Методические рекомендации по выполнению практического занятия на тему " Логарифмические неравенства. Способы решения"

Практическое занятие

Раздел программы:              Алгебра

Тема программы:                Уравнения

Тема практического занятия: Логарифмические неравенства. Способы  решения

Цель занятия - овладение умениями применения способов решения логарифмических неравеств

Дидактическое оснащение практического занятия - методические указания по выполнению практического занятия

Время выполнения - 45 мин.

Краткие теоретические сведения

Определение Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида  

log_a f(x)> log_a g(x), где а > 0, а ± 1 и неравенства, сводящиеся к данному виду

Основные способы решения

А) при а > 1 неравенство вида log_a f(x)> log_a g(x), равносильно системе неравенств

f(x)> g(x), т.к y = log_a х    возрастающая функция

f(x)> 0,  т.к D (log_a x) = R₊

g(x) > 0,  т.к D (log_a x) = R₊

Пример

Log₃ (1 – x) > Log₃ (3 –2 x),

т.к 3> 1, то y = log_a х    возрастающая функция на R₊ , значит данное неравенство равносильно системе

1 – x > 0,

3 –2 x > 0,

(1 – x) > (3 –2 x).

1 – x > 0                           3 –2 x > 0                             1 – x > 3 –2 x          

Х < 1                                Х < 1,5                               -х +2х  > 3 - 1                    

                                                                                            Х > 2

Система решений не имеет, т.к. нет пересечения множеств.

Ответ: решений нет

Б) при   0< а<1 неравенство вида log_a f(x)> log_a g(x), равносильно системе неравенств

 

f(x) < g(x), т.к y = log_a х    убывающая функция

f(x)> 0,  т.к D (log_a x) = R₊

g(x) > 0,  т.к D (log_a x) = R₊

Пример

Log _0,5(4x -7) < Log_0,5 (x + 2)

т.к   0< 0,5<1 , то y = log_a х    убывающаяфункция на R₊ , значит данное неравенство равносильно системе

4 x -7 > 0,

 X + 2 > 0,

(4 x -7) < ( x+ 2).

4 x -7 > 0                   X + 2 > 0                 4 x -7 <  x+ 2

Х  >7/4                      х > - 2                       3х < 9

                                                                      х< 3

Множества пересекаются в промежутке (1,75; 3)

Ответ: (1,75; 3)

Варианты заданий

Вариант 1	Вариант 2
№ 1 Решить неравенства А) log0,5 (2x -1) > - 1 Б) log3 (5x -1) > log3(2 – 3х)	№ 1 Решить неравенства А)  log1/3 (3x - 4) ≥ - 1 Б) log4 (5x +1) = log4 (3 -4x)
№ 2 Решить неравенство            Lg x + Lg (x – 1) <  Lg6	№ 2 Решить уравнение  Lоgπ (x + 1) + Lоg π  x < Lоg 2
№ 3 Решить неравенство Log 2 sinx/2 < - 1	№ 3 Решить неравенство Log 1/3 cos2x > 1

Критерии оценивания

«5» (отлично)  – выполнены верно все задания

«4» (хорошо ) - выполнены верно  задания № 1, № 2 или № 1, № 3

 «3»( удовлетворительно) - выполнено верно задание № 1

« 2» неудовлетворительно - не удовлетворяет критериям оценки «3»

Литература:

1.                  Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы.  —  М.: Просвещение,  2015.

2.                  Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М.,  2014.

3.                  Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

4.                  Башмаков М. И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

5.                  Башмаков М. И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2015.