959507
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5 480 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1 400 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до 28 февраля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания для обучающихся в техникуме предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия», по профессиям СПО на тему: "Логарифмы"

Методические указания для обучающихся в техникуме предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия», по профессиям СПО на тему: "Логарифмы"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Тема: Определение логарифма числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы

Знать: определение логарифма числа; свойства логарифмов; основное логарифмическое тождество; формулу перехода к новому основанию и ее следствия; понятия десятичных и натуральных логарифмов.

Уметь: находить значения логарифма на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами логарифмов.

Опр. Логарифмом числа hello_html_m61e7634.png по основанию hello_html_m15c4ad18.png ( hello_html_10900f76.png ) называется такое числоhello_html_m5dc1768b.png, что hello_html_5c296f6f.png, то есть записи hello_html_m605468a7.png и hello_html_5c296f6f.png равносильны. Логарифм имеет смысл, если hello_html_m7f45c733.png. Логарифм числа hello_html_m61e7634.png по основанию hello_html_m15c4ad18.png определяется как показатель степени, в которую надо возвести число hello_html_m15c4ad18.png, чтобы получить число hello_html_m61e7634.png (Логарифм существует только у положительных чисел).

Исходя из определения логарифма hello_html_m766caf07.png, легко получить следующее свойство, которое называется основным логарифмическим тождеством. Для этого достаточно подставить вторую формулу в первую. В результате получаем: hello_html_m7e9e67c1.png.

Это выражение называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов:

1°    hello_html_m236658e7.png 

2°    hello_html_m75a034aa.png

3°    hello_html_m320e3b.png

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4°    hello_html_283eed73.png - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5°    hello_html_m6399158f.png - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6°    hello_html_793bf5b4.png - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°    hello_html_mc69966b.png

hello_html_m6922e75b.gif

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

9°    hello_html_7f280521.png

10°    hello_html_f21b487.png - переход к новому основанию.

     Пример: Вычислить hello_html_7cf4919.png, если hello_html_10e183a9.png

Решение: Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

hello_html_m6710ca71.png

Ответ: hello_html_15fd05f1.png

Рассмотрим простейшие примеры вычисления логарифмов:

1)   hello_html_m13fa1a3e.png, так как hello_html_m4b4b6bca.png.

2)   hello_html_m42020051.png, так как hello_html_aade6bc.png.

3)   hello_html_1c3d8fe.png, так как hello_html_m160e8af9.png.

4)   hello_html_m17296738.png, так как hello_html_108a47f3.png.

Примеры:

1) Найти значение log2(32).

Решение: 32 можно представить как 25. То есть для того, чтобы нам получить число 32, необходимо двойку возвести в пятую степень. Следовательно, log2(32) = 5.

2) Найти логарифм числа 1/9 по основанию √3.

Решение: Так как (√3)4 = 1/9, получаем, что log√3(1/9) = -4.

3) Найти х такое, что будет верно условие: log8(x) = 1/3.

Решение: Применим основное логарифмическое тождество: x = 8(log8(x)) = 8(1/8) = 2.

Опр. Десятичным логарифмом называется  логарифм по основанию 10. Он обозначается  lg , т.е. log 10N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... pавны соответственно 1,  2,  3, …,  т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... pавны соответственно –1,  –2,  –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). 

Опр. Натуральным логарифмом называется  логарифм по основанию  е. Он обозначается  ln , т.е. log eN = ln N. Это знаменитое число  e,  введенное Эйлером. Число е является иррациональным, лежит между  2  и  3,  и его первые десятичные знаки таковы: e=2,718281828… .

     hello_html_m57f8da4b.jpg - натуральный логарифм (логарифм по основанию e): hello_html_m456f5cf7.jpg

Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n  при неограниченном возрастании  n .

Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию  е  осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

     Примеры:
Вычисление десятичных логарифмов
1)  
hello_html_m5b4f5423.gif  так как  hello_html_m638742f1.gif
2)  
hello_html_9599303.gif  так как  hello_html_7ea5a9cc.gif
3)  
hello_html_m16ef08d1.gif
4)  
hello_html_3d646d35.gif

Теоремы логарифмирования :

1) Если два числа при данном основании имеют один и тот же логарифм, то эти числа равны.

2) Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов сомножителей.

3) Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя взятых по тому же основанию.

4) Логарифм степени положительного числа равен показателю степени, умноженному на логарифм ее основания.

5) Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня.

6) Логарифмы числа N при основаниях а и b связаны соотношением, которое называется формулой перехода от логарифма по основанию b к логарифму по основанию а .

Пример 1. Упростить выражение: hello_html_m36ce5481.png.

Для решения воспользуемся свойством: hello_html_m4f05a330.png.

Рассмотрим несколько способов решения: 

1 способ: 

hello_html_574f398e.png 

hello_html_m54b471d7.png

2 способ:

hello_html_3a5f117a.png 

hello_html_m7e6d0637.png

3 способ:

hello_html_ma45be82.png 

hello_html_c6e40c7.png.

Пример 2. Упростить выражение: hello_html_2e95837e.png.

hello_html_m6277c8e.png

Пример 3. Упростить выражение: hello_html_114cb64b.png.

hello_html_59deecc2.png

Пример 4. Упростить выражение hello_html_3ece61a3.png.

Рассмотрим несколько способов решения:

1 способ:

hello_html_dac98d8.png

2 способ:

hello_html_m1736f490.png.

Пример 5. Упростить выражение hello_html_1a9f21de.png.

hello_html_590c3087.png.

Пример 6. Найти значение выражения hello_html_ma55d607.png, если hello_html_686b9ab.png.

Рассмотрим несколько способов решения:

1 способ:

hello_html_m1bd78d4f.png.

2 способ:

hello_html_m236fd75.png 

hello_html_m274a7fa9.png.

Пример 7. Найти значение выражения: hello_html_m265e9ca8.png, если hello_html_m546d4a4e.png.

Рассмотрим несколько способов решения: 

1 способ: 

hello_html_45ea0bf2.png 

hello_html_4afc1276.png

2 способ: 

hello_html_m4eb79de.png

hello_html_3ad1b2d6.png

Пример 8. Упростить выражение hello_html_m7992e129.png.

hello_html_m100e77a5.png 

hello_html_433024f3.png.

 Пример 9. Упростить выражение hello_html_bcf8b28.png.

hello_html_32d8fe41.png 

hello_html_c9db9f0.png 

hello_html_maa140db.png.

Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1. Сформулируйте определение логарифма числа.

2. Объясните, в чем заключается основное логарифмическое тождество.

3. Напишите формулу перехода к новому основанию.

4.Вычислите: 1. hello_html_1e451248.gif, 2. hello_html_m4a5270ba.gif,3. hello_html_24f16c1f.gif,4. hello_html_m43590a06.gif,
5.
 hello_html_m72a0dd37.gif, 6. hello_html_m68aaf7fc.gif

5.Найдите: 1. hello_html_m6d47af73.gif, если hello_html_m7d581272.gif.

2. hello_html_m71d7a8cb.gif, если hello_html_59228388.gif и hello_html_12053553.gif.



Тема. Логарифмирование и потенцирование

Обучающийся должен:

Знать: понятия логарифмирования и потенцирования; свойства логарифмов.

Уметь: преобразовывать алгебраические выражения с помощью логарифмирования и потенцирования, используя теоремы логарифмирования.

Опр. Логарифмирование. Логарифмировать алгебраическое выражение - значит выразить логарифм его через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение. Это можно сделать, используя теоремы о логарифме произведения, частного, степени и корня. Логарифмирование – это переход от уравнения f(x)=g(x) к уравнению loga f(x)=loga g(x)

Примеры. Прологарифмировать следующие выражения:

а) х = 3 bc ;log х = log 3 + log b + log c .

б) hello_html_5e296f9b.gif

в) hello_html_m13960415.png

г) Найдем логарифм x = a2 · в/c

lg x = lg (a2 · в/c) = lg a2 + lg b – lg c = 2lg a + lg b – lg c

Вычислить: hello_html_6b20112e.gif

Тогда по теореме о логарифме дроби

logax = loga(132  3√140) —  loga5√67 • 98

Теорема о логарифме произведения дает:

loga(132  3√140)  = loga13 + loga 3√140,

 loga5√67 • 98 =  loga5√67 +  loga5√98

Теперь, используя теоремы о логарифме степени и корня, получаем:

loga13= 2  loga13,                loga5√67  = 1/5 loga67,

loga 3√140 = 1/3 loga 140,         loga5√98  = 1/5 loga 98.

Таким образом,

logax  = 2  loga13 + 1/3 loga 140  1/5 loga67 — 1/5 loga 98.

Опр. Потенцирование – это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения). Это операция, обратная логарифмированию. Потенцировать – значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.

Например, надо решить уравнение log2 3x = log2 9.

Убираем значки логарифмов – то есть потенцируем:

3х = 9.В результате получаем простое уравнение: х = 9 : 3 = 3.

Примеры. Пропотенцировать следующие выражения:

а) hello_html_4020ddba.gif;

hello_html_m94c43a7.gif

б) hello_html_169aabc6.gif;

hello_html_73f64065.gif

Вычислить: logax = 2 loga10 — 1/2 loga7 — 3 loga 3 + 1/3 loga19.

Прежде всего, используя теоремы о логарифме степени и корня, можно записать:

2 loga10 =  loga102 = loga100,

1/2 loga7 = loga(7)1/2 = loga√7,

3 loga 3 = loga 33= loga 27,

1/3 loga19 = loga(19)1/3  = log3√19

После этого logax можно записать в виде

loga= loga100 —   loga√7 — loga 27 + log3√19

Теперь, используя теоремы о логарифме произведения и частного, получим:

logax = (loga100 + log3√19 ) — (loga√7  + loga 27 ) =

= loga(100 • 3√19) — log(√7 •  27) = loga hello_html_m57a8dd37.gif .

Итак, logax = loga hello_html_m57a8dd37.gif

Но если логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа.  Поэтому

x =  hello_html_m57a8dd37.gif


Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1. Что называют логарифмом числа?

2. Что называют логарифмированием выражения?

3. Какое преобразование называют потенцированием?

4. Какое утверждение используется при потенцировании?

5. Как можно преобразовать сумму двух логарифмов по одному и тому же основанию?

6. Определить х из уравнений:

а) 5 log х - 6 = 2 log х ; б) (log х )² - 3 log + 2 = 0.

7. Определить х, если: 1) hello_html_53325e23.gif, 2), hello_html_m1dc3fb9c.gif, 3) hello_html_m7e1f8ba6.gif

8. Вычислить:

Дано: hello_html_64f2085b.png. Найти hello_html_195bfa82.png.
































Список использованной литературы:

1.Башмаков М.И. Математика /Учебник для начального и среднего профессионального образования/ - М.: Академия, 2013

2.Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика – М.: «Дрофа», 2010

3.Богомолов Н.В., Сборник задач по математике – М.: «Дрофа», 2010

4.Виленкин И.В, Гробер В.М. Высшая математика - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2002

5.Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики - М.: «Академия», 2010

6. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики - М.: «Наука», 1970

7.Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2008

8.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина, 2013

9.Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2010

10. Пехлецкий И. Д. Математика - М.: «Академия», 2010

11. Погорелов А.В. Геометрия, 10-11 /Учебник/ - М.: «Просвещение», 2006

12. Яковлев Г.Н. и др. Алгебра и начала анализа, часть 1 - М.: «Наука», 1981

13. Яковлев Г.Н. и др. Алгебра и начала анализа, часть 2 - М.: «Наука», 1978



















Общая информация

Номер материала: ДБ-278357

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.