Методические указания для обучающихся по выполнению практических работ по дисциплине Математика (раздел геометрия)

Областное государственное автономное профессиональное  образовательное учреждение

Методические указания для обучающихся

по выполнению  практических работ

по дисциплине  Математика

для специальности

23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

(геометрия)

2015

«РАССМОТРЕНО»   пРЕДСЕДАТЕЛЬ МК ____________  ________________________________ пРОТОКОЛ № ОТ « ___» ______________2015 ГОД

«сОГЛАСОВАНО» зАМЕСТИТЕЛЬ ДИРЕКТОРА ПО уМр _____________ _________________________  «____»  ______________2015 Г

Методические указания для обучающихся по выполнению практических работ для специальности 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

  составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине  Математика

Составитель:

Содержание

1.Пояснительная записка ..……………………………………………...………………..…….4

2. Практическая работа №1 Тема: « Многогранники»……………….…….…………...…...6

3. Практическая работа № 2 Тема: «Цилиндр.  Конус. »…………………………………...8

4. Практическая работа №3 Тема: « Шар. Сфера.» ……….……………..……..…………..10

5. Практическая работа №4 Тема: « Объем параллелепипеда» …………………………...12

6. Практическая работа №5 Тема: « Объем призмы и пирамиды» ……………………….13

7. Практическая работа №6 Тема: « Объем цилиндра и конуса» …………………………16

8. Практическая работа №7 Тема: « Объемы тел вращения»…………...…………………17

9. Практическая работа №8 Тема: « Поверхности тел вращения» …….………………….19

11. Литература и интернет - ресурсы………………………………………………………… 42

Пояснительная записка.

Представлены практические занятия  по разделу геометрия   по следующим темам дисциплины  Математика:

Тема Многогранники

Тема Тела и поверхности вращения.

Тема Объемы.

 На практическое занятие отводится  2 часа

    Выполнение обучающимися  практических работ направлено на:

— обобщение, систематизацию, углубление теоретических знаний;

— формирование умений применять полученные знания в практической деятельности;

— развитие аналитических, проектировочных, конструктивных умений;

 —  выработку самостоятельности, ответственности, точности и творческой инициативы;

. — формирование общих компетенций.

В результате проведения практических занятий по дисциплине студент должен знать и уметь:

- выполнять чертеж по условию стереометрической  задачи; понимать стереометрические чертежи;решать не сложные задачи на вычисления геометрических величин; строить простейшие сечения геометрических тел.

Практическая работа по математике заключается в выполнении обучающимися под руководством преподавателя комплекса учебных заданий, направленных на усвоение основ учебной дисциплины  Математика, приобретение практических навыков решения примеров и задач. Выполнение практической работы обучающиеся  производят в письменном виде в отдельной тетради для практических работ  и сдают на проверку преподавателю. Преподаватель, ведущий данную дисциплину, проверяет работы в тетради.

Содержанием практических занятий являются

— Работа со справочниками, таблицами, теоретическим материалом.

— Выполнение вычислений, расчетов.

Необходимые структурные элементы практического занятия:

— Инструктаж, проводимый преподавателем;

— Самостоятельная деятельность обучающихся;

— Анализ и оценка выполненных работ и степени овладения обучающимися запланированных умений.

Перед выполнением практической  работы  проводится проверка знаний студентов на предмет их готовности к выполнению задания.

Методические  указания предназначены для оказания помощи обучающимся  при выполнении практических работ по дисциплине   Математика. 

Методические  указания  по выполнению практических работ, расположены  в порядке проведения. 

Методические указания к выполнению практических работ содержат:

• Тему занятия;
• Цель занятия;

·         Обеспечение практической работы:

·      Краткий справочный материал.

·      Пояснения (основные формулы, необходимые для выполнения практического занятия);

·      Разобранные примеры;

·      Контрольные вопросы.

Критерии оценки выполнения  обучающимися практических  работ.

Оценка знаний студентов производится по пятибалльной системе.

Критерии оценки практических заданий.

Отметка «5» ставится, если:

       - работа выполнена полностью;

       - в логических  рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

       - в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

- работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

       - допущена одна существенная ошибка или два-три несущественных ошибки;

       -  правильно выполнено более 75%  заданий.

Отметка «3» ставится, если:

         - допущены более одной существенной ошибки или более двух-трех  несущественных ошибок, но обучающийся  владеет обязательными  умениями по проверяемой теме;

         - при этом правильно выполнено не менее половины работы. 

Отметка «2» ставится, если:

        -   допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, связанные с незнанием, непониманием обучающимися  основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов решения практических заданий, предусмотренных программой.

К категории несущественных ошибок следует отнести погрешности, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к искажению смысла задания и его выполнения.  

При наличии существенной ошибки задание считается невыполненным.

Выполнять пропущенные работы по уважительным и неуважительным причинам обучающийся  может на дополнительных занятиях (согласно расписанию), в читальном зале или дома.

Практическая работа №1

Тема: « Многогранники»

Цели: способствовать развитию логического мышления и пространственного воображения обучающихся, формировать общие компитенции при решении задач по теме многогранники.

Справочный материал.

 

Многогранник  - это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника.

Наиболее часто встречающиеся многогранники: пирамиды, призмы, параллелепипеды. На самом деле параллелепипед — это частный случай призмы.

Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники  с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью.

Призма - многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом.

  

Секущая плоскость- это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника. 

Задачи для практической работы:

Задача 1.В прямой треугольной призме стороны основания равны 10см,17см,21см, а высота призмы 18см. найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания.

Задача 2.Боковое ребро наклонной призмы равно 15см и наклонено к плоскости основания под углом 30º. Найдите высоту призмы.

Задача 3 В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37см,13см,40см. найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим ребром.

Задача 4. У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м², 2 м² , 3 м². Чему равна полная поверхность параллелепипеда?

Задача 5. В прямом параллелепипеде стороны оснований 6м и8 м образуют угол между ними 60º, боковое ребро равно 5м. Найдите  полную поверхность этого параллелепипеда.

Задача 6. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основание равные двугранные углы, содержащие по 45º. Найдите высоту пирамиды.

Задача 7. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60º. Найдите высоту пирамиды.

Задача 8. Основание пирамиды – параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Контрольные вопросы:

1.         Объясните, что такое многогранник (вершины, ребра, грани)?

2.         Объясните, что такое выпуклый многогранник?

3.         Что такое пирамида, призма, параллелепипед?

4.         Какая призма называется прямой, наклонной?

5.         Что такое усеченная пирамида?

Практическая работа № 2

Тема: «Цилиндр.  Конус. »

 Цели:  формировать умения решать задачи на  вычисление площадей основания, осевого сечения, площади боковой поверхности, площади полной поверхности.

Справочный материал и примеры.

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

 Эти круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, — образующими цилиндра.

Если образующие перпендикулярны основаниям, то цилиндр называется прямым цилиндром.

 Прямой цилиндр можно получить, если свернуть в трубочку прямоугольный лист бумаги и закрыть кругами отверстия с двух концов.

Высота цилиндра — это отрезок, соединяющий основания и перпендикулярный основаниям цилиндра.

Каждая образующая прямого цилиндра равна высоте.

Если h — высота цилиндра, а r — радиус основания цилиндра, то  площадь его поверхности можно легко найти с помощью следующих формул:

• Площадь боковой поверхности цилиндра: Sбок=2πrh,
• Площадь полной поверхности: S=2πr(r+h).

Пример

Нефтехранилища делают в форме цилиндра из листовой стали (в верхней части лист тоньше, чем в нижней, что соответсвует распределению нагрузки на стенку). Первое такое нефтехранилище построил Владимир Шухов в 1878 году (тот самый, который потом построил Шаболовскую башню в Москве). До него нефть в России хранилась в прудах под открытым небом, а в Америке — в прямоугольных резервуарах. Как показал Шухов, форма цилиндра оптимальная с точки зрения экономии стали. Поэтому такие нефтехранилища сейчас используются по всему миру.

Чему (примерно) равен объем нефтехранилища диаметром 60 метров и высотой 18 метров?

Решение:

По формуле V=πr2h получим 3,1416·302·18≈50894м³.

Конус — это тело, которое получается при объединении всех отрезков, соединяющих точки круга (основание конуса) с вершиной конуса.

Прямой конус — это конус, вершина которого лежит на прямой, перпендикулярной основанию и проходящей через центр основания. Эта прямая называется осью прямого конуса.

Высота конуса — это отрезок, проведенный из вершины конуса к основанию перпендикулярно основанию конуса. Отрезок, который соединяет вершину конуса с окружностью в основании, называется образующей конуса.

Прямой конус можно получить, если из бумажного круга вырезать сектор (с любым углом от 0 до 2π), потом свернуть его в рупор, склеить по разрезу, а круглое отверстие закрыть кругом.

Если l — длина образующей конуса, h — высота конуса, а r — радиус основания конуса, то

• Площадь боковой поверхности конуса: Sбок=πrl,
• Площадь полной поверхности: S=πr(r+l),
• Образующая конуса: l=√h ²+ r ².
• Площадь круга S=πr²

Задачи для практической работы:

1. Образующая конуса равна 18 см и наклонена к плоскости основания под углом 60.Найдите площадь осевого сечения.

2.Диаметр основания цилиндра равен 3 см, высота 9 см. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра.

3.Диагональ осевого сечения цилиндра равна 4 дм. Угол между этой диагональю и плоскостью основания цилиндра 45⁰. Вычислите длину высоты цилиндра и радиус основания.

4.Прямоугольный параллелепипед со сторонами 6 дм и 8 дм и высотой, равной 14 дм, вписан в цилиндр. Найдите радиус основания цилиндра, площадь осевого сечения.

5.В конус вписана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2 6 см. Боковое ребро пирамиды наклонено к основанию пирамиды под углом 450. Найдите: 1) образующую конуса; 2) высоту конуса; 3) площадь основания конуса.

6.Радиусы оснований усеченного конуса 9 и 6 м, высота 4 м. Найдите образующую.

Контрольные вопросы:

1.      Объясните, что такое круговой цилиндр (образующая цилиндра, основания цилиндра, боковая поверхность цилиндра)?

2.      Какой цилиндр называется прямым?

3.      Что такое радиус цилиндра, высота цилиндра, ось цилиндра, осевое сечение цилиндра?

4.      Что такое конус, вершина конуса, образующая конуса, основание конуса, боковая поверхность конуса?

5.      Какой конус называется прямым?

6.      Что такое высота конуса, ось конуса, осевое сечение конуса?

7.      Что такое усеченный конус?

Практическая работа №3

Тема: « Шар. Сфера.»

Цели: способствовать развитию логического мышления и пространственного воображения студентов при решении задач по изучаемой теме. 

Справочный материал.

            Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Линия пересечения двух сфер есть окружность.

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (х_0;у₀;z₀) имеет вид (х-х₀)²+(у-у₀)²+(z-z)²= R²

Площадь сферы радиуса R: S=4πR²

Площадь круга радиуса R: S=πR²

Задачи для практической работы:

Задача 1. Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения ( рис. 1).

Рис. 1.

Задача 2. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.  ( рис. 2).

Рис. 2.

Задача 3. Вершины треугольника АВС лежат на сфере, радиус которой равен 13. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ = 6, ВС = 8, АС=10.

Рис. 3.

Задача 4. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 14 см, 14 см и 15 см (см. рис. 4).

Рис. 4.

Задача 5. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если:

А (3; -2;1), R=.

Задача 6. Напишите уравнение сферы с центром А (1;-1;2), проходящее через точку N(4;2;-1).

Контрольные вопросы:

1.                  Что такое шар?

2.                  Что такое сфера?

3.                  Что такое радиус сферы?

4.                  Уравнение сферы?

5.                  Что является сечением шара в плоскости?

6.                  Какое сечение называют большим кругом шара?

7.                  Какая плоскость называется касательной в сфере?

8.                  Чему равна площадь сферы?

9.                  Какой многогранник называется описанным около сферы?

10.              Какой многогранник называется вписанным в сферу?

Практическая работа №4

Тема: « Объем параллелепипеда»

Цели: способствовать развитию логического мышления и пространственного воображения обучающихся при решении задач по изучаемой теме. 

Справочный материал.

Объём— количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Эту характеристику можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. Единицей измерения объемов будем считать куб, ребро которого равно единице измерения длины. В СИ основная единица измерения объёма — кубический метр. Kубический метр — куб, ребро которого равно 1м. Kубический метр обозначают м³.

            Применяются также производные от основной единицы измерения: кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр (литр), кубический километр. Встречаются и внесистемные единицы измерения объёма жидкостей: баррель, пинта, кварта, кубический дюйм.

Cвойства объемов

1.      Объем тела есть неотрицательное число.

2. Равные геометрические тела имеют равные объемы.

3. Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих.

Призма — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы.

 Параллелепипед — призма, основанием которой является параллелограмм.

 Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани — прямоугольники.

 Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

 Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

 V=a*b*h
Объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

V=S_{(основ.)}*h

Задачи для практической работы:

Задача 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 140 см3. Два его измерения равны 5 см и 7 см. Чему равно третье измерение?

Задача 2. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10м³ на площадке размером 2,5 на 1,75 м, служащей для него дном. Найти высоту резервуара.

Задача 3. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15м, 50м, 36м. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Задача 4. Три латунных куба с ребрами 3см, 4см, 5см переплавлены в один куб.. Какое ребро у этого куба.

Задача 5. В прямом параллелепипеде стороны основания  см и 5см образуют угол 45º . Меньшая диагональ параллелепипеда  равна 7 см. Найдите его объем.

Контрольные вопросы:

1.      Сформулируйте основные свойства объема.

2.      Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда?

3.      Чему равен объем любого  параллелепипеда?

Практическая работа №5

Тема: « Объем призмы и пирамиды»

Цели: способствовать развитию логического мышления и пространственного воображения обучающихся при решении задач на нахождение объема пирамиды и призмы. 

Справочный материал.

Объём— количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Эту характеристику можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. Единицей измерения объемов будем считать куб, ребро которого равно единице измерения длины. В СИ основная единица измерения объёма — кубический метр. Kубический метр — куб, ребро которого равно 1м. Kубический метр обозначают м³.

            Применяются также производные от основной единицы измерения: кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр (литр), кубический километр. Встречаются и внесистемные единицы измерения объёма жидкостей: баррель, пинта, кварта, кубический дюйм.

Cвойства объемов

1.      Объем тела есть неотрицательное число.

2. Равные геометрические тела имеют равные объемы.

3. Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих.

Призма — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы.

Объём прямой призмы находится по формуле:    V=Sосн.⋅H

Основанием призмы может быть любой n-угольник, поэтому важно знать формулы вычисления их площадей.

 Важные формулы нахождения площади n-угольников  

квадрат	S=a2
прямоугольник	S=a⋅b
ромб	S=a⋅b⋅sinα	S=a⋅h	S=d1⋅d22
параллелограмм	S=a⋅b⋅sinα	S=a⋅h
равносторонний треугольник	S= a2
прямоугольный треугольник	S=a⋅b	S=a⋅h
произвольный треугольник	S=a⋅b⋅sinα	S=a⋅h	S=
трапеция	S=a+b)⋅h

Наклонная призма — это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию. Вcе бoковые грани наклонной призмы являются параллелограммами. Боковые рёбра параллельны между собой и равны. Высота наклонной призмы-  перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания. Часто перпендикуляр проводят с одной из вершин верхнего основания.

 Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту

V=S(основ)⋅h

Объём наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Многогранник, одна грань которого является n-угольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой, n-угольник называется основанием пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.

В зависимости от количества сторон основания, пирамиды могут быть треугольными, четырёхугольными, пятиугольными и т. д.

Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Объём пирамиды V=S_(основ)*h, где h— высота пирамиды.

Формула объёма используется для пирамид любого вида.

Задачи для практической работы:

Задача1.Найдите объем прямой призмы АВСА₁В₁С₁ если: угол ВАС = 120°, АВ = 5 см, АС = 3 см и наибольшая из площадей боковых граней S_гр=35 см².

Задача2. Пусть дана наклонная треугольная призма АВСА₁В₁С₁. В основании лежит треугольник АВС со сторонами АВ = 10 см, ВС = 10 см, АС = 12 см. Боковое ребро ВВ₁ равно 8 см, которое наклонено к плоскости основания под углом 60˚. Необходимо определить объём призмы.

Рисунок к задаче	Краткое условие
	Дано: АВСА1В1С1 – призма АВ = 10 см ВС = 10 см АС = 12 см ВВ1 = 8 см α = 60˚ Найти: V - ? см3

Задача 3.Призма АВСDA₁B₁C₁D_1, в основании которой лежит прямоугольник АВСD с известными сторонами 6 и 8 см. Боковая грань AA₁В₁В – квадрат. Известно, что угол наклона боковой грани к плоскости основания (α) равен 60˚. Определить объём призмы .

Рисунок к задаче	Краткое условие
	Дано: ABCDA1B1C1D1 – призма ABCD – прямоугольник АВ = 6 см, AD = 8 см АА1В1В – квадрат АН ┴ABCD ∠ α = 60˚ Найти: V - ? см3

Задача 4. Найти объем пирамиды . Дана правильная четырехугольная пирамида(рис. 4). Известно, что угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет  Высота . Необходимо найти объем пирамиды.

Рис. 4

Дано:  – правильная пирамида

Задача 5 Основание пирамиды – равнобедренный треугольник со сторонами 6см, 6см, 8см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.

Контрольные вопросы:

1.      Сформулируйте основные свойства объема.

2.      Чему равен объем прямоугольного призмы?

3.      Чему равен объем наклонной призмы?

4.      Чему равен объем пирамиды?

5.      Назовите формулы для нахождения  площади треугольника?

6.      Назовите формулы для нахождения  площади четырехугольника?

Практическая работа №6

Тема: « Объем цилиндра и конуса»

Цели: способствовать развитию логического мышления и пространственного воображения обучающихся при решении задач на нахождение объема цилиндра и конуса.   

Справочный материал.

Объём— количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Эту характеристику можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. Единицей измерения объемов будем считать куб, ребро которого равно единице измерения длины. В СИ основная единица измерения объёма — кубический метр. Kубический метр — куб, ребро которого равно 1м. Kубический метр обозначают м³.

            Применяются также производные от основной единицы измерения: кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр (литр), кубический километр. Встречаются и внесистемные единицы измерения объёма жидкостей: баррель, пинта, кварта, кубический дюйм.

Cвойства объемов

1.      Объем тела есть неотрицательное число.

2.      Равные геометрические тела имеют равные объемы.

3.      Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих.

Основные формулы

Цилиндр (R — радиус основания, H — высота):

V = R²H;

Sб = 2RH;

S_пп = 2R(R + H).

Конус (R — радиус основания, L — образующая, h — высота конуса):

S_б = RL;

S_пп = R² + RL = R(R + L);

V = R²h/3.

Усеченный конус (R₁ и R₂ — радиусы оснований; L — образующая, h — высота конуса):

S_{б ус} = L(R₁ + R₂);

S_{пп ус} = (R₁L + R₂L + R₂² + R₂²);

V_ус = h(R₁² + R₂²)/3.

Задачи для практической работы:

Задача 1. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2м, а образующая 2,5 м. Найдите объем кучи щебня.

Задача 2. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9м² . Найдите объем конуса.

Задача 3. Площадь основания цилиндра равна 25 см². А площадь осевого сечения равна 16 см². Найдите объем цилиндра.

Задача 4. Стог сена  имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5м, высота 4м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2м. Плотность сена 0,03г/см³. Определите массу стога сена.

Задача 5. Сколько в связке электродов для   электросварки, если их общая масса 10 кг, а каждый электрод – кусок стальной проволоки длиной 45 см и диаметром 6 мм? Плотность стали 7600 кг/м³.

Контрольные вопросы:

1.      Сформулируйте основные свойства объема.

2.      Чему равен объем цилиндра?

3.      Чему равен объем конуса?

Практическая работа №7

Тема: « Объемы тел вращения»

Цели: способствовать развитию логического мышления и пространственного воображения обучающихся, формировать общие компетенции при решении задач на нахождение объемов тел вращения. 

Справочный материал.

Задачи для практической работы:

Задача 1. Найдите радиус и объем шара, если площадь окружности вписанной  в шар равна 64 π см², центр окружности совпадает с центром шара.

Задача 2. Шар имеет два сечения. Радиус первого сечения равен 9см, радиус второго -  12см. Расстояние между сечениями 3см. Найдите объем шара.

Задача 3. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

Задача 4. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 156. Найти объем конуса.

Задача 5. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 6. Найдите объем шара.

рис.1                      рис.2       рис.3        

            

           
       Рис.4                                                                                            рис.5

Контрольные вопросы:

1.      Сформулируйте основные свойства объема.

2.      Чему равен объем цилиндра?

3.      Чему равен объем конуса?

4.      Чему равен объем шара?

Практическая работа №8

Тема: « Поверхности тел вращения»

Цели: способствовать развитию логического мышления и пространственного воображения обучающихся, формировать общие компетенции при решении задач по изучаемой теме. 

Справочный материал.

Задачи для практической работы:

Задача 1. Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равен сумме площадей их поверхностей.

Задача 2. Площадь большого круга  шара равна 1. Найдите площадь поверхности шара.

Задача 3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18π, а диаметр основания 9. Найдите высоту цилиндра.

Задача 4. Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Задача 5. Площадь полной поверхности конуса равна 148. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

                          Рис.1                                                           рис.2

Рис.3

                                                              Рис.4

Рис.5

Контрольные вопросы:

1.      Как вычислить полную поверхность цилиндра?

2.      Как вычислить полную поверхность конуса?

3.      Как вычислить полную поверхность шара?

Литература:

1.      Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10—11 кл. общеобразоват. уч­реждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. — М.: Просвещение, 2010.

2.      Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7—11 кл. общеобразоват. уч­реждений. — М.: Просвещение, 2010.

3.      Алгебра и начала математического анализа: учебник для 11 кл. общеобразоват. Учреждений: базовый и профильный уровни/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетняков, А.В. Шевкин.- М.: Просвещение, 2008.

4.      Алгебра и начала математического анализа: учебник для 10 кл. общеобразоват. Учреждений: базовый и профильный уровни/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетняков, А.В. Шевкин.- М.: Просвещение, 2008.

5.      Богомолов Н.В., П.И. Самойленко Математика: учебник для бакалавров М.: Издательство Юрайт, 2012г.-396с.

Интернет - ресурсы

1.      Вся элементарная математика:  http://www.bymath.net/

2.      Генератор вариантов ЕГЭ  http://alexlarin.net/ege/matem/main.html.

3.      Егэ-тренер. Видеоуроки по математике. egetrener.ru