Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания для обучающихся по выполнению самостоятельных работ по дисциплине ЕН.01 Математика

Методические указания для обучающихся по выполнению самостоятельных работ по дисциплине ЕН.01 Математика

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Областное государственное автономное профессиональное образовательное учреждение















Методические указания для обучающихся

по выполнению самостоятельных работ

по дисциплине ЕН.01 Математика

для специальности

23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта













201_


Методические указания для обучающихся по выполнению самостоятельных работ для специальности 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине ЕН.01Математика









УТВЕРЖДАЮ

зам. директора по УР

___________________

___________________

«31» августа 2016 г.





Организация-разработчик:


Разработчик:


РАССМОТРЕНО

на заседании МК преподавателей

дисциплин общеобразовательного

цикла, протокол № _1

от « 31» августа 2016 г.

председатель МК

___________________

___________________












Содержание


1.Пояснительная записка ..……………………………………………...………………..…….4


1. Самостоятельная работа №1 «Вычисление пределов» ………...………………………..6


2. Самостоятельная работа №2 «Вычисление и применение производной функций»……….…………………………………………………………………………….....12


3. Самостоятельная работа №3 «Вычисление неопределенных и определенных итегралов. Применение интегралов»………………………………………………….…………………..20


4. Самостоятельная работа №4 «Решение дифференциальных уравнений»…………….30


5. Самостоятельная работа №5 «Комбинаторика и вероятности событий» ……………..35


6. Литература и интернет - ресурсы…………………………………………………………..43
































Пояснительная записка

ЕН.01Математика в соответствии с ФГОС СПО по специальности 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта входит в состав математического и общего естественнонаучного учебного цикла.

Целью данных методических рекомендаций является организация преподавателем эффективной внеаудиторной самостоятельной работы студентов по учебной дисциплине ЕН.01Математика как средства, способствующего повышению качества образовательного процесса.

Внеаудиторная работа является одним из видов учебных занятий студентов, выполняемых под руководством преподавателя, но без его непосредственного участия.

Основные цели внеаудиторной (самостоятельной) работы:

- углубление и расширение теоретических знаний, формирование умений использовать справочную документацию и дополнительную литературу;

- развитие познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирование самостоятельного мышления.

Задачи:

- систематизировать и закрепить знания и практические умения студентов;

- сформировать общие и профессиональные компетенции во внеаудиторной работе через содержание представленных методических рекомендаций;

- рационально организовать внеаудиторную самостоятельную работу студентов через распределение времени, затраченного на ее выполнение, предложенную форму контроля их знаний, критерии оценок.

В начале учебного года (на первом учебном занятии) преподаватель знакомит студентов со структурой построения всего курса учебной дисциплины ЕН.01Математика, в которую должна быть органично вписана самостоятельная работа. Каждый студент после такого занятия должен понимать, сколько самостоятельных работ ему предстоит выполнить в период изучения дисциплины и, каким образом он будет отчитываться перед преподавателем. Преподаватель ведет журнал учета самостоятельной работы студентов.

Критериями оценки результатов самостоятельной работы студентов являются:

- уровень усвоения студентом учебного материала;

- умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

- сформированность общих и профессиональные компетенции.

На самостоятельную работу в курсе изучения дисциплины отводится 30 часов.

Самостоятельная работа над учебным материалом состоит из следующих элементов:

  1. Изучение материала по учебнику, конспекту. (12часов).

  2. Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы(12 часов).

  3. Консультации (6 часов).

Методические рекомендации помогут студентам целенаправленно изучать материал по теме, определять свой уровень знаний и умений при выполнении самостоятельной работы.

Самостоятельные работы выполняются по следующим темам дисциплины Ен.01Математика:

Раздел 1. Элементы математического анализа.

Раздел 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики.

Раздел 3. Основы дискретной математики

Содержанием самостоятельных работ являются

Работа со справочниками, таблицами, теоретическим материалом.

Выполнение вычислений, расчетов.

Методические указания по выполнению самостоятельных работ, расположены в порядке проведения. Методические указания к выполнению самостоятельных работ содержат:

- Тему занятия;

- Цель занятия;

- Обеспечение самостоятельной работы:

- Теоретические сведения, пояснения (основные формулы, необходимые для выполнения самостоятельной работы занятия);

- Разобранные примеры;

- Контрольные вопросы.

Консультация, как форма самостоятельной работы.

Консультация – это дополнительная к теоретическим и практическим занятиям форма работы, входящая в внеаудиторную самостоятельную работу обучающегося. Все виды консультаций можно структурировать по разным критериям. Так, можно выделить предэкзаменационные консультации и текущие консультации.

На предэкзаменационных консультациях преподаватель осуществляет анализ организации будущего экзамена, форм приема экзамена. Преподаватель излагает критерии оценки знаний обучающихся, дает рекомендации по лучшей организации подготовки к экзамену, дает советы по организации рабочего дня в период сессии, режиму работы. На консультации осуществляется разборка неясных вопросов.

Текущие консультации преподаватель проводит в течение учебного года. Периодичность таких консультаций определяется преподавателем в соответствии с учебным планом, организацией рабочего времени преподавателя, успешностью студентов в освоении учебного материала. Потребность в консультации может быть вызвана сложностью теоретических вопросов, анализируемых на практических занятиях, отдельных теоретических понятий. Во время консультации преподаватель отвечает на интересующие обучающихся вопросы по изучаемой теме, возникающие в ходе выполнения письменной самостоятельной работы.


Самостоятельная работа с источниками информации (книга, конспект)

Каждый студент должен уметь работать с источником информации. Без этого навыка практически невозможно овладеть программным материалом, профессией и успешно творчески работать после окончания учебы.

Умение работать с книгой складывается из умения быстро найти требуемый источник (книгу, журнал, справочник), а в нем — нужные материалы; из умения разобраться в нем.

Самостоятельная работа студента при работе над источником информации заключается в чтении рекомендованной литературы и источников, ведении записи прочитанного с целью подготовиться к ответам на вопросы, расширении своих знаний по дисциплине, подготовке сообщений, докладов и другое по той или иной теме курса.

Общепринятые правила чтения таковы:

  • Текст необходимо читать внимательно- т.е. возвращаться к непонятным местам.

  • Текст необходимо читать тщательно- т.е. ничего не пропускать.

  • Текст необходимо читать сосредоточенно- т.е. думать о том, что вы читаете.

  • Текст необходимо читать до логического конца - абзаца, параграфа, раздела, главы и т.д.

Рекомендованную литературу следует прочитать, осмыслить, законспектировать, проконсультироваться у преподавателя по поводу сложных и непонятных вопросов, продумать план своего выступления на занятии. Продумывание материала в соответствии с поставленными в плане вопросами — главный этап самостоятельной работы и залог успешного выступления.


Самостоятельная работа № 1

«Вычисление пределов»


Цель: -научиться вычислять пределы, раскрывая неопределённости и используя замечательные пределы, теоремы о пределах.


Справочный материал и примеры.

Понятие предела функции в точке. Основные теоремы о пределах.


Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке Х и пусть точка х0 є Х. Составим из множества Х последовательность точек: х1, х2,…,хn,…сходящихся к х0. Значения функции в этих точках также образуют последовательность: f(x1), f(x2),…,f(xn).


Число А называется пределом функции f (hello_html_679cccd2.gif) в точке hello_html_679cccd2.gif=hello_html_m1b7f15b6.gif, если при любых значениях hello_html_679cccd2.gif, сколь угодно близких к числу hello_html_m1b7f15b6.gif(hello_html_284ffb38.gif), значение функции f (hello_html_679cccd2.gif)

становится сколь угодно близким к числу А.


Математическое выражение предела даётся в формуле (1.)

hello_html_mc95f315.giff (hello_html_679cccd2.gif) = hello_html_5e30254f.giff (hello_html_679cccd2.gif)hello_html_m52abde7e.gif. (1)

Основные теоремы о пределах.


Пусть существует hello_html_mc95f315.giff (hello_html_679cccd2.gif), hello_html_mc95f315.gifg (hello_html_679cccd2.gif), тогда:

  • Предел аргумента в точке hello_html_m4823197a.gifравен значению аргумента в этой точке hello_html_52b9b959.gif=hello_html_m4823197a.gif (2)

  • Если с – постоянная величина, то предел постоянной равен самой постоянной

hello_html_mc95f315.gifc= c, c – const (3)

  • Если с – постоянная величина, то постоянный множитель выносится за знак предела hello_html_mc95f315.gifcx = chello_html_mc95f315.gifx (4)


  • Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций

hello_html_m7caccc93.gif(5)


  • Предел произведения равен произведению пределов:

hello_html_227385c5.gif(6)

  • Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля: hello_html_m382c4667.gif (7)


  • Предел степени равен степени пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

hello_html_aa434cf.gif= (hello_html_52b9b959.gif)hello_html_m7647a68e.gif (8)

Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции.

Предел функции на бесконечности.


Функцияhello_html_m9677350.gif- называется бесконечно малой при hello_html_1158f9dc.gif, если hello_html_3672131d.gif.

Функцияhello_html_m9677350.gif- называется бесконечно большой при hello_html_1158f9dc.gif, если hello_html_m20313ab7.gif.

Если функцияhello_html_m9677350.gif бесконечно большая, то функцияhello_html_m6883dd67.gif- бесконечно малая и наоборот.

Число А называется пределом функцииhello_html_m9677350.gifна бесконечности, если при всех достаточно больших значений х разность hello_html_m621b65a6.gif есть бесконечно малая функция


Правила раскрытия неопределённостей.


Часто встречаются случаи, когда непосредственно применить теоремы о пределах нельзя.

В этих случаях необходимо сначала раскрыть неопределенности и потом только вычислять пределы.

  • В ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, говорят, что имеет место неопределенность вида hello_html_m4f0b5f10.gif. Для раскрытия неопределенности такого вида необходимо:

а) числитель и знаменатель дроби разложить на множители, а затем сократить на множитель, приведший к неопределенности, при этом можно использовать:

  • формулы сокращенного умножения,

  • вынесение общего множителя за скобки,

  • группировку,

  • преобразование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта или теоремы Виета;

т.к. ax2 + bx + c = a (x-x1)(x-x2), x1,x2 - корни уравнения ax2+bx+c=0,

  • преобразование многочлена с помощью деления многочлена на (x-x0),

  • умножение на сопряженное выражение, т.е. если предел содержит выражение hello_html_7f4bbdf5.gif то

путем умножения на hello_html_m15ede6ee.gif избавляемся от корней, т.к.hello_html_6a233748.gif

б) использовать первый замечательный предел.

Первый замечательный предел:

hello_html_6e9d52a9.gif(9)

hello_html_18a7669f.gif(10)

  • Если числитель и знаменатель неограниченно возрастают при х→∞, то в таком случае имеет место неопределенность видаhello_html_m569466be.gif. Для ее раскрытия надо разделить числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной х.

  • Если имеет место неопределённость hello_html_m3346cb88.gifи hello_html_m49bdb7bc.gif, то в этих случаях применяют второй замечательный предел.

Второй замечательный предел: hello_html_5d738f88.gifhello_html_24d2c7b7.gif

  • Если имеют место неопределённости ∞-∞, 0-0, то в этих случаях необходимо заданную функцию привести к дробно-линейному виду, а затем использовать предыдущие правила

Односторонние пределы.

Предел слева - это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента хn→x0 слева от точки x0, т.е. хn< x0. Символическая запись левого предела функции функции y=f(x) в точке x=x0 в формуле (13) : А =hello_html_4bbfb56f.gif (13)

Предел справа - это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента хn→x0 справа от точки x0, т.е. хn> x0. Символическая запись правого предела функции функции y=f(x) в точке x=x0 в формуле (14) : В =hello_html_5ba5d4cb.gif (14)

Теорема. Функция f(x) имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы, и они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.

Примеры


Пример 1. Вычислить предел функций hello_html_mbb4c0a1.gif

Решение. Используя теоремы о пределах и формулы (2)-(5) получим hello_html_m1e94b316.gif

Пример 2. Вычислить предел функций hello_html_m186cd147.gif

Решение. Для того, чтобы вычислить предел функции в точке подставим значение аргумента функции в этой точке, т.е. вместо х подставим единицу: hello_html_m657c0e68.gif

Пример 3. Вычислить предел функций hello_html_m1d770a80.gif

Решение. Имеем неопределённость видаhello_html_m87e1f1d.gif. Используя правило раскрытия неопределённостей (а) воспользуемся формулами сокращённого умножения: hello_html_m364fa298.gif.

Пример 4. Вычислить предел функций hello_html_m2a9b2041.gif

Решение. Имеем неопределённость видаhello_html_m291629c9.gif. Используя правило раскрытия неопределённостей, разделим каждое слагаемое почленно на hello_html_4641f3b5.gif: hello_html_257e1704.gif

Пример 5 Вычислить предел функций hello_html_34ae9783.gif

Решение. Неопределённость видаhello_html_m87e1f1d.gif. Решим уравнения числителя и знаменателя и разложим трёхчлены на множители: hello_html_m385b10f1.gif=hello_html_m41ee7db3.gif

hello_html_3c646bcc.gifhello_html_m7a29a354.gifhello_html_m66e60e81.gifhello_html_m6b8bda0d.gif

Пример 6. Вычислить предел функций hello_html_m3be61f30.gif

Решение Неопределённость видаhello_html_m87e1f1d.gif. Домножим и числитель, и знаменатель на сопряжённый множитель:hello_html_44f5989.gif Пример7. Вычислить предел функций hello_html_m32279839.gif

Решение. Имеем неопределённость видаhello_html_m87e1f1d.gif. Применим первый замечательный предел,

формулы (9), (10) получим: hello_html_49702e24.gif

Пример8. Вычислить предел функций hello_html_1d784534.gif

Решение. Применим второй замечательный предел

hello_html_mdb97009.gif





Задания для самостоятельной работы № 1

«Вычисление пределов»


Задание 1. Вычислить пределы функций методом непосредственного вычисления. Выберите правильный ответ.


Найти hello_html_3743d6d4.gif.
  1. 6

  2. -6

  3. -18

  4. -24

  1. Найти hello_html_216e9edd.gif.

  1. 6

  2. 14

  3. -6

  4. -4

  1. Найти hello_html_36b9025f.gif.

  1. -24

  2. 8

  3. 24

  4. -8

  1. Найти hello_html_mfae0511.gif.

  1. 20

  2. 28

  3. 36

  4. -4

  1. Найти hello_html_m4dafd2d4.gif.

  1. -36

  2. 21

  3. -21

  4. -33

  1. Найти hello_html_1b73d8d2.gif.

  1. -12

  2. 4

  3. 12

  4. -4

  1. hello_html_82f182b.gif

  1. 0

  2. -8

  3. 8

  4. 1

  1. Найти hello_html_m7ae2756e.gif.

  1. -10

  2. -6

  3. 6

  4. 10

  1. Найтиhello_html_m2fadef4e.gif .

  1. 4

  2. 15

  3. -1

  4. -15

  1. Найти hello_html_230f04aa.gif .

  1. 4

  2. 15

  3. -1

  4. -15


Задание 2. Вычислить пределы функций, методом раскрытия неопределенностей вида hello_html_m72db000.gif. Установите соответствие между функцией и ее пределом

1. hello_html_7c6ea1bc.gif 2. hello_html_m154849a.gif

3. hello_html_7cfe8a93.gif 4. hello_html_m3f1500e5.gif

5. hello_html_m294612dd.gif 6. hello_html_m7a46f1b7.gif

Ответы

а) -6 б) -3 в) hello_html_34a9030b.gif г) hello_html_41259b56.gif д) 3 е) hello_html_m50ae1c37.gif



Задание 3. Вычислить пределы функций, методом раскрытия неопределенностей видаhello_html_m6faa59fb.gif Установите соответствие между функцией и ее пределом


1. hello_html_4de331e6.gif 2. hello_html_438cd522.gif 3. hello_html_mc1ee3f5.gif

Ответы

а) 5 б) 4 в) hello_html_m44940122.gif


Задание 4. Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы. Установите соответствие между функцией и ее пределом.


1. hello_html_m62256069.gif 2. hello_html_55f0d380.gif 3. hello_html_m43c239fa.gif 4. hello_html_m1c7e7485.gif

Ответы

а) hello_html_m132a5996.gif б) hello_html_m6eb2b5ce.gif в) hello_html_m5566dabf.gif г)hello_html_m663f3f7f.gif


Задание 5. Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы. Установите соответствие между функцией и ее пределом.


1. hello_html_m4430383d.gif 2. hello_html_m68d68077.gif 3. hello_html_e1eb7bc.gif 4. hello_html_m6005f449.gif

Ответы

а) hello_html_m41fd1d7b.gif б) hello_html_m5d740f3.gif в) hello_html_m162bc8fd.gif г) hello_html_m581173ba.gif


Задание 6. Вычислить пределы функций, используя теоремы о пределах и табличные пределы. Установите соответствие между заданием и ответом.


1. hello_html_m4b8c9286.gif 2. hello_html_7bb0734f.gif 3. hello_html_m264c4093.gif 4. hello_html_m66d07131.gif

Ответы

а) ∞ б) -1/2


Контрольные вопросы:

  1. Что называется пределом функции f (hello_html_679cccd2.gif) в точке hello_html_679cccd2.gif=hello_html_m1b7f15b6.gif?

  2. Сформулируйте основные вопросы о пределах.

  3. Когда функцияhello_html_m9677350.gif при hello_html_1158f9dc.gif называется бесконечно большой ?

  4. Когда функцияhello_html_m9677350.gif при hello_html_1158f9dc.gif называется бесконечно малой ?

  5. Сформулируйте правила раскрытия неопределённостей.

  6. Что такое замечательные пределы.

  7. Чему равен hello_html_36a9006f.gif; hello_html_m41e4bcba.gif; hello_html_m37c05188.gif; hello_html_4291810f.gif?

Самостоятельная работа № 2

«Вычисление и применение производной функций»


Цель: -научиться вычислять производную сложной функции, исследовать функцию с помощью производной и строить графики, применять производную к решению задач.


Справочный материал и примеры.

Определение производной

Полотно 41Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0., тогда hello_html_c5103dc.gif -называют приращением аргумента, а hello_html_m36d9fdb4.gif - приращением функции

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции ∆ у к приращению аргумента ∆х при х→0 hello_html_4f6d3ed8.gif

Дифференцирование – это процесс вычисления производной .

Правила дифференцирования

Пусть U,V - дифференцируемые функции независимой переменной х, С-константа; тогда:

1)hello_html_197494d9.gif2)hello_html_2149d882.gif

3)hello_html_33914093.gif

4)hello_html_65b6fc89.gif

5) Если у = f(U), U = g(x) следовательно, у = f(g(x)) - сложная функция. Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной. hello_html_18dbf411.gif

Полотно 24Геометрический смысл производной hello_html_3aa629e.gif

Производная функция f(x )в точке М0равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции f(x) в этой точке..

Касательной к данной кривой в данной точке М0 называется предельное положение секущей М0Х, когда т.Х, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к М0.

Уравнение касательной к кривой:

hello_html_m2aa4c21c.gif

Прямая , проходящая через тМ перпендикулярно касательной, называется нормалью к этой кривой в тМ. Уравнение нормали к кривой: hello_html_m2aa6ce08.gif.

Физический смысл производной

Производная функции показывает скорость изменения функции.

Физический смысл производной функции s(t), где t - время, а s(t) - закон движения (изменения координат) –скорость движения. hello_html_2d48c3fa.gif

Вторая производная функции –. ускорение. hello_html_50f5795b.gif


Формулы дифференцирования


Производная высших порядков

Производная hello_html_m79c0b8e2.gifот функции hello_html_m129befc1.gif называется производной первого порядка, или первой производной. Тогда производная от первой производной, если она существует, называется второй производной или производной второго порядка функции y=f(x) и обозначается hello_html_31fd898a.gif, hello_html_m766177ed.gif, hello_html_7e227283.gif.

Производной n-го порядка функции y=f(x), если она существует, называется производная от производной (n-1) - порядка; hello_html_m7578f957.gif , hello_html_4de98406.gif, hello_html_m15550571.gif

Пример1: Вычислить производную hello_html_m311fc8d9.gif

hello_html_7af282f5.gif

hello_html_62d28540.gif


Общая схема исследования функции и построения её графика.

  1. Найти область определения функции;

  2. Проверить функцию на четность и нечетность (заметим, что графики четных функций симметричны относительно оси (ОУ), а нечетных – относительно начала координат); проверяют функцию на периодичность;

  3. Найти точки пересечения графика с координатными осями (ось ОХ имеет уравнение hello_html_3da26462.gif, ось ОУ имеет уравнение hello_html_m2f6ebc42.gif);

  4. Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума;

  5. Найтит интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба;

  6. Найти асимптоты графика функции;

  7. Построить график.

Комментарии к схеме:

  1. Совокупность всех тех значений, которые принимает независимая переменная х функции y=f(x)

2) а)D(y) симметрична относительно 0

б)f(–x)= f(x) – функция четная (график симметричен относительно оси Оу)

f(–x)= – f(x) – функция нечетная (график симметричен относительно начала координат)

3) - с осью ОХ (у = 0)

- с осью ОУ (х = 0)

4) Найти производную f (х) данной функции f(х).

Найти критические точки (внутренние точки области определения, в которых производная функции f (х) равна нулю или не существует).

Критические точки разбивают область определения функции f(х) на интервалы, в каждом из которых производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.

Определить знак производной на каждом из интервалов монотонности.

Если f (х) 0, то f(х) возрастает на этом промежутке.

Если f (х)hello_html_3813d461.gif 0, то f(х) убывает на этом промежутке.

Исследовать знак производной f (х) в окрестности точки х0.

Если f (х) меняет знак при переходе через точку х0 с «-» на «+», то в этой точке функция f(х) имеет минимум.

Если f (х) меняет знак при переходе через точку х0 с «+» на «-», то в этой точке функция f(х) имеет максимум.

Если f (х) не меняет знак при переходе через точку х0 , то в этой точке функция f(х) не имеет экстремумов.

5) Найти вторую производную f (х) данной функции f(х).

Найти критические точки второго рода (внутренние точки области определения, в которых вторая производная функции f (х) равна нулю или не существует).

Критические точки второго рода разбивают область определения функции f(х) на интервалы, в каждом из которых производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами выпуклости.

Определить знак второй производной на каждом из интервалов выпуклости.

Если f (х)> 0, то график функции f(х) выпуклый вниз.

Если f (х)< 0, то график функции f(х) выпуклый вверх.

Если f (х) меняет знак при переходе через критическую точку второго рода, то эта точка будет точкой перегиба графика функции.

6) Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальная асимптота hello_html_m5e383f3d.gif

если:hello_html_72276433.gif или hello_html_7d9615c.gif


Горизонтальная асимптота hello_html_m18ecf185.gif

если:hello_html_1412c72f.gif или hello_html_4ff9fd5b.gif


Наклонная асимптота hello_html_64da64e1.gif

еЛевая фигурная скобка 42Левая фигурная скобка 43сли: hello_html_6b54c814.gif или hello_html_1b3118c6.gif

7) Отметить данные полученные в ходе исследования, добавить при необходимости некоторое количество точек.

Пример 2: Исследовать функцию hello_html_51c5512d.gifи построить ее график.

Решение: исследуем функцию по схеме:


  1. D(y)=R;

  2. hello_html_m61d347d.gif- функция не будет ни четной, ни нечетной; функция непериодическая;

  3. Найдем точки пересечения с (ОХ): hello_html_727ea0ef.gif. Перебирая делители свободного члена, находим целые нули функции: hello_html_73b11a56.gif.

Найдем точки пересечения графика функции с осью (ОУ): если hello_html_m2f6ebc42.gif, то hello_html_2eca3628.gif;

  1. Для нахождения интервалов монотонности функции найдем ее производную: hello_html_m74fee357.gif. Найдем критические точки функции: hello_html_1bd0430c.gif. Получим: hello_html_a711a3b.gif. Найдем интервалы возрастания и убывания функции:

hello_html_m2fa2505e.png


Из чертежа имеем, что функция возрастает на hello_html_m278968fb.gif, убывает на hello_html_m7c13e0c0.gif. Найдем экстремумы функции:

hello_html_30aa5267.gif. Значит, точка максимума имеет координаты hello_html_6e983847.gif

hello_html_52b3a58b.gif. Значит, точка минимума имеет координаты hello_html_169c5dd6.gif

  1. Для нахождения интервалов выпуклости графика функции вычислим вторую

производную: hello_html_m26fea665.gif. Найдем критические точки 2 рода функции:

hello_html_b3f2f77.gif. Определим знак второй производной в интервалах, на которые разбивается область определения

19

hello_html_717154b0.png

Значит, график функции будет выпуклым вверх на hello_html_466c72bf.gifи выпуклым вниз на hello_html_76042f4d.gif. Т.к. вторая производная меняет знак при переходе через точкуhello_html_600677c8.gif, то в ней график будет иметь перегиб. Вычислим: hello_html_1ad455f3.gif. Значит, точка перегиба hello_html_m3caa3521.gif.

  1. Асимптот нет;


  1. Построим график:

hello_html_29c8e0ee.png


Производная в физике

формулы из физики, где используется производная.

  • υ(t) = х'(t) – скорость.

  • a(t) = υ'(t) – ускорение.

  • I(t) = q'(t) – сила тока.

  • с(t) = Q'(t) – теплоемкость.

  • d(l) = m'(l) – линейная плотность.

  • K(t) = l'(t) – коэффициент линейного расширения.

  • ω(t) = φ'(t) – угловая скорость.

  • e(t) = ω'(t) – угловое ускорение.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности.

  • N(t) = A'(t) – мощность.

  • F(x)= A'(x) – Сила есть производная работы по перемещению.

  • Е = Ф'(t) – ЭДС индукции F = р'(t) – 2 закон Ньютона.

Примеры применения производной в физике

Задача

Решение

Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t2+t+1.

  1. Какова кинетическая энергия тела в конце

3 сек. после начала движения тела?

Какова сила, действующая на тело?

    1. Wк = (m·v2)/2

x ' (t) = v (t) = 2t+1, v (3) = 7,

Wк = (4·72)/2=98

2. F = ma, a(t) = v' (t) = x' ' (t), x ' (t) = v (t) = 2t+1,

a(t)= v' (t) = 2, F = ma = 4·2 = 8 H.

Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)=0,1t2-0,5t+0,2. Найти угловую скорость вращения тела в момент времени t=20с.

ω(t) = φ'(t); ω(t) = φ'(t) = 0,2t-0,5

ω(20) = 3,5

Для любой точки С стержня АВ длиной 10 см, масса куска стержня АС определяется по формуле m(l)=3l2+5l. Найти линейную плотность стержня в середине отрезка АВ, в конце отрезка.

d(l) = m'(l); d(l) =m'(l) = 6l+5

d(5) = 6·5+5=35 – в середине отрезка

d(10) = 6·10+5=65 – в конце отрезка

Задания для самостоятельной работы № 2

«Вычисление и применение производной функций»

Задание 1. Вычислить производную. Выберете правильный ответ.

Найти производную функции hello_html_17b57796.gif

1)hello_html_3d77dd92.gif 2) hello_html_4f2d06d0.gif

3) hello_html_m7c34ffc3.gif 4) hello_html_m6ab09539.gif

  1. Найти производную функции hello_html_m4d061a40.gif

1) hello_html_m129cdcc5.gif 2) hello_html_5f43057e.gif

3) hello_html_68ac6165.gif 4) hello_html_ma164f94.gif

  1. Найти производную функции hello_html_48f0fdbf.gif

1) hello_html_m7e6a5930.gif 2) hello_html_5d53eb23.gif

3) hello_html_35c306f8.gif 4) hello_html_79a71d55.gif

  1. Найти производную функции hello_html_m21edbfc0.gif

1) hello_html_m4ab8bc84.gif 2) hello_html_5cdd2b01.gif

3) hello_html_m25c002cc.gif 4) hello_html_m53cbbd74.gif

  1. Найти производную функции hello_html_3583b42.gif

1) hello_html_58e3cd0.gif 2) hello_html_m1f34b437.gif

3) hello_html_1623da57.gif 4) hello_html_m203423c8.gif

  1. Найти производную функции hello_html_1b15df84.gif

1) hello_html_59f740e0.gif 2) hello_html_7ed409a7.gif

3) hello_html_7af55408.gif 4) hello_html_m48a18884.gif


Задание 2. Найти производную сложной функции



Найти производную функции hello_html_2fcb4de9.gif

1) hello_html_m7408c188.gif 2) hello_html_m19e415df.gif

3) hello_html_207d8a13.gif 4) hello_html_m6dbc5ce6.gif

  1. Найти производную функции hello_html_m17ca4d59.gif

1) hello_html_59c9f3a4.gif 2) hello_html_2cd173b0.gif 3) hello_html_46992099.gif

4) hello_html_323040c7.gif

  1. Найти производную функции hello_html_3c0c0382.gif

1) hello_html_m18a9797d.gif 2) hello_html_m291e073d.gif

3) hello_html_m354bdc9e.gif 4) hello_html_4b81f3d3.gif

  1. Найти производную функции hello_html_6648df2d.gif

1) hello_html_44c98c36.gif 2) hello_html_37e84a6a.gif 3) hello_html_m7c9a683.gif

4) hello_html_5959f811.gif

  1. Найти производную функции hello_html_40e5c4ff.gif

1) hello_html_m2c99caa5.gif 2) hello_html_1d071b94.gif

3) hello_html_30c3a48e.gif 4) hello_html_5b6f6a32.gif

  1. Найти производную функции hello_html_m10f87c90.gif

1) hello_html_m2887196.gif 2) hello_html_686fdd6a.gif 3) hello_html_1efbffcb.gif

4) hello_html_4a97811f.gif


Задание 3. Вычислить производную. Установите соответствия между функций и ее производной.

1. y= (x2 +6)hello_html_1183e03.gif 2. hello_html_m551a34a8.gif 3. y =hello_html_m6b9efcb4.gif

Ответы:

А) - hello_html_6e1c8786.gif Б) hello_html_m4a4e991e.gif В) hello_html_m4dbb5782.gif6

Задание 4. Найти производную второго порядка. Установите соответствие.

1.у= х3 – 2х2 +х+1 2. у= 5х3 – 10х2 +2х +1 3. у= х3 +3х2 – х+8

Ответы:

А) 30х-20 Б) 6х-4 В) 6х+6



Задание 5. Решить задачу, используя производную. Установите соответствие между задачей и ответом.

1. Найти скорость движения тела в момент времени t=2с, если закон движения задан формулой s=4t2-3.


2. Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s(t)=t2-4t+5, равна 0?



3. Количество теплоты Q, получаемое некоторым веществом при нагревании определяется по формуле Q=10t+0,5t2. Найти теплоёмкость этого вещества при 20 К.


4. Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением I = 2t2-5t. Найти скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.

Ответы:

А) 35 Б) 2 В) 30 Г) 16

Задание 6. Исследовать функцию с помощью производной и построить график. Установите соответствие между функцией и ответом.

1.у = х4 + 4х2 - 5 2. у= х4 + 8х2 - 9

Ответы:

А) min f(x)=f(0) = -9; точки пересечения с осью абсцисс х=±1

Б) min f(x)=f(0) = -5; точки пересечения с осью абсцисс х=±1


Задание 7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.


        1. у= hello_html_60ed530f.gif 2. у= hello_html_m7ab9be99.gif



Контрольные вопросы:

        1. Что такое приращение аргумента, функции?

        2. Что такое производная?

        3. Что такое производная n-го порядка?

        4. В чем физический смысл производной?

        5. В чем геометрический смысл производной?

        6. Каковы правила дифференцирования?

        7. Расскажите общую схему исследования функции.

        8. Что такое асимптота?

        9. Как найти интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба?

        10. Как найти интервалы монотонности функции и точки экстремума?




















Самостоятельная работа №3

«Вычисление неопределенных и определенных итегралов. Применение интегралов»


Цель: - совершенствовать умения вычислять неопределенные и определенные итегралы, находить площадь криволинейной трапеции, решать задачи , применять интегрирование к решению задач.


Справочный материал и примеры.

Понятие неопределённого интеграла


Первообразная – это такая функция F(x) для функции y= f(x) , что имеет место равенство hello_html_m6c8df8ad.gif (1)

Две первообразные одной функции отличаются друг от друга на постоянную. Другими словами, если F(x) – первообразная для функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), потому что hello_html_e8898c2.gif

hello_html_1c2bb57.pnghello_html_30066bca.pngНеопределенный интеграл функции y= f(x) – это совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) . Обозначается символом hello_html_m76ef2e9a.gif (2),

гдеhello_html_m143ad57a.gif – знак интеграла (это стилизованная латинская буква S , означающая суммирование;

f(x) – подынтегральное выражение;

С – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение

х – переменная интегрирования.

Интегрирование – это отыскание первообразной по ее производной, это действие обратное дифференцированию .

Основные свойства неопределенного интеграла

hello_html_58b82db.gif
hello_html_56613e78.gif- постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
hello_html_6819478b.gif- интеграл суммы равен сумме интегралов.

Методы интегрирования:

  • Непосредственное интегрирование Метод непосредственного интегрирования заключается в использовании основных свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличному виду.

Таблица интегралов

hello_html_5f51e37c.gif

hello_html_m40e6efa5.gif

hello_html_m7e8d9ff7.gif

hello_html_785acf15.gif

hello_html_m10319cfe.gif

hello_html_m52b8128e.gif

hello_html_39071fb3.gif

hello_html_mcc661e6.gif

hello_html_72093e6d.gif

hello_html_m4015461c.gif

hello_html_5bad4de3.gif

hello_html_mcc661e6.gif

hello_html_249c1a8c.gif

hello_html_75e950cc.gif

hello_html_5bad4de3.gif

hello_html_eb3e3b6.gif

hello_html_m1559319f.gif

hello_html_26c0eb17.gif

hello_html_2b7eaaf6.gif

Интегрирование подстановкой.

Существуют подстановки:

а) линейная замена аргумента t=kx+b

б) замена старшей степени переменной

в) замена, содержащая sinx или cosx

г) замена функции, если интеграл содержит и её производную (включает в себя все вышеуказанные подстановки)

  • Интегрирование по частям

Теорема. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) определены и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям: hello_html_6c7761eb.gif (3)

Алгоритм

Представляют интеграл через u, dv с помощью таблицы (где f(x) – степенная функция):

hello_html_m247cf10d.gif

hello_html_35bdb461.gif

hello_html_5c3bfe8d.gif


hello_html_m3797f51f.gif

hello_html_7a7d66b3.gif

hello_html_m7c56c944.gif

hello_html_m618db79f.gif

hello_html_m6d9deb3f.gif

hello_html_8d7fcb7.gif

hello_html_m2cb9df46.gif

Замена

hello_html_1522d379.gif


hello_html_f4d226f.gif

hello_html_2ceb51a.gif

hello_html_5f89b47f.gif

hello_html_m3696cf08.gif


hello_html_m2cd8158.gif

Замечание

Интегрируют по частям столько раз, какова степень многочлена f(x)


Интегрируют по частям два раза

Определённый интеграл и его свойства.
Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на отрезке[a,b].

Интегральная сумма hello_html_778c4da6.gif, гдеhello_html_53ec2026.gif – произвольная точка существующего отрезка.

Определенный интеграл обозначается: hello_html_m4ea9c24c.gif (3), где f(x) – подынтегральная функция, х – переменная интегрирования

Теорема. Если F(x) – первообразная для непрерывной функции hello_html_7b81968b.gif, то имеет место формула: hello_html_m43e6cb50.gif (4). Эта формула Ньютона-Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределённым интегралом.

Основные свойства определенного интеграла:

  • При перестановке пределов изменяется знак интеграла: hello_html_6acca84.gif (5)

  • Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: hello_html_11d5a04e.gif (6)

  • Отрезок интегрирования можно разбивать на части hello_html_m4470b645.gif (7)


  • Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.


  • Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

  • Если функция hello_html_m3de63c6a.gifвсегда на отрезкеhello_html_f93ff15.gif, то hello_html_m5f3617c2.gif (8)

  • Если hello_html_1d53104a.gifвсюду на отрезке hello_html_f93ff15.gif, то hello_html_m361e63b.gif (9)

  • Пример1 Найти неопределенный интеграл
    hello_html_m3590ff1b.gif
    Решение:
    Используя свойства неопределенного интеграла: интеграл от суммы равен сумме интегралов, и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, получаем:
    hello_html_740e2ce5.gif
    и затем, используя таблицу интегралов в приложении
    hello_html_m7c966e00.gif

  • Пример2 hello_html_2a003171.gif
    Решение:
    почленно разделим на х:
    hello_html_21efe1a7.gif

  • Пример3 Вычислить неопределённый интеграл

  • Подстановка (а)

  • hello_html_66969dea.gif

  • Пример4 Вычислить неопределённый интеграл

  • подстановка (б)

  • hello_html_m67249638.gif

  • Пример5 Вычислить неопределённый интеграл

  • подстановка (в)

  • hello_html_e2d0f85.gif

  • Пример6 Вычислить неопределённый интеграл

  • подстановка (г)

  • hello_html_m1cb19d80.gif


Геометрический смысл определенного интеграла:

Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а; х=b; у=0 и частью графика функцииhello_html_40946e87.gif, взятой со знаком плюс, если функция положительна, и со знаком минус, если функция отрицательна (рисунок 1)

hello_html_13450f2e.jpg



Основные случаи расположения плоской фигуры


hello_html_m5dd2eeaf.gif

2

hello_html_1a8e9720.pngПрямоугольник 6


hello_html_m176681a.gif

3

hello_html_m3e617e75.png

hello_html_4449b9c4.gif

4

hello_html_mb11fe15.pngПрямоугольник 7

hello_html_6c3d6ee8.gif

5

hello_html_f3c71c6.png

hello_html_m5130e8b6.gif

6

hello_html_471ecc62.pngПрямоугольник 8

hello_html_m538d18b.gif

7


hello_html_57465c0b.png

hello_html_m28775da6.gif

8


hello_html_1d25fa65.png

hello_html_m310a9ba.gif

9

hello_html_m6a167017.png

hello_html_m11d151c.gif

hello_html_mf225b33.gif


Пример7. Найти площадь фигуры, заключённой между линиями y = x3 , x = -1. x = 2 и осью OX

hello_html_m3e67fb3f.pngРешение: найдем точки пересечения графика функции hello_html_m42d1e41e.gif с осью ОХ(см. рис 4):

y = x3; y = 0 hello_html_m739d14ab.gifx = 0; Вычислим производную функции: y’ = 3x2; y’ = 0 hello_html_m739d14ab.gifx = 0 . Найдем значение второй производной в точке х=0: y” = 6x; y” (0) = 0. Вычислим y”(-1) = -=6; y”(1) = 6; hello_html_m739d14ab.gifТ.к. y меняет знак при переходе через х =0 hello_html_m739d14ab.gifт. (0;0) – точка перегиба. Искомая площадь состоит из двух частей, поэтому:

hello_html_m4a8f02bd.gif(кв.ед.)

Физические приложения интеграла

Вычисление производной

Вычисление интеграла

А – работа;

F – сила;

N - мощность.


F(x)=A' (x);

N(t)=A' (t).

A=hello_html_23d61f49.png;

A=hello_html_5a5952af.png

m –масса тонкого стержня

p – линейная плотность

P(x)=m' (x).

m=hello_html_m48c52cdf.png

Q –электрический заряд;

I – сила тока.

I(t)=q' (t)

Q=hello_html_m1edc5c64.png

S –перемещение;

v –скорость.

V(t)=S' (t)

S=hello_html_m6e4a4e0e.png

Q –количество теплоты;

с – теплоёмкость.

C(t)=Q' (t)

Q=hello_html_m7e14c935.png


Пример11 Дано ускорение скорости движения телаhello_html_m728aa9e3.gif. Найти путь тела, за первые 3 с .

Решение:

Уравнение пути s(t) находится интегрированием:

hello_html_24c83d2f.gif( м)


Задания для самостоятельной работы №6


Задание 1. Вычислить интеграл. Соотнесите номер интеграла с ответом.


1) hello_html_m7063d54c.gif 2) hello_html_df224ef.gif 3)hello_html_m629f41f2.gif


Ответы:






Задание 2 Прочитайте, выполните задание. Верный ответ обведите. hello_html_m1b1209a6.png

Задание 3 Вычислите интеграл. Верный ответ обведите.

Найти неопределённый интеграл hello_html_m41196a99.gif

а) hello_html_m5e4c0a6f.gif б)hello_html_m29ee5e2d.gif

в)hello_html_m67c95ff7.gif г) hello_html_m1b4da75c.gif

  1. Найти неопределённый интеграл hello_html_m137dc2d0.gif

а)hello_html_m5e4c0a6f.gif б) hello_html_2d452363.gif

в) hello_html_3a2a88d3.gif г) hello_html_m1f3b4bba.gif

  1. Найти неопределённый интеграл hello_html_m4fdce320.gif

а) hello_html_69e1df3.gif б) hello_html_m674e7bdf.gif

в) hello_html_3a2a88d3.gif г) hello_html_m717f26d1.gif


  1. Найти неопределённый интеграл hello_html_6a85d4f4.gif

а) hello_html_69e1df3.gif б) hello_html_m674e7bdf.gif

в) hello_html_m4a441f04.gif г) hello_html_3f04e9b1.gif


  1. Найти неопределённый интеграл hello_html_m679c75de.gif

а) hello_html_m340e27c6.gif б) hello_html_12cc0972.gif

в) hello_html_m67c95ff7.gif г) hello_html_55cb12d6.gif

  1. Найти неопределённый интеграл hello_html_3e9aaee5.gif

а) hello_html_m5ef5a898.gif б)hello_html_m340e27c6.gif

в) hello_html_m5973c1df.gif г) hello_html_m309511cf.gif


Задание 4 Вычислите площадь криволинейной трапеции . Соотнесите рисунок с ответом.

3hello_html_m7a23e2d4.gifhello_html_3172cb04.gifhello_html_m7f3a3569.gif.1






3hello_html_4c9ebd54.gifhello_html_66772ce0.gifhello_html_m66958732.gif.5
х=-4


3hello_html_3d2d9f3b.gifhello_html_m57d4aa11.gifhello_html_60d95ec0.gifhello_html_m697fbaa8.gif.9



3hello_html_62d30e7.gifhello_html_4c09731a.gifhello_html_m364ab3c1.gif.2


hello_html_64f461f.gif







3hello_html_m318c3e73.gif.6
hello_html_m70c3a4be.gif

hello_html_64f461f.gif

hello_html_m107f51d8.gif

3hello_html_me579f89.gifhello_html_m36581b62.gif.10

hello_html_64f461f.gifhello_html_18334df9.gif


3hello_html_m3ece2009.gifhello_html_76646ae4.gifhello_html_6d728118.gif.3


hello_html_m107f51d8.gif








3hello_html_m581ae54d.gif.7

hello_html_78762d89.gif

хhello_html_223c36ff.gif=1

3hello_html_m73f64c98.gifhello_html_m428c25d4.gifhello_html_18334df9.gifhello_html_m107f51d8.gif.11





3hello_html_2ebfbba8.gifhello_html_m7f5ad7ae.gif.4



hello_html_m107f51d8.gif


hello_html_69ffc379.gif





3hello_html_m361f71f1.gifhello_html_316f51b4.gifhello_html_6d728118.gif.8

hello_html_488e267d.gif




3.12

hello_html_4abfb62.gifhello_html_285662f0.gifhello_html_64f461f.gif

hello_html_18334df9.gif



Ответы:


Задание 5 Решите задачу. Соотнесите номер задачи с ответом.


1. Скорость движения точки V = 12t – 3thello_html_m700717e.gif. Найти путь пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

2. Скорость движения тела задана уравнением V = hello_html_m1d410325.gif м/c. Найти путь, пройденный телом за вторую секунду.

3. Скорость движения тела задана уравнением V = (18t - 3thello_html_m700717e.gif)м/c. Найти путь, пройденный телом от начала движения до его остановки.

4. Скорость движения точки изменяется по закону v(t) = 3t2 + 2t + 1

Найти путь, пройденный точкой за 10 c от начала движения.

5. Скорость движения точки V = 9thello_html_m700717e.gif– 8t. Найти путь, пройденный точкой за четвертую секунду.


Ответы:








Задание 6 Найти интеграл. Соотнесите номер интеграла с ответом.


1).hello_html_m646286f1.gif 2). hello_html_698ed47f.gif 3) hello_html_m674ae4ff.gif


hello_html_72c2476a.gif5)hello_html_4f9238a7.gif 6hello_html_4309e489.gif


7). hello_html_423dd8ba.gif

Ответы:


А)

hello_html_m295d0c13.gif

Б)

hello_html_m4db78b29.gif

В)

hello_html_m605c18d5.gif

Г)

- hello_html_m630e1650.gif

Д)

hello_html_m4a59c244.gif

Е)

2cosx-3sinx+c

Ж)

hello_html_58b847b5.gif












Контрольные вопросы:

  1. Что такое первообразная?

  2. Что такое неопределенный интеграл?

  3. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

  4. Сформулируйте методы интегрирования.

  5. Что такое определенный интеграл?

  6. Сформулируйте свойства определенного интеграла.

  7. В чем геометрический смысл определенного интеграла?






Самостоятельная работа № 4

«Решение дифференциальных уравнений»


Цель: - Овладеть навыками решения дифференциальных уравнений с разделенными и разделяющимися переменными, задачи Коши.


Справочный материал и примеры.

    1. Основные понятия дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения – равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.

Общий вид дифференциального уравнения:

F(x,y,y,y ,,…)=0

где x – независимая переменная, y – неизвестная функция, y, - её производная первого порядка и т.д.

Решение дифференциального уравнения – функция, подстановка которой в это уравнение обращает его тождество.

Общее решение – решение дифференциального уравнения, содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частное решение – это решение, получающееся из общего решения при конкретных определенных значениях произвольных постоянных C

Для нахождения частных решений задают начальные условия.

Порядок дифференциального уравнения – наивысший порядок производных или дифференциалов, входящих в это уравнение.

Интегральная кривая - график y=F(x), построенный на плоскости xOy,являющийся решением дифференциального уравнения.

Общему решению y=F(x,C) соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от постоянной С.

Теорема Коши: Если функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную то решение дифференциального уравнения y’=f(x,y) при начальном условии f(x0)=y0 существует и единственно т.е. через точку (x00) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.


Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Название

Вид

Способ решения

С разделяющимися переменными

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

если P(x,y) и Q(x,y) разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной.

Т.е.

f(x)g(y)dx+hello_html_m4ef7215e.gif(x)q(y)dy=0

или

y’= f(x)g(y)

1.разделить переменные

hello_html_1de1ea86.gif

2.проинтегрировать

hello_html_419eae33.gif

3.привести к стандартному виду

y=hello_html_70fa123d.gif(x)+c – общее решение

Однородные

P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0

где P(x,y), Q(x,y) – однородные функции одного измерения

или

y’=hello_html_m7b2e1e14.gif

(если в функции заменить x=tx, y=ty и преобразовать вернемся исходному уравнению)

1. замена y=tx, тогда

hello_html_m40093a5a.gif

2. привести к уравнению с разделяющимися переменными и решить (см. выше).

3. вернуться к замене, подставить hello_html_m2927abdc.gif

4. привести к стандартному виду y=hello_html_m391cdfdb.gif

Линейные

y’+P(x)y=Q(x)

(y’ и у’ входят в первых степенях не перемножаясь между собой)

а) линейное однородное

y’+P(x)y=0

б) линейное неоднородное

y’+P(x)y=Q(x)

в) уравнение Бернулли

y’+P(x)y=Q(x)y’’

1. замена y=uv,тогда y’=uv+vu

2. u’v+v’u+ P(x) uv= Q(x)

v(u’+P(x)u)+v’u= Q(x) (*)

3. в уравнении (*) приравнять скобку к нулю

u’+P(x)u=0 – c разделенными переменными

найти u

u=P(x)

4. значение u подставить в уравнение (*)

vP(x)=Q(x) - c разделенными переменными

найти v

v=F(x)+c

5. вернуться к замене

y=P(x)(F(x)+c) – общее решение


Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.

Допускающие понижения порядка

y’’=f(x)

Решаются двойным интегрированием

hello_html_45c3e58a.gif

hello_html_7faab953.gif

Линейные однородные второго порядка с постоянными коэффициентами

y’’+py+qy=0

где p, qзаданные числа


Всякое Л.О.У. второго порядка имеет систему двух линейно независимых частных решений.

hello_html_m7a52ce81.gif

которая называется фундаментальной системой решений.


Общее решение есть линейная комбинация частных решений его фундаментальной системы hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m32801246.gif

hello_html_m53d4ecad.gif


1.Составить характеристическое уравнение

hello_html_3a7d573f.gif

2.в зависимости от вида корней, фундаментальная система решений имеет вид:

корни

характеристического уравнения

фундаментальная система частных решений

общее решение

действительные

hello_html_m231f3466.gifhello_html_m12c609f8.gif

hello_html_3287d5e9.gif

Различные

hello_html_7fb0908c.gif

Действительные

hello_html_m48a2f7f0.gif

hello_html_m6efa3e49.gif

hello_html_3287d5e9.gifили

hello_html_6bf5b19c.gif

Равные

k1=k2=khello_html_24a67842.gifR

Комплексные

(мнимые)

hello_html_m7d24e915.gif

hello_html_2a984756.gifhello_html_m416e3b92.gif

hello_html_1f9ed5a6.gif

Комплексныеhello_html_m7ab37b02.gif

hello_html_3a6857e7.gif

hello_html_5ddf9518.gif

hello_html_19d9c818.gif


Пример 1. Найти общие интегралы уравнения:

(x + 1)3 dy – (y – 2)2dx = 0.

Решение:

Разделим переменные в данном уравнении, деля его обе части на (x + 1)3 (y – 2)2.


dy dx = 0.

(y – 2)2 (x + 1)3


hello_html_m5f7aa679.gifперенесли второе слагаемое с противоположным знаком, получили уравнение с разделенными переменными. Полученное уравнение проинтегрируем, получим искомое общее решение: hello_html_4df0f493.gif

Пример2 Найти частное решение дифференциального уравнения или решить задачу Коши dy = (x – 1 )dx при x0 = 2, y0 = 5.

y

Решение:

dy = xdxdx;

y

dy = ∫xdx - ∫dx;

у

ln|y| = 0,5x2x + lnC.

Есть правило: если в решении содержится логарифм, то константу интегрирования С также записываем как lnC. Умножим (0,5х2 – х) на lne, (lne = 1)


ln|y| = lnhello_html_3aea0295.gif + lnC;

|y| = C · hello_html_3aea0295.gif

это общее решение дифференциального уравнения. Найдём частное решение. Для этого вычислим С при х0 = 2 и у0 = 5.

5 = Се2 - 2=>С = 5.

Частное решение

у = 5 hello_html_3aea0295.gif.


Пример3 Решить уравнение 2ydy + dx = 0.

х + 2

Решение:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем оба слагаемых:

y2 + ln|x + 2| = C.


Задания для самостоятельной работы № 4


Задание 1. Решить дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Соотнесите уравнение с ответом.


1) hello_html_m68ad8302.gif = y2 dy 2) hello_html_m66ac3b12.gif = x dx


3) cos(6x+1)dxy 2dy=0 4) (2x-3)4dx+y 4dy=0

5) hello_html_7fe3fdf9.gif = y dy 6) x 4dx=(y-5)dy

Ответы

А) у2-10у=hello_html_71c6e790.gif



Б) у=hello_html_b16db59.gif


В) у=hello_html_75d1e4ba.gif


Г) hello_html_m50861298.gif


Д) y=±hello_html_f3088ec.gif


Е) y=hello_html_m211df620.gif


Задание 2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.


1. y’=x2 2. y’=4x 3. y =hello_html_763211a8.gif

4. hello_html_747b2800.gif 5. hello_html_57c6eafe.gif 6. hello_html_694bfe49.gif


7. (1+y)dx=(x-1)dy 8.y2dx+(x-2)dy=0 9. x 2dy-(2xy+3y)dx=0


Ответы


Задание 3. Найдите частное решение дифференциального уравнения или решите задачу Коши.


1. ydy=xdx y(-2)=4 2. dy=(3x 2 -2x) dt y(2)=4


3. hello_html_m1b9fdb81.gif y(0)=2 4. hello_html_fa10778.gif y(0)=4

Ответы

А) y3=x3+8


Б) x2-y2+4y-2x=0


В) y2=x2+12

Г) y=x3-x2







Контрольные вопросы:

  1. Что такое дифференциальное уравнение?

  2. Что такое решение дифференциального уравнения?

  3. Что такое общее решение дифференциального уравнения?

  4. Что такое частное решение дифференциального уравнения?

  5. Сформулируйте теорему Коши.

  6. Что такое порядок дифференциального уравнения?

  7. Сформулируйте известные вам виды дифференциальных уравнений и способы их решения.



































Самостоятельная работа № 5

Тема: «Комбинаторика и вероятности событий»

Цели: способствовать развитию логического мышления обучающихся при решении задач на вероятности событий.

Справочный материал.

Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называют теорией вероятностей.

Основные понятия теории вероятностей

Случайное событие (событие) — это некоторое множество (набор) элементарных событий (исходов), которые являются результатом случайного опыта (эксперимента).

Элементарное событие (исход) — это событие, которое нельзя разделить на более простые события.

Пример элементарного события: при одном бросании игральной кости выпало четыре очка.

Пример случайного события: при одном бросании игральной кости выпало четное число очков. Данное событие можно разбить на элементарные события: «выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков».

Вероятностью случайного события называют число, выражающее шансы наступления этого события (числовая мера его правдоподобия). Это число равно отношению числа опытов, в которых событие А произошло, к общему числу проведенных равновозможных опытов:hello_html_m4529e0d9.png

Рассмотрим примеры:

Событие G «Лампочка никогда не перегорит» — невозможное событие, его вероятность 0. Событие Q «Летом пойдет снег» — практически невозможное, его вероятность ближе к 0. Событие Z «Завтра я найду на улице миллион рублей» — маловероятное.

Событие М «Бутерброд падает всегда маслом вниз» — случайное событие, его вероятность ?, как и вероятность выпадения герба при бросании монеты (Событие N).

Событие А «Лампочка рано или поздно перегорит» — достоверное событие, с вероятностью 1.

Событие В «Зимой бывает снег» — достоверное, его вероятность близка к 1.

Посмотрим, как будут данные события располагаться на вероятностной шкале:hello_html_m26f47f26.pngЗамечание 1. Если число равновозможных событий равно N, то вероятность каждого из них 1/N.

Замечание 2. Если результат случайного эксперимента — три элементарных события a,b,c, а вероятности этих событий Р(a),Р(b),Р(c), то сумма вероятностей всех элементарных события в каждом опыте равна 1, т.е. Р(a) + Р(b) + Р(c) = 1.

Пусть случайное событие А состоит из элементарных событий. Эти элементарные события называют благоприятствующими случайному событию А. Все прочие элементарные события данного опыта, не благоприятствующие событию A, в совокупности представляют новое событие, не благоприятствующее событию А, которое называется событием противоположным событию А (hello_html_m3b46e91d.png). События А и hello_html_m3b46e91d.png называют взаимно противоположными событиями.

Замечание 3. Взаимно противоположные события одновременно произойти не могут, но какое-либо из них происходит обязательно. Поэтому Р(А) + Р(hello_html_m3b46e91d.png) = 1.

Пример 1.Студент не успел выучить 3 билета из 30. Какова вероятность, что он сдаст экзамен?

Решение. По определению вероятности: p = k / n , где k — число благоприятных событий (исходов), n — общее число событий (исходов).k = 30 - 3 = 27, n = 30. Тогда искомая вероятность р = 27 / 30 = 0,9

Второй способ: 3 / 30 = 0,1 — вероятность, что студент не сдаст экзамен, тогда вероятность, что сдаст 1 – 0,1 = 0,9.

Пример 2.Какова вероятность, стоя с закрытыми глазами перед географической картой мира, выбрать точку на суше, показав на нее указкой, если площадь суши 149,1 млн. км2, а площадь океанов 361,1 млн. км2?

Решение. Надо знать какую часть всей площади Земли занимает суша. 149,1 + 361,1 = 510,2 млн. км2. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность: 149,1 : 510,2 = 0,29.

Геометрическое определение вероятности. Р(А) = S(A) / S(G), где G — произвольная область, А — любая подобласть области G.

Операции с вероятностями

  1. Сложение вероятностей. Событие А hello_html_685d25f4.png В наступает, если наступают оба события А и В одновременно.

Пусть А и В — два события одного случайного опыта. Рассмотрим те элементарные события, которые благоприятствуют событию А, и те элементарные события, которые благоприятствуют событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию, которое называется объединением событий А и В.

Событие А hello_html_35fee11b.png В наступает, если наступает хотя бы одно из событий А или В. Это означает, что наступает либо А, либо В, либо А и В вместе.

Пусть А и В — два события одного случайного опыта. Рассмотрим элементарные события, которые благоприятствуют и событию А и событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию, которое называется пересечением событий А и В.

Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта (еще говорят взаимоисключающие). Такие события называют несовместными, а их пересечение — пустое событие.

А) Если события А и В несовместны, то Р(А hello_html_35fee11b.png В) = Р(А) + Р (В)

Б) Если А и В — любые события, то Р(А hello_html_35fee11b.png В) = Р(А) + Р (В) - Р(А hello_html_685d25f4.png В)


Пример 3.Мишень представляет три области. Для данного стрелка вероятность попасть в первую область 0,15, во вторую — 0,25, в третью — 0,4.

а) Какова вероятность стрелку попасть с первого выстрела в какую-нибудь из трех областей?

б) Какова вероятность промазать с первого выстрела?

Решение.

а) Одновременно попасть в две (три) области при одном выстреле нельзя, т.е. имеем дело с несовместными событиями, поэтому Р = Р1 + Р2 + Р3 = 0,15 + 0, 25 + 0,4 = 0,8.

б) Событие «промазать» противоположно событию «попасть куда-нибудь». Поэтомуhello_html_m196dc014.png = 1 – Р = 1 – 0,8 = 0,2.

Пример 4.Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпало разное число очков?

Решение. Событие А состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй. Событие В состоит в том, что во второй раз выпало больше очков, чем в первый.hello_html_343be833.png

Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (15 штук ) розовым цветом, а В (15 штук) — голубым. Общее число элементарных событий 36. Р(А) = Р (В) = 15/36 = 5/12Общих элементарных событий у событий А и В нет, т.е. события А и В несовместны, тогдаР(А hello_html_35fee11b.png В) = Р(А) + Р (В) = 5/12 + 5/12 = 10/12 = 5/6Второй способ: Обозначим hello_html_m79d517d9.png событие «оба раза выпало одинаковое число очков», являющееся противоположным событию А hello_html_35fee11b.png В. Ему соответствуют 6 не закрашенных ячеек таблицы. Р(hello_html_m79d517d9.png)= 6/36 = 1/6. Тогда Р(Ahello_html_35fee11b.pngB) = 1 - Р(hello_html_m79d517d9.png) = 1 – 1/6 = 5/6.


  1. Умножение вероятностей.

Случайный выбор — это выбор наудачу одного предмета из группы предметов.

Выбор наудачу — это разновидность случайного опыта с равновозможными элементарными событиями. Элементарным событием в таком опыте является извлечение одного предмета из группы. Если в группе N предметов, то каждый из них может быть выбран с вероятностью 1/N. После выбора одного предмета случайный выбор можно продолжить, выбрав второй, третий и т. д. предметы или сразу взять наудачу нужное количество предметов. Собранную таким образом группу называют случайной выборкой.

Независимые события — это события, которые не связаны друг с другом, т.е. по наступлению одного из них нельзя судить о вероятности другого. Например, при бросании двух костей результат бросания первой кости не влияет на результат бросания второй. Если события А и В независимы, то Р(А hello_html_685d25f4.png В) = Р(А) · Р(В).


Пример 5.Какова вероятность, что при бросании двух игральных костей выпадут две шестерки.

Решение. Пусть событие А — «на первой кости выпала шестерка», событие В — «на второй кости выпала шестерка», заметим, что Р(А) = Р(В) = 1/6. Общее число элементарных событий 36. Выпадение двух шестерок — новое событие, являющееся пересечением независимых событий А и ВР(А hello_html_685d25f4.png В) = 1/36. Получаем, что Р(А hello_html_685d25f4.png В) = 1/6 · 1/6 = 1/36 = Р(А) · Р(В).


Пример 6.Бросают две игральные кости. Какова вероятность, что на первой кости выпало более трех очков, а на второй — менее трех?

Решение. Событие А состоит в том, что «на первой кости выпало более 3 очков», а событие В, что «на второй кости выпало меньше 3 очков».hello_html_5206ef20.pngВыделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (18 штук) розовым цветом, а В (12 штук) — голубым, а события, благоприятствующие и А и В (6 штук) — зеленым. Общее число элементарных событий 36.Р(А) = 18/36 = 1/2; Р (В) = 12/36 = 1/3, Р(А hello_html_685d25f4.png В) = 6/36 = 1/6.Т.к. события А и В независимые, то Р(А hello_html_685d25f4.png В) = 1/2 · 1/3 = 1/6 = Р(А) · Р(В).

Задания для самостоятельной работы №5

Выбрать один правильный ответ

1.На чемпионате по бегу на 100 м выступают 3 спортсмена из Италии, 5 спортсменов из Германии и 4 — из России. Номер дорожки для каждого спортсмена определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что на второй дорожке будет стоять спортсмен из Италии?

2.В городе работают 120 офисов различных банков. Бабуля выбирает один из этих банков наугад и открывает в нем вклад на 100 000 рублей. Известно, что во время кризиса 36 банков разорились, и вкладчики этих банков потеряли все свои деньги. Какова вероятность того, что бабуля не потеряет свой вклад? 3.Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 60 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса. 4.Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 60 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса. 5.Какова вероятность, что из семи мужчин и трех женщин случайно выбрали двух мужчин? 6.Миша, Рома, Олег, Паша и Дима бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Рома. 7.Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпало одинаковое число очков? 8.Вероятность, что потребуют обувь 41 размера, равна 0,2. Какова вероятность, что первые пять покупателей потребуют обувь 41 размера? 9.За одну 12-часовую смену рабочий изготавливает на станке с числовым программным управлением 600 деталей. Из-за дефекта режущего инструмента на станке получено 9 бракованных деталей. В конце рабочего дня мастер цеха берет одну деталь наугад и проверяет ее. Какова вероятность, что ему попадется именно бракованная деталь? 10.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса. 11.На Киевском вокзале в Москве работают 28 окон билетных касс, рядом с которыми толпятся 4000 пассажиров, желающих купить билеты на поезд. По статистике, 1680 из этих пассажиров неадекватны. Найти вероятность того, что кассиру, сидящему за 17-м окном, попадется неадекватный пассажир (учитывая, что пассажиры выбирают кассу наугад). 12.Бригада из 7 строителей-мигрантов предлагает услуги по ремонту квартир. За летний сезон они выполнили 360 заказов, причем в 234 случаях не убрали строительный мусор из подъезда. Коммунальные службы выбирают одну квартиру наугад и проверяют качество ремонтных работ. Найти вероятность того, что сотрудники коммунальных служб не наткнутся при проверке на строительный мусор. 13.Банк «Русский стандарт» проводит лотерею для своих клиентов — держателей карт Visa Classic и Visa Gold. Будет разыграно 6 автомобилей Opel Astra, 1 автомобиль Porsche Cayenne и 473 телефона iPhone 4. Известно, что менеджер Вася оформил карту Visa Classic и стал победителем лотереи. Какова вероятность, что он выиграет автомобиль Opel Astra, если приз выбирается наугад? 14.Вероятность купить билет на футбол равна 0,3, а в театр — 0,4. Какова вероятность попасть и на футбол и в театр? 15.В коробке 2 синих, 6 красных и 12 прозрачных шара. Какова вероятность вытащить цветной шар? 16.Бросают две игральных кости. Какова вероятность, что хотя бы на одном из кубиков выпали шесть очков? 17.Вероятность купить билет на футбол равна 0,3, а в театр — 0,4. Какова вероятность попасть на футбол или в театр? 18.На соревновании по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании и 4 из Швейцарии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать спортсмен из Испании. 19.В партии из 800 кирпичей есть 14 бракованных. Мальчик выбирает наугад один кирпич из этой партии и бросает его с восьмого этажа стройки. Какова вероятность, что брошенный кирпич окажется бракованным? 20.В магазин завезли 1500 бутылок водки. Известно, что 9 из них — просроченные. Найти вероятность того, что алкоголик, выбирающий одну бутылку наугад, в итоге купит именно просроченную. 21.Экзаменационный сборник по физике для 11 класса состоит из 75 билетов. В 12 из них встречается вопрос о лазерах. Какова вероятность, что ученик Степа, выбирая билет наугад, наткнется на вопрос о лазерах? 22.Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков? 23.Папа, мама, сын и дочка бросили жребий — кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама. 24.На американский военный завод поступила партия из 9000 поддельных микросхем китайского производства. Эти микросхемы устанавливаются в электронные прицелы для винтовки M-16. Известно, что 8766 микросхем в указанной партии неисправны, и прицелы с такими микросхемами будут работать неправильно. Найти вероятность того, что наугад выбранный электронный прицел работает правильно. 25.Бабуля хранит на чердаке своего загородного дома 2400 банок с огурцами. Известно, что 870 из них давно протухли. Когда к бабуле приехал внучек, она подарила ему одну банку из своей коллекции, выбирая ее наугад. Какова вероятность того, что внучек получил банку с тухлыми огурцами? 26.Во Владивостоке отремонтировали школу и поставили 1200 новых пластиковых окон. Ученик 11-го класса, который не хотел сдавать ЕГЭ по математике, нашел на газоне 45 булыжников и начал кидать их в окна наугад. В итоге, он разбил 45 окон. Найти вероятность того, что окно в кабинете директора окажется не разбитым. 27.В июне 5 пасмурных дней. Какова вероятность, что 1 и 2 июня солнечные дни? 28.Студент знает 24 билета из 30. Какова вероятность, что он сдаст экзамен? Задача 29. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Задача 30 Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

Задача 31 На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?

Задача 32 В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

Контрольные вопросы:

  1. Что такое случайное событие?

  2. Что такое элементарное событие?

  3. Что такое независимые события?

  4. Что такое вероятность случайного события. Запишите формулу вероятности случайного события?

  5. Перечислите операции с вероятностями.


Литература:


1. Богомолов Н.В., П.И. Самойленко Математика: учебник для бакалавров М.: Издательство Юрайт, 2012г.-396с.

2. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями: учебное пособие. Москва: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2010г.-432с. Единое окно доступа к электронным ресурсам http://window.edu.ru/

3. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. Москва:Айрис-пресс.2088г.-576с. Единое окно доступа к электронным ресурсам http://window.edu.ru/

4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для ССУЗов. М.: Дрофа, 2008.

5.Никольский С.М., Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Алгебра и начала математического анализа: учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни. М.: Просвещение,2008г.-464с.

Интернет-ресурсы:


  1. Математика on-lain. Справочные материалы для студентов. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://mathem.h1.ru/

  2. Электронный учебник по математике. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://mirsmpc.ru/matematics/12.html

  3. Открытая библиотека электронных учебных курсов. Ю.В. Рудяк Математический анализ. Теория вероятностей и математическая статистика. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://free.megacampus.ru/

  4. Электронный курс «Введение в математику». [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.intuit.ru/studies/courses/107/107/info

  5. Электронный курс «Математический анализ». [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.intuit.ru/studies/courses/107/107/lecture/3121

  6. Сайт учителя информатики в помощь ученику informatika-1332. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.informatika-1332.ru/

  7. Доступная математика [Электронный ресурс]. Режим доступа: cleverstudents.ru

  8. Образовательный онлайн сервис Webmath. Режим доступа: http://www.webmath.ru/



48


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 02.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров93
Номер материала ДБ-314650
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх