Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по внеаудиторной самостоятельной работе

Методические рекомендации по внеаудиторной самостоятельной работе

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



Министерство образования и науки Самарской области

Министерство имущественных отношений Самарской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Тольяттинский индустриально-педагогический колледж

(ГБОУ СПО ТИПК)












МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ


для преподавателей и студентов

специальности 100701 Коммерция (по отраслям)






























Тhello_html_2b12d2aa.gifольятти, 2014

Ахметова М.Ф. Методические рекомендации по организации самостоятельной работы. Дисциплина «Математика». - Тольятти, Изд. ТИПК, 2014.- 44 с.


Методические рекомендации по организации самостоятельной работы разработаны на основании примерной программы учебной дисциплины «Математика» в соответствии Федерального государственного образовательного стандарта (далее ФГОС) по специальности 100701 Коммерция (по отраслям).

Описаны виды, методика проведения, формы организации самостоятельной работы студентов вне аудитории. Пособие содержит конкретные задания для внеаудиторной самостоятельной работы по разделам математики.

Разработаны для студентов специальности Коммерция (по отраслям)..




Рассмотрено

протокол заседания отделения общеобразовательных дисциплин

№____ от «____»______________ 2014г.

Руководитель / И.М. Брагина /



Утверждено

протокол заседания научно-методического совета ГБОУ СПО ТИПК

№____ от «____»______________ 2014г.

Председатель / С.Н. Чернова /






















©hello_html_2b12d2aa.gif ГБОУ СПО ТИПК

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………………...4

1 Общие положения о самостоятельной работе студентов по математике…………………….4

2 Тематическое планирование самостоятельной работы студентов ………………………......5

3 Задания для внеаудиторной самостоятельной работы студентов……………………………...6

3.1 Самостоятельная работа №1………………………………………………………………….6

3.2 Самостоятельная работа №2………………………………………………………………...10

3.3 Самостоятельная работа №3………………………………………………………………...13

3.4 Самостоятельная работа №4………………………………………………………………...13

3.5 Самостоятельная работа №5………………………………………………………………...14

3.6 Самостоятельная работа №6………………………………………………………………...16

3.7 Самостоятельная работа №7………………………………………………………………...19

3.8 Самостоятельная работа №8………………………………………………………………...24

3.9 Самостоятельная работа №9………………………………………………………………...28

3.10 Самостоятельная работа №10……………………………………………………………...34

3.11 Самостоятельная работа №11……………………………………………………………...39

Заключение………………………………………………………………………………………....39

Список рекомендуемой литературы и Интернет-ресурсов ……………………………………..40

Приложения………………………………………………………………………………………...40

































Введение

Цель данной методической разработки – ознакомить преподавателя с общими положениями о самостоятельной работе студентов по математике, с методикой организации самостоятельной работы студентов при изучении нового материала и в процессе закрепления на уроке, при выполнении практических работ, при решении задач, при выполнении самостоятельной работы вне аудитории.

Методическое пособие предназначено для преподавателей и студентов и может быть использовано при организации самостоятельной работы студентов на уроках и вне аудитории.

Пособие выполнено на основании примерной программы учебной дисциплины «Математика» в соответствии Федерального государственного образовательного стандарта (далее ФГОС) по специальности 100701 Коммерция (по отраслям).

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

  • значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

  • основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

  • основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

  • основы интегрального и дифференциального исчисления.


1 Общие положения о самостоятельной работе студентов по математике


Объем самостоятельной работы студентов определяется государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО) обучающихся по программам общего образования. Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы является обязательной для каждого студента, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом колледжа.

Самостоятельная внеаудиторная работа по математике проводится с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний студентов;

- углубления и расширения теоретических знаний;

- развития познавательных способностей и активности студентов, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. По математике используются следующие виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы:

- для овладения знаниями: чтение текста (учебника, дополнительной литературы), работа со словарями и справочниками, учебно-исследовательская работа, использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета;

- для закрепления и систематизации знаний: повторная работа над учебным материалом (учебника, дополнительной литературы, аудио- и видеозаписей), составление плана и алгоритма решения, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответы на контрольные вопросы, подготовка сообщений к выступлению на уроке, конференции, подготовка сообщений, докладов, рефератов, тематических кроссвордов;

- для формирования умений: выполнение схем, анализ карт, подготовка к деловым играм.

Если студент научится самостоятельно изучать новый материал, пользуясь учебником или какими-то специально подобранными заданиями, то будет успешно решена задача сознательного овладения знаниями. Знания, которые усвоил студент сам, значительно прочнее тех, которые он получил после объяснения преподавателя. И в дальнейшем студент сможет самостоятельно ликвидировать пробелы в знаниях, расширять знания, творчески применять их в решении практических задач.

Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы студент должен внимательно выслушать инструктаж преподавателя по выполнению задания, который включает определение цели задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам работы, критерии оценки. В процессе инструктажа преподаватель предупреждает студентов о возможных типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания.

В пособии представлены как индивидуальные, так и групповые задания в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности. В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов используются аудиторные занятия, зачеты, тестирование, самоотчеты, контрольные работы.

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:

- уровень освоения студентом учебного материала;

- умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

- сформированность общеучебных умений;

- обоснованность и четкость изложения ответа;

- оформление материала в соответствии с требованиями.

В методических указаниях приведены теоретический (справочный) материал в соответствии с темой работы, обращение к которому поможет выполнить задания самостоятельной работы; вопросы для самоконтроля, подготавливающие к выполнению заданий и сами задания.

Время для самостоятельной работы обучающегося - 24часа.

Критерии оценки: «5» - задание выполнено полностью;

«4» - выполнено 70%-90% от всего объема задания;

«3» - выполнено менее 70% от всего объема задания;

«2» - выполнено менее 50% от всего объема задания.


2Тематическое планирование самостоятельной работы студентов

п/п


Тема


Вид самостоятельной работы

Количество

часов

1

Матрицы и определители.

Работа с конспектом лекции Решение задач по образцу

1

1

2

Системы линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений

по формулам Крамера.

Работа с конспектом лекции


Решение вариативных задач


1


1

3

Функция.

Подготовка реферата и презентации

2

4

Предел и непрерывность функции.

Работа с материалом учебника

Решение вариативных задач

1


1

5

Производная функции

Работа с материалом учебника

Решение вариативных задач

1


1

6

Приложение производной.

Решение задач по образцу

Построение графиков.

1

1

7

Первообразная. Неопределённый интеграл. Основные формулы интегрирования. Методы интегрирования.

Работа с материалом учебника

Решение задач по образцу


1


1

8

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Применение определённого интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.

Работа с материалом учебника

Решение вариативных задач

1


1

9

Комплексные числа.

Работа с конспектом лекции

Решение задач по образцу


1

1

10

Теория вероятностей и математическая

статистика

Задачи математической статистики.

Работа с конспектом лекции


Подготовка доклада

Решение вариативных задач

1


2

1

11

Дискретная математика.


Подготовка реферата и презентации

2


Всего

24


3 Задания для внеаудиторной самостоятельной работы студентов


Самостоятельная работа №1

Тема 1.1 Матрицы и определители

Задание 1-2. Работа с конспектом лекции. Решение задач по образцу

Цель задания: формирование умений применять полученные знания для решения упражнений на выполнение линейных операций над матрицами, умений использовать конспект лекции; развитие познавательных способностей, самостоятельности, ответственности; умение подготовиться к рубежному контролю

Содержание задания: чтение конспекта лекции, решение упражнений.

Срок выполнения: подготовиться к следующему теоретическому занятию

Ориентированный объем работы: решить упражнения на выполнение линейных операций над матрицами, нахождение определителей матрицы.

Основные требования к результатам работы: добросовестность подготовки: умение сконцентрироваться во время рубежного контроля, повторение линейных операций над матрицами, нахождение определителей матрицы; умение аргументировать свои ответы.

Критерии оценки: оформление письменного задания в соответствии с установленными требованиями; умение студента использовать теоретические знания при выполнении контрольной работы.

Форма контроля: проверка правильности письменного задания в тетрадях с конспектами и у доски

Содержание работы.

Теория.

Прямоугольную таблицу

А=hello_html_6fe3c424.png,

состоящую из m строк и n столбцов, элементами которой являются действительные числа

hello_html_m71025d4a.png , где i – номер строки, j - номер столбца на пересечении которых стоит этот элемент, будем называть числовой матрицей порядка m´n и обозначатьhello_html_m3779e348.png .


Рассмотрим основные типы матриц:


1. Пусть m = n, тогда матрица А – квадратная матрица, которая имеет порядок n:


А = hello_html_m1d6d61d2.png.


Элементы образуют главную диагональhello_html_m30a021eb.png, элементы образуют побочную диагональhello_html_m58fad76f.png.


Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:


А = hello_html_20b3191c.png = hello_html_m30a021eb.png=diag ().


Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной , если все элементы главной диагонали равны 1:


Е =hello_html_4de8aa1.png = diag (1, 1, 1,…,1).


Справедливы следующие свойства определителя матрицы.

1. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы АТ, то есть, hello_html_m7390c5bd.png .

Пример1.

Убедитесь, что определитель матрицы hello_html_m330d9ed9.png равен определителю транспонированной матрицы.

Решение.

Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3:

hello_html_m2da1379b.png

Транспонируем матрицу А:

hello_html_me7bb18a.png

Вычислим определитель транспонированной матрицы:

hello_html_mfb76c93.png

Действительно, определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

2. Если в квадратной матрице все элементы хотя бы одной из строк (одного из столбцов) нулевые, определитель такой матрицы равен нулю.


Пример2.

hello_html_5143a587.png

Проверьте, что определитель матрицы порядка 3 на 3 равен нулю.

Решение.


hello_html_maaf765e.png

Действительно, определитель матрицы с нулевым столбцом равен нулю.


3. Если переставить местами две любые строки (столбца) в квадратной матрице, то определитель полученной матрицы будет противоположен исходному (то есть, изменится знак).


Пример3. Даны две квадратные матрицы порядка 3 на 3 hello_html_1d04133a.png и hello_html_m66b67c07.png. Покажите, что их определители противоположны.

Решение.

Матрица В получена из матрицы А заменой третьей строки на первую, а первой на третью. Согласно рассмотренному свойству определители таких матриц должны отличаться знаком. Проверим это, вычислив определители по известной формуле.

hello_html_460d46dd.png

Действительно, hello_html_m521a9a3e.png .


4. Если в квадратной матрице хотя бы две строки (два столбца) одинаковы, то ее определитель равен нулю.

Пример4.

hello_html_m4ba88f37.png Покажите, что определитель матрицы равен нулю.

Решение.

В данной матрице второй и третий столбцы одинаковы, так что согласно рассмотренному свойству ее определитель должен быть равен нулю. Проверим это.

hello_html_334a18bd.png


На самом деле определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами есть ноль.


5. Если в квадратной матрице все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на некоторое число k, то определитель полученной матицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на k.

Пример5.

hello_html_m6baf8be5.png

Докажите, что определитель матрицы равен утроенному определителю матрицы .


Решение.

Элементы первого столбца матрицы В получены из соответствующих элементов первого столбца матрицы А умножением на 3. Тогда в силу рассмотренного свойства должно выполняться равенство . Проверим это, вычислив определители матриц А и В.

hello_html_m2d20838b.png

Следовательно, hello_html_5830e956.png , что и требовалось доказать.

Задачи для самостоятельной работы.

Вычислить определитель.

1)hello_html_m3dacee92.gif 2) hello_html_d7ce8fe.gif 3) hello_html_9671a4b.gif 4) hello_html_67616005.gif 5)hello_html_7969e6ae.gif



6) hello_html_m58061689.gif 7)hello_html_m104c3191.gif 8) hello_html_51e0d495.gif

Доказать, что hello_html_1e8c0688.gif

9) hello_html_m50347b4f.gif 10) hello_html_m7144acda.gif


11) hello_html_71752d76.gif 12) hello_html_m7ae33ee8.gif


Найти hello_html_m4e323f26.gif и сделать проверку

13) hello_html_m3cfb4a49.gif 14) hello_html_79c5aec3.gif 15) hello_html_3d4135d9.gif 16) hello_html_6dce7a0a.gif



Самостоятельная работа №2

Тема 1.2 Системы линейных уравнений

Задание №3-4 Работа с конспектом лекции. Решение вариативные упражнения

(системы линейных уравнений с 3-я неизвестными с помощью формул Крамера).

Цель задания: формирование умений применять полученные знания для решения систем линейных уравнений с 3-я неизвестными с помощью формул Крамера, умений использовать учебную литературу; развитие познавательных способностей, самостоятельности, ответственности; умение подготовиться к рубежному контролю

Содержание задания: повторение пройденного материала раздела, чтение конспекта и учебного материала, решение упражнений.

Срок выполнения: подготовиться к следующему теоретическому занятию

Ориентированный объем работы: Решить системы линейных уравнений с 3-я неизвестными с помощью формул Крамера.

Основные требования к результатам работы: добросовестность подготовки: умение сконцентрироваться во время рубежного контроля, повторение формул Крамера; умение аргументировать свои ответы.

Критерии оценки: оформление письменного задания в соответствии с установленными требованиями; умение студента использовать теоретические знания при выполнении контрольной работы.

Форма контроля: проверка правильности письменного задания в тетрадях с конспектами и у доски

Содержание работы.

Теория. Определителем третьего порядка, составленным из чисел hello_html_m2a83398c.gif, называется число, определяемое равенством: hello_html_md69267d.gif (3.4)

Формулу (3.4) называют разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Система трех линейных уравнений с тремя переменными:

hello_html_406403cf.gif

при условии, что определитель системы hello_html_3d52106c.gif≠ 0, имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

hello_html_m6360fb0d.gifhello_html_me208cf0.gifhello_html_m128068b3.gif (3.5)

где hello_html_m5b6e1cc5.gif, hello_html_b1e5ffe.gif, hello_html_mbd37da5.gif.

Если же hello_html_34e7d513.gif, то система является либо неопределенной, либо несовместной. В том случае, если система однородная, т.е. имеет вид

hello_html_2e0bba8d.gif

и hello_html_7aad93af.gif≠ 0, то она имеет единственное решение: hello_html_3d96b9aa.gif

Если определитель однородной системы hello_html_34e7d513.gif, то система сводится либо к двум независимым уравнениям (третье является их следствием), либо к одному (следствиями которого являются остальные два уравнения). В обоих случаях однородная система имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Решить систему уравнений:

hello_html_m49c6a5d6.gif

Решение. Находим:

hello_html_m520f0f5.gif

hello_html_m1f20f51e.gif

hello_html_m18e5b6ae.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m785eea99.gif

По формулам (3.5) получаем:

hello_html_m65c38512.gifhello_html_691ef184.gifhello_html_5d0b5756.gif

Задания для самостоятельного решения.

Решить системы уравнений:

1.hello_html_2144228b.gif 2. hello_html_m40cd1ed.gif 3. hello_html_5dcf3c8c.gif 4. hello_html_m31b83659.gif



5. hello_html_m2aa2e771.gif 6. hello_html_m27bad8af.gif 7. hello_html_m1b90e321.gif 8. hello_html_m51d0e02a.gif



9) hello_html_m3b88f96c.gif 10) hello_html_m39ef809a.gif

Примечание. Самостоятельная работа выполняется по вариантам (10 вариантов).



Самостоятельная работа №3

Раздел 2. Математический анализ

Тема 2.1 Функция

Задание №5 Подготовка реферата с презентацией на тему «Функция: способы задания, свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства, графики».

Цель задания:формирование умений использовать учебную и дополнительную литературу, умений использования ИКТ для поиска информации по интересующим вопросам, работы сообщениями СМИ, научно-популярными статьями; развитие познавательных способностей, самостоятельности, ответственности; углубление и расширение теоретических знаний.

Содержание задания: чтение указанной литературы; написание реферата и подготовка презентации по данной теме

Срок выполнения: подготовить к следующему теоретическому занятию.

Ориентированный объем работы: 2-4 страницы печатного текста

Основные требования к результатам работы: в реферате должны быть раскрыт следующие вопросы: способы задания, основные элементарные функции, их свойства, графики.

Критерии оценки: оформление сообщения в соответствии с требованиями: умение использовать подготовленный материал для доклада перед однокурсниками.

Форма контроля: проверка правильности оформления задания и выступление на уроке перед однокурсниками


Самостоятельная работа №4

Тема 2.2 Предел и непрерывность функции

Задание №6-7 Изучение материала учебника. Решение вариативных задач.

Цель задания:формирование умений использовать учебную и дополнительную литературу, умений использования ИКТ для поиска информации по интересующим вопросам, работы сообщениями СМИ, научно-популярными статьями; развитие познавательных способностей, самостоятельности, ответственности; углубление и расширение теоретических знаний.

Содержание задания: чтение указанной литературы; работа с материалом учебника.

Срок выполнения: подготовить к следующему теоретическому занятию.

Ориентированный объем работы: 2 страницы рукописного текста

Основные требования к результатам работы: в конспекте должны быть раскрыты следующие вопросы: понятие числовой последовательность и ее предела; теоремы о замечательных пределах..

Критерии оценки: оформление сообщения в соответствии с требованиями: умение использовать подготовленный материал для доклада перед однокурсниками

Форма контроля: проверка правильности оформления задания и ответ на уроке перед однокурсниками


Самостоятельная работа №5

Тема 3.1 Производная функции

Задание 8-9. Изучение материала учебника. Решение вариативных задач.

Цель задания: формирование умений применять полученные знания для решения упражнений на нахождение производной элементарной функции по определению, с помощью правил и формул, умений использовать учебную литературу; развитие познавательных способностей, самостоятельности, ответственности; умение подготовиться к рубежному контролю

Содержание задания: повторение пройденного материала раздела, чтение конспекта и учебного материала, решение упражнений.

Срок выполнения: подготовиться к следующему теоретическому занятию

Ориентированный объем работы: решить упражнения на нахождение производной по определению, геометрический и механический смысл производной, нахождение производной элементарных функций.

Основные требования к результатам работы: добросовестность подготовки: умение сконцентрироваться во время рубежного контроля, повторение основных правил и формул дифференцирования; умение аргументировать свои ответы.

Критерии оценки: оформление письменного задания в соответствии с установленными требованиями; умение студента использовать теоретические знания при выполнении контрольной работы.

Форма контроля: проверка правильности письменного задания в тетрадях с конспектами и у доски

Содержание работы.

Теория.

Производной hello_html_m53d4ecad.gifфункции hello_html_m1a267428.gif в точке hello_html_48bafc8f.gif называется предел отношения приращения, hello_html_1ff0896c.gif функции в этой точке к приращению hello_html_6067f45.gifаргумента, когда последнее стремится к нулю:

hello_html_m464c25a1.gif


Функция hello_html_m1a267428.gif, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. Для производной функции hello_html_40946e87.gif употребляются следующие обозначения: hello_html_m1c5ebf2b.gif или hello_html_19d5c19a.gifhello_html_1265dacc.gif Нахождение производной называется дифференцированием.



Основные правила дифференцирования.

Обозначения: С – постоянная; hello_html_46dff828.gif- аргумент; hello_html_m7caf3d73.gif- функции от hello_html_73c24a96.gif имеющие производные.


1. Производная произведения алгебраической суммы функций

hello_html_3ef214a0.gif

2. Производная произведения двух функций

hello_html_m366cd98c.gif

3. Производная произведения трех функций

hello_html_730b485c.gif

4. Производная произведения постоянной на функцию

hello_html_m26e97733.gif

5. Производная частного (дроби)

hello_html_m2187bd25.gif

Частные случаи формулы (5):

hello_html_30cd78c6.gifhello_html_3448c4ec.gif

Формулы дифференцирования


2.hello_html_36e9b955.gif

3.hello_html_m3b006b3d.gif где hello_html_7382c650.gif-любое действительное число

4. hello_html_m42fff1ab.gif

5. hello_html_m7d7fa0a7.gif

6. hello_html_m30bc4126.gif


7.hello_html_4169e643.gif


8. hello_html_m7d3d28ee.gif

9. hello_html_3a7a333f.gif


10. hello_html_m6f6d80e6.gif

11. hello_html_m27583835.gif

12. hello_html_m64a7e4b1.gif

13.hello_html_b449ee1.gif

14. (hello_html_2c8795ab.gif, hello_html_m1a660c1e.gif

15. hello_html_m674ab943.gif, hello_html_m1a660c1e.gif

16.hello_html_m662ff745.gif

17.hello_html_2bfb0dc.gif

Если hello_html_2633e72.gifесть функция от hello_html_1f23f858.gif: hello_html_e9bd0ec.gif где hello_html_1f23f858.gif, в свою очередь, есть функция от аргумента hello_html_46dff828.gif: hello_html_5b137b7c.gif, т.е. если hello_html_2633e72.gifзависит от hello_html_46dff828.gif через промежуточный аргумент hello_html_1f23f858.gif, то hello_html_2633e72.gif называется сложной функцией от hello_html_46dff828.gif(функцией от функции): hello_html_3cd516c2.gif

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

hello_html_m2bf9284.gifили hello_html_21a25a36.gif



Практическая часть.

Примеры для самостоятельного решения

Найдите производные следующих функций:


1. hello_html_6adb6585.gif

2. hello_html_m4d0d2761.gif

3. а)hello_html_mce44ffc.gif б)hello_html_651ad6be.gif в)hello_html_1fc43d50.gif г)hello_html_mf32844b.gif д)hello_html_36c5efbb.gif

4. а) hello_html_193c9a01.gif б) hello_html_m56f1c906.gif

5. а)hello_html_3cf1f4e9.gif б)hello_html_m261a4240.gif в)hello_html_m35952b20.gif г)hello_html_m7e15741c.gif

6. а)hello_html_1729e0ff.gif б)hello_html_2fb337cf.gif в)hello_html_m2629adc0.gif

7. а)hello_html_m652b6347.gif б)hello_html_31360dea.gif в)hello_html_m3e67f161.gif г)hello_html_m6930ed92.gif

8. а) hello_html_1d82090f.gif б)hello_html_m36f8ef02.gif в)hello_html_2a105f3f.gif г)hello_html_m73ec37bc.gif д)hello_html_e3950c5.gif

9. а)hello_html_m16306619.gif б)hello_html_2ad06e15.gif в)hello_html_20c8f2fa.gif г)hello_html_78000224.gif

10. а)hello_html_m7829e6b2.gif б)hello_html_m28d3662e.gif в)hello_html_m2f5ea530.gif

11. а)hello_html_41ca2442.gif б)hello_html_m5ce6d29b.gif в)hello_html_28e8b28a.gif г)hello_html_2941e863.gif

12. а)hello_html_2bf83029.gif б)hello_html_2c3cf28e.gif в)hello_html_13ff403d.gif

13. а)hello_html_m2165b475.gif б) hello_html_b99ba9c.gif в) hello_html_m5ef74ccb.gif г)hello_html_m883f504.gif

14. а)hello_html_61906fab.gif б) hello_html_61bcbd6d.gif в) hello_html_m3ba749b0.gif

15. а)hello_html_m24cbc039.gif б) hello_html_m7d7083a8.gif

16. а) hello_html_m5ef74ccb.gif б) hello_html_m2c1ca85f.gif в) hello_html_331a7cd.gif г) hello_html_m1913e027.gif



Самостоятельная работа №6

Тема 3.2. Приложение производной

Задание 10-11. Решение упражнений по образцу. Построение графиков.

Цель задания: формирование умений применять полученные знания для решения упражнений на исследование функции с помощью производной и построения графика функции, умений использовать учебную литературу; развитие познавательных способностей, самостоятельности, ответственности; умение подготовиться к рубежному контролю

Содержание задания: повторение пройденного материала раздела, чтение конспекта и учебного материала, решение упражнений.

Срок выполнения: подготовиться к следующему теоретическому занятию

Ориентированный объем работы: решить упражнения на исследование функции с помощью производной и построения графика функции

Основные требования к результатам работы: добросовестность подготовки: умение сконцентрироваться во время рубежного контроля, повторение правил и формул нахождения производной, схему исследования функции; умение аргументировать свои ответы.

Критерии оценки: оформление письменного задания в соответствии с установленными требованиями; умение студента использовать теоретические знания при выполнении контрольной работы.

Форма контроля: проверка правильности письменного задания в тетрадях с конспектами и у доски

Содержание работы.

Теория.

Схема исследования функции с помощью производной.

1. Область определения и область значений функции.

2. Четность и нечетность функции: если hello_html_m278ebb9.gif=hello_html_m1a267428.gif, то функция четная; еслиhello_html_m278ebb9.gif= -hello_html_m1a267428.gif, то функция нечетная. Периодичность функции.

3. Точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Первая производная функции. Критические точки.

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

6. Точки экстремума и значения функции в этих точках.

7. Исследование поведения функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулюhello_html_46dff828.gif.

8. Построение графика функции.

Общая схема построения графика функции

  1. Найти область определения функции.

  2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

  3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).

  4. Найти асимптоты графика функции.

  5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

  6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

  7. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Практическая часть.

Примеры построения графика функции.

Пример № 1.

Построить график функции hello_html_7b89338b.gif

1.Функция определена на всей числовой прямой, т.е. hello_html_6fec6b03.gif

2.Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.

3. Найдем точку пересечения графика с осью hello_html_m744f7688.gif полагая hello_html_53018823.gif получим hello_html_m3a1e8102.gif Точки пересечения графика с осью hello_html_43059bda.gif в данном случае найти затруднительно.

4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

5. Найдем производную: hello_html_f158dce.gif Далее, имеем

hello_html_12ef3676.gif Точки hello_html_3e839c1d.gif и hello_html_m40519307.gif делят область

определения функции на три промежутка: hello_html_m5f2fa93c.gifhello_html_bcb0cd3.gif и hello_html_1fc5ecaa.gif В промежутках hello_html_m410ff6b9.gif и hello_html_2fed903e.gifhello_html_4ff9e21.gif т.е. функция возрастает, а в промежутке hello_html_bcb0cd3.gifhello_html_46b7c3ea.gif т.е. функция убывает. При переходе через точку hello_html_3e839c1d.gif производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку hello_html_m40519307.gif - с минуса на плюс. Значит, hello_html_5f91a58c.gifhello_html_2c5d871b.gif

6. Найдем вторую производную: hello_html_m5f7efd6c.gifhello_html_m633faf1f.gifhello_html_m10c338ff.gif Точка hello_html_m65aefd64.gif делит область определения функции на два промежутка hello_html_m1510be8.gif и hello_html_217a8072.gif В первом из них hello_html_m656654dd.gif а во втором hello_html_m344936e1.gif т.е. в промежутке hello_html_m1510be8.gif кривая выпукла вверх, а в промежутке hello_html_m3e017925.gif выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба (2; -1).

7. Используя полученные данные, строим искомый график (рис. 1.).

hello_html_m5e9dbd5b.png




Рис. №1









Пример№2 Построить график функции hello_html_16180384.gif

1.Находим область определения функции: hello_html_4dcc5048.gif

2.Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

3.При hello_html_40b21446.gif получим hello_html_m64dfee9.gif т.е. график проходит через начало координат.

4.Так как hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_613dee4f.gif hello_html_m6bd6775.gif то прямая hello_html_m40519307.gif служит вертикальной асимптотой графика.

Далее находим:

hello_html_30fb1c03.gifhello_html_1a7a3b69.gif

Следовательно, прямая hello_html_m4e4e8a5c.gif является наклонной асимптотой графика.

5. Находим hello_html_m2d40ca5c.gif

6. Производная hello_html_4558b90b.gif обращается в нуль в точках hello_html_40b21446.gif и hello_html_2afa476f.gif и терпит разрыв при hello_html_4ab80995.gif Этими точками числовая прямая делится на четыре промежутка: hello_html_422bda97.gifhello_html_4fd88bfb.gifhello_html_4e46cb1e.gif и hello_html_m153c24c5.gif Исследуем знак hello_html_4558b90b.gif в каждом из них; очевидно, что hello_html_5aeb19ca.gif в промежутках hello_html_52454869.gif и hello_html_m143f0e8.gif (в этих промежутках функция возрастает) и hello_html_596268a3.gif в промежутках hello_html_m64adb0b0.gif и hello_html_50c71db9.gif (в этих промежутках функция убывает). При переходе через точку hello_html_40b21446.gif производная меняет знак с плюса на минус, т.е. это точка максимума, а при переходе через hello_html_2afa476f.gif - с минуса на плюс, т.е. это точка минимума. Находим hello_html_50745968.gifhello_html_51383d00.gif


7. Находим hello_html_2d1b3d07.gif

Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при hello_html_m40519307.gif. В промежутке hello_html_c58d79b.gif имеем hello_html_m656654dd.gif т.е. в этом промежутке кривая выпукла вниз. Точек перегиба нет.


8.На основании полученных данных строим график функции (рис. №2).



hello_html_m51690622.png


Рис. №2.

Задания для самостоятельного решения.


Исследуйте следующие функции и постройте их графики:

1)hello_html_7777a748.gif 2) hello_html_1d80bbbc.gif 3)hello_html_m47be730e.gif

4)hello_html_m20a6613d.gif 5)hello_html_61fec7c0.gif

6)hello_html_1ebe2b59.gif

7)hello_html_7c456f55.gif





Самостоятельная работа №7

Раздел 4. Интегральное исчисление

Тема 4.1 Неопределенный интеграл

Задание 12-13. Работа с материалом учебника. Решение задач по образцу

Цель задания: формирование умений применять полученные знания для решения упражнений на нахождение неопределенного интеграла функции, умений использовать учебную литературу; развитие познавательных способностей, самостоятельности, ответственности; умение подготовиться к рубежному контролю

Содержание задания: повторение пройденного материала раздела, чтение конспекта и учебного материала, решение упражнений.

Срок выполнения: подготовиться к следующему теоретическому занятию

Ориентированный объем работы: решить упражнения на нахождение неопределенного интеграла функции

Основные требования к результатам работы: добросовестность подготовки: умение сконцентрироваться во время рубежного контроля, повторение формул нахождения интеграла; умение аргументировать свои ответы.

Критерии оценки: оформление письменного задания в соответствии с установленными требованиями; умение студента использовать теоретические знания при выполнении контрольной работы.

Форма контроля: проверка правильности письменного задания в тетрадях с конспектами и у доски

Содержание работы.

Теория.

Основные формулы интегрирования. Функция hello_html_m2726d643.gif называется первообразной для функции hello_html_m1a267428.gif в промежутке hello_html_6fefbf20.gif если в любой точке этого промежутка ее производная равна hello_html_6f5fb8ae.gifhello_html_23b97826.gifhello_html_35c6d078.gif

Отыскание первообразной функции по заданной ее производной hello_html_m1a267428.gif или по дифференциалу hello_html_5dd3dd2d.gif есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.

Совокупность первообразных для функции hello_html_m1a267428.gif или для дифференциала hello_html_5dd3dd2d.gif называется неопределенным интегралом и обозначается символом hello_html_m1d3fb87e.gif. Таким образом,

hello_html_m1fbf939c.gif если hello_html_m4a134187.gif

Здесь hello_html_m1a267428.gif - подынтегральная функция; hello_html_5dd3dd2d.gif - подынтегральное выражение; С – произвольная постоянная.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла.

hello_html_4ba63fcb.gifНеопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

hello_html_32f624f3.gif

hello_html_78f8619f.gifДифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

hello_html_m73023466.gifhello_html_m730ae26c.gif

hello_html_m2b1190c2.gifНеопределенный интеграл алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:

hello_html_m6fbf19bf.gif

hello_html_m32838e52.gifПостоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:

hello_html_m73417cff.gif

hello_html_66db50c0.gifЕсли hello_html_583c8948.gif и hello_html_5b137b7c.gif- любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то

hello_html_576b3a3b.gif




Основные формулы интегрирования

(табличные интегралы)


2.hello_html_1018ed80.gifhello_html_m1c31ef65.gif


3. hello_html_m41026b27.gif

4. hello_html_3d091b9.gif

5.hello_html_m58072727.gif

6.hello_html_6a965acc.gif

7. hello_html_m2f63d904.gif




8.hello_html_b00f461.gif

9. hello_html_3a845f44.gif

10. hello_html_2071fc12.gif

11.. hello_html_180af48c.gif

12. hello_html_m2322b10c.gif

13. hello_html_3561bed1.gif





Непосредственное интегрирование.

Примеры решения

Найти следующие интегралы:

I. 1) hello_html_m29f31268.gif 2) hello_html_3084e700.gif

1. Используя свойство hello_html_m713a995b.gif и формулу (2), получим

hello_html_573be548.gif

Проверка: hello_html_m3e128ffb.gifПолучили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.

2.Используя свойства hello_html_m9af5fb2.gif и hello_html_m713a995b.gif и формулы (2) и (1), имеем

hello_html_m3857d00b.gif

3. hello_html_3655a16d.gif

II. hello_html_m489ebace.gif

Так как hello_html_ma52cf39.gif то hello_html_53e83608.gif

Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении hello_html_46dff828.gif выражение hello_html_mac3e8ac.gif

III. hello_html_m73ed9ac1.gif

Так как hello_html_m44fb57dd.gif то hello_html_4bd28afd.gif

IV. hello_html_m6009db69.gif

Так как hello_html_m7033f61e.gif то hello_html_m3a31771b.gif Следовательно,hello_html_4383fbc5.gif

V. 1) hello_html_735200e4.gif 2) hello_html_8edde61.gif

1). По формуле (10) получаемhello_html_79b07d9e.gif

2). По формуле (11) находим hello_html_m6652ed95.gif

VI. hello_html_m541ab26c.gif

hello_html_m4f8e5ba6.gif


Задания для самостоятельного решения

1) hello_html_5d90825.gif

2) 1)hello_html_m1db99b32.gif 2) hello_html_m6f69d7a.gif 3) hello_html_17123425.gif 4) hello_html_1a7bf0f9.gif

3) hello_html_a4e615b.gif

4) hello_html_m1fbf8717.gif

5) hello_html_40ce5ab5.gif

6) hello_html_m5e32ed70.gif 2) hello_html_5e1bd659.gif

Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки)


Теория.

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла hello_html_m1d3fb87e.gif в интеграл hello_html_m6f616335.gif который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла hello_html_m1d3fb87e.gif заменяем переменную х новой переменной и с помощью подстановки hello_html_me1bbc95.gif Дифференцируя это равенство, получим hello_html_53e1a074.gif Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения, выраженные через и и dx, имеем

hello_html_1c773091.gif

После того как интеграл относительно новой переменной и будет найден, с помощью подстановки hello_html_39f99e92.gif он приводится к переменной х.

Практическая часть.

Примеры вычисления интегралов.

I. Найти следующие интегралы:

1) hello_html_fc0a9b4.gif 2) hello_html_m44075e1c.gif

1) Введем подстановку hello_html_m4ef76b81.gif. Дифференцируя, имеем hello_html_m4ff73448.gif откуда hello_html_m68180fed.gif Подставив в данный интеграл вместо 3х+2 и dx их выражения, получим

hello_html_m7bbff459.gif

Заменив и его выражением через х, находим

hello_html_333b7711.gif

Проверка: hello_html_m5ca41113.gif


2) Полагая hello_html_m4033ffb8.gif имеем hello_html_3931062f.gifhello_html_62402baf.gif Значит, hello_html_m70abd5e8.gif


II. Найти следующие интегралы:

1) hello_html_2a393ee3.gif

Имеем hello_html_m460d8cef.gif Положим hello_html_44388d16.gif тогда hello_html_6b84604b.gif Поэтому

hello_html_3663a756.gif

2) hello_html_m2e1d3dbf.gif

Положим hello_html_m51334ede.gif откуда hello_html_me0af14a.gifhello_html_4b3eb839.gif Значит,

hello_html_16b7aca8.gif

3) hello_html_617018d4.gif

Положим hello_html_m7709fb7b.gif тогда hello_html_m5ef27180.gif Таким образом,

hello_html_a2789e1.gif

4) hello_html_115ee991.gif

Полагая hello_html_m6bf6e143.gif находим hello_html_7fe2f906.gif Следовательно,

hello_html_m467882e2.gif

Задания для самостоятельного решения

Найдите следующие интегралы:

1) hello_html_m27aff72f.gif 2) hello_html_6d3b0260.gif 3) hello_html_74370a84.gif 4) hello_html_60779f69.gif 5) hello_html_648b2231.gif


6)hello_html_15c81dc1.gif



Метод интегрирования по частям.

Теория.

Интегрируя обе части равенства hello_html_m7e6af778.gif получим

hello_html_m24afd913.gifhello_html_4c06f60e.gif

откуда

hello_html_1b72e608.gif

С помощью этой формулы вычисление интеграла hello_html_m4a88006f.gif сводится к вычислению интеграла hello_html_m1ee2b83c.gif если последний окажется проще исходного.

Практическая часть.

Примеры вычисления интегралов.

Найти следующие интегралы:

1) hello_html_47baaaad.gif 2) hello_html_3c9d03c8.gif 3) hello_html_m19984395.gif

1. Положим hello_html_m1a545fbf.gifhello_html_m70b7fef4.gif тогда hello_html_m4d9f34ff.gifhello_html_15a10900.gif т.е. hello_html_m1418348f.gif Используя формулу (14), получим

hello_html_m52096fed.gif

2.Положим hello_html_43130bc4.gifhello_html_m18bcaa74.gif тогда hello_html_m67e57308.gifhello_html_31844c15.gifhello_html_m6438430b.gif По формуле (14) получим

hello_html_6b809ad5.gif

3. Положим hello_html_m5b8754f1.gifhello_html_m622ec28b.gif тогда hello_html_m49ebfbd9.gifhello_html_3e1f6b6f.gif По формуле (14) получимhello_html_17b8e7c2.gif

В числителе подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и вычтем

hello_html_m752ed06e.gif и представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:

hello_html_4ead83b8.gif

Последний интеграл находим по формуле (11):

hello_html_5c3beb5a.gif

Перенеся hello_html_44c9f3b0.gif из правой части в левую, получим

hello_html_m60b6737b.gif

или окончательно

hello_html_m4233877b.gif

Задания для самостоятельного решения.

Найти следующие интегралы:

1)hello_html_m78cb7949.gif 2)hello_html_m3065315f.gif 3)hello_html_4a4a8ccb.gif 4)hello_html_m6c9d45bc.gif 5)hello_html_6f20af84.gif 6)hello_html_3a706d79.gif



Вычислить неопределенные интегралы по вариантам:


Самостоятельная работа №8

Тема 4.2 Определенный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Задание 14-15. Работа с материалом учебника. Решение вариативных задач

Цель задания: формирование умений применять полученные знания для решения упражнений на нахождение определенного интеграла функции, площади площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла, умений использовать учебную литературу; развитие познавательных способностей, самостоятельности, ответственности; умение подготовиться к рубежному контролю

Содержание задания: повторение пройденного материала раздела, чтение конспекта и учебного материала, решение упражнений.

Срок выполнения: подготовиться к следующему теоретическому занятию

Ориентированный объем работы: решить упражнения на нахождение определенного интеграла функции, площади плоских фигур с помощью определенного интеграла Основные требования к результатам работы: добросовестность подготовки: умение сконцентрироваться во время рубежного контроля, повторение формул нахождения интеграла; умение аргументировать свои ответы.

Критерии оценки: оформление письменного задания в соответствии с установленными требованиями; умение студента использовать теоретические знания при выполнении контрольной работы.

Форма контроля: проверка правильности письменного задания в тетрадях с конспектами и у доски

Содержание работы.

Теория.

Пусть функция hello_html_m1a267428.gif определена на отрезке hello_html_m47bfcaac.gif Разобьем этот отрезок на hello_html_7382c650.gif частей точками hello_html_60d2f2c2.gif<hello_html_m5c66548e.gif выберем на каждом элементарном отрезке hello_html_40506e.gif произвольную точку hello_html_m516ba901.gif и обозначим через hello_html_m590b5c92.gif длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции hello_html_m1a267428.gif на отрезке hello_html_35c6d078.gif называется сумма вида

hello_html_m3dd30f73.gif

Определенным отрезком от функции hello_html_m1a267428.gif на отрезке hello_html_35c6d078.gif называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремиться к нулю:

hello_html_m62c75501.gif

Для любой функции hello_html_m1a267428.gif, непрерывной на отрезке hello_html_35c6d078.gif, всегда существует определенный интеграл hello_html_7d25710e.gif

Для вычисления определенного интеграла от функции hello_html_m1a267428.gif в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл hello_html_m7f9e60b9.gif служит формула Ньютона – Лейбница:

hello_html_m3028014.gif

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.


Вычислить следующие определенные интегралы:

I. 1) hello_html_451b0a9c.gif 2) hello_html_m59784d3.gif 3) hello_html_3bebfa29.gif

По формуле Ньютона – Лейбница получаем: 1) hello_html_66075fda.gif

2) hello_html_m2698f20b.gif

3) hello_html_m56a6a3b2.gif

II. 1) hello_html_me9d876e.gif 2) hello_html_2fa1daf5.gif

1) hello_html_48720f99.gif

2) hello_html_m4348b50b.gif

III. 1) hello_html_6d6d4e1e.gif 2) hello_html_75ef92cb.gif

1) hello_html_481594b9.gif

2) hello_html_m1ca5a6f9.gif


IV. 1) hello_html_c8cd72e.gif 2) hello_html_31101d31.gif

1) hello_html_m6e237234.gif

2) hello_html_dc4a3ae.gif


Вычислите следующие определенные интегралы:


I. 1) hello_html_7ce1b68.gif 2) hello_html_5d233dae.gif 3) hello_html_m62400d51.gif

II. 1) hello_html_5a0b5cb5.gif 2) hello_html_m426f8fa0.gif

III. 1) hello_html_258d655d.gif 2) hello_html_m54f08e95.gif 3) hello_html_m2c775a3f.gif

IV. 1) hello_html_m31d5a203.gif 2) hello_html_m899d88a.gif 3) hello_html_166a4a4c.gif 4) hello_html_m1fc8b648.gif



Теория. В

Рис.1.hello_html_3bc04523.png

ычисление площади плоской фигуры. Найдем площадь S криволинейной трапеции, органической кривой hello_html_16c8ecd.gif осью Ox и двумя прямыми x=a и x=b, где hello_html_6fefbf20.gifhello_html_m3de63c6a.gif (рис.1).

Так как дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m5720f875.gif т.е. hello_html_m538c3d6c.gif то, интегрируя это равенство в пределах от a до b, получим

hello_html_31acc4d0.gif (13.1)




Примеры вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

В

Рис.6.

hello_html_ca8a279.png

ычислить площадь фигуры, ограниченных указанными линиями:

I. hello_html_m6a81684d.gif hello_html_m64dfee9.gifhello_html_m1ffe8c3a.gif и hello_html_m10c338ff.gif

Выполним построение фигуры. Строим прямую hello_html_4a9175cd.gif по двум точкам А(4;0) и В(0;2) (Рис.6.). Выразив у через х, получим hello_html_757d9fb5.gif По формуле (13.1), где hello_html_m52971d41.gif находим

hello_html_m75afc1ba.gif (кв.ед.)

В качестве проверки вычислим площадь трапеции hello_html_5b7918b5.gif обычным путем. Находим: hello_html_34429294.gif Следовательно, hello_html_m5f4d1a94.gif (кв.ед.).

I

Рис.7.hello_html_m2ef20e31.png

I. hello_html_m1cfcec31.gifи hello_html_1a498fbf.gif

В данном построении фигуры (Рис.7.). Искомая площадь заключена между параболой hello_html_m1cfcec31.gif и осью hello_html_m28951c82.gif

Найдем точки пересечения параболы с осью hello_html_m28951c82.gif Полагая hello_html_m64dfee9.gif найдем hello_html_m5f9ce44f.gif Так как данная фигура симметрична относительно оси hello_html_m1037e7ae.gif, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси hello_html_m1039ffa6.gif и полученный результат удвоим:

hello_html_4a9524f.gif (кв.ед.);

hello_html_m2f1a544e.gif (кв.ед.).

I

Рис.8.

hello_html_725f2f53.png

II. hello_html_16c5374d.gifи hello_html_m642fce.gif

Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ox (Рис.8.). Имеем

hello_html_7d8a5537.gif (кв.ед.).





Задания для самостоятельного решения.


1) hello_html_607c6e35.gif 2) hello_html_m1870236b.gif 3) hello_html_76930ba6.gif 4) hello_html_6085565e.gif и hello_html_7b5c9e37.gif

Задание 1

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание 2

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

y=x2, x=1, x=3, y=0

y=x2, y=4x-4, x=0

y=x3, x=1, x=3, y=0

y=0, y=3-x2, y=2x, x0

y=2cosx, y=0, 0x

y=5-x2, y=x/2, y=0 (x0)

y=2cosx, y=0, -/2x/2

y=2x2, y=x+1

y=1-x2, y=0

y=x2, y=4x-3

y=sin2x, y=0, 0x/2

y=x, y=2-x2, x=0 (x0)

y=x3, x=-1, y=0

y=2x2, y=-2x2+4

y=3x-x2, y=0

y=x2, y=-x2+2

y=6x-x2, y=0

y=x2-3x+4, y=4-x

y=2x2+1, x=2, x=3, y=0

y= x2-5x+3, y=3-x


Самостоятельная работа №9

Раздел 5. Комплексные числа

Задание 16-17. Работа с конспектом лекции. Решение задач по образцу

Цель задания: формирование умений использовать учебную и дополнительную литературу, умений использования ИКТ, для поиска информации по интересующим вопросам, работы сообщениями СМИ, научно-популярными статьями; развитие познавательных способностей, самостоятельности, ответственности; углубление и расширение теоретических знаний.

Содержание задания: чтение указанной литературы; написание реферата и подготовка презентации по данной теме

Срок выполнения: подготовить к следующему теоретическому занятию.

Ориентированный объем работы: 2-4 страницы печатного текста

Основные требования к результатам работы: в реферате должны быть раскрыты следующие вопросы: две задачи математической статистики.

Критерии оценки: оформление сообщения в соответствии с требованиями: умение использовать подготовленный материал для доклада перед однокурсниками

Форма контроля: проверка правильности оформления задания и выступление на уроке перед однокурсниками

Содержание работы.

Теория.

Комплексным числом hello_html_m7b8eb911.png называется число вида hello_html_m14846312.png, где hello_html_4c6a7e66.png и hello_html_576824de.png – действительные числа, hello_html_m205a3786.png – так называемая мнимая единица. Число hello_html_4c6a7e66.png называется действительной частью (hello_html_m48419eac.png) комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png, число hello_html_576824de.png называется мнимой частью (hello_html_2eb82b19.png) комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png.

 Стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядкеhello_html_m14846312.png- это и есть алгебраическая форма комплексного числа.


Сложение комплексных чисел

Пример 1. Сложить два комплексных числа hello_html_m2d09be34.png, hello_html_5d65a09e.png

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
hello_html_m4000c1bb.png

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел hello_html_m7cb2b69d.png и hello_html_5334b796.png, если hello_html_m4b295b2b.png, hello_html_m1fa63fc3.png

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

hello_html_55df9640.png

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: hello_html_407388c3.png. Для наглядности ответ можно переписать так: hello_html_m479e8215.png.

Рассчитаем вторую разность:
hello_html_m28f2f66d.png
Здесь действительная часть тоже составная:
hello_html_5da5803f.png

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: hello_html_m437fbcb4.png.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

hello_html_m777f6058.png

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел  hello_html_m648fc86e.png, hello_html_me1ce8e5.png

Очевидно, что произведение следует записать так:
hello_html_145b21e5.png

hello_html_3c4347c9.png

hello_html_63940571.png

Деление комплексных чисел

Пример 4. Даны комплексные числа hello_html_m214ffcf2.png, hello_html_m16e22429.png. Найти частное hello_html_mbc055e4.png.

Составим частное:
hello_html_61195a33.png

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу hello_html_m27d067db.png и смотрим на наш знаменатель: hello_html_m3bfe9db4.png. В знаменателе уже есть hello_html_m76e8ea2c.png, поэтому сопряженным выражением в данном случае является hello_html_m50605e58.png, то есть hello_html_m2964d535.png

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на hello_html_m2964d535.png, и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число hello_html_m2964d535.png:
hello_html_2c7d6199.png

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой hello_html_m27d067db.png (помним, чтоhello_html_m777f6058.png и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:
hello_html_7094d002.png

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: hello_html_mf8f6879.png. Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: hello_html_m993d24e.png. Для любителей порешать приведу правильный ответ: hello_html_m205a3786.png

Редко, но встречается такое задание:

Пример 5

Дано комплексное число hello_html_16108220.png. Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме hello_html_m15bfebe2.png).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу hello_html_m27d067db.png. В знаменателе уже есть hello_html_m50605e58.png, поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение hello_html_m76e8ea2c.png, то есть на hello_html_312b7ff2.png:
hello_html_m8911d4a.png


Геометрическая интерпретация. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Пример 6

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
hello_html_m5c918a19.png, hello_html_36fbd77c.png, hello_html_322e0cec.pnghello_html_m500c1cca.png, hello_html_m6479e6e1.png, hello_html_m63117e1b.pnghello_html_m6d1dc65d.png, hello_html_m4bc081ac.png, hello_html_m412654b0.png, hello_html_3ac87bcb.png

hello_html_2ac08e70.png

Возведение комплексных чисел в степень

Пример 7

Возвести в квадрат комплексное число hello_html_m37877949.png

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей hello_html_m64ec05dc.png и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения hello_html_m72ebd71f.png:
hello_html_43825b92.png

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
hello_html_m33c2b1fb.png. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде hello_html_33f40d07.png?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме hello_html_m71663eae.png, то при его возведении в натуральную степень hello_html_1cead6f1.png справедлива формула:

hello_html_m6bff1fc6.png

Пример 8

Дано комплексное число hello_html_1aeda584.png, найти hello_html_m60bbb2ac.png.

Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. hello_html_5b1d5cf5.png 

Тогда, по формуле Муавра:
hello_html_21c9994e.png

Один оборот составляет hello_html_m79d2b320.png радиан или 360 градусов. Выясним сколько оборотов в аргументе hello_html_1787886c.png. Для удобства делаем дробь правильной: hello_html_m1bd2a824.png, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: hello_html_1e9f4897.png. Надеюсь всем понятно, что hello_html_mbf6366f.png и hello_html_m5589f5e4.png – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:
hello_html_m52e06f46.png

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
hello_html_1b4a341b.png (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя hello_html_m52e06f46.png – ни в коем случае не ошибка.

Пример 9

Возвести в степень комплексные числа hello_html_m228b6b8e.png, hello_html_m429de869.png, hello_html_610a8b37.png

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
hello_html_5247821d.png

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:
hello_html_m7fb30bde.png

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
hello_html_7d30993c.png

Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнями

hello_html_m6df73ec2.png

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня:

hello_html_m41f83af1.png
hello_html_7be57ce5.png

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения hello_html_43fa4522.png? Выполним проверку:

hello_html_66361695.png
hello_html_m217ce549.png

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: hello_html_753aa402.png.

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями. Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: hello_html_281f4689.png, hello_html_mfb925de.png, hello_html_m76f1aa8a.png, hello_html_17bdfe0e.png, hello_html_m6d68a4c0.png и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.


Пример 10

Решить квадратное уравнение hello_html_m65efb7ff.png

Вычислим дискриминант:
hello_html_5beafac4.png

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
hello_html_2445627c.png

По известным школьным формулам получаем два корня:
hello_html_55c0bb9b.png
hello_html_19a1d93b.png – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение hello_html_m65efb7ff.png имеет два сопряженных комплексных корня: hello_html_m15f6d94e.png, hello_html_5955fd82.png

Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени hello_html_m4ebdc628.png имеет ровно hello_html_1cead6f1.png корней, часть из которых может быть комплексными.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение hello_html_3e46569f.png, или, то же самое: hello_html_75f5645d.png. Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при hello_html_6a28f104.png получается квадратный корень hello_html_2e27890e.png

Уравнение вида hello_html_75f5645d.png имеет ровно hello_html_1cead6f1.png корней hello_html_6f09bef3.png, которые можно найти по формуле:
hello_html_m565dc00d.png, где hello_html_441ef6ff.png – это модуль комплексного числа hello_html_65c2ebec.png, hello_html_61da3479.png – его аргумент, а параметр hello_html_m256ddab7.png принимает значения: hello_html_6f1d2f3c.png

Пример 11

Найти корни уравнения hello_html_7884eb1e.png

Перепишем уравнение в виде hello_html_7bc8591e.png

В данном примере hello_html_263f4820.png,  hello_html_6a28f104.png, поэтому уравнение будет иметь два корня: hello_html_3c4bb577.png и hello_html_m40063862.png.
Общую формулу можно сразу немножко детализировать:
hello_html_m39010119.png, hello_html_m5331694b.png

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа hello_html_263f4820.png:
hello_html_56f2d0e8.png
Число
hello_html_65c2ebec.png располагается в первой четверти, поэтому:
hello_html_5097ba58.png
Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.

Еще более детализируем формулу:
hello_html_m3fccb2f8.png, hello_html_m5331694b.png

На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.

Подставляя в формулу значение hello_html_m22338d6f.png, получаем первый корень:
hello_html_45ee7749.png

Подставляя в формулу значение hello_html_m2b3ee096.png, получаем второй корень:
hello_html_5ea77a82.png

Ответ:hello_html_m6d65f523.png, hello_html_6fa33dc7.png

При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.

И напоследок рассмотрим задание - «хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: hello_html_73f0d33.png.


Задание для самостоятельного решения

1. Дано комплексное число hello_html_m10f8e8f9.png, найти hello_html_68b00e2b.png. Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

2. Возвести в степень комплексные числа hello_html_m6f665a2c.png, hello_html_m3286608.png


Простой пример для самостоятельного решения:

3. Найти корни уравнения hello_html_253d9a7a.png и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.

4. Найти корни уравнения hello_html_m4b75edc6.png, где hello_html_67906428.png


Самостоятельная работа №10

Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистики

Задание 18-19-20. Работа с конспектом лекции. Решение вариативных задач. Подготовка реферата «Задачи математической статистики».

Цель задания:формирование умений использовать учебную и дополнительную литературу, умений использования ИКТ, для поиска информации по интересующим вопросам, работы сообщениями СМИ, научно-популярными статьями; развитие познавательных способностей, самостоятельности, ответственности; углубление и расширение теоретических знаний.

Содержание задания: чтение указанной литературы; написание реферата и подготовка презентации по данной теме

Срок выполнения: подготовить к следующему теоретическому занятию.

Ориентированный объем работы: 2-4 страницы печатного текста

Основные требования к результатам работы: в реферате должны быть раскрыты следующие вопросы: две задачи математической статистики.

Критерии оценки: оформление сообщения в соответствии с требованиями: умение использовать подготовленный материал для доклада перед однокурсниками

Форма контроля: проверка правильности оформления задания и выступление на уроке перед однокурсниками

Тема. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей.

Цель практического занятия: использовать теоремы сложения вероятностей для решения простейших задач.

Содержание работы.

Теория.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема 2. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий А1, А2, ..., Аn, равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Р(А1+А2+ ... +An) = Р(А1)+Р(А2)+... +Р(Аn).

Теорема 3. Если события А и В совместны, то вероятность их суммы выражается формулой

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)—Р(АВ).

т. е. вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения (совместного осуществления).

Пример. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Обозначим события: А —«выпадение шести очков при бросании первой игральной кости»; В—«выпадение шести очков при бросании второй игральной кости». Так как события А и В совместны, то Р(А+В)=Р(А)+ Р(В)—Р(АВ).

Но Р(А)== 1/6, Р(В)= 1/6 и Р(АВ)= 1/36, поэтому Р(А+В)=1/6+1/6-1/36=11/36

Следствие 1. Если события А1, А2, ..., Аn образуют полную систему попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

Р(А1)+ Р(А2)+... + Р(Аn)= 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

Р(А)+Р(Ā)=1.

Пример. В ящике 40 деталей: 20—первого сорта, 15—второго сорта, 5—третьего сорта. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь окажется не третьего сорта (событие А).

Первый способ.

Событие А наступит, если извлеченная наугад деталь окажется либо первого сорта (событие В), либо второго сорта (событие С), т. е. событие А есть сумма несовместных событий В и С. Поэтому, применяя теорему 1, получим Р(А) = Р(В + С) = Р(В) + Р(С) =20/40+15/40= 35/40=7/8

Второй способ.

Из условия задачи Р(Ā) = 5/40= =1/8. Согласно следствию 2 Р(А)=1-Р(Ā)=1-1/8=7/8

Определение. Условной вероятностью события В при условии А называется отношение hello_html_m2d32fa.gif вероятности произведения событий А и В к вероятности события А при Р(А)≠0.

Таким образом, по определению Р(В|А) =hello_html_m2d32fa.gif

Теорема 4. Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Р(А1+А2+ ... +An) = Р(А1)Р(А2|А1)Р(А3|А1А2)...Р(Аn|А1А2…А(N-1)).

Пример. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5—второго сорта и 3-третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие А1), вторая деталь—второго сорта (событие А2) и третья деталь—третьего сорта (событие А3).

Очевидно, что Р(А1)=7/15, Р(А2|А1)=5/14 и Р(А3|А2А3)=3/13.

По формуле находим Р(А1А2А3) = Р(А1) Р(А2|А1) Р(А3|А2А3)=7/15·5/14·3/13=1/26.

Определение. Событие В называется независимым от события А, если условная вероятность события В при условии А равна вероятности события В, т. е. если Р(B|А)=Р(В) при Р(А)≠0. Если же Р(B|А)≠Р(В), то событие В называется зависимым от события А.

Пример. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна Р(А) =90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) зависит от результата первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то Р(В|А) = 89/99 если же событие А не произошло, то Р(В|Ā)=90/99 = 10/11. Следовательно, события А и В—зависимые.

Теорема 5. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т. е.

Р(АВ) = Р(А)·Р(В).

Определение. События А1, А2, ..., Аn, (n>2) называются попарно независимыми, если независимых любые два из них.

Определение. События А1, А2, ..., Аn, (n>2) называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие, равное произведению любого числа остальных событий, независимы.

Пример. В урне имеются 4 шара: красный, желтый, зеленый и один шар, имеющий все эти три цвета. Из урны извлекается один шар. Исследовать на независимость события:

А — «извлеченный шар имеет красный цвет»,

В— «извлеченный шар имеет желтый цвет»,

С— «извлеченный шар имеет зеленый цвет».

Так как возможны всего 4 исхода я каждому из событий А, В и С благоприятствуют два исхода (один и тот же цвет имеется только на двух шарах), то

Р(А) = Р(В) = Р(С) =2/4=1/2.

Событию АВ —«извлеченный шар имеет красный и желтый цвета»— благоприятствует лишь один исход (один шар имеет все три цвета). Поэтому

Р(АВ) = 1/4 = 1/2·1/2 = Р(А)·Р(В), следовательно, события А и В независимы. Аналогично доказывается независимость событий А и С, В и С, т. е. события А, В и С попарно независимы. Однако, так как Р(АВС)=1/4 и Р(А)·Р(В)·Р(С)=1/8, то Р(АВС)≠ Р(А)·Р(В)·Р(С),

т. е. события А, В и С не являются независимыми в совокупности.

Определение. Пусть событие А может произойти только с одним из событий Н1, H2,…,Нn, образующих полную систему попарно несовместных событий. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А) =Р(H1)·Р(А|Н1)+Р(Н2)·Р(А|Н2)+…+Р(Нn)·Р(А|Нn),

Или Р(А)= hello_html_3ddcd357.gif.

Пример. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле р1=0.5, при втором—р2=0.6, при третьем—р3=0.8. При одном попадании вероятность поражения цели равна 0.4, при двух—0.7, при трех—1.0. Найти вероятность поражения цели при трех выстрелах.

Обозначим события:

А—«поражение цели при трех выстрелах»,

Н1—«одно попадание»,

Н2—«два попадания»,

Н3—«три попадания»,

Н4—«ни одного попадания».

Согласно формуле полной вероятности (1)

Р(А) =Р(H1)·Р(А|Н1)+Р(Н2)·Р(А|Н2)+Р(Н3)·Р(А|Н3)+Р(Н4)·Р(А|Н4).

Из условия задачи имеем Р(А|Н1)=0.4, Р(А|Н2)=0.7, Р(А|Н3)=1.0, Р(А|Н4)=0.

Вычислим вероятности событий Н1, Н2, Н3, Н4. Подчеркнем, что если р1, р2, р3—соответственно вероятности попаданий при первом, втором и третьем выстрелах, то 1-р1, 1-р2, 1-р3—соответственно вероятности промахов при тех же выстрелах. Следовательно,

Р(Н1) =р1 (1-р2)(1-р3)+(1-р1)р2(1-р3)+(1-р1)(1-р2)р3

==0.5·0.4·0.2+ 0.5·0.6·0.2+0.5·0.4·0.8=0.26,

Р(Н2) =р1р2(1-р3) + р1(1 —р2)р3 + (1-р1)р2р3 =

=0.5·0.6·0.2+0.5·0.4·0.8+0.5·0.6·0.8=0.46,

Р(Н3) = р1р2р3 = 0.5·0.6·0.8 = 0.24,

Р(Н4)=(1—р1)(1—р2)(I—р3)=0.5·0.4·0.2==0.04.

Подставив полученные значения вероятностей в равенство (2), найдем

Р(А)=0.26·0.4+0.46·0.7+0.24·1+0.04·0=0.666.

Определение. Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из этих испытаний не зависит от результата, полученного в других испытаниях.

Для вычисления вероятности что, в n независимых испытаниях событие А произойдет m раз, используется формула Бернулли.

hello_html_m130e68ba.gif

Пример. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых.

Вероятность появления белого шара в каждом испытании равна р=15/20= 3/4, а вероятность непоявления белого шара равна g=1—р=1/4. По формуле Бернулли находим

hello_html_m54f26d94.gif

Определение. Случайной называется величина, которая в результате опыта принимает с определенной вероятностью то или иное значение, зависящее от исхода опыта. Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита: Х, Y,Z и т. д., а их значения— соответствующими строчными буквами: х, y, z и т. д.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, т. е. множество ее значений представляет собой конечную последовательность х1, х2, ..., xn или бесконечную последовательность х1, х2, ..., хn,... Вероятность того, что случайная величина Х примет значение х, обозначают

Р(х)=Р(Х=х).

Определение. Соответствие между возможными значениями х1, х2, ..., xn случайной величины Х и их вероятностями р1, р2, ..., рn называется законом распределения случайной величины Х.

Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы


События Х=х1, Х=х2, ..., Х=хn образуют полную систему попарно несовместных событий, поэтому сумма их вероятностей равна единице p1+p2+…+pn=1

Пример. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х—числа очков, выпадающих при бросании правильной игральной кости, имеет вид, заданный таблицей.

Определение. Закон распределения случайной величины Х, имеющий вид, заданный таблицей

называется биномиальным распределением.


Пример. Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.

Случайная величина Х—число попаданий в цель при четырех выстрелах— может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, а соответствующие им вероятности находим по формуле Бернулли:

Р(Х=0)= hello_html_m279c37ab.gif =0.0001;

Р(Х=1)= hello_html_m44886ce8.gif=0.0036;

Р(Х=2) = hello_html_m427e65f1.gif=0.0486;

Р(Х=3)= hello_html_4401a597.gif=0.2916;

Р(Х= 4)= hello_html_3afbf8d8.gif=0.6561.


Итак, искомый закон распределения имеет вид

Задание для самостоятельной работы.

1. Вычислить вероятность указанного события.

2. Построить ряд распределения для случайной величины х, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤х≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

Вариант № 1

В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что автомат не выйдет из строя в течение часа, равна 0.95, для полуавтомата эта вероятность равна 0.8. Студент производит расчет на машине, выбранной наудачу. Найти вероятность того, что машина в течение часа не выйдет из строя.

Вероятность попадания в цель для данного стрелка при одном выстреле равна 0.6. Стрелок делает 5 выстрелов по мишени. Случайная величина х– число попаданий.

Вариант № 2

При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки в количествах пропорциональных 1:3:6. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0.9, средний – 0.3, мелкий – 0.1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?

Охотник, имеющий в запасе 5 патронов, стреляет в зверя до первого попадания. Случайная величина х– число произведенных выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.7.

Вариант № 3

В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Испытываются 6 приборов на надежность. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0.5. Каждый следующий прибор испытывают только, если предыдущий выдержал испытание. Случайная величина х– число испытанных приборов.

Вариант № 4

В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без оптического прицела – 0.7; найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Три баскетболиста делают по одному броску в кольцо. Вероятности попадания для них равны соответственно 0.3, 0.5, 0.7. Случайная величина х– суммарное число попаданий.



Самостоятельная работа №11

Раздел 7. Дискретная математика.

Задание 21. Подготовка реферата «Предмет дискретной математики».

Цель задания:формирование умений использовать учебную и дополнительную литературу, умений использования ИКТ, для поиска информации по интересующим вопросам, работы сообщениями СМИ, научно-популярными статьями; развитие познавательных способностей, самостоятельности, ответственности; углубление и расширение теоретических знаний.

Содержание задания: чтение указанной литературы; написание реферата и подготовка презентации по данной теме

Срок выполнения: подготовить к следующему теоретическому занятию.

Ориентированный объем работы: 2-4 страницы печатного текста

Основные требования к результатам работы: в реферате должны быть раскрыты следующие вопросы: две задачи математической статистики.

Критерии оценки: оформление сообщения в соответствии с требованиями: умение использовать подготовленный материал для доклада перед однокурсниками

Форма контроля: проверка правильности оформления задания и выступление на уроке перед однокурсниками

Заключение


Самостоятельная работа всегда завершается какими-либо результатами. Это выполненные задания, упражнения, решенные задачи, написанные сочинения, заполненные таблицы, построенные графики, подготовленные ответы на вопросы.

Таким образом, широкое использование методов самостоятельной работы, побуждающих к мыслительной и практической деятельности, развивает столь важные интеллектуальные качества человека, обеспечивающие в дальнейшем его стремление к постоянному овладению знаниями и применению их на практике.

Список рекомендуемой литературы


1. Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике. М.: Высшая школа, 2009.

2. Калашникова В.А. Методическое пособие: «Конспекты лекций по математике» [Электронный ресурс] /В.А. Калашникова. - Режим доступа: http://www.exponenta.ru/educat/systemat/kalashnikova/inde/, свободный.

3. Клименко Ю.И. Высшая математика для экономистов в примерах и задачах.-2-е изд. – М.: «Экзамен», 2008.

4. Никольский С.М. Элементы математического анализа. – М.: Просвещение, 2008.

5. Омельченко В. П., Математика: учебное пособие / Омельченко В. П., Курбатова Э. В. Ростов н/Д.: Феникс, 2008.

6. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие / Кремер Н.Ш., Тришин И.., Путко Б.А. и др.; Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.

7. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. Под редакцией В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2008.

8. Интернет – ресурсы

И-Р 1 www.mathanalysis.ru

И-Р 2 www.mathematics.ru

И-Р 3 http://festival.1september.ru

И-Р 4 http://www.fepo.ru

Приложение 1

Методические рекомендации по выполнению различных видов самостоятельной работы.

1. Методические рекомендации по составлению конспекта

Внимательно прочитайте текст. Уточните в справочной литературе непонятные слова. При записи не забудьте вынести справочные данные на поля конспекта;

Выделите главное, составьте план;

Кратко сформулируйте основные положения текста, отметьте аргументацию автора;

Законспектируйте материал, четко следуя пунктам плана. При конспектировании старайтесь выразить мысль своими словами. Записи следует вести четко, ясно.

Грамотно записывайте цитаты. Цитируя, учитывайте лаконичность, значимость мысли.

2. Методические рекомендации по выполнению практических заданий

Для того чтобы практические занятия приносили максимальную пользу, необходимо помнить, что упражнение и решение ситуативных задач проводятся по вычитанному на лекциях материалу и связаны, как правило, с детальным разбором отдельных вопросов лекционного курса. Следует подчеркнуть, что только после усвоения лекционного материала с определенной точки зрения (а именно с той, с которой он излагается на лекциях) он будет закрепляться на практических занятиях как в результате обсуждения и анализа лекционного материала, так и с помощью решения ситуативных задач. При этих условиях студент не только хорошо усвоит материал, но и научится применять его на практике, а также получит дополнительный стимул (и это очень важно) для активной проработки лекции.

При самостоятельном решении поставленных задач нужно обосновывать каждый этап действий, исходя из теоретических положений курса. Если обучающийся видит несколько путей решения проблемы (задачи), то нужно сравнить их и выбрать самый рациональный. Полезно до начала решения поставленных задач составить краткий план решения проблемы (задачи). Решение проблемных задач или примеров следует излагать подробно, нужно сопровождать комментариями, схемами, чертежами и рисунками, инструкциями по выполнению.

Следует помнить, что решение каждой учебной задачи должно доводиться до окончательного логического ответа, которого требует условие, и по возможности с выводом. Полученный результат следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи.

3. Методические рекомендации по написанию контрольной работы

Контрольная работа — промежуточный метод проверки знаний обучающегося с целью определения конечного результата в обучении по данной теме или разделу.

Домашняя контрольная работа проводится по дисциплине. Она призвана систематизировать знания, позволяет повторить и закрепить материал. При ее выполнении обучающиеся ограничены во времени, могут использовать любые учебные пособия, консультации с преподавателем.

4. Методические рекомендации по составлению презентаций

Требования к презентации

На первом слайде размещается:

название презентации;

автор: ФИО, группа, название учебного учреждения (соавторы указываются в алфавитном порядке);

год.

На втором слайде указывается содержание работы, которое лучше оформить в виде гиперссылок (для интерактивности презентации).

На последнем слайде указывается список используемой литературы в соответствии с требованиями, интернет-ресурсы указываются в последнюю очередь.

нужно избегать стилей, которые будут отвлекать от самой презентации;

вспомогательная информация (управляющие кнопки) не должны преобладать над основной информацией (текст, рисунки)

Фон

для фона выбираются более холодные тона (синий или зеленый)

Использование цвета

на одном слайде рекомендуется использовать не более трех цветов: один для фона, один для заголовков, один для текста;

для фона и текста используются контрастные цвета;

особое внимание следует обратить на цвет гиперссылок (до и после использования)

Анимационные эффекты

нужно использовать возможности компьютерной анимации для представления информации на слайде;

не стоит злоупотреблять различными анимационными эффектами; анимационные эффекты не должны отвлекать внимание от содержания информации на слайде

Представление информации

Содержание информации

следует использовать короткие слова и предложения;

время глаголов должно быть везде одинаковым;

следует использовать минимум предлогов, наречий, прилагательных;

заголовки должны привлекать внимание аудитории

Расположение информации на странице

предпочтительно горизонтальное расположение информации;

наиболее важная информация должна располагаться в центре экрана;

если на слайде располагается картинка, надпись должна располагаться под ней.

Шрифты

для заголовков не менее 24;

для остальной информации не менее 18;

шрифты без засечек легче читать с большого расстояния;

нельзя смешивать разные типы шрифтов в одной презентации;

для выделения информации следует использовать жирный шрифт, курсив или подчеркивание того же типа;

нельзя злоупотреблять прописными буквами (они читаются хуже, чем строчные).

Способы выделения информации

Следует использовать:

рамки, границы, заливку

разные цвета шрифтов, штриховку, стрелки

рисунки, диаграммы, схемы для иллюстрации наиболее важных фактов

Объем информации

не стоит заполнять один слайд слишком большим объемом информации: люди могут единовременно запомнить не более трех фактов, выводов, определений.

наибольшая эффективность достигается тогда, когда ключевые пункты отражаются по одному на каждом отдельном слайде.

Виды слайдов

Для обеспечения разнообразия следует использовать разные виды слайдов: с текстом, с таблицами, с диаграммами.


5. Методические рекомендации по составлению кроссвордов

В процессе работы обучающиеся:

  • просматривают и изучают необходимый материал, как в лекциях, так и в дополнительных источниках информации;

  • составляют список слов раздельно по направлениям;

  • составляют вопросы к отобранным словам;

  • проверяют орфографию текста, соответствие нумерации;

  • оформляют готовый кроссворд.

Общие требования при составлении кроссвордов:

  • Не допускается наличие "плашек" (незаполненных клеток) в сетке кроссворда;

  • Не допускаются случайные буквосочетания и пересечения;

  • Загаданные слова должны быть именами существительными в именительном падеже единственного числа;

  • Двухбуквенные слова должны иметь два пересечения;

  • Трехбуквенные слова должны иметь не менее двух пересечений;

  • Не допускаются аббревиатуры (ЗиЛ и т.д.), сокращения (детдом и др.);

  • Не рекомендуется большое количество двухбуквенных слов;

  • Все тексты должны быть написаны разборчиво, желательно отпечатаны.

Требования к оформлению:

На каждом листе должна быть фамилия автора, а также название данного кроссворда;

Рисунок кроссворда должен быть четким;

Сетки всех кроссвордов должны быть выполнены в двух экземплярах:

1-й экз. - с заполненными словами;

2-й экз. - только с цифрами позиций.

Ответы публикуются отдельно. Ответы предназначены для проверки правильности решения кроссворда и дают возможность ознакомиться с правильными ответами на нерешенные позиции условий, что способствует решению одной из основных задач разгадывания кроссвордов — повышению эрудиции и увеличению словарного запаса.

Критерии оценивания составленных кроссвордов:

Четкость изложения материала, полнота исследования темы;

Оригинальность составления кроссворда;

Практическая значимость работы;

Уровень стилевого изложения материала, отсутствие стилистических ошибок;

Уровень оформления работы, наличие или отсутствие грамматических и пунктуационных ошибок;

Количество вопросов в кроссворде, правильное их изложения.


6. Методические рекомендации по оформлению рефератов

Титульный лист.

План работы оформляется с названием «Оглавление»; расположение – по центру.

Список библиографических источников оформляется под заголовком «Литература». Список литературы должен включать все использованные источники: сведения о книгах (монографиях, учебниках, пособиях, справочниках и т.д.) должны содержать: фамилию и инициалы автора, заглавие книги, место издания, издательство, год издания. При наличии трех и более авторов допускается указывать фамилию и инициалы только первого из них со словами «и др.». Наименование места издания надо приводить полностью в именительном падеже: допускается сокращение названия только двух городов: Москва (М.) и Санкт Петербург (СПб.). Приведенные библиографические источники должны быть отсортированы в алфавитном порядке по возрастанию. Список должен состоять не менее чем из трех источников.

Каждая новая часть работы, новая глава, новый параграф начинается с последующей страницы.

Приложение оформляются на отдельных листах, каждое приложение имеет порядковый номер и тематический заголовок. Надпись «Приложение» 1 (2.3...) оформляется в правом верхнем углу. Заголовок приложения оформляется как заголовок параграфа.

Объем работы не менее 10 листов напечатанных на компьютере (машинке) страниц; оглавление, список литературы и приложения не включаются в указанное количество страниц.

Текст рукописи печатается шрифтом № 14, с интервалом - 1,5.

Поля: слева - 3 см, справа - 1 см, сверху и снизу - 2 см.

Красная строка - 1,5 см . Межабзацный интервал – 1,8.

Название «Оглавление», «Введение», «Заключение», «Приложение», «Литература», а также заголовки глав и параграфов выделяются одинаковым темным, жирным шрифтом.

После цитаты в тексте работы используются знаки: «...», [1, С. 10], где номер библиографического источника берется из списка использованной литературы.

Обращение к тексту приложения оформляется следующим образом: (см. Приложение 1).

Оформление схем алгоритмов, таблиц и формул. Иллюстрации (графики, схемы, диаграммы) могут быть в основном тексте реферата и в разделе приложений. Все иллюстрации именуются рисунками. Все рисунки, таблицы и формулы нумеруются арабскими цифрами и имеют сквозную нумерацию в пределах приложения. Каждый рисунок должен иметь подпись.

Нумеровать страницы работы по книжному варианту: печатными цифрами, в нижнем правом углу страницы, начиная с текста «Введения» (с. 3). Работа нумеруется сквозно, до последней страницы.

В оглавлении указываются начальные страницы всех частей и параграфов работы (название главы отдельной страницы не имеет), кроме списка литературы и приложений (в тексте нумеруются).

Пишется слово «глава», главы нумеруются римскими цифрами, параграфы - арабскими, знак ; не пишется; части работы «Введение». «Заключение», «Литература» нумерации не имеют.

Названия глав и параграфов пишутся с красной строки.

Заголовки «Введение», «Заключение», «Литература» пишутся посередине, вверху листа, без кавычек, точка не ставится.

Объем введения и заключения работы - 1,5-2 страницы печатного текста.

Работа должна быть прошита.

В работе используются три вида шрифта: 1 - для выделения названий глав, заголовков «Оглавление», «Литература», «Введение», «Заключение»; 2 - для выделения названий параграфов; 3 - для текстовки.



7. Методические рекомендации по составлению тестов

1.Общие рекомендации к тестовым заданиям

Содержание тестового задания должно быть ориентировано на получение от тестируемого однозначного заключения.

Основные термины тестового задания должны быть явно и ясно определены.

Тестовые задания должны быть прагматически корректными и рассчитаны на оценку уровня учебных достижений обучающихся по конкретной области знаний.

Тестовые задания должны формулироваться в виде свернутых кратких суждений.

В содержании тестового задания определяющий признак должен быть необходимым и достаточным.

Следует избегать тестовых заданий, которые требуют от тестируемого развернутых заключений на требования тестовых заданий.

При конструировании тестовых ситуаций можно применять различные формы их представления, а также графические и мультимедийные компоненты с целью рационального предъявления содержания учебного материала.

Количество слов в тестовом задании не должно превышать 10-12, если при этом не искажается понятийная структура тестовой ситуации. Главным считается ясное и явное отражение содержания фрагмента предметной области.

Среднее время заключения обучающегося на тестовое задание не должно превышать 1,5 минуты.


Автор
Дата добавления 13.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров21
Номер материала ДБ-348873
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх