Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания для студентов по теме "Решение показательных уравнений"

Методические указания для студентов по теме "Решение показательных уравнений"

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


ГАПОУ ПО ПМПК

отделение строительства













Методические рекомендации

для студентов

по теме «Решение показательных уравнений»




Баннова О.В.































ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  1. Уравнение-это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

  2. Корень уравнения – это значение неизвестной величины, при котором равенство не теряет смысла.

  3. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

  4. Функция, заданная формулой у = ах (где а > 0, а≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.

D (y) = R (область определения – множество всех действительных чисел).

E (y) = R+ (область значений – все положительные числа).

при а > 1, функция возрастает при 0< а < 1, функция убывает

hello_html_343ca228.png
hello_html_3d65861b.png

Определение 1. Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени.

К таким относятся, например, уравнения , и другие.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида:

1. af(x)=ag(x) или 2. af(x)=b.


Определение 2. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида: a x= b.


Пусть основание a>0 , а≠1.Так как функция y = axстрого монотонна, то каждое свое значение она принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение ax= b при b > 0 имеет единственный корень х =

Если b ≤ 0, то уравнение ax= b корней не имеет, так как ax .

Если число b записано в виде ax= ac, то оно имеет один корень x = c.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений.


Виды показательных уравнений и способы их решений

Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений на частных примерах.



Способ 1. Приведение обеих частей к общему основанию, применяя свойства степеней.

Примеры:

  1. 9x = ;

32x = 3-3;

x = - .

Ответ: х =- .

  1. ;

;

; x = 3

Ответ: x = 3.

  1. ;х= Ответ: х=


  1. ()x ∙ ()x = .


По свойству степени: (x = ;

(x = ()3 ; х= 3.

Ответ: х= 3.

  1. = ()4-5x;

= ()-4+5x;

x2 = - 4+5x;

x2-5x+4 = 0; x1 =4; x2 =1.

Ответ: x1 = 4; x2 = 1.

Ответ:


. После преобразований получим:

. Откуда .

: x=10


Способ 2. Вынесение общего множителя за скобку.

Примеры:

  1. 6x+1+356x-1 = 71;

6x-1(62+35) =71;

6x-1 = 1;

6x-1= 60;

x = 1.

Ответ: x = 1.


  1. 7∙ -

(7-5) =

2 =

=

= ; = -3. Ответ: x = -3.


  1. 2x+5 ∙2x+1+7 ∙2x+2 = 312.
    Вынося в левой части уравнения за скобки 2
    x, получим

2x ∙(1+5 ∙21+7 ∙22) = 312;
2
x ∙39 = 312;

2x = 8;

2x = 23;

х = 3.
Ответ: х = 3.

  1. 3x-2 ∙3x-2 = 63.
    3
    x-2 ∙(32-2) = 63;
    3
    x-2 ∙7 = 63;
    3
    x-2 = 9;
    3
    x-2 = 32;
    x-2 = 2; x = 4.
    Ответ: x = 4.

  2. +

Наименьшим показателем степени является х-1; поэтому вынесем за скобки :

(+

(+



х - 1= 1;

х = 2. Ответ: x = 2.

Способ 3. Приведение показательного уравнения к квадратному.

  1. 72x-8 ∙7x+7 =0
    Данное уравнение имеет вид
    A ∙ a2x+B ∙ ax+C=0.

Пусть = у, тогда 72x2 и для определения y получим квадратное уравнение: y2-8y+7 =0;
y
1 =7; y2 =1.
Имеем:
1) 7
x =7; 7x =71; x =1; 2) 7x =1; 7x =70; x =0;
Ответ: x1 =1; x2 =0.


  1. 5∙52x-6 ∙5x+1 =0

Пусть: = у, тогда 5у2 - 6у + 1у = 0:

D=16; у1= , у2= 1.

Так как у1=, то = , х= -1;

у2= 1, то = 1 , х= 0;

Ответ: x1 = -1; x2 =0.



  1. 22+x-22-x =15;
    2
    2 ∙ 2x-22 ∙ 2-x =15;
    Получили уравнение вида
    A ∙ ax+ B ∙ a-x+ C=0.

Используя подстановку 2x = y и 2-x, переходим к уравнению 4y- = 15 или 4y2-15y-4 = 0. Находим корни: y1 = 4; y2 = - .
1) 2
x = 4; 2x = 22; x = 2;
2)2
x = -- - корней нет, так как 2x>0, xR.
Ответ: x = 2.

  1. 4x+6x =2 ∙ 32x.
    2
    2x+2x ∙ 3x-2 ∙ 32x =0.

Разделим обе части последнего уравнения почленно на 32x:
Тогда + -2 = 0;

()2x+()x-2 = 0.
Пусть ()
x = y, тогда ()2x = y2; y2+y-2 = 0;
y
1 = 1; y2 = - 2.
1) ()
x = 1; ()x = ()0; x = 0.
2) ()
x = - 2 - корней нет.
Ответ: x = 0

  1. =0.

Первый член уравнения можно представить в виде .

Тогда исходное уравнение принимает вид -= 0;

Обозначим: = с, тогда

с1=3, с2 = 1.

Второй корень смысла не имеет, так как показательная функция всегда положительна. Итак,

Ответ: x = 1.

Задачи ЕГЭ:



x = - 7

Ответ: x = - 7

Решение:

Сделаем замену: , при этом тогда

Получим квадратное уравнение:

Его корнями являются числа: 4 и – 1.

Условию удовлетворяет только

Решим уравнение: , x = 1

Ответ: x = 1


Решение: Поделим уравнение на

Сделаем замену: , при этом тогда

Получим квадратное уравнение:

Его корнями являются числа: 1 и – 2.

Условию удовлетворяет только

Решим уравнение: , x = 0.

Ответ: x = 0.


  1. 125 ∙


Решение: Преобразуем левую и правую части уравнений, используя свойства степеней: 125 ∙∙

Получаем ∙=

Учитывая свойства степенной и показательных функций делаем вывод, что левая часть уравнения всегда убывает, а правая всегда возрастает, следовательно их графики могут пересечься только в одной точке. Найдем этот корень. При x=1 левая часть уравнения больше правой. При x=2 левая часть уравнения меньше правой. Значит корень лежит между 1 и 2. Проверим x=1,5. Левая часть равна правой, следовательно x=1,5 - единственный корень уравнения.

Ответ: x = 1,5.



Задания для самостоятельной работы

Тест по теме: Показательные уравнения.

Вариант1

  1. Решите уравнение: .

а) -; б) - ; в) ; г) .

  1. Решите уравнение: .

а) -2; б) -1,5; 0,5; в) -0,5; 1,5; г) -0,5; 2.

  1. Решите уравнение: 5∙4∙.

а) -1; б) 4; в); г) -2.

  1. Решите уравнение: 7∙.

а) 0,5; б) -0,5; в) 1; г) -1.


  1. Решите уравнение: -3. Запишите сумму его корней:

а) 2; б) -1; в) 4; г) -2.

  1. Решите уравнение: .

Ответ:_________________________

7. Найдите наибольшие корни уравнения:

Ответ:_________________________


Тест по теме: Показательные уравнения.

Вариант2


  1. Решите уравнение: .

а) –; б) – 0,2; в)1,4; г)1,7.

  1. Решите уравнение:

а) -3; б) -3; -; в) 3; -; г) 3;

  1. Решите уравнение: 2∙4∙.

а) 3; б) 1; в) 9; г) 2.

  1. Решите уравнение: 3∙.

а) 0,5; б) -1; в) -2; г) -0,5.

  1. Решите уравнение: -2. Запишите сумму его корней:

а) -1; б) 1,5; в) -2; г) 1.

  1. Решите уравнение: .

Ответ:_________________________

7. Найдите наибольшие корни уравнения:

Ответ:________________________


Задания для индивидуальной работы.


Индивидуальная работа №1.

Вариант 1


  1. 8=


Вариант 2


3)

4)

5)

6)


Вариант 3


  1. 8=

3)

4)

5)

6)


Вариант 4


  1. 16 =


Вариант 5








Вариант 6


  1. 8=




Индивидуальная работа № 2


Вариант 1
  1. (

Вариант 2

Вариант 3

  1. 2∙

  2. (


Вариант 3

  1. 2∙


Вариант 4

  1. 7∙


Вариант 5



Индивидуальная работа № 3


Вариант 1

  1. 3∙

  2. =

10)



Вариант 1

  1. = 3



КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Перечислите свойства показательной функции.

Через какую точку проходят графики всех показательных функций вида y=ax?

Какое уравнение называется показательным?

Сформулируйте правило решения простейших показательных уравнений.

При какихbпоказательное уравнение ax=b имеет корень?

Сколько корней имеет уравнение ax=b?

Как решать уравнение вида af(x)=ag(x)?

Решите уравнение:

  • .


  • .



  • =0.



Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 11.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров102
Номер материала ДБ-024426
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх