Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания для студентов по теме "Решение показательных уравнений"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Методические указания для студентов по теме "Решение показательных уравнений"

библиотека
материалов


ГАПОУ ПО ПМПК

отделение строительства













Методические рекомендации

для студентов

по теме «Решение показательных уравнений»




Баннова О.В.































ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  1. Уравнение-это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

  2. Корень уравнения – это значение неизвестной величины, при котором равенство не теряет смысла.

  3. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

  4. Функция, заданная формулой у = ах (где а > 0, а≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.

D (y) = R (область определения – множество всех действительных чисел).

E (y) = R+ (область значений – все положительные числа).

при а > 1, функция возрастает при 0< а < 1, функция убывает

hello_html_343ca228.png
hello_html_3d65861b.png

Определение 1. Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени.

К таким относятся, например, уравнения , и другие.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида:

1. af(x)=ag(x) или 2. af(x)=b.


Определение 2. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида: a x= b.


Пусть основание a>0 , а≠1.Так как функция y = axстрого монотонна, то каждое свое значение она принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение ax= b при b > 0 имеет единственный корень х =

Если b ≤ 0, то уравнение ax= b корней не имеет, так как ax .

Если число b записано в виде ax= ac, то оно имеет один корень x = c.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений.


Виды показательных уравнений и способы их решений

Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений на частных примерах.



Способ 1. Приведение обеих частей к общему основанию, применяя свойства степеней.

Примеры:

  1. 9x = ;

32x = 3-3;

x = - .

Ответ: х =- .

  1. ;

;

; x = 3

Ответ: x = 3.

  1. ;х= Ответ: х=


  1. ()x ∙ ()x = .


По свойству степени: (x = ;

(x = ()3 ; х= 3.

Ответ: х= 3.

  1. = ()4-5x;

= ()-4+5x;

x2 = - 4+5x;

x2-5x+4 = 0; x1 =4; x2 =1.

Ответ: x1 = 4; x2 = 1.

Ответ:


. После преобразований получим:

. Откуда .

: x=10


Способ 2. Вынесение общего множителя за скобку.

Примеры:

  1. 6x+1+356x-1 = 71;

6x-1(62+35) =71;

6x-1 = 1;

6x-1= 60;

x = 1.

Ответ: x = 1.


  1. 7∙ -

(7-5) =

2 =

=

= ; = -3. Ответ: x = -3.


  1. 2x+5 ∙2x+1+7 ∙2x+2 = 312.
    Вынося в левой части уравнения за скобки 2
    x, получим

2x ∙(1+5 ∙21+7 ∙22) = 312;
2
x ∙39 = 312;

2x = 8;

2x = 23;

х = 3.
Ответ: х = 3.

  1. 3x-2 ∙3x-2 = 63.
    3
    x-2 ∙(32-2) = 63;
    3
    x-2 ∙7 = 63;
    3
    x-2 = 9;
    3
    x-2 = 32;
    x-2 = 2; x = 4.
    Ответ: x = 4.

  2. +

Наименьшим показателем степени является х-1; поэтому вынесем за скобки :

(+

(+



х - 1= 1;

х = 2. Ответ: x = 2.

Способ 3. Приведение показательного уравнения к квадратному.

  1. 72x-8 ∙7x+7 =0
    Данное уравнение имеет вид
    A ∙ a2x+B ∙ ax+C=0.

Пусть = у, тогда 72x2 и для определения y получим квадратное уравнение: y2-8y+7 =0;
y
1 =7; y2 =1.
Имеем:
1) 7
x =7; 7x =71; x =1; 2) 7x =1; 7x =70; x =0;
Ответ: x1 =1; x2 =0.


  1. 5∙52x-6 ∙5x+1 =0

Пусть: = у, тогда 5у2 - 6у + 1у = 0:

D=16; у1= , у2= 1.

Так как у1=, то = , х= -1;

у2= 1, то = 1 , х= 0;

Ответ: x1 = -1; x2 =0.



  1. 22+x-22-x =15;
    2
    2 ∙ 2x-22 ∙ 2-x =15;
    Получили уравнение вида
    A ∙ ax+ B ∙ a-x+ C=0.

Используя подстановку 2x = y и 2-x, переходим к уравнению 4y- = 15 или 4y2-15y-4 = 0. Находим корни: y1 = 4; y2 = - .
1) 2
x = 4; 2x = 22; x = 2;
2)2
x = -- - корней нет, так как 2x>0, xR.
Ответ: x = 2.

  1. 4x+6x =2 ∙ 32x.
    2
    2x+2x ∙ 3x-2 ∙ 32x =0.

Разделим обе части последнего уравнения почленно на 32x:
Тогда + -2 = 0;

()2x+()x-2 = 0.
Пусть ()
x = y, тогда ()2x = y2; y2+y-2 = 0;
y
1 = 1; y2 = - 2.
1) ()
x = 1; ()x = ()0; x = 0.
2) ()
x = - 2 - корней нет.
Ответ: x = 0

  1. =0.

Первый член уравнения можно представить в виде .

Тогда исходное уравнение принимает вид -= 0;

Обозначим: = с, тогда

с1=3, с2 = 1.

Второй корень смысла не имеет, так как показательная функция всегда положительна. Итак,

Ответ: x = 1.

Задачи ЕГЭ:



x = - 7

Ответ: x = - 7

Решение:

Сделаем замену: , при этом тогда

Получим квадратное уравнение:

Его корнями являются числа: 4 и – 1.

Условию удовлетворяет только

Решим уравнение: , x = 1

Ответ: x = 1


Решение: Поделим уравнение на

Сделаем замену: , при этом тогда

Получим квадратное уравнение:

Его корнями являются числа: 1 и – 2.

Условию удовлетворяет только

Решим уравнение: , x = 0.

Ответ: x = 0.


  1. 125 ∙


Решение: Преобразуем левую и правую части уравнений, используя свойства степеней: 125 ∙∙

Получаем ∙=

Учитывая свойства степенной и показательных функций делаем вывод, что левая часть уравнения всегда убывает, а правая всегда возрастает, следовательно их графики могут пересечься только в одной точке. Найдем этот корень. При x=1 левая часть уравнения больше правой. При x=2 левая часть уравнения меньше правой. Значит корень лежит между 1 и 2. Проверим x=1,5. Левая часть равна правой, следовательно x=1,5 - единственный корень уравнения.

Ответ: x = 1,5.



Задания для самостоятельной работы

Тест по теме: Показательные уравнения.

Вариант1

  1. Решите уравнение: .

а) -; б) - ; в) ; г) .

  1. Решите уравнение: .

а) -2; б) -1,5; 0,5; в) -0,5; 1,5; г) -0,5; 2.

  1. Решите уравнение: 5∙4∙.

а) -1; б) 4; в); г) -2.

  1. Решите уравнение: 7∙.

а) 0,5; б) -0,5; в) 1; г) -1.


  1. Решите уравнение: -3. Запишите сумму его корней:

а) 2; б) -1; в) 4; г) -2.

  1. Решите уравнение: .

Ответ:_________________________

7. Найдите наибольшие корни уравнения:

Ответ:_________________________


Тест по теме: Показательные уравнения.

Вариант2


  1. Решите уравнение: .

а) –; б) – 0,2; в)1,4; г)1,7.

  1. Решите уравнение:

а) -3; б) -3; -; в) 3; -; г) 3;

  1. Решите уравнение: 2∙4∙.

а) 3; б) 1; в) 9; г) 2.

  1. Решите уравнение: 3∙.

а) 0,5; б) -1; в) -2; г) -0,5.

  1. Решите уравнение: -2. Запишите сумму его корней:

а) -1; б) 1,5; в) -2; г) 1.

  1. Решите уравнение: .

Ответ:_________________________

7. Найдите наибольшие корни уравнения:

Ответ:________________________


Задания для индивидуальной работы.


Индивидуальная работа №1.

Вариант 1


  1. 8=


Вариант 2


3)

4)

5)

6)


Вариант 3


  1. 8=

3)

4)

5)

6)


Вариант 4


  1. 16 =


Вариант 5








Вариант 6


  1. 8=




Индивидуальная работа № 2


Вариант 1
  1. (

Вариант 2

Вариант 3

  1. 2∙

  2. (


Вариант 3

  1. 2∙


Вариант 4

  1. 7∙


Вариант 5



Индивидуальная работа № 3


Вариант 1

  1. 3∙

  2. =

10)



Вариант 1

  1. = 3



КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Перечислите свойства показательной функции.

Через какую точку проходят графики всех показательных функций вида y=ax?

Какое уравнение называется показательным?

Сформулируйте правило решения простейших показательных уравнений.

При какихbпоказательное уравнение ax=b имеет корень?

Сколько корней имеет уравнение ax=b?

Как решать уравнение вида af(x)=ag(x)?

Решите уравнение:

  • .


  • .



  • =0.



Общая информация

Номер материала: ДБ-024426

Похожие материалы