ГАПОУ ПО ПМПК
отделение строительства
Методические рекомендации
для студентов
по теме «Решение показательных уравнений»
Баннова О.В.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение-это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.
Корень уравнения – это значение неизвестной величины, при котором равенство не теряет смысла.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Функция, заданная формулой у = ах (где а > 0, а≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.
D (y) = R (область определения – множество всех действительных чисел).
E (y) = R+ (область значений – все положительные числа).
при а > 1, функция возрастает при 0< а < 1, функция убывает
Определение 1. Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени.
К таким относятся, например, уравнения , и другие.
При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида:
1. af(x)=ag(x) или 2. af(x)=b.
Определение 2. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида: a x= b.
Пусть основание a>0 , а≠1.Так как функция y = axстрого монотонна, то каждое свое значение она принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение ax= b при b > 0 имеет единственный корень х = Если b ≤ 0, то уравнение ax= b корней не имеет, так как ax .
Если число b записано в виде ax= ac, то оно имеет один корень x = c.
При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений.
Виды показательных уравнений и способы их решений
Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений на частных примерах.
Способ 1. Приведение обеих частей к общему основанию, применяя свойства степеней.
Примеры:
9x = ;
32x = 3-3;
x = - .
Ответ: х =- .
;
;
; x = 3
Ответ: x = 3.
;х= Ответ: х=
()x ∙ ()x = .
По свойству степени: (x = ;
(x = ()3 ; х= 3.
Ответ: х= 3.
= ()4-5x;
= ()-4+5x;
x2 = - 4+5x;
x2-5x+4 = 0; x1 =4; x2 =1.
Ответ: x1 = 4; x2 = 1.
-
Ответ:
. После преобразований получим:
. Откуда .
: x=10
Способ 2. Вынесение общего множителя за скобку.
Примеры:
6x+1+356x-1 = 71;
6x-1(62+35) =71;
6x-1 = 1;
6x-1= 60;
x = 1.
Ответ: x = 1.
7∙ -
∙(7-5) =
∙ 2 =
=
= ; = -3. Ответ: x = -3.
2x+5 ∙2x+1+7 ∙2x+2 = 312.
Вынося в левой части уравнения за скобки 2x, получим
2x ∙(1+5 ∙21+7 ∙22) = 312;
2x ∙39 = 312;
2x = 8;
2x = 23;
х = 3.
Ответ: х = 3.
3x-2 ∙3x-2 = 63.
3x-2 ∙(32-2) = 63;
3x-2 ∙7 = 63;
3x-2 = 9;
3x-2 = 32;
x-2 = 2; x = 4.
Ответ: x = 4.
+
Наименьшим показателем степени является х-1; поэтому вынесем за скобки :
(+
(+
х - 1= 1;
х = 2. Ответ: x = 2.
Способ 3. Приведение показательного уравнения к квадратному.
72x-8 ∙7x+7 =0
Данное уравнение имеет вид A ∙ a2x+B ∙ ax+C=0.
Пусть = у, тогда 72x =у2 и для определения y получим квадратное уравнение: y2-8y+7 =0;
y1 =7; y2 =1.
Имеем:
1) 7x =7; 7x =71; x =1; 2) 7x =1; 7x =70; x =0;
Ответ: x1 =1; x2 =0.
5∙52x-6 ∙5x+1 =0
Пусть: = у, тогда 5у2 - 6у + 1у = 0:
D=16; у1= , у2= 1.
Так как у1=, то = , х= -1;
у2= 1, то = 1 , х= 0;
Ответ: x1 = -1; x2 =0.
22+x-22-x =15;
22 ∙ 2x-22 ∙ 2-x =15;
Получили уравнение вида A ∙ ax+ B ∙ a-x+ C=0.
Используя подстановку 2x = y и 2-x, переходим к уравнению 4y- = 15 или 4y2-15y-4 = 0. Находим корни: y1 = 4; y2 = - .
1) 2x = 4; 2x = 22; x = 2;
2)2x = -- - корней нет, так как 2x>0, xR.
Ответ: x = 2.
4x+6x =2 ∙ 32x.
22x+2x ∙ 3x-2 ∙ 32x =0.
Разделим обе части последнего уравнения почленно на 32x:
Тогда + -2 = 0;
()2x+()x-2 = 0.
Пусть ()x = y, тогда ()2x = y2; y2+y-2 = 0;
y1 = 1; y2 = - 2.
1) ()x = 1; ()x = ()0; x = 0.
2) ()x = - 2 - корней нет.
Ответ: x = 0
=0.
Первый член уравнения можно представить в виде .
Тогда исходное уравнение принимает вид -= 0;
Обозначим: = с, тогда
с1=3, с2 = 1.
Второй корень смысла не имеет, так как показательная функция всегда положительна. Итак,
Ответ: x = 1.
Задачи ЕГЭ:
-
x = - 7
Ответ: x = - 7
-
Решение:
Сделаем замену: , при этом тогда
Получим квадратное уравнение:
Его корнями являются числа: 4 и – 1.
Условию удовлетворяет только
Решим уравнение: , x = 1
Ответ: x = 1
-
Решение: Поделим уравнение на
Сделаем замену: , при этом тогда
Получим квадратное уравнение:
Его корнями являются числа: 1 и – 2.
Условию удовлетворяет только
Решим уравнение: , x = 0.
Ответ: x = 0.
125 ∙
Решение: Преобразуем левую и правую части уравнений, используя свойства степеней: 125 ∙∙
Получаем ∙=
Учитывая свойства степенной и показательных функций делаем вывод, что левая часть уравнения всегда убывает, а правая всегда возрастает, следовательно их графики могут пересечься только в одной точке. Найдем этот корень. При x=1 левая часть уравнения больше правой. При x=2 левая часть уравнения меньше правой. Значит корень лежит между 1 и 2. Проверим x=1,5. Левая часть равна правой, следовательно x=1,5 - единственный корень уравнения.
Ответ: x = 1,5.
Задания для самостоятельной работы
Тест по теме: Показательные уравнения.
Вариант1
Решите уравнение: .
а) -; б) - ; в) ; г) .
Решите уравнение: .
а) -2; б) -1,5; 0,5; в) -0,5; 1,5; г) -0,5; 2.
Решите уравнение: 5∙4∙.
а) -1; б) 4; в); г) -2.
Решите уравнение: 7∙.
а) 0,5; б) -0,5; в) 1; г) -1.
Решите уравнение: -3. Запишите сумму его корней:
а) 2; б) -1; в) 4; г) -2.
Решите уравнение: .
Ответ:_________________________
7. Найдите наибольшие корни уравнения:
Ответ:_________________________
Тест по теме: Показательные уравнения.
Вариант2
Решите уравнение: .
а) –; б) – 0,2; в)1,4; г)1,7.
Решите уравнение:
а) -3; б) -3; -; в) 3; -; г) 3;
Решите уравнение: 2∙4∙.
а) 3; б) 1; в) 9; г) 2.
Решите уравнение: 3∙.
а) 0,5; б) -1; в) -2; г) -0,5.
Решите уравнение: -2. Запишите сумму его корней:
а) -1; б) 1,5; в) -2; г) 1.
Решите уравнение: .
Ответ:_________________________
7. Найдите наибольшие корни уравнения:
Ответ:________________________
Задания для индивидуальной работы.
Индивидуальная работа №1.
Вариант 1
-
8=
-
-
-
-
Вариант 2
-
-
3)
4)
5)
6)
Вариант 3
-
8=
3)
4)
5)
6)
Вариант 4
-
16 =
-
-
-
Вариант 5
-
Вариант 6
-
8=
-
-
-
Индивидуальная работа № 2
Вариант 1 -
-
(
Вариант 2
-
-
Вариант 3
-
2∙
(
Вариант 3
-
2∙
-
Вариант 4
-
7∙
-
Вариант 5
-
-
-
Индивидуальная работа № 3
Вариант 1
-
-
3∙
-
-
-
-
-
=
10)
Вариант 1
-
-
-
-
-
-
-
-
= 3
-
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Перечислите свойства показательной функции. Через какую точку проходят графики всех показательных функций вида y=ax?
Какое уравнение называется показательным?
Сформулируйте правило решения простейших показательных уравнений.
При какихbпоказательное уравнение ax=b имеет корень?
Сколько корней имеет уравнение ax=b?
Как решать уравнение вида af(x)=ag(x)?
Решите уравнение:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.