Методические рекомендации "Тригонометрические функции произвольного действительного числа. Решение простейших тригонометрических уравнений"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 7

городского округа город Шарья Костромской области

Муниципальный методический конкурс

образовательных учреждений Костромской области

Номинация «Методические рекомендации»

Тема «Тригонометрические функции произвольного действительного числа.

 Решение простейших уравнений вида sinx=a, cosx=a при a »

Соколова Наталья Юрьевна,

учитель математики,

МБОУ СОШ №7, высшая

Шарья, 2015

Методические рекомендации по теме «Тригонометрические функции произвольного действительного числа. Решение  простейших уравнений вида sinx=a, cosx=a при a  »

Концептуальная основа

Один из объемных разделов алгебры и начала анализа посвящен тригонометрии. В первой части учащиеся знакомятся с функциональными аспектами (периодичность, формулы приведения, графики, простейшие уравнения), а во второй – с алгебраическими (тригонометрические тождества и преобразование, основные тригонометрические уравнения). На учеников обрушивается лавина нового и непонятного, в результате многие считают тригонометрию недосягаемой наукой. На итоговой аттестации в 11 классе в контрольно-измерительных материалах тем не менее включены задания по изучаемому разделу: простейшие тригонометрические уравнения, тригонометрические преобразование и вычисления, решение уравнений с выбором корней.

Таким образом, в ходе моей работы я пришла к выводу, что успех изучения тригонометрии зависит от простейших базовых знаний. Не следует «гнать» материал, не усвоив предыдущий. Мой девиз «Ни шагу назад». В результате кардинально меняется количество часов по темам, запланированных ранее. Большое внимание уделяю работе с тригонометрической окружностью – она первый помощник во многих вопросах тригонометрии. С первых уроках уже включаю решение простейших тригонометрических уравнений, доказывая, что умение работать с окружностью облегчает выполнение задания.

 Тема «Тригонометрические функции произвольного действительного числа» выбрана потому, что она быстро «проскакивает», и учащиеся не успевают осознать значимости данного материала. На вопросы «Какой знак имеет sin5» или «Расположите в порядке возрастания числа sin3; sin(-2) и   cos3» большая часть класса задают встречный вопрос – «Пять градусов?». Получив ответ «Нет, просто число 5», ученики не могут дать правильного ответа. Ученики видят только углы (0⁰,30⁰, 45⁰ и т.д.), но не видят действительные числа на тригонометрической окружности.  Рассматриваемый вопрос – важнейший элемент тригонометрии.

Вторая тема «Решение простейших уравнений вида sinx=a, cosx=a при a » позволяет подготовить учащихся к решению тригонометрических уравнений более сложного характера. В учебниках сразу рассматривают простейшие тригонометрические функции общего вида sinx=a, cosx=a и на учеников обрушивается лавина новых, достаточно сложных обозначений и понятий (arcsina, arccosa, arctga) и сложные формы сокращенной записи ответов, включающих (-1)^п  и ±.. Учащиеся начинают путаться и считают тригонометрию непреодолимо сложной. Если же «раздробить» процесс изучения решений простейших уравнений, рассматривая такие а, синусы и косинусы которых ученики давно знают, т.е. обходиться некоторое время без аркфункций, то изучение тригонометрии становится значительно эффективным. Таким образом, вводя постепенно тригонометрические формулы и упражняясь в их применении доказательстве тождеств, можно решать уравнения вида

(2 sin x +1)(cos3x-2)=0

4 sin² x -5sin x+1=0

Цели методических рекомендации

1. Показать, как устанавливается однозначное соответствие между произвольными числами и точками тригонометрической окружности. Научить, как объединять в одну запись две различные точки относительно оси ОХ или относительно оси ОY.

2. Развивать навыки изображения чисел заданных аналитической формулой на тригонометрической окружности, а также решения обратной задачи – по заданным на окружности точкам написать аналитические формулы соответствующих чисел

3. Укреплять и воспитывать у ученика веру в собственные интеллектуальные силы, позволяющие овладеть теми знаниями, которые казались непреодолимо сложными.

4. Подготовить учащихся к восприятию общего решения тригонометрических уравнений вида sinx=a, cosx=a, tgx=a на базе решения аналогичных уравнений с конкретными и известными значениями а.

 Четкая структура изложения материала позволит подвести к главным вопросам. В результате в уме ученика сложится определенная последовательность: от простого к сложному; знаю – узнал, знаю – применил.

Содержательная часть

Тема «Тригонометрические функции произвольного действительного числа.

Данные рекомендации содержат последовательное изучение темы. Основы тригонометрии были заложены  с 8 класса. Рекомендуется проследить введение  понятий тригонометрических функций.

1. Понятие тригонометрических функций

8 класс	Прямоугольный треугольник, рассматривая только синусы и косинусы острых углов, а углы измеряются в градусах.	Sinα = Cosα =,  где α – острый угол прямоугольного  треугольника в градусах, а – противоположный катет, b – прилежащий катет, с- гипотенуза.
	Основное тригонометрическое тождество - простое следствие теоремы Пифагора.	sin2α +cos2α =? + =  + = sin2α +cos2α= 1
10 класс	Определение тригонометрических функций тупых углов -  частный случай прямоугольного треугольника.	Рассматриваем половину окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащая выше оси ОХ.   Sinα=     cosα= Sinα=a     cosα=b Точка Рα имеет координаты(b;а), но точка Рα лежит на рассматриваемой половине окружности, а градусная мера угла РαОХ= α градусов,  то косинусом такого угла называется абсцисса точки Рα, а синусом угла – его ордината. Значит, синусом и косинусом угла будем называть координаты точки Рα(cosα;sinα) Теперь можно рассмотреть тригонометрические функции тупых углов

2. Рассмотреть единичную окружность с центром в начале координат (тригонометрическая окружность). Изображают углы в диапазоне от 0⁰ до 360⁰. Также синусом и косинусом угла α называют абсциссу и ординату такой точки P_α,что угол Р_αОХ= α, но в более широком диапазоне.

 

 Ввести два направления откладывания углов: против часов стрелки о оси ОХ – положительный угол (положительное направление), по часовой стрелке от оси ОХ – отрицательный угол (отрицательное направление).  

Из этого следует, что sin (-β)= -sinβ

                                       cos(-β)=cosβ

3.Важный момент в тригонометрии – новая мера угла – радианная мера.

Радианная мера угла – число, равное отношению длины дуги, на которую опирается центральный угол, к радиусу этой окружности.

Вспоминаем формулы: l = • α, где l- длина дуги, R – радиус, α- градусная мера угла.

Составить таблицу соответствия.

угол	Радианная мера угла (число)
3600	• 3600/R,= 2π радиан
2700	радиан
1800	π радиан
900	радиан
00	0 радиан
300	радиан
450	радиан
600	радиан

 Предостережение! Является ошибкой утверждение, что 180⁰ равно π радиан.

Правильно сказать! Угол, измеряемый 180 градусам, равен углу, измеряемому числом π радиан.

Запомнить! Радиан – это мера угла, выражаемое числом.

4. Составит два макета  числовой окружности.

Обратить внимание учащихся на коэффициенты чисел вида    на первом макете

Показать движение на втором макете: маленькие шаги  , большие шаги , два маленьких шага по  – это один большой  .

Важно! Отработать умение строить “макетные” точки и определять числа которым соответствуют заданные точки.

 Показывать, какие числа соответствуют выделенным точкам, как в положительном направлении, так и в отрицательном. Например, одна и та же точка на единичной окружности может разные «имена» ()

Ни шагу вперед! Если не отработаны местоположения главных точек. 

5. Обратить внимание на то, что чисел много, но обозначаться они будут через главные их «имена».

Если любое число а тригонометрической окружности соответствует числу α, то точка а соответствует и числу вида α+2πn,где n- некоторое целое число, α-макетная точка .

Вывод: а= α+2πn.

Например:  =

Снова отработать «макетные» точки, но уже применяя данную формулу. Учащиеся должны осознавать, что одна и та же точка имеет множество «имен», общая запись которых выглядит так:  ,   или , .

6. Научить использовать для вычисления синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов не таблицу, а снова тригонометрическую окружность.

Обратить внимание! Предложите выучить к одному из уроков всю таблицу, обязательно проверьте – результат не утешительный. Вы поставили перед учащимися проблему: как запомнить все эти значения? Выход - тригонометрическая окружность.

Важно! Научить пользоваться окружностью. Не ленитесь изображать ее на каждом уроке.

Следует отработать вычисления тригонометрических функций, используя окружность. Объяснить, для чего нужно – окружность всегда можно восстановить по памяти.

Ни шагу вперед! Отработать до автоматизма. Можно использовать любые карточки или дидактический материал. Полезно соединить с предыдущей темой. Например. Обозначьте на числовой окружности точки t, удовлетворяющие уравнению cos t =. Данные задания способствуют к дальнейшему освоению простейших уравнений.

Обратить внимание! На различное обозначение точек окружности – а, t, P_α, P_t  и другие.

7. Поставьте проблему:

Пример: Какая точка на окружности соответствует числу не знакомым «макетным» - числа 4 или 5, или -8.

Выход есть: научить рассуждать.

;

;

Решение.

4 – точка находится в III четверти, чуть дальше .

-8- точка находится III четверти, не доходя до -

Пример.

Найти знак sin28 и cos28.

Решение. Определить, в какой четверти находится точка тригонометрической окружности, поставленная числу 28.

284 – точка тригонометрической окружности, поставленная в соответствие числу 28, находится  во II четверти, чуть дальше  .

Поэтому sin28. Изобразить на окружности.

Важно! Учащихся должны осознать, что если научиться использовать тригонометрическую окружность, то изучение тригонометрических функций не вызывает затруднений.

Тема «Решение простейших тригонометрических уравнений

sinx=a, cosx=a при a ».

Учащиеся уже достаточно хорошо работают с единичной окружностью, знают «макетные» точки и их значения.

Пример 1. Найдите все такие действительные числа х, для которых

 cos x =.

Решение. Чаще всего, не долго думая, на этот вопрос отвечают так  х= 45⁰.

Важно! В задаче нужно найти действительные числа, а не градусы, во-вторых, нужно найти все такие числа.

Обратимся за помощью к тригонометрической окружности, вспомнив, что углу в 45⁰ соответствует число .

Изображая   на оси ОХ, нужно обратить внимание, что такой  косинус имеет число –.Ответ можно записать в виде совокупности, но он не будет верным в полном объеме.

Следует вспомнить формулу: а= α+2πn. Тогда

окончательный ответ выглядит так  

Важно! Обратите внимание на записи и . Для каждого корня свои значения целых чисел.

Пример 2. Найдие все действительные числа, удовлетворющие уравнению sin x = .

Решение. Вновь обратимся к триногоматрической окружности. На вертикалььной оси (иногда ее называю осью синусов) отметим точку  и через неё проведем горизонтальную прямою до пересечения с окружностьью в двух точках  и . Соответственно, числа  и  будут решениями исходго уравнения. Чобы получить все решения уравнения, снова вспоминаем формулу общих решений и записать совокупность двух бесконечных множеств.

Важно! Замена двух бесконечных числовых множеств более короткой записью   осуществляйте только тогда, когда отработайте  данные решения.

Для косинуса: точки симметричны относительно горизонтальной оси (оси косинусов), то задаваемое ими множество можно записать в виде

 х=,

Например,

                  х=,.

Для синусов: две точки тригонометрической окружности   P_α   и P_π-α симметричные относительно вертикальной оси (ось синусов), поставлены в соответствие бесконечному множеству чисел, задаваемому формулой.

х=(-1)ⁿα +πn, где .

Например,

                   х == (-1)ⁿ +πn, где .

Объяснить, что при   четном получим все решения верхней строки, при   нечетном получим все числа нижней строки.

Пример3. Решите уравнение 4 sin² x -5sin x+1=0 и найдите корни, принадлежащие отрезку.

Решение. Уравнение  соответствует  заданию части С1 ЕГЭ. Покажите три способа отбора корней – с помощь тригонометрической окружности;

                        с помощь числовой  прямой;

                        решением двойного неравенства.

Вывод – решение двойного неравенства даст сразу целочисленные значения параметра . Останется только подставить вместо  конкретные числа в общие решения.  Важно!  Выбор способа отбора корней останется за учащимися.

Обратите внимание! При решении простейших тригонометрических уравнений мы обошлись без сложных понятий арксинусов и арккосинусов.

Пример 4. Отрабатывайте простейшие уравнения на готовых чертежах.

Решение. Заполните нижний ряд таблицы номерами формул, в верхнем ряду – номера рисунков.

Заключение

Таким образом, данные рекомендации в дальнейшем облегчают работу введения новых понятий, например, арксинус. Умение работать с окружностью позволяет  найти значения любых тригонометрических функций любого действительного числа или любых градусных мер угла.

Важно! Следите за качеством усвоения каждой темы и тогда тригонометрия не будет непреодолимой наукой.

На первых уроках ежедневно проводите работу с тригонометрической окружностью.

Включайте с первых уроков тригонометрические уравнения С1.

Не торопите к переходу к записи общего решения тригонометрических уравнений.

При решении уравнений - чертить новую окружность для определения решений.

Помните! Только через деятельность усваивается материал – рассуждат  должен ученик, а учитель только сопровождает и направляет.

Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа 10 класс (профильный уровень): методическое пособие для учителя / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 2-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2010.- 239с.

2. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных   учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 8-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2011.- 424с.

3. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс(базовый уровень). Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений ./ Л.А. Александрова; под ред. А. Г. Мордковича.- 7-е изд., - М.: Мнемозина, 2012. 127с.

4.Интернет-ресурс- картинки тригонометрической окружности.

5. http://festival.1september.ru/articles/586714/