Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА», РАЗДЕЛ 2. ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА», РАЗДЕЛ 2. ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



Омский летно-технический колледж гражданской авиации имени А.В. Ляпидевского

филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
"Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт)"

hello_html_m4e5a0cb3.jpg







МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

по дисциплине

«Математика»

Раздел 2. Теория комплексных чисел



Специальности

25.02.01 Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей

25.02.03 Техническая эксплуатация электрифицированных и пилотажно-навигационных комплексов

25.02.04 Летная эксплуатация летательных аппаратов





Омск - 2015

Разработал:

Пищагина Е.С., преподаватель математики

Рассмотрено

на заседании ЦМК ЕНД и ОВД


от «_____»__________20__г.

Протокол №_________





1. Пояснительная записка

Внеаудиторная самостоятельная работа является обязательным видом учебной работы курсантов. Объем внеаудиторной самостоятельной работы курсантов определяется учебным планом. Рабочей программой дисциплины «Математика» предусмотрено до 50% внеаудиторного самостоятельного изучения учебного материала. Методические указания к выполнению самостоятельной работы по учебной дисциплине «Математика» предназначены для обобщения, систематизации и получения более глубоких знаний дисциплины, закрепления полученных умений и навыков, повышения уровня подготовки курсантов, а также для осуществления контроля качества усвоения учебного материала.

Курсанты должны уметь использовать справочники, таблицы, уметь решать прикладные задачи.
















Тема: Действия над комплексными числами.

Цель:

формирование знаний о формах записи комплексных чисел;

изучить способы перехода от одной формы комплексного числа к другой.

Задача:

  1. выполнять действия над комплексными числами;

  2. осуществлять перевод комплексных чисел из одной формы в другую.



Теоретические сведения

1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация

Комплексными числами называются числа вида hello_html_m45d95d33.gif, где hello_html_64bca322.gif и hello_html_m68ffa060.gif - действительные числа, а число hello_html_m2d21f3a0.gif, определяемое равенством hello_html_m3768260.gif, называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

  1. два комплексных числа hello_html_m239dc5b.gif и hello_html_dfa1965.gif называются равными, если hello_html_m2379d9f4.gif и hello_html_2c863a24.gif;

  2. суммой двух комплексных чисел hello_html_m239dc5b.gif и hello_html_dfa1965.gif называется комплексное число hello_html_68a42106.gif;

  3. произведением двух комплексных чисел hello_html_m239dc5b.gif и hello_html_dfa1965.gif называется комплексное число hello_html_a53e32f.gif.

Запись комплексного числа в виде hello_html_1a37dd39.gif называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Действительное число hello_html_64bca322.gif называется действительной частью комплексного числа hello_html_1a37dd39.gif, а действительное число hello_html_m68ffa060.gif - мнимой частью.

Любое действительное число hello_html_64bca322.gif содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: hello_html_m59ddfcfb.gif. Числа 0, 1 и hello_html_m2d21f3a0.gif записываются соответственно в виде hello_html_693dc511.gif, hello_html_m337e6eab.gif и hello_html_564a03e5.gif.

При hello_html_m7a750a15.gif комплексное число hello_html_m45d95d33.gif обращается в чисто мнимое число hello_html_m449d5384.gif.

Комплексное число hello_html_363f1f39.gif называется комплексно сопряженным с числом hello_html_m45d95d33.gif и обозначается hello_html_6e2a3477.gif, т.е. hello_html_m5375db95.gif.

Комплексные числа вида hello_html_m45d95d33.gif и hello_html_m7896d31a.gif называются противоположными.

Модулем комплексного числа hello_html_1a37dd39.gif называется число hello_html_3a396549.gif:

hello_html_73a248b6.gif(1)

Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число:hello_html_m2be4fa8e.gif, причем hello_html_m610cf462.gif тогда и только тогда, когда hello_html_m2a4e5685.gif.

Комплексное число hello_html_m64ae73cf.gif можно изображать точкой плоскости с координатами hello_html_6e055733.gif (рис.1). При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами hello_html_6e055733.gif соответствует один и только один вектор с началом в точке hello_html_5a843b6.gif и концом в точке hello_html_27d80051.gif. Поэтому комплексное число hello_html_9e34e8c.gif можно изобразить в виде вектора hello_html_m3a01f3f8.gif с началом в точке hello_html_mba37de1.gif и концом в точке hello_html_m64ae73cf.gif.

Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекают следующие свойства.

  1. Длина вектора hello_html_m106175a6.gif равна hello_html_mdb6c5f7.gif.

  2. Точки hello_html_m64ae73cf.gif и hello_html_m78c194c.gif симметричны относительно действительной оси.

  3. Точки hello_html_6ab43c36.gif и hello_html_57dd842a.gif симметричны относительно точки hello_html_mba37de1.gif.

  4. Число hello_html_26b6ce91.gif геометрически изображается как вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам hello_html_m104c2de.gif и hello_html_354853fd.gif (рис.2).

  5. Расстояние между точками hello_html_m104c2de.gif и hello_html_354853fd.gif равно hello_html_5ea76b39.gif (рис. 3).

Угол hello_html_327b2325.gif между действительной осью hello_html_ba6efe3.gif и вектором hello_html_m1eed6d73.gif, отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа hello_html_mba37de1.gif (см. рис. 1). Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по движению часовой стрелки, - отрицательной.

Аргумент hello_html_327b2325.gif комплексного числа hello_html_m64ae73cf.gif записывается так:

hello_html_m65791b51.gifили hello_html_m3f56b731.gif (2)

Для числа hello_html_mba37de1.gif аргумент не определен.

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно; любое комплексное число hello_html_m37d24946.gifимеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное hello_html_m504476e3.gif. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка hello_html_m17900c48.gif называется главным значением аргумента.

Из определения аргумента тригонометрических функций следует, что если hello_html_m3f56b731.gif, то имеют место равенства

hello_html_m662931a3.gif, hello_html_79eaf5e3.gif (3)

Справедливо и обратное утверждение, т.е. если выполняются оба равенства (3), то hello_html_m3f56b731.gif. Таким образом, все значения аргумента hello_html_327b2325.gif можно находить, решая совместно уравнения (3).

Значения аргумента комплексного числа hello_html_377d5bf0.gif можно находить и так:

  1. определить, в какой четверти находится точка hello_html_m64ae73cf.gif (использовать геометрическую интерпретацию числа hello_html_m64ae73cf.gif);

  2. найти в этой четверти угол hello_html_327b2325.gif, решив одно из уравнений (3) или уравнение

hello_html_27f4e33c.gif; (4)

  1. найти все значения аргумента числа hello_html_6ab43c36.gif по формуле

hello_html_39eea912.gif.

2. Действия над комплексными числами,

заданными в алгебраической форме

Над комплексными числами производятся такие же действия, как и над действительными числами. Действия сложения и умножения даны в определении комплексного числа (см.п. 1).

Рассматривая вычитание и деление комплексных чисел как действия, обратные соответственно сложению и умножению, получаем правила вычитания и деления комплексных чисел:

hello_html_5f8949ee.gif;

hello_html_134ef3ec.gif.

3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

    1. Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть hello_html_27433601.gif - модуль, а hello_html_429be09c.gif - одно из значений аргумента комплексного числа hello_html_m28088b6b.gif. Так как из соотношений (3) вытекает, что hello_html_721e9ba8.gif, hello_html_4dbc3e24.gif, то

hello_html_m44408ee3.gif(5)

Таким образом, любое комплексное число hello_html_457454f1.gif можно записать по формуле (5), где hello_html_48df2aaa.gif - модуль, а hello_html_429be09c.gif - одно из значений аргумента этого числа.

Верно и обратное утверждение: если комплексное число hello_html_m28088b6b.gif представлено в виде (5), где hello_html_m243627ff.gif, то hello_html_m62a5a315.gif, hello_html_m3f56b731.gif.

Представление комплексного числа в виде

hello_html_147755cb.gif,

где hello_html_m243627ff.gif, называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для представления комплексного числа hello_html_65d7327b.gif в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа; 2) одно из значений аргумента этого числа. В силу многозначности hello_html_m1ff18035.gif тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна.





    1. Действия над комплексными числами,

заданными в тригонометрической форме

Произведение комплексных чисел hello_html_m63278e43.gif и hello_html_m1a9322e3.gif находится по формуле

hello_html_m3b1d1230.gif, (6)

т.е. hello_html_m4ff5a70b.gif, hello_html_6e2b7626.gif.

Таким образом, при умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Частное комплексных чисел hello_html_m63278e43.gif и hello_html_m2bafadc8.gif находится по формуле

hello_html_4440f8ba.gif, (7)

т.е.

hello_html_59ee121d.gif, hello_html_32b79442.gif.

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Для возведения комплексного числа hello_html_579c834a.gif в n-ю степень используется формула

hello_html_m28d0fbc5.gif, hello_html_349838e.gif, (8)

которая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа hello_html_579c834a.gif используется формула

hello_html_583d9d6c.gif, (9)

где hello_html_m428c91a0.gif - арифметический корень, hello_html_3a9d9430.gif.

4. Показательная функция

с комплексным показателем. Формулы Эйлера

Степень hello_html_154e9ab5.gif с комплексным показателем hello_html_75d2fee2.gif определяется равенством

hello_html_m1af35ace.gif.

Можно доказать, что

hello_html_423e8656.gif,

т.е.

hello_html_m787340d7.gif(10)

В частности, при hello_html_1459bf74.gif получается соотношение

hello_html_53d4ac8a.gif(11)

которое называется формулой Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при возведении в степень – перемножаются.

Показательная функция имеет период, равный hello_html_m2f42aa15.gif, т.е. hello_html_m73626141.gif. В частности, при hello_html_m1f2a0bae.gif получается соотношение hello_html_8ad95ff.gif.

Тригонометрическую форму комплексного числа hello_html_e2f7410.gif можно заменить показательной формой: hello_html_m285b186f.gif.

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

hello_html_m3b525a6.gif; (13)

hello_html_6ed561b1.gif; (14)

hello_html_62e198b9.gif; (15)

hello_html_1ca7a027.gif. (16)

Формула Эйлера (11) устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменив в ней hello_html_5fd65e16.gifна hello_html_429be09c.gif и на hello_html_m17741642.gif, получим

hello_html_m363ca0bc.gif, hello_html_m9bce166.gif.

Складывая и вычитая эти равенства, получим

hello_html_m2383eeed.gif, (17) hello_html_270da6b9.gif, (18)

Эти две простые формулы, также называемые формулами Эйлера и выражающие тригонометрические функции через показательные, позволяют алгебраическим путем получить основные формулы тригонометрии.



Вариант 1

  1. Выполните сложение комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_eab7b9c.gif. Вычисленную сумму изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

  2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_m796f378c.gif.

  3. Решите квадратное уравнение hello_html_m5af5dd48.gif.

  4. Выполните умножение комплексных чисел в тригонометрической форме: hello_html_m1115863d.gif.

  5. Выполните деление комплексных чисел в показательной форме: hello_html_m5f7c7ba3.gif.

  6. Вычислите все значения hello_html_5e9d479d.gif. Найденные значения запишите в алгебраической форме.

  7. Найдите все комплексные корни уравнения hello_html_m390e2836.gif. Значения корней запишите в алгебраической форме.

Вариант 2

  1. Выполните вычитание комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_2eb51a20.gif. Вычисленную разность изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

  2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_40fd28c2.gif.

  3. Решите квадратное уравнение hello_html_6d8f498c.gif.

  4. Выполните деление комплексных чисел в тригонометрической форме: hello_html_m79512f7.gif.

  5. Выполните умножение комплексных чисел в показательной форме: hello_html_m4f516f66.gif.

  6. Вычислите все значения hello_html_m1352802e.gif. Найденные значения запишите в алгебраической форме.

  7. Найдите все комплексные корни уравнения hello_html_6c339919.gif. Значения корней запишите в алгебраической форме.



Вариант 3

  1. Выполните сложение комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_1681fee8.gif. Вычисленную сумму изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

  2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_4c98eea1.gif.

  3. Решите квадратное уравнение hello_html_m7ffd62fe.gif.

  4. Выполните умножение комплексных чисел в тригонометрической форме: hello_html_3ff96ea6.gif

  5. Выполните деление комплексных чисел в показательной форме:hello_html_mb5ed55e.gif.

  6. Вычислите все значения hello_html_m1866091b.gif. Найденные значения запишите в алгебраической форме.

  7. Найдите все комплексные корни уравнения hello_html_28d9f3f.gif. Значения корней запишите в алгебраической форме.

Вариант 4

  1. Выполните вычитание комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_m5deea9ae.gif. Вычисленную разность изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

  2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_7565c365.gif.

  3. Решите квадратное уравнение hello_html_m3a114891.gif.

  4. Выполните деление комплексных чисел в тригонометрической форме: hello_html_548dc0.gif.

  5. Выполните умножение комплексных чисел в показательной форме: hello_html_341696d1.gif.

  6. Вычислите все значения hello_html_mfbcc35f.gif. Найденные значения запишите в алгебраической форме.

  7. Найдите все комплексные корни уравнения hello_html_m2282ce73.gif. Значения корней запишите в алгебраической форме.



Критерии оценивания работы



Приведенное верное решение каждого задания оценивается одним баллом.

Количество баллов

Оценка

0 5

2

6 7

3

8 9

4

10 11

5




Используемая литература


  1. Дадаян А.А. Математика: Учебник для среднего профессионального образования. – М.: Форум, 2008.

  2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учебное пособие для техникумов. - М.: Высшая школа, 1991.

  3. Богомолов Н.В. «Практическое занятие по математике». – М.: Высшая школа, 2000.


Интернет – ресурсы


  1. http://window.edu.ru – Единое окно доступа к образовательным ресурсам

  2. http://matclub.ru - Высшая математика, лекции, курсовые, примеры решения задач, интегралы и производные, дифференцирование, производная и первообразная, ТФКП, электронные учебники

  3. http://www.mat.september.ru - Газета «Математика» «издательского дома» «Первое сентября»

  4. http://www.mathematics.ru - Математика в Открытом колледже

  5. http://school.msu.ru - Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ

  6. http ://www. exponenta.ru - Образовательный математический сайт

  7. http://www.mathnet.ru - Общероссийский математический портал Math-Net.Ru

  8. http ://www. alhnath.ru - Портал Alhnath.ni - вся математика в одном месте

  9. http ://www.bvmath.net - Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет – школа.

  10. http://diffurov.net - Диффуров.НЕТ - сайт, где решают дифференциальные уравнения

hello_html_65b5deed.gifhello_html_65b5deed.gifhello_html_65b5deed.gifhello_html_65b5deed.gifhello_html_65b5deed.gif



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 14.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров157
Номер материала ДВ-451309
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх