Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания для студентов по теме "Тригонометрические функции"

Методические указания для студентов по теме "Тригонометрические функции"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2355b000.gifhello_html_ef82e9a.gifhello_html_5e374d75.gifhello_html_m1ce85049.gifГосударственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Пензенской области «Пензенский многопрофильный колледж»

отделение строительства

















МАТЕМАТИКА

Тригонометрические функции

Методические указания для студентов

Баннова О.В.







































Пенза, 2014

Определение тригонометрических функций углов

Углы поворота на единичной окружности изображаются точками. Каждая точка в системе координат имеет абсциссу и ординату, которые приняты за косинус и синус угла α.hello_html_m745c6855.png

Определение 1. Синусом угла hello_html_695bfd0f.gif называется (число) ордината точки В, полученной поворотом точки А(1;0) вокруг начала координат на угол α:

hello_html_ff685f1.gif.

Определение 2. Косинусом угла hello_html_695bfd0f.gif называется (число) абсцисса точки В, полученной поворотом точки А(1;0) вокруг начала координат на угол α:

hello_html_m44578620.gif.

Определение 3. Тангенсом угла hello_html_695bfd0f.gif называется число, равное отношению ординаты точки В к её абсциссе или отношению синуса углаhello_html_695bfd0f.gif к косинусу того же угла:

hello_html_m7d43354a.gif.

hello_html_2d8d2392.gif.

Область определения и значения элементарных тригонометрических функций – следующие интервалы: hello_html_7e9c602c.gif

hello_html_45303d76.gif

hello_html_7de3cfdf.gif

hello_html_1fc9de65.gif

Формулы перевода градусной меры угла в радианную и наоборот.



hello_html_21c80117.gifhello_html_m5a2f0b2.gifи hello_html_170f7484.gif

Значения тригонометрических функций некоторых углов.

α

0

hello_html_1efe9eb4.gif

hello_html_m2bf5a2e4.gif

hello_html_351c7e71.gif

hello_html_50661fa5.gif

hello_html_m2dc5eea0.gif

hello_html_m53e690d0.gif

hello_html_31388407.gif

π

hello_html_28752d89.gif

hello_html_548a7475.gif

hello_html_27a4bcdf.gif

0

hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_1fc87bde.gif

1

hello_html_1fc87bde.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_6eec8aff.gif

0

-1

0

hello_html_m349f4e00.gif

1

hello_html_1fc87bde.gif

hello_html_73ca8c00.gif

hello_html_6eec8aff.gif

0

hello_html_m3d15adeb.gif

hello_html_7499bbcf.gif

hello_html_538d53cd.gif

-1

0

1

hello_html_777d16e0.gif

0

hello_html_2aa34a0e.gif

1

hello_html_5909bbae.gif

--

hello_html_35b962c5.gif

-1

hello_html_36f73219.gif

0

--

0

hello_html_68819480.gif

-

hello_html_5909bbae.gif

1

hello_html_2aa34a0e.gif

0

hello_html_36f73219.gif

-1

hello_html_35b962c5.gif

--

0

--



Четность и нечетность тригонометрических функций, периодичность.

Чётность тригонометрических функций

sin (-α)=-sin α

tg(-α)=-tg α нечётные

ctg(-α)=-ctg α

cos (-α)=cos α -чётная

Периодичность тригонометрических функций

sin(α+2πk)=sin α

cos(α+2πk)=cos α

tg(α+πk)=tg α

ctg(α+πk)=ctg α



Примеры

Пример 1.Найти область определения функции hello_html_m8e74131.gif.

Решение.hello_html_41369f5a.gif так как функция hello_html_m8e74131.gif не определена в этих точках. hello_html_116a4346.gif, так как в этих точках значение тангенса равно 0.

Пример 2. Доказать, что функцияhello_html_m9e45828.gif– чётная.

Решение.hello_html_m59df5217.gif, так как функции синус, тангенс и котангенс – нечётные функции, а косинус – чётная.

Пример 3. Определить знак выражения hello_html_134f8a94.gif

Решение. hello_html_715c04ae.gif, так как косинус в 3-й четверти – величина отрицательная; hello_html_379eed6f.gif, так как косинус в 4-й четверти – величина положительная; hello_html_m521170ed.gif, так как синус в 3-й четверти – величина отрицательная.

Ответ:hello_html_74099781.gif

При изучении свойств обратных тригонометрических функций следует знать, что обратная функция существует, если прямая функция монотонна. Поэтому областями определений и соответствующих им значений обратных тригономтерических функций являются интервалы:

hello_html_m679240ae.gif

hello_html_eda0da4.gif

hello_html_4336e60c.gif

hello_html_m36f61505.gif

так как в указанных промежутках элементарные функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x монотонны. Следует также знать, что функции y=arcsin x, , y=arctg x – нечетные функции.

Для функций y=arccos x и y=arcctg x справедливо следующее свойство:

hello_html_6e0bd707.gif.

Напомним, что

hello_html_m56f88a49.gif

hello_html_m2766a63b.gif

hello_html_65396e81.gif

Пример 4. Найти область определения функции hello_html_m5d94a4eb.gif.

Решение. hello_html_578d57ab.gifhello_html_4dd38c5f.gif.

Пример 5. Найти область определения функции hello_html_7498ed03.gif

Решение. hello_html_1d042774.gif

hello_html_m2ad088a0.gif;

hello_html_55b113d4.gif.

Значения обратных тригонометрических функций используют для нахождения наименьшего угла по заданному значению тригонометрической функции.

Пример 6. Вычислить hello_html_d32e06d.gif.

Решение. hello_html_4ba74b74.gif

hello_html_m15c38ef9.gif

hello_html_m38df3fef.gif

hello_html_m543d601c.gif=2(hello_html_7ce96027.gif

Окончательно находимhello_html_355fad4e.gif.

Пример 7. Вычислить hello_html_m6f45dd77.gif.

Решение. Воспользовавшись приведенными выше формулами, получим:

hello_html_170258b5.gif

hello_html_57e791ad.gif

Окончательно находим:hello_html_2ddb2163.gif.

Для вычисления значений тригонометрических функций по значениям одной из них необходимо знать основные тригонометрические тождества:

hello_html_m972a4d3.gif

hello_html_38762eaa.gif

hello_html_m790774a0.gif

hello_html_m7b270c17.gif

Пример 8. Пусть hello_html_m18ccfd13.gif. Вычислить hello_html_m16c8c1c1.gif.

Решение. Угол α принадлежит 4-й четверти.

hello_html_m21ff507a.gif

Так как косинус в 4 четверти – величина положительная, то hello_html_74c2a0ac.gif

hello_html_4446e2e3.gif

Пример 9. Известно, что tgα=hello_html_m5fb6b5eb.gif. Найти sinα и cosα.

Решение. Угол α3 четверти, поэтому косинус и синус угла α будут отрицательными величинами.

hello_html_m790774a0.gif,

hello_html_9916f78.gif,

hello_html_304a18f1.gif,

hello_html_m22f03de2.gif.

Для приведения функции произвольного угла к функции острого угла рекомендуется использовать следующий алгоритм:

1) произвольный угол преобразовать так, чтобы он принял одну из следующих форм: hello_html_3ad7e341.gif или hello_html_30153c83.gif, где hello_html_m71e6923.gifострый угол;

2) для углов видаhello_html_3ad7e341.gif название функции сохранить, а для углов видаhello_html_30153c83.gif функцию поменять на кофункцию (синус заменить на косинус, тангенс на котангенс и т.д.);

3) Знак в правой части формулы ставить тот, который принадлежит исходной функции, считая угол х острым.

Пример 10. Привести к функции острого угла:

1) sin 245o, 2) cos(-108o), 3) tg(-500o), 4) ctg(-205o).

Решение. Получаем:

1) sin 245o=sin(180o+65o)= - sin65o

2) cos(-108o)= cos108o=cos(90o+18o)= - sin18o

3) tg(-500o)= - tg500o= - tg(3∙180o-40o)=tg40o

4) ctg(-205o)= - ctg205o= - ctg(180o+25o)=-ctg25o.

Пример 11. Привести к функции острого угла:

1) hello_html_f33b6fb.gif, 2) hello_html_7c563ed4.gif 3) hello_html_m2a7acbb9.gif.

Решение. Получаем:

1) hello_html_3632bf34.gif

hello_html_224b4788.gif.

3)hello_html_m53b3bc20.gif.

Примечание. Угол, равный 1,44 радиана принадлежит 1 четверти, так как 0hello_html_47b38290.gif или hello_html_m5310356d.gif.







Задания для самостоятельного решения.

1. Используя преобразования графиков элементарных тригонометрических функций, построить графики функций:

1.1. hello_html_1875ac70.gif.

1.14. hello_html_32542717.gif

1.2. hello_html_m33c267e8.gif

1.15.hello_html_m74a2b5fa.gif

1.3. hello_html_m904454e.gif

1.16. hello_html_56a10fe7.gif

1.4. hello_html_60c0a71.gif

1.17.hello_html_4c024115.gif

1.5. hello_html_d1559a7.gif.

1.18. hello_html_m27cd14e7.gif

1.6. hello_html_63f2a911.gif

1.19. hello_html_m15b958e9.gif

1.7. hello_html_m62f8fa56.gif

1.20. hello_html_348a7c64.gif

1.8. hello_html_m6572ad3.gif.

1.21. hello_html_4f238145.gif

1.9. hello_html_m2dcd9eb6.gif

1.22. hello_html_m5bbe1319.gif

1.10. hello_html_m7db5b25.gif

1.23. hello_html_360e46fa.gif

1.11. hello_html_m4f4854b7.gif

1.24. hello_html_64228977.gif

1.12. hello_html_m11177862.gif.

1.25. hello_html_216efc6c.gif

1.13. hello_html_79d1b22.gif




2. Вычислить значения тригонометрических функций по значению одной из них:

2.1. hello_html_38edf5b0.gif

2.12. hello_html_22d42b48.gif

2.2. hello_html_1f68280.gif

2.13. hello_html_m23c64e6e.gif

2.3. hello_html_67a84f40.gif

2.14. hello_html_m121d2cb5.gif

2.4. hello_html_6c62e34d.gif

2.15. hello_html_me69df83.gif

2.5. hello_html_m598afb92.gif

2.16. hello_html_7c7ad559.gif

2.6. hello_html_m60e49c79.gif

2.17. hello_html_314d0257.gif

2.7. hello_html_m262b884b.gif

2.18. hello_html_4ba885c5.gif

2.8. hello_html_m46041c7f.gif

2.19. hello_html_3d1f95a9.gif

2.9. hello_html_5146916c.gif

2.20. hello_html_m26c0842d.gif

2.10. hello_html_mcc5f202.gif

2.21. hello_html_m48102c50.gif

2.11. hello_html_m4e054a44.gif

2.22. hello_html_m365990d1.gif

2.23. hello_html_m6892bf49.gif

2.27. hello_html_m61a7fb87.gif

2.24. hello_html_md502938.gif

2.28. hello_html_43926f6f.gif

2.25. hello_html_4cca118.gif

2.29. hello_html_m21c4c54e.gif

2.26. hello_html_165ca116.gif

2.30. hello_html_31108c61.gif



3. Привести к функции острого угла:

3.1. hello_html_5691b700.gif.

3.11.hello_html_mc72ff55.gif.

3.21.hello_html_m2eaf7b40.gif

3.2.hello_html_1d18f765.gif

3.12.hello_html_m53b22e6b.gif

3.22.hello_html_m588bc8c6.gif

3.3.hello_html_m14c1bf21.gif.

3.13.hello_html_5c5182ca.gif.

3.23.hello_html_4b3ef23e.gif

3.4.hello_html_m55eb476a.gif.

3.14.hello_html_54f0de2c.gif.

3.24.hello_html_m62107ac6.gif

3.5.hello_html_m3a0ce412.gif

3.15. hello_html_m1fb170cb.gif

3.25.hello_html_31d4c2e6.gif

3.6.hello_html_m19790c64.gif

3.16. hello_html_764e6e65.gif

3.26.hello_html_m5e3f9a57.gif

3.7. hello_html_763d6143.gif

3.17.hello_html_m59a1af8c.gif

3.27. hello_html_m30a3b089.gif

3.8. hello_html_7fe1cf8.gif

3.18.hello_html_33e10787.gif

3.28.hello_html_b5b5a66.gif

3.9.hello_html_m47b3a6e8.gif

3.19.hello_html_1fdbf512.gif

3.29.hello_html_m5955b89e.gif

3.10. hello_html_33559e54.gif

3.20. hello_html_d73d44d.gif

3.30. hello_html_m1b1a4c0f.gif

4. Вычислить:

4.1. hello_html_m5aefce38.gif

4.2.hello_html_6463c0f1.gif

4.3. hello_html_3da41b29.gif

4.4. hello_html_6945810c.gif

4.5. hello_html_cb8c450.gif

4.6. hello_html_m73026178.gif

4.7. hello_html_71ef3e0e.gif

4.8. hello_html_28f53218.gif.

4.9.hello_html_17144835.gif

4.10. hello_html_17f848c4.gif

4.11. hello_html_741a6fb.gif

4.12. hello_html_4931036c.gif

4.13. hello_html_m10e6386.gif

4.14. hello_html_m380a6058.gif

4.15. hello_html_9e49d16.gif

4.16. hello_html_73c97a44.gif

4.17. hello_html_7a797015.gif

4.18. hello_html_4c45d816.gif

4.19. hello_html_654ffb21.gif.

4.20 hello_html_m5600a81a.gif

4.21. hello_html_m37829b68.gif

4.22. hello_html_m20cb8e29.gif

4.23. hello_html_40aa0cbd.gif

4.24. hello_html_m22a7059d.gif

4.25. hello_html_1a6e45bd.gif

4.26.hello_html_m5d5fe310.gif

4.27. hello_html_m73c99293.gif

4.28. hello_html_mb024cc8.gif

4.29. hello_html_3a65589c.gif

4.30. hello_html_4f752d.gif

5. Найти область определения:

5.1. hello_html_m589755f6.gif

5.7. hello_html_m53576797.gif

5.2. hello_html_m501fd65e.gif

5.8. hello_html_m687d40b3.gif

5.3. hello_html_m3144feb4.gif

5.9. hello_html_m2e0b6de3.gif

5.4. hello_html_76aef43b.gif

5.10. hello_html_5c2aadb3.gif

5.5. hello_html_m53a39aea.gif

5.11. hello_html_601a64f5.gif

5.6. hello_html_m6c2e4f73.gif

5.12. hello_html_m9a666e6.gif

5.13. hello_html_44f0f2b5.gif

5.22. hello_html_150e0b54.gif

5.14 . hello_html_mad7907f.gif

5.23. hello_html_60fa4aff.gif

5.15 . hello_html_m143b2107.gif

5.24. hello_html_7f932c90.gif

5.16. hello_html_m7d3cc372.gif

5.25. hello_html_708a3866.gif

5.17. hello_html_589fb1fa.gif

5.26. hello_html_5bed51a3.gif

5.18. hello_html_m555bd654.gif

5.27. hello_html_m64449388.gif

5.19. hello_html_31cf10c8.gif

5.28. hello_html_m30676628.gif

5.20. hello_html_42dd6233.gif

5.29. hello_html_51cd2ae4.gif

5.21hello_html_759e20f0.gif

5.30. hello_html_m7b5ebd4c.gif







































Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 20.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров196
Номер материала ДВ-275231
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх