Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания для обучающихся в техникуме предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия», по профессиям СПО на тему: "Логарифмы"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические указания для обучающихся в техникуме предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия», по профессиям СПО на тему: "Логарифмы"

библиотека
материалов

Тема: Определение логарифма числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы

Знать: определение логарифма числа; свойства логарифмов; основное логарифмическое тождество; формулу перехода к новому основанию и ее следствия; понятия десятичных и натуральных логарифмов.

Уметь: находить значения логарифма на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами логарифмов.

Опр. Логарифмом числа hello_html_m61e7634.png по основанию hello_html_m15c4ad18.png ( hello_html_10900f76.png ) называется такое числоhello_html_m5dc1768b.png, что hello_html_5c296f6f.png, то есть записи hello_html_m605468a7.png и hello_html_5c296f6f.png равносильны. Логарифм имеет смысл, если hello_html_m7f45c733.png. Логарифм числа hello_html_m61e7634.png по основанию hello_html_m15c4ad18.png определяется как показатель степени, в которую надо возвести число hello_html_m15c4ad18.png, чтобы получить число hello_html_m61e7634.png (Логарифм существует только у положительных чисел).

Исходя из определения логарифма hello_html_m766caf07.png, легко получить следующее свойство, которое называется основным логарифмическим тождеством. Для этого достаточно подставить вторую формулу в первую. В результате получаем: hello_html_m7e9e67c1.png.

Это выражение называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов:

1°    hello_html_m236658e7.png 

2°    hello_html_m75a034aa.png

3°    hello_html_m320e3b.png

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4°    hello_html_283eed73.png - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5°    hello_html_m6399158f.png - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6°    hello_html_793bf5b4.png - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°    hello_html_mc69966b.png

hello_html_m6922e75b.gif

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

9°    hello_html_7f280521.png

10°    hello_html_f21b487.png - переход к новому основанию.

     Пример: Вычислить hello_html_7cf4919.png, если hello_html_10e183a9.png

Решение: Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

hello_html_m6710ca71.png

Ответ: hello_html_15fd05f1.png

Рассмотрим простейшие примеры вычисления логарифмов:

1)   hello_html_m13fa1a3e.png, так как hello_html_m4b4b6bca.png.

2)   hello_html_m42020051.png, так как hello_html_aade6bc.png.

3)   hello_html_1c3d8fe.png, так как hello_html_m160e8af9.png.

4)   hello_html_m17296738.png, так как hello_html_108a47f3.png.

Примеры:

1) Найти значение log2(32).

Решение: 32 можно представить как 25. То есть для того, чтобы нам получить число 32, необходимо двойку возвести в пятую степень. Следовательно, log2(32) = 5.

2) Найти логарифм числа 1/9 по основанию √3.

Решение: Так как (√3)4 = 1/9, получаем, что log√3(1/9) = -4.

3) Найти х такое, что будет верно условие: log8(x) = 1/3.

Решение: Применим основное логарифмическое тождество: x = 8(log8(x)) = 8(1/8) = 2.

Опр. Десятичным логарифмом называется  логарифм по основанию 10. Он обозначается  lg , т.е. log 10N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... pавны соответственно 1,  2,  3, …,  т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... pавны соответственно –1,  –2,  –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). 

Опр. Натуральным логарифмом называется  логарифм по основанию  е. Он обозначается  ln , т.е. log eN = ln N. Это знаменитое число  e,  введенное Эйлером. Число е является иррациональным, лежит между  2  и  3,  и его первые десятичные знаки таковы: e=2,718281828… .

     hello_html_m57f8da4b.jpg - натуральный логарифм (логарифм по основанию e): hello_html_m456f5cf7.jpg

Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n  при неограниченном возрастании  n .

Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию  е  осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

     Примеры:
Вычисление десятичных логарифмов
1)  
hello_html_m5b4f5423.gif  так как  hello_html_m638742f1.gif
2)  
hello_html_9599303.gif  так как  hello_html_7ea5a9cc.gif
3)  
hello_html_m16ef08d1.gif
4)  
hello_html_3d646d35.gif

Теоремы логарифмирования :

1) Если два числа при данном основании имеют один и тот же логарифм, то эти числа равны.

2) Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов сомножителей.

3) Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя взятых по тому же основанию.

4) Логарифм степени положительного числа равен показателю степени, умноженному на логарифм ее основания.

5) Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня.

6) Логарифмы числа N при основаниях а и b связаны соотношением, которое называется формулой перехода от логарифма по основанию b к логарифму по основанию а .

Пример 1. Упростить выражение: hello_html_m36ce5481.png.

Для решения воспользуемся свойством: hello_html_m4f05a330.png.

Рассмотрим несколько способов решения: 

1 способ: 

hello_html_574f398e.png 

hello_html_m54b471d7.png

2 способ:

hello_html_3a5f117a.png 

hello_html_m7e6d0637.png

3 способ:

hello_html_ma45be82.png 

hello_html_c6e40c7.png.

Пример 2. Упростить выражение: hello_html_2e95837e.png.

hello_html_m6277c8e.png

Пример 3. Упростить выражение: hello_html_114cb64b.png.

hello_html_59deecc2.png

Пример 4. Упростить выражение hello_html_3ece61a3.png.

Рассмотрим несколько способов решения:

1 способ:

hello_html_dac98d8.png

2 способ:

hello_html_m1736f490.png.

Пример 5. Упростить выражение hello_html_1a9f21de.png.

hello_html_590c3087.png.

Пример 6. Найти значение выражения hello_html_ma55d607.png, если hello_html_686b9ab.png.

Рассмотрим несколько способов решения:

1 способ:

hello_html_m1bd78d4f.png.

2 способ:

hello_html_m236fd75.png 

hello_html_m274a7fa9.png.

Пример 7. Найти значение выражения: hello_html_m265e9ca8.png, если hello_html_m546d4a4e.png.

Рассмотрим несколько способов решения: 

1 способ: 

hello_html_45ea0bf2.png 

hello_html_4afc1276.png

2 способ: 

hello_html_m4eb79de.png

hello_html_3ad1b2d6.png

Пример 8. Упростить выражение hello_html_m7992e129.png.

hello_html_m100e77a5.png 

hello_html_433024f3.png.

 Пример 9. Упростить выражение hello_html_bcf8b28.png.

hello_html_32d8fe41.png 

hello_html_c9db9f0.png 

hello_html_maa140db.png.

Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1. Сформулируйте определение логарифма числа.

2. Объясните, в чем заключается основное логарифмическое тождество.

3. Напишите формулу перехода к новому основанию.

4.Вычислите: 1. hello_html_1e451248.gif, 2. hello_html_m4a5270ba.gif,3. hello_html_24f16c1f.gif,4. hello_html_m43590a06.gif,
5.
 hello_html_m72a0dd37.gif, 6. hello_html_m68aaf7fc.gif

5.Найдите: 1. hello_html_m6d47af73.gif, если hello_html_m7d581272.gif.

2. hello_html_m71d7a8cb.gif, если hello_html_59228388.gif и hello_html_12053553.gif.



Тема. Логарифмирование и потенцирование

Обучающийся должен:

Знать: понятия логарифмирования и потенцирования; свойства логарифмов.

Уметь: преобразовывать алгебраические выражения с помощью логарифмирования и потенцирования, используя теоремы логарифмирования.

Опр. Логарифмирование. Логарифмировать алгебраическое выражение - значит выразить логарифм его через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение. Это можно сделать, используя теоремы о логарифме произведения, частного, степени и корня. Логарифмирование – это переход от уравнения f(x)=g(x) к уравнению loga f(x)=loga g(x)

Примеры. Прологарифмировать следующие выражения:

а) х = 3 bc ;log х = log 3 + log b + log c .

б) hello_html_5e296f9b.gif

в) hello_html_m13960415.png

г) Найдем логарифм x = a2 · в/c

lg x = lg (a2 · в/c) = lg a2 + lg b – lg c = 2lg a + lg b – lg c

Вычислить: hello_html_6b20112e.gif

Тогда по теореме о логарифме дроби

logax = loga(132  3√140) —  loga5√67 • 98

Теорема о логарифме произведения дает:

loga(132  3√140)  = loga13 + loga 3√140,

 loga5√67 • 98 =  loga5√67 +  loga5√98

Теперь, используя теоремы о логарифме степени и корня, получаем:

loga13= 2  loga13,                loga5√67  = 1/5 loga67,

loga 3√140 = 1/3 loga 140,         loga5√98  = 1/5 loga 98.

Таким образом,

logax  = 2  loga13 + 1/3 loga 140  1/5 loga67 — 1/5 loga 98.

Опр. Потенцирование – это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения). Это операция, обратная логарифмированию. Потенцировать – значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.

Например, надо решить уравнение log2 3x = log2 9.

Убираем значки логарифмов – то есть потенцируем:

3х = 9.В результате получаем простое уравнение: х = 9 : 3 = 3.

Примеры. Пропотенцировать следующие выражения:

а) hello_html_4020ddba.gif;

hello_html_m94c43a7.gif

б) hello_html_169aabc6.gif;

hello_html_73f64065.gif

Вычислить: logax = 2 loga10 — 1/2 loga7 — 3 loga 3 + 1/3 loga19.

Прежде всего, используя теоремы о логарифме степени и корня, можно записать:

2 loga10 =  loga102 = loga100,

1/2 loga7 = loga(7)1/2 = loga√7,

3 loga 3 = loga 33= loga 27,

1/3 loga19 = loga(19)1/3  = log3√19

После этого logax можно записать в виде

loga= loga100 —   loga√7 — loga 27 + log3√19

Теперь, используя теоремы о логарифме произведения и частного, получим:

logax = (loga100 + log3√19 ) — (loga√7  + loga 27 ) =

= loga(100 • 3√19) — log(√7 •  27) = loga hello_html_m57a8dd37.gif .

Итак, logax = loga hello_html_m57a8dd37.gif

Но если логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа.  Поэтому

x =  hello_html_m57a8dd37.gif


Вопросы и упражнения для самоконтроля.

1. Что называют логарифмом числа?

2. Что называют логарифмированием выражения?

3. Какое преобразование называют потенцированием?

4. Какое утверждение используется при потенцировании?

5. Как можно преобразовать сумму двух логарифмов по одному и тому же основанию?

6. Определить х из уравнений:

а) 5 log х - 6 = 2 log х ; б) (log х )² - 3 log + 2 = 0.

7. Определить х, если: 1) hello_html_53325e23.gif, 2), hello_html_m1dc3fb9c.gif, 3) hello_html_m7e1f8ba6.gif

8. Вычислить:

Дано: hello_html_64f2085b.png. Найти hello_html_195bfa82.png.
































Список использованной литературы:

1.Башмаков М.И. Математика /Учебник для начального и среднего профессионального образования/ - М.: Академия, 2013

2.Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика – М.: «Дрофа», 2010

3.Богомолов Н.В., Сборник задач по математике – М.: «Дрофа», 2010

4.Виленкин И.В, Гробер В.М. Высшая математика - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2002

5.Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики - М.: «Академия», 2010

6. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики - М.: «Наука», 1970

7.Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2008

8.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина, 2013

9.Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2010

10. Пехлецкий И. Д. Математика - М.: «Академия», 2010

11. Погорелов А.В. Геометрия, 10-11 /Учебник/ - М.: «Просвещение», 2006

12. Яковлев Г.Н. и др. Алгебра и начала анализа, часть 1 - М.: «Наука», 1981

13. Яковлев Г.Н. и др. Алгебра и начала анализа, часть 2 - М.: «Наука», 1978




















Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 21.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров78
Номер материала ДБ-278357
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх