Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации "Тригонометрические функции произвольного действительного числа. Решение простейших тригонометрических уравнений"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Методические рекомендации "Тригонометрические функции произвольного действительного числа. Решение простейших тригонометрических уравнений"

библиотека
материалов

hello_html_512c12e6.gifhello_html_m162981.gifhello_html_m6e0dc82b.gifhello_html_5fc67b5e.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2f679914.gifhello_html_4fdd123e.gifhello_html_3c4d4cdc.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_42de81ec.gifhello_html_5fc67b5e.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m78506c8c.gifhello_html_7fc7d40f.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_648d4be7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m433cc484.gif
hello_html_m433cc484.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m3482b14e.gif
hello_html_m2a7690f7.gif
hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m3482b14e.gif
hello_html_m3482b14e.gifhello_html_3632f116.gifhello_html_m5d626671.gifhello_html_m474df672.gifМуниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 7

городского округа город Шарья Костромской области






Муниципальный методический конкурс

образовательных учреждений Костромской области











Номинация «Методические рекомендации»





Тема «Тригонометрические функции произвольного действительного числа.

Решение простейших уравнений вида sinx=a, cosx=a при a hello_html_m2faea63.gif»









Соколова Наталья Юрьевна,

учитель математики,

МБОУ СОШ №7, высшая







Шарья, 2015


Методические рекомендации по теме «Тригонометрические функции произвольного действительного числа. Решение простейших уравнений вида sinx=a, cosx=a при a hello_html_m2faea63.gif »


Концептуальная основа

Один из объемных разделов алгебры и начала анализа посвящен тригонометрии. В первой части учащиеся знакомятся с функциональными аспектами (периодичность, формулы приведения, графики, простейшие уравнения), а во второй – с алгебраическими (тригонометрические тождества и преобразование, основные тригонометрические уравнения). На учеников обрушивается лавина нового и непонятного, в результате многие считают тригонометрию недосягаемой наукой. На итоговой аттестации в 11 классе в контрольно-измерительных материалах тем не менее включены задания по изучаемому разделу: простейшие тригонометрические уравнения, тригонометрические преобразование и вычисления, решение уравнений с выбором корней.

Таким образом, в ходе моей работы я пришла к выводу, что успех изучения тригонометрии зависит от простейших базовых знаний. Не следует «гнать» материал, не усвоив предыдущий. Мой девиз «Ни шагу назад». В результате кардинально меняется количество часов по темам, запланированных ранее. Большое внимание уделяю работе с тригонометрической окружностью – она первый помощник во многих вопросах тригонометрии. С первых уроках уже включаю решение простейших тригонометрических уравнений, доказывая, что умение работать с окружностью облегчает выполнение задания.

Тема «Тригонометрические функции произвольного действительного числа» выбрана потому, что она быстро «проскакивает», и учащиеся не успевают осознать значимости данного материала. На вопросы «Какой знак имеет sin5» или «Расположите в порядке возрастания числа sin3; sin(-2) и cos3» большая часть класса задают встречный вопрос – «Пять градусов?». Получив ответ «Нет, просто число 5», ученики не могут дать правильного ответа. Ученики видят только углы (00,300, 450 и т.д.), но не видят действительные числа на тригонометрической окружности. Рассматриваемый вопрос – важнейший элемент тригонометрии.

Вторая тема «Решение простейших уравнений вида sinx=a, cosx=a при a hello_html_m2faea63.gif» позволяет подготовить учащихся к решению тригонометрических уравнений более сложного характера. В учебниках сразу рассматривают простейшие тригонометрические функции общего вида sinx=a, cosx=a и на учеников обрушивается лавина новых, достаточно сложных обозначений и понятий (arcsina, arccosa, arctga) и сложные формы сокращенной записи ответов, включающих (-1)п и ±.. Учащиеся начинают путаться и считают тригонометрию непреодолимо сложной. Если же «раздробить» процесс изучения решений простейших уравнений, рассматривая такие а, синусы и косинусы которых ученики давно знают, т.е. обходиться некоторое время без аркфункций, то изучение тригонометрии становится значительно эффективным. Таким образом, вводя постепенно тригонометрические формулы и упражняясь в их применении доказательстве тождеств, можно решать уравнения вида

(2 sin x +1)(cos3x-2)=0

4 sin2 x -5sin x+1=0



Цели методических рекомендации

1. Показать, как устанавливается однозначное соответствие между произвольными числами и точками тригонометрической окружности. Научить, как объединять в одну запись две различные точки относительно оси ОХ или относительно оси ОY.

2. Развивать навыки изображения чисел заданных аналитической формулой на тригонометрической окружности, а также решения обратной задачи – по заданным на окружности точкам написать аналитические формулы соответствующих чисел

3. Укреплять и воспитывать у ученика веру в собственные интеллектуальные силы, позволяющие овладеть теми знаниями, которые казались непреодолимо сложными.

4. Подготовить учащихся к восприятию общего решения тригонометрических уравнений вида sinx=a, cosx=a, tgx=a на базе решения аналогичных уравнений с конкретными и известными значениями а.


Четкая структура изложения материала позволит подвести к главным вопросам. В результате в уме ученика сложится определенная последовательность: от простого к сложному; знаю – узнал, знаю – применил.


Содержательная часть


Тема «Тригонометрические функции произвольного действительного числа.


Данные рекомендации содержат последовательное изучение темы. Основы тригонометрии были заложены с 8 класса. Рекомендуется проследить введение понятий тригонометрических функций.

1. Понятие тригонометрических функций

8 класс

Прямоугольный треугольник, рассматривая только синусы и косинусы острых углов, а углы измеряются в градусах.

α с

с

b



а



Sinα =hello_html_m1e218342.gif

Cosα =hello_html_4180bdaa.gif,





где α – острый угол прямоугольного треугольника в градусах, а – противоположный катет, b – прилежащий катет, с- гипотенуза.





Основное тригонометрическое тождество - простое следствие теоремы Пифагора.

sin2α +cos2α =?

hello_html_ma529b0b.gif+ hello_html_176c67d9.gif= hello_html_beb1fb1.gif + hello_html_m20dfece.gif=hello_html_766d93e3.gif

sin2α +cos2α= 1

10 класс

Определение тригонометрических функций тупых углов - частный случай прямоугольного треугольника.

Рассматриваем половину окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащая выше оси ОХ.

Y

Pα



1



а

α





О

b



Х







Sinα= hello_html_edf3b6f.gif cosα=hello_html_m517e0585.gif

Sinα=a cosα=b

Точка Рα имеет координаты(b;а), но точка Рα лежит на рассматриваемой половине окружности, а градусная мера угла РαОХ= α градусов, то косинусом такого угла называется абсцисса точки Рα, а синусом угла – его ордината.

Значит, синусом и косинусом угла будем называть координаты точки

Рα(cosα;sinα)

Теперь можно рассмотреть тригонометрические функции тупых углов



Y





Pα(cosα;sinα)



sinα


α




cosα

Х




2. Рассмотреть единичную окружность с центром в начале координат (тригонометрическая окружность). Изображают углы в диапазоне от 00 до 3600. Также синусом и косинусом угла α называют абсциссу и ординату такой точки Pα,что угол РαОХ= α, но в более широком диапазоне.

-------

+

Pβ(cosβ;sinβ)


cosβ

sinα

cosα

P-β(cosβ;sinβ)


Pα(cosα;sinα))

Y

Х




sinβ















Ввести два направления откладывания углов: против часов стрелки о оси ОХ – положительный угол (положительное направление), по часовой стрелке от оси ОХ – отрицательный угол (отрицательное направление).

Из этого следует, что sin (-β)= -sinβ

cos(-β)=cosβ


3.Важный момент в тригонометрии – новая мера угла – радианная мера.

Радианная мера угла – число, равное отношению длины дуги, на которую опирается центральный угол, к радиусу этой окружности.

Вспоминаем формулы: l =hello_html_1efa5de.gifα, где l- длина дуги, R – радиус, α- градусная мера угла.

Составить таблицу соответствия.

угол

Радианная мера угла (число)

3600

hello_html_1efa5de.gif3600/R,= 2π радиан

2700

hello_html_3e938cb2.gifрадиан

1800

π радиан

900

hello_html_50661fa5.gifрадиан

00

0 радиан

300

hello_html_1efe9eb4.gifрадиан

450

hello_html_m2bf5a2e4.gifрадиан

600

hello_html_351c7e71.gifрадиан


Предостережение! Является ошибкой утверждение, что 1800 равно π радиан.

Правильно сказать! Угол, измеряемый 180 градусам, равен углу, измеряемому числом π радиан.

Запомнить! Радиан – это мера угла, выражаемое числом.



4. Составит два макета числовой окружности. Тригонометрия: Числовая окружность (Макет 2)Тригонометрия: Числовая окружность (Макет 3)














Обратить внимание учащихся на коэффициенты чисел вида  hello_html_m2bf5a2e4.gif  на первом макете

Показать движение на втором макете: маленькие шаги  hello_html_1efe9eb4.gif, большие шаги hello_html_351c7e71.gif, два маленьких шага по  hello_html_1efe9eb4.gif– это один большой  hello_html_351c7e71.gif.


Важно! Отработать умение строить “макетные” точки и определять числа которым соответствуют заданные точки.

Показывать, какие числа соответствуют выделенным точкам, как в положительном направлении, так и в отрицательном. Например, одна и та же точка на единичной окружности может разные «имена» (hello_html_m447f2e26.gif)

Ни шагу вперед! Если не отработаны местоположения главных точек.


5. Обратить внимание на то, что чисел много, но обозначаться они будут через главные их «имена».

Если любое число а тригонометрической окружности соответствует числу α, то точка а соответствует и числу вида α+2πn,где n- некоторое целое число, α-макетная точка .

Вывод: а= α+2πn.

Например: hello_html_7aa98c.gif= hello_html_m3d8ca1b1.gif

Снова отработать «макетные» точки, но уже применяя данную формулу. Учащиеся должны осознавать, что одна и та же точка имеет множество «имен», общая запись которых выглядит так: hello_html_3ae32966.gif, hello_html_m329decf1.gif или hello_html_5f64f2ac.gif, hello_html_347e792b.gif.

6. Научить использовать для вычисления синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов не таблицу, а снова тригонометрическую окружность.


Обратить внимание! Предложите выучить к одному из уроков всю таблицу, обязательно проверьте – результат не утешительный. Вы поставили перед учащимися проблему: как запомнить все эти значения? Выход - тригонометрическая окружность.Основные формулы тригонометрии


Важно! Научить пользоваться окружностью. Не ленитесь изображать ее на каждом уроке. Тригонометрическая окружность - Ирина Станиславовна Ренская

Следует отработать вычисления тригонометрических функций, используя окружность. Объяснить, для чего нужно – окружность всегда можно восстановить по памяти.

Ни шагу вперед! Отработать до автоматизма. Можно использовать любые карточки или дидактический материал. Полезно соединить с предыдущей темой. Например. Обозначьте на числовой окружности точки t, удовлетворяющие уравнению cos t =hello_html_1fc87bde.gif. Данные задания способствуют к дальнейшему освоению простейших уравнений.

Обратить внимание! На различное обозначение точек окружности – а, t, Pα, Pt и другие.


7. Поставьте проблему:

Пример: Какая точка на окружности соответствует числу не знакомым «макетным» - числа 4 или 5, или -8.

Выход есть: научить рассуждать.

hello_html_m75e89d4c.gif;

hello_html_m5f0d92bd.gif;

hello_html_m536b3728.gif

hello_html_m53776f67.gif

hello_html_m7624fe94.gif

hello_html_451f3b3d.gif

Решение.

4hello_html_7806b33c.gif – точка находится в III четверти, чуть дальше hello_html_m2bf5a2e4.gif.

-8hello_html_m7e6c3382.gif- точка находится III четверти, не доходя до - hello_html_m2dc5eea0.gif

Пример.

Найти знак sin28 и cos28.

Решение. Определить, в какой четверти находится точка тригонометрической окружности, поставленная числу 28.

28hello_html_m34d92483.gif4hello_html_m36223d0a.gif – точка тригонометрической окружности, поставленная в соответствие числу 28, находится во II четверти, чуть дальше hello_html_31388407.gif .

Поэтому sin28hello_html_m4c6497ef.gif. Изобразить на окружности.


Важно! Учащихся должны осознать, что если научиться использовать тригонометрическую окружность, то изучение тригонометрических функций не вызывает затруднений.



Тема «Решение простейших тригонометрических уравнений

sinx=a, cosx=a при a hello_html_m2faea63.gif».


Учащиеся уже достаточно хорошо работают с единичной окружностью, знают «макетные» точки и их значения.

Пример 1. Найдите все такие действительные числа х, для которых

cos x =hello_html_73ca8c00.gif.

Решение. Чаще всего, не долго думая, на этот вопрос отвечают так х= 450.

Важно! В задаче нужно найти действительные числа, а не градусы, во-вторых, нужно найти все такие числа.

Обратимся за помощью к тригонометрической окружности, вспомнив, что углу в 450 соответствует число hello_html_m2bf5a2e4.gif.hello_html_m466b55d5.png

Изображая hello_html_73ca8c00.gif на оси ОХ, нужно обратить внимание, что такой косинус имеет число –hello_html_m2bf5a2e4.gif.Ответ можно записать в виде совокупности, но он не будет верным в полном объеме. hello_html_4cd1bd05.gif

Следует вспомнить формулу: а= α+2πn. Тогда

окончательный ответ выглядит так hello_html_21b81757.gif


Важно! Обратите внимание на записиhello_html_5927d302.gif и hello_html_m47fd359b.gif. Для каждого корня свои значения целых чисел.


Пример 2. Найдие все действительные числа, удовлетворющие уравнению sin x = hello_html_6eec8aff.gif.

Решение. Вновь обратимся к триногоматрической окружности. На вертикалььной оси (иногда ее называю осью синусов) отметим точкуhello_html_6eec8aff.gif и через неё проведем горизонтальную прямою до пересечения с окружностьью в двух точках hello_html_7874ecf.gif и hello_html_m757d7c28.gif. Соответственно, числа hello_html_1efe9eb4.gif и hello_html_31388407.gif будут решениями исходго уравнения. Чобы получить все решения уравнения, снова вспоминаем формулу общих решений и записать совокупность двух бесконечных множеств.C:\Users\1\Documents\Scanned Documents\2015-02-25\Image0002.BMP

hello_html_5f5f616f.gif


Важно! Замена двух бесконечных числовых множеств более короткой записью осуществляйте только тогда, когда отработайте данные решения.

Для косинуса: точки симметричны относительно горизонтальной оси (оси косинусов), то задаваемое ими множество можно записать в виде

х=hello_html_m3635c0a4.gif,hello_html_m69dd8493.gif

Например,

hello_html_531dfadf.gif х=hello_html_m421d238b.gif,hello_html_m69dd8493.gif.


Для синусов: две точки тригонометрической окружности Pα и Pπ симметричные относительно вертикальной оси (ось синусов), поставлены в соответствие бесконечному множеству чисел, задаваемому формулой.

х=(-1)nhello_html_79c0f69b.gifα +πn, где hello_html_5927d302.gif.

Например,


hello_html_5f5f616f.gif х == (-1)nhello_html_2da80eee.gif +πn, где hello_html_5927d302.gif.


Объяснить, что при hello_html_443248c0.gif четном получим все решения верхней строки, при hello_html_443248c0.gif нечетном получим все числа нижней строки.


Пример3. Решите уравнение 4 sin2 x -5sin x+1=0 и найдите корни, принадлежащие отрезкуhello_html_5bb4e9fb.gif.

Решение. Уравнение соответствует заданию части С1 ЕГЭ. Покажите три способа отбора корней – с помощь тригонометрической окружности;

с помощь числовой прямой;

решением двойного неравенства.

Вывод – решение двойного неравенства даст сразу целочисленные значения параметра hello_html_443248c0.gif. Останется только подставить вместо hello_html_443248c0.gif конкретные числа в общие решения. Важно! Выбор способа отбора корней останется за учащимися.


Обратите внимание! При решении простейших тригонометрических уравнений мы обошлись без сложных понятий арксинусов и арккосинусов.


Пример 4. Отрабатывайте простейшие уравнения на готовых чертежах.

Решение. Заполните нижний ряд таблицы номерами формул, в верхнем ряду – номера рисунков. C:\Users\1\Documents\Scanned Documents\2015-02-25\Image0003.BMP



















Заключение


Таким образом, данные рекомендации в дальнейшем облегчают работу введения новых понятий, например, арксинус. Умение работать с окружностью позволяет найти значения любых тригонометрических функций любого действительного числа или любых градусных мер угла.

Важно! Следите за качеством усвоения каждой темы и тогда тригонометрия не будет непреодолимой наукой.

На первых уроках ежедневно проводите работу с тригонометрической окружностью.

Включайте с первых уроков тригонометрические уравнения С1.

Не торопите к переходу к записи общего решения тригонометрических уравнений.

При решении уравнений - чертить новую окружность для определения решений.

Помните! Только через деятельность усваивается материал – рассуждат должен ученик, а учитель только сопровождает и направляет.










Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа 10 класс (профильный уровень): методическое пособие для учителя / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 2-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2010.- 239с.

2. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 8-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2011.- 424с.

3. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс(базовый уровень). Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений ./ Л.А. Александрова; под ред. А. Г. Мордковича.- 7-е изд., - М.: Мнемозина, 2012. 127с.

4.Интернет-ресурс- картинки тригонометрической окружности.

5. http://festival.1september.ru/articles/586714/


2


Общая информация

Номер материала: ДВ-033256

Похожие материалы