Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания для обучающихся на 1 курсе в техникуме предмету :"Математика: алгебра и начала математического анализа;геометрия"по теме:"Степени и корни"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические указания для обучающихся на 1 курсе в техникуме предмету :"Математика: алгебра и начала математического анализа;геометрия"по теме:"Степени и корни"

библиотека
материалов

Введение

Методические указания и типовые задания для выполнения самостоятельных работ предназначены для обучающихся в группах 1 курса по предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия», предназначены для реализации Федеральных государственных образовательных стандартов по профессиям 23.01.03 «Автомеханик», 23.01.06 «Машинист дорожных и строительных машин».

В образовании современного человека роль математической подготовки ставит следующие цели обучения математике: овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин; интеллектуальное развитие, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе; формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности; формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

В соответствии с государственными требованиями после изучения дисциплины, обучающиеся должны иметь представление: о роли и месте знаний предмета «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» при освоении общепрофессиональных и специальных дисциплин по выбранной профессии; о роли и месте математики в современном мире, общности ее понятий и представлений. Знать основные математические формулы и понятия по разделу «Корни, степени и логарифмы». Уметь использовать математические методы при решении прикладных задач. Основной формой проверки знаний и умений по математике является самостоятельная работа.

Одной из главных задач курса математики является достижение обучающимися такого уровня математической подготовки, который бы позволил им: успешно овладеть другими учебными дисциплинами; приобрести навыки решения типовых задач; подготовиться к экзаменам; продолжить дальнейшее образование.

В данной методической разработке по каждой из основных тем раздела сформулированы требования к уровню знаний, умений и навыков обучающихся. Для проверки практических умений и навыков разработаны задания, которые соотнесены со структурой теоретического курса и способствуют его усвоению и глубокому пониманию. Данная методическая разработка ставит своей целью оказание помощи обучающимся в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы.

К каждой теме раздела предложен образец решения основных заданий, который включает в себя этапы выполнения задания и служит образцом при оформлении письменных работ.


































Требования к оформлению самостоятельных работ

  1. Самостоятельная работа выполняется в учебной тетради в клетку (12-18 листов). Запись ведётся в каждой странице, без пропусков. Первая страница - титульный лист, установленного образца. Записывается номер работы и тема.

  2. Номер варианта самостоятельной работы определяется карточкой с вариантом заданий. Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается обучающемуся без оценки.

  3. Работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно и разборчиво.

  4. Решение задач желательно располагать в порядке номеров, указанных в карточке с вариантом, номера задач следует указывать перед условием.

  5. Условия задач должны быть обязательно переписаны полностью и в конце решения ставится ответ.

  6. Необходимо правильно употреблять математические символы.

  7. Не следует откладывать выполнение самостоятельной работы. Выполнить ее следует в сроки, предусмотренные графиком учебного процесса.

  8. Получив проверенную работу, по которой получена неудовлетворительная оценка, учащийся должен исправить и объяснить все ошибки на консультации или после занятия.

















Критерии выставления оценок

Ответ оценивается отметкой «5», если:


- работа выполнена полностью;
- в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).


Отметка «4» ставится, если:


- работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось

специальным объектом проверки);
- допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).


Отметка «3» ставится, если:


- допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.


Отметка «2» ставится, если:


- допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.


Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.









Общие методические указания

Выполнение самостоятельной работы подводит промежуточный итог знаний студентов по данной дисциплине. Эта самостоятельная работа имеет цель систематизации, закрепления и расширения теоретических знаний по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия». Выполнение самостоятельной работы выявляет умение обучающихся работать с литературой, применять на практике теоретические знания, грамотно и логично излагать свои мысли.

Лучшим способом закрепления учебного материала является решение задач. При решении задач следует придерживаться следующих рекомендаций:

  1. Внимательно изучите цель, поставленную в задаче, выясните, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с некоторыми элементами.

  2. Не следует приступать к решению задачи, не обдумав условия и не найдя плана решения.

  3. Попытайтесь соотнести данную задачу к какому-либо типу задач, способ решения которых вам известен.

  4. Если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на вопросы: что дано; что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти неизвестное.

  5. Попробуйте разделить данную задачу на серию вспомогательных, последовательное решение которых может составить решение данной задачи.

  6. Найдя план решения, выполните его, убедитесь в рациональности решения, произведите проверку решения данной задачи.

  7. Если решить задачу не удается, найдите в учебной литературе уже решенную задачу, похожую на данную, изучите внимательно ее решение и постарайтесь извлечь из него пользу для решения своей задачи. Решение должно быть доведено до окончательного ответа.

Тема: Степени и корни. Степень с натуральным, отрицательным и произвольным действительным показателем, ее свойства. Арифметический квадратный корень, его свойства

Обучающийся должен:

Знать: понятия степени с натуральным, целым отрицательным, нулевым, рациональным и действительным показателем, а также корня п–ой степени, арифметического квадратного корня; свойства степеней и корней.

Уметь: находить значения корня и степени на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней и корней;

Опр.: Степенью называется выражение вида: hello_html_m360a2fa1.png, где hello_html_m6a5903ae.png — основание степени; hello_html_m6549340a.png — показатель степени

 Свойства степеней:

1.  При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

                                                a m ·  a n  =  a m + n .

2.  При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.

hello_html_m66f2a8e1.gif

3.  Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

                                                     ( abc ) n = a n · b n · c n 

4.  Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

                                                        ( a / b ) n  a n  b n .

5.  При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

                                                           ( a m ) n  a m n .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р .  ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ²  / 15 ²  = 900 / 225 = 4 .

Опр. Корень hello_html_34dd843f.png-й степени из числа hello_html_m6a5903ae.png — это число, hello_html_34dd843f.png-я степень которого равна hello_html_m6a5903ae.png.

Опр. Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.

hello_html_m56b5a010.png, где hello_html_m199bb489.png, hello_html_74fdf8c1.png

Рассмотрим примеры:

а) hello_html_m5c6f7f65.png, т. к. hello_html_53bbe986.png; б) hello_html_68c467ab.png

в)hello_html_m338c0541.png, т. к. hello_html_48806990.png; г)  hello_html_122fd117.png, т. к. hello_html_m2e40d1f3.png

Опр. Корнем нечетной степени из отрицательного числа а при hello_html_m65c47e6.png называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

hello_html_71e7e95d.png

Рассмотрим примеры:

1.hello_html_64eb34c9.png, т. к. hello_html_46192c18.png;

2. hello_html_4bb2c76c.png, т. к. hello_html_6701b7c5.png;

Опр. Арифметический квадратный корень hello_html_4d4e5b96.png — это неотрицательное число, квадрат которого равен hello_html_m6a5903ae.pnga ≥ 0. При a < 0 — выражение hello_html_4d4e5b96.png не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу hello_html_m6a5903ae.png.

Корень из квадрата hello_html_m3e4fdbdc.jpg

Например, hello_html_m585aff56.png. А решения уравнения hello_html_m2229dd5d.png соответственно hello_html_59a0d382.png и hello_html_497cd3c8.png

Свойства корней: 

1.  Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

hello_html_5f08aa34.gif 

2.  Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

hello_html_1deccf5e.gif

3.  При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

              

hello_html_3841da27.gif

4.  Если увеличить степень корня в n  раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:          

hello_html_36bd7d46.gif

5.   Если уменьшить степень корня в n  раз и одновременно извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

                      hello_html_m2724374e.gif 

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

                                                                               hello_html_5b35bb79.gif

Теперь формула  a m : a n = a m - n может быть использована не только при  m , большем, чем  n , но и при  m ,  меньшем, чем  n .  

Пример:   a4 :  a7 = a 4 - 7 = a -3 .

Если мы хотим, чтобы формула  a m : a n = a m - n  была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

  Степень с нулевым показателем.  Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

Примеры:  2 0 = 1,   (  5 ) 0 = 1,   (  3 / 5 ) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.  Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а :

                         hello_html_m41a2bfd4.gif

Таким образом, для степени с натуральным и рациональным показателем полный список свойств выглядит так:

1)   hello_html_m34336c7f.png

2)   hello_html_m86f8958.png

3)   hello_html_m49810d72.png hello_html_m275a43dd.png

4)   hello_html_m25a126b2.png

5)   hello_html_49c5c494.png

6)   hello_html_4354af8f.png

7)   hello_html_m642239a6.png hello_html_m275a43dd.png

8)   hello_html_m1ce77679.png;

9)    hello_html_m694ba769.png

Примеры. Вычислить: а)hello_html_2ef2d5fe.jpg

б)hello_html_7e7e9ffe.png С другой стороны, hello_html_4208ac8d.png

в) hello_html_69048a54.png

г )hello_html_3416f829.png

д) hello_html_1c05d841.png

е) hello_html_4c198987.png

Упростите выражение:

а) hello_html_69a93799.png

hello_html_m2245a49.png.

б) hello_html_6d8181b.png

hello_html_7d8f8efd.png


Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1.Дайте понятие степени?

2. Дайте определение арифметического квадратного корня?

3. Перечислите основные свойства степени и корня.

4. Вычислить: 1) 134(3/4) ; 2) 7; 3) , 4) 9 ·

5. Возвести в степень:

а) hello_html_11a30664.png; б) hello_html_42ff270e.png; в) hello_html_2c5a7933.png; г) hello_html_m60666094.png

6. Вычислите: а) , б)

7. Запишите выражение в виде степени с дробным показателем.



Тема: Иррациональность в знаменателе

Обучающийся должен:

Знать: понятие иррациональности в знаменателе дроби и методы освобождения от иррациональности в знаменателе дроби.

Уметь: применять алгоритм при преобразовании выражений, содержащих иррациональность в знаменателе дроби, выполнять преобразования выражений.

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе.

Часто бывает необходимо освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. То есть заменить исходную дробь, содержащую иррациональность в знаменателе на тождественно равную ей дробь, которая иррациональность не содержит. Как это сделать?

Общее правило такое: нужно числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное знаменателю дроби.

Умножаем и числитель, и знаменатель для того, чтобы значение дроби осталось неизменным.

Примеры: а) 9/√5 = (9*√5)/(√5*√5) = (9√5)/5

б) (7√3)/(2√7) = (7√3 * √7)/(2√7*√7) = (7√21)/(2*7) = 7√21/14

Примеры: Преобразовать алгебраическое выражение к такому виду, чтобы знаменатель дроби не содержал знаков квадратных корней:

hello_html_737b363a.gif

Решение:

Используем основное свойство дроби, то есть подбираем такой множитель, чтобы при умножении на него в знаменателе дроби не оказалось квадратных корней.

hello_html_7c159fa8.gif

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:

  1. Разложить знаменатель дроби на множители.

  2. Если знаменатель имеет вид hello_html_666855e9.gif или содержит множитель hello_html_666855e9.gif, то числитель и знаменатель следует умножить на hello_html_666855e9.gif. Если знаменатель имеет вид hello_html_35c046b6.gif или hello_html_m1045fae4.gif или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на hello_html_m1045fae4.gif или на hello_html_35c046b6.gif.

  3. Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь.

Выражения вида hello_html_m1045fae4.gif иhello_html_35c046b6.gif  называются сопряженными.

Выражение А называется сопряженным иррациональному выражению В, если произведение АВ не содержит знака корня, то есть произведение АВ является рациональным числом.

Рассмотрим примеры сопряженных выражений.

1. Иррациональное выражение В содержит квадратный корень.

Возможны два случая:

a) hello_html_m794e6356.png. В этом случае hello_html_mec94396.png: hello_html_68da9fe.png

Например, чтобы исключить иррациональность из знаменателя в дроби hello_html_4efc8321.png, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на hello_html_608f90a2.png, получим hello_html_1726de4e.png

Обязательно умножаем на выражение, сопряженное знаменателю и числитель, и знаменатель дроби - только в этом случае мы получим дробь, тождественно равную исходной. 

б) hello_html_m7f7c2425.png, hello_html_1a458d2f.pnghello_html_12d5dff5.png

В этом случае сопряженным выражением будет дополняющее hello_html_m7f7c2425.png до разности квадратов:

Для выражения hello_html_m1d40739d.png сопряженным будет hello_html_m43afd33a.png: hello_html_57b250ca.png

Соответственно, для выражения hello_html_m43afd33a.png сопряженным будет hello_html_m1d40739d.png: hello_html_225498d7.png

Например, исключим иррациональность из знаменателя дроби hello_html_72e66ce2.png

Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на hello_html_m55997ca4.png

Получим: hello_html_4239f006.png 

2.  Иррациональное выражение В содержит корень n-й степени: hello_html_6e81c52a.png

В этом случае сопряженное выражение hello_html_466baa6d.png:

hello_html_m54bf3b20.png

Пример: исключим иррациональность из знаменателя дроби hello_html_17c35f25.png

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение hello_html_3fa9a57.png. Получим: hello_html_12d5dff5.png

hello_html_m21dc4d10.png

3. Иррациональное выражение В является одним из множителей в разложении на множители разности или суммы кубов. В этом случае сопряженным ему выражением будет второй множитель:

hello_html_3279711f.png

hello_html_75f82fcd.png

Исключим иррациональность из знаменателя дроби:

hello_html_5c040c9e.png

Рассмотрим пример упрощения выражения, содержащего иррациональность в знаменателе дроби.

Найти значение выражения:

hello_html_m6941dce0.png

Если нужно упростить выражение, содержащее иррациональность в знаменателе, то первым делом исключаем иррациональность из знаменателя, даже если кажется, что без этого можно обойтись.

Итак, исключим иррациональность из знаменателя первой и второй дроби:

hello_html_m6941dce0.pnghello_html_34871c98.png

hello_html_7709f814.png

Подставим полученные выражения в исходное:

hello_html_m615f3f43.pnghello_html_m6b5dbd91.pnghello_html_m326ae6d0.pnghello_html_742839e0.png

Итак,

hello_html_mb527977.png

Пример: Упростить выражение.

hello_html_m7ae55b1.gif

Решение:

hello_html_42d9d822.gif

Ответ: hello_html_48e9e7dd.gif

Вопросы и упражнения для самоконтроля.

Задание 1. Освободите выражение от иррациональности в знаменателе:

hello_html_8993441.gif

3. Что необходимо сделать для избавления от иррациональности в знаменателе?

Тема: Иррациональные уравнения и способы их решения

Обучающийся должен:

Знать: определение и способы решения иррациональных уравнений.

Уметь: решать иррациональные уравнения разных видов, а также аналогичные неравенства и системы; использовать различные способы при решении иррациональных уравнений.

Опр. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. 

Примеры:

1.      hello_html_m1b6c2539.png, hello_html_m5032b064.png, hello_html_m73d76976.png; ответ: hello_html_64c59637.png;

2.      hello_html_26198125.png; ответ: hello_html_m8a2c37c.png;

3.      hello_html_m684458d0.png

hello_html_m422628d9.png

hello_html_f75b9d2.png

ответ: hello_html_m2aefef20.png

4.      hello_html_m60eb8f2c.png; ответ: hello_html_m639479d3.png

Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:

                                                        ,                                  (*)

при решении которого важную роль играет четность или нечетность.

         Если  nнечетное, то уравнение (*) равносильно уравнению:


         Если nчетное, то, так как корень считается арифметическим,  необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений): . Уравнение (*) в этом случае равносильно системе:

hello_html_m24f4669b.gif

Способы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (определение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Замечание: после возведения в квадрат и решения иррационального уравнения, необходимо выполнить проверку подстановкой полученных корней в исходное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_265cb852.gif

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат: x2 - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых: x
2 = 4.
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня  -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x
1 = -2   hello_html_m5c5ee4f2.gif - истинно:
При x
2 = -2  hello_html_m2a8eca1f.gif - истинно. 
Отсюда  следует, что исходное иррациональное уравнение   имеет два  корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_4b8f0c98.gif.

Решение:

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполняться два условия:

а) x - 9 hello_html_124513db.gif0;

x hello_html_124513db.gif 9;

б) 1 - x hello_html_124513db.gif 0;

-x hello_html_124513db.gif-1 ;

x hello_html_m2c29d770.gif 1.

ОДЗ данного уранения: xhello_html_m24c2ff89.gifhello_html_5f99808.gif .

Ответ: корней нет.

Пример 3 . Решить уравнение hello_html_m4d97c62f.gif + hello_html_488bb4ee.gif = 7.

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним  приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение hello_html_m4d97c62f.gifhello_html_m419efed4.gifhello_html_488bb4ee.gif = 12 (1), являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение(х + 5)(20 - х) = 144,  являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x2 - 15x + 44 =0. 

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x1 = 4, х2= 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: х1 = 4, х2= 11.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 4. Решить уравнение hello_html_m77cd13b7.gif - hello_html_m1fcbb266.gif = 3.

Решение:

Уединив первый радикал, получаем уравнение
hello_html_m77cd13b7.gif = hello_html_m1fcbb266.gif + 3, равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

x2 + 5x + 2 = x2 - 3x + 3 + 6hello_html_m1fcbb266.gif, равносильное уравнению

4x - 5 = 3hello_html_m1fcbb266.gif (1). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения  в квадрат, приходим к уравнению
16x
2 - 40x + 25 = 9(x2 - 3х + 3), или7x2 - 13x - 2 = 0.

 Это уравнение является следствием уравнения (1) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x2  1/7 - не удовлетворяет.

Ответ: x = 2.

При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

Пример 5. Решить уравнение 2x2 - 6x +  hello_html_72aa1e2b.gif + 2 = 0.

Решение.

Введем вспомогательную переменную. Пусть y = hello_html_72aa1e2b.gif, где y hello_html_124513db.gif 0, тогда получим уравнение 2y2 + y - 10 = 0;
y
1 = 2; y2 = - 5/2. Второй корень не удовлетворяет условию y hello_html_124513db.gif 0.
Возвращаемся к x:
hello_html_72aa1e2b.gif = 2;
x
2 - 3x + 6 = 4; 
x
2 -3x + 2 = 0; 
x
1 = 1; x2 = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями исходного уравнения.
Ответ: x
1 = 1; x2 = 2.

Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1. Какие уравнения называют иррациональными?

2. Перечислите способы решения иррациональных уравнений.

3. Решите иррациональные уравнения: 1) = x – 8; 2) 3= 9;

3);; 5)=

4.      Решите уравнения:

а) hello_html_41a5d18a.png; б) hello_html_4724fcad.png; в) hello_html_eb66a64.png; г) hello_html_m6a79754a.png



















Список использованной литературы:

1.Башмаков М.И. Математика /Учебник для начального и среднего профессионального образования/ - М.: Академия, 2013

2.Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика – М.: «Дрофа», 2010

3.Богомолов Н.В., Сборник задач по математике – М.: «Дрофа», 2010

4.Виленкин И.В, Гробер В.М. Высшая математика - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2002

5.Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики - М.: «Академия», 2010

6. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики - М.: «Наука», 1970

7.Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2008

8.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина, 2013

9.Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2010

10. Пехлецкий И. Д. Математика - М.: «Академия», 2010

11. Погорелов А.В. Геометрия, 10-11 /Учебник/ - М.: «Просвещение», 2006

12. Яковлев Г.Н. и др. Алгебра и начала анализа, часть 1 - М.: «Наука», 1981

13. Яковлев Г.Н. и др. Алгебра и начала анализа, часть 2 - М.: «Наука», 1978







Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 23.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров120
Номер материала ДБ-285065
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх