Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА», РАЗДЕЛ 2. ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА», РАЗДЕЛ 2. ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

библиотека
материалов



Омский летно-технический колледж гражданской авиации имени А.В. Ляпидевского

филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
"Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт)"

hello_html_m4e5a0cb3.jpg







МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

по дисциплине

«Математика»

Раздел 2. Теория комплексных чисел



Специальности

25.02.01 Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей

25.02.03 Техническая эксплуатация электрифицированных и пилотажно-навигационных комплексов

25.02.04 Летная эксплуатация летательных аппаратов





Омск - 2015

Разработал:

Пищагина Е.С., преподаватель математики

Рассмотрено

на заседании ЦМК ЕНД и ОВД


от «_____»__________20__г.

Протокол №_________





1. Пояснительная записка

Внеаудиторная самостоятельная работа является обязательным видом учебной работы курсантов. Объем внеаудиторной самостоятельной работы курсантов определяется учебным планом. Рабочей программой дисциплины «Математика» предусмотрено до 50% внеаудиторного самостоятельного изучения учебного материала. Методические указания к выполнению самостоятельной работы по учебной дисциплине «Математика» предназначены для обобщения, систематизации и получения более глубоких знаний дисциплины, закрепления полученных умений и навыков, повышения уровня подготовки курсантов, а также для осуществления контроля качества усвоения учебного материала.

Курсанты должны уметь использовать справочники, таблицы, уметь решать прикладные задачи.
















Тема: Действия над комплексными числами.

Цель:

формирование знаний о формах записи комплексных чисел;

изучить способы перехода от одной формы комплексного числа к другой.

Задача:

  1. выполнять действия над комплексными числами;

  2. осуществлять перевод комплексных чисел из одной формы в другую.



Теоретические сведения

1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация

Комплексными числами называются числа вида hello_html_m45d95d33.gif, где hello_html_64bca322.gif и hello_html_m68ffa060.gif - действительные числа, а число hello_html_m2d21f3a0.gif, определяемое равенством hello_html_m3768260.gif, называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

  1. два комплексных числа hello_html_m239dc5b.gif и hello_html_dfa1965.gif называются равными, если hello_html_m2379d9f4.gif и hello_html_2c863a24.gif;

  2. суммой двух комплексных чисел hello_html_m239dc5b.gif и hello_html_dfa1965.gif называется комплексное число hello_html_68a42106.gif;

  3. произведением двух комплексных чисел hello_html_m239dc5b.gif и hello_html_dfa1965.gif называется комплексное число hello_html_a53e32f.gif.

Запись комплексного числа в виде hello_html_1a37dd39.gif называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Действительное число hello_html_64bca322.gif называется действительной частью комплексного числа hello_html_1a37dd39.gif, а действительное число hello_html_m68ffa060.gif - мнимой частью.

Любое действительное число hello_html_64bca322.gif содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: hello_html_m59ddfcfb.gif. Числа 0, 1 и hello_html_m2d21f3a0.gif записываются соответственно в виде hello_html_693dc511.gif, hello_html_m337e6eab.gif и hello_html_564a03e5.gif.

При hello_html_m7a750a15.gif комплексное число hello_html_m45d95d33.gif обращается в чисто мнимое число hello_html_m449d5384.gif.

Комплексное число hello_html_363f1f39.gif называется комплексно сопряженным с числом hello_html_m45d95d33.gif и обозначается hello_html_6e2a3477.gif, т.е. hello_html_m5375db95.gif.

Комплексные числа вида hello_html_m45d95d33.gif и hello_html_m7896d31a.gif называются противоположными.

Модулем комплексного числа hello_html_1a37dd39.gif называется число hello_html_3a396549.gif:

hello_html_73a248b6.gif(1)

Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число:hello_html_m2be4fa8e.gif, причем hello_html_m610cf462.gif тогда и только тогда, когда hello_html_m2a4e5685.gif.

Комплексное число hello_html_m64ae73cf.gif можно изображать точкой плоскости с координатами hello_html_6e055733.gif (рис.1). При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами hello_html_6e055733.gif соответствует один и только один вектор с началом в точке hello_html_5a843b6.gif и концом в точке hello_html_27d80051.gif. Поэтому комплексное число hello_html_9e34e8c.gif можно изобразить в виде вектора hello_html_m3a01f3f8.gif с началом в точке hello_html_mba37de1.gif и концом в точке hello_html_m64ae73cf.gif.

Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекают следующие свойства.

  1. Длина вектора hello_html_m106175a6.gif равна hello_html_mdb6c5f7.gif.

  2. Точки hello_html_m64ae73cf.gif и hello_html_m78c194c.gif симметричны относительно действительной оси.

  3. Точки hello_html_6ab43c36.gif и hello_html_57dd842a.gif симметричны относительно точки hello_html_mba37de1.gif.

  4. Число hello_html_26b6ce91.gif геометрически изображается как вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам hello_html_m104c2de.gif и hello_html_354853fd.gif (рис.2).

  5. Расстояние между точками hello_html_m104c2de.gif и hello_html_354853fd.gif равно hello_html_5ea76b39.gif (рис. 3).

Угол hello_html_327b2325.gif между действительной осью hello_html_ba6efe3.gif и вектором hello_html_m1eed6d73.gif, отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа hello_html_mba37de1.gif (см. рис. 1). Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по движению часовой стрелки, - отрицательной.

Аргумент hello_html_327b2325.gif комплексного числа hello_html_m64ae73cf.gif записывается так:

hello_html_m65791b51.gifили hello_html_m3f56b731.gif (2)

Для числа hello_html_mba37de1.gif аргумент не определен.

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно; любое комплексное число hello_html_m37d24946.gifимеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное hello_html_m504476e3.gif. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка hello_html_m17900c48.gif называется главным значением аргумента.

Из определения аргумента тригонометрических функций следует, что если hello_html_m3f56b731.gif, то имеют место равенства

hello_html_m662931a3.gif, hello_html_79eaf5e3.gif (3)

Справедливо и обратное утверждение, т.е. если выполняются оба равенства (3), то hello_html_m3f56b731.gif. Таким образом, все значения аргумента hello_html_327b2325.gif можно находить, решая совместно уравнения (3).

Значения аргумента комплексного числа hello_html_377d5bf0.gif можно находить и так:

  1. определить, в какой четверти находится точка hello_html_m64ae73cf.gif (использовать геометрическую интерпретацию числа hello_html_m64ae73cf.gif);

  2. найти в этой четверти угол hello_html_327b2325.gif, решив одно из уравнений (3) или уравнение

hello_html_27f4e33c.gif; (4)

  1. найти все значения аргумента числа hello_html_6ab43c36.gif по формуле

hello_html_39eea912.gif.

2. Действия над комплексными числами,

заданными в алгебраической форме

Над комплексными числами производятся такие же действия, как и над действительными числами. Действия сложения и умножения даны в определении комплексного числа (см.п. 1).

Рассматривая вычитание и деление комплексных чисел как действия, обратные соответственно сложению и умножению, получаем правила вычитания и деления комплексных чисел:

hello_html_5f8949ee.gif;

hello_html_134ef3ec.gif.

3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

    1. Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть hello_html_27433601.gif - модуль, а hello_html_429be09c.gif - одно из значений аргумента комплексного числа hello_html_m28088b6b.gif. Так как из соотношений (3) вытекает, что hello_html_721e9ba8.gif, hello_html_4dbc3e24.gif, то

hello_html_m44408ee3.gif(5)

Таким образом, любое комплексное число hello_html_457454f1.gif можно записать по формуле (5), где hello_html_48df2aaa.gif - модуль, а hello_html_429be09c.gif - одно из значений аргумента этого числа.

Верно и обратное утверждение: если комплексное число hello_html_m28088b6b.gif представлено в виде (5), где hello_html_m243627ff.gif, то hello_html_m62a5a315.gif, hello_html_m3f56b731.gif.

Представление комплексного числа в виде

hello_html_147755cb.gif,

где hello_html_m243627ff.gif, называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для представления комплексного числа hello_html_65d7327b.gif в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа; 2) одно из значений аргумента этого числа. В силу многозначности hello_html_m1ff18035.gif тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна.





    1. Действия над комплексными числами,

заданными в тригонометрической форме

Произведение комплексных чисел hello_html_m63278e43.gif и hello_html_m1a9322e3.gif находится по формуле

hello_html_m3b1d1230.gif, (6)

т.е. hello_html_m4ff5a70b.gif, hello_html_6e2b7626.gif.

Таким образом, при умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Частное комплексных чисел hello_html_m63278e43.gif и hello_html_m2bafadc8.gif находится по формуле

hello_html_4440f8ba.gif, (7)

т.е.

hello_html_59ee121d.gif, hello_html_32b79442.gif.

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Для возведения комплексного числа hello_html_579c834a.gif в n-ю степень используется формула

hello_html_m28d0fbc5.gif, hello_html_349838e.gif, (8)

которая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа hello_html_579c834a.gif используется формула

hello_html_583d9d6c.gif, (9)

где hello_html_m428c91a0.gif - арифметический корень, hello_html_3a9d9430.gif.

4. Показательная функция

с комплексным показателем. Формулы Эйлера

Степень hello_html_154e9ab5.gif с комплексным показателем hello_html_75d2fee2.gif определяется равенством

hello_html_m1af35ace.gif.

Можно доказать, что

hello_html_423e8656.gif,

т.е.

hello_html_m787340d7.gif(10)

В частности, при hello_html_1459bf74.gif получается соотношение

hello_html_53d4ac8a.gif(11)

которое называется формулой Эйлера.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при возведении в степень – перемножаются.

Показательная функция имеет период, равный hello_html_m2f42aa15.gif, т.е. hello_html_m73626141.gif. В частности, при hello_html_m1f2a0bae.gif получается соотношение hello_html_8ad95ff.gif.

Тригонометрическую форму комплексного числа hello_html_e2f7410.gif можно заменить показательной формой: hello_html_m285b186f.gif.

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

hello_html_m3b525a6.gif; (13)

hello_html_6ed561b1.gif; (14)

hello_html_62e198b9.gif; (15)

hello_html_1ca7a027.gif. (16)

Формула Эйлера (11) устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменив в ней hello_html_5fd65e16.gifна hello_html_429be09c.gif и на hello_html_m17741642.gif, получим

hello_html_m363ca0bc.gif, hello_html_m9bce166.gif.

Складывая и вычитая эти равенства, получим

hello_html_m2383eeed.gif, (17) hello_html_270da6b9.gif, (18)

Эти две простые формулы, также называемые формулами Эйлера и выражающие тригонометрические функции через показательные, позволяют алгебраическим путем получить основные формулы тригонометрии.



Вариант 1

  1. Выполните сложение комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_eab7b9c.gif. Вычисленную сумму изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

  2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_m796f378c.gif.

  3. Решите квадратное уравнение hello_html_m5af5dd48.gif.

  4. Выполните умножение комплексных чисел в тригонометрической форме: hello_html_m1115863d.gif.

  5. Выполните деление комплексных чисел в показательной форме: hello_html_m5f7c7ba3.gif.

  6. Вычислите все значения hello_html_5e9d479d.gif. Найденные значения запишите в алгебраической форме.

  7. Найдите все комплексные корни уравнения hello_html_m390e2836.gif. Значения корней запишите в алгебраической форме.

Вариант 2

  1. Выполните вычитание комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_2eb51a20.gif. Вычисленную разность изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

  2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_40fd28c2.gif.

  3. Решите квадратное уравнение hello_html_6d8f498c.gif.

  4. Выполните деление комплексных чисел в тригонометрической форме: hello_html_m79512f7.gif.

  5. Выполните умножение комплексных чисел в показательной форме: hello_html_m4f516f66.gif.

  6. Вычислите все значения hello_html_m1352802e.gif. Найденные значения запишите в алгебраической форме.

  7. Найдите все комплексные корни уравнения hello_html_6c339919.gif. Значения корней запишите в алгебраической форме.



Вариант 3

  1. Выполните сложение комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_1681fee8.gif. Вычисленную сумму изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

  2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_4c98eea1.gif.

  3. Решите квадратное уравнение hello_html_m7ffd62fe.gif.

  4. Выполните умножение комплексных чисел в тригонометрической форме: hello_html_3ff96ea6.gif

  5. Выполните деление комплексных чисел в показательной форме:hello_html_mb5ed55e.gif.

  6. Вычислите все значения hello_html_m1866091b.gif. Найденные значения запишите в алгебраической форме.

  7. Найдите все комплексные корни уравнения hello_html_28d9f3f.gif. Значения корней запишите в алгебраической форме.

Вариант 4

  1. Выполните вычитание комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_m5deea9ae.gif. Вычисленную разность изобразите на комплексной плоскости в виде вектора.

  2. Выполните деление комплексных чисел в алгебраической форме: hello_html_7565c365.gif.

  3. Решите квадратное уравнение hello_html_m3a114891.gif.

  4. Выполните деление комплексных чисел в тригонометрической форме: hello_html_548dc0.gif.

  5. Выполните умножение комплексных чисел в показательной форме: hello_html_341696d1.gif.

  6. Вычислите все значения hello_html_mfbcc35f.gif. Найденные значения запишите в алгебраической форме.

  7. Найдите все комплексные корни уравнения hello_html_m2282ce73.gif. Значения корней запишите в алгебраической форме.



Критерии оценивания работы



Приведенное верное решение каждого задания оценивается одним баллом.

Количество баллов

Оценка

0 5

2

6 7

3

8 9

4

10 11

5




Используемая литература


  1. Дадаян А.А. Математика: Учебник для среднего профессионального образования. – М.: Форум, 2008.

  2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учебное пособие для техникумов. - М.: Высшая школа, 1991.

  3. Богомолов Н.В. «Практическое занятие по математике». – М.: Высшая школа, 2000.


Интернет – ресурсы


  1. http://window.edu.ru – Единое окно доступа к образовательным ресурсам

  2. http://matclub.ru - Высшая математика, лекции, курсовые, примеры решения задач, интегралы и производные, дифференцирование, производная и первообразная, ТФКП, электронные учебники

  3. http://www.mat.september.ru - Газета «Математика» «издательского дома» «Первое сентября»

  4. http://www.mathematics.ru - Математика в Открытом колледже

  5. http://school.msu.ru - Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ

  6. http ://www. exponenta.ru - Образовательный математический сайт

  7. http://www.mathnet.ru - Общероссийский математический портал Math-Net.Ru

  8. http ://www. alhnath.ru - Портал Alhnath.ni - вся математика в одном месте

  9. http ://www.bvmath.net - Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет – школа.

  10. http://diffurov.net - Диффуров.НЕТ - сайт, где решают дифференциальные уравнения

hello_html_65b5deed.gifhello_html_65b5deed.gifhello_html_65b5deed.gifhello_html_65b5deed.gifhello_html_65b5deed.gif




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 14.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров224
Номер материала ДВ-451309
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх