91446
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт ООО «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015

Скидка 0%

112 курсов профессиональной переподготовки от 3540 руб.

268 курсов повышения квалификации от 840 руб.

МОСКОВСКИЕ ДОКУМЕНТЫ ДЛЯ АТТЕСТАЦИИ

Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана 26 сентября 2017 г. Департаменотом образования города Москвы

Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодические указания для студентов по теме "Решение показательных уравнений"

Методические указания для студентов по теме "Решение показательных уравнений"

библиотека
материалов


ГАПОУ ПО ПМПК

отделение строительства













Методические рекомендации

для студентов

по теме «Решение показательных уравнений»




Баннова О.В.































ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  1. Уравнение-это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

  2. Корень уравнения – это значение неизвестной величины, при котором равенство не теряет смысла.

  3. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

  4. Функция, заданная формулой у = ах (где а > 0, а≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.

D (y) = R (область определения – множество всех действительных чисел).

E (y) = R+ (область значений – все положительные числа).

при а > 1, функция возрастает при 0< а < 1, функция убывает

hello_html_343ca228.png
hello_html_3d65861b.png

Определение 1. Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени.

К таким относятся, например, уравнения , и другие.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида:

1. af(x)=ag(x) или 2. af(x)=b.


Определение 2. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида: a x= b.


Пусть основание a>0 , а≠1.Так как функция y = axстрого монотонна, то каждое свое значение она принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение ax= b при b > 0 имеет единственный корень х =

Если b ≤ 0, то уравнение ax= b корней не имеет, так как ax .

Если число b записано в виде ax= ac, то оно имеет один корень x = c.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений.


Виды показательных уравнений и способы их решений

Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений на частных примерах.



Способ 1. Приведение обеих частей к общему основанию, применяя свойства степеней.

Примеры:

  1. 9x = ;

32x = 3-3;

x = - .

Ответ: х =- .

  1. ;

;

; x = 3

Ответ: x = 3.

  1. ;х= Ответ: х=


  1. ()x ∙ ()x = .


По свойству степени: (x = ;

(x = ()3 ; х= 3.

Ответ: х= 3.

  1. = ()4-5x;

= ()-4+5x;

x2 = - 4+5x;

x2-5x+4 = 0; x1 =4; x2 =1.

Ответ: x1 = 4; x2 = 1.

Ответ:


. После преобразований получим:

. Откуда .

: x=10


Способ 2. Вынесение общего множителя за скобку.

Примеры:

  1. 6x+1+356x-1 = 71;

6x-1(62+35) =71;

6x-1 = 1;

6x-1= 60;

x = 1.

Ответ: x = 1.


  1. 7∙ -

(7-5) =

2 =

=

= ; = -3. Ответ: x = -3.


  1. 2x+5 ∙2x+1+7 ∙2x+2 = 312.
    Вынося в левой части уравнения за скобки 2
    x, получим

2x ∙(1+5 ∙21+7 ∙22) = 312;
2
x ∙39 = 312;

2x = 8;

2x = 23;

х = 3.
Ответ: х = 3.

  1. 3x-2 ∙3x-2 = 63.
    3
    x-2 ∙(32-2) = 63;
    3
    x-2 ∙7 = 63;
    3
    x-2 = 9;
    3
    x-2 = 32;
    x-2 = 2; x = 4.
    Ответ: x = 4.

  2. +

Наименьшим показателем степени является х-1; поэтому вынесем за скобки :

(+

(+



х - 1= 1;

х = 2. Ответ: x = 2.

Способ 3. Приведение показательного уравнения к квадратному.

  1. 72x-8 ∙7x+7 =0
    Данное уравнение имеет вид
    A ∙ a2x+B ∙ ax+C=0.

Пусть = у, тогда 72x2 и для определения y получим квадратное уравнение: y2-8y+7 =0;
y
1 =7; y2 =1.
Имеем:
1) 7
x =7; 7x =71; x =1; 2) 7x =1; 7x =70; x =0;
Ответ: x1 =1; x2 =0.


  1. 5∙52x-6 ∙5x+1 =0

Пусть: = у, тогда 5у2 - 6у + 1у = 0:

D=16; у1= , у2= 1.

Так как у1=, то = , х= -1;

у2= 1, то = 1 , х= 0;

Ответ: x1 = -1; x2 =0.



  1. 22+x-22-x =15;
    2
    2 ∙ 2x-22 ∙ 2-x =15;
    Получили уравнение вида
    A ∙ ax+ B ∙ a-x+ C=0.

Используя подстановку 2x = y и 2-x, переходим к уравнению 4y- = 15 или 4y2-15y-4 = 0. Находим корни: y1 = 4; y2 = - .
1) 2
x = 4; 2x = 22; x = 2;
2)2
x = -- - корней нет, так как 2x>0, xR.
Ответ: x = 2.

  1. 4x+6x =2 ∙ 32x.
    2
    2x+2x ∙ 3x-2 ∙ 32x =0.

Разделим обе части последнего уравнения почленно на 32x:
Тогда + -2 = 0;

()2x+()x-2 = 0.
Пусть ()
x = y, тогда ()2x = y2; y2+y-2 = 0;
y
1 = 1; y2 = - 2.
1) ()
x = 1; ()x = ()0; x = 0.
2) ()
x = - 2 - корней нет.
Ответ: x = 0

  1. =0.

Первый член уравнения можно представить в виде .

Тогда исходное уравнение принимает вид -= 0;

Обозначим: = с, тогда

с1=3, с2 = 1.

Второй корень смысла не имеет, так как показательная функция всегда положительна. Итак,

Ответ: x = 1.

Задачи ЕГЭ:



x = - 7

Ответ: x = - 7

Решение:

Сделаем замену: , при этом тогда

Получим квадратное уравнение:

Его корнями являются числа: 4 и – 1.

Условию удовлетворяет только

Решим уравнение: , x = 1

Ответ: x = 1


Решение: Поделим уравнение на

Сделаем замену: , при этом тогда

Получим квадратное уравнение:

Его корнями являются числа: 1 и – 2.

Условию удовлетворяет только

Решим уравнение: , x = 0.

Ответ: x = 0.


  1. 125 ∙


Решение: Преобразуем левую и правую части уравнений, используя свойства степеней: 125 ∙∙

Получаем ∙=

Учитывая свойства степенной и показательных функций делаем вывод, что левая часть уравнения всегда убывает, а правая всегда возрастает, следовательно их графики могут пересечься только в одной точке. Найдем этот корень. При x=1 левая часть уравнения больше правой. При x=2 левая часть уравнения меньше правой. Значит корень лежит между 1 и 2. Проверим x=1,5. Левая часть равна правой, следовательно x=1,5 - единственный корень уравнения.

Ответ: x = 1,5.



Задания для самостоятельной работы

Тест по теме: Показательные уравнения.

Вариант1

  1. Решите уравнение: .

а) -; б) - ; в) ; г) .

  1. Решите уравнение: .

а) -2; б) -1,5; 0,5; в) -0,5; 1,5; г) -0,5; 2.

  1. Решите уравнение: 5∙4∙.

а) -1; б) 4; в); г) -2.

  1. Решите уравнение: 7∙.

а) 0,5; б) -0,5; в) 1; г) -1.


  1. Решите уравнение: -3. Запишите сумму его корней:

а) 2; б) -1; в) 4; г) -2.

  1. Решите уравнение: .

Ответ:_________________________

7. Найдите наибольшие корни уравнения:

Ответ:_________________________


Тест по теме: Показательные уравнения.

Вариант2


  1. Решите уравнение: .

а) –; б) – 0,2; в)1,4; г)1,7.

  1. Решите уравнение:

а) -3; б) -3; -; в) 3; -; г) 3;

  1. Решите уравнение: 2∙4∙.

а) 3; б) 1; в) 9; г) 2.

  1. Решите уравнение: 3∙.

а) 0,5; б) -1; в) -2; г) -0,5.

  1. Решите уравнение: -2. Запишите сумму его корней:

а) -1; б) 1,5; в) -2; г) 1.

  1. Решите уравнение: .

Ответ:_________________________

7. Найдите наибольшие корни уравнения:

Ответ:________________________


Задания для индивидуальной работы.


Индивидуальная работа №1.

Вариант 1


  1. 8=


Вариант 2


3)

4)

5)

6)


Вариант 3


  1. 8=

3)

4)

5)

6)


Вариант 4


  1. 16 =


Вариант 5








Вариант 6


  1. 8=




Индивидуальная работа № 2


Вариант 1
  1. (

Вариант 2

Вариант 3

  1. 2∙

  2. (


Вариант 3

  1. 2∙


Вариант 4

  1. 7∙


Вариант 5



Индивидуальная работа № 3


Вариант 1

  1. 3∙

  2. =

10)



Вариант 1

  1. = 3



КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Перечислите свойства показательной функции.

Через какую точку проходят графики всех показательных функций вида y=ax?

Какое уравнение называется показательным?

Сформулируйте правило решения простейших показательных уравнений.

При какихbпоказательное уравнение ax=b имеет корень?

Сколько корней имеет уравнение ax=b?

Как решать уравнение вида af(x)=ag(x)?

Решите уравнение:

  • .


  • .



  • =0.



Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.