Методические указания для студентов заочной формы обучения

Математика.

Методические указания и задания на контрольную работу

для студентов заочной формы обучения

Содержание

1. Пояснительная записка
2. Методические указания по выполнению контрольной работы.
3. Задания на контрольную работу.
4. Литература

Пояснительная записка.

Данное пособие ставит своей целью оказание помощи учащимся заочного отделения Рыбинского полиграфического колледжа в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объёме действующей программы.

В целях закрепления изучаемого материала студенты выполняют обязательную контрольную работу.

Итоговый контроль по дисциплине предлагает экзамен.

Рабочая программа составлена, исходя из времени, выделенного на предмет учебным планом, профиля подготовки специалистов, межпредметных и внутренних связей.

Настоящее пособие содержит задания к контрольной работе и методические задания по её выполнению. Теория в методических заданиях даётся в сжатой форме  и служит в основном для того, чтобы при решении задач можно было делать точные ссылки на нужные формулы, определения, теоремы, правила.

Методические указания к выполнению контрольной работы.

Общие методические указания.

Прежде всего, необходимо ознакомится с содержанием программы, и выбрать учебное пособие.

Помните: учебник нужно не просто читать, а изучать.

Решение задач является лучшим средством закрепления материала.

Контрольные работы следует выполнять самостоятельно и лишь после того, как проработан соответствующий теоретический материал и решен необходимый минимум задач.

При решении задачи необходимо обосновать каждый шаг решения, исходя из теоретических основ курса. Не следует применять формул, не входящих в программу.

Контрольная работа должна быть выполнена чернилами одного  цвета, аккуратно разборчиво. Каждую задачу начинать с новой страницы.

Решения задач располагать  в порядке номеров, указанных задании. Условия задач должны быть обязательно переписаны полностью в контрольную тетрадь.

Решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточно обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать.

Учащиеся, не имеющие зачёта по контрольной работе, к экзамену не допускаются.

Во время экзамена контрольные работы предоставляются преподавателю вместе с данными методическими указаниями.

Каждая контрольная работа имеет 10 вариантов.  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если и , то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

1. 
2. 

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

1. .
2. - нельзя, т.к. размеры матриц различны.
3. .

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

1. 
2. 
3. .

Примеры.

1. .
2. Найти 2A-B, если , .

.

3. Найти C=–3A+4B.

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

1. Пусть

Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.

2. Найти произведение матриц.

.

3. .
4. - нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
5. Пусть

Найти АВ и ВА.

6. 

Найти АВ и ВА.

, B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

1. 
2. .
3. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка.

.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Системы линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.
2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A: . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

1.

Найдем матрицу обратную матрице A.

,

Таким образом, x = 3, y = – 1.

2.

Итак, х₁=4,х₂=3,х₃=5.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Пример. Решить систему уравнений

Итак, х=1, у=2, z=3.

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

1. 

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

2. 

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида a  +  ib , где a  и  b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей . Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1. Два комплексных числа a  +  ib и c  +  id называются равными тогда и только тогда, когда
   a  =  b и c  =  d .
2. Суммой двух комплексных чисел a  +  ib и c  +  id называется комплексное число
   a  +  c  +  i ( b  +  d ).
3. Произведением двух комплексных чисел a  +  ib и c  +  id называется комплексное число
   ac  –  bd  +  i ( ad  +  bc ).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z  =  a  +  ib . Действительное число a называется действительной частью комплексного числа   z , действительная часть обозначается a = Re z . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа   z , мнимая часть обозначается b = Im z . Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z  =  a  +  i  · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,

Следовательно, комплексные числа вида a  +  i  · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 +  ib называются чисто мнимыми . Часто просто пишут bi , например, 0 +  i 3 = 3 i . Чисто мнимое число i 1 = 1 i  =  i обладает удивительным свойством:
Таким образом,

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,
то есть как раз получается нужная формула.

Пример 1

Вычислить z ₁  +  z ₂ и z ₁ z ₂, где z ₁  = 1 + 2 i и z ₂  = 2 –  i .

Имеем

Ответ.   z ₁  +  z ₂  = 3 +  i ,  z ₁ z ₂  = 4 + 3 i .

 Комплексные числа на плоскости

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Модуль комплексного числа z обычно обозначается или r . Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (см. рис.).

2

Если то то есть для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной. Ясно, что для всех При этом тогда и только тогда, когда

Аргументом комплексного числа z  =  a  +  ib ( z  ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z . Для числа z = 0 аргумент не определён.

Отметим следующий важный факт: заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z  ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет. Действительно, если φ = arg z – аргумент этого комплексного числа, то все числа вида φ + 2π n также будут аргументами этого комплексного числа. Например, аргументами комплексного числа z  = 1 +  i являются углы и т. д. Поэтому в качестве аргумента комплексного числа обычно выбирают значение –π ≤ arg  z  ≤ π.

Заданием только лишь своего модуля определяется только комплексное число z = 0.

Из определения тригонометрических функций следует, что φ = arg z тогда и только тогда, когда для этого φ выполняется система

Пример 2

Найти модуль и аргумент комплексного числа z  = –1 –  i .

Так как Re z = –1 и Im z = –1, то точка z лежит в третьей координатной четверти.
Для поиска аргумента решим систему

Ответ.  

Производная и её приложения.

Ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров данного пособия. Выполните упражнения для самопроверки.

 Производной функции y = f(x)  в точке х  называется предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х при условии, что х0, т.е.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Формулы дифференцирования.

Для простых функций		Для сложных функций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17

Правила дифференцирования:

1.

2.

3.

4.

Пример 1:

Решение:

Пример 2:

Пример 3:

     

Пример 4: Найти производную функции

 и вычислить её значение при t = 2.

Пусть t=2     

Геометрический смысл производной.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = f(x) в точке

, равен значению производной функции в точке , т.е.

Уравнение этой касательной имеет вид:

Пример 5: Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой = 3.

Найдём - значение данной функции при = 3   

 - угловой коэффициент касательной в точке = 3.

Уравнение касательной будет иметь вид:

Физический смысл производной.

Производная функции y = f(x) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х.

V(x) = f `(x)

 Пусть S(t) – функция задающая движение тела

Тогда: V(t) = S`(t), а(t) = V`(t)

Пример 6: Закон движения точки по прямой задан формулой   .

Найти скорость и ускорение движения точки  в конце первой секунды.

Решение: Т.к. V(t) = S`(t), то

Т.к. а(t) = V`(t), то

Приложения производной к исследованию функции.

Если на промежутке y, то  убывает на у.

Замечание: если функция непрерывна на конце промежутка, то его можно присоединить к промежутку возрастания (убывания).

 Задание:

Найти промежутки возрастания и убывания функции  .

Решение:

1) Вычисляем производную функции

2) Для определения знака производной на промежутке используем метод интервалов

Пусть , т.е.

Наносим корни на ось и определяем знак производной на каждом промежутке. Для этого подставляем число из промежутка в формулу производной

 

Значит: у возрастает на [-1;1]

              у убывает на (- ;1][1;+ )

Экстремумы функции.

Определение: если  в точке   производная функции  y = f(x) не существует или равна 0, то  - критическая точка.

Необходимое условие экстремума:

Если  является точкой экстремума функции f, то в этой точке её производная равна 0 или не существует.

Пусть  -  критическая точка на [а;в]

f `(x)	+	0	-
f (x)		max

f `(x)	-	0	+
f (x)		min

- точка max                                                                - точка min

- max функции                                                     - min  функции

Задание: Найти точки экстремума и экстремумы функции .

Решение:

1) Находим производную функции

2) Находим критические точки

 существует для любого

= 0, если

3)Определяем промежутки возрастания и убывания функции:

 

                                                     -1                      1

Значит  - точка  минимума

f min = f(-1) = 3(-1)-(-1)=  - 3+1 = - 2

 - точка максимума

f max = f(1) = 3

ответ: f min = - 2 ; f max = 2.

Исследование функции с помощью производной и построение их графиков.

Задание: исследовать  функцию и построить её график.

Алгоритм исследования	Образец записи исследования и построения графика
1. Найти область определения функции f (x)(ответить на вопрос: каким может быть х?)	D(f) = R
2.Найти производную функции	f `(x) =
3.Найти критические точки функции. Для этого: а) определить, в  каких точках производная не существует; б) решить уравнение f `(x) = 0	а) f `(x) сущ. при
4. Начертить координатную прямую и отметить на ней критические точки. Определить знак производной на каждом интервале.	-1                          1
5. На координатной прямой найти промежутки возрастания и убывания функции f `(x)	-1                            1
6. Найти точки экстремума функции	- точка  минимума  - точка максимума
7.Найти экстремумы функции	f(-1) = 3(-1)-(-1)=  - 2= f min f(1) = 3= f max
8.Найти точки пересечения с осями: с ох: у = 0 с оу: х =0	С ох: или  А(0;0) В(;0) и С(-;0) С оу: А(0;0)
9. Строим график	2                                                                                                  -1     1                                -2

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Задание: найдите наибольшее и наименьшее

значение функции  на

Алгоритм решения	Образец записи решения
1. Найти производную функции:
2. Найти критические точки функции	сущ. при =0=0 ,,
3.Выбрать крит. точки внутри данного отрезка	Х = 1
4.Найти значение функции в крит. точках, принадлежащим данному отрезку и на концах отрезка.
5. Из значений, найденных в п.4 выбрать наибольшее и наименьшее.	У наимен. = - 4 при х = 1 У наибол. = 5 при х = 2

Решение задач геометрического содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Задача:

Найти наибольший обьём правильной треугольной пирамиды, у которой длина апофемы равна дм.

Алгоритм решения	Образец записи решения
1. Построить рабочий чертёж. Обозначить за х любую неизвестную величину.
2. Записать общую формулу объема пирамиды.
3.Найти выражения длин отрезков, входящих в формулу(*) : а) обозначить длину любого отрезка за х; б) рассматривая «подходящий» треугольник, выразить через х длины отрезков из (*)	а) Пусть = х б) Из: Из:; :
4.Подставить найденные выражения в формулу(*)
5.Упростить полученное выражение и записать его как функцию от х
6. Найти (по смыслу задачи область) определения функции.	х – длина отрезка Из: D(V) = (0; )
7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.	сущ. при                   0               2              2 Значит: наибол. =(2) = =12 Ответ: наибол. = 16

Дифференциал функции y = f(x) в точке х – это dy = f `(x)х, если f(x) = х, то

dх = 1х.

Тогда: dy = f `(x)
Пример 1:

Решение:

Пример 2: Вычислить значения дифференциала функции при

Решение: Вычислим дифференциал

Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Пример 2: Вычислить  приближенное значение приращения функции

При изменении аргумента от х = 1 до х = 1,001

Решение: Находим дифференциал аргумента:

Пример 3: Найти приближенное значение

Тогда

Пример 4: Найти приближенное значение ln 0,97

Пример 5: Найти приближенное значение

Неопределённый интеграл.

Ознакомьтесь методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия.

Определение: Дифференцируемая функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на (а; в), если F `(x) = f(x) для

Теорема: Если F(х) является первообразной для f(x), то F(х)+С – тоже является первообразной для f(x), где С – любая постоянная.

Определение: Совокупность F(х)+С всех первообразных функций f(x) на (а; в) называют неопределённым интегралом. Обозначают

Свойства неопределённого интеграла:

1) Неопределённый интеграл суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов слагаемых, т.е.

2) Интеграл разности двух функций равен разности неопределённых интегралов, компонентов т.е.

3)Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

4) Если , то

Таблица основных интегралов

1.	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.	14.

Методы интегрирования.

I.Непосредственное интегрирование( с помощью таблицы интегралов).

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

II.Интегрирование методом подстановки

Если интеграл не привести к табличному  с помощью элементарных преобразований, то пользуются методом подстановки.

Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому, который берётся непосредственно.

Для интегрирования методом постановки можно использовать следующий алгоритм:

1.      Часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной.

2.      Найти дифференциал от обеих частей замены.

3.      Всю подынтегральную функция выразить через новую переменную.

4.      Найти полученный табличный интеграл.

5.      Сделать обратную замену.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Пример 5:

Пример 6:

Пример 7:

III. Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям:

Она применяется, если подынтегральную функцию удаётся представить  в вид произведения двух множителей u и dV. Общего правила для определения того, какой множитель обозначить за u, нет.

Пример 8:

Пример 9:

Пример 10:

Пример 11:

Получили:

 

IV. Интегрирование дробно – рациональных функций.

Функция вида называется дробно – рациональной, где Р(х) и Q(x) – многочлены.

Дробь может быть правильной (если степень Р(х) меньше степени Q(x)) и неправильной.

Могут быть четыре случая:

1) f(x) – правильная дробь и Q(x) имеет разные корни

Найдём коэффициенты А и В

Пусть: х = 3.   Тогда:

Пусть: х = 2.   Тогда:

           

2) f(x) – правильная дробь и Q(x) имеет кратные (повторяющиеся корни)

Пусть: х = 3.   Тогда:

Пусть: х =0.   Тогда:

           

3) f(x) – правильная дробь и Q(x)  не имеет корней

           

уравнение корней не имеет

ё

           

4) f(x) – неправильная дробь

            

Дробь – неправильная. Выделим целую часть.

              

          

            

                

                             

 

Приведем, таким образом, дробь к 1, 2 или 3 случаю.

          

Определённый интеграл.

По данной теме сначала изучите главу 9[1]. Затем ознакомьтесь  с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия.

Формула Ньютона – Лейбница.                            

Пример 1: 

     

Пример 2:

                             

 

Пример 3:

             

             

Вычисление площади фигуры с помощью определённого интеграла.

 

1.Заштрихованная фигура является

криволинейной трапецией. Её площадь S

вычисляется по формуле:

 S =

 

Пример:

                                                                    

2.

S =

 

Пример:

3.Абсциссу точки пересечения графиков  «С»

найдём из уравнения f(x) = g(x).

Пример:

Найдём из уравнения

4.а и b находим из уравнения f(x) = g(x).

Пример:

Элементы теории вероятностей.

 Ознакомьтесь  с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия.

1. Основные понятия комбинаторики.

Комбинаторика – это наука, изучающая, сколько различных комбинаций можно составить  из элементов данного множества.

Выделим три вида комбинаций.

 

                                 да                                                       нет

                                                                          да                                                       нет

        

                                                         

                      m множителей

К – количество комбинаций,

n – общее количество элементов,

m - количество выбранных элементов.

Пример 1: Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?

Решение: Т.к участвуют все элементы, то данный вид комбинаций – перестановки из 6 элементов.

(комбинаций)

Пример 2: Сколькими способами можно разделить 5 флажков среди 10 человек (по 1 флажку) ?

Решение: Т.к. участвуют не все элементы и порядок не важен, то вид комбинаций – сочетания.

Пример 3: Сколькими способами можно разделить 5 экзаменационных билетов среди 10 студентов (по 1 билету)?

Решение: Т.к.  участвуют не все элементы и порядок имеет значение, то имеем размещения.

(способов)

                 5 множителей

Пример 4: Решите уравнение:

Решение: , то

2 и -1 не  удовлетворяют условию задачи, т.к. количество элементов    (из n элементов выбирается 3 элемента)

Ответ: решений нет.

2. Основные понятия теории вероятности.

События могут быть случайными, достоверными и невозможными.

События называются случайными, если при реализации данного комплекса условий оно может произойти, а может и не произойти.

Вероятность случайного события А называется число , где m – число благоприятных исходов, а n -  число всевозможных исходов.

Задача: Какова вероятность того, что из задуманных 5 букв (всего букв – 32) мальчик угадает 3.

Решение: Т.к. 5 букв выбираются из всего алфавита, то количество комбинаций всевозможных (порядок не имеет значения).

число всевозможных комбинаций.

3. Математические характеристики случайной величины.

		…
		…

Под случайной величиной понимается всякая величина, которая при осуществлении данного опыта принимает то или иное числовое значение.

Пусть - числовые значения с.в. х,

 - вероятности этих значений.

Тогда законом распределения с.в. называется таблица

Пример: Бросаем игральную кость.

Значения с.в.: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Вероятность этих значений:

1	2	3	4	5	6

- закон распределения с.в.                                      

                     Сумма = 1

Математическим ожиданием случайной величины х называется число 

В примере:

М.о. – как бы среднее значение с.в.

Дисперсией с.в. Х называется число

В примере:

Дисперсия – это отклонение с.в. от М(х),  поэтому почти все значения с.в. находятся в промежутке [M(x) – D(x);M(x)+D(x)]

Задания  для контрольной работы.

Тема: «Системы линейных уравнений»  

Решить систему линейных уравнений матричным способом, методом Крамера и Гаусса

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тема: «Комплексные числа»

Выполнить сложение, вычитание и умножение двух комплексных чисел

1. Z₁=3+5i        Z₂= 4-2i
2. Z₁=4-2i         Z₂= 1+2i
3. Z₁=2-i           Z₂= 2-2i
4. Z₁=7+2i        Z₂= -4+2i
5. Z₁=1+3i        Z₂= -1+2i
6. Z₁=3-2i         Z₂= -3+3i
7. Z₁=-4-2i        Z₂= 1-i
8. Z₁=-3+3i       Z₂= 3-2i
9. Z₁=-1-i          Z₂= 4+2i
10. Z₁=2+2i        Z₂= 5-2i

Тема: «Производная и её приложения»  

I.Найти производную функции y = f(x) и вычислить её значение в точке Х0.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10.        

II. Задачи на применение производной.

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей
2. Число 25 запишите в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.
3. Тело движется прямолинейно по закону . Найти максимальную скорость движения тела
4. Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого равна , чтобы его объём был наибольшим?
5. Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.
6. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [1;2].
7. Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
8. Какой из цилиндров с объёмом имеет  наименьшую полную поверхность?
9. Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найти длину части забора, параллельной стене.
10. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [-2;2].

Тема: «Интегралы и их приложения»

1 Задание: Вычислить интегралы.	2 задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
1.	и осью ох
2.
3.	и осью ох
4.
5.	и осью ох
6.
7.	и осью ох
8.
9.	и осью ох
10.	и осью ох

Тема: «Элементы теории вероятностей»

1. Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?
2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 без повторений?
3. В урне лежат 12 одинаковых шаров: 3 белых, 7 черных, остальные красные. Какова вероятность того, что наугад выбранный шар окажется не белым?
4. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?
5. Брошена игральная кость. Какова    вероятность того, что выпадет  нечетное  число  очков? Что выпадет «шестерка»?
6. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба шара красные?
7. В урне 7 красных и 6 синих шаров. Из урны на­угад вынимаются два.шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета.
8. В урне находится 8 красных и 5 белых шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба шара белые?
9. В урне находится 5 зеленых и 4 синих шара. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба шара зеленые?
10. В урне находится 4 черных  и 6 белых шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба шара разного цвета?

ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

1.      Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. – М.: Дрофа, 2009. - 206с.

2.      Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике . – М. Дрофа, 2009. - 240с.

3.      Дадаян А.А. Математика. – М.: ФОРУМ, 2008 , - 545с.

4.      Дадаян А.А, Сборник задач по математике. – М.: ФОРУМ: ИНФРА – М, 2008. - 352с.

5.    Кочетков Е.С., Смерчинский С.О., Соколов В.В. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Форум, 2008. – 240с.

6.    Математика. Руководство по проведению практических занятий. 2 семестр / Под ред. И.С. Саргсяна. – М.:МГУП, 2009. – 179с.

7.    Математика. Руководство по проведению практических занятий. 4 семестр / Под ред. И.С. Саргсяна. – М.:МГУП, 2008. – 191с.

8.    Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М.: Академия, 2009. – 210с.

9.      Филатова Т.Г. Справочник по математике. – М.: Е-Медиа, 2010. – 104с.

Дополнительные источники:

10.     Архипов Г.И.  Лекции по математическому анализу/ Под ред. В.А. Садовничего. – М.: Высшая школа, 2000. – 695с.

11.     Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.: Учеб. Пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2006. – 247с.

12.     Шипачев В.С.  Высшая математика: Учебник. – М.: Высшая школа, 2000. – 480с.

13.     Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2000. – 304с.

14.     Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учеб пособие. – М.: Высшая школа, 2000. – 479с.