Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания для студентов заочной формы обучения
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Методические указания для студентов заочной формы обучения

библиотека
материалов














Математика.



Методические указания и задания на контрольную работу

для студентов заочной формы обучения





































Содержание


  1. Пояснительная записка

  2. Методические указания по выполнению контрольной работы.

  3. Задания на контрольную работу.

  4. Литература

Пояснительная записка.


Данное пособие ставит своей целью оказание помощи учащимся заочного отделения Рыбинского полиграфического колледжа в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объёме действующей программы.

В целях закрепления изучаемого материала студенты выполняют обязательную контрольную работу.

Итоговый контроль по дисциплине предлагает экзамен.

Рабочая программа составлена, исходя из времени, выделенного на предмет учебным планом, профиля подготовки специалистов, межпредметных и внутренних связей.

Настоящее пособие содержит задания к контрольной работе и методические задания по её выполнению. Теория в методических заданиях даётся в сжатой форме и служит в основном для того, чтобы при решении задач можно было делать точные ссылки на нужные формулы, определения, теоремы, правила.

Методические указания к выполнению контрольной работы.


Общие методические указания.

Прежде всего, необходимо ознакомится с содержанием программы, и выбрать учебное пособие.

Помните: учебник нужно не просто читать, а изучать.

Решение задач является лучшим средством закрепления материала.

Контрольные работы следует выполнять самостоятельно и лишь после того, как проработан соответствующий теоретический материал и решен необходимый минимум задач.

При решении задачи необходимо обосновать каждый шаг решения, исходя из теоретических основ курса. Не следует применять формул, не входящих в программу.

Контрольная работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно разборчиво. Каждую задачу начинать с новой страницы.

Решения задач располагать в порядке номеров, указанных задании. Условия задач должны быть обязательно переписаны полностью в контрольную тетрадь.

Решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточно обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать.

Учащиеся, не имеющие зачёта по контрольной работе, к экзамену не допускаются.

Во время экзамена контрольные работы предоставляются преподавателю вместе с данными методическими указаниями.

Каждая контрольная работа имеет 10 вариантов.




































ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

hello_html_m6e5ccff6.png

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

hello_html_918e455.png.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка hello_html_649df807.png, называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

hello_html_m31734d4.png.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

hello_html_m1c0f904e.png

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

hello_html_m72be2890.png.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, hello_html_504de02a.pngили hello_html_mbf5da.png.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид hello_html_5dbd5d5b.png.

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так если hello_html_m6e2defb9.pngи hello_html_1bd18732.png, то A=B, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если hello_html_m1c5520e3.png, то hello_html_m49a2c0b8.png.

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде hello_html_1bb14225.png.

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

  1. hello_html_m4d7c51c7.png

  2. hello_html_m43a25fef.png

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

hello_html_3a1d2a4a.png

или

hello_html_6b3b938.png

Примеры. Найти сумму матриц:

  1. hello_html_m44e005ad.png.

  2. hello_html_125605e1.png- нельзя, т.к. размеры матриц различны.

  3. hello_html_37d86b12.png.

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу hello_html_m1de487e2.pngили hello_html_m1db0fc60.png.

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

  1. hello_html_m41884533.png

  2. hello_html_m1fc71166.png

  3. hello_html_m2284a9a6.png.

Примеры.

  1. hello_html_m3e6e6241.png.

  2. Найти 2A-B, если hello_html_m1c4ec3c5.png, hello_html_m7914beac.png.

hello_html_42ff7362.png.

  1. hello_html_32c7bb88.pngНайти C=–3A+4B.

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

hello_html_m372f25e9.png.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

hello_html_m3e3c462c.png.

Примеры.

  1. Пусть hello_html_174d2b4d.png

Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.

hello_html_35ade34f.png

  1. Найти произведение матриц.

hello_html_m2ce53ea3.png.

  1. hello_html_m65dc8c8f.png.

  2. hello_html_5736408d.png- нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.

  3. Пусть hello_html_20f6361b.png

Найти АВ и ВА.

hello_html_m2e2f7bcd.png

  1. hello_html_67d950b9.png

Найти АВ и ВА.

hello_html_m31854df3.png, B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙BB∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если hello_html_2726c405.png, то

hello_html_3a3f8f55.png.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов hello_html_m6e2defb9.png.

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.

Определитель обозначается символом hello_html_m29ba0361.png.

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

  1. hello_html_4fd6eaba.png

  2. hello_html_354ceff0.png.

  3. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

hello_html_1db2c031.png

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

hello_html_m12549b62.png.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка.

hello_html_796d701b.png.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Системы линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

hello_html_4b4873f9.png

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы hello_html_918e455.png, которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.

  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, hello_html_6ed01628.png. Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.

  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, hello_html_m203d9d70.png, если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

hello_html_15d1d3cb.png

Рассмотрим матрицу системы hello_html_691cab5c.pngи матрицы столбцы неизвестных и свободных членов hello_html_m58c0cb1a.png

Найдем произведение

hello_html_m2f402a41.png

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

hello_html_1d1fb081.pngили короче AX=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: hello_html_m6e98498b.png. Поскольку A-1A = E и EX = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

1.

hello_html_39182d33.png

Найдем матрицу обратную матрице A.

hello_html_m5ffc58d5.png, hello_html_m4c7ec355.png

Таким образом, x = 3, y = – 1.

2.

hello_html_41957118.png

Итак, х1=4,х2=3,х3=5.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

hello_html_15d1d3cb.png

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

hello_html_23f94bc3.png

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

hello_html_710f159a.png

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

hello_html_m2f17b946.png

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

hello_html_491c50e4.png

Сложим эти уравнения:

hello_html_m308577ce.png

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

hello_html_264fe437.png.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

hello_html_16e11083.png

Аналогично можно показать, что и hello_html_7499c890.png.

Наконец несложно заметить, что hello_html_m4bb4fb14.png

Таким образом, получаем равенство: hello_html_54c8c3c.png.

Следовательно, hello_html_3f86d2aa.png.

Аналогично выводятся равенства hello_html_7fa51d3d.pngи hello_html_m65901cd0.png, откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Пример. Решить систему уравнений

hello_html_m66ae5a78.png

Итак, х=1, у=2, z=3.

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

hello_html_531cffc4.png.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

hello_html_m2b85db5e.png

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на hello_html_54248317.png, умножим наhello_html_1e5b0151.png и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

hello_html_m7e98de17.png

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

hello_html_m24c1fcf4.png

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

  1. перестановка строк или столбцов;

  2. умножение строки на число, отличное от нуля;

  3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

  1. hello_html_m79ed45a0.png

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

hello_html_m17fabbab.png

  1. hello_html_m229a99a2.png

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

hello_html_m3ce4774e.png

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида a  +  ib , где a  и  b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей . Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

  1. Два комплексных числа a  +  ib и c  +  id называются равными тогда и только тогда, когда
    a  =  b и c  =  d .

  2. Суммой двух комплексных чисел a  +  ib и c  +  id называется комплексное число
    a  +  c  +  i ( b  +  d ).

  3. Произведением двух комплексных чисел a  +  ib и c  +  id называется комплексное число
    ac  –  bd  +  i ( ad  +  bc ).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z  =  a  +  ib . Действительное число a называется действительной частью комплексного числа   z , действительная часть обозначается a = Re z . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа   z , мнимая часть обозначается b = Im z . Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z  =  a  +  i  · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,
hello_html_79641cc7.png
hello_html_m2a203fc6.pngСледовательно, комплексные числа вида
a  +  i  · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается hello_html_m67d84b7f.png. Мы установили, что hello_html_m693b3212.pnghello_html_m67d84b7f.png

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 +  ib называются чисто мнимыми . Часто просто пишут bi , например, 0 +  i 3 = 3 i . Чисто мнимое число i 1 = 1 i  =  i обладает удивительным свойством:
hello_html_232c4801.pngТаким образом,

hello_html_m1f2247c0.png

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства hello_html_m30aa1bcc.pngто и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,
hello_html_4f6426a3.pngто есть как раз получается нужная формула.

Пример 1

Вычислить z 1  +  z 2 и z 1 z 2, где z 1  = 1 + 2 i и z 2  = 2 –  i .



Имеем hello_html_70f9d67f.png

hello_html_5be76e6b.png

Ответ.   z 1  +  z 2  = 3 +  i z 1 z 2  = 4 + 3 i .


 

Комплексные числа на плоскости

 

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

hello_html_7b3499fd.png

Модуль комплексного числа z обычно обозначается hello_html_m2cd3be7e.pngили r . Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (см. рис.).

hello_html_m7675466c.png2

Если hello_html_m43ca4502.pngто hello_html_6e2f5b04.pngто есть для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной. Ясно, что hello_html_m5d950aea.pngдля всех hello_html_m3a584e2c.pngПри этом hello_html_3e0c507f.pngтогда и только тогда, когда hello_html_752d2c5f.png

Аргументом комплексного числа z  =  a  +  ib ( z  ≠ 0) называется величина угла между hello_html_1ee4d7a.pngположительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z . Для числа z = 0 аргумент не определён.

Отметим следующий важный факт: заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z  ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет. Действительно, если φ = arg z – аргумент этого комплексного числа, то все числа вида φ + 2π n также будут аргументами этого комплексного числа. Например, аргументами комплексного числа z  = 1 +  i являются углы hello_html_m304232c6.pngи т. д. Поэтому в качестве аргумента комплексного числа обычно выбирают значение –π ≤ arg  z  ≤ π.

Заданием только лишь своего модуля определяется только комплексное число z = 0.

Из определения тригонометрических функций следует, что φ = arg z тогда и только тогда, когда для этого φ выполняется система


hello_html_m4f06d86b.png

Пример 2

Найти модуль и аргумент комплексного числа z  = –1 –  i .

Так как Re z = –1 и Im z = –1, то точка z лежит в третьей координатной четверти.
hello_html_461b8bef.pngДля поиска аргумента решим систему
hello_html_42feb7e0.png

Ответ.   hello_html_m4e39bf80.png


Производная и её приложения.


Ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров данного пособия. Выполните упражнения для самопроверки.


Производной функции y = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции hello_html_2e85d6ba.gifу к приращению аргумента hello_html_2e85d6ba.gifх при условии, что hello_html_2e85d6ba.gifхhello_html_m6b7fc4d1.gif0, т.е.

hello_html_m4cdb0cc8.gif

Операция нахождения производной называется дифференцированием.


Формулы дифференцирования.


Для простых функций

Для сложных функций

1.

hello_html_778c228e.gif



2.

hello_html_2745ff1b.gif



3.

hello_html_m40f41df2.gif

hello_html_m4493b46a.gif

hello_html_5db3f2dc.gif

4.

hello_html_m4d54bc9e.gif

hello_html_m4f76e447.gif

hello_html_m11752ac.gif

5.

hello_html_f03402f.gif

hello_html_3fa1495.gif

hello_html_m22ace35c.gif

6.

hello_html_mebbec84.gif

hello_html_m6b009d87.gif

hello_html_maa8ef04.gif

7.

hello_html_m4ae43ec.gif

hello_html_m7fa45c29.gif

hello_html_73d8eb88.gif

8.

hello_html_28fed8ee.gif

hello_html_m476be304.gif

hello_html_m378d00cc.gif

9.

hello_html_md00d9b0.gif

hello_html_m20a1edf6.gif

hello_html_2ba81507.gif

10.

hello_html_m5c8ff41d.gif

hello_html_m58d3b87f.gif

hello_html_504f3c88.gif

11.

hello_html_56b9fae0.gif

hello_html_3b8b8afb.gif

hello_html_m3cd0a730.gif

12.

hello_html_m1420b198.gif

hello_html_m41e9b9e2.gif

hello_html_36fc147b.gif

13.

hello_html_594fd994.gif

hello_html_7bb03d43.gif

hello_html_m5f60947a.gif

14.

hello_html_m14ea0b17.gif

hello_html_m6aa7bb41.gif

hello_html_7d928fec.gif

15.

hello_html_m6015435.gif

hello_html_671dd75e.gif

hello_html_5cac679e.gif

16.

hello_html_195253aa.gif

hello_html_m739dbae0.gif

hello_html_66633046.gif

17

hello_html_m6a55d005.gif

hello_html_11e007b9.gif

hello_html_6ccee25a.gif


Правила дифференцирования:

1.hello_html_61d7ef40.gif

2. hello_html_1c718336.gif

3. hello_html_m32e47df9.gif

4. hello_html_6388327.gif

Пример 1: hello_html_m4c0511f8.gif

Решение:

hello_html_m155b478e.gif

Пример 2:

hello_html_4a10aa20.gif


Пример 3:

hello_html_a7b0266.gif

hello_html_5cbb77f2.gif


Пример 4: Найти производную функции

hello_html_m50e189cb.gif и вычислить её значение при t = 2.

hello_html_5639792e.gif



Пусть t=2 hello_html_m4949c083.gif

Геометрический смысл производной.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = f(x) в точке

hello_html_m62e3f20d.gif, равен значению производной функции в точке hello_html_m147b635.gif, т.е. hello_html_5057853.gif

Уравнение этой касательной имеет вид:

hello_html_53822a30.gif

Пример 5: Составить уравнение касательной к графику функции hello_html_4f40f0c1.gif в точке с абсциссой hello_html_m147b635.gif= 3.

Найдём hello_html_m49a05223.gif- значение данной функции при hello_html_m147b635.gif= 3 hello_html_m5e1c7431.gif

hello_html_m1f03da4d.gif

hello_html_6f5cbec.gif - угловой коэффициент касательной в точке hello_html_m147b635.gif= 3.

Уравнение касательной будет иметь вид:

hello_html_m311a9f18.gif


Физический смысл производной.


Производная функции y = f(x) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х.

V(x) = f `(x)

Пусть S(t) – функция задающая движение тела

Тогда: V(t) = S`(t), а(t) = V`(t)

Пример 6: Закон движения точки по прямой задан формулой hello_html_37ccc5aa.gif.

Найти скорость и ускорение движения точки в конце первой секунды.

Решение: Т.к. V(t) = S`(t), то

hello_html_m14370db4.gif

Т.к. а(t) = V`(t), то hello_html_2405da47.gif



Приложения производной к исследованию функции.


Еслиhello_html_m7c0a8a71.gif на промежутке y, то hello_html_m170633b1.gif убывает на у.

Замечание: если функция непрерывна на конце промежутка, то его можно присоединить к промежутку возрастания (убывания).

Задание:

Найти промежутки возрастания и убывания функции hello_html_39c994af.gif.

Решение:

1) Вычисляем производную функцииhello_html_45990e7e.gif

2) Для определения знака производной на промежутке используем метод интервалов

Пусть hello_html_m74191b74.gif, т.е. hello_html_123326be.gif

Наносим корни на ось и определяем знак производной на каждом промежутке. Для этого подставляем число из промежутка в формулу производной

hello_html_m6f0ad7e7.gif



Значит: у возрастает на [-1;1]

у убывает на (- hello_html_m74e6612e.gif;1]hello_html_4969d799.gif[1;+ hello_html_m74e6612e.gif)



Экстремумы функции.

Определение: если в точке hello_html_m147b635.gif производная функции y = f(x) не существует или равна 0, то hello_html_m147b635.gif - критическая точка.

Необходимое условие экстремума:

Если hello_html_m147b635.gif является точкой экстремума функции f, то в этой точке её производная равна 0 или не существует.

Пусть hello_html_m147b635.gif - критическая точка на [а;в]


hello_html_m34308b86.gif

hello_html_m147b635.gif

hello_html_m5df52a8d.gif

f `(x)

+

0

-

f (x)

hello_html_m77bd903b.gif

max

hello_html_38ed15e2.gif



hello_html_4a47d696.gif

hello_html_m147b635.gif

hello_html_m3c34aaf0.gif

f `(x)

-

0

+

f (x)

hello_html_m5e49bc6d.gif

min

hello_html_m628cefd9.gif


hello_html_m51a2bbe0.gif- точка max hello_html_m147b635.gif- точка min

hello_html_4afdb3f7.gif- max функции hello_html_4afdb3f7.gif- min функции


Задание: Найти точки экстремума и экстремумы функции hello_html_39c994af.gif.

Решение:

1) Находим производную функцииhello_html_39c994af.gif

hello_html_m26fa70ee.gif

2) Находим критические точки

hello_html_m4e120540.gif существует для любого hello_html_31889ac4.gif

hello_html_m4e120540.gif= 0, если hello_html_61ef1bf4.gif

3)Определяем промежутки возрастания и убывания функции:


hello_html_5103afab.gif


hello_html_2a9634cf.gifhello_html_4ea26f09.gifhello_html_1f03ce1.gif-1 1



Значит hello_html_m32e82597.gif - точка минимума

f min = f(-1) = 3(-1)-(-1)hello_html_m5d4c989e.gif= - 3+1 = - 2

hello_html_37a861f6.gif - точка максимума

f max = f(1) = 3hello_html_17297f88.gif

ответ: f min = - 2 ; f max = 2.

Исследование функции с помощью производной и построение их графиков.

Задание: исследовать функциюhello_html_39c994af.gif и построить её график.


Алгоритм исследования

Образец записи исследования и построения графика

1. Найти область определения функции

f (x)(ответить на вопрос: каким может быть х?)

D(f) = R

2.Найти производную функции

f `(x) = hello_html_m54d17911.gif

3.Найти критические точки функции. Для этого: а) определить, в каких точках производная не существует; б) решить уравнение f `(x) = 0

а) f `(x) сущ. при hello_html_1d92b132.gif

hello_html_7eb17165.gif

4. Начертить координатную прямую и отметить на ней критические точки. Определить знак производной на каждом интервале.

hello_html_5103afab.gif


-1 1

5. На координатной прямой найти промежутки возрастания и убывания функции f `(x)

hello_html_5103afab.gif

hello_html_2e222765.gif

hello_html_5e2b9625.gifhello_html_m2ee56ac.gif-1 1


6. Найти точки экстремума функции

hello_html_m32e82597.gif - точка минимума

hello_html_37a861f6.gif - точка максимума

7.Найти экстремумы функции

f(-1) = 3(-1)-(-1)hello_html_m5d4c989e.gif= - 2= f min

f(1) = 3hello_html_17297f88.gif= f max

8.Найти точки пересечения с осями:

с ох: у = 0

с оу: х =0

С ох: hello_html_m16c24f70.gif

или hello_html_m5dc1b039.gifhello_html_m4f883f78.gif А(0;0) В(hello_html_m980c3de.gif;0) и

С(-hello_html_m980c3de.gif;0)

С оу:hello_html_12b2e185.gif А(0;0)

9. Строим график

hello_html_3d898c42.gifhello_html_m705d28a7.gif


hello_html_m6613b99f.gif

hello_html_4d0be3ca.gif2

hello_html_4d0be3ca.gif

hello_html_m5545a809.gifhello_html_4d0be3ca.gif

-1 hello_html_m705d28a7.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gif1

hello_html_4d0be3ca.gif

hello_html_4d0be3ca.gif-2







Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Задание: найдите наибольшее и наименьшее

значение функции hello_html_m7128d447.gif на hello_html_m1d043994.gif

Алгоритм решения

Образец записи решения

1. Найти производную функции:

hello_html_m4bff26d7.gif

2. Найти критические точки функции

hello_html_m4e120540.gif сущ. при hello_html_1d92b132.gif

hello_html_m4e120540.gif=0hello_html_1b730b13.gifhello_html_m133dda57.gif=0hello_html_1b730b13.gifhello_html_m3d996707.gif

hello_html_f637a13.gif,hello_html_37a861f6.gif, hello_html_70890d4.gif

3.Выбрать крит. точки внутри данного отрезка

Х = 1

4.Найти значение функции в крит. точках, принадлежащим данному отрезку и на концах отрезка.

hello_html_66bdec2b.gif

hello_html_65f890b7.gif

hello_html_3ae8eb19.gif

5. Из значений, найденных в п.4 выбрать наибольшее и наименьшее.

У наимен. = - 4 при х = 1hello_html_m53d4ecad.gif

У наибол. = 5 при х = 2


Решение задач геометрического содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Задача:

Найти наибольший обьём правильной треугольной пирамиды, у которой длина апофемы равна hello_html_m40ff39aa.gifдм.

Алгоритм решения

Образец записи решения

1. Построить рабочий чертёж. Обозначить за х любую неизвестную величину.

hello_html_32e54267.gif






2. Записать общую формулу объема пирамиды.

hello_html_m57f5f1d6.gif

3.Найти выражения длин отрезков, входящих в формулу(*) :

а) обозначить длину любого отрезка за х;

б) рассматривая «подходящий» треугольник, выразить через х длины отрезков из (*)

а) Пусть hello_html_m60332f0a.gif= х

б) Изhello_html_m8ec697d.gif: hello_html_d5e05d2.gif

hello_html_435b9b0f.gif

Изhello_html_m37e5ae35.gif:hello_html_m7ee81f4d.gif;

hello_html_m25b405f9.gif:

4.Подставить найденные выражения в формулу(*)

hello_html_75324168.gif

5.Упростить полученное выражение и записать его как функцию от х

hello_html_m7fadde4e.gif

6. Найти (по смыслу задачи область) определения функции.

х – длина отрезка hello_html_51edb88e.gif

Изhello_html_m8ec697d.gif: hello_html_m731bf55b.gif

D(V) = (0; hello_html_m40ff39aa.gif)

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

hello_html_25cba56e.gif

hello_html_m18135e6a.gifсущ. при hello_html_6a5b87cf.gifhello_html_m64246318.gif

hello_html_6ee03b6.gif


hello_html_7c385cce.gif

hello_html_me6c3a60.gifhello_html_m78a68ba0.gif 0 2 2hello_html_m980c3de.gif


Значит: hello_html_e8783a9.gifнаибол. =hello_html_e8783a9.gif(2) = =12hello_html_22416c17.gif

Ответ: hello_html_e8783a9.gifнаибол. = 16hello_html_m980c3de.gifhello_html_m8aee796.gif



















Дифференциал функции y = f(x) в точке х – это dy = f `(x)hello_html_18bd92d7.gifх, если f(x) = х, то

dх = 1hello_html_m5076e77b.gifх.

Тогда: dy = f `(x) hello_html_49a59a.gif
Пример 1:hello_html_75621515.gif

Решение:

hello_html_7c21959.gif

Пример 2: Вычислить значения дифференциала функции hello_html_m1847497c.gifпри hello_html_m48c4339d.gif

Решение: Вычислим дифференциалhello_html_m667c57ad.gif

hello_html_m65551d91.gif


Применение дифференциала для приближенных вычислений.


Пример 2: Вычислить приближенное значение приращения функции hello_html_m7a799e5e.gif

При изменении аргумента от х = 1 до х = 1,001

Решение: Находим дифференциал аргумента:

hello_html_68a95ac1.gif


Пример 3: Найти приближенное значение

hello_html_1fe97d0b.gif

Тогда hello_html_47d4f546.gif

hello_html_m4c1e4c0d.gif

Пример 4: Найти приближенное значение ln 0,97

hello_html_639731e9.gif


Пример 5: Найти приближенное значение hello_html_10d80d3c.gif

hello_html_m49d65374.gif



Неопределённый интеграл.


Ознакомьтесь методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия.


Определение: Дифференцируемая функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на (а; в), если F `(x) = f(x) для hello_html_92f5ee4.gif


Теорема: Если F(х) является первообразной для f(x), то F(х)+С – тоже является первообразной для f(x), где С – любая постоянная.

Определение: Совокупность F(х)+С всех первообразных функций f(x) на (а; в) называют неопределённым интегралом. Обозначают hello_html_m19863576.gif

Свойства неопределённого интеграла:


1) Неопределённый интеграл суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов слагаемых, т.е.

hello_html_m5f54e68f.gif

2) Интеграл разности двух функций равен разности неопределённых интегралов, компонентов т.е.

hello_html_6ec49398.gif

3)Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

hello_html_58cbc4f.gif

4) Если hello_html_264e3ded.gif, то hello_html_m324b77a5.gif

Таблица основных интегралов


1. hello_html_27da94b4.gif

8. hello_html_172b7453.gif

2. hello_html_4004a512.gif

9. hello_html_616f21ea.gif

3. hello_html_m21ad528d.gif

10. hello_html_m199df5b5.gif

4. hello_html_m53a2a025.gif

11. hello_html_413d9200.gif

5. hello_html_m66b94cf.gif

12. hello_html_m7860e77.gif

6. hello_html_m41552c08.gif

13. hello_html_2d8ed3a.gif

7. hello_html_116ea9ef.gif

14. hello_html_222dfcf7.gif


Методы интегрирования.


I.Непосредственное интегрирование( с помощью таблицы интегралов).

Пример 1:

hello_html_m73c8ed62.gif



Пример 2:

hello_html_77bb323f.gif


Пример 3:hello_html_m3cacc400.gif


Пример 4: hello_html_1597926c.gif


II.Интегрирование методом подстановки


Если интеграл не привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то пользуются методом подстановки.

Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому, который берётся непосредственно.


Для интегрирования методом постановки можно использовать следующий алгоритм:

  1. Часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной.

  2. Найти дифференциал от обеих частей замены.

  3. Всю подынтегральную функция выразить через новую переменную.

  4. Найти полученный табличный интеграл.

  5. Сделать обратную замену.

Пример 1:

hello_html_44ac297b.gif

Пример 2:

hello_html_50781fd8.gif

Пример 3:

hello_html_65e58f6a.gif

Пример 4:

hello_html_a397450.gif

Пример 5:

hello_html_770563e3.gif

Пример 6:

hello_html_m65130570.gif

Пример 7:

hello_html_a724f37.gif


III. Интегрирование по частям.


Формула интегрирования по частям:

hello_html_36cce265.gif

Она применяется, если подынтегральную функцию удаётся представить в вид произведения двух множителей u и dV. Общего правила для определения того, какой множитель обозначить за u, нет.

Пример 8:

hello_html_2dfc01a2.gif


Пример 9:

hello_html_355cc33e.gif

Пример 10:

hello_html_4e27830c.gif

Пример 11:

hello_html_m1c07330b.gif




Получили:

hello_html_m2d941a6c.gif


IV. Интегрирование дробно – рациональных функций.

Функция видаhello_html_m18a14c1.gif называется дробно – рациональной, где Р(х) и Q(x) – многочлены.

Дробь может быть правильной (если степень Р(х) меньше степени Q(x)) и неправильной.

Могут быть четыре случая:

1) f(x) – правильная дробь и Q(x) имеет разные корни

hello_html_7cdd4800.gifhello_html_23c43b71.gif

hello_html_997099.gif

Найдём коэффициенты А и В

hello_html_f7445e6.gif

Пусть: х = 3. Тогда: hello_html_m8915a60.gif

Пусть: х = 2. Тогда: hello_html_m51f58066.gif

hello_html_m6a90a63e.gif


hello_html_23c43b71.gifhello_html_46a26976.gif

2) f(x) – правильная дробь и Q(x) имеет кратные (повторяющиеся корни)

hello_html_m63aeca13.gifhello_html_23c43b71.gif


hello_html_m675cf8dd.gif


Пусть: х = 3. Тогда: hello_html_m2f719a18.gif

Пусть: х =0. Тогда: hello_html_m23dd492b.gif

hello_html_23c43b71.gifhello_html_be05998.gif

3) f(x) – правильная дробь и Q(x) не имеет корней

hello_html_a2c0b40.gifhello_html_23c43b71.gif

hello_html_m1ff1e8ff.gif

hello_html_1835399f.gifуравнение корней не имеет

hello_html_591835f.gifё

hello_html_23c43b71.gifhello_html_64f7c0d6.gif

4) f(x) – неправильная дробь

hello_html_a5a4a04.gifhello_html_23c43b71.gif

Дробь – неправильная. Выделим целую часть.

hello_html_m254fab89.gifhello_html_2bcb23c7.gifhello_html_m4e091894.gif

hello_html_316eda99.gif hello_html_m73fe4118.gif

hello_html_m1792c1cd.gif

hello_html_20a047a5.gif

hello_html_m145312ca.gif

hello_html_506a9a2b.gif

Приведем, таким образом, дробь к 1, 2 или 3 случаю.


hello_html_69e896c.gif


hello_html_23c43b71.gifhello_html_m38e367aa.gif


Определённый интеграл.

По данной теме сначала изучите главу 9[1]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия.


Формула Ньютона – Лейбница.

hello_html_aa8ca5.gifhello_html_34402f1d.gifhello_html_2bbcbb5d.gif

Пример 1:

hello_html_3fe21826.gifhello_html_64a7b839.gif

Пример 2:

hello_html_23c43b71.gifhello_html_m46bbf813.gif

hello_html_53343b55.gif

hello_html_m6f348956.gifhello_html_23c43b71.gifhello_html_7b2dcded.gif

Пример 3:

hello_html_m5432725d.gifhello_html_23c43b71.gif

hello_html_ma46ca7c.gif


hello_html_23c43b71.gifhello_html_5b970866.gifhello_html_m4a2d0a10.gif

Вычисление площади фигуры с помощью определённого интеграла.

hello_html_615d6aae.gif


1.Заштрихованная фигура является

криволинейной трапецией. Её площадь S

вычисляется по формуле:

S = hello_html_m1e119406.gif

hello_html_m7560faa.gif


Пhello_html_m5cf16018.gifример:

hello_html_734e8030.gifhello_html_3fe21826.gifhello_html_m29e80765.gifhello_html_m217cd265.gif


2hello_html_46be6bab.gifhello_html_m482d194e.gif.

S = hello_html_60d9b621.gif


hello_html_1d0aeb54.gif


Пhello_html_m20bdc732.gifример:


hello_html_m4c4c0276.gifhello_html_3fe21826.gifhello_html_m13a61b2e.gif




3hello_html_5b770186.gif.Абсциссу точки пересечения графиков «С»

найдём из уравнения f(x) = g(x).

hello_html_5aedf5d.gif

Пример:

hello_html_4bc032f9.gifhello_html_53ffc0aa.gif

Найдём из уравнения hello_html_m2379030d.gif

hello_html_657236c7.gifhello_html_6c8e2f49.gifhello_html_3fe21826.gifhello_html_m1c881b0a.gifhello_html_m6c7aadf8.gif


4hello_html_3c1697ba.gif.а и b находим из уравнения f(x) = g(x).

hello_html_m2bf49a13.gif


Пример:

hello_html_m5f8fc416.gif

hello_html_7d8a1de9.gifhello_html_16cda9cf.gif


Элементы теории вероятностей.


Ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия.


1. Основные понятия комбинаторики.

Комбинаторика – это наука, изучающая, сколько различных комбинаций можно составить из элементов данного множества.

Выделим три вида комбинаций.


hello_html_2634d2a9.gif



да нет




да нет


hello_html_eb137e6.gif




hello_html_e5728bf.gifhello_html_mdbce616.gif

m множителей



К – количество комбинаций,

n – общее количество элементов,

m - количество выбранных элементов.

Пример 1: Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?

Решение: Т.к участвуют все элементы, то данный вид комбинаций – перестановки из 6 элементов.

hello_html_m42740f74.gif(комбинаций)

Пример 2: Сколькими способами можно разделить 5 флажков среди 10 человек (по 1 флажку) ?

Решение: Т.к. участвуют не все элементы и порядок не важен, то вид комбинаций – сочетания.

hello_html_657602da.gif

Пример 3: Сколькими способами можно разделить 5 экзаменационных билетов среди 10 студентов (по 1 билету)?

Решение: Т.к. участвуют не все элементы и порядок имеет значение, то имеем размещения.

hello_html_m183d4269.gifhello_html_me2f01b5.gif(способов)

5 множителей



Пример 4: Решите уравнение: hello_html_m46cc88fa.gif

Решение: hello_html_75a67dcc.gif, тоhello_html_m26a6ad0b.gif

hello_html_m751911bf.gif

2 и -1 не удовлетворяют условию задачи, т.к. количество элементов hello_html_m4a7a7c13.gif (из n элементов выбирается 3 элемента)

Ответ: решений нет.

2. Основные понятия теории вероятности.

События могут быть случайными, достоверными и невозможными.

События называются случайными, если при реализации данного комплекса условий оно может произойти, а может и не произойти.

Вероятность случайного события А называется число hello_html_5d323a51.gif, где m – число благоприятных исходов, а n - число всевозможных исходов.

Задача: Какова вероятность того, что из задуманных 5 букв (всего букв – 32) мальчик угадает 3.

Решение: Т.к. 5 букв выбираются из всего алфавита, то количество комбинаций всевозможных (порядок не имеет значения).

hello_html_m4a5fb4d1.gifчисло всевозможных комбинаций.


hello_html_51fcef9e.gif

3. Математические характеристики случайной величины.

hello_html_m4ec7b3d0.gif

hello_html_1ab3e609.gif

hello_html_7e97ce4d.gif

hello_html_5ca149b7.gif

hello_html_m5ab714dc.gif

hello_html_m384594f3.gif

Под случайной величиной понимается всякая величина, которая при осуществлении данного опыта принимает то или иное числовое значение.

Пусть hello_html_m7e8c570d.gif- числовые значения с.в. х,

hello_html_1760d3b.gif - вероятности этих значений.

Тогда законом распределения с.в. называется таблица

hello_html_m20dfcacf.gif

Пример: Бросаем игральную кость.

Значения с.в.: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Вероятность этих значений: hello_html_m6e824677.gif

1

2

3

4

5

6

hello_html_m6e824677.gif

hello_html_m6e824677.gif

hello_html_m6e824677.gif

hello_html_m6e824677.gif

hello_html_m6e824677.gif

hello_html_m6e824677.gif


-hello_html_m2d49a617.gif закон распределения с.в.




Сумма = 1

Математическим ожиданием случайной величины х называется число hello_html_10502122.gif

В примере:

hello_html_m33622170.gif

М.о. – как бы среднее значение с.в.

Дисперсией с.в. Х называется число hello_html_112709b8.gif

В примере:

hello_html_17c43a38.gif


Дисперсия – это отклонение с.в. от М(х), поэтому почти все значения с.в. находятся в промежутке [M(x) – D(x);M(x)+D(x)]



Задания для контрольной работы.


Тема: «Системы линейных уравнений»

Решить систему линейных уравнений матричным способом, методом Крамера и Гаусса


1

hello_html_m1816ecf6.png

2

hello_html_m6cf4a9d.png

3

hello_html_m47a5972.png

4

hello_html_m39de7b0.png

5

hello_html_58037ed.png

6

hello_html_m59514e9b.png

7

hello_html_m22e2519.png

8

hello_html_6a5a4a06.png

9

hello_html_e3948e5.png

10

hello_html_m59cbecfa.png


Тема: «Комплексные числа»

Выполнить сложение, вычитание и умножение двух комплексных чисел


  1. Z1=3+5i Z2= 4-2i

  2. Z1=4-2i Z2= 1+2i

  3. Z1=2-i Z2= 2-2i

  4. Z1=7+2i Z2= -4+2i

  5. Z1=1+3i Z2= -1+2i

  6. Z1=3-2i Z2= -3+3i

  7. Z1=-4-2i Z2= 1-i

  8. Z1=-3+3i Z2= 3-2i

  9. Z1=-1-i Z2= 4+2i

  10. Z1=2+2i Z2= 5-2i


Тема: «Производная и её приложения»

I.Найти производную функции y = f(x) и вычислить её значение в точке Х0.

  1. hello_html_m7ec20b88.gif

  2. hello_html_6a76815f.gif

  3. hello_html_1441877e.gif

  4. hello_html_62b203b9.gif

  5. hello_html_684d37e5.gif

  6. hello_html_5577d63.gif

  7. hello_html_m479d7048.gif

  8. hello_html_4599262d.gif

  9. hello_html_2723679.gif

  10. hello_html_24b43e4a.gif


II. Задачи на применение производной.

  1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей

  2. Число 25 запишите в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

  3. Тело движется прямолинейно по закону hello_html_7c66bb4e.gif. Найти максимальную скорость движения тела

  4. Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого равна hello_html_f10c00b.gifhello_html_m70e35db0.gif, чтобы его объём был наибольшим?

  5. Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.

  6. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции hello_html_b9b222.gif на отрезке [1;2].

  7. Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

  8. Какой из цилиндров с объёмомhello_html_7d4a1c9.gifhello_html_3620a21f.gif имеет наименьшую полную поверхность?

  9. Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найти длину части забора, параллельной стене.

  10. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции hello_html_m4a815485.gif на отрезке [-2;2].


Тема: «Интегралы и их приложения»


1 Задание:

Вычислить интегралы.

2 задание:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

1.hello_html_681d93c7.gif

hello_html_ab3f54c.gif и осью ох

2.hello_html_m2a40d677.gif

hello_html_9a3fb93.gif

3. hello_html_m42d724bc.gif

hello_html_7b95fcdc.gif и осью ох

4. hello_html_m591059d7.gif

hello_html_36ada0c9.gif

5. hello_html_m70acfaae.gif

hello_html_c4685c2.gif и осью ох

6. hello_html_m24f0e4d1.gif

hello_html_m6b465c8.gif

7. hello_html_m7d194e6.gif

hello_html_m5aaba6d8.gif и осью ох

8. hello_html_64a8f5f1.gif

hello_html_7c3ffb47.gif

9. hello_html_m75fbdc35.gif

hello_html_45d3ab7d.gif и осью ох

10. hello_html_5ee3ddd8.gif

hello_html_513de0cc.gif и осью ох



Тема: «Элементы теории вероятностей»

  1. Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

  2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 без повторений?

  3. В урне лежат 12 одинаковых шаров: 3 белых, 7 черных, остальные красные. Какова вероятность того, что наугад выбранный шар окажется не белым?

  4. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

  5. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет «шестерка»?

  6. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба шара красные?

  7. В урне 7 красных и 6 синих шаров. Из урны на­угад вынимаются два.шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета.

  8. В урне находится 8 красных и 5 белых шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

  9. В урне находится 5 зеленых и 4 синих шара. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба шара зеленые?

  10. В урне находится 4 черных и 6 белых шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба шара разного цвета?


ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

  1. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. – М.: Дрофа, 2009. - 206с.

  2. Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике . – М. Дрофа, 2009. - 240с.

  3. Дадаян А.А. Математика. – М.: ФОРУМ, 2008 , - 545с.

  4. Дадаян А.А, Сборник задач по математике. – М.: ФОРУМ: ИНФРА – М, 2008. - 352с.

  5. Кочетков Е.С., Смерчинский С.О., Соколов В.В. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Форум, 2008. – 240с.

  6. Математика. Руководство по проведению практических занятий. 2 семестр / Под ред. И.С. Саргсяна. – М.:МГУП, 2009. – 179с.

  7. Математика. Руководство по проведению практических занятий. 4 семестр / Под ред. И.С. Саргсяна. – М.:МГУП, 2008. – 191с.

  8. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М.: Академия, 2009. – 210с.

  9. Филатова Т.Г. Справочник по математике. – М.: Е-Медиа, 2010. – 104с.


Дополнительные источники:

  1. Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу/ Под ред. В.А. Садовничего. – М.: Высшая школа, 2000. – 695с.

  2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.: Учеб. Пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2006. – 247с.

  3. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник. – М.: Высшая школа, 2000. – 480с.

  4. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2000. – 304с.

  5. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учеб пособие. – М.: Высшая школа, 2000. – 479с.



45


Общая информация

Номер материала: ДВ-114285

Похожие материалы