hello_html_m2eb9af06.gif

  13. hello_html_7507777c.gif 9 hello_html_m659bb61a.gif

  14. hello_html_7507777c.gif 9 hello_html_d81af51.gif

  15. hello_html_7507777c.gif 9 hello_html_13e48754.gif


  1. hello_html_7507777c.gif4 hello_html_62346272.gif

  2. hello_html_7507777c.gif5 hello_html_m2907d686.gif

  3. hello_html_7507777c.gif6 hello_html_m75818bef.gif

  4. hello_html_7507777c.gif6 hello_html_m74ed7ef0.gif

  5. hello_html_7507777c.gif6 hello_html_mc2420d0.gif

  6. hello_html_7507777c.gif6 hello_html_m32060a3e.gif

  7. hello_html_7507777c.gif 7 hello_html_m5a94999.gif

  8. hello_html_7507777c.gif 7 hello_html_m4dcd6f11.gif

  9. hello_html_7507777c.gif 8 hello_html_3c65a3ba.gif

  10. hello_html_7507777c.gif 8 hello_html_4de4fe5c.gif

  11. hello_html_7507777c.gif 8 hello_html_65c1e131.gif

  12. hello_html_7507777c.gif 8 hello_html_78ab739c.gif

  13. hello_html_7507777c.gif 9 hello_html_4d0a71e3.gif

  14. hello_html_7507777c.gif 9 hello_html_m4236cf42.gif

  15. hello_html_7507777c.gif 9 hello_html_m62cd8da1.gif



Вычисление площадей

с помощью интегралов


Справочные сведения

Если фигура Ф ограничена отрезками прямых x = a, x = b и графиками непрерывных на отрезке [a,b] функция y = f1(x), y = f2(x) таких, что

f2(x) hello_html_7161be22.giff1(x) при x hello_html_m7f499848.gif[a,b] (рис. 107), то площадь S фигуры Ф выражается формулой

hello_html_m1caae246.gif

hello_html_372b9502.gif (1)



hello_html_m68b513b.jpg




Примеры с решениями


  1. Найти площадь фигуры Ф, ограниченной параболой y =hello_html_29492bf3.gif и прямой y = 3 – x.


Решение. Парабола и прямая пересекаются в точках A и B (рис. 108), абсциссы которых являются корнями уравнения hello_html_29492bf3.gif = 3 – x. Запишем это уравнение в виде xhello_html_6ba1168f.gif+ 4x -12 = 0, откуда найдем

x1 = -6, x2 = 2.


hello_html_51174eca.jpg


Искомую площадь вычислим по формуле (1), где a = -6, b = 2,

f2(x) = 3 – x, f1(x) = hello_html_29492bf3.gif. Следовательно,

hello_html_6ac64fb2.gif

  1. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной прямой x = 1, параболой y = hello_html_2a941cc5.gifи касательной, проведенной к этой параболе в точке ее пересечения с осью ординат:X

Решение. Парабола пересекает ось OY в точке A(0;2) (рис.109), а уравнение касательной к параболе в этой точке имеет вид y – 2 = kx, где k - значение производной функции f(x) = hello_html_2a941cc5.gifпри x = 0, т.е. k =hello_html_3d0b9ac4.gif(0) = (2x 2)| x=0 = -2 .

Итак, касательная задается уравнением y = 2 – 2x. Эта прямая пересекает ось OX в точке B(1;0). Поэтому

hello_html_m77ed87a4.gif


Задания для самостоятельной работы

Вариант I

Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (1-16):

  1. hello_html_7507777c.gif4 y = 3x + 18 - xhello_html_6ba1168f.gif, y = 0

  2. hello_html_7507777c.gif4 y = 1 + xhello_html_6ba1168f.gif, y = 2

  3. hello_html_7507777c.gif5 y = xhello_html_6ba1168f.gif- x, y = 3x

  4. hello_html_7507777c.gif5 y = xhello_html_6ba1168f.gif, y = x + 2

  5. hello_html_7507777c.gif5 y = hello_html_m1e42ff3a.gif - 2x + 4, y = 10 – x

  6. hello_html_7507777c.gif6 y = 8x - xhello_html_6ba1168f.gif- 7, y = x + 3

  7. hello_html_7507777c.gif6 y = xhello_html_6ba1168f.gif, y = 2x - xhello_html_6ba1168f.gif

  8. hello_html_7507777c.gif6 y = 2 + 4x - xhello_html_6ba1168f.gif, y = xhello_html_6ba1168f.gif-2x+2

  9. hello_html_7507777c.gif5 y = hello_html_m43483451.gif, y = hello_html_m6f3d92d6.gif

  10. hello_html_7507777c.gif 6 y = xhello_html_3a44b7e9.gif, y = hello_html_m2b88d4b1.gif

  11. hello_html_7507777c.gif 6 y = xhello_html_6ba1168f.gif, y = 2hello_html_5197c38.gif

  12. hello_html_7507777c.gif 6 y = hello_html_239fc0c.gif- x + 2, y = x, x = 0

  13. hello_html_7507777c.gif 6 y = (x - 1)hello_html_6ba1168f.gif, y = 4(x – 4),

y = 0

  1. hello_html_7507777c.gif 6 y = hello_html_15d1c14b.gif, y = x - 1, x = 1

  2. hello_html_7507777c.gif 6 y = sinx, где 0 hello_html_ed818a4.gif x hello_html_ed818a4.gifhello_html_m20710745.gifи y = hello_html_m59cf2235.gif

  3. hello_html_7507777c.gif 6 y = xhello_html_6ba1168f.gif- 4x, y = -4, x = 0

  4. hello_html_7507777c.gif 7 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = = xhello_html_6ba1168f.gif+ 12 и касательными к ней, проведенными из точки A(0;3)

Вариант II

Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (1-16):

  1. hello_html_7507777c.gif4 y = 5x + 14 - xhello_html_6ba1168f.gif, y = 0

  2. hello_html_7507777c.gif4 y = 2 + xhello_html_6ba1168f.gif, y = 3

  3. hello_html_7507777c.gif5 y = xhello_html_6ba1168f.gif+ x, y = -3x

  4. hello_html_7507777c.gif5 y = xhello_html_6ba1168f.gif, y = 2 – x

  5. hello_html_7507777c.gif5 y = hello_html_m1e42ff3a.gif + 2x + 4, y = 10 + x

  6. hello_html_7507777c.gif6 y = 8x - xhello_html_6ba1168f.gif- 2, y = x + 8

  7. hello_html_7507777c.gif6 y = xhello_html_6ba1168f.gif+ 4, y = 2x + 4 - xhello_html_6ba1168f.gif

  8. hello_html_7507777c.gif6 y = xhello_html_6ba1168f.gif+2x+2 , y = 2 - 4x - xhello_html_6ba1168f.gif

  9. hello_html_7507777c.gif5 y = -hello_html_m43483451.gif, y = hello_html_m410850f5.gif

  10. hello_html_7507777c.gif 6 y = xhello_html_3a44b7e9.gif+ 1, y = 1 +hello_html_m2b88d4b1.gif

  11. hello_html_7507777c.gif 6 y = 2 + xhello_html_6ba1168f.gif, y = 2(1 +hello_html_5197c38.gif)

  12. hello_html_7507777c.gif 6 y = hello_html_239fc0c.gif+ x + 2, y = -x, x = 0

  13. hello_html_7507777c.gif 6 y = -4(x + 2)hello_html_6ba1168f.gif, y = (x + 1)hello_html_6ba1168f.gif, y = 0

  14. hello_html_7507777c.gif 6 y = hello_html_15d1c14b.gif, y = -1 – x, x = -1

  15. hello_html_7507777c.gif 6 y = sinx, где -hello_html_m20710745.gifhello_html_ed818a4.gifx hello_html_ed818a4.gif0 и y = hello_html_m59cf2235.gif

  16. hello_html_7507777c.gif 6 y = 4x - xhello_html_6ba1168f.gif, y = 4, x = 0

  17. hello_html_7507777c.gif 7 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = = xhello_html_6ba1168f.gif+ 11 и касательными к ней, проведенными из точки A(0;2)



  1. hello_html_7507777c.gif 7 Найти площадь фигуры, ограниченной осями коор-динат, параболой y = xhello_html_6ba1168f.gif+ 3 и касательной к ней в точке A(2;7).

  1. hello_html_7507777c.gif 7 Найти площадь фигуры, ограниченной осями коор-динат, параболой y = xhello_html_6ba1168f.gif+ 3 и касательной к ней в точке A(-2;7).


Контрольная работа № 7

Вариант I


  1. Доказать, что функция F(x) = 3x + sinx - ehello_html_m6feddfaf.gifявляется первообразной функции f(x) = 3 + cosx - - 2ehello_html_m6feddfaf.gifна всей числовой оси.

  2. Найти первообразную F функции f(x) = hello_html_m116c5af6.gif, график которой проходит через точку A(0; hello_html_4db799fe.gif).

  3. Вычислить площадь фи-гуры F, изображенной на рис. 110.

hello_html_2be9b43f.jpg

Вариант II


  1. Доказать, что функция F(x) = ehello_html_3654bfa5.gif + cosx + x является первообразной функции f(x) = 3ehello_html_3654bfa5.gif - sinx + 1 на всей числовой оси.

  2. Найти первообразную F функции f(x) = hello_html_2c13590f.gif, график которой проходит через точку A(0; hello_html_m476c8e83.gif).

  3. Вычислить площадь фи-гуры F, изображенной на рис. 111.


hello_html_m46c04354.jpg



  1. Вычислить интеграл:

1) hello_html_m19fd46d0.gif

2) hello_html_6c90ef5f.gif

  1. Найти площадь фигуры ограниченной прямой y = 1 - - 2x и графиком функции y = = xhello_html_6ba1168f.gif- 5x – 3.

  1. Вычислить интеграл:

1) hello_html_m2529e9f9.gif

2) hello_html_7de37015.gif

  1. Найти площадь фигуры ограниченной прямой y = 3- - 2x и графиком функции y = = xhello_html_6ba1168f.gif+ 3x – 3.


Автор
Дата добавления 04.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров242
Номер материала ДВ-416973
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх