Методические рекомендации по выполнению самостоятельных работ в системе СПО

Министерство общего и профессионального образования Ростовской области

государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области «Ростовский колледж рекламы, сервиса и туризма «Сократ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по выполнению самостоятельных работ

по дисциплине общеобразовательного цикла ЕН.01 Математика

(базовый уровень, год начала подготовки 2016

на базе среднего профессионального образования по ППКРС)

форма обучения очная

Ростов-на-Дону

2016-2017

Составитель: Демина Римма Григорьевна, преподаватель высшей квалификационной категории ГАПОУ РО «РКРСТ «Сократ»

Подготовлены на основании законодательных и иных нормативных правовых актов в сфере СПО по организации учебного процесса по очной форме обучения в образовательных организациях среднего профессионального образования и на основании ФГОС по специальности 42.02.01 «Реклама».

Составлены в соответствии с рабочей учебной программой общеобразовательной дисциплины «Математика», предназначены для обучающихся, осваивающих программы продготовки специалистов специальности 42.02.01 «Реклама».

Рассматриваются вопросы подготовки, определения структуры и оформления самостоятельных работ по дисциплине «Математика».

Приводится перечень источников по курсу, с учетом действующих нормативно-правовых актов.

Одобрены на заседании цикловой методической комиссии естественнонаучных и математических дисциплин, протокол № 1 от 29 августа 2016г

ГАОУ СПО РО РТРСТ, 2016

СОДЕРЖАНИЕ

1. Назначение самостоятельных работ…………………………..2

2. Перечень самостоятельных работ по темам…………………3-4

3. Рекомендации к выполнению самостоятельных работ…….5-50

4. Приложения…………………………………………………52-57

5. Список литературы…………………………………………….58

Назначение самостоятельных работ

Самостоятельная работа студентов является существенной частью учебно-воспитательного процесса. Она предназначена не только для овладения конкретной дисциплиной, но и для формирования самостоятельности, как одного из важнейших качеств современного специалиста, навыков самостоятельной работы, научной и профессиональной деятельности, способности работать в нестандартных ситуациях, принимать на себя ответственность, самостоятельно находить конструктивные решения проблем. Поэтому в современных условиях специалист должен обладать фундаментальными знаниями, профессиональными умениями и навыками, опытом творческой, последовательской и социально-оценочной деятельности. Решению этой задачи в значительной степени способствует самостоятельная работа студентов.

Самостоятельную работу относят к одной из форм организации учебного процесса, рассматривают ее и как метод обучения.

Самостоятельную работу определяют как средство организации и выполнения студентами определенной деятельности в соответствии с поставленной целью.

В современных условиях значение самостоятельной работы возрастает, что связано с чрезвычайно быстрыми темпами развития науки, увеличением объема информации, «моральным старением знаний».

Основными видами внеаудиторной самостоятельной работы студента по учебной дисциплине «Математика» являются:

· Проработка конспектов аудиторных лекций;

· Написание рефератов, создание электронных презентаций;

· Решение индивидуальных заданий

· Подготовка к аудиторным практическим занятиям

· Конспектирование материала учебника

Работа студента за выполнение заданий оценивается комплексной оценкой. Общими критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студентов являются: 1) Уровень усвоения студентом учебного материала; 2) Умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач. 3) Творческий подход. 4) Своевременность выполнения работы, в соответствии с графиком.

ПЕРЕЧЕНЬ

самостоятельных работ

по дисциплине общеобразовательного цикла ЕН.01 Математика

для обучающихся, осваивающих ППССЗ по специальности 42.02.01 «Реклама»

для очной формы обучения

№ п/п	Наименование тем самостоятельных работ	Кол-во часов	Вид контроля
	Раздел 1. Математический синтез Тема 1.1 Функция двух переменных
1	Проработка конспекта аудиторной лекции для закрепления и систематизации полученных знаний по теме «Функция двух переменных».	2	Проверка конспектов, работа у доски, устный опрос.
	Тема 1.2. Задача линейного программирования
2	Решение индивидуальных задач по теме для закрепления и систематизации полученных знаний по теме «Составление математических моделей экономических задач».	2	Анализ полноты, качества, достоверности, логичности выполненных заданий. Практическое занятие 1 «Составление математических моделей экономических задач»
	Раздел 2. Математический анализ Тема 2.1. Предел функции
3	Решение индивидуальных задач по теме для закрепления и систематизации полученных знаний по теме «Предел функций».	6	Анализ полноты, качества, достоверности, логичности выполненных заданий. Практическое занятие 2 «Предел функций»
	Тема 2.2. Дифференциальное исчисление
4	Подготовить реферат (электронную презентацию) «Применение производной для решения прикладных задач» или решить индивидуальные задания по теме «Дифференцирование сложных функций»	6	Анализ полноты, качества, достоверности, логичности выполненных заданий. Практическое занятие 3 «Дифференцирование сложных функций»
	Тема 2.3. Интегральное исчисление
5	Подготовить реферат (презентацию) «Применение определенного интеграла для решения прикладных задач» или решить индивидуальные задания по теме «Вычисление определённого интеграла».	6	Анализ полноты, качества, достоверности, логичности выполненных заданий. Практическое занятие 4 «Вычисление определённого интеграла».
Тема 2.4. Дифференциальные уравнения
6	Решение индивидуальных задач по теме для закрепления и систематизации полученных знаний по теме «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».	6	Анализ полноты, качества, достоверности, логичности выполненных заданий. Практическое занятие 5 «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными»
	Раздел 3. Дискретная математика Тема 3.1 Множества. Графы
7	Проработка конспекта аудиторной лекции для закрепления и систематизации полученных знаний по теме « Множества. Графы».	2	Проверка конспектов, работа у доски, устный опрос.
	Раздел 4 Теория вероятностей и математическая статистика Тема 4.1 Основы теории вероятностей и математической статистики
8	Подготовить реферат (презентацию) на тему «Практические задачи с применением вероятностных методов» или решить индивидуальные задания	6	Анализ полноты, качества, достоверности, логичности выполненных заданий. Практическое занятие 6 «Вычисление вероятности»
	ВСЕГО	36

Рекомендации к выполнению самостоятельных работ

1. Проработка конспекта аудиторной лекции для закрепления и систематизации полученных знаний по теме «Функция двух переменных».

Студенты должны проработать конспект аудиторной лекции для закрепления и систематизации полученных знаний

Литература:

1. В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики» изд. «Академия» 2014, пар.8.1

2. В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова «Математика» изд «Феникс» 2014, пар.2.1.9

3. http://www.mathprofi.ru/funkcija_dvuh_peremennyh_oblast_opredelenija_linii_urovnja.html

Теоретические положения

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие ƒ, которое каждой паре чисел (х; у) є D сопоставляет одно и только одно число z є R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в Е, и записывается в виде z = ƒ(х;у) или ƒ : D → R При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z — зависимой переменной (функцией).

Множество D = D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.

Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество {(х;у) | х > 0, у > 0}.

Функцию z = ƒ(х;у), где (х;у) є D можно понимать (рассматривать) как функцию точки М(х;у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D. Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции z = ƒ(х;у) в точке М0(х0;у0) обозначают z0=ƒ(хо;уо) или z0=ƒ(М0) и называют частным значением функции.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке М0(х₀; у₀) области D в системе координат Oxyz соответствует точка M(x₀;y₀;z₀), где z₀ = ƒ(х_о;у_о) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z=ƒ(x;у).

Например, функцияимеет областью определения круг х² + у² ≤ 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке O(0;0;0) и радиусом R = 1.

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

Пример
Найти область определения функции и изобразить её на чертеже

Решение: такая формулировка задачи требует выполнения чертёжа (даже если область определения очень проста). Но сначала аналитика: подкоренное выражением должно быть неотрицательным: и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:

Как определить область, которую задаёт неравенство ? Рекомендуется тот же алгоритм действий, что и при решении линейных неравенств.

Сначала чертим линию, которую задаёт соответствующее равенство. Уравнение определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое, то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром.

Теперь берём произвольную точку плоскости, не принадлежащую окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат

Получено неверное неравенство, таким образом, точка не удовлетворяет неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется:

Можно взять любую точку, принадлежащую заштрихованной области и убедиться, что её координаты удовлетворяют неравенству . Кстати, противоположное неравенство задаёт круг с центром в начале координат, радиуса .

Ответ: внешняя часть круга

Задачи на закрепление материала:

Найти область определения функции и изобразить её на чертеже

2. Решение индивидуальных задач по теме «Задача линейного программирования» для закрепления и систематизации полученных знаний.

Теоретические положения

Задачей ЛП является нахождение оптимального (т.е. наилучшего) плана при заданной системе налагаемых на решение условий и ограничений.

Методы и модели ЛП широко применяются при оптимизации процессов в экономике. Это, например, 1) задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании, 2) задача о смесях, 3) транспортная задача…

Общей задачей линейного программирования называют задачу

при ограничениях

или

Задача о смесях
В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. д. Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.
Пример. Для откорма животных используется три вида комбикорма: А, В и С. Каждому животному в сутки требуется не менее 800 г. жиров, 700 г. белков и 900 г. углеводов. Содержание в 1 кг. каждого вида комбикорма жиров белков и углеводов (граммы) приведено в таблице:

Содержание
в 1 кг.

Комбикорм

	А	В	С
Жиры	320	240	300
Белки	170	130	110
Углеводы	380	440	450
Стоимость 1 кг	31	23	20

Сколько килограммов каждого вида комбикорма нужно каждому животному, чтобы полученная смесь имела минимальную стоимость?
Решение:

Математическая модель задачи есть:
      - количество комбикорма А,В и С. Стоимость смеси есть:

Ограничения на количество ингредиентов:

                                                Задача о назначениях
     Речь идет о задаче распределения заказа (загрузки взаимозаменяемых групп оборудования) между предприятиями (цехами, станками, исполнителями) с различными производственными и технологическими характеристиками, но взаимозаменяемыми в смысле выполнения заказа. Требуется составить план размещения заказа (загрузки оборудования), при котором с имеющимися производственными возможностями заказ был бы выполнен, а показатель эффективности достигал экстремального значения.
     Пример. Цеху металлообработки нужно выполнить срочный заказ на производство деталей. Каждая деталь обрабатывается на 4-х станках С1, С2, С3 и С4. На каждом станке может работать любой из четырех рабочих Р1, Р2, Р3, Р4, однако, каждый из них имеет на каждом станке различный процент брака. Из документации ОТК имеются данные о проценте брака каждого рабочего на каждом станке:

Рабочие

Станки

	С1	С2	С3	С4
Р1	2,3	1,9	2,2	2,7
Р2	1,8	2,2	2,0	1,8
Р3	2,5	2,0	2,2	3,0
Р4	2,0	2,4	2,4	2,8

    Необходимо так распределить рабочих по станкам, чтобы суммарный процент брака (который равен сумме процентов брака всех 4-х рабочих) был минимален. Чему равен этот процент?
     Обозначим за  - переменные, которые принимают значения 1, если i-й рабочий работает на j-м станке. Если данное условие не выполняется, то . Целевая функция есть:

     Вводим ограничения. Каждый рабочий может работать только на одном станке, то есть

Кроме того, каждый станок обслуживает только один рабочий:

Кроме того, все переменные должны быть целыми и неотрицательными:  .

Транспортная задача

Пример. Компания «Стройгранит» производит добычу строительной щебенки и имеет на территории региона три карьера. Запасы щебенки на карьерах соответственно равны 800, 900 и 600 тыс. тонн. Четыре строительные организации, проводящие строительные работы на разных объектах этого же региона дали заказ на поставку соответственно 300, 600, 650 и 750 тыс. тонн щебенки. Стоимость перевозки 1 тыс. тонн щебенки с каждого карьера на каждый объект приведены в таблице:

Карьер

Строительный объект

	1	2	3	4
1	8	4	1	7
2	3	6	7	3
3	6	5	11	8

     Необходимо составить такой план перевозки (количество щебенки, перевозимой с каждого карьера на каждый строительный объект), чтобы суммарные затраты на перевозку были минимальными.
     Данная транспортная задача является закрытой, так как запасы поставщиков 800+900+600=2300 равны спросу потребителей 300+600+650+750=2300. Математическая модель ЗЛП в данном случае имеет вид:
      - количество щебенки, перевозимой с i–го карьера на j–й объект. Тогда целевая функция равна

Ограничения имеют вид

Задачи для самостоятельного решения

1. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в табл. 2. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.

Вид сырья	Нормы расхода сырья (кг) на одно изделие		Общее количество сырья (кг)
	А	В	Общее количество сырья (кг)
I II III	12 4 3	4 4 12	300 120 252
Прибыль от реализации одного изделия (руб.)	30	40

Учитывая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), требуется составить такой план их выпуска, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий является максимальной

2. Для изготовления трех видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны в табл. 1. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.

Тип оборудования	Затраты времени (станко-часы) на обработку одного изделия каждого вида			Общий фонд рабочего времени оборудования (часы)
	А	В	С	Общий фонд рабочего времени оборудования (часы)
Фрезерное	2	4	5	120
Токарное	1	8	6	280
Сварочное	7	4	5	240
Шлифовальное	4	6	7	360
Прибыль (руб.)	10	14	12

Требуется определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

3. Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок (табл. 1.1). Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида. Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

3. Решение индивидуальных задач по теме «Предел функции» для закрепления и систематизации полученных знаний.

Литература:

1. В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики» изд. «Академия» 2014, глава 5

2. В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова «Математика» изд «Феникс» 2014, пар.2.1.3, 2.1.4

3. И. Д. Пехлецкий «Математика» изд.Академия 2014 глава 3

Цель: отработка навыков решения упражнений на нахождение пределов.

Теоретические положения

Техника вычисления пределов:

Пример №1. Найти. Решение. .

Пример№2. Найти

Пример №3. Найти Однако из этого не следует, что данная функция не имеет предела. Вынесем за скобки Х и разделим числитель и знаменатель на Х, что допустимо так как перехода к предельному значению. Тогда получим

Пример №4. Найти . Разложим числитель на линейные множители =

Следовательно,

Пример №5. Найти . При подстановки х=12 получим неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности, преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на выражение

Пример №6. Найти Решение

Пример №7. Найти Решение (неопределенность). Преобразуем данную функцию, разделив почленно числитель и знаменатель на неизвестную в самой большой степени.

Самостоятельная работа.

10)

11)

12)

13)

14)

15) .

Критерии оценок: 15 заданий-«5», 10-14 заданий –«4», 6-9 заданий –«3»

4. Подготовить реферат (электронную презентацию) «Применение производной для решения прикладных задач» или решить индивидуальные задания по теме «Дифференцирование сложной функции».

Литература:

4. В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики» изд. «Академия» 2014, пар.6.1

5. В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова «Математика» изд «Феникс» 2014, пар.2.1.6, 2.1.7

6. И. Д. Пехлецкий «Математика» изд.Академия 2014 пар. 7.1, 7.2

Цель: освоить навыки нахождения производных сложной функции.

Требования к оформлению реферата -смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Требования к оформлению презентации -смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Теоретические положения.

Таблица производных.

1. (c) ´ = 0 (c — константа).

2. где aÎR.

В частности, (x)´=1,

3. (a^x)´ = a^xln a.

В частности, (e^x) ´ = e^x.

4..

В частности, 5. (sin x)´ = cos x.

6. (cos x)´ = — sin x.

10.

11.

12.

13. (¦(x)+g(x))¢ = ¦¢(x) + g¢(x).

14. (¦(x)g(x))¢ = ¦¢(x)g(x) + ¦(x)g¢(x).

15.

Дифференцирование сложной функции

3.. 4.

Если у есть функция от u: y=f(u) , где u=φ(X) то есть y=f(φ(X)), то у называется сложной функцией.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

Примеры

1.((x²+3x+10)²)′=2(х²+ 3х + 10) (х²+ 3х + 10)′=2(х²+ 3х + 10)(2х + 3);

2.= 3 = 3 = =3=3=3

3. (x^1/3)′ =

4.()′ = (x² + 1)′ = · 2x.

9. ((x² + 3) ln(2x + 1))′=

10.

11.

12.

13.((x² + 3) ln(2x + 1))′=

14. (sin 5x)' = соs5x(5x)' = 5соs5x;

15. (sin 3x²)' = соs 3x²(3x²)' = 6x соs 3x²;

16. (sin³ 2x)' = 3 sin² 2x(sin 2x)' = 3 sin² 2x соs 2x(2x)' = 6 sin² 2x соs 2x.

17. (соs 3x)'= — sin 3x(3х)' = — 3sin 3x;

18. (соs 3х)'= —sin3х²(3x²)'= — 6x sin 3x²;

19. (соs² 3x)' = 2соs 3x(соs 3x)' = 2соs 3x (— sin 3x)(3x)' = — 3sin 6х.

20.

21.

22.

Самостоятельная работа. Найдите производную функции:

10.

12.

13.

14.

15.

16.

Критерии оценок: 16 заданий-«5», 15-12 заданий –«4»,11-7 заданий –«3»

5. Подготовить реферат (презентацию) «Применение определенного интеграла для решения прикладных задач» или решить индивидуальные задания по теме «Вычисление определенного интеграла»

Литература:

1. В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики» изд. «Академия» 2014 глава 7

2. В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова «Математика» изд «Феникс» 2014, пар.2.1.12

3. И. Д. Пехлецкий «Математика» изд.Академия 2014 пар. 8.2

4. В.П. Григорьев, С.В.Иволгин «Математика» изд. «Академия» 2014 пар. 1.13

Цель: освоить навыки нахождения определённого интеграла

Требования к оформлению реферата -смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Требования к оформлению презентации -смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Теоретические положения

Алгоритм нахождения определенного интеграла

1. Найти первообразную функциюF(x) для f(x)

2. Вычислить значение при (

3. Вычислить значение F(x) (а- называется нижним пределом)

4. Вычислить разность F(b)

Основные формулы интегрирования

1) =+c

2) =x+C

3) =

4) =+C, 0a

5) =+C

6) =-

8) =, x+

9) +C, x

10) =

11) =

12) =|+C

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

– в таком виде интегрировать значительно удобнее.

Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:

– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:

Замена переменной в определенном интеграле

Пример

Вычислить определенный интеграл

Используем формулу . Но в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена:
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: .
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал :

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап:

Находим новые пределы интегрирования.

Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования , .

Сначала подставляем в выражение замены нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

Потом подставляем в выражение замены верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Продолжаем решение.

Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо.

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Пример 1

Вычислить определенный интеграл

Решаем.

Интегрируем по частям:

Пример 2 Вычислить определенный интеграл

1 этап: Интегрируем по частям:

Первообразная функция найдена. Константу в данном случае добавлять не имеет смысла.

В чём преимущество такого похода? Не нужно «таскать за собой» пределы интегрирования, действительно, замучаться можно десяток раз записывать мелкие значки пределов интегрирования

2 этап – применение формулы Ньютона-Лейбница:

Самостоятельная работа:

1. Вычислить определенный интеграл

2. Вычислить определенный интеграл

3. Вычислить определенный интеграл

4. Вычислить определенный интеграл

6. )

8. Вычислить определенный интеграл

9. Вычислить определенный интеграл

10. Вычислить определенный интеграл )

Критерии оценок: 10 заданий-«5», 9-7 заданий- «4», 6-4 задания- «3»

6. Решение индивидуальных задач по теме для закрепления и систематизации полученных знаний по теме «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Литература:

1. В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики» изд. «Академия» 2014 пар. 11.2

2. В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова «Математика» изд «Феникс» 2014, пар.2.2.2

3. И. Д. Пехлецкий «Математика» изд.Академия 2014 пар. 9.2

4. В.П. Григорьев, С.В.Иволгин «Математика» изд. «Академия» 2014 глава 4

Цель: освоить навыки решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Теоретические положения.

Дифференциальные уравнения принято классифицировать в зависимости от порядка производной, входящих в уравнение.

Уравнение вида , где - данные функции, называется уравнением с разделёнными переменными.

Это уравнение можно переписать в виде и рассматривать как равенство двух дифференциалов. Решение этих уравнений выполняется непосредственным интегрированием обеих частей уравнения.

Пример №1.

Решить уравнение

Ответ:

Пример №2.

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному условию.

, y(1)=4

Ответ:

Самостоятельная работа.

Решить уравнение

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному условию.

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Критерии оценок: 15 заданий-«5», 14-12 заданий –«4»,11 -8 заданий –«3»

7. Проработка конспекта аудиторной лекции для закрепления и систематизации полученных знаний по теме « Множества».

Литература:

1. В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики» изд. «Академия» 2014 пар. 1.1

2. В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова «Математика» изд «Феникс» 2014, пар. 1.1

3. И. Д. Пехлецкий «Математика» изд.Академия 2014 пар. 1.1

4. М.С. Спирина, П.А. Спирин, Дискретная математика, учебник для студ. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014 глава 1

5. В.П. Григорьев, С.В.Иволгин «Математика» изд. «Академия» 2014 глава 5

Теоретические положения

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

§ А={1,2,3,5,7} — множество чисел

§ Х={x₁,x₂,...,x_n} — множество некоторых элементов x₁,x₂,...,x_n

§ N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел

§ Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Основные операции:

· Принадлежность элемента множеству:

$\displaystyle a\in A,$

где - элемент и - множество (элемент принадлежит множеству ).

· Непринадлежность элемента множеству:

$\displaystyle a\not\in A,$

где -- элемент и -- множество (элемент не принадлежит множеству ).

· Объединение множеств: $A\bigcup B$ .

Объединением двух множеств и называется множество , которое состоит из элементов множеств и , т.е.

$\displaystyle C = A\bigcup B = \{c:c\in A\$ или $\displaystyle \ c\in B\}.$

· Пересечение множеств: $A\bigcap B$ .

Пересечением двух множеств и называется множество , которое состоит из общих элементов множеств и , т.е.

$\displaystyle C = A\bigcap B = \{c:c\in A\$ и $\displaystyle \ c\in B\}.$

· Разность множеств: $A \setminus B$ .

Разностью двух множеств и , например, множество минус множество ,называется множество , которое состоит из элементов множества ,которых нет в множестве , т.е.

$\displaystyle C = A \setminus B = \{c:c\in A\$ и $\displaystyle \ c\not\in B\}.$

· Вхождение одного множества в другое множество: $A \subset B$ .

Если любой элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество есть подмножество множества (множество входит в множество ).

· Не вхождение одного множества в другое множество: $A \not\subset B$ .

Если существует элемент множества , который не является элементом множества , то говорят, что множество не подмножество множества (множество не входит в множество ).

Примеры:

если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то А/В = {1,2}

Проработка конспекта аудиторной лекции для закрепления и систематизации полученных знаний по теме «Графы»

Литература:

1. В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова «Математика» изд «Феникс» 2014, пар. 1.2

2. М.С. Спирина, П.А. Спирин, Дискретная математика, учебник для студ. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014 глава 2

Теоретические положения

Граф можно рассматривать как множество точек и соединяющих эти точки линий со стрелками или без них.

Точки при этом называются вершинами, а линии – ребрами графа.

С графами, сами того не замечая, мы сталкиваемся постоянно. Например, графом является схема линий метрополитена. Точками на ней представлены станции, а линиями — пути движения поездов. Исследуя свою родословную и возводя ее к далекому предку, мы строим так называемое генеалогическое древо. И это древо — граф.

Первой работой теории графов как математической дисциплины считают статью Эйлера (1736 г.), в которой рассматривалась задача о Кёнингсбергских мостах. Эйлер показал, что нельзя обойти семь городских мостов и вернуться в исходную точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Следующий импульс теория графов получила спустя почти 100 лет с развитием исследований по электрическим сетям, кристаллографии, органической химии и другим наукам.

Графы служат удобным средством описания связей между объектами. Ранее мы уже использовали графы как способ наглядного представления конечных бинарных отношений. Но граф используют отнюдь не только как иллюстрацию. Например, рассматривая граф, изображающий сеть дорог между населенными пунктами, можно определить маршрут проезда от пункта А до пункта Б. Если таких маршрутов окажется несколько, хотелось бы выбрать в определенном смысле оптимальный, например самый короткий или самый безопасный. Для решения задачи выбора требуется проводить определенные вычисления над графами. При решении подобных задач удобно использовать алгебраическую технику, да и само понятие графа необходимо формализовать.

Методы теории графов широко применяются в дискретной математике. Без них невозможно обойтись при анализе и синтезе различных дискретных преобразователей: функциональных блоков компьютеров, комплексов программ и т.д.

В настоящее время теория графов охватывает большой материал и активно развивается.

Задача 1. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Задача 2 Несколько мальчиков встретились на вокзале, чтобы поехать за город в лес. При встрече все они поздоровались друг с другом за руку. Сколько мальчиков поехали за город, если всего было 10 рукопожатий?

Решение: Сделаем рисунок. Точки будут изображать мальчиков, а отрезки рукопожатия.

1) 2) 3) 4)

Из рисунка видно, что на вокзале встретились 5 мальчиков.

Графы Эйлера

Вы наверняка сталкивались с задачами, в которых требуется нарисовать какую-либо фигуру не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую линию только один раз. Оказывается, что такая задача не всегда разрешима, т.е. существуют фигуры, которые указанным способом нарисовать нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также входит в теорию графов. Впервые его исследовал в 1736 году великий немецкий математик Леонард Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами.

Задача 3. Можно ли нарисовать изображенный на рисунке граф не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз?

Решение. Если мы будем рисовать граф так, как сказано в условии, то в каждую вершину, кроме начальной и конечной, мы войдем столько же раз, сколько выйдем из нее. То есть все вершины графа, кроме двух должны быть четными. В нашем же графе имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя нарисовать указанным в условии способом.

Сейчас мы доказали теорему об Эйлеровых графах:

Теорема: Эйлеров граф должен иметь не более двух нечетных вершин.

                         ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ
     Определение 1. Графом называется совокупность конечного числа точек, называемых вершинами графа, и попарно соединяющих некоторые из этих вершин линий, называемых ребрами или дугами графа.
     Это определение можно сформулировать иначе: графом называется непустое множество точек (вершин) и отрезков (ребер), оба конца которых принадлежат заданному множеству точек.
     В дальнейшем вершины графа мы будем обозначать латинскими буквами A, B, C, D. Иногда граф в целом будем обозначать одной заглавной буквой.
     Определение 2. Вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными.
     Определение 3. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль-графом.
     Обозначение: Q - граф с вершинами, не имеющий ребер.
     Определение 4. Граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром, называется полным.
     Обозначение: U' - граф, состоящий из n вершин и ребер, соединяющих всевозможные пары этих вершин. Такой граф можно представить как n-угольник, в котором проведены все диагонали.
     Определение 5. Степенью вершины называется число ребер, которым принадлежит вершина. Вершина называется нечетной, если ее степень - число нечетное. Вершина называется четной, если ее степень - число четное.
     Обозначение: p (A) - степень вершины A.

    Определение 6. Граф, степени всех k вершин которого одинаковы, называется однородным графом степени k.
     Определение 7. Дополнением данного графа называется граф, состоящий из всех ребер и их концов, которые необходимо добавить к исходному графу, чтобы получить полный граф.
     Определение 8. Граф, который можно представить на плоскости в таком виде, когда его ребра пересекаются только в вершинах, называется плоским.
     Заметим, что не каждый граф является плоским, хотя обратное утверждение верно, т. е. любой плоский граф можно представить в обычном виде.
     Определение 9. Многоугольник плоского графа, не содержащий внутри себя никаких вершин или ребер графа, называют его гранью.
     Понятия плоского графа и грани графа применяется при решении задач на "правильное" раскрашивание различных карт.
     Определение 10 (Правильная раскраска). Раскраска называется правильной, если образы любых двух смежных вершин различны. Хроматическим числом графа называется минимальное количество красок, необходимое для правильной раскраски графа.
     Определение 11. Путем от A до X называется последовательность ребер, ведущая от A к X, такая, что каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается более одного раза.
     Определение 12. Простым циклом называется цикл, не проходящий ни через одну из вершин графа более одного раза.
     Определение 13. Длиной пути, проложенного на цикле, называется число ребер этого пути.
     Определение 14. Две вершины A и B в графе называются связными (несвязными), если в нем существует (не существует) путь, ведущий из A в B.
     Определение 15. Граф называется связным, если каждые две его вершины связны; если же в графе найдется хотя бы одна пара несвязных вершин, то граф называется несвязным.

Определение 16. Деревом называется связный граф, не содержащий циклов.
Трехмерной моделью графа-дерева служит, например, настоящее дерево с его замысловато разветвленной кроной; река и ее притоки также образуют дерево, но уже плоское - на поверхности земли.

     Определение 17. Несвязный граф, состоящий исключительно из деревьев, называется лесом.
     Определение 18. Дерево, все n вершин которого имеют номера от 1 до n, называют деревом с перенумерованными вершинами.
     Деревья - очень удобный инструмент представления информации самого разного вида. Деревья отличаются общего случая от простых графов тем, что при обходе дерева невозможны циклы. Это делает графы очень удобной формой организации данных для различных алгоритмов. Таким образом, понятие дерева активно используется в информатике и программировании.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ.

     Теорема 1. Удвоенная сумма степеней вершин любого графа равна числу его ребер.
     Теорема 2. Число нечетных вершин любого графа четно.
     Эта теорема имеет немало любопытных следствий.
     Следствие 1. Нечетное число знакомых в любой компании всегда четно.
     Следствие 2. Число вершин многогранника, в которых сходится нечетное число ребер, четно.
     Следствие 3. Число всех людей, когда-либо пожавших руку другим людям, нечетное число раз, является четным.
     Теорема 3. Во всяком графе с n вершинами, где n больше или равно 2, всегда найдутся две или более вершины с одинаковыми степенями.
     Теорема 4. Если в графе с n вершинами (n больше или равно 2) только одна пара имеет одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо единственная изолированная вершина, либо единственная вершина, соединенная со всеми другими.
     Содержание этой теоремы хорошо разъясняется задачей: группа, состоящая из n школьников, обменивается фотографиями. В некоторый момент времени выясняется, что двое совершили одинаковое число обменов. Доказать, что среди школьников есть либо один еще не начинавший обмена, либо один уже завершивший его.
     Теорема 5. Если у графа все простые циклы четной длины, то он не содержит ни одного цикла четной длины.
     Суть теоремы в том, что на этом графе невозможно найти цикл (как простой, так и непростой) нечетной длины, то есть содержащий нечетное число ребер.
     Теорема 6. Для того, чтобы граф был эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы он был связным и все его вершины имели четную степень.
     Теорема 7. Для того чтобы на связном графе можно было бы проложить цепь АВ, содержащую все его ребра в точности по одному разу, необходимо и достаточно, чтобы А и В были единственными нечетными вершинами этого графа.
     Теорема 8. Если данный граф является связным и имеет 2k вершин нечетной степени, то в нем можно провести k различных цепей, содержащих все его ребра в совокупности ровно по одному разу.
     Теорема 9. Различных деревьев с n перенумерованными вершинами можно построить n-2.
     По поводу доказательства этой теоремы сделаем одно замечание. Эта теорема известна, в основном, как вывод английского математика А. Кэли (1821-1895). Графы-деревья издавна привлекали внимание ученых. Сегодня двоичные деревья используются не только математиками, а и биологами, химиками, физиками и инженерами.
     Теорема 10. Полный граф с пятью вершинами не является плоским.

                   ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.

     Рассмотренные задачи, которые используются в школе на уроках математики. Условно их можно классифицировать, подразделив на несколько групп:
     1. Задачи о мостах.
     2. Логические задачи
     3. Задачи о "правильном" раскрашивании карт
     4. Задачи на построение уникурсальных графов
     Рассмотрим несколько типичных примеров решения задач каждого вида. Одной из наиболее известных задач о мостах является эйлерова задача; все остальные сформулированы похожим образом и решаются по тому же принципу. Основой применения графов для решения логических задач служит выявление и последовательное исключение возможностей, заданных в условии. Это выявление логических возможностей часто может быть истолковано с помощью построения и рассмотрения соответствующих графов.
     Задача 1. Из трех человек, стоящих рядом, один всегда говорит правду (правдолюб), другой всегда лжет (лжец), а третий, смотря по обстоятельствам, говорит либо правду, либо ложь (дипломат). У стоящего слева спросили: "Кто стоит рядом с тобой?". Он ответил: "Правдолюб". Стоящему в центре задали вопрос: "Кто ты?", и он ответил: "Я дипломат". Когда у стоящего справа спросили: "Кто стоит рядом с тобой?", он сказал: "Лжец". Кто где стоял?
     Решение: Если в данной задаче ребро графа будет соответствовать месту, занимаемому тем или иным человеком, то нам могут представиться следующие возможности. Рассмотрим первую возможность. Если "правдолюб" стоит слева, то рядом с ним, судя по его ответу, также стоит "правдолюб". У нас же стоит "лжец". Следовательно, эта расстановка не удовлетворяет условию задачи. Рассмотрев таким образом все остальные возможности, мы придем к выводу, что позиция "дипломат", "лжец", "правдолюб" удовлетворяет задаче. Действительно, если "правдолюб" стоит справа, то, по его ответу, рядом с ним стоит "лжец", что выполняется. Стоящий в центре заявляет, что он "дипломат", и, следовательно, лжет (что возможно из условия), а стоящий справа также лжет. Таким образом, все условия задачи выполнены.
     Задача 2. Какие буквы русского алфавита можно нарисовать одним росчерком?
     Ответ: Б, В, Г, 3, И, Л, М, О, П, Р, С, Ф, Ъ, Ь, Я.
     Задача 3. В обеденный перерыв члены строительной бригады разговорились о том, кто сколько газет читает. Выяснилось, что каждый выписывает и читает две и только две газеты, каждую газету читает пять человек, и любая комбинация читается одним человеком. Сколько различных газет выписывают члены бригады? Сколько человек в бригаде?

Решение: Решение этой задачи достигается построением следующего графа, где каждая вершина обозначает соответствующую газету и соответственно 5 подписчиков, а каждое ребро будет соответствовать одному подписчику.
     Иными словами, суть метода решения этой и подобных ей задач состоит в установлении связей между множеством вершин и множеством ребер графа.
     Задача 4. В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе - каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис - с Андреем, Галиной; Виктор - с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина - с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?
     Решение: Построим граф. Сыграно 7 игр. Граф имеет 8 ребер, следовательно, осталось провести 8 игр.
     Ответ: проведено 7 игр, осталось провести 8 игр.
     Задача 4. В школьном драматическом кружке решили ставить гоголевского "Ревизора". И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с Ляпкина-Тяпкина.
     - Ляпкиным-Тяпкиным буду я! - решительно заявил Дима. -
     С раннего детства я мечтал воплотить этот образ на сцене.
     - Ну хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова, - проявил великодушие Гена.
     - ...А мне ~ Осипа, - не уступил ему в великодушии Дима.
     - Хочу быть Земляникой или Городничим, - сказал Вова.
     - Нет, Городничим буду я, - хором закричали Алик и Боря. -
     Или Хлестаковым, - добавили они одновременно.
     Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны?
     Решение: Построим граф для ситуации, описанной в задаче

     Граф с 10 вершинами и 10 ребрами. Надо выбрать из десяти пять ребер, не имеющих общих вершин: Дима - Осип, Вова - Земляника, Гена - Ляпкин-Тяпкин. Остается два случая: Алик - Хлестаков, Боря - Городничий или Алик - Городничий, Боря - Хлестаков. Как показывает граф, других решений нет.
     Любая географическая карта является многоугольным графом, в котором страны будут гранями, границы - ребрами, а окружающий страны Мировой океан - бесконечной гранью.
     Для лучшего зрительного восприятия необходимо, чтобы страны с общей границей были раскрашены в разные цвета. Такую карту называют "правильно" раскрашенной.
     Широко известное предположение состоит в том, что каждая карта может быть раскрашена с соблюдением требуемых условий при помощи четырех красок. Этому вопросу уделяется большое внимание в популярной литературе, и здесь мы не будем останавливаться на его рассмотрении.
     Задачи на проведение эйлеровых линий без повторений и без отрыва карандаша от бумаги являются одним из математических развлечений. При решении подобных задач необходимо помнить следующее положение. Для того, чтобы на графе имелась цепь, соединяющая АА и ВВ, содержащая все его ребра в точности по одному разу, необходимо и достаточно, чтобы АА и ВВ были единственными нечетными вершинами, т. е. вершинами с нечетной степенью.

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ В РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ НАУКИ И ТЕХНИКИ.

                                           Графы и информация
     Двоичные деревья играют весьма важную роль в теории информации. Предположим, что определенное число сообщений требуется закодировать в виде конечных последовательностей различной длины, состоящих из нулей и единиц. Если вероятности кодовых слов заданы, то наилучшим считается код, в котором средняя длина слов минимальна по сравнению с прочими распределениями вероятности. Задачу о построении такого оптимального кода позволяет решить алгоритм Хаффмана.
     Двоичные кодовые деревья допускают интерпретацию в рамках теории поиска. Каждой вершине при этом сопоставляется вопрос, ответить на который можно либо "да", либо "нет". Утвердительному и отрицательному ответу соответствуют два ребра, выходящие из вершины. "Опрос" завершается, когда удается установить то, что требовалось.
     Таким образом, если кому-то понадобится взять интервью у различных людей, и ответ на очередной вопрос будет зависеть от заранее неизвестного ответа на предыдущий вопрос, то план такого интервью можно представить в виде двоичного дерева.
                                                  Графы и химия
     Еще А. Кэли рассмотрел задачу о возможных структурах насыщенных (или предельных) углеводородов, молекулы которых задаются формулой:
CnH2n+2
     Все атомы углеводорода четырехвалентны, все атомы водорода одновалентны. Молекула каждого предельного углеводорода представляет собой дерево. Если удалить все атомы водорода, то оставшиеся атомы углеводорода также будут образовывать дерево, каждая вершина которого имеет степень не выше 4. Следовательно, число возможных структур предельных углеводородов, т. е. число гомологов данного вещества, равно числу деревьев с вершинами степени не больше четырех.
     Таким образом, подсчет числа гомологов предельных углеводородов также приводит к задаче о перечислении деревьев определенного типа. Эту задачу и ее обобщения рассмотрел Д. Пойа.
                                                Графы и биология
     Деревья играют большую роль в биологической теории ветвящихся процессов. Для простоты мы рассмотрим только одну разновидность ветвящихся процессов - размножение бактерий. Предположим, что через определенный промежуток времени каждая бактерия либо делится на две новые, либо погибает. Тогда для потомства одной бактерии мы получим двоичное дерево.
     Нас будет интересовать лишь один вопрос: в скольких случаях n-е поколение одной бактерии насчитывает ровно k потомков? Рекуррентное соотношение, обозначающее число необходимых случаев, известно в биологии под названием процесса Гальтона-Ватсона. Его можно рассматривать как частный случай многих общих формул.
                                                 Графы и физика
     Еще недавно одной из наиболее сложных и утомительных задач для радиолюбителей было конструирование печатных схем.
     Печатной схемой называют пластинку из какого-либо диэлектрика (изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных точках, куда устанавливаются необходимые элементы (диоды, триоды, резисторы и другие), их пересечение в других местах вызовет замыкание электрической цепи.
     В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с вершинами в указанных точках.
     Итак, из всего вышесказанного неопровержимо следует практическая ценность теории графов, доказательство которой и являлось целью данного занятия.

8. Подготовить реферат (презентацию) на тему «Практические задачи с применением вероятностных методов» или решить индивидуальные задания

Литература

1. В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова «Математика» изд «Феникс» 2014, пар. 4.1

2. И. Д. Пехлецкий «Математика» изд.Академия 2014 глава 10

3. В.П. Григорьев, С.В.Иволгин «Математика» изд. «Академия» 2014 глава 7

4. М.С. Спирина, П.А. Спирин, Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014 глава 1

Требования к оформлению реферата -смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Требования к оформлению презентации -смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Теоретические положения

Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий:

(1)

Это определение вероятности называют классическим.

Основные правила вычисления вероятностей сложных событий

Ниже приведены основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события на основании известных вероятностей составляющих его более простых событий.

1. Вероятность достоверного события равна единице:

. (2)

2. Вероятность объединения (суммы) несовместных событий равна сумме их вероятностей:

(3)

Эти два равенства являются аксиомами теории вероятностей, т. е. принимаются в качестве исходных, но требующих доказательства свойств вероятностей. На их основе строится вся теория вероятностей.

Все остальные, приведенные ниже без доказательств формулы могут быть выведены из принятых аксиом.

3. Вероятность невозможного события равна нулю:

. (4)

4. Вероятность события, противоположного событию А, равна

(5)

Формула (5) оказывается полезной на практике в тех случаях, когда вычисление вероятности непосредственно события А затруднительно, в то время как вероятность противоположного события находится просто.

5. Теорема сложения вероятностей. Вероятность объединения произвольных событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности произведения событий:

. (6)

Для несовместных событий и формула (6) переходит в (3).

6. Условная вероятность. Если требуется найти вероятность события В при условии, что произошло некоторое другое событие А, то такую ситуацию характеризуют с помощью условной вероятности. Условная вероятность равна отношению вероятности произведения событий А и В к вероятности события А:

(7)

В тех случаях, когда события А и В несовместны, и соответственно.

7. Определение условной вероятности в виде (7) дает возможность записать следующую формулу для вычисления вероятности произведения событий (теорема умножения вероятностей)

(8)

8. Поскольку вероятность события А (или В) для независимых событий по определению не изменяется при появлении другого события, то условная вероятность совпадает с вероятностью события А, а условная вероятность — с Р(В). Вероятности Р(А) и Р(В) в отличие от условных вероятностей называются безусловными.

, , (9)

Теорема умножения вероятностей для независимых событий записывается следующим образом:

, (10)

т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

9. Вычислим вероятность появления хотя бы одного события в n испытаниях

А – появление в n испытаниях хотя бы один раз интересующего нас события.

– интересующее нас событие не появилось в n испытаниях ни разу.

А₁ – интересующее нас событие появилось в первом испытании.

А₂ – интересующее нас событие появилось во втором испытании.

….

А_n – интересующее нас событие появилось в n-ом испытании.

(11)

10. Формула полной вероятности.

Если событие А может произойти только при появлении одного из несовместных событий Н₁, Н₂, …, Н_n, то

. (12)

Пример 1

В урне 5 белых, 20 красных и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым или черным?

Решение. Пусть событие А – появление белого или черного шара. Разобьем это событие на более простые. Пусть В₁ – появление белого шара, а В₂ – черного. Тогда, А=В₁+В₂ по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В₁+В₂). Так какВ₁и В₂ – несовместные события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий (формула 3) Р(В₁+В₂) = Р(В₁)+Р(В₂).

Вычислим вероятности событий В₁и В₂. В этом примере имеется 35 равновозможных (шары не отличаются по размеру) исходов опыта, событию В₁ (появлению белого шара) благоприятствуют 5 из них, поэтому . Аналогично, . Следовательно, .

Пример 2

Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один преступник?

Решение. Пусть событие А – “обнаружен хотя бы один преступник”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В₁ – обнаружен первый преступник, а В₂ – обнаружен второй преступник. Тогда, А=В₁+В₂ по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В₁+В₂). Так как В₁и В₂ – совместные события, то по теореме о вероятности суммы событий (формула 6)

Р(В₁+В₂) = Р(В₁)+Р(В₂)-Р(В₁ В₂) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75.

Можно решать и через обратное событие: .

Пример 3

Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь выбирая ключ случайным образом. На открытие каждой из дверей он тратит 5 сек. Найти вероятность того, что он откроет все двери за 15 сек.

Решение. Пусть событие А – “открыты все двери”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В – “открыта 1-я“, С – “ открыта 2-я“, а D – “ открыта 3-я“. Тогда, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD). По теореме о вероятности произведения независимых событий (формула 10) Р(ВСD) = Р(В)Р(C) Р(D).

Вычислим вероятности событий В, C и D. В этом примере имеется 3 равновозможных (каждый ключ выбираем из 3-х) исходов опыта. Каждому из событий В, C и D благоприятствует 1 из них, поэтому . .

Пример 4

Изменим задачу: считаем, что преступник – забывчивый человек. Пусть преступник открыв дверь, оставляет ключ в ней. Какова тогда вероятность, что он откроет все двери за 15 сек?

Решение. Событие А – “открыты все двери”. Опять, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD). Но, теперь события В, C и D – зависимы. По теореме о вероятности произведения зависимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C|B) Р(D|BC).

Вычислим вероятности : , (ключа осталось только два и один из них подходит!), и, значит, .

Пример 5

Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. После поимки одно из них, в связи с увеличением количества сотрудников, занятых в поисках, вероятность найти второго возрастает до 0,7. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружены оба преступника.

Решение. Пусть событие А – “обнаружены два преступника”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В₁ – обнаружен первый преступник, а В₂ – обнаружен второй преступник, после того, как пойман первый. Тогда, А=В₁В₂ по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(В₁В₂). Так как В₁и В₂ – зависимые события, то по теореме о вероятности произведения зависимых событий (формула 8) Р(В₁В₂) = Р(В₁)Р(В₂/В₁) = 0,5 0,7=0,35.

Пример 6

Найти вероятность того, что при подбрасывании монеты 10 раз герб выпадет хотя бы 1 раз.

Решение. Пусть событие А – “герб выпадет хотя бы 1 раз”. Рассмотрим обратное событие: – “герб не выпадет ни разу”. Очевидно, что обратное событие легче чем исходное разбить на более простые. Пусть А₁ – герб не выпал при первом броске, А₂ – герб не выпал при втором броске, … А₁₀ – герб не выпал при 10-м броске. Все события А₁…А₁₀ независимы, следовательно, (формула 11)

Пример 7

В проведении операции по освобождению заложников участвуют 2 группы снайперов: 10 человек с винтовкой ОП21 и 20 человек с АКМ47. Вероятность поражения из ОП21 – 0,85, а АКМ47 – 0,65. Найти вероятность того, что при одном выстреле произвольного снайпера преступник будет поражен.

Решение. Пусть событие А – “преступник поражен”. Разобьем это событие на более простые. Преступник может быть поражен либо из ОП21, либо из АКМ47. Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен ОП21 (событие Н₁) равна 10/30. Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен АКМ47 (событие Н₂) равна 20/30.

Вероятность того, что преступник поражен равна (формула 12)

Схема Бернулли

Пусть производится одинаковых независимых опытов. В каждом испытании некоторое событие А может произойти с вероятностью (а, значит, не произойти с вероятностью ).

Вычислим вероятность того, что событие произойдет ровно раз в проведенных опытах.

– вероятность того, что во всех опытах событие не произойдет (см. также пример 6)

– вероятность того, что событие произойдет ровно в одном опыте.

– вероятность того, что событие произойдет ровно 2 раза в n опытах.

– вероятность того, что событие произойдет ровно k раз в n попытках.

– вероятность того, что событие произойдет во всех опытах.

Теорема гипотез (формула Бейеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейеса.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Найти условную вероятность для каждой гипотезы.

(13)

Эта формула и носит название формулы Бейеса или теоремы гипотез.

Пример 1. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества; вообще около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время равна 0,95; если из деталей обычного качества – его надежность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

Решение. Возможны две гипотезы:

- прибор собран из высококачественных деталей,

- прибор собран из деталей обычного качества.

Вероятность этих гипотез до опыта:

В результате опыта наблюдено событие – прибор безотказно работал время .

Условные вероятности этого события при гипотезах и равны:

По формуле (13) находим вероятность гипотезы после опыта:

Пример 2. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

- ни первый, ни второй стрелок не попадет,

- оба стрелка попадут,

- первый стрелок попадет, а второй нет,

- первый стрелок не попадет, а второй попадет.

Вероятность этих гипотез:

Условные вероятности наблюденного события при этих гипотезах равны:

После опыта гипотезы и становятся невозможными, а вероятности гипотез и будут равны:

Следовательно, вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку, равна .

Пример 3. Производится наблюдение за некоторым объектом с помощью двух наблюдательных станций. Объект может находиться в двух различных состояниях и , случайно переходя из одного в другое. Долговременной практикой установлено, что примерно 30% времени объект находится в состоянии , а 70% - в состоянии . Наблюдательная станция №1 передает ошибочные сведения приблизительно в 2% всех случаев, а наблюдательная станция №2 – в 8%. В какой-то момент времени наблюдательная станция №1 сообщила: объект находится в состоянии , а наблюдательная станция №2: объект находится в состоянии .

Спрашивается: какому из сообщений верить?

Решение. Естественно, верить тому из сообщений, для которого больше вероятность того, что оно соответствует истине. Применим формулу Бейеса. Для этого сделаем гипотезы о состоянии объекта:

- объект находится в состоянии ,

- объект находится в состоянии .

Наблюденное событие состоит в следующем: станция №1 сообщила, что объект находится в состоянии , а станция №2 – что он находится в состоянии . Вероятности гипотез до опыта

Найдем условные вероятности наблюденного события при этих гипотезах. При гипотезе чтобы произошло событие , нужно, чтобы первая станция передала верное сообщение, а вторая – ошибочное:

Аналогично

Применяя формулу Бейеса, найдем вероятность того, что истинное состояние объекта - :

т.е. из двух сообщений более правдоподобным является сообщение первой станции.

Самостоятельная работа

Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
В первой урне находятся 10 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 9 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
Трое учащихся на экзамене независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Вероятности ее решения этими учащимися равны 0,8, 0,7 и 0,6 соответственно. Найдите вероятность того, что хотя бы один учащийся решит задачу.
Из 1000 ламп 380 принадлежат к 1 партии, 270 – ко второй партии, остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй - 3%, в третьей – 6%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
Из 30 стрелков 12 попадает в цель с вероятностью 0,6, 8 - с вероятностью 0,5 и 10 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?
Решите задачу, используя формулу Байеса: В турслете участвуют 70% девятиклассников и 30% десятиклассников. Среди девятиклассников 60% мальчиков, а среди десятиклассников 40% мальчиков. Все мальчики по очереди дежурят у костра, сменяясь каждый день. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день у костра дежурит девятиклассник.
Используя формулу полной вероятности, решите задачу: В магазине три холодильника в которых заканчивается мороженое. В первом 4 белых и 6 шоколадных, во втором - 2 белых и 8 шоколадных, в третьем - 3 белых и 7 шоколадных. Наугад выбирают холодильник и вынимают из него мороженое. Определить вероятность того, что оно белое.
На склад поступают телефоны трех заводов, причем доля телефонов первого завода составляет 25%, второго - 60%, третьего - 15%. Известно также, что средний процент телефонов без брака для первой фабрики составляет 2%, второй - 4%, третьей - 1%. Найти вероятность того, что:
а) наугад взят телефон окажется с браком;
б) телефон изготовлен на первом заводе, если он бракованный;
в) на каком заводе скорее был изготовлен телефон, если он сделан качественно?

Критерии оценок: 9-10 решенных задач-«5», 7-8 решенных задач-«4», 5-6 решенных задач-«3»

Решение индивидуальных задач по теме «Основы математической статистики» для закрепления и систематизации полученных знаний

Литература

1. В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова «Математика» изд «Феникс» 2014, пар. 4.3

2. И. Д. Пехлецкий «Математика» изд.Академия 2014 пар. 10.4

3. В.П. Григорьев, С.В.Иволгин «Математика» изд. «Академия» 2014 глава 7

Теоретические положения

Математическая статистика - раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей. Обе эти математические дисциплины изучают массовые случайные явления. Связующим звеном между ними являются предельные теоремы теории вероятностей. При этом теория вероятностей выводит из математической модели свойства реального процесса, а математическая статистика устанавливает свойства математической модели, исходя из данных наблюдений (говорят "из статистических данных").

Предметом математической статистики является изучение случайных величин (или случайных событий, процессов) по результатам наблюдений. Полученные в результате наблюдения (опыта, эксперимента) данные сначала надо каким-либо образом обработать: упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа виде. Это первая задача.

Затем, это уже вторая задача, оценить, хотя бы приблизительно, интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины. Например, дать оценку неизвестной вероятности события, оценку неизвестной функции распределения, оценку математического ожидания, оценку дисперсии случайной величины, оценку параметров распределения, вид которого неизвестен, и т.д.

Следующей, назовем ее условно третьей, задачей является проверка статистических гипотез, т.е. решение вопроса согласования результатов оценивания с опытными данными.

Одной из важнейших задач математической статистики является разработка методов, позволяющих по результатам обследования выборки делать обоснованные выводы о распределении признака изучаемых объектов по всей совокупности.

Математическая (или теоретическая) статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей, но решает в каком-то смысле обратные задачи.

В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты, свойства которых целиком известны. Предмет теории вероятностей – свойства и взаимосвязи этих величин (распределений).

Но часто эксперимент представляет собой черный ящик, выдающий лишь некие результаты, по которым требуется сделать вывод о свойствах самого эксперимента. Наблюдатель имеет набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов, полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.

При этом возникают, например, следующие вопросы: Если мы наблюдаем одну случайную величину – как по набору ее значений в нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении?

Если мы наблюдаем одновременно проявление двух (или более) признаков, т.е. имеем набор значений нескольких случайных величин — что можно сказать об их зависимости? Есть она или нет? А если есть, то какова эта зависимость?

Часто бывает возможно высказать некие предположения о распределении, спрятанном в “черном ящике”, или о его свойствах. В этом случае по опытным данным требуется подтвердить или опровергнуть эти предположения (“гипотезы”). При этом надо помнить, что ответ “да” или “нет” может быть дан лишь с определенной степенью достоверности, и чем дольше мы можем продолжать эксперимент, тем точнее могут быть выводы. Наиболее благоприятной для исследования оказывается ситуация, когда можно уверенно утверждать о некоторых свойствах наблюдаемого эксперимента – например, о наличии функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами, о нормальности распределения, о его симметричности, о наличии у распределения плотности или о его дискретном характере, и т.д.

Итак, о (математической) статистике имеет смысл вспоминать, если

имеется случайный эксперимент, свойства которого частично или полностью неизвестны,
мы умеем воспроизводить этот эксперимент в одних и тех же условиях некоторое (а лучше – какое угодно) число раз.

Примером такой серии экспериментов может служить социологический опрос, набор экономических показателей или, наконец, последовательность гербов и решек при тысячекратном подбрасывании монеты.

Математической статистикой называется раздел прикладной математики, изучающий методы сбора, обработки и анализа экспериментальных данных.

Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков.

Например, мальчики 10 лет г. Уссурийска; пловцы-мастера спорта России.

Совокупность из всех объектов, объединенных этими признаками, называется генеральной. Задачей исследования является изучение признаков генеральной совокупности, которые определяются влиянием некоторых случайных факторов.

Например, изучение физической подготовленности мальчиков 10 лет г. Уссурийска.

Для решения задач исследования проводится эксперимент (измерение, тестирование, анкетирование), в результате которого получают значение некоторой случайной величины (результаты тестирования, количество баллов). Если в эксперименте участвуют все объекты генеральной совокупности, то такое обследование называют сплошным.

На практике обычно применяют выборочный метод, который заключается в том, что из генеральной совокупности случайным образом извлекают n элементов. Эти элементы называются выборочной совокупностью или выборкой. Количество элементов в выборке называется ее объемом. Исследователь изучает и анализирует выборочную совокупность и на основании полученных показателей делает вывод о параметрах генеральной совокупности.

Методы группировки экспериментальных данных

Допустим, из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n, измерена некоторая величина Х, в результате чего получен ряд значений х₁, х₂, . . . х_n. Этот ряд называется простым статистическим рядом.

Пример: измерена масса тела 10 девочек 6 лет. Полученные данные образуют простой статистический ряд:

24 22 23 28 24 23 25 27 25 25

Отдельные значения статистического ряда называются вариантами. Если варианта х_i появилась m раз, то число m называют частотой, а ее отношение к объему выборки m/n – относительной частотой.

Последовательность вариант, записанная в возрастающем (убывающем) порядке, называется ранжированным рядом.

Пример: Ранжированный ряд:

22 23 23 24 24 25 25 25 27 28

Таблица, в первой строке которой записаны все значения величины (варианты), во второй - соответствующие им частоты, называется безынтервальным вариационным рядом.

Пример: Безынтервальный вариационный ряд

Х	22	23	24	25	27	28
m	1	2	2	3	1	1

Графическим изображением безынтервального вариационного ряда является полигон (рис. 1).

Для его построения на оси ОХ откладывают значения вариант, на оси ОУ – соответствующие им частоты. Точки с координатами (х_i; m_i) соединяют отрезками, полученная ломаная линия называется полигоном частот.

В том случае, если выборка представлена большим количеством различных значений непрерывной случайной величины, то группировку данных проводят в виде интервального вариационного ряда. Для этого диапазон варьирования признака разбивают на несколько (5-10) равных интервалов и указывают количество вариант, попавших в каждый интервал.

Алгоритм построения интервального вариационного ряда.

1. Исходя из объема выборки n, определить количество интервалов k.

n	25-40	40-60	60-100	100-200	>200
k	5-6	6-8	7-10	8-12	10-15

2. Вычислить размах ряда: R=X_max-X_min

3. Определить ширину интервала: h=R/(k-1)

4. Найти начало первого интервала X₀ = X_min - h/2

5. Составить интервальный вариационный ряд.

Пример: измерена масса тела 100 женщин 30 лет, получены значения от 60 до 90 кг.

интервалы	60-65	65-70	70-75	75-80	80-85	85-90
количество	14	34	29	15	6	2

Размах ряда: R=X_max-X_min=90-60=30

Ширина интервала: h=R/(k-1)=30/5=6

Интервальный вариационный ряд:

Графическим изображением интервального вариационного ряда является гистограмма. Для ее построения на оси ОХ откладывают интервалы шириной h, на каждом интервале строят прямоугольник высотой m/h. Величина m/h называется плотностью частоты. Гистограмма является эмпирическим аналогом графика дифференциальной функции распределения.

Наряду с гистограммой используют и другое графическое представление статистического ряда – полигон частот. Это ломанная, звенья которой соединяют середины горизонтальных отрезков, ограничивающих гистограмму сверху

Оценка параметров генеральной совокупности

Основными параметрами генеральной совокупности являются математическое ожидание (генеральная средняя) М(Х) и среднее квадратическое отклонение s . Это постоянные величины, которые можно оценить по выборочным данным. Оценка генерального параметра, выражаемая одним числом, называется точечной.

Точечной оценкой генеральной средней m является выборочное среднее . Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений величины, встречающихся в выборке.

Если выборочное среднее вычисляется по несгруппированным данным, то для его определения сумму всех значений делят на количество элементов в выборке:

Пример: Вычислить среднее значение массы тела девочек 6 лет.

Если выборочное среднее вычисляется по вариационному ряду, то находят сумму произведений вариант на соответствующие частоты, и делят на количество элементов в выборке.

Пример: Вычислить среднее значение массы тела девочек 6 лет (ранжированный ряд – 22 23 23 24 24 25 25 25 26 27).

В том случае, когда статистические данные представлены в виде интервального вариационного ряда, при вычислении выборочного среднего значениями вариант считают середины интервалов.

Пример: вычислить среднее значение массы тела женщин 30 лет.

Выборочное среднее является основной характеристикой положения, показывает центр распределения совокупности, позволяет охарактеризовать исследуемую совокупность одним числом, проследить тенденцию развития, сравнить различные совокупности.

Непараметрическими характеристиками положения являются мода и медиана. Модой называется варианта, имеющая наибольшую частоту (для последнего примера мода равна 67,5).

Медианой называется варианта, расположенная в центре ранжированного ряда. Если ряд состоит из четного числа вариант, то медианой считают среднее арифметическое двух вариант, расположенных в центре ранжированного ряда.

Пример: найти моду и медиану выборочной совокупности по массе тела девочек 6 лет

Ответ: М_о = 25; М_е = 24,5

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется

сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

M(X) = x1p1 + x2p2 +...+ xnpn.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание

квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M([X – M(X)]²).

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D(X) = M(X²) – [M(X)]².

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется

квадратный корень из дисперсии.

Самостоятельная работа

1. Построить полигон частот, найти размах, моду, медиану, дисперсию, стандартное отклонение по данному распределению выборки:

Варианты ХI	-3	0	1	4	6	7
Частоты Ni	3	6	1	2	5	1

2. Построить полигон частот, найти размах, моду, медиану, дисперсию, стандартное отклонение по данному распределению выборки:

Варианта ХI	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84
Частота Ni	2	4	6	8	12	30	18	8	7	5

3. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие

значения: х1 = 2, х2 = 5, х3 = 7, х4 = 1, х5 = 10, х6 = 5, х7 = 9, х8 = 6, х9 = 8, х10 = 6,

х11 = 2, х12 = 3, х13 = 7, х14 = 6, х15 = 8, х16 = 3, х17 = 8, х18 = 10, х19 = 6, х20 = 7,

х21 = 3, х22 = 9, х23 = 4, х24 = 5, х25 = 6.

Требуется: 1) составить таблицу, устанавливающую зависимость между зна-

чениями случайной величины и её частотами; 2) построить статистическое

распределение; 3) изобразить полигон распределения.

4. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие

значения: х1 = 16, х2 = 17, х3 = 9, х4 = 13, х5 = 21, х6 = 11, х7 = 7, х8 = 7, х9 = 19,

х10 = 5, х11 = 17, х12 = 5, х13 = 20, х14 = 18, х15 = 11, х16 = 4, х17 = 6, х18 = 22,

х19 = 21, х20 = 15, х21 = 15, х22 = 23, х23 = 19, х24 = 25, х25 = 1.

Требуется: составить таблицу статистического распределения, разбив про-

межуток (0, 25) на пять участков, имеющих одинаковые длины; построить

гистограмму одинаковых частот.

5. Вычислить математическое ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика.

6. Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х в ряду 16, 13, 15, 10, 19, 22, 25, 12, 18, 14, 19, 14, 16, 10

7. Фермер считает, что, принимая во внимание различные потери и колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц и потерять не более 20-ти центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:

цена за 10 яиц	0,6	0,4	0,2	0	-0,2
Р	0,2	0,5	0,2	0,06	0,04

Как оценить ожидаемую прибыль от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом году 100000 яиц?

8. Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти р(х<2), р(х>4), р(2≤х≤4), математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

x_i	1	2	3	4	5
p_i	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

9. По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию числа неправильных соединений в минуту.

Индекс	i	1	2	3	4	5	6	7
Число неправильных соединений в минуту	x_i	0	1	2	3	4	5	7
Частота	m_i	8	17	16	10	6	2	1
частость		8/60	17/60	16/60	10/60	6/60	2/60	1/60

10. Случайная величина Х имеет следующее распределение:

x_i	1	2	3	4	5
p_i	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Найти числовые характеристики распределения случайной величины Х.

Критерии оценивания: 10 решенных заданий-«5», 8-9 решенных заданий-«4», 5-7 решенных заданий-«3»

Приложения

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Работа над рефератом

Этапы работы над рефератом

1) На первом этапе студент должен самостоятельно выбрать интересную для него тему. Как правило, темы рефератов предлагаются преподавателем соответствующей учебной дисциплины.

2) После выбора темы логично начать сбор научной и иной информации по данной теме. Это самый важный и ответственный этап работы. От количества и качества найденных материалов во многом будет зависеть и содержание работы. Обычно преподаватель предлагает примерный перечень основной и дополнительной литературы по темам рефератов. Но и сам студент должен проявить, инициативу, прибегнув к поиску нужных источников в библиотечном каталоге, библиографическом справочном материале, справочных электронных системах.

3) Далее следует этап изучения литературы, конспектирование первоисточников. Особенно следует обратить внимание на цитаты разных авторов, при этом следует выписать автора цитаты, полное наименование книги (включая дату, город издания), страницу, откуда она взята - все это пригодится при оформлении ссылок.

4) Затем начинается анализ собранного материала, в ходе которого отбрасывается все лишнее, а из оставшегося составляется логически систематизированное содержание работы, раскрывающее поставленную проблему. В последствии данное содержание может быть дополнено какими-то новыми фактами, идеями, мыслями.

5) Оформление реферата представляет собой заключительный этап. Автор сводит весь материал в единую работу, оформляет его в соответствии с установленными требованиями (подробнее об этом, смотри далее). Приступать к чистовому оформлению работы можно лишь после окончательного обобщения и структурирования материала, после учета замечаний и дополнений преподавателя, после внесения всех дополнений и уточнений, тщательной проверки материала на отсутствие ошибок, опечаток, после проверки на логичность и последовательность изложения. Также следует проверить точность цитат и ссылок, устранить стилистические ошибки.

6) Защита реферата - не менее важный этап. Защита работы, как правило, состоит из доклада, время которого устанавливает преподаватель, и ответов на задаваемые вопросы. Доклад должен быть четким, конкретным, раскрывающим основные положения работы. От студента потребуется реализовать свое умение перечислить и описать основные задачи, поставленные перед ним, объяснить причины выбора темы и ее актуальность, обосновать те или иные положения работы (кратко и недвусмысленно), и, наконец, сделать соответствующие выводы.

ТРЕБОВАНИЯ К СОДЕРЖАНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ РЕФЕРАТА

Проблема содержательности и правильного оформления реферата требует дополнительных усилий самого студента, при этом следует помнить, что культура оформления воспитывает культуру мышления, и наоборот: неряшливость, небрежность, как правило, связаны с небрежным и хаотичным мышлением. Способ отражения мыслей – такая же составляющая ключевых компетенций специалиста, как и его умение ставить и разрешать проблему, делать умозаключения, не нарушая законов логики.

Текст реферата печатается (пишется) на одной стороне листа белой бумаги формата А4 (параметры страницы: верхнее, нижнее – 20 мм., правое поле – 15 мм., левое поле – 30 мм) шрифтом Times New Roman, кегль 14, через 1,5 интервала в редакторе Word для Microsoft (версии 6.0/95 или 97/2000 с расширением doc). Текст форматируется по ширине листа. Не допустимо писать работу с грамматическими ошибками, с редакционными и стилистическими погрешностями.

Композиционно реферат состоит из: 1) титульного листа; 2) содержания (оглавления); 3) введения (вводной части); 4) основной части (описания); 5) заключения; 6) библиографического списка; 7 приложения.

Структурные части основного текста обозначаются заголовками, которые выделяются прописными буквами, размером шрифта или способом начертания. Различают заголовки первого и второго уровней. К заголовкам первого уровня относятся: «СОДЕРЖАНИЕ», «ВВЕДЕНИЕ», «НАЗВАНИЯ ОСНОВНЫХ ВОПРОСОВ (ГЛАВ)», «ЗАКЛЮЧЕНИЕ», «БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК», «ПРИЛОЖЕНИЕ». В тексте работы они печатаются прописными буквами без кавычек, подчеркивания и точки в конце, выравниваются по центру, переносы в словах не допускаются. Каждый заголовок первого уровня и следующий за ним текст начинаются с новой страницы.

При оформлении реферата следует учитывать, что открывается работа титульным листом, где указывается полное название ведомства, университета, колледжа, тема реферата, фамилии автора и руководителя, место и год написания.

На следующей странице помещается содержание (оглавление) с точным названием каждого вопроса (главы) и указанием начальных страниц. Содержание (оглавление) включает наименование всех частей работы с указанием номеров страниц, с которых начинается изложение вопросов (глав), в том числе введения, заключения, приложений и библиографического списка.

Во введении объясняется актуальность выбранной темы, раскрывается ее значимость, определяются объект и предмет исследования, цели и задачи, которые намечается реализовать в реферативной работе. Маленькая хитрость - введение целесообразно писать после того, как исследование полностью выполнено и в рабочем варианте написаны все главы. Начать «Введение» можно, например, со слов «Настоящее содержание данного реферата посвящено проблеме …». Далее целесообразно обосновать выбор темы работы и раскрыть содержание основных понятий, фигурирующих в названии работы.

По объему введение должно составлять 1-2 страницы текста.

В основной части реферата должны четко и логически последовательно раскрываться содержание, даваться характеристика степени проработанности темы в литературных источниках (монографиях, журнальных и газетных статьях, материалах конференций и т.п.), на основе изученных источников рассматриваться сущность исследуемой проблемы, различные подходы е ее решению, излагаться собственная позиция студента.

Следует помнить, что достоинство работы зависит не только от качества использованных источников, достижения содержательной целостности изложения, логически верно выстроенной структуры, но и от умелого включения материалов, отражающих личный опыт студентов, результаты их самостоятельных исследований. Суждения, характеристики, предположения и выводы необходимо подкреплять ссылками на имеющиеся концепции и факты. При обращении к теоретическим работам отечественных и зарубежных авторов, материалам исследований, необходимо указывать источники, а в случае заимствования оригинальных идей - дословно цитировать, заключая эту часть текста в кавычки.

Текст необходимо разбивать на абзацы, т.е. примерно равные по объему части текста, тесно связанные между собой и объединенные по смыслу, начала которых пишут с абзацного отступа 1,25 см.

В заключении кратко обобщаются ранее сделанные по тексту выводы и рекомендации; по объему заключение не превышает 2-х страниц текста.

Число литературных источников зависит от темы работы, однако библиографический список должен включать не менее 5-7 записей об использованных источниках.

Библиографические списки, библиографические ссылки и сноски являются составной частью справочного аппарата реферата и служат источником библиографической информации о цитируемых и рассматриваемых документах. Все цитаты и другие заимствования должны сопровождаться сносками и ссылками, оформлению которых следует уделять самое серьезное внимание, поскольку в этом определенной мере находит свое выражение научная этика и культура научного труда.

Библиографический список составляется в алфавитном порядке, его обязательными элементами являются: фамилия и инициалы автора в именительном падеже; полное название книги с прописной буквы без кавычек; место издания; название издательства; год издания обозначают арабскими цифрами без слова «год» или сокращения «г.»; сведения о количестве томов; порядковый номер тома, части, а также номера страниц. Важно, чтобы в определенном информационном массиве сведения были приведены по единой методике.

Иллюстрации (таблицы, графики, схемы, рисунки и пр.), занимающие менее ¹/₂ страницы, могут быть расположены в тексте работы. Иллюстрации, занимающие более ¹/₂ страницы, выносятся из текста, выполняются на отдельном листе и даются в разделе «Приложение».

Приложение (таблицы, диаграммы, схемы, рисунки, фотографии и пр.) наглядно отражают наиболее важные положения и выводы. Приложение следует начинать с новой страницы и располагать после заключения в той последовательности, в какой появляются ссылки на них в тексте работы. Посередине страницы прописными буквами пишется слово «Приложение», после которого следует буква, обозначающая его последовательность. Номера приложений обозначают прописными буквами русского алфавита, начиная с А.

Страницы реферата нумеруются арабскими цифрами по порядку от титульного листа до последнего, включая библиографический список и приложения без пропусков и повторений. Порядковый номер страницы размещается на середине верхнего поля. Номера страниц проставляются, начиная с содержания (2-ая страница).

Итоговая оценка будет выставлена в зависимости от нескольких факторов, среди которых следует назвать: 1) глубина разработки проблемы; 2) основательность использования научной литературы; 3) самостоятельность и творческой подход к осмыслению темы; 4) достоверность и научная обоснованность выводов; 5) правильность оформления. Помните, что не допускается прямое переписывание текста из учебников или другой литературы, должна быть произведена творческая обработка материала; а реферат, «позаимствованный» из Интернета или компакт-диска типа «Сто лучших рефератов», может надолго испортить вашу репутацию.

Выполнение и успешная защита реферата – это важный этап в становлении высококвалифицированного специалиста, владеющего основами научной организации труда, способного к самостоятельному поиску истины и постоянному профессиональному росту

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Работа над электронной презентацией

Структура материалов в электронном виде

· титульный слайд

на нем указываются:

o тема презентации

o фамилия, имя и отчество автора

o - фамилия, имя и отчество соавторов (если есть)

· информационные слайды

· завершающий слайд.

Информационные слайды могут содержать диаграммы и графики, также текстовые, табличные и графические материалы, предназначенные для более чёткого восприятия аудиторией информации, излагаемой в докладе. Выбор типов информации, схем структурирования данных очередности их изложения осуществляется непосредственно докладчиком (содокладчиком). Завершающий слайд содержит те же данные, что и титульный слайд. Применяется сквозная нумерация слайдов, т.е. титульный слайд - это слайд № 1, первый информационный слайд - это слайд № 2 и далее по порядку. Номер слайда отображается в правом верхнем углу. На титульном и завершающем слайдах отображение номера, может отсутствовать.

Формат слайдов Параметры страницы:

· Размер слайдов - экран

· Ориентация - альбомная

· Ширина - 24 см

· Высота - 18 см

· Нумерация слайдов с «1»

· Формат выдачи слайдов - «Презентация на экране»

· Графический и текстовый материалы размещаются на слайдах, так, чтобы слева и справа от края слайда оставалось использованное поле шириной не менее 0,5.см.

Оформление слайдов

· Рекомендуется использовать светлый фон слайдов (по цветности: красный - не менее 255; зеленый - не менее 225; синий - не менее 225; рекомендуемое сочетание - 230, 240, 250).

· Используемые шрифты: Times New Roman, Arial, Arial Narrow.

· Начертания: обычный, курсив, полужирный.

· Цвет и размер шрифта должен быть подобран так, чтобы все, чтобы все надписи отчетливо читались на выбранном поле слайда.

Таблицы

· Табличная информация вставляется в материалы как таблица текстового или табличного редактора.

· При вставке таблицы как объекта и пропорциональном изменении ее размера реальный отображаемый размер шрифта должно быть не менее 18 pt.

· Таблицы и диаграммы размешаются на светлом или белом фоне.

Анимация объектов и переход слайдов

· В титульном и завершающем слайдах использование анимации объектов нежелательна.

· В информационных слайдах допускается использование анимации объектов только в случае, если это необходимо для отражение изменений, происходящих во временном интервале, и если очередность появления анимированных объектов соответствует структуре презентации. В остальных случаях использование анимации не допускается.

· Анимация объектов должна подбирается согласно целям представления материала.

· Для смены слайдов чаще используется режим «вручную». Переход для смены слайдов в режиме «по времени» не допускается в демонстрационных роликах. Разрешается использование стандартных эффектов перехода, кроме эффектов «жалюзи», «шашки», «растворение», «горизонтальные полосы». Для всех слайдов применяется однотипный эффект их перехода.

Список литературы

1. В. П. Григорьев, Ю.А. Дубинский «Элементы высшей математики» изд. «Академия» 2014

2. В. П. Омельченко, Э. В. Курбатова «Математика» изд. «Феникс» 2014

3. И. Д. Пехлецкий «Математика» изд. «Академия» 2014

5. М.С. Спирина, П.А. Спирин, Дискретная математика, учебник для студ. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2014

6. В.П. Григорьев, С. В. Иволгин «Математика» изд. «Академия» 2014

Скачать материал

Скачать материал "Методические рекомендации по выполнению самостоятельных работ в системе СПО"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 663 131 материал в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Рабочая программа по алгебре 8 класс Макарычев

26.10.2016
401
0

docx

Конспект урока "Решение задач с помощью уравнений". Работа в группах

26.10.2016
568
2

pptx

Презентация "Задачи на тему объём пирамиды"

26.10.2016
1289
4

rar

Интегрированный урок по математике и истории ко Дню народного единства 5 класс

26.10.2016
1071
12

rar

Рабочая программа по геометрии. 9 класс.

26.10.2016
375
0

rar

Рабочая программа по алгебре. 9 класс.

26.10.2016
337
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 26.10.2016 2090
- DOCX 365.5 кбайт
- Рейтинг: 5 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Демина Римма Григорьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Демина Римма Григорьевна
- На сайте: 7 лет и 5 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 52202
- Всего материалов: 35