Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания для студентов специальности 270843

Методические указания для студентов специальности 270843

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2a7690f7.gifМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ «Сызранский политехнический техникум»














Методические указания для студентов

по выполнению практических занятий


ЕН.01 МАТЕМАТИКА


«математический и общий естественнонаучный цикл»

основной профессиональной образовательной программы

по специальности 08.02.09 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий





















Сызрань, 2015

ОДОБРЕНО

УТВЕРЖДЕНО

предметной (цикловой) комиссией

Методическим советом

математических и общих естественнонаучных дисциплин


ГБПОУ «Сызранский политехнический техникум»



Протокол № ______

Протокол № ______

от «___» _____________2015 г.

от «___» _____________2015 г.

Заместитель директора по учебной

Председатель: _____ Ю.Е.Кветкина


работе:____________Е.В.Вернер




Составитель: Разиева Т.С., преподаватель математики ГБПОУ «Сызранский политехнический техникум»


Методические указания для выполнения практических занятий) являются частью основной профессиональной образовательной программы ГБПОУ «Сызранский политехнический техникум» по специальности 08.02.09 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.

Методические указания по выполнению практических занятий адресованы студентам очной формы обучения.

Методические указания включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных во ФГОС СПО третьего поколения, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практических занятий студентов и инструкцию по ее выполнению, методику анализа полученных результатов, порядок и образец отчета о проделанной работе.







СОДЕРЖАНИЕ



Название практических занятий



1

Действия над приближёнными значениями чисел

6

2

Исследование функции на непрерывность. Нахождение точек разрыва

10

3

Применение производной к исследованию функций

13

4

Нахождение дифференциала функции

17

5

Методы интегрирования

20

6

Вычисление различных величин с помощью определённого интеграла


24

7

Решение дифференциальных уравнений с разделяющими переменными


30

8

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

34

9

Геометрическая интерпретация комплексного числа

38

10

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах


42






























Введение


УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!


Методические указания по дисциплине ЕН.01 МАТЕМАТИКА для выполнения практических занятий созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к практическим занятиям, правильного составления отчетов.

Приступая к выполнению практического задания, Вы должны внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными стандартами третьего поколения (ФГОС-3), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практического задания, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

В результате освоения дисциплины студент должен уметь:

  • находить производную элементарной функции;

  • выполнять действия над комплексными числами;

  • вычислять погрешности результатов действия над приближенными числами;

  • решать простейшие уравнения и системы уравнений.

В результате освоения дисциплины студент должен знать:

  • основные понятия и методы математического анализа;

  • методику расчета с применением комплексных чисел;

  • базовые понятия дифференциального и интегрального исчисления;

  • структуру дифференциального уравнения;

  • способы решения простейших видов уравнений;

  • определение приближенного числа и погрешностей.

Содержание дисциплины должно быть ориентировано на овладению профессиональными компетенциями:

ПК 2.4. Участвовать в проектировании силового и осветительного электрооборудования.

ПК 3.3. Участвовать в проектировании электрических сетей.

ПК 4.2. Контролировать качество выполнения электромонтажных работ

ПК 4.3. Участвовать в расчётах основных технико-экономических показателей.

В процессе освоения дисциплины у студентов должны формировать общие компетенции (ОК):

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.


Все задания к практическому занятию Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

Отчет о практическом занятии Вы должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

Наличие положительной оценки по практическим занятиям необходимо для получения зачета по дисциплине или допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие Вы должны найти время для его выполнения или пересдачи.


Внимание! Если в процессе подготовки к практическим занятиям или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.



Желаем Вам успехов!!!

Раздел 1 Элементы вычислительной математики


Тема 1.1 Погрешности приближённых значений чисел


Практическое занятие № 1. Действия над приближёнными значениями чисел


Учебная цель:

Приобрести навыки и умения при выполнении действий над приближенными значениями чисел


Учебные задачи:

1. Повторить понятия абсолютной и относительной погрешности.

2. Научиться выполнять действия с приближенными числами.

3. Учить рассуждать и логически мыслить.


Обеспеченность занятия (средства обучения):

  1. Тетрадь для практических занятий

  2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

  3. Ручка.

  4. Карандаш простой.

  5. Калькулятор.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Пусть X - точное значение некоторой величины, а х - наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают ее абсолютную величину:


hello_html_2be09e9.gif

(1)

Величина ех, называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно точное значение X. Вместе с тем, на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число hello_html_m719d3e6f.gif для которого справедливо неравенство


hello_html_7f648fb7.gif

(2)

Число hello_html_ma599192.gif в этом случае называется предельной абсолютной погрешностью, или границей абсолютной погрешности приближения х.

Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х - это всякое число hello_html_ma599192.gif, не меньшее абсолютной погрешности ех этого числа.

Пример: Возьмем число hello_html_1a74e1c5.gif. Если же вызвать hello_html_3533bffa.gif на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: hello_html_1ed0245a.gifПопытаемся выразить абсолютную погрешность значения hello_html_m52b3dc.gif. Получили бесконечную дробь, не пригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что hello_html_7983a207.gif следовательно, число 0,00000006 = 0,6 * 10-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения hello_html_497120f6.gif, используемого МК вместо числа hello_html_19b2028b.gif

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки ех к модулю значения X(когда оно неизвестно, то к модулю приближения х).

Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) hello_html_4d647cf.gif приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:


hello_html_46907d66.gif

(5)

Формула (5) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:


hello_html_5e852560.gif

(6)

Относительную погрешность выражают обычно в процентах.

Пример Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Так как π=3,1415926…., то hello_html_539a7577.gif|π-3,14|<0,0015927<0,0016=hello_html_9e63b13.gifпо формуле связи получаем hello_html_1d290196.gifтаким образом hello_html_m243e3b02.gif


Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений

Цифра числа называется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример. Х=6,328 hello_html_m3d4f750a.gifХ=0,0007 hello_html_m3d4f750a.gifX<0,001 следовательно цифра 8-верная

Пример: А). Пусть 0 = 2,91385, hello_html_m37362e94.gif В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.

Б) Возьмем в качестве приближения к числу hello_html_3533bffa.gif= 3,141592... число hello_html_497120f6.gif= 3,142. Тогда hello_html_22d23c7a.gif (рис.) откуда следует, что в приближенном значении hello_html_497120f6.gif= 3,142 все цифры являются верными.

Первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.

Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, например, записано приближенное число а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять hello_html_m6b01a31e.gif т.е. а = 16,784±0,001.

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.

Пример:

а) 0,2409 - четыре значащие цифры;

б) 24,09 - четыре значащие цифры;

в) 100,700 - шесть значащих цифр.


Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  1. Какое число называют приближённым значением с недостатком?

  2. Приближённым значением с избытком?

  3. Что значит округлить число до целых?

  4. Сформулируйте правило округления числел.

  5. Что надо сделать с последней оставленной цифрой,если после неё идёт цифра 8 ? цифра 5 ? цифра 3?

  6. Какие цифра называется значащей, верной?


Задания для практического занятия (лабораторной работы):


I вариант.

  1. Вычислите сумму hello_html_m8c23d8d.gif, взяв приближенные значения корней с точностью до 0,001.

  2. Вычислите площадь параллелограмма, если а=68,7 и h=52,6. Укажите верные цифры ответа.

  3. Найдите границу абсолютной погрешности произведения двух приближенных значений чисел а=7,36±0,004 и b=8,61±0,005.

  4. Вычислите относительную погрешность hello_html_m41851c2.gif.

  5. С какой точностью надо измерить радиус круга, чтобы относительная погрешность площади круга не превышала 0,5%? Грубое приближенное значение R=8м.


II вариант.

  1. Вычислите разностьhello_html_m2f0ade87.gif с четырьмя значащими цифрами.

  2. Вычислите площадь прямоугольника, если а=78,6 и h=48,7. Укажите верные цифры ответа.

  3. Вычислите Х=(а+b)с, если а=82,6, b=93,8 с=61,9. Укажите границу абсолютной погрешности.

  4. Вычислите относительную погрешность hello_html_246b306b.gif .

  5. С какой точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы относительная погрешность площади квадрата не превышала 1%? Приближенное значение стороны квадрата а=9 м.


Критерии оценок:

На оценку «3» выполнить правильно 3 задания и ответить правильно на 3 вопроса для закрепления.

На оценку «4» выполнить правильно 4 задания и ответить правильно на 4 вопроса для закрепления;

На оценку «5» выполнить правильно 5 заданий и ответить правильно на все вопросы для закрепления.


Инструкция по выполнению практического занятия

  1. Познакомиться с конспектами лекций и краткой теоретической справкой

  2. Ответить устно на контрольные вопросы.

  3. Используя конспекты лекций, решить практические задания.


Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.


Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.




















Раздел 2 Элементы математического анализа


Тема 2.1 Функция. Предел функции. Непрерывность функции


Практическое занятие № 2. Исследование функции на непрерывность. Нахождение точек разрыва.


Учебная цель:

Сформировать умение исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва, определять род точек разрыва.


Учебные задачи:

  1. Научиться исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва.

  2. Научиться определять тип точек разрыва.

  3. Учить рассуждать и логически мыслить


Обеспеченность занятия (средства обучения):

  1. Тетрадь для практических занятий

  2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

  3. Ручка.

  4. Карандаш простой.

  5. Чертежные принадлежности: (линейка).


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Функция hello_html_14c1d38e.gif называется непрерывной в точке х0, если она: 1) определена в точке х0; 2) имеет конечный предел при hello_html_493b1f8a.gif; 3) этот предел равен значению функции в этой точке hello_html_m47cc25af.gif

Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точка х0 называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 1—3 непрерывности функции. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.


Классификация точек разрыва:

  1. х0 – точка устранимого разрыва, если а) hello_html_2dfa4c7f.gif

б) в точке х0 функция не определена

  1. х0 – точка разрыва I рода, если hello_html_m37cf2d57.gif

hello_html_260e611e.gif- скачок функции

  1. х0 – точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует


Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

    1. Какая функция называется непрерывной?

    2. Какая точка называется точкой разрыва?

    3. Назовите типы точки разрыва.


Задания для практического занятия:


Задание 1. Доказать, что функция является непрерывной

hello_html_m3d54e49.gif


Задание 2. Найти точки разрыва и установить их тип

hello_html_1175cc31.gif

Критерии оценок:

На оценку «3» выполнить правильно 1 задание и ответить правильно на 1 вопрос для закрепления.

На оценку «4» выполнить правильно 1-2 задания и ответить правильно на 2 вопроса для закрепления.

На оценку «5» выполнить правильно 2 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления.


Инструкция по выполнению практического занятия

При выполнении заданий рассмотреть пример.


Пример 1:

Найти точки разрыва функции и установить их тип

hello_html_m55893277.gif


Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.


Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.










Раздел 2 Элементы математического анализа

Тема 2.2 Производная и дифференциал функции


Практическое занятие № 3. Применение производной к исследованию функций.


Учебная цель: Приобрести умения по применению производной к исследованию функций.


Учебные задачи:

  1. Научиться применять производную для исследований функций.

  2. Научиться строить графики функций.

  3. Учить рассуждать и логически мыслить


Обеспеченность занятия:

  1. Тетрадь для практических занятий

  2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

  3. Ручка.

  4. Карандаш простой.

  5. Чертежные принадлежности: (линейка).


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Правило нахождения экстремумов функции hello_html_m1be09bb2.gif с помощью второй производной:

1. Найти производную hello_html_m1dc8c339.gif

2. Найти критические точки функции, в которых hello_html_25e4bb34.gif.

3. Найти вторую производную hello_html_m3fdc1727.gif.

4. Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной – минимум. Если вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.


Направление выпуклости графика функции

Кривая hello_html_m1be09bb2.gif называется выпуклый вниз в промежутке hello_html_m4e13e6f9.gif, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка. Кривая hello_html_m1be09bb2.gif называется выпуклой вверх в промежутке hello_html_m4e13e6f9.gif, если она лежит ниже касательной, в любой точке этого промежутка.

Выпуклость вниз или вверх кривой характеризуется знаком второй производной функции hello_html_m1be09bb2.gif: если в некотором промежутке hello_html_5f690a6e.gif, то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же hello_html_82b17b7.gif, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.


Правило нахождения точек перегиба графика функции hello_html_m7844ff5c.gifhello_html_m1be09bb2.gif.

1. Найти вторую производную hello_html_m3fdc1727.gif.

2. Найти критические точки функции hello_html_m1be09bb2.gif, в которых hello_html_m3fdc1727.gif образуется в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной hello_html_m3fdc1727.gif в промежутках, на которых найденные критические точки делят область определения функции hello_html_m1be09bb2.gif. Если критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то она является абсциссой точки перегиба графика.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.


Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Правило нахождения экстремумов функции с помощью второй производной.

2. Какие точки функции называются критическими?

3. Что называется экстремумом функции?

4. В каком случае кривая выпуклая вниз, и в каком случае – вверх?

5. Правила нахождения точек перегиба графика функции hello_html_m1be09bb2.gif.


Задания для практического занятия:

Вариант 1

Вариант 2

1. Исследуйте функцию на экстремум с помощью второй производной

hello_html_m268975ee.gif

hello_html_585a6035.gif

2. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых

hello_html_614c771a.gif

hello_html_6ec217dc.gif

3. Дан закон прямолинейного движения точки (t – в секундах, s – в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки.

hello_html_6ad66c5b.gif

hello_html_148b5a59.gif


Критерии оценок:

На оценку «3» выполнить правильно1 задание и ответить правильно на 2 вопроса для закрепления.

На оценку «4» выполнить правильно 2 задания и ответить правильно на 3 вопроса для закрепления.

На оценку «5» выполнить правильно 3 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления.


Инструкция по выполнению практической работы


При выполнении первого задания рассмотрите пример.

Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной

hello_html_57c0b3f9.gif.

1) Производная hello_html_m1dc8c339.gif

hello_html_7fd32325.gif.

2) Критические точки hello_html_25e4bb34.gif:

hello_html_64eb78e7.gif

hello_html_m14cf1d88.gif

hello_html_m10d8edff.gif, hello_html_2a562625.gif - критические точки.

3) Вторая производная hello_html_m3fdc1727.gif

hello_html_m183c118b.gif.

4) Исследовать знак второй производной в каждой критической точке:

hello_html_m73fdadc6.gif, значит, hello_html_7b0a2ad4.gif является точкой максимума

hello_html_m5954f9ec.gif, значит, hello_html_68714e43.gif является точкой минимума.

5) Вычислим значения функции в этих точках:

hello_html_38fb8b96.gif

hello_html_5c8ae5fd.gif

Ответ: hello_html_17be7f76.gif; hello_html_3c4448c8.gif.

2. При выполнении второго задания рассмотрите пример.

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба кривой hello_html_m580c715e.gif

1)Производная hello_html_5110f679.gif: hello_html_5bfe027f.gif

2) Вторая производная hello_html_1e2947a4.gif: hello_html_3ada8940.gif

3) Критические точки: hello_html_m516b25f3.gif.

hello_html_3b75376f.gif

hello_html_3e308c15.gif

hello_html_7b0a2ad4.gif- критическая точка.

4) Исследуем знак второй производной hello_html_1e2947a4.gif в промежутках hello_html_299eb20a.gif и hello_html_m1dc5ee4.gif

hello_html_7e345924.gif; hello_html_m15709884.gif

hello_html_7b0a2ad4.gifточка перегиба

Найдём hello_html_m5cfdfc9c.gif

hello_html_228f3d85.gif

Ответ: на промежутке hello_html_299eb20a.gif кривая выпукла вниз; на промежутке hello_html_7fc6d1d.gif кривая выпукла вверх; hello_html_688f7520.gif- точка перегиба.

3. При выполнении третьего задания рассмотрим пример.

Найти максимальную скорость движения точки, если закон прямолинейного движения задан уравнением hello_html_5af3020a.gif (hello_html_m981ed9b.gifв метрах, hello_html_64d08dae.gifв секундах).

Скорость движения точки есть первая производная пути во времени:

hello_html_3341eb0b.gif

Исследуем эту функцию на максимум и минимум с помощью второй производной:

hello_html_789c7660.gif

hello_html_6198414.gif

hello_html_64fdb6a9.gif

hello_html_m12fed4f4.gif

hello_html_m1644791d.gif

Вторая производная отрицательна, следовательно, скорость является наибольшей при hello_html_m12fed4f4.gifсек.

Найдём значение скорости в момент hello_html_m12fed4f4.gifсек:

hello_html_7cc7a54.gif.

Ответ: hello_html_m64c25a4c.gif.


Порядок выполнения отчёта по практической работе

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.


Образец отчёта по практической работе

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.





















Раздел 2 Элементы математического анализа

Тема 2.2 Производная и дифференциал функции


Практическое занятие № 4. Нахождение дифференциала функции.


Учебная цель: приобрести навыки и умения нахождения дифференциала функции


Учебные задачи:

  1. Научиться находить дифференциал функции.

  2. Учить рассуждать и логически мыслить


Обеспеченность занятия:

  1. Тетрадь для практических занятий

  2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

  3. Ручка.

  4. Карандаш простой.

  5. Калькулятор.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Определение. Дифференциалом функции hello_html_426ecc2d.gifили дифференциалом первого порядка называется произведение производной этой функции на дифференциал аргумента.

hello_html_m3c815bcf.gif

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

hello_html_96dfd4a.gif

(таблица дифференциалов прилагается).

Геометрический смысл: дифференциал функции hello_html_426ecc2d.gif геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке hello_html_m5c5681ef.gif при данных значениях hello_html_m739e76de.gif и hello_html_48a4e8f0.gif.

hello_html_m73734441.gif.

1) hello_html_m71c5bb04.gif

2) hello_html_7e52d871.gif

3)hello_html_4a331ea4.gif


Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе.

1. Что называется дифференциалом функции?

2. Как обозначается дифференциал функции?

3*. Каков геометрический смысл дифференциала функции?


Задания для практического занятия:


Задание: Найти дифференциал функций.

Вариант 1. Вариант 2.

1) hello_html_m3ba55683.gif 1) hello_html_m7a5c0405.gif

2)hello_html_m67ad0085.gif 2) hello_html_m780505a0.gif

3) hello_html_7cef1068.gif 3) hello_html_m696592a3.gif

4) hello_html_m35c8e6ad.gif 4) hello_html_m3ae2c8f4.gif

5) hello_html_4094d0e7.gif 5) hello_html_42e463f1.gif

6) hello_html_m29a586ba.gif 6) hello_html_10ebb121.gif

7) hello_html_61766dc7.gif 7) hello_html_55840a0b.gif

8) hello_html_6856db1b.gif hello_html_3d903a84.gif 8) hello_html_m3933590e.gif hello_html_3d903a84.gif

Критерии оценок:

На оценку «3» выполнить правильно 6 заданий и ответить правильно на 2 вопроса для закрепления;

На оценку «4» выполнить правильно 1-6. 8 задания и ответить правильно на 2 вопроса для закрепления;

На оценку «5» выполнить правильно 8 заданий и ответить правильно на все вопросы для закрепления.


Инструкция по выполнению практического занятия

При выполнении заданий рассмотреть примеры


Примеры.

Найдите дифференциал функции.

1)hello_html_14607eed.gif

hello_html_4068789d.gif

2) hello_html_m2a4a9e16.gif

hello_html_12d20849.gif

3) hello_html_6ffb3b0b.gif

hello_html_m62c77042.gif

4) hello_html_m1c9e6652.gif

hello_html_543b0e82.gif

5) hello_html_m4ee3b8bf.gif

hello_html_4588d450.gif.

6) hello_html_m2b1fedcd.gif; hello_html_m1d1b4f6.gif

7) hello_html_m340078fa.gif; hello_html_a217bb4.gif hello_html_m7207716e.gif


Порядок выполнения отчёта по практической работе

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет к практическому заданию


Образец отчёта по практической работе

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.




























Раздел 2 Элементы математического анализа


Тема 2.3 Интеграл и его приложения


Практическое занятие № 5. Методы интегрирования


Учебная цель: приобрести навыки и умения при нахождении интегралов функций различными методами.


Учебные задачи:

  1. Закрепить умение находить неопределенные интегралы для элементарных функций.

  2. Научиться интегрировать методом замены переменной по частям.

  3. Учить рассуждать и логически мыслить.


Обеспеченность занятия:

  1. Тетрадь для практических занятий

  2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

  3. Таблица интегралов

  4. Ручка.

  5. Карандаш простой.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной функции f(x), если в каждой точке интервала (a,b) справедливо равенство hello_html_363511eb.gif

Определение: Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом

hello_html_6eebe2f8.gif

Иначе, по определению,

hello_html_m219380ad.gif, где F(x) – какая-либо первообразная функции f(x); С- произвольная постоянная.

При нахождении неопределенных интегралов применяем следующие правила:

1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если hello_html_m127b01d0.gif, то hello_html_m6bdda271.gif.

2) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е. hello_html_m4aceb9c8.gif

Пример1:

hello_html_3adf410d.gif

В основе интегрирования методом замены переменной (методом подстановки) лежит формула

hello_html_mdb363c9.gif

Алгоритм вычисления  неопределенного интеграла методом подстановки:

  1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

  2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

  3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

  4. Производят замену под интегралом.

  5. Находят полученный интеграл.

  6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.


Пример 2:

hello_html_m703097c1.gif

hello_html_7cc9dadc.gif

Интегрирование по частям.
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям

Если производные функций hello_html_ca09d33.gif и hello_html_m2d819dc2.gif непрерывны, то справедлива формула:

hello_html_m71714215.gifhello_html_m56928be5.gif (3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве hello_html_3d4de2a5.gif обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Пример 3:

hello_html_m4621c5bd.gifhello_html_m595e9a0f.gif

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:


1. Почему интеграл называется неопределенным?

2. Что означает C в определении неопределенного интеграла?

3. Сформулируйте основные правила неопределенных интегралов.

4. Какие из следующих равенств записаны верно, а какие нет:

а) hello_html_4ee9fdfe.gif

б) hello_html_m15778b34.gif

в) hello_html_m1ab5111a.gif


Задания для практического занятия:


задания

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Найти неопределенный интеграл, пользуясь таблицей основных интегралов.

(3 балла за каждый пример)

hello_html_m7447556.gif

hello_html_69d89c66.gif

hello_html_1d3d6e35.gif

hello_html_m4374b23f.gif

hello_html_m6c2fad00.gif

hello_html_20be97b6.gif

hello_html_m76a83a24.gif

hello_html_m5a41cf5a.gif

hello_html_43bc3085.gif

hello_html_357e5c25.gif

hello_html_m5b0be627.gif

hello_html_44ab95ce.gif

hello_html_m6c709b73.gif

hello_html_m52dd7c4f.gif

hello_html_m19d7c581.gif

Найти неопределенный интеграл, преобразуя выражения стоящие под знаком интеграла. (4 балла)

hello_html_ma92491f.gif

hello_html_581c1aec.gif

hello_html_e16b511.gif

Найти неопределенный интеграл методом подстановки.

(4 балла за каждый пример)

hello_html_d327f79.gif

hello_html_m67263046.gif

hello_html_m724d2c9b.gif

hello_html_ma7e84a7.gif

hello_html_67c544a1.gif

hello_html_m6b2ffdf.gif

hello_html_61787dd0.gif

hello_html_150be70c.gif

hello_html_2b66007e.gif

Найти неопределенный интеграл , интегрируя по частям.

(5 баллов за каждый пример)

hello_html_m3adc8f8e.gif

hello_html_m4d3b0681.gif

hello_html_7dd73128.gif


Критерии оценок:

Оценка «3» - не менее 23 баллов;
Оценка «4» - от 29 до 33 баллов;
Оценка «5» - от 34 до 36 баллов.

Инструкция по выполнению практического занятия

  1. При выполнении первого и второго задания рассмотрите первый пример.

  2. При выполнении третьего задания рассмотрите второй пример.

  3. При выполнении четвертого задания рассмотрите третий пример.


Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.


Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.











Раздел 2 Элементы математического анализа


Тема 2.3 Интеграл и его приложения


Практическое занятие № 6. Вычисление различных величин с помощью определённого интеграла


Учебная цель:

Приобрести умения по вычислению площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определённого интеграла.


Учебные задачи:

    1. Рассмотреть примеры на применение определенного интеграла.

    2. Научиться вычислять площади плоских фигур и объемов тел.


Обеспеченность занятия:

  1. Тетрадь для практических занятий

  2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

  3. Таблица интегралов

  4. Ручка.

  5. Карандаш простой.

  6. Чертежные принадлежности: (линейка)

  7. Калькулятор простой.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Найдём площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой hello_html_1b117827.gif, осью Ox и двумя прямыми x=a и x=b, где hello_html_1e30f1fb.gif, hello_html_m6eda3b72.gif.

Так как дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой hello_html_e6a9ce5.gif,т.е. hello_html_m4b74c710.gif, то интегрируя это равенство в пределах от a до b, получим hello_html_m7c4f5d85.gif.

hello_html_m546f2331.pnghello_html_1033691f.png






hello_html_m421a7670.png


Если криволинейная трапеция прилегает к оси Oy так, что hello_html_m24310507.gif, hello_html_m647a8c36.gif, то дифференциал переменной площади S равен hello_html_m7ef58207.gif, откуда hello_html_m5556f783.gif.

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой hello_html_1557a06a.gif, осью Ox и прямым hello_html_m7bb26c17.gif и hello_html_61026557.gif, лежит под осью Ox, площадь находится по формуле hello_html_1813080c.gif.


hello_html_m4c135181.png



Если фигура, ограниченная кривой hello_html_m47f4dfbe.gif, осью Ox и прямыми hello_html_m7bb26c17.gifи hello_html_61026557.gif, расположена по обе стороны от оси Ox, то hello_html_68b6dddb.gif.



Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми hello_html_448aba13.gif и hello_html_m125c5639.gif и прямыми hello_html_m7bb26c17.gif и hello_html_61026557.gif и hello_html_m55e0ab18.gif. Тогда её площадь находится по формуле hello_html_1c6c3825.gif. hello_html_4c2f709a.png






Пример. Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями.

1) hello_html_48a97261.gif, hello_html_3fbdfdba.gif, hello_html_m6d47d63d.gif, hello_html_6be08041.gif

В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой hello_html_48a97261.gif, прямыми hello_html_3fbdfdba.gif, hello_html_m6d47d63d.gif, и hello_html_6be08041.gif. Посмотрим эти линии. hello_html_m5a425a20.png

hello_html_6b91654b.gif

Ответ: 1,5 кв. ед.



2) hello_html_b213a2a.gif, hello_html_m49a8ce40.gif, hello_html_m64e1b9d6.gif, hello_html_789be4d6.gif

hello_html_b213a2a.gif

hello_html_m626176b1.gif

hello_html_mc6c347c.gifhello_html_m702afb47.png

Ответ: 3,5 кв. ед.




3) hello_html_m4620076f.gif, hello_html_mecff4dc.gif, hello_html_m6592204c.gif, hello_html_m64e1b9d6.gif.

hello_html_m4620076f.gif-парабола

hello_html_mecff4dc.gif-парабола

hello_html_680a0d7e.gif hello_html_7230221.gif hello_html_36750cf3.png

hello_html_m25d15d5f.gif

hello_html_4bf1e2a0.gifкв. ед.

Ответ:hello_html_2e6f1616.gifкв. ед.

4) hello_html_15069c2d.gif, hello_html_m43ac579b.gif. hello_html_8ac818e.png

hello_html_15069c2d.gif-парабола

hello_html_m36d28486.gif,

hello_html_mf708c57.gif,

(1;2) - вершина параболы

hello_html_m556c0138.gif

hello_html_m43ac579b.gif-прямая

hello_html_m499b440.gif

Для нахождения точек пересечения решим систему:

hello_html_m5333979b.gif

hello_html_2ae6751d.gif,

hello_html_11e0c904.gif,

hello_html_m37f3ec27.gif,

hello_html_54819068.gif,

hello_html_m2f6b9301.gif,

hello_html_m14926b55.gif

hello_html_51970052.gif

hello_html_4ae7b7fd.gifhello_html_m184c1a72.gifкв. ед.

Ответ: 9,5 кв. ед.


Объем тела вращения.



Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения. http://sesia5.ru/vmat/gl2/ris/image757.gif

 Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса http://sesia5.ru/vmat/gl2/ris/image758.gif, то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

http://sesia5.ru/vmat/gl2/ris/image759.gif

Формулы объемов тел вращения около:

оси Ох hello_html_m6b1396fb.gif; оси Оу hello_html_25a553cf.gif


Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx площадки, ограниченной линиями y2 = 4x и y = x.

hello_html_5dbfbdf2.gif

Решение. Решив систему находим точки пересечения параболы и прямой: О (0; 0) и А (4; 4). Следовательно, пределы интегрирования a = 0 и b = 4. Объем тела вращения представляет собой разность объемов параболоида, образованного вращением кривой y2 = 4x (V1) и конуса, образованного вращением прямой y = x (V2). Тогда

hello_html_575ee243.gif

hello_html_m5a3a749b.gif

hello_html_189b7843.gif

x

0

y

y2 = 4x

y = x

A

x = 4

Ответ: hello_html_m5deb5da3.gif (куб. ед.)



Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какова формула вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченой кривой hello_html_1557a06a.gif, осью Ox и прямые hello_html_45ac757a.gif и hello_html_6aaf8cdc.gif?

2. Какова формула вычисления полощади криволинейной трапеции, ограниченной кривой hello_html_1557a06a.gif, осью Ox и прямыми hello_html_45ac757a.gif и hello_html_61026557.gif, лежит под осью Ox?

3. Какова площадь фигуры ограниченной двумя пересекающимися кривыми hello_html_m36e2f6c5.gif и hello_html_m3f97b49a.gif и прямыми hello_html_45ac757a.gif и hello_html_6aaf8cdc.gif, где hello_html_1e30f1fb.gif и hello_html_m6f588e61.gif?

4.От чего зависит выбор формулы для нахождения объема тела вращения?


Задания для практического занятия:


Вариант I

Вариант II

1. Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями

а)hello_html_72267ef3.gif, hello_html_3fbdfdba.gif, hello_html_m4ed3a8d7.gif, hello_html_m64e1b9d6.gif;

б) hello_html_mcfb425c.gif, hello_html_789be4d6.gif, hello_html_m49a8ce40.gif;

в) hello_html_47616eb6.gif, hello_html_m5f3d9d7.gif, hello_html_3fbdfdba.gif;

г) hello_html_m1c0e1a01.gif, hello_html_m1cdb5130.gif.

а) hello_html_1659ab8d.gif, hello_html_3fbdfdba.gif, hello_html_m76283624.gif, hello_html_6be08041.gif;

б) hello_html_m25c2ac8b.gif, hello_html_m64e1b9d6.gif, hello_html_m73ac17ab.gif, hello_html_m49a8ce40.gif;

в) hello_html_m4ca3cda0.gif, hello_html_20c7e5c4.gif, hello_html_3fbdfdba.gif;

г) hello_html_m670dc68.gif, hello_html_m425efb49.gif.

2. Найти объемы тел вращения, образованных вращением вокруг оси Оx площадей, ограниченных линиями

y2 – 4x = 0, x – 2 = 0, x – 4 = 0, y = 0

y2 – 6x = 0, x – 2 = 0, x – 6 = 0, y = 0


Критерии оценок:

На оценку «3» выполнить правильно 3 задания и ответить правильно на 2 вопроса для закрепления;

На оценку «4» выполнить правильно 4 задания и ответить правильно на 3 вопроса для закрепления;

На оценку «5» выполнить правильно 5 заданий и ответить правильно на все вопросы для закрепления.


Инструкция по выполнению практического занятия

  1. Познакомиться с конспектами лекций и краткой теоретической справкой

  2. Ответить устно на контрольные вопросы.

  3. Используя конспекты лекций, решить практические задания.


Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.


Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.




















Раздел 2 Элементы математического анализа


Тема 2.4 Дифференциальные уравнения


Практическое занятие №7. Решение дифференциальных уравнений с разделяющими переменными


Учебная цель:

Приобрести умения по решению дифференциальных уравнений с разделяющими переменными.


Учебные задачи:

      1. Научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

      2. Учить рассуждать и логически мыслить.


Обеспеченность занятия:

  1. Тетрадь для практических занятий

  2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

  3. Таблица интегралов

  4. Ручка.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производное или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так: hello_html_m1a587345.gifhello_html_m1229659a.gif.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значимых произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента или функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнениям первого порядка называются уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называются уравнения вида

hello_html_252a1114.gif

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

hello_html_m4b977997.gif, а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

hello_html_m4a327fe3.gif


Пример. Найдите общее решение уравнений с разделяющимися переменными.

а) hello_html_259527b3.gif

hello_html_m236be85c.gif

hello_html_2222d43d.gifhello_html_15ad32c5.gif;

hello_html_3292aaa9.gif

hello_html_57e666d1.gif

б) hello_html_m14b64a7a.gif

hello_html_10d6423d.gif


Пример. Найдите частные решения дифференциальных уравнений.

hello_html_m7de28a43.gif


hello_html_m78e45f21.gif;

hello_html_11ce857d.gif

hello_html_6daf6de2.gif

hello_html_m1ceb9c0f.gif

hello_html_m4d080bc8.gifобщее решение уравнения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее условию hello_html_3b9c5bdd.gif.

hello_html_199422e5.gifhello_html_m389383c7.gifhello_html_2adae3de.gif.

Подставим найденное значение: hello_html_m664017d5.gif, hello_html_27f88f5c.gif,

hello_html_c50eeaa.gif, hello_html_m45a5b799.gif – решение задачи Коши.



Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется решением дифференциального уравнения?

3. Что называется частными решениями дифференциального уравнения?

4. Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?

5. Что нужно сделать для решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?


Задания для практического занятия:

I вариант:

II вариант:

III вариант:

1. Проверить, является ли решением данного дифференциального уравнения указанная функция:

hello_html_1d188f5c.gif

hello_html_15285136.gif

hello_html_m230e5a23.gif

hello_html_5b3ca6b.gif

hello_html_1f6ceed7.gif

hello_html_1b620716.gif

2. Решите уравнение с разделяющими переменными

hello_html_f525d98.gif

hello_html_69f47244.gif

hello_html_454084e0.gif

3. Найдите частное решение, удовлетворяющее начальному условию

hello_html_46b0edae.gif

у(0)=2

hello_html_6c9c7f5f.gif

у(0)=1

hello_html_6b1a2d0e.gif

hello_html_m60d05f8c.gif


Критерии оценок:

На оценку «3» выполнить правильно 1-2 заданий и ответить правильно на 3-5 вопросов для закрепления;

На оценку «4» выполнить правильно 2 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления;

На оценку «5» выполнить правильно 3 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления.


Инструкция по выполнению практического занятия

  1. Ответить устно на контрольные вопросы.

  2. Используя конспекты лекций, решить практические задания.


Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.


Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Раздел 2 Элементы математического анализа


Тема 2.4 Дифференциальные уравнения


Практическое занятие №8. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка.


Учебная цель:

Приобрести умения по решению дифференциальных уравнений 2-го порядка.


Учебные задачи:

      1. Научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

      2. Учить рассуждать и логически мыслить.


Обеспеченность занятия:

  1. Тетрадь для практических занятий

  2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

  3. Таблица интегралов

  4. Ручка.

  5. Карандаш простой.

  6. Чертежные принадлежности: (линейка)

  7. Калькулятор простой.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Уравнение, содержащие производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференцированным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:

hello_html_76224707.gif

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

hello_html_4917a43a.gif (1)

где p и q – постоянные величины.

Для отыскания общего решения уравнения (1) заменой hello_html_d71ba14.gif на соответствующие степени hello_html_795616d1.gifпричем сама функция hello_html_m49009b09.gifзаменяется единицей.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от корней hello_html_5fe2c607.gif и hello_html_m311ac3d9.gif характеристического уравнения (2). Здесь возможны три случая.

I случай. Корни hello_html_5fe2c607.gif и hello_html_m311ac3d9.gif- действительны и различные. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид:

hello_html_357058ee.gif (3)

II случай. Корни hello_html_5fe2c607.gif и hello_html_m311ac3d9.gif- действительные и равные: hello_html_m61ef714f.gif Тогда общее решение уравнение (1) записывается так:

hello_html_m4f55de05.gif (4)

III случай. Корни hello_html_5fe2c607.gif и hello_html_m311ac3d9.gif- комплексно-сопряженные: hello_html_e0670b5.gif В этом случае общее решение уравнения (1) записывается следующим образом:

hello_html_m4f9a4c3.gif (5)


Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядка?

2. Какой общий вид уравнения второго порядка?

3. Какой общий вид линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянным коэффициентами?


Задания для практического занятия:


I вариант:

II вариант:

    1. Решите уравнения 2го порядка

а) hello_html_m7844ff5c.gifhello_html_4c7706bf.gif

б) hello_html_m7844ff5c.gifhello_html_m65e0a5b7.gif

а) hello_html_m7844ff5c.gifhello_html_72cdf8f7.gif

б) hello_html_m7844ff5c.gifhello_html_m4468d2a.gif

    1. Найдите частные решения дифференциальных уравнений

hello_html_m351a707c.gif

hello_html_5a5a4d32.gif


Критерии оценок:

На оценку «3» выполнить правильно 1-2 заданий и ответить правильно на 1-3 вопросов для закрепления;

На оценку «4» выполнить правильно 2 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления;

На оценку «5» выполнить правильно 3 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления.


Инструкция по выполнению практического занятия

      1. При выполнении первого задания рассмотреть примеры 1-2.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m762a92e1.gif

Характеристическое уравнение: hello_html_m65c861a7.gif

Общее решение: hello_html_m28a53433.gif


Пример 2. Решить уравнение hello_html_m7138ae41.gif

Характеристическое уравнение: hello_html_m198328ae.gif

hello_html_m72b10136.gif

Общее решение: hello_html_m2ff0e60f.gif


  1. При выполнении первого задания рассмотреть примеры №3.


Пример 3. Найдите частные решения дифференциальных уравнений.

hello_html_69166e29.gifпри hello_html_4082376b.gif при hello_html_m6592204c.gif.

Составим характеристическое уравнение и найдите его корни.

hello_html_78b31920.gif

hello_html_58e38aa1.gif

Так как корни характеристического уравнения действительны и различны, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (3) запишется так:

hello_html_m6b876d6c.gif

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных С1 и С2. Подставив в общее решение значения hello_html_1517be65.gif получим:

hello_html_8a58157.gif

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение hello_html_3d071e8b.gif, имеем:

hello_html_55c69cad.gif

hello_html_4752a9a8.gifhello_html_m7844ff5c.gif

hello_html_mc8bd39.gif

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

hello_html_2b1e3148.gif


Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.


Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Раздел 3 Линейная алгебра


Тема 3.1 Комплексные числа


Практическое занятие № 9. Геометрическая интерпретация комплексного числа


Учебная цель:

Познакомиться с геометрической интерпретацией комплексного числа, научиться находить модуль и аргумент комплексного числа.


Учебные задачи:

  1. Научиться находить модуль и аргумент комплексного числа.

  2. Научиться показывать комплексные числа на координатной плоскости.

Обеспеченность занятия:

  1. Тетрадь для практических занятий

  2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

  3. Таблица интегралов

  4. Ручка.

  5. Карандаш простой.

  6. Чертежные принадлежности: (линейка)


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат хОу. Каждому комплексному числу z=a+bi можно сопоставить точку с координатами (a,b), и наоборот, каждой точке с координатами (c,d) можно сопоставить комплексное число w=c+di.

Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.


pimage1701

    Пример 1:   Изобразим на комплексной плоскости числа: z1=2+i, z2=3i, z3=-3+2i, z4=-1-i, z5=-3


pimage1702

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке О, а именно, комплексное число z=a+bi изображается радиус-вектором точки с координатами (a,b). В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

pimage1703

Отметим, что изображением суммы двух комплексных чисел $ z$, $ w$является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа $ z$и $ w$. Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие.


     


Пусть комплексное число z=a+bi изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается hello_html_4fe93936.gif. Из рисунка очевидно, что hello_html_7ff8fd7.gif

pimage1704

Рис. Модуль и аргумент

Угол, образованный радиус-вектором числа z с осью Ox, называется аргументом числа z и обозначается arg z. Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного hello_html_47874470.gif. Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 доhello_html_47874470.gif или в диапазоне от hello_html_m3a9063e.gifдо hello_html_7a13fbb.gif. Кроме того у числа $ {z=0}$ аргумент не определен.

На рис. arg z равен углу hello_html_133e9784.gif. Из того же рисунка очевидно, что hello_html_7ffb7fab.gif

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

$\displaystyle \arg z=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba$или $\displaystyle \quad \arg z=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac ba,$


причем первая формула действует, если изображение числа
z находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если a=0, то комплексное число изображается вектором на оси Оу и его аргумент равен hello_html_m66a250b0.gif или hello_html_m5bf3f980.gif.

        Пример 2:   Найдите модуль и аргумент комплексных чисел: z1=-1+i, z2=4, hello_html_14613b85.gif, z4=5i, z5=-2-3i

Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:

$\displaystyle z_1=-1+1i,\quad z_2=4+0\cdot i,\quad z_3=-\frac12+\left(-\frac{\sqrt3}2\right)i,$$\displaystyle z_4=0+5i,\quad z_5=-2+(-3)i.$

Тогда находим:

$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2,\quad \arg z_1=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac1{-1}=\pi-\frac{\pi}4=\frac{3\pi}4;$$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{4^2+0^2}=4,\quad \arg z_2=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac04=0;$

\begin{multline*} \vert z_3\vert=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sq... ...left(-\frac12\right)\right)=\\ =\pi+\frac{\pi}3=\frac{4\pi}3; \end{multline*}



$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{0^2+5^2}=5,\quad \arg z_4=\frac{\pi}2;$

$\displaystyle \vert z_5\vert=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\quad \arg z_5=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-3}{-2}=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits 1.5.$

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

      1. Какое число называется комплексным?

      2. Что такое мнимая единица?

      3. Как выглядит комплексное число в алгебраической форме?

      4. Как изображаются комплексные числа на координатной плоскости?

      5. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?


Задания для практического занятия:

«3»

«4», «5»

1 вариант

2 вариант

1 вариант

2 вариант

1. Найдите модуль комплексного числа

hello_html_5c31579a.gif

hello_html_6fad4ebe.gif

hello_html_75dbc21a.gif

hello_html_37bb0090.gif

hello_html_15d4c2ed.gif

hello_html_2eeaa674.gif

2. Изобразите геометрически сумму двух комплексных чисел

2. Что представляет геометрически множество всех комплексных чисел hello_html_1be7cde5.gif

hello_html_m7acfaddf.gif; hello_html_m52f4e588.gif

hello_html_m605d698a.gif; hello_html_m7a37e648.gif

hello_html_m760db70e.gifhello_html_15b05bb3.gif

hello_html_m756250ba.gifhello_html_25c8dd43.gif

3. Найдите аргумент комплексного числа

hello_html_d10111c.gif

hello_html_3a92aa9a.gif

hello_html_5230c6a1.gif

hello_html_m4493779.gif


Инструкция по выполнению практического занятия

  1. Ответить устно на контрольные вопросы.

  2. Используя конспекты лекций и краткую теоретическую справку, решить практические задания.


Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.


Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.


Раздел 3 Линейная алгебра


Тема 3.1 Комплексные числа


Практическое занятие № 10. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

Учебная цель:

Приобрести умения по нахождению действий над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.


Учебные задачи:

  1. Научиться находить модуль и аргумент комплексного числа.

  2. Научиться показывать комплексные числа на координатной плоскости.

Обеспеченность занятия:

  1. Тетрадь для практических занятий

  2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

  3. Таблица интегралов

  4. Ручка.

  5. Карандаш простой.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Комплексными числами называются числа вида hello_html_m393643a2.gif, где а и b – действительные числа, а число i, определяемое равенством hello_html_ma91f98f.gifназывается мнимой единицей.

Комплексные числа вида hello_html_m393643a2.gif и hello_html_6e79d6f1.gif называются противоположными.

Модулем комплексного числа hello_html_m78130e5b.gif называется число hello_html_18277a9d.gif

hello_html_m5bb937f5.gif.

Из определения тригонометрических функций следует, что если hello_html_m3f7c43ab.gif, то имеют место равенства hello_html_a10eca6.gif (1)

Пусть hello_html_44499bb7.gif- модуль, а hello_html_m1a4cd0a5.gif- одно из значений аргумента комплексного числа hello_html_m393643a2.gif.

Так как из соотношений (1) вытекает, что

hello_html_m78242356.gif, то hello_html_4dbdb966.gif (2)

Таким образом, любое комплексное число hello_html_e4c58e0.gif можно записать по формуле (2), где

r – модуль, а hello_html_m1a4cd0a5.gif - одно из значений аргумента этого числа.

Представление комплексного числа в виде hello_html_m657285b5.gif, где hello_html_a610427.gif, называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Произведение комплексных чисел

hello_html_12069605.gif

находится по формуле hello_html_743e6896.gif, (3)

т.е. hello_html_2577ac3.gif

Частное комплексных чисел hello_html_38382f41.gifнаходится по формуле hello_html_604fc6b3.gif, т.е. hello_html_m57a6731e.gif, hello_html_57108708.gif.

Для возведения комплексного числа hello_html_m7943cbee.gif в n-ю степень используется формула

hello_html_mf7db827.gifкоторая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа hello_html_m7943cbee.gifиспользуется формула

hello_html_42d826c5.gif(4)

где hello_html_539a9a4a.gif-арифметический корень, k=0,1,2,….,n-1.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действия с показателями; например при умножении чисел показатели складываются, при возведении в степень – перемножаются.

Показательная функция имеет период, hello_html_8c53c0a.gif, т.е. hello_html_1e894ecb.gif.

В частности, при hello_html_m121c204e.gif получается соотношение hello_html_m7cd4f8fc.gif.

Тригонометрическую формулу комплексного числа hello_html_m657285b5.gif можно заменить показательной формой:

hello_html_42d507fc.gif(5)

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечения корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

hello_html_m744955e7.gif(6)

hello_html_m496c9c1f.gif(7)

hello_html_30625d98.gif(8)

hello_html_36174c63.gif(9)

Представление комплексного числа в виде hello_html_m7cd12126.gif, где hello_html_m22f89d65.gif, называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для представления комплексного числа hello_html_51f472b8.gifв тригонометрической форме необходимо найти:

1) модуль этого числа;

2) одно из значений аргумента этого числа.

В силу многозначности hello_html_55b80254.gifтригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна.


Пример: Найдите произведение.

hello_html_700f6fee.gifhello_html_1eee79ca.gif.


Пример: Выполнить деление.

hello_html_7294902c.gif

hello_html_m37b661f0.gif


Пример: Возвести в степень.

hello_html_7c661a44.gif


Пример: Извлечь корень из комплексного числа hello_html_6cbfe6c4.gif

Представим число 1 в тригонометрической форме:

hello_html_47e1cef7.gif

По формуле (4) находим

hello_html_38bb90e1.gif

Если hello_html_6d4229ec.gif, то

hello_html_m2718af7.gif

Степень hello_html_64f99536.gif с комплексным показателем hello_html_5df8fc7a.gif определяется равенством hello_html_4ea49991.gif.

hello_html_4f78180c.gif

В частности, при hello_html_571f645e.gif получается соотношение

hello_html_m6a0c2e31.gif(6)

которое называются формулой Эйлера.


Пример. Представить в тригонометрической форме следующие числа:

  1. hello_html_578111f.gif; 2)hello_html_44ece5df.gif; 3) hello_html_60cf70ed.gif; 4) hello_html_m63aabb96.gif; 5) hello_html_d001994.gif.

Решение.

а) hello_html_m3054aca8.gif

Так как вектор, изображающий число 2 лежит на положительной полуоси Ox, то главное значение аргумента hello_html_33e0e02c.gif, следовательно

hello_html_m665d2f36.gifили

hello_html_m1a85bd01.gif, hello_html_m7844ff5c.gifhello_html_2e0f983c.gif.

  1. hello_html_m53507489.gif

Поскольку вектор, изображающий число 6i, лежит на положительной полуоси Oy, главное значение аргумента hello_html_m6998e3f5.gif, поэтому hello_html_b68a58b.gif, или

hello_html_m39868c0f.gif, hello_html_2e0f983c.gif.

3) hello_html_4da3070f.gif

z лежит во 2-й четверти

hello_html_1bbcdf07.gif

hello_html_m7923891.gif

hello_html_5c538003.gif

hello_html_m4dbad870.gif

Значит

hello_html_57f7aba.gifили

hello_html_5231f527.gif

4) hello_html_57ab0e3f.gif

z лежит в 4-ой четверти

hello_html_1bbcdf07.gif

hello_html_m5c2a022e.gif

hello_html_m38dc8f25.gif

hello_html_m17e73d3e.gif

hello_html_m3b2b5750.gifили

hello_html_m24a3e911.gif

5) hello_html_213ccfe.gif

z лежит в 3-ей четверти,

hello_html_m2e460a7c.gif

hello_html_m3c237157.gif

hello_html_7fb1c047.gifили

hello_html_maf0d7f1.gif


Пример. Представить в алгебраической форме числа:

1) hello_html_m5c99177b.gif

2) hello_html_m76093300.gif

Решение.

1) hello_html_m5c99177b.gif

hello_html_73513fc0.gif

hello_html_6f5bcfa3.gif

hello_html_5a897642.gif

2) hello_html_m76093300.gif

hello_html_5fdfc95e.gif

hello_html_m1d31457c.gif

hello_html_m7d9e5d63.gif

Тригонометрическую формулу комплексного числа hello_html_m7cd12126.gif можно заменить показательной формой:

hello_html_m1e0a36c6.gif

Пример. Представить в показательной форме числа:

1) hello_html_6cf95377.gif 2) hello_html_322342bd.gif

Решение.

  1. hello_html_6a446ed7.gif

hello_html_25b7cf38.gif

Согласно формуле hello_html_1aba78a5.gif получим hello_html_1fcd9a2a.gif

  1. hello_html_m23e17025.gif

hello_html_m4323f257.gif

hello_html_6ffffba3.gif

hello_html_m2d73c563.gif

Пример. Найти: 1) hello_html_m121d32d5.gif; 2)hello_html_560b5749.gif.

  1. По формуле hello_html_287c787b.gif получим: hello_html_mbf9c099.gif

  2. hello_html_m1a6ac6e3.gif


Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какие числа называются комплексными?

2. Что называется модулем комплексного числа?

3. Какая формула используется для возведения в степень комплексного числа?

4. Какая формула используется для извлечения корня n степени из комплексного числа?

5. Какая тригонометрическая форма записи комплексного числа?

6. Какая показательная форма записи комплексного числа?


Задания для практического занятия:


Вариант I

Вариант II

1. Найдите произведение

hello_html_351067d4.gif

hello_html_2beeed29.gif

2. Выполните деление

hello_html_58ea2a58.gif

hello_html_m3f20a1ff.gif

3. Возведите в степень

hello_html_4a1a753.gif

hello_html_m14568735.gif

4. Извлеките корень

hello_html_3a9b9bcc.gif

hello_html_m72169c3.gif

5.Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

а) hello_html_m5399b51.gif б) hello_html_m2be2d037.gif в) hello_html_617a689a.gif

а) hello_html_81029d5.gif

б) hello_html_283f91.gif

в)hello_html_22f286d3.gif

6. Представьте в алгебраической форме числа

а) hello_html_m106281a5.gif

б) hello_html_10477da1.gif

а) hello_html_1e48f959.gif

б) hello_html_m25888e.gif

7. Найдите

а) hello_html_37fe040b.gif

а) hello_html_7018fcc6.gif

б) hello_html_m25fed1bb.gif

б) hello_html_27054125.gif

8. Представьте в показательной форме числа:

а) hello_html_1ec0206.gif

б) hello_html_m682e32cd.gif

а) hello_html_m580e6d90.gif

б) hello_html_2565a995.gif


Инструкция по выполнению практического занятия

  1. Ответить устно на контрольные вопросы.

  2. Используя конспекты лекций, решить практические задания.


Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задание.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.


Образец отчета по практической работе

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решения заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 17.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров325
Номер материала ДВ-165403
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх