423527
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5 480 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1 400 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до 28 февраля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания для студентов колледжей "Введение в математический анализ"

Методические указания для студентов колледжей "Введение в математический анализ"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.


Методические указания для самостоятельной работы студентов технических специальностей колледжей и лицеев




«ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»



Работа состоит из четырех разделов. В первом излагается понятие предела последовательности и функции, во втором – основные типы неопределенностей и их раскрытие при вычислении пределов функции, в третьем разделе даются определения области существования и области значений функции и в четвертом разделе рассматривается понятие непрерывности функции. Для каждого раздела подробно разобраны примеры, иллюстрирующие каждое из понятий.

Отдельно представлены задания для индивидуальных занятий.

ЧАСТЬ I


  1. Пределы последовательностей и функций

Для доказательства существования предела последовательности необходимо воспользоваться определением:

Число а называется пределом последовательности hello_html_77f789b7.gif, если для любого Ɛhello_html_51d85658.gif0 найдется номер nhello_html_67e1d72d.gif(зависящий от Ɛ), такой, что при всех nhello_html_m78774d40.gifnhello_html_38f3803d.gif выполняется неравенство: /xna/ hello_html_48c8162d.gif Ɛ.

hello_html_m620d60fb.gifƐ hello_html_75b399aa.gif Ɛ


Пример 1:

Доказать, что hello_html_m2bac3de.gif


Решение:

Фиксируем достаточно малое Ɛ, тогда из неравенства

hello_html_m6d0a84f3.gifƐ выразим n через Ɛ.

hello_html_565a7b34.gifƐ.

hello_html_18d343b5.gifƐ, т.к. hello_html_706dd93c.gif

hello_html_15b1083a.gifƐ hello_html_17780f9e.gif

Тогда за номер nƐ примем целую часть числа hello_html_72ad2ba1.gif. Тогда, начиная с этого номера выполняется неравенство, поэтому существование предела доказаноhello_html_m3c62c67f.gif


Пример 2:

Доказать, что

hello_html_5b383155.gif

Тогда за nƐ примем:

nƐ = hello_html_m78e181c0.gif

т.о. существование предела доказаноhello_html_m3c62c67f.gif


Для доказательства существования предела функции необходимо воспользоваться определением:

Число b называется пределом функции f(x) при хhello_html_m6b7fc4d1.gifх0, если для любого Ɛhello_html_51d85658.gif0 можно указать такое hello_html_m6976aa1d.gif, что для х, удовлетворяющих соотношению 0hello_html_48c8162d.gifhello_html_53e80020.gif, выполняется неравенство: hello_html_603c982b.gifƐ.


Пример 3:

hello_html_m556b3f8e.gif

Пример 4:

hello_html_m7b77b961.gifтаким образом существование предела доказаноhello_html_m3c62c67f.gif


  1. Типы неопределенностей и их раскрытие

Все пределы можно условно разделить на 7 типов, каждый из которых имеет свой способ решения.


I тип: Пределы, не дающие ни какую неопределенность, решаются непосредственным вычислением.


Пример 1:

hello_html_m201da412.gifhello_html_m56bb4612.gif= hello_html_22e34f2c.gif= 0

(при непосредственной подстановке вместо x значение –2 получили вполне определенное число)hello_html_m3c62c67f.gif


II тип: Пределы, содержащие рациональные дроби и дающие неопределенность вида hello_html_d34df9f.gif вычисляются путем деления и числителя, и знаменателя на х в старшей степени дроби.


Пример 2:

hello_html_m3ad667d7.gifhello_html_m14b88887.gif= (при подстановке вместо х бесконечно большой величины получим неопределенность вида hello_html_d34df9f.gif; а т.к. х3 старшая степень всей дроби, то поделим на нее и числитель, и знаменатель)

= hello_html_5c79a06f.gif

(по теореме о бесконечно больших и бесконечно малых функциях имеем в числителе функцию равную 1, а в знаменателе бесконечно малую функцию) hello_html_m3c62c67f.gif


Пример 3:

hello_html_m4ae00fa9.gifhello_html_m3c62c67f.gif


Пример 4:

hello_html_m225b4926.gifhello_html_m3c62c67f.gif




Пример 5:

hello_html_m17ab4ee0.gifто старшая степень будет х1) =

hello_html_mf73d28c.gif

Можно вывести общее правило для этого типа пределов: если степень числителя равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов, стоящих при этих степенях; если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен бесконечности; если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен нулю.


III тип: Пределы, содержащие дробно-рациональные функции и дающие неопределенность hello_html_71921041.gifпри хhello_html_m6b7fc4d1.gifх0, решаются делением и числителя, и знаменателя на выражение (х–х0).


Пример 6:

hello_html_m1e834953.gif



2hello_html_159b883c.gifhello_html_m5eb6ebf2.gif

-

hello_html_159b883c.gifhello_html_177dd48f.gif

-

х2х -1 х – 1 x3 + 2x2 x – 2 x – 1

2hello_html_m206703a7.gifх2 –2х 2х + 1 x3x2x2 + 3x + 2

-

hello_html_m9534073.gif

-

х – 1 3x2 - x

х – 1 3x2 -3x

hello_html_m5cabd601.gif

-

hello_html_3c8c87a8.gif0 2x – 2

2x – 2

hello_html_78eef194.gif 0

hello_html_1ce5c744.gif hello_html_m3c62c67f.gif


Пример 7:

hello_html_70356535.gif



hello_html_c984821.gif

-


x

-

hello_html_159b883c.gif2 + 2x – 3 x + 3 x3 + 4x2 + 3x x + 3

xhello_html_78eef194.gifhello_html_297f8edc.gif

-

2 + 3x x – 1 x3 + 3x2 x2 + x

-hello_html_m2823cef2.gif

-

hello_html_372f6ead.gifx – 3 x2 + 3x

- x – 3 x2 + 3x

0hello_html_m32eeb702.gifhello_html_m21f193ed.gif 0

= hello_html_m55a1f34d.gifhello_html_m3c62c67f.gif


IV тип: Пределы, содержащие корни и дающие неопределенности hello_html_m6c631c0e.gif или (hello_html_22b045bc.gif) вычисляются домножением и числителя, и знаменателя на сопряженное выражение, приводящее к формулам разности квадратов, или разности (сумме) кубов.


Пример 8:

hello_html_cb99fb.gif


Пример 9:

hello_html_596be424.gif


Пример 10:

hello_html_m71a7b337.gif


V тип: Пределы, содержащие тригонометрические и обратные тригонометрические функции, имеющие неопределенность вида hello_html_3144559d.gif приводятся к первому замечательному пределу и его следствиям:

1. hello_html_m6e9932b9.gif

2. hello_html_m5e05bb4a.gif

3. hello_html_6f6425a2.gif

4. hello_html_m67aa15be.gif


Пример 11:

hello_html_61730477.gif






Пример 12:

hello_html_m3b471435.gif


VI тип: Пределы, содержащие степенно-показательные и логарифмические функции и имеющие неопределенности вида (1hello_html_m49859813.gif), (hello_html_6f332836.gif, hello_html_3144559d.gif, приводятся ко второму замечательному пределу и его следствиям:

1. hello_html_69639ee2.gif

2. hello_html_3ff70903.gif

3. hello_html_m2a0a9ac7.gif

4. hello_html_3bbe33bc.gif

5.hello_html_m2a18fea3.gif


Пример 13:

hello_html_m655eda51.gifhello_html_3430a703.gif


Пример 14:

hello_html_6d31584a.gif

Пример 15:

hello_html_m1b43aea0.gif


Пример 16:

hello_html_m1abcdc1f.gif


Пример 17:

hello_html_30a8d920.gif

hello_html_45797047.gif




hello_html_m7c4f0ce5.gif


VII тип: Пределы, содержащие функции разных классов можно вычислить с применением эквивалентных бесконечно малых функций:

  1. sinx ~ x

  2. tgx ~ x

  3. arcsinx ~ x

  4. arctgx ~ x

  5. 1-cosx ~ hello_html_m5671edc1.gifx2

  6. ln(1+x) ~ x

  7. ax-1 ~ xlna

  8. (1+x)m-1 ~ mx, при хhello_html_38bdf578.gif


Пример 18:

hello_html_m4c175131.gifhello_html_m3c62c67f.gif


Пример 19:

hello_html_50c584ad.gif


Пример 20:

hello_html_6ad21279.gifhello_html_m3c62c67f.gif







Пример 21:

hello_html_m77e963d3.gif

3. Область определения и область значения функций.

Четность, нечетность

Рассмотрим функцию f, которая переводит (преобразует, отображает) каждый элемент х из множества Х в единственный элемент у из множества Y. При этом множество Х называется областью определения функции (D(у)), а множество Е(у)hello_html_7d09a5b7.gifY множеством значения функции.


Пример 1:

Найти область определения функций:

а). hello_html_b803101.gif б). hello_html_m31a450c8.gif в). hello_html_43ad09e9.gif


Решение:

а). hello_html_b803101.gif

т.к. подкоренное выражение существует только для неотрицательных значений, а на «ноль» делить нельзя, то ООФ (область определения функции) описывается неравенством: hello_html_14dad477.gif hello_html_1b730b13.gif (1-х)(1+х)hello_html_51d85658.gif0, по методу интервалов имеем: х=1, х= -1 (нули функции).

hello_html_m4e50704d.gifhello_html_m129f6ac7.gif

hello_html_m4494c853.gifhello_html_m1ec6483e.gifhello_html_m1ec6483e.gifhello_html_m36427c7b.gifhello_html_5f875a53.gifhello_html_5f875a53.gifhello_html_m6fe36662.gif

+

-

-

1

-1



hello_html_4c3dd25f.gif.

Таким образом, D(у) = hello_html_ma243f6c.gif.

б). hello_html_m31a450c8.gif

Т.к. логарифмическая функция существует только от положительных значений, то ООФ описывается неравенством:

hello_html_m46231d2.gif.


hello_html_21e856f6.gifhello_html_m5956ce4e.gifhello_html_59234ee6.gifhello_html_m34a904a5.gifhello_html_5f875a53.gifhello_html_5f875a53.gifhello_html_5f875a53.gifhello_html_m6fe36662.gif

+

+

-

-2

2




hello_html_m18eaf1aa.gif


Таким образом, D(у) = hello_html_m55a03f46.gif


в). hello_html_43ad09e9.gif

Т.к. кубический корень существует для всех х, а функция hello_html_m29249b93.gif разрывна при х=0, то ООФ есть все х кроме х=0.

Таким образом, D(x) = hello_html_f3f342d.gif


Пример 2:

Найти область значений функции (ОЗФ).

а). у = cos(x+1) б). у = hello_html_m7dcae84f.gif

Решение:

а). у = cos(x+1)

Т.к. ООФ будет hello_html_m5852604b.gif, а функция косинуса подчиняется условию: hello_html_m6c72e969.gif, то ОЗФ будет: hello_html_b72d673.gif.

б). hello_html_m7b00207.gif

ООФ: hello_html_m5852604b.gif.


Пhello_html_5d5be31c.gifhello_html_m34c0afe8.gif

0

1

у

х

остроим схематический график показательной функции с основанием hello_html_28033c50.gif:

hello_html_58c74d3c.gif









Отсюда видно, что у может принимать значения от 0 до hello_html_4a7f8e41.gif.

Таким образом: hello_html_6a69989.gifhello_html_m3c62c67f.gif


Функция называется четной, если D(у) симметричная область и hello_html_m41bd60d7.gif справедливо f(-x)=f(x), и нечетной, если hello_html_1ca49b53.gif Если ни то, ни другое условие не выполняется, то говорят, что у=f(x) – функция общего видаhello_html_m3c62c67f.gif


Пример 3:

Установить четность или нечетность функции:

а). hello_html_353b7421.gif, т.к. D(у) симметричная область и hello_html_m48d33775.gif эта функция нечетная.

б). hello_html_m32740eb8.gif, т.к. D(у) симметричная область

hello_html_37666b3d.gifэта функция четная.

в). hello_html_181ad334.gif, т.к. D(у) не симметричная область это функция общего видаhello_html_m3c62c67f.gif


4. Односторонние пределы и непрерывность функций

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке хо, если одновременно выполняются следующие условия:

1). Существует значение функции в этой точке hello_html_m31fcae90.gif

2). Существуют односторонние пределы функции в этой точке и они равны между собой hello_html_m48fa631e.gif

3). Значение функции в этой точке равно односторонним предельным значениям

hello_html_551b8930.gif

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то точка хо называется точкой разрыва.

Говорят, что хо – точка разрыва I рода, если функция не определена в точке хо, значения функции не равно предельномуили односторонние пределы не равны между собой.

Если нарушается первое условие и хотя бы один из односторонних пределов не существует (равен hello_html_m74e6612e.gif), то говорят, что хо – точка разрыва II рода.


Пример I:

Исследовать функцию hello_html_3a2aa803.gif на непрерывность в точках х1 = 2 и х2 = 4. Сделать схематический чертеж.


Решение:

Проверим выполнение всех трех условий непрерывности для каждой точки.

Для х1 = 2:

1). hello_html_9f32c20.gif - значение функции не существует hello_html_1b730b13.gif это точка разрыва.

2). hello_html_m33ffd851.gif

hello_html_23552307.gif

т.к. один предел равен бесконечности, то это точка разрыва II рода.


Для х2 = 4:

1). hello_html_4fecffe8.gif

2). hello_html_m2d9b5cba.gif

hello_html_7afeac91.gif

3).  hello_html_33d6303f.gifэта точка является точкой непрерывности.

Сделаем схематический чертеж в окрестности данных точек:

hello_html_71979e86.gifhello_html_393eb5c2.gifhello_html_m4fc314ab.gif

y



hello_html_m62e4d6b5.gif

hello_html_m59c8c0fc.gif



hello_html_m5fcdcbc.gif

hello_html_m741ada1a.gif

2

hello_html_m50abdf98.gif

4

x


x



Пример 2:

Исследовать функцию hello_html_3ec5838e.gif на непрерывность в точках х1 = 0 и х2 = 2. Сделать чертеж.


Решение:

Для х=0:

1). hello_html_m5a785d23.gif - не существует hello_html_1b730b13.gif точка разрыва.

2). hello_html_m3b9aec3d.gif

hello_html_m5509e7e6.gif

т.к. оба предела равны hello_html_m74e6612e.gif, то это точка разрыва II рода.


Для х = 2:

1). hello_html_72758d4a.gif - не существует hello_html_1b730b13.gif это тоже точка разрыва.

2). hello_html_m68b07496.gif

hello_html_m56e5d827.gif

Следовательно, эта точка разрыва II рода.


Сделаем систематический чертеж в окрестности этих точек.

hello_html_3ec78ae0.gifhello_html_624b33da.gifhello_html_m3104a12e.gifhello_html_m1be0938c.gif

у



hello_html_49172b25.gifhello_html_m6e61be3e.gif

0

2

х












ЧАСТЬ 2

Индивидуальные задания

  1. Доказать, что lim hello_html_m36d8e930.gif (указать n (hello_html_67e1d72d.gif)):

1.1. hello_html_f93ac0b.gif 1.2. hello_html_7e4d3b10.gif

1.3. hello_html_m1f048e52.gif 1.4. hello_html_79649ef0.gif

1.5. hello_html_144a3b6d.gif 1.6. hello_html_53453030.gif

1.7. hello_html_m58adf309.gif 1.8. hello_html_mfae7b06.gif

1.9. hello_html_m53d843d5.gif 1.10. hello_html_35ff8b24.gif

1.11. hello_html_m397b1f82.gif 1.12. hello_html_19fb0861.gif

1.13. hello_html_618625fd.gif 1.14. hello_html_m77052412.gif

1.15. hello_html_157d942b.gif 1.16. hello_html_m69bfd0f5.gif

1.17. hello_html_m6d4a3376.gif 1.18. hello_html_4d37a50f.gif

1.19. hello_html_4c17feaa.gif 1.20. hello_html_mfae7b06.gif

1.21. hello_html_3777fedb.gif 1.22. hello_html_45ff4623.gif

1.23. hello_html_m53d843d5.gif 1.24. hello_html_m4d254474.gif

1.25. hello_html_mc655ad3.gif 1.26. hello_html_6d078fda.gif

1.27. hello_html_6b4ede2e.gif 1.28. hello_html_m5e8773d3.gif

1.29. hello_html_m1f66e60a.gif 1.30. hello_html_m69457bc6.gif


  1. Доказать (найти hello_html_m4b8343fa.gif), что:

2.1. hello_html_m52007e7c.gif 2.2. hello_html_20a4b323.gif

2.3. hello_html_m4c597082.gif 2.4. hello_html_469e202a.gif

2.5. hello_html_cc13562.gif 2.6. hello_html_590e38eb.gif

2.7. hello_html_286495bc.gif 2.8. hello_html_e090a7d.gif

2.9. hello_html_m218d183a.gif 2.10. hello_html_m3163a33a.gif

2.11. hello_html_m58237dfb.gif 2.12. hello_html_m54b681e2.gif

2.13. hello_html_m6b36006c.gif 2.14. hello_html_55b7d941.gif

2.15. hello_html_2fd40758.gif 2.16. hello_html_m1392deae.gif

2.17. hello_html_m20a96da3.gif 2.18. hello_html_52ec1806.gif

2.19. hello_html_m58f14651.gif 2.20. hello_html_mde04a3.gif

2.21. hello_html_13ef141c.gif 2.22. hello_html_1cb78018.gif

2.23. hello_html_mb696d4a.gif 2.24. hello_html_m2340b512.gif

2.25. hello_html_62f90608.gif 2.26. hello_html_m55226b5d.gif

2.27. hello_html_128a0cc7.gif 2.28. hello_html_m6714044e.gif

2.29. hello_html_2b47c435.gif 2.30. hello_html_4d5b17e2.gif



3. Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

3.1. а). hello_html_m5b1bdfa.gif; б). hello_html_255166b3.gif;

в). hello_html_398c6575.gif; г). hello_html_m5eec0179.gif;

д). hello_html_9149602.gif; е). hello_html_m28444c33.gif.


3.2. а). hello_html_m4a0591d.gif; б). hello_html_1eaab9b3.gif;

в). hello_html_6f365653.gif; г). hello_html_m30e3afd6.gif;

д). hello_html_m20bd02ac.gif; е). hello_html_m7d24b075.gif.


3.3. а). hello_html_7c098df9.gif б). hello_html_m233f7576.gif

в). hello_html_f5c676d.gif г). hello_html_m6d9b2ef5.gif

д). hello_html_m49b6612b.gif е). hello_html_6505d87b.gif


3.4. а). hello_html_m16f8f36e.gif б). hello_html_45d0a2b9.gif

в). hello_html_m6dc499d0.gif г). hello_html_m37efa44d.gif

д). hello_html_m17d86db3.gif е). hello_html_m50ad13df.gif


3.5. а). hello_html_m2186d956.gif б). hello_html_7b8934f.gif

в). hello_html_m397f0abc.gif г). hello_html_77246215.gif

д). hello_html_m56065951.gif е). hello_html_10ad93c.gif


3.6. а). hello_html_m154e621c.gif б). hello_html_1e253a28.gif

в).hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2a9d1d37.gif г). hello_html_m1dce890d.gif

д). hello_html_m2661b6b4.gif е). hello_html_m2cf868c2.gif


3.7. а). hello_html_69429863.gif б). hello_html_m6daa03ea.gif

в). hello_html_4eb23cdf.gif г). hello_html_m7605514b.gif

д). hello_html_198dba77.gif е). hello_html_3a595230.gif.


3.8. а). hello_html_65b67165.gif б). hello_html_4b22a916.gif

в). hello_html_62569257.gif г). hello_html_4e325c04.gif

д). hello_html_46d43606.gif е). hello_html_m23b59173.gif


3.9. а). hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m49682a07.gif б). hello_html_1ff4a006.gif

в). hello_html_m78c86898.gif г). hello_html_3e7e7783.gif

д). hello_html_7d8bf89f.gif е). hello_html_6040e0c5.gif


3.10. а). hello_html_5b4e2a09.gif б). hello_html_m4ad33c14.gif

в). hello_html_4eb23cdf.gif г). hello_html_m56cfc783.gif

д). hello_html_5b651cd9.gif е). hello_html_m47689f8d.gif


3.11. а). hello_html_m25e5022d.gif б). hello_html_25a54175.gif

в). hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_43dc3de2.gif г). hello_html_m3cf5d28c.gif

д). hello_html_1147645b.gif е). hello_html_5660819c.gif


3.12. а). hello_html_3e92f0e6.gif б). hello_html_561de38f.gif

в). hello_html_7999afc5.gif г). hello_html_m36a1bda0.gif

д). hello_html_m2f62eef3.gif е). hello_html_895e134.gif


3.13. а). hello_html_5df9e2db.gif б). hello_html_7b7d1bb7.gif

в). hello_html_fc7e408.gif г). hello_html_m6d72af72.gif

д). hello_html_m5d8df0f8.gif е). hello_html_895e134.gif


3.14. а). hello_html_7df2ea58.gif б). hello_html_md34ea81.gif

в). hello_html_2ce84c06.gif г). hello_html_m65850482.gif

д). hello_html_30cd971b.gif е). hello_html_296e5b4e.gif


3.15. а). hello_html_m5923dd63.gif; б). hello_html_m169e2d0f.gif

в). hello_html_2ff4d33c.gif г). hello_html_67f8241f.gif

д). hello_html_m30d457de.gif е). hello_html_m3a9cf724.gif


3.16. а). hello_html_53fbf944.gif б). hello_html_610bd10a.gif

в).hello_html_3ce4bbb2.gif г). hello_html_m7069e492.gif

д). hello_html_m4250a76c.gif е). hello_html_613dd1e4.gif


3.17. а). hello_html_m414dca66.gif б). hello_html_3c4128e6.gif

в). hello_html_m63656381.gif г). hello_html_m4b60036b.gif

д). hello_html_mbaaaae4.gif е). hello_html_1ce198ed.gif


3.18. а). hello_html_m153e246a.gif б). hello_html_m62299838.gif

в). hello_html_m264fb45c.gif г). hello_html_25e6104b.gif

д). hello_html_1c489187.gif е). hello_html_m3e76a464.gif


3.19. а). hello_html_m4c7522d2.gif б). hello_html_m5fa3f037.gif

в). hello_html_m29913dfe.gif г). hello_html_m1ccc9fcb.gif

д). hello_html_1d831d75.gif е). hello_html_m5347930f.gif.


3.20. а). hello_html_m6d0b695c.gif б). hello_html_239d1c98.gif

в). hello_html_m2360cd66.gif; г). hello_html_m135fc8d9.gif

д). hello_html_200d880a.gif е). hello_html_2f5a293c.gif


3.21. а). hello_html_7541a380.gif б). hello_html_7a75a18b.gif

в). hello_html_ma35e6dc.gif г). hello_html_56958442.gif

д). hello_html_4e6ec9.gif е). hello_html_m41bf6c23.gif


3.22. а). hello_html_22623049.gif б). hello_html_5dfe1ad7.gif

в). hello_html_58599b46.gif г). hello_html_4e4769da.gif

д). hello_html_1ba70232.gif е). hello_html_m62b257f.gif


3.23. а). hello_html_m8631b51.gif б). hello_html_7b7d1bb7.gif

в). hello_html_m4f5a3071.gif г). hello_html_m231a27e3.gif

д). hello_html_108aea8.gif е). hello_html_m2cfa3c9f.gif


3.24. а). hello_html_m19e9bb35.gif б). hello_html_m32089786.gif

в). hello_html_20a1bda0.gif г). hello_html_m78e70cbe.gif

д). hello_html_729bfe6.gif е). hello_html_24924e48.gif


3.25. а). hello_html_6be5d96a.gif б). hello_html_m56065951.gif

в). hello_html_71d4a9ec.gif г). hello_html_m1ea7acff.gif

д). hello_html_m5fb1eaeb.gif е). hello_html_m564bec9c.gif


3.26. а). hello_html_3038dad8.gif б). hello_html_79c41fb4.gif

в). hello_html_2a9d1d37.gif г). hello_html_33ec0d1c.gif

д). hello_html_m548ab0db.gif е). hello_html_37ba9da9.gif


3.27. а). hello_html_7caba556.gif б). hello_html_m379fd400.gif

в). hello_html_m34c57759.gif г). hello_html_m233f7576.gif

д). hello_html_m1841d994.gif е). hello_html_m8785b22.gif


3.28. а). hello_html_mecb3f0a.gif б). hello_html_m1ec6d94.gif

в). hello_html_m16f8f36e.gif г). hello_html_m233f7576.gif

д). hello_html_m41c8017d.gif е). hello_html_m6a78077.gif


3.29. а). hello_html_m76c8a0d2.gif б). hello_html_32fa4759.gif

в). hello_html_6c16a534.gif г). hello_html_24327a3.gif

д). hello_html_m1ab56e51.gif е). hello_html_m40122ea0.gif

3.30. а). hello_html_m4db8a5b2.gif б). hello_html_78aff442.gif

в). hello_html_m114b80f4.gif г). hello_html_m5eb7c0a1.gif

д). hello_html_m1507a821.gif е). hello_html_m219f9bc9.gif


4. Задана функция hello_html_m21328488.gifи два значения аргумента х. Требуется:

1). Найти пределы при приближении к каждому из заданных значений х слева и справа;

2). Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х;

3). Сделать схематический чертеж:

4.1. hello_html_577effa8.gif

4.2. hello_html_mf0b6e0b.gif

4.3. hello_html_71590118.gif

4.4. hello_html_m1892726b.gif

4.5. hello_html_5ce69802.gif

4.6. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m3b8669c9.gif

4.7. hello_html_2b888e07.gif

4.8. hello_html_53006ac0.gif

4.9hello_html_m68d68d38.gif

4.10.hello_html_m4595976.gif

4.11. hello_html_1dab090b.gif

4.12. hello_html_226c5abc.gif

4.13. hello_html_41fcff7b.gif

4.14. hello_html_mc0505a8.gif

4.15. hello_html_m74a9ee3b.gif

4.16. hello_html_37969c93.gif

4.17. hello_html_m3c07ff9f.gif

4.18. hello_html_mf93008e.gif

4.19. hello_html_553bf157.gif

4.20. hello_html_415b5f5d.gif

4.21. hello_html_193ad09c.gif

4.22. hello_html_2ca96a98.gif

4.23. hello_html_m5d4b32ec.gif

4.24. hello_html_m15f7b4ca.gif

4.25. hello_html_3aa8edf7.gif

4.26. hello_html_m3889dcef.gif

4.27. hello_html_4deaac40.gif

4.28. hello_html_3bf45dcc.gif

4.29. hello_html_604c619d.gif

4.30. hello_html_m9d31248.gif


5. Найти:

1). Область определения функции;

2). Область изменения функции;

3). Исследовать функцию на четность (нечетность) и на непрерывность:

5.1.1. a). hello_html_m239e3767.gif б). hello_html_m638621cc.gif

в). hello_html_533a8039.gif

2. а). hello_html_m71aa7030.gif б). hello_html_7aa6666e.gif

3. а). hello_html_ma9cd3e0.gif б). hello_html_m19b996c.gif


5.2.1. а). hello_html_292b149e.gif б). hello_html_m2cfa86a7.gif

в). hello_html_m57faedbb.gif

2. а). hello_html_4bbcaf8e.gif б). hello_html_16d904b4.gif

3. а). hello_html_5982dee9.gif б). hello_html_m5d080191.gif


5.3.1. а). hello_html_382c21d7.gif б). hello_html_m299a7b84.gif

в). hello_html_63f67292.gif

2. а). hello_html_2cd9616e.gif б). hello_html_619157ee.gif

3. а). hello_html_141d0296.gif б). hello_html_75316997.gif


5.4.1. а). hello_html_m17def1eb.gif б). hello_html_fb32c15.gif

в). hello_html_m4439b1b6.gif

2. а). hello_html_m6c6ef46c.gif б). hello_html_m401a499.gif

3. а). hello_html_2421d599.gif б). hello_html_31c761da.gif


5.5.1. а). hello_html_m6c6ef46c.gif б). hello_html_48ec0491.gif

в). hello_html_m10d549ee.gif

2. а). hello_html_429a952.gif б). hello_html_4b6248e3.gif

3. а). hello_html_6a03a43d.gif б). hello_html_3840cf9a.gif


5.6.1. а). hello_html_3ae549e3.gif б). hello_html_6ad56794.gif

в). hello_html_58a812c8.gif

2. а). hello_html_3be44ae7.gif б). hello_html_m15a1156e.gif

3. а). hello_html_m54714fe4.gif б). hello_html_m428f0016.gif


5.7.1. а). hello_html_b330a26.gif б). hello_html_m6f1ac944.gif

в). hello_html_m516d8e4b.gif

2. а). hello_html_31edede3.gif б). hello_html_m3dcd80ba.gif

3. а). hello_html_m7a393722.gif б). hello_html_468818fe.gif


5.8.1. а). hello_html_m480bcfb6.gif б). hello_html_53af9dda.gif

в). hello_html_m160b5c70.gif

2. а). hello_html_22c78784.gif б). hello_html_m5161c8d3.gif

3. а). hello_html_mb7c6970.gif б). hello_html_m65693e91.gif


5.9.1. а). hello_html_m40f47f0.gif б). hello_html_58f94a4b.gif

в). hello_html_m209af0f1.gif

2. а). hello_html_59d53c17.gif б). hello_html_m53718574.gif

3. а). hello_html_m7c809183.gif б). hello_html_41096754.gif


5.10.1. а). hello_html_m6acc5023.gif б). hello_html_306016b9.gif

в). hello_html_m7ccf0a42.gif

2. а). hello_html_m33281ad7.gif б). hello_html_15272df4.gif

3. а). hello_html_m20272eda.gif б). hello_html_4c5828fb.gif


5.11.1. а). hello_html_19a628c8.gif б). hello_html_m64901ef5.gif

в). hello_html_m5fd5db5b.gif

2. а). hello_html_1bd378bb.gif б). hello_html_43e5caaa.gif

3. а). hello_html_m44435118.gif б). hello_html_m3c73487d.gif


5.12.1. а). hello_html_mdee48a9.gif б). hello_html_m7553c1df.gif

в). hello_html_m7ac77957.gif

2. а). hello_html_m55df2c81.gif б). hello_html_1fa0509b.gif

3. а). hello_html_ma9cd3e0.gif б). hello_html_5539fa85.gif


5.13.1. а). hello_html_23f327f7.gif б). hello_html_m71aa7030.gif

в). hello_html_3ea5e2d9.gif

2. а). hello_html_1a3f4343.gif б). hello_html_16161e56.gif

3. а). hello_html_3d9caa04.gif б). hello_html_2203df86.gif


5.14.1. а). hello_html_43e7bb0.gif б). hello_html_1144ca72.gif

в). hello_html_51a3089e.gif

2. а). hello_html_m350d36d1.gif б). hello_html_10ed1f19.gif

3. а). hello_html_5231c3d9.gif б). hello_html_28cb64e9.gif


5.15.1. а). hello_html_m553d3573.gif б). hello_html_7acc6a29.gif

в). hello_html_m138a580b.gif

2. а). hello_html_1fa42943.gif б). hello_html_m3d022c7.gif

3. а). hello_html_m36f8f0.gif б). hello_html_m345b3b36.gif


5.16.1. а). hello_html_603bda32.gif б). hello_html_m7a48ab0d.gif

в). hello_html_m117cab07.gif

2. а). hello_html_5f4d7846.gif б). hello_html_m3e9b5e90.gif

3. а). hello_html_m50e4e2f0.gif б). hello_html_m1c1acece.gif


5.17.1. а). hello_html_m1e06589e.gif б). hello_html_3b65284c.gif

в). hello_html_m711a644e.gif

2. а). hello_html_1bd378bb.gif б). hello_html_m5c034d81.gif

3. а). hello_html_m26df683b.gif б). hello_html_m71aa7030.gif


5.18.1. а). hello_html_68d52a81.gif б). hello_html_m25adfcc2.gif

в). hello_html_47e6bef5.gif

2. а). hello_html_m18e7a5bd.gif б). hello_html_75b1dce5.gif

3. а). hello_html_59d170ea.gif б). hello_html_m1a263c44.gif


5.19.1. а). hello_html_4136cdb7.gif б). hello_html_m51ba790f.gif

в). hello_html_40f3d069.gif

2. а). hello_html_m350d36d1.gif б). hello_html_m3ab419d.gif

3. а). hello_html_m3b92c65f.gif б). hello_html_533a8039.gif


5.20.1. а). hello_html_189a70c.gif б). hello_html_m43b496ea.gif

в). hello_html_m1da0f418.gif

2. а). hello_html_m1d9a790a.gif б). hello_html_5398889a.gif

3. а). hello_html_m1ad29cac.gif б). hello_html_m553d3573.gif


5.21.1. а). hello_html_m3e3f4b3b.gif б). hello_html_6fcd4042.gif

в). hello_html_6341da5b.gif

2. а). hello_html_feda693.gif б). hello_html_m79689ceb.gif

3. а). hello_html_77e1cf47.gif б). hello_html_755d3873.gif


5.22.1. а). hello_html_255fe64d.gif б). hello_html_74c92b90.gif

в). hello_html_m52706f55.gif

2. а). hello_html_m15d6433.gif б). hello_html_m33f30dac.gif

3. а). hello_html_m2e022f10.gif б). hello_html_e8d85ad.gif


5.23.1. а). hello_html_7ef6f6f5.gif б). hello_html_m80f30aa.gif в). hello_html_15d7f99f.gif

2. а). hello_html_6f8f33f.gif б). hello_html_m73816707.gif

3. а). hello_html_3662d02c.gif б). hello_html_8a57fba.gif


5.24.1. а). hello_html_47e6bef5.gif б). hello_html_fc2897.gif

в). hello_html_m26f0e661.gif

2. а). hello_html_m713b7b70.gif б). hello_html_1afd83dd.gif

3. а). hello_html_3f8d8d72.gif б). hello_html_m146bc9ee.gif

5.25.1. а). hello_html_19a628c8.gif б). hello_html_m4bae8ee0.gif

в). hello_html_4de687ff.gif

2. а). hello_html_1bd378bb.gif б). hello_html_43e5caaa.gif

3. а). hello_html_m50e4e2f0.gif б). hello_html_m4439b1b6.gif


5.26.1. а). hello_html_3e611076.gif б). hello_html_18abd8cb.gif

в). hello_html_m76f78370.gif

2. а). hello_html_2f83a5a3.gif б). hello_html_m5954bff6.gif

3. а). hello_html_1f7616c8.gif б). hello_html_m548923c1.gif


5.27.1. а). hello_html_m69c8c45.gif б). hello_html_7213c282.gif

в). hello_html_m6a28051c.gif

2. а). hello_html_mf873372.gif б). hello_html_m5f5b97f8.gif

3. а). hello_html_5bf8e2e2.gif б). hello_html_68d557f2.gif


5.28.1. а). hello_html_m359bba22.gif б). hello_html_22038f51.gif

в). hello_html_m558c6a2.gif

2. а). hello_html_61e50614.gif б). hello_html_maf0f0bd.gif

3. а). hello_html_a957869.gif б). hello_html_66689f62.gif


5.29.1. а). hello_html_4addddd2.gif б). hello_html_4b8e1d52.gif

в). hello_html_m19035e9a.gif

2. а). hello_html_2cee193e.gif б). hello_html_66689f62.gif

3. а). hello_html_5ae6399d.gif б). hello_html_m33879ea8.gif


5.30.1. а). hello_html_62b5bf07.gif б). hello_html_m1f451905.gif

в). hello_html_7e67ff49.gif

2. а). hello_html_m51f718bb.gif б). hello_html_m3e43e471.gif

3. а). hello_html_41901078.gif б). hello_html_m5f8dca82.gif


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: ВШ, 2001.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. высшая математика в упражнениях и задачах. М.: ВШ, 1999.

3. Запорожец Г.Н. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: ВШ, 1966.

4. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: ВШ, 1998.

  1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.

6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1977.

50

Общая информация

Номер материала: ДВ-231134

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.