Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

Методические рекомендации по выполнению практических работ

по дисциплине  ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

Пояснительная записка

         Методические указания по дисциплине «Математика» для выполнения практических работ созданы Вам  в помощь для работы на занятиях, подготовки к ним, правильного составления проектов документов.

         Приступая к выполнению практической работы, Вы должны внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами третьего поколения, краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы.

         Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую работу Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.     

Критерии оценки. Практические работы оцениваются по пятибалльной системе.

Оценка	Критерии оценки (содержательная характеристика)
«2»	Работа выполнена полностью. Студент не владеет теоретическим материалом, допуская ошибки по сущности рассматриваемых (обсуждаемых) вопросов, испытывает затруднения в формулировке собственных обоснованных и аргументированных суждений, допускает ошибки при ответе на дополнительные вопросы.
«3»	Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом на минимально допустимом уровне, отсутствуют ошибки при описании теории, испытывает затруднения в формулировке собственных обоснованных и аргументированных суждений, допуская незначительные ошибки на дополнительные вопросы.
«4»	Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом, отсутствуют ошибки при описании теории, формулирует собственные, самостоятельные, обоснованные, аргументированные суждения, допуская незначительные ошибки на дополнительные вопросы.
«5»	Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом, отсутствуют ошибки при описании теории, формулирует собственные, самостоятельные, обоснованные, аргументированные суждения, представляет полные и развернутые ответы на дополнительные вопросы.
При выполнении работы необходимо придерживаться указанных ниже правил: 1.     Практическая работа должна быть выполнена студентом в отдельной ученической тетради. 2.     Условия задач переписываются полностью, без сокращения слов, после чего приводится их подробное решение. В конце решения приводится ответ. 3.     В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по порядку номеров. Работы, содержащие не все задания, не зачитываются.

Раздел 1. «Основные понятия и методы теории комплексных чисел»

Цель: -приобретение  практических навыков выполнения различных операций над комплексными числами.

Студент должен:

знать:

·        основные понятия и методы теории комплексных чисел:

o   определение комплексного числа, мнимой единицы, модуля комплексного числа;

o   алгебраическую форму комплексного числа;

o   определение сопряженных и противоположных чисел;

o    действия над комплексными числами;

o    геометрическую интерпретацию комплексного числа;

o   тригонометрическую и показательную форму комплексного числа.

·        значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

·        основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

 уметь:

·        решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности:

o   выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме;

o   переходить от алгебраической формы комплексного числа  к тригонометрической и показательной формам,  и обратно;

o   выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической и показательной форме.

ПР 1. Решение прикладных  задач по теме «Основные понятия и методы теории комплексных чисел»

Пример 1.

Пример 2.

х² – 6х + 13 = 0

Решение:    а=1,  в=-6,  с=13. 

Найдем   D=;                                                             

D= (-6)²- 4

Корни уравнения находим по формулам   х_1,2=

х_1,2=   х₁=3+2i      x₂=3 – 2i

Ответ:    х₁=3+2i;     x₂=3 – 2i.

Выполнить задания по образцу:

Произведение, частотное  комплексных чисел  равно …
a)		b)
c)		d)
e)		f)
Решите уравнения
g)		h)
i)		j)

ПР 2. Решение задач по теме «Сопряженные комплексные числа. Модуль комплексного числа»

Число  называется действительной частью числа , а  - мнимой частью.

Числа

Два комплексных числа  и , отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными.

Модуль комплексного числа r можно найти по формуле r =

Пример 1. Комплексное число, сопряженное числу    z= 5+4i равно…

Решение :  сопряженные числа , это числа имеющие противоположенные знаки у мнимой части, поэтому

Пример 2. Модуль комплексного числа  Z = 3 – 3i  равен…

Решение:   1.Так как а=3, в=-3,то r= =

Выполните задания по образцу:

1.Для любого комплексного числа  существует сопряженное ему

1.          2.          3.        4.            5.       6.

7.     8.      9.    10.     11.     12.

13.  14.  15.    16.    17.   18.

 2. К каждому сопряженному числу из п.1 найти модуль .

3. К п.1 № 4-8 построить геометрическую интерпретацию.

ПР  3. Решение прикладных задач по теме «Тригонометрическая форма комплексного числа»

Тригонометрическая форма комплексного числа Z = r(

Модуль комплексного числа r можно найти по формуле r =

Величину угла можно найти по формуле

Пример 1.   Записать число   Z = 3 – 3i  в тригонометрической и показательной формах.

Решение:   1.Так как а=3, в=-3,то r= =

2. Геометрически определяем, что числу z соответствует точка Z,лежащая в 4 четверти

3. Составим отношения .Отсюда следует, что

4. Итак,  z = 6( - тригонометрическая форма числа

Выполните задания по образцу:

1. Записать комплексные числа в тригонометрической форме.

1.          2.          3.        4.

5.       6. 7.     8.

9.    10.     11.     12.

ПР 4. Решение прикладных задач по теме «Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа»

Возведение в степень:  

Формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула: 

Пример1.

Используем формулы приведения

 

Выполните задания по образцу:

1.     Применяя формулу Муавра, найти Zⁿ .

1.                   2.  3.                 4. 5.

6. 7.               8. 9.              10.

11.            12. 13.                  14. 15.

ПР 5. Решение прикладных задач по теме «Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа»

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

)                

a)     Произведение  комплексных  чисел:

b)    Деление  комплексных  чисел:

c)   Извлечение корня

Пример 1.

Даны комплексные числа   

                                   

Найти: а) в)

Решение: а)(

б)

г) 

Если  

Если

Если 

Выполните задания по образцу:

1.Найти:

1.              2.              3.        

4.            5.             6.

Действия произвести, предварительно записав комплексные числа в тригонометрической форме.

ПР 6. Решение прикладных задач по теме «Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа»

Пример 1. Решить уравнение 

Решение.

Уравнение  имеет n различных решений:  причем решения определяются формулами:

 где

Для уравнения имеем 

Для числа –1,  Тогда 

Подставляем вместо последовательно значения 0,1,…,5, получим 6 различных решений уравнения:

             

  

   

Ответ:        

Выполните задания по образцу:

1.Решить уравнение.

1.      2.     3.

4. 5.        6.

7.       8.         9.

10.   11.     12.

Раздел 2. «Основные понятия и методы математического анализа»

Цель: овладение практическими навыками вычисления производной, первообразной, интегралов, дифференциальных уравнений.

Студент должен:

знать:

·        основные понятия и методы математического анализа:

o   символику и обозначение предела функции;

o   теоремы о пределах;

o   правила раскрытия неопределенностей;

o   определение непрерывной функции;

o   свойства непрерывных функций;

o   первый и второй замечательные пределы.

o   определение производной, ее геометрический смысл;

o   таблицу производных;

o   формулы производных суммы, произведения, частного;

o   производные сложной и обратной функций;

o   производные высших порядков;

o   основные методы интегрирования;

o   таблицу простейших интегралов;

o   формулу Ньютона-Лейбница;

o   свойства определенного и неопределенного интегралов;

o   приближенные методы вычисления определенных интегралов.

o   определение частной производной;

o   дифференциал функции;

·        значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

·        основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

·        основы интегрального и дифференциального исчисления:

o   типы задач, приводящие к дифференциальным уравнениям;

o   определение дифференциального уравнения;

o   определение общего и частного решений дифференциальных уравнений, их геометрической интерпретации;

o   методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, дифференциальных уравнений первого порядка,  дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами;

уметь:

·        решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности:

o   вычислять несложные пределы элементарных функций;

o   устанавливать непрерывность функции.

o   вычислять производные функции;

o   исследовать функции с помощью производной и строить графики;

o   интегрировать определенные интегралы;

o   вычислять площади плоских фигур;

o   вычислять объем;

o   находить частные производные различных порядков;

o   вычислять дифференциал функции.

o   составлять дифференциальные уравнения на простейших задачах;

o   решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными;

o   решать однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка;

ПР 7. Решение прикладных задач по теме «Основные понятия и методы математического анализа»

Пример1.        (5х³-6х²+х-5).

Решение.   Применив последовательно теоремы и следствия о пределах, получим:

(5x³-6x²+ x −5)= (5х³ )−  (6х²)+  х − 5 = 5х³− 6 х²+  х − 5 = 5(х)³ − 6( х)²+  х − 5 = 5·2³ − 6·2² + 2−5 = 13

Пример 2.      ((7x+2)(4x-3)(5x+1)).

Решение.    Применив последовательно теоремы и следствие, получим

((7x+2)(4x-3)(5x+1)) =  (7x+2)  (4x-3)  (5x+1) = (7 x+2) (4 x-3) (5 x+1) = =(7·1+2)(4·1-3)(5·1+1) = 9·1·6 = 54.

 В этом примере решение так же можно привести в уме и, подставив вместо аргумента х его предельное значение, вычислить

((7x+2)(4x-3)(5x+1)) = (7·1+2)(4·1-3)(5·1+1) = 54.

Пример 3.     .

Решение. Убедимся, что при предельном  значения аргумента делитель не равен нулю. При х=2 делитель х-3 = 2-3 = -1 . следовательно, теорема о пределе частного применима.

При последовательном применении теорем и следствия, получим:

Пример 4.      

 Решение. Предел числителя   (х²−5х +6) = 3·3−5·3 + 6 =0    и предел знаменателя     (3х - 9) = 3·3 − 9 = 0 . Имеем неопределённость вида  .

Числитель – квадратный трехчлен, разложим его на линейные множители по формуле  , где  х₁  и  х₂ - корни трехчлена . Разложив на множители числитель  и знаменатель , сократим дробь на  (х-3). Применив теоремы о пределах, имеем:

= = = = .

Пример 5.  

Решение.   Предел числителя  и предел знаменателя .

Разложим числитель и знаменатель на линейные множители. После сокращения на общий множитель и применения теоремы и  следствия о пределах, получим :

Пример 6.  

Решение. Предел числителя  и предел знаменателя

При вычислении предела дроби , числитель и знаменатель  которой многочлены , обращающиеся в нуль при предельном значении аргумента  , можно использовать теорему Безу , согласно которой оба многочлена разделятся  без остатка на  . Сократив числитель и знаменатель на двучлен  (предельное значение х=2) ми применив теоремы о пределах  и следствия 1 и 2, получим:

Пример 7.   

 Решение. Предел числителя  и предел знаменателя

Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель    и затем сократим дробь на . Применив теоремы ІV,ІІ и  следствие 3 теоремы ІІІ, получим:

Пример 8.       (x³-6x²+5x-1).

Решение. Первые три слагаемых при х пределов не имеют,

следовательно,  теорему 2 непосредственно применить нельзя. Вынесем x³

за скобки и последовательно применим теоремы 3, 2 и следствие 2 теоремы 3:

| x³ | =(x)³( 

Члены ,  и  при х бесконечно малые величины и их  пределы

равны нулю.

Пример 9.       

Решение. Делимое и делитель при х-величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы 4 получаем выражение , но отношение  никакого числа не выражает и называется неопределенностью. Для вычисления предела этой функции делимое и делитель нужно разделить на х:

Слагаемые  и      при х-величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю.

Применив теоремы 4, 2 и 1, получим:  

Пример 10.    

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на х³:

. При  х слагаемые    и - бесконечно малые и их пределы равны нулю. Имеем:

Пример 11. .

Чтобы применить формулу , умножим числитель и знаменатель на 3. Имеем:  ,

где - бесконечно малая того же порядка малости, что и x (случай);

Пример 12.

= 2·2·1·1 =2, где tg 2x – бесконечно малая того же порядка малости, что и x (случай 3);

Второй замечательный предел                          

 Число е иррациональное (еболее точное значение е ). Логарифмы с основанием е называются натуральными , для них введено обозначение ln .

  2. Десятичные и натуральные логарифмы связаны соотношениями :

                                                                         

где М модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным :

                  

Формулы (4.4) и (4.5) для применения к вычислениям примут вид :

                                                                  

                                                                     

Пример 13.   

Решение. Выполним следующие преобразования:

Пример 14.

Решение. Выполним следующие преобразования и, применив формулу (4.3), найдем:

Пример 15.    

Решение. Выполним следующие преобразования и, применив формулу (4.3), найдем предел :

                 

Выполнить задания по образцу:

Вычислить пределы:

a)	((2x-4) (x-1)(x+2)).	d)
b)		e)
c)		f)
d)	.	g)
e)		h)
f)		i)	Пусть . Тогда  равен …
g)		j)	Пусть . Тогда  равен …

ПР 8. Решение прикладных задач по теме «Основные понятия и методы математического анализа»

Пример 1.Найти производную функции

Решаем:

Производная суммы равна сумме производных

Найти производную функции

Производная произведения функций

Найти производную функции

Производная частного функций  

Найти производную функции   

 Производная сложной функции.   

Найти производную функции

Пример . Вычислить производную функции  в точке

Сначала находим производную:

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Пример .Найти пределы, используя правило Лопиталя: ;      

Решение.  1) Подстановка предельного значения аргумента  приводит к неопределенности вида . Раскроем ее с помощью правила Лопиталя (1):

.

Однократное применение правила Лопиталя не приводит к раскрытию неопределенности (по-прежнему получаем ), поэтому применим его еще раз:   .

Таким образом, в результате двукратного применения правила Лопиталя находим, что искомый предел равен 5.

Пример 3.  .

Выполнить задания по образцу:

1.Вычислить производную функции  в точке

2.Вычислить производную функции  в точке .
3.Вычислить производную функции  в точке .

4.Найти пределы, используя правило Лопиталя:

1) ;         2)           3) ;        4)

5. Найти производную функции

а)                                            

б)                     

в)                             

г)

ПР 9. Решение прикладных задач по теме «Основы дифференциального исчисления»

Пример.  Провести полное исследование функции   и построить её график.

   Для построения графика функции  нужно:

1) найти область определения функции;

2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;

3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) найти асимптоты графика функции;

6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Решение.

1) Находим область определения функции:  =).

2) Поскольку   данная  функция  является  элементарной,  то   областью   её непрерывности является область определения , а точками разрыва являются точки  и , не принадлежащие множеству, но являющиеся предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатся точки данного множества). Исследуем характер разрыва в точках и , вычислив в них односторонние пределы функции:

, ,

,         .

Так как односторонние пределы функции в точках  и  - бесконечные, то данные точки являются точками бесконечного разрыва.

3) Функция не является периодической.

   Функция , в аналитическое выражение которой входит хотя бы одна непериодическая функция периодической не является.

   Проверяем является ли функция чётной или нечётной. Так как область определения функции  =) не симметрична относительно точки , то данная функция – общего вида.

4) Находим точки пересечения графика с осями координат.

   Так как , то точек пересечения графика с осью  нет.   

 Положим и решим уравнение . Его решением является Следовательно, точка- точка пересечения графика с осью .

5) Находим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

   Прямая  является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда  является точкой бесконечного разрыва функции .

   Так как точки  и  - точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции являются прямые  и .

   Прямая  является наклонной асимптотой графика функции  при  тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы: и .

   Вычисляем сначала пределы при :

,.

   В дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийся предел:

Следовательно , т.е.  - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .

   Аналогично вычисляем пределы при : , Следовательно , т.е.  - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .

6) Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого находим первую производную функции: 

 

и определяем критические точки функции , т.е. точки  в которых  или  не существует:

 ;

 не существует при  и .

Таким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции  является точка .

   Исследуем знак производной  в интервалах, на которые критические точки функции  разбивают её область определения , и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:

	+	+
	возрастает	возрастает		убывает	убывает

Так как при переходе слева направо через точку производная  меняет знак с «+» на «», то точка  является точкой локального максимума и .

7) Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим вторую производную функции:

и определяем точки возможного перегиба , т.е. точки  в которыхилине существует:, так как (квадратное уравнение не имеет действительных корней);  не существует при  и .

Таким образом, функция  не имеет точек возможного перегиба.

   Исследуем знак второй производной  в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции  разбивают её область определения , и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим таблицей:

	+		+
	график вогнутый	график выпуклый	график вогнутый

Точек перегиба нет.

8) На основании полученных результатов строим график функции

Выполнить задания по образцу:

Провести полное исследование функции  и построить её график.

1.     2.    3.             4.     5.      

ПР 10. Решение прикладных задач по теме «Основы интегрального  исчисления»

Формула Ньютона-Лейбница   

                 

 – это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

Формула интегрирования по частям:

Пример 1 Вычислить определенный интеграл  

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу  целесообразно отделить от  и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в  верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Пример 2 Вычислить определенный интеграл 

Решение:

Пример 3 Вычислить определенный интеграл  

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм:  . Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена:
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: .
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть  подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал :

 

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.

Находим новые переделы интегрирования.

Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену  и старые пределы интегрирования , .

Сначала подставляем в выражение замены  нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

Потом подставляем в выражение замены  верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Готово. И всего-то лишь…

Продолжаем решение.

(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу  лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования  – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница .

Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, здесь я использовал свойства логарифмов.

Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо.

Пример . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

На отрезке   график функции  расположен над осью , поэтому:

Ответ:

Выполнить задания по образцу:

1.Найти определенный интеграл:     а)   б)     в)      

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  и осью

3.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

5.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  , .

7.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Раздел 3. «Основные понятия и методы теории вероятности и математической статистики»

Цель: Овладение практическими навыками решения  задач на вычисление вероятностей событий.

Студент должен:

знать:

·        основные понятия и методы теории вероятности и математической статистики:

o   понятия: событие, частота и вероятность появления события, совместные и    несовместные события, полная вероятность;

o    теорему сложения вероятностей;

o    теорему умножения вероятностей;

o   способы задания случайной величины;

o   определения непрерывной и дискретной случайных величин;

o    закон распределения случайной величины;

·        значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

·        основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

уметь:

·        решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности:

o   находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей;

o   решать задачи с применением теоремы сложения и умножения  вероятностей для совместных и несовместных событий.

o   строить ряд распределения случайной величины;

o   находить функцию распределения случайной величины.

ПР 11. Решение прикладных задач по теме «Основные понятия и методы теории вероятности»

Основные формулы комбинаторики

a)     перестановки

b)    размещения

c)     сочетания

Классическое определение вероятности

- число благоприятствующих событию A исходов, n – число всех элементарных равновозможных исходов.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

- условная вероятность события A при условии, что произошло событие B.

- условная вероятность события B при условии, что произошло событие A.

Пример

1.В группе 25 студентов, из них 10 юношей и 15 девушек. Какова вероятность того, что из вызванных наудачу трёх студентов: а) все три девушки.

Решение: а) Р=m/n. Число элементарных событий n=_. Число  благоприятствующих событий  m = ˙. Тогда вероятность того, что из вызванных наудачу трёх студентов будут все три девушки равна

 .

Ответ: а) 0,198.

2. В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады равна 0,7, для второй - 0,8. Определить вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной. Какова вероятность того, что она произведена второй бригадой?

Решение: Событие А – «деталь будет стандартной», Н₁ – «изготовлена в 1 бригаде», Н₂ – «изготовлена во 2 бригаде». Р(Н₁) = 0,75; Р(Н₂) = 0,25; Р(А\Н₁) = 0,7;    Р(А\Н₂) = 0,8. Следовательно, искомая вероятность Р(А) = 0,75·0,7 + 0,25·0,8=  = 0,525 + 0,2 = 0,725.

Вероятность того, что стандартная деталь произведена второй бригадой:
Р(Н₁\ А) =

Ответ: 0,725;  0,276.

3.  В конверте 10 фотографий, среди которых две нужные. Извлечено 5 фотографий. Какова вероятность, что нужные две среди них?

Решение: Число элементарных событий определим  способами, т.е. 5 фото из 10 можно выбрать  способами .

Число благоприятных исходов вычисляется следующим образом:

2 нужные фото из 2^х нужных можно выбрать  способами.

3 ненужные из 8 ненужных можно выбрать  способами.

Каждый выбор нужной фотографии может сочетаться с выбором ненужной.

Поэтому  Искомую вероятность находим по классическому определению вероятности:  m =  (2! / 2! 0!) * (8! / 3! 5!) = 1 *  56 = 56

n = 10! / 5! 5! = 252  Р = 56 / 252 = 2 / 9

Ответ: 2/9.

4. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности их отказа соответственно равны 0,2 и 0,3. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

Решение: Событие А – отказал 1^ый элемент .

 Событие В – отказал 2^ой элемент .

 - не отказал 1^ый элемент.

 - не отказал 2^ой элемент.

Вероятность того, что устройство не отказала, находим по теореме умножения

Искомую вероятность находим как обратную к полученной:

Ответ: Р=0,44.

5. Нужная студенту книга с вероятностью 0,8 имеется в каждой из трёх библиотек А, В, С. Если в А книга не обнаружена, он идёт в В. Если в В книги нет, он идёт в С. Найти вероятность того, что студент книгу получит.

Решение:

 - вероятность того, что не найдя книгу в библиотеке А, найдет в В.

 - вероятность того, что не найдя книгу в библиотеке А и В, найдет в библиотеке С.  Р (Ā) = 1 - Р (А) = 0,2

искомую вероятность находим по формуле:

Ответ: Р= 0,992

Выполнить задания по образцу:

1.Бросают игральную кость. Число очков, меньшее 4, выпадет с вероятностью, равной …

2.В урне 10 шаров, имеющих номера: 1, 2, …, 10. Наугад вынутый шар имеет номер, больший 4, с вероятностью, равной …

3.Имеются два пакета семян, имеющих всхожесть  и  соответственно.
Вероятность того, что после посадки всех семян из обоих пакетов не взойдет ни одно семя, равна …

4.Первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью , а второй – с
вероятностью . Оба спортсмена стреляют одновременно. Вероятность того, что они оба попадут в мишень, равна …

5.Пин-код пластиковой карты состоит из 6 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если бы каждая цифра встречалась ровно один раз, то максимальное количество карт с такими кодами было бы равно …

6.Пароль состоит из 3 букв слова «код». Каждая буква может встречаться ровно один раз. Тогда максимальное количество возможных паролей равно …

7.Автомобилю может быть присвоен номер, состоящий из 4 цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Цифры в номере повторяться не могут. Тогда максимальное количество автомобилей, которым могут быть присвоены такие номера, равно …

8.В группе 25 студентов, из них 10 юношей и 15 девушек. Какова вероятность того, что из вызванных наудачу трёх студентов: а) первые два юноши и одна девушка.

9.На трех автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что 30 % деталей производится первым станком, 25 % — вторым и 45 % — третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99, на втором — 0,988 и на третьем — 0,98. Изготовленные на трех станках не рассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

10.На сборку механизма поступают детали с двух автоматов. Первый автомат в среднем дает 1,5 % брака, второй — 1 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго — 1500.

ПР 12. Решение прикладных задач по теме «Основные понятия и методы математической статистики»

Закон распределения дискретной случайной величины

xi	x1	x2	……	xn
pi	p1	p2	……	pn

Сумма вероятностей всегда равна 1.

Функция распределения случайной величины X определяется по формуле

F(x) = P (X < x). Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до 1.

Математическое ожидание случайной величины

1)    Для дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения: 

1) Для непрерывной случайной величины X, заданной плотностью распределения: 

Дисперсия случайной величины

По определению дисперсия – это второй центральный момент:

1)    Для дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения:

1)    Для непрерывности случайной величины X, заданной плотностью распределения:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Пример. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из неё извлекают 3 шара. X — число белых шаров среди извлечённых.

Найти: а) ряд распределения X; б) функцию рас­пределения F(x), в ответе записать значения F(0,2), F(2,5); в) т_х; г)  D_x; д)  Р(0,2 < X < 2,5).

Решение:

а) Случайная величина Х может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Вероятности этих значений:

  

        

Ряд распределения Х :

Х	0	1	2	3
Р

б)

F(x) – функция распределения х.

            

в)

=9/5

г)

= 14/25

д)

Выполнить задания по образцу:

1.Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно …

2.Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно …

3.Случайная величина Х – время простоя контролеров-кассиров в супермаркете подчиняется закону распределения

         Х       0      2      5

          р      0,4   0,5   0,1            

 Найти М(Х), D(Х), σ(Х). 

4.Случайная величина Х – время простоя контролеров-кассиров в супермаркете подчиняется закону распределения

         Х (тыс. руб.)        0      1         2       3                                             

             р                          0,7  0,2   0,15   0,05      

Найти М(Х), D(Х), σ(Х). 

5. Изучение спроса изделий некоторой фирмы дало распределение случайной величины Х – числа потребляемых за месяц изделий.

Х      0     10    20     30     40     50

р     0,1   0,1   0,2    0,3     0,1   0,2   

Найти М(Х), D(Х), σ(Х). 

6.Изучение спроса изделий некоторой фирмы дало распределение случайной величины Х – числа потребляемых за месяц изделий.

         Х          1       2       3               

         р        0,5    0,3     0,2   

Найти М(Х), D(Х), σ(Х). 

7.Изучение спроса изделий некоторой фирмы дало распределение случайной величины Х – числа потребляемых за месяц изделий.

Y     0,5     1       3

р     0,5   0,3    0,2     

Найти М(Х), D(Х), σ(Х). 

ПР 13. Решение прикладных задач по теме «Основные понятия и методы математической статистики»

Пример 1.Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

Решение:
Случайная величина Х принимает значение «1» − 5 раз, значение «2» − 11 раз, значение «3» − 29 раз и значение «4» − 15 раз. Тогда  объем выборки.

Пример 2.Выборочное среднее для вариационного ряда  равно …

Решение:
Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки:  Значение «2» некоторая случайная величина принимает 2 раза, значение «3» – 1 раз, значение «6» – 4 раза и значение «13» − 3 раза. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно

Выполните задание по образцу:

1.Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

2.Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

3.Выборочное среднее для вариационного ряда  равно …

4.Объем выборки, заданной статистическим распределением
, равен …

5.Выборочное среднее для вариационного ряда  равно …

6. Д.С.В. X задана рядом распределения. Найти МХ, ДХ, σХ.

X	-1	0	1	2
p	0,2	0,1	0,3	0,4

Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение Д.С.В.Х, заданной законом распределения.

7. Д.С.В.Х задана законом распределения. Построить многоугольник распределения. Найти центральные моменты 1-го, 2-го и 3-го порядков.

Х	10	15	20
р	0,1	0,7	0,2

8.Д.С.В.Х задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

Х	1	3	6	8
р	0,2	0,1	0,4	0,3

Раздел 4. «Основные понятия и методы линейной алгебры»

Цель:  овладение практическими навыками решения задач с использованием понятий и методов линейной алгебры.

Студент  должен

знать:

·        основные понятия и методы линейной алгебры:

o   понятие матрицы, квадратной матрицы, треугольной матрицы, единичной матрицы, нулевой матрицы, транспонированной матрицы, противоположной матрицы, элементы матрицы, главной  и побочной диагонали;

o   сложения матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц;

o   свойства операции сложения матриц и умножения матрицы на число, произведения матриц;

o   понятие определителя 2-го порядка, определителя 3-го порядка, минора, алгебраического дополнения;

o   формулировки свойств определителя;

o   формулировку теоремы «о разложении определителя по элементам строки или столбца»;

o   схему вычисления определителя 2-го порядка;

o   формулировку правило Саррюса (схема треугольников);

o   понятие обратной матрицы;

o   правило вычисления обратных матриц второго и третьего порядков;

o   свойства обратной матрицы;

o   основные понятия СЛАУ;

o   решение невырожденных линейных систем формулами Крамера;

o   понятие  ранга матрицы;

o   понятие  системы линейных алгебраических уравнений, основной матрицы, расширенной матрицы, совместной и несовместной системы, однородной, матричного уравненияв каком случае система линейных уравнений не имеет решения или имеет бесчисленное множество решения;

o   правило решения матричного уравнения;

o   процесс решения систем линейных уравнений по методу Гаусса.

·        значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

·        основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

уметь:

·        решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности:

o   складывать матрицы;

o   умножать матрицы на число;

o   вычислять произведения двух матриц;

o   находить определитель 2-го , 3-го, 4-гопорядка;

o   решать систему линейных уравнений формулами Крамера;

o   решать систему линейных уравнений матричным методом;

o   решать систему линейных уравнений методом Гаусса;

o   вычислять ранг матрицы.

         ПР 14. Решение прикладных задач по теме «Определители. Обратная матрица. Метод Крамера»

Пример 1.     

Пример 2.  , k=2                    kA=

Пример 3. Вычислить определитель матрицы     

Решение. detA=5∙1∙(-3)+3∙0∙1+(-2)∙(-4)∙6-1∙1∙6-5∙(-4)∙0-3∙(-2)∙(-3)=-15+0+48-6-0-18=9

Пример 4. Вычислить определитель матрицы     

Решение. Разложим определитель по элементам 1-го столбца.

Пример 5.  Решить систему уравнений  представив ее в виде матричного уравнения.

Решение. Перепишем систему в виде АХ=В, где  , ,

Решение матричного уравнения имеет вид .   Найдем :     

 

, , ,

, ,,

, ,

Таким образом ,   откуда

 Следовательно, х=2, y=3, z=-2

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.    Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

,     откуда получаем:  x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Выполнить задания по образцу:         

1.Найти матрицу C=A+3B, если , .

2.Найти матрицу C=2A-B, если , .

3.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:   

ПР 15. Решение прикладных задач по теме «Ранг матрицы. Системы линейных уравнений»

Пример 1.   Определить ранг матрицы.

~ ~,   

    rangA = 2.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

 или в матричной форме А∙Х=В.  Основная матрица такой системы квадратная.

Определитель этой матрицы  называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Теорема Крамера. Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, и это решение находится по формулам:

, , , …,

где D_хi – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы замены столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Пусть . Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при  на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных)

, , … ,

Тогда формулы Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными запишутся так:  … ,  или короче  где i=1, 2, …, n.

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

1.      и каждый определитель . Это имеет место только тогда. Когда коэффициенты при неизвестных   пропорциональны, т.е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. Очевидно что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

2.      и хотя бы один из определителей . Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных, кроме , пропорциональны. При этом получается система из противоречивых  уравнений, которая не имеет решений.

Пример 1.  Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными 

Решение. Вычислим определитель системы  и определители и:

  .

 

Ответ: x₁=1,  x₂=2

Выполнить задания по образцу:

1.Определить  ранги  матриц:

  1..      2..

3..         4.А.             5.А.                        

6.А.       7.А.         8.А.

2.Решить системы тремя способами:

Ø   по формулам Крамера

Ø   матричным методом;

Ø   методом Гаусса

  а)         б)   в)     

 г)