Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодические указания для выполнения практических работ для студентов специальности Гостиничный сервис

Методические указания для выполнения практических работ для студентов специальности ГС

Скачать материал

Министерство образования и науки Самарской области

ГБОУ СПО «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ

 

ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

 

 

 

ДИСЦИПЛИНА   «МАТЕМАТИКА»

 

естественнонаучный цикл

 

 

Специальность:

101101 «Гостиничный сервис»

 

 

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Самара, 2014 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

ОДОБРЕНО

Предметной (цикловой)      

методической комиссией    

математики   

Председатель ПЦМК

_________Н.Е. Афонина     

____ ____________2014 г.   

 

 

 

 

 

Составитель: Памурзина Маргарита Александровна, преподаватель ГБОУ СПО «Поволжский государственный колледж».

 

Рецензенты:

Афонина Н.Е., председатель ПЦМК математики.

                

Мезенева О.В., методист ГБОУ СПО «Поволжский государственный колледж».

 

 

            Методические указания для студентов по практическим занятиям являются частью основной профессиональной образовательной программы ГБОУ СПО «ПГК»  по специальности 101101 «Гостиничный сервис» в соответствии с требованиями  ФГОС СПО третьего поколения и рабочей программы по дисциплине.

Методические указания по выполнению практических работ адресованы  студентам очной формы обучения.

Методические указания по каждому практическому занятию включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных в рабочей программе дисциплины, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практического занятия работы студентов, инструкцию по их выполнению, методику анализа полученных результатов, порядок выполнения и образец отчета о проделанной работе.

 

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Название практических занятий

 

Страницы

Практическое занятие № 1 «Решение задач на применение алгебры логики»

 

Практическое занятие .№ 2 «Решение задач на применение множеств и кругов Эйлера»

 

Практическое занятие  № 3 «Построение и применение графов при решении задач»

 

Практическое занятие  № 4 «Решение вероятностных задач»

 

Практическое занятие  № 5 «Решение статистических задач и обработка информации»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

 

            Методические указания по дисциплине «Математика» по практическим занятиям созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к практическим занятиям, правильного составления отчетов.

            Приступая к выполнению заданий практического занятия, Вы должны внимательно прочитать его цель и задачи, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами третьего поколения или примерной программой дисциплины «Математика» (для общеобразовательной подготовки), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практического занятия, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

            Все задания к практическому занятию  Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

            Отчет о практическом занятии Вы должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

            Наличие положительной оценки по практическим занятиям необходимо для получения зачета по дисциплине  или допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую работу Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.

 

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим занятиям  или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

            Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.

 

 

Желаем Вам успехов!!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел «Элементы логики»

 

Практическое занятие №1

«Решение задач на применение алгебры логики»

 

Учебная цель: формировать умение производить операции над высказываниями, составлять таблицу истинности составных высказываний.

 

Учебные задачи:

1. Научиться определять истинность высказываний.

2. Научиться производить операции над высказываниями.

3. Научиться составлять таблицу истинности составных высказываний.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

 

Студент должен

уметь:

-        использовать математические методы при решении прикладных задач;

-        пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками, схемами при решении задач.

знать:

-                    способы обоснования истинности высказываний.

 

Задачи практического занятия №1

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на выполнение операций над высказываниями и составления таблицы истинности высказываний.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

 

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

-М.С.Спирин. Дискретная математика для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2006.

-М.: «Академия», 2007,  Г.А. Гончарова, А.А. Мочалин. Элементы дискретной математики. – М.: ФОРУМ – ИНФРА, 2004.

-С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Высказыванием называется любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Чтобы выяснить, является ли некоторое предложение высказыванием, нужно сначала убедиться, что это утверждение, а затем установить, истинно оно или ложно.

Пример.

1. Знание математической логики необходимо любому специалисту.

2. Москва – столица России.

3. Была метель.

4. .

Предложения 1. и 2. являются высказываниями, а 3. и 4. – нет.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания бывают элементарными (простыми) и составными.

Повествовательное предложение, в котором говорится об одном-единственном событии, называется элементарным (простым) высказыванием. Элементарные высказывания не могут быть выражены через другие высказывания.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными.

  Высказывания бывают элементарными и составными. Элементарные высказывания не могут быть выражены через другие высказывания. Составные высказывания можно выразить через элементарные.

Пример.

« Число 22 четное» - элементарное высказывание.

« Число 22 четное и делится на 11» - составное, оно состоит из двух элементарных: «Число 22 четное» и «Число 22 делится на 11».

  Высказывания принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С,…

  Если простое высказывание является истинным, то ему соответствует значение логической переменной 1. Если простое высказывание является ложным, то ему соответствует значение логической переменной 0.

  Для того чтобы определить, истинно или ложно некоторое сложное высказывание, используют таблицу истинности.

  Таблица истинности – таблица, с помощью которой устанавливается истинное значение высказывания при данных значениях входящих в него простых высказываний. Т.е., это таблица, в которой латинскими буквами обозначаются сами высказывания, а цифрами 1 и 0 соответственно  «истина» и «ложь».

Основные операции над высказываниями.

1. Отрицанием или инверсией высказывания  называется высказывание , которое истинно, когда высказывание  ложно и ложно, когда  истинно.

2. Дизъюнкцией высказываний и  называется высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний.

3. Конъюнкцией высказываний и  называется высказывание  (АВ), которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

4. Импликацией высказываний и  называется высказывание , которое ложно тогда и только тогда, когда из истины следует ложь.

5. Эквиваленцией высказываний и  называется высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда либо истинны, либо ложны одновременно оба высказывания.

  Составим словарь перевода с русского языка на язык алгебры логики.

Таблица 1.1

Название операции

Соответствие в алгебре логики

Логические связки

 

Отрицание, инверсия

 

Не А;

Неверно, что А;

А не имеет места.

Дизъюнкция

А или В;

Или А, или В, или оба вместе.

 

 

 

Конъюнкция

 

 

 

А и В;

Как А, так и В;

Не только А, но и В;

А вместе с В;

А несмотря на В;

А, в то время как В.

 

 

 

 

Импликация

(следование)

 

 

 

Если А, то В;

А, только если В;

А достаточно для В;

В необходимо для А;

А влечет В;

В тогда, когда А;

Из А следует В.

Эквиваленция (тождественность, равносильность)

 

А тогда и только тогда, когда В;

А эквивалентно В;

А если и только если В;

А необходимо и достаточно для В

 

Пример. - «Иванов – хороший администратор гостиницы».

               - «Иванов побеждает на профессиональных конкурсах».

Дизъюнкция(): «Иванов или хороший администратор гостиницы, или он побеждает на профессиональных конкурсах».

Конъюнкция(): «Иванов - хороший администратор гостиницы и он побеждает на профессиональных конкурсах».

Импликация(): «Если Иванов хороший администратор гостиницы, то он побеждает на профессиональных конкурсах».

Эквиваленция():»Иванов хороший администратор гостиницы тогда и только тогда, когда он побеждает на профессиональных конкурсах».

Таблица истинности.

Таблица 1.2

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

1. Операции в скобках.

2. Инверсия.

3. Конъюнкция.

4. Дизъюнкция.

5. Импликация.

6. Эквиваленция.

Алгоритм заполнения таблицы истинности для составного высказывания.

1. Определить число переменных.

2. Определить число строк в таблице истинности.

3. Заполнить все возможные значения переменных.

4. Определить количество логических операций и их порядок.

5. Записать логические операции в таблицу истинности и определить для каждой из них значение ( для двух переменных их всего четыре).

  Любые простые и сложные высказывания, полученные из элементарных высказываний с помощью конечного числа введенных логических операций, называются формулами алгебры логики.

Равносильность и классификация формул.

1. Формулы называются тождественно истинными или тавтологиями, если они принимают значение «истина» при любых значениях истинности входящих в них переменных.

2. Формулы называются тождественно ложными или противоречиями, если они принимают значение «ложно» при любых значениях истинности входящих в них переменных.

3. Формулы называются нейтральными или выполнимыми, если они принимают как истинное, так и ложное значения.

 Чтобы установить вид формулы алгебры высказываний, достаточно составить для нее соответствующую таблицу истинности и по последнему столбцу определить вид данной формулы.

Основные равносильности:

Основные равносильности формул алгебры высказываний позволяют сложные формулы преобразовать в более простые, то есть сложные высказывания представлять в виде цепочки элементарных высказываний, из заданной совокупности элементарных высказываний строить различные сложные высказывания, упрощать сложные высказывания с помощью равносильных формул, проверять (доказывать) истинность или ложность цепочек сложных высказываний.

Приведем основные законы, определяющие логические операции.

Закон идемпотентности:

1.

2.

Закон коммутативности:

3.

4.

Закон ассоциативности:

5.

6.

Закон дистрибутивности:

7.

8.

Закон де Моргана:

9.

10.

Закон склеивания:

11.

12.

Закон поглощения:

13.

14.

Закон Порецкого:

15.

16.

Закон исключения третьего:

17.

Закон противоречия:

18.

Закон снятия двойного отрицания:

19.

Другие законы:

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

 

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №1

1. Что такое высказывание? Какие виды высказываний бывают?

2. Что означает отрицание высказывания? Составьте таблицу истинности.

3. Что означает конъюнкция двух высказываний? Составьте таблицу истинности.

4. Что означает дизъюнкция двух высказываний? Составьте таблицу истинности.

5. Что означает импликация двух высказываний? Составьте таблицу истинности.

6. Что означает эквиваленция двух высказываний? Составьте таблицу истинности.

7. Какие ключевые слова и словосочетания (логические связки), используемые в обыденной жизни, соответствуют логическим операциям?

8. Какие виды формул алгебры высказываний Вы знаете? Дайте им определение.

 

Задания для практического занятия №1

 

Вариант № 1

Задание 1. С  помощью таблицы истинности  проверить  справедливость логического закона.

Задание 1. Установить, является ли предложение высказыванием, и если является, истинно оно или ложно:

а) «Вы студент?»;                                                б) «»;

в) «Если , то»;                              г)  - квадратное уравнение.

Задание 3. Среди следующих высказываний выделить элементарные и составные. В составных высказываниях обозначить элементарные высказывания буквами и записать с помощью логических символов.

1) «Спортсмен подлежит дисквалификации, если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, и если он принял «допинг».

2) «Если он или умеет писать или читать, то он грамотный человек».

3) «Марс есть спутник Земли».

4) «Студент не может заниматься, если он устал и голоден».

Задание 4. Из двух простых высказываний А  и В составить сложные высказывания по формулам:  :

: «Знаешь рецепт».                                                      : «Лекарство подействовало».

Задание 5. Определить истинность составного высказывания , если даны простые высказывания:

: «Я являюсь студентом Поволжского государственного колледжа».

: «В нашей группе юношей больше, чем девушек».

: « Преподавателя математики зовут Маргарита Александровна».

Задание 6. Определить вид формулы с помощью таблицы истинности: .

Задание 7. Доказать или опровергнуть тождество: .

 

Вариант № 2

Задание 1. С  помощью таблицы истинности  проверить  справедливость логического закона

.

Задание 2. Установить, является ли предложение высказыванием, и если является, истинно оно или ложно:

а) «- прямоугольник»;                            б) «»;                      

в) «17-простое число»;                                       г) «».

Задание 3. Среди следующих высказываний выделить элементарные и составные. В составных высказываниях обозначить элементарные высказывания буквами и записать с помощью логических символов.

1) «Число является простым, если оно делится только на 1 и само на себя».

2) «Если Иванов здоров и богат, то он здоров».

3) «Рысь–представитель семейства кошачьих».

4) «Либо все люди должны быть счастливыми, либо никто» (Роберт Оуэн).

Задание 4. Из двух простых высказываний А  и В составить сложные высказывания по формулам:  :

: «Иметь свою волю».                                                      : «Иметь свою долю».

Задание 5. Определить истинность составного высказывания , если даны простые высказывания:

: «Число 225 делится нацело на 5».

: «В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам».

: « Логарифмы существуют только для отрицательных чисел».

Задание 6. Определить вид формулы с помощью таблицы истинности: .

Задание 7. Доказать или опровергнуть тождество: .

 

Вариант № 3

Задание 1. С  помощью таблицы истинности  проверить  справедливость логического закона.

Задание 2. Установить, является ли предложение высказыванием, и если является, истинно оно или ложно:

а) «Вам нравиться учиться?»;                              б) «»;

в) «Рим – столица Эстонии»;                               г) «».

Задание 3. Среди следующих высказываний выделить элементарные и составные. В составных высказываниях обозначить элементарные высказывания буквами и записать с помощью логических символов.

1) «Я не вымокну, если на улице нет дождя или если прогулка отменяется и я останусь дома».

2) «Петров ходит в кино только в том случае, когда там показывают комедию».

3) «Я – студент Поволжского государственного колледжа».

4) «Если спортсмен интенсивно тренируется и при этом принимает запрещенные стимуляторы, то он достигает высоких спортивных результатов либо попадется на допинге». Задание 4. Из двух простых высказываний А  и В составить сложные высказывания по формулам:  .

: «На улице пасмурно».                                                      : «Идет дождь».

Задание 5. Определить истинность составного высказывания , если даны простые высказывания:

: «Я учусь на отделении «Управление бизнесом и сервисом».

: «Площадь треугольника равна произведению основания на высоту».

: « Логарифмы существуют только для положительных чисел».

Задание 6. Определить вид формулы с помощью таблицы истинности: .

Задание 7. Доказать или опровергнуть тождество: .

 

Вариант № 4

Задание 1. С  помощью таблицы истинности  проверьте  справедливость логического закона.

Задание 2. Установить, является ли предложение высказыванием, и если является, истинно оно или ложно:

а) «Давайте пойдем гулять»;

б) «Который час?»;

в) «Всякий человек желает стать хозяином гостиничного комплекса»;

г) « если ».

Задание 3. Среди следующих высказываний выделить элементарные и составные. В составных высказываниях обозначить элементарные высказывания буквами и записать с помощью логических символов.

1) «Чтобы успешно сдать экзамен, нужно иметь при себе зачетку и ответить на вопросы».

2) «Необходимое и достаточное условие для жизни растений состоит в наличии питательной почвы, чистого воздуха и солнечного света».

3) «Сегодня прекрасная погода».

4) «Быть или не быть – вот в чем вопрос» (Шекспир).

Задание 4. Из двух простых высказываний А  и В составить сложные высказывания по формулам:  .

: «Есть следствие»,                                                     : «Есть причина».

Задание 5. Даны простые высказывания:

: «10 – четное число».

: «Москва - большой город».

: «Каждый четырехугольник является параллелограммом».

  Определите истинность составного высказывания .

Задание 6. Определить вид формулы с помощью таблицы истинности: .

Задание 7. Докажите или опровергните тождество: .

 

Инструкция по выполнению практического занятия №1

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. При выполнении первого задания сначала составьте таблицу истинности для левой части равенства, используя порядок выполнения логических операций в сложном логическом высказывании, заданном формулой. Далее аналогично заполните таблицу истинности для правой части. Затем сравните последние колонки первой и второй таблиц истинности и сделайте вывод.

6. Перед выполнением второго задания начертите таблицу, состоящую из трех столбцов. В первом столбце запишите данные в задании предложения. Напротив каждого предложения во втором столбце поставьте «+», если данное предложение является высказыванием, и «-», если предложение высказыванием не является. Чтобы правильно выполнить задание, необходимо использовать определение высказывания.

 В третьем столбце определите истинность предложений, которые являются высказываниями, поставив значение логической переменной: «0», если высказывание ложно и «1», если оно истинно.

7. В третьем задании необходимо заполнить таблицу, состоящую из трех столбцов. В первый столбец перепишите данные высказывания. Затем определите вид высказываний (простое или составное) и запишите результат во второй столбец. Если высказывание сложное, необходимо выделить в нем простые, обозначить и записать их.

 Определите вид логической операции (таблица 1.1), соединяющие простые высказывания и запишите логическую формулу в третий столбец таблицы.

8. В четвертом задании из двух простых высказываний образуйте составное по заданным формулам, используя логические связки из таблицы 1.1. Решение оформите в виде таблицы.

9. При выполнении пятого задания сначала определите истинность данных простых высказываний, затем определите порядок выполнения логических операций. Пользуясь таблицей 1.2, определите истинность каждой логической формулы. По результатам последнего столбца сделайте вывод об истинности данного сложного высказывания, заданного формулой.

10. Для выполнения шестого задания используйте алгоритм заполнения таблицы истинности для сложного логического высказывания и порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении. По результатам последнего столбца определите вид заданной формулы алгебры логики.

11. В последнем задании последовательно используйте равносильности для доказательства тождества.

 

Порядок выполнения отчета по практическому занятию №1

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: «Решение задач на применение алгебры логики».

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 1).

Образец выполнения практического занятия №1

Задание 1. С помощью таблицы истинности проверить справедливость логического закона

А = А ()

Решение:

Таблица истинности:

А ()

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

Ответ: из таблицы видно,  истинные и ложные  значения первой и последней колонок  совпадают

Задание 2. Установить, является ли предложение высказыванием, и если является, истинно оно или ложно.

Решение:

Предложение

Высказывание

Значение логической переменной

Волга впадает в Каспийское море.

+

1

Студент второго курса.

-

-

+

0

.

+

1

 

Задание 3. Среди следующих высказываний выделить элементарные и составные. В составных высказываниях обозначить элементарные высказывания буквами и записать с помощью логических символов.

Решение:

Высказывания

Вид высказывания

Формула

Число 6 является делителем числа 36.

Простое

 

 

Двузначное число 19 простое.

Составное

: «19-число двузначное».

В: «19-число простое».

 

 

Квадратное уравнение имеет не более двух корней.

Составное

: «Квадратное уравнение не имеет корней».

: «Квадратное уравнение имеет один корень».

: «Квадратное уравнение имеет два корня».

 

Если капитан корабля получает специальное указание, то он должен покинуть порт на своем корабле.

Составное

: «Капитан получает специальное указание».

: «Капитан покидает порт».

 

 

 

Задание 4. Из двух простых высказываний А  и В составить сложные высказывания по формулам: , , , , , , .

: «Рыть яму другому».

: «Попасть в яму».

Решение:

Формула

Составное высказывание

Не рой яму другому.

Или рой яму другому, или попадешь в нее сам.

Вырыл яму другому и попал в нее сам.

Если будешь рыть яму другому, то попадешь в нее сам.

Если будешь рыть яму другому, то не попадешь в нее сам.

Вырыл яму другому и не попал в нее сам.

Попадешь в яму только тогда, когда выроешь ее другому.

 

Задание 5. Даны простые высказывания:

: «Из окон гостиницы «Волга» видна набережная реки Волги».

: «В городе Самара не более 10 гостиниц».

: «Современный отель «Россия» расположен в пригороде Самары».

: «Хостел в переводе с английского – общежитие.».

  Определите истинность составного высказывания  .

Решение:

1

0

0

1

0

1

0

Ответ: оно ложно.

Задание 6. Определить вид формулы с помощью таблицы истинности: .

Решение:

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

Ответ: Данная формула будет нейтральной или выполнимой, так как она может принимать как истинное, так и ложное значения.

 

Задание 7. Докажите или опровергните тождество

Решение:

Используя равносильности под номерами 28, 7, 18, 20, 18, получим:

Ответ: тождество доказано.

 

Раздел «Элементы логики»

 

Практическое занятие №2

«Решение задач на применение множеств и кругов Эйлера»

 

Учебная цель: формировать умение  выполнять операции над множествами, применять основные тождества к упрощению  выражений.

 

Учебные задачи:

1. Научиться выполнять операции над множествами.

2. Уметь применять круги Эйлера к решению задач;

3. Применять основные тождества к упрощению  выражений.

4. Уметь применять полученные знания при решении прикладных задач.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

-                    использовать математические методы при решении прикладных задач;

-                    пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками, схемами при решении задач.

знать:

-                          понятие множества, отношение между множествами, операции над ними.

 

 Задачи практического занятия:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на выполнение операций над множествами.

4. Оформить отчет.

 

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике.

2. Справочная литература:

а) М.С. Спирина, П.А. Спирин. Дискретная математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2006.

б) Г.А. Гончарова, А.А. Мочалин. Элементы дискретной математики. – М.: ФОРУМ – ИНФРА, 2004.

в) С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

3. Рабочие тетради: тетради для практических работ.

4. Калькуляторы: простые, по количеству студентов.

5. Ручки: по количеству студентов.

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

 

Множество – совокупность элементов, объединенных некоторым признаком, свойством.

Примеры.

1. Множество натуральных чисел.

2. Множество студентов в колледже.

Элементы множества – объекты,  составляющие множество.

Введем обозначения: множества будем обозначать прописными буквами латинского алфавита А, В, С, …, а элементы множества – строчными a, b, c ,... .

Запись  означает, что элемент а принадлежит множеству А. Запись  означает, что элемент  не принадлежит множеству А.

Пример. Рассмотрим множество , состоящее из пяти элементов. Например, число , а .

Множество называется заданным, если или перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству.

Пример.  означает: множество составляют только целые числа, которые больше 5, но меньше 11.

Конечное множество – множество, которое содержит конечное число элементов.

Пример. Множество студентов группы.

Бесконечное множество – множество, состоящее из бесконечного числа элементов.

Пример. Множество натуральных чисел.

      Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента, и обозначается .

Пример. Множество нечетных чисел во множестве .

Если каждый элемент множества  есть элемент множества , то говорят, что  есть подмножество множества  и обозначают .

Пример. , . Имеем  (подмножество М).

Равными называются два множества и, состоящие из одинаковых элементов: . Ни количество элементов, ни порядок их следования не имеет значения для равенства множеств.

Пример.  и .

, так как решением обоих уравнений является одно и то же число 6.

 Универсальным  множеством  U называется множество  всех  элементов, которые могут встретиться  в данном  исследовании.

Число элементов множества  называется мощностью  множества и обозначается . Например, мощность пустого множества равна 0, а мощность множества планет Солнечной системы равна 9.

Существуют 3 способа задания множества:

1) Перечислением его элементов. Так можно задать только конечные множества.

Пример. А=.

2) Описанием характеристических свойств, которыми обладают его элементы.

Пример. А =- множество натуральных чисел, делящихся на 2.

3) Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже имеющихся элементов либо других объектов. В этом случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры.

Пример. Задать с помощью порождающей процедуры множество всех натуральных чисел: 1, 2, 3, ….

Решение. В данном случае порождающая процедура содержит два правила: а)  б) если , то .

Круги Эйлера.

Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера ( диаграмм Венна). Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

 

 

 

Операции над множествами.

Таблица 2.1

Название

Операции

Обозначение

Изображение кругами Эйлера

Определение

Символическая запись

1. Пересечение множеств

Те и только те элементы, которые принадлежат одновременно А и В

2. Объединение множеств

Те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному  из множеств А и В

3. Разность множеств

Те и только те элементы множества А, которые не принадлежат В

4. Дополнение к множеству А

Те и только те элементы не принадлежат множеству А (т.е. дополняют его до универсального U)

5.Симметрическая разность

Те и только те элементы, которые принадлежат одному из множест: А либо В, но не являются общими элементами

6. Декартовое произведение

 

Множество упорядоченных пар, где первый элемент принадлежит множеству А, а другой – В.

Если   А, Вконечные множества, то

 

Применение кругов Эйлера при решении практических задач.

В математике встречаются арифметические, текстовые, сюжетные задачи. Эти задачи сформулированы на естественном языке (поэтому их называют текстовыми); в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому их часто называют арифметическими или сюжетными); они представляют собой задачи на разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда называют вычислительными).

Текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

 

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №2

1. Что собой представляет множество?

2. Что называется элементом множества?

3. Какие виды множеств вы знаете?

4. Перечислите способы задания множеств.

5. Что называется объединением множеств?

6. Что называется пересечением множеств?

7. Что называется разностью и симметрической разностью множеств?

8. Что понимают под дополнением к множеству А?

9. Какие математические задачи называются текстовыми?

10. Что из себя представляет диаграмма Эйлера-Венна?

 

Задания для практического занятия № 2

 

Задание 1. Найти множества .

Задание 2. Записать множество и перечислить его элементы.

Задание 3. Перечислить элементы множества А.

Задание 4. Доказать с помощью кругов Эйлера тождества.

Задание 5. Решить текстовые задачи, используя диаграммы Эйлера-Венна.

варианта

Задание 1

Задание 2

1

Множество всех положительных чисел, кратных 9, которые меньше 80

2

Множество всех целых положительных степеней числа 5 меньших 630

3

Множество всех положительных простых чисел, меньших 30

4

Множество натуральных чисел, меньших 7

варианта

Задание 3

Задание 4

1

а).

б)

2

а)

б)

3

а)

б)

4

а)

б)

варианта

 

Задание 5

1

А) В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

 

Б) Из 100 студентов 42 посещают спортивные секции, 30 – занимаются в учебных фирмах, а 28 – кружки художественной самодеятельности. На занятия в учебные фирмы и спорту успевают ходить 5 студентов. Спортом и художественной самодеятельностью занимаются 10, в учебных фирмах и художественной самодеятельностью – 8, а сразу все три увлечения имеют три студента. Сколько студентов не занимаются ни в каких секциях?

2

А) Студенты второго курса в количестве  78 человек, обучающиеся по специальности «Гостиничный сервис» в колледже, могут посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 35 из них предпочли посещать компьютерные курсы, 31 решили получить права для вождения автомобиля. Кроме того, 14 студентов посещают оба курса. Сколько студентов не посещают дополнительные занятия?

 

Б) На олимпиаде по математике студентам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 студентов. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600.  600 студентов  решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300  человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько студентов  не решило ни одной задачи?

3

А) На отделении «Управление бизнесом и сервисом» из 100 студентов, обучающихся по специальности «Гостиничный сервис», 66 человек знают английский язык, 54 знают французский язык и 33 человека знают оба языка.

Сколько будущих специалистов в области гостиничного сервиса не знают ни английского, ни французского языков?

 

Б) Студенты второго курса, обучающиеся по специальности «Гостиничный сервис», могут посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 25 из них предпочли изучать бухгалтерию, 27 выбрали психологию, а 12 решили заниматься на компьютерных курсах. Кроме того, 20 студентов посещают курс бухгалтерии и психологии, пятеро изучают бухгалтерию и компьютерные курсы, а трое – компьютерные курсы и психологию. Известно, что никто из студентов не отважился посещать сразу три дисциплины, а двое не изучают ни одной дополнительной дисциплины. Сколько студентов учатся на данной специальности?

4

А) Сколько студентов принимало участие в научно-практической конференции, если известно, что 7 из них выступали в секциях «Математика» и «Экономика», 11-только в секции «Математика» и 9 – только в секции «Экономика»?

 

Б) Группа грабителей посетила 18 квартир. Из них 12вынесли телевизор, из 10 – компьютер, из 6 – музыкальный центр, из 5 – только телевизор и компьютер, из 2 – компьютер и музыкальный центр, из 3 – телевизор и музыкальный центр, из 2 квартир не вынесли ничего. Из сколько квартир украли все три предмета?

 

Инструкция по выполнению практического занятия №2

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. При выполнении первого задания удобно начертить числовую прямую и отметить на ней точки, соблюдая включаемость точек во множество. Затем, применяя правила из таблицы 2.1, выполните заданные операции.

6. Перед выполнением второго задания прочтите способы задания множеств. Затем прочтите описание характеристических свойств, которыми обладают элементы заданного множества. По образцу сделайте краткую запись или перечислите элементы этого множества.

7. В третьем задании множество задано характеристическими свойствами в виде формул. Необходимо прочесть их и найти те числа, которые удовлетворяют заданным условиям. Перечислить их и записать.

8. Для доказательства тождества в четвертом задании воспользуйтесь таблицей 2.1. Представьте отдельно левую и правую части тождества с помощью кругов Эйлера и сравните рисунки. Если они одинаковые, тождество доказано. Если рисунки не совпадают, то данное тождество неверно.

9. В пятом задании используйте диаграмму Эйлера-Венна. Прочтите задачу и изобразите в виде прямоугольника универсальное множество – множество, включающее в себя все элементы задачи. Внутри прямоугольника изобразите в виде кругов подмножества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Определите объем каждой части диаграммы, приняв за х искомую величину. Составьте уравнение и решите его.

 

Порядок выполнения отчета по практическому занятию №2

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: «Решение задач на применение множеств и кругов Эйлера».

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 2).

 

Образец отчета по практическому занятию №2

Задание 1. Найти множества: ,

если

Решение:

Отметим точки на числовой прямой, соблюдая включаемость точек во множество.

Применяя определения, получаем:

Т.к. , то (выбираем те точки, которые не входят в объединение множеств А и В);

 (те точки, которые принадлежат обоим отрезкам);

(те точки, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству С);

Т.к. , тогда  (точки множества исключают все точки множества А);

(точки, которые принадлежат множеству С, но не принадлежат множеству В).

 

Задание 2. Записать множество всех положительных чётных чисел, кратных 3, которые меньше 30 и перечислить его элементы.

Решение:

Четные числа можно записать в виде . Эти числа будут положительными, если .Значит, множество запишется в виде:

Элементами являются числа: 6, 12, 18, 24.

Ответ:

.

Задание 3. Перечислить элементы множества .

Решение:

Необходимо найти такие целые числа, на  которые 30 делится нацело  из  промежутка

Это числа: 2, 3, 5, 6, 10, 15.

Ответ: .

Задание 4. Доказать с помощью кругов Эйлера тождество .

Решение: Для доказательства тождества с помощью кругов Эйлера, представьте отдельно левую и правую часть тождества. Сравнение рисунков даёт возможность сделать вывод о справедливости тождества.

                                                                 

                                

Ответ: Области более темного цвета совпадают, тождество доказано.

Задание 5. В  группе  30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом,     23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение:

Р2

Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера.

Пусть человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом человек,  только автобусом и троллейбусом человек, только метро и автобусом человек.

Найдем, сколько человек пользовались только метро: .

Аналогично получаем: человек пользовались только автобусом,. – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: 
.
Отсюда .

Ответ: 3 человека ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта.

 

Раздел «Основы дискретной математики»

 

Практическое занятие №3

«Построение и применение графов при решении задач»

Учебная цель: формировать умение строить графы и использовать графы при решении текстовых задач.

 

Учебные задачи:

1. Научиться строить графы по таблице смежности.

2. Научиться составлять таблицу смежности по изображению графа.

3. Научиться определять степени вершин графа.

4. Научиться решать текстовые задачи, используя теорию графа.

5. Научиться выбирать маршрут в заданном графе.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

-        использовать математические методы при решении прикладных (профессиональных) задач;

-        пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками, схемами при решении задач.

знать:

-        основные понятия графов.

 

Задачи практического занятия №1

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на построение графа, составление таблицы смежности, определение степени вершин графа, составления маршрута в графе.

4. Оформить отчет.

 

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

-М.С.Спирин. Дискретная математика для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2006.

-М.: «Академия», 2007,  Г.А. Гончарова, А.А. Мочалин. Элементы дискретной математики. – М.: ФОРУМ – ИНФРА, 2004.

-С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Существует большое количество практических задач, рассмотрение которых сводится к изучению совокупности объектов, существенные свойства которых описываются связями между ними. Например, на карте авиалиний интерес представляет лишь то, между какими городами имеется связь. При изучении электрических цепей на первый план выступает характер соединений различных ее элементов. Интерес могут представить различные экономические связи, связи и отношения между людьми, событиями, состояниями, и вообще, между любыми объектами.

В подобных случаях удобно изображать рассматриваемые объекты точками, называя их вершинами, а связи между ними – линиями (произвольной конфигурации), называя их ребрами. Множество вершин V, связи между которыми определены множеством ребер Е, называется графом и обозначается .

Другими словами, графом называется пара двух конечных множеств: множества точек и множества линий, соединяющих некоторые пары точек.

Если ребро графа соединяет две его вершины, то говорят, что это ребро им инцидентно.

Две вершины графа называются смежными, если существует инцидентное им ребро.

Если граф имеет ребро, у которого начало и конец совпадают, то это ребро называется петлей.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину.

Два ребра графа называются кратными или параллельными, если они инцидентны одним и тем же вершинам, т.е. если они соединяют одну и ту же пару вершин.

Заметим, что отношение инцидентности связывает разнородные элементы графа (вершины и ребра), а отношение смежности – однородные элементы (либо вершины, либо ребра).

 

Степенью вершины графа называется количество инцидентных ей ребер (для петли степень подсчитывается дважды, так как оба конца приходят в эту вершину) и обозначается deg() (от англ. degree-степень).

Вершина графа, имеющая степень, равную 0, называется изолированной. Граф, состоящий из изолированных вершин, называется нуль - графом.

Вершина графа, имеющая степень, равную 1, называется висячей.

Вершина графа, степень которой больше или равна 2, называется промежуточной или проходной.

Вершины графа называются четными или нечетными в зависимости от четности их степеней.

Теорема  В любом конечном графе  количество нечетных вершин – четно.

Следствие. Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.

Граф называется полным, если любые две его различные вершины соединены одним и только одним ребром (каждая вершина соединена ребром с любой другой вершиной). В полном графе каждая его вершина принадлежит одному и тому же числу ребер. Для задания полного графа достаточно знать число его вершин. Пусть число вершин полного графа n. Тогда степень любой вершины равна                                                                 (1.2),

а число ребер равно числу сочетаний из n по 2, т.е. .                         (1.3).

Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами.

Если степени всех вершин графа равны, то граф называется однородным. Таким образом, любой полный граф — однородный.

В ряде задач связь между парами объектов должна носить направленный характер. Например, при представлении схемы уличного движения графом, ребра которого соответствуют улицам, для указания допустимого направления движения ребрам необходимо присваивать ориентацию. Ребро графа называется ориентированным, если одну вершину считают началом ребра, а другую – концом.

Граф, все ребра которого ориентированы, называется ориентированным графом или орграфом. Одна и та же вершина ориентированного графа может служить началом для одних ребер и концом для других. Соответственно различают две степени вершин ориентированного графа.

Степенью выхода вершины орграфа называется число выходящих из нее ребер (обозначение ). Степенью входа вершины орграфа называется число входящих в нее ребер (обозначение ).

Рис. 3.3

 Маршрут в графе. Связные графы.

Пусть задан некоторый граф G. Каждое ребро этого графа можно интерпретировать как связывающее звено между двумя смежными вершинами. Если зафиксировать некоторую вершину графа и последовательно переходить по связывающим ребрам из вершины в вершину, то по прошествию конечного числа таких переходов можно перейти в другую вершину или вернуться в исходную.

 

Рис. 3.4

На рисунке 3.2 с помощью графа изображена схема дорог между населенными пунктами.
Например, из пункта A (вершина графа) в пункт H можно добраться различными способами: ADGH, AEH, AEFCEH, ABCEH.

Последовательность попарно инцидентных вершин неориентированного графа, т.е. последовательность ребер неориентированного графа, в которой вторая вершина предыдущего ребра совпадает с первой вершиной следующего, называется маршрутом.

Число ребер маршрута называется длиной маршрута. Например, на рисунке ADGH – маршрут длиной 3. Обозначение: , а . Вершины А и H называются соответственно начальной и конечной вершиной маршрута. Остальные вершины называются промежуточными вершинами данного маршрута. Любое ребро или петля является маршрутом длины 1.

Расстоянием между двумя вершинами называется минимальная длина из всех возможных маршрутов между этими вершинами при условии, что существует хотя бы один такой маршрут.

Например, на рисунке длина между вершинами А и H равна 2. Обозначение: .

Маршрут называется замкнутым или циклом, если его начальная и конечная вершины совпадают. В противном случае маршрут называется незамкнутым.

В маршруте одно и то же ребро может встретиться несколько раз. Если ребро встретилось только один раз, то маршрут называется цепью. Например, на рисунке маршрут ABCEH – цепь длиной 4, а маршрут ВAEFCВА не является цепью, маршрут  является циклом.

Простым циклом называется маршрут, в котором начальная и конечная вершины совпадают, а все остальные вершины различны. Например,  - простой цикл длиной 5.

Граф называется связным, если для любой пары различных вершин этого графа существует цепь, соединяющая эти вершины, то есть если между любыми двумя его вершинами есть маршрут.

Две вершины графа называются связными, если в графе существует маршрут с концами в этих вершинах. Если такого пути не существует, вершины называются несвязными.

Пример.

Рис. 3.5

На рисунке любая пара вершин, взятая из набора А,Б,В,Г,Д ,будет связной, т.к. от любой из них к любой можно "пройти" по ребрам графа. Пары вершин, одна из которых взята из набора А,Б,В,Г,Д, а другая из набора Е,Ж,З, не будут связными, т.к. от одной к другой "пройти" по ребрам не удается.

 Таким образом, граф называется связным, если любая пара его вершин — связная.
Граф называется несвязным, если в нем есть хотя бы одна несвязная пара вершин.
На рисунке, очевидно, изображен несвязный граф. Если, например, на рисунке между вершинами Д и Е провести ребро, то граф станет связным.
Такое ребро в теории графов (после удаления которого граф из связного превращается в несвязный) называется мостом.

Примерами мостов на рисунке могли бы служить ребра ДЕ, A3, ВЖ, каждое из которых соединяло бы вершины «изолированных» частей графа.

Способы задания графа.

Существуют различные способы задания графа: геометрический (рисунки, схемы, диаграммы), простое перечисление вершин и ребер и табличный. На практике удобно работать с графом-рисунком, т.к.  можно легко установить связь между вершинами в наглядном виде с помощью ребер, изображаемых непрерывными линиями.

Иногда граф задается таблицами, состоящими из n строк (вершины) и  m столбцов (ребра). Такая таблица называется матрицей инцидентности. Назовем матрицей смежности графа  квадратную таблицу, состоящую из n строк и n столбцов, в которой:

, если ;

, если .

Матрица смежности неориентированного графа является симметричной. Хотя формально каждая вершина всегда смежна сама с собой, в матрице смежности мы будем ставить , если у нее нет петли, и , если есть одна петля.

Главным во всех способах задания графа является указания соответствия между множеством n вершин V и m ребер Е.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №3

1. Дайте определение графа.

2. Что называется степенью вершины графа?

3. Как изображается граф?

4. Дайте определение маршрута.

5. Как определить длину маршрута?

6. Дайте определение расстоянию между двумя вершинами.

7. Какой маршрут называется цепью?

8. Дайте определение таблицы смежности.

Задания для практического занятия № 3

Задание 1. Пусть граф задан матрицей смежности (рис 3.6). Постройте изображение этого графа. Укажите степени вершин этого графа.

Задание 2. Граф G задан диаграммой (рис 3.7).

1)      Составьте для него матрицу смежности.

2)      Укажите степени вершин графа.

3)      Составьте два различных маршрута длины 5., цепь соединяющие вершину V2 и V5.

4)      Определите вид графа.

Задание 3. Решите задачу «о переправах», изобразите решение графом.

Задание 4. Решите задачу, используя графы (рис 3.8).

 

 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Задание 1

(рис. 3.6)

а)

б)

в)

г)

Задание 2

(рис. 3.7)

а), г)

б), д)

в), е)

а), д)

Задание 3

 

 

Вариант 1

  Три генерала - Строгий, Лихой и Грозный – со своими адъютантами переправлялись через реку с помощью двухместной лодки. Адъютант может либо перевозить своего генерала, либо переправляться с другим адъютантом. Однако ни один  из генералов не разрешил своему адъютанту ни оставаться с другим генералом вдвоем на берегу, ни переправляться с ним через реку. Как они переправились через реку?

 

Вариант 2

  Трое мужчин и три женщины должны переправиться через реку. У них была одна лодка, которая вмещала только двух человек. Грести умели все мужчины и только одна женщина. Кроме того, женщины требовали, чтобы ни на одном берегу не оставалось больше женщин, чем мужчин. Как им переправиться через реку?

 

Вариант 3

  Муж, жена и двое детей должны переправиться на противоположный берег реки при помощи лодки. Муж и жена весят по 100 кг, а дети – по 50 кг. Как им быть, если лодка вмещает до 100 кг и каждый из них умеет грести?

Вариант 4

  Человеку необходимо было переправить через реку с помощью лодки волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то она съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ел. Человек все-таки перевез через реку и волка, и козу, и капусту. Как он это сделал?

Задание 4

Вариант 1

  Винни-Пух вышел на прогулку, взяв с собой карту (рис.3.3, а). Числа на рисунке обозначают время движения в минутах от пункта до пункта. Помогите Винни-Пуху найти кратчайший путь от своего дома в пункте А до дома Пятачка в пункте К. Перечислите пункты, через которые должен пройти Винни-Пух, и подсчитайте время, которое он затратит на весь путь. Является ли данный маршрут цепью?

Вариант 2

  Атос поскакал в гости к Портосу, взяв с собой карту (рис. 3.3, б). Числа на рисунке обозначают время движения в часах от пункта до пункта. Помогите Атосу найти кратчайший путь от своего поместья в пункте Е до поместья Портоса в пункте Д. Перечислите пункты, через которые должен проехать Атос, и подсчитайте время, которое он затратит на весь путь. Является ли данный маршрут цепью?

Вариант 3

  Рыцарь, находясь в пункте А, узнал, что Прекрасной Даме, в пункте О, ровно через сутки может грозить опасность. Взяв с собой карту (рис.3.3, в), он немедленно выехал на помощь. Числа на рисунке обозначают время движения в часах от пункта до пункта. Успеет ли Рыцарь спасти Прекрасную Даму? Ответ обоснуйте, указав кратчайший путь. Является ли данный маршрут цепью?

Вариант 4

  Рыцарь, находясь в пункте А, узнал, что Прекрасной Даме, в пункте К, через 14 часов может грозить опасность. Взяв с собой карту (рис.3.3, г), он немедленно выехал на помощь. Числа на рисунке обозначают время движения в часах от пункта до пункта. Успеет ли Рыцарь спасти Прекрасную Даму? Обоснуйте ответ, указав кратчайший путь. Является ли данный маршрут цепью?

Рис.3.6                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.3.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.8

 

 

 

 

 

Инструкция по выполнению практического занятия №3

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. Перед выполнением первого задания изучите матрицу смежности. Определите количество вершин  в графе и изобразите их на схеме. По таблице смежности соедините соответствующие  вершины ребрами. Не забывайте, что если  , то вершина Vk  соединена петлей. Подсчитайте степень каждой вершины графа, учитывая, что для петли степень подсчитывается дважды, так как оба конца приходят в эту вершину.

6. В шестом задании граф задан диаграммой. Начертите для него таблицу смежности – квадратная таблица, число строк и столбцов которой равна количеству вершин в данном графе. Если  вершины графа смежные, т.е. существует инцидентное им ребро, то в клетке таблицы, соединяющие эти вершины, ставим 1. Если вершины графа не соединены ребром, то ставим 0 или оставляем клетку пустой. По диаграмме найдите цепь, соединяющие две указанные вершины. Запишите выбранный маршрут. Затем определите, является ли данный граф полным и связным. Ответ обоснуйте.

7. При решении задачи в задании №3 сначала запишите  сколько рейсов туда и обратно совершила лодка (за рейс следует считать движение лодки в одном направлении)Затем постройте граф: за вершины примите участников задачи, стрелками изобразите их передвижение.

 

 

 

 

Порядок выполнения отчета по практическому занятию №3

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: «Построение и применение графов при решении задач».

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 3).

Образец отчета по практическому занятию №3

Задание 1. Пусть граф задан матрицей смежности. Постройте изображение этого графа. Укажите степени вершин этого графа.

 

 

 

1

1

1

1

1

 

1

1

 

1

1

 

 

 

1

1

 

 

1

1

 

 

1

 

Решение:

Рис. 3.9

                 

Степени вершин графа: ; ; ; ; .

Задание 2. Граф G задан диаграммой

Рис. 3.10

 

 

 

 

 

 

                      

 

 

 

 

 

 

 

1) Составьте для него матрицу (таблицу) смежности.

2) Укажите степени вершин графа.

3).Составьте маршрут длины 5., цепь соединяющие вершину V и V5.

4) Определите вид графа.

Решение:

1)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

1

 

1

 

1

1

 

1

 

1

1

 

 

 

1

 

 

1

 

1

1

 

1

 

1

1

 

2) Степени вершин графа: ; ; ; ; ; .

3) Цепь длиной 5:;            .

4) Заданный граф связный, т.к. существует маршрут, соединяющий любые две его вершины.

Заданный граф неполный, т.к. в нем не построены все возможные ребра.

 

Задание 3. Трем неутолимым путешественникам - Андрею, Михаилу и Олегу – надо было переправиться на лодке, выдерживающей массу не более 100 кг, с одного берега на противоположный. Андрей знал результат своего недавнего взвешивания – 54 кг и своего друга Олега – 46 кг. Зато Михаил весил около 70 кг. Как им надо было действовать наиболее рациональным образом, чтобы переправиться через реку?

Решение.

Ø  Вначале переправились Андрей и Олег.

Ø  Андрей вернулся на берег к Михаилу.

Ø  Михаил один переправился на противоположный берег к Олегу.

Ø  Михаил остался, а Олег возвратился на исходный берег.

Ø  Олег и Андрей переправились к Михаилу на противоположный берег.

Рис. 3.11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел  «Элементы теории вероятностей»

 

Практическое занятие №4

«Решение вероятностных задач»

 

Учебная цель: формировать умение вычислять вероятности наступления событии, используя классическое определение вероятностей,  формулу полной вероятности и формулу Байеса, вычислять вероятности наступления события, используя формулу Бернулли, вычислять вероятности редких явлений по формуле Пуассона.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

-     использовать математические методы при решении прикладных задач;

-   пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками, схемами при решении задач.

знать:

-   основные понятия комбинаторики;

-   основы теории вероятностей и математической статистики.

 

Задачи практического занятия:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на вычисление вероятностей наступления событий, используя классическое определение вероятностей, формулу полной вероятности и формулу Байеса, формулу Бернулли, вычислять вероятности редких явлений по формуле Пуассона.

4. Оформить отчет.

 

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике.

2. Справочная литература:

а) М.С. Спирина, П.А. Спирин. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

б) С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

3. Рабочие тетради: тетради для практических работ.

4. Калькуляторы: простые, по количеству студентов.

5. Ручки: по количеству студентов.

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

 

       В теории вероятностей приходится постоянно сталкиваться с задачами, в которых требуется расположить в соответствии с заданными правилами элементы некоторого конечного множества и подсчитать число всех возможных способов такого расположения.

      Пусть -множество из элементов. Любая совокупность элементов из множества называется выборкой из  элементов по  .

      Различают три основных вида выборок.

1. Упорядоченная -выборка из элементов множества, все элементы которой различны, называется размещением из  элементов по . Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                     (4.1).

2. Неупорядоченная -выборка из элементов множества, все элементы которой различны, называется сочетанием из  элементов по . Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                (4.2).

3. Упорядоченная последовательность, содержащая все  элементов совокупности, называется перестановкой из n элементов. Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                                                (4.3).

Под событием принято понимать всякий факт, который может произойти в данных условиях.

Случайным называется событие, которое может произойти, а может не произойти при заданном комплексе условий.

Достоверным называется событие, если оно обязательно произойдет в данном испытании в результате выполнения комплекса условий.

Невозможным называется событие, если оно никогда не произойдет в данных испытаниях в результате выполнения совокупности условий.

Несовместными называются события, если наступление одного из них в том же испытании исключает наступление другого.

Несколько событий в данном испытании образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игрального кубика составляют полную группу.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условию симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. Пример равновозможного события: выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты.

Рассмотрим полную группу событий . Эти события попарно несовместны, элементарны, равновозможны. Те события , в результате наступления которых наступает и событие А будем называть благоприятствующих событию А.

I. Классическое определение вероятности.

Классической вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А к числу возможных исходов в данном испытании, образующих полную группу попарно несовместных, равновозможных, элементарных событий.

Таким образом, вероятность события  А определяется  формулой

                                                                                                    (4.4).

Где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства теории вероятностей:

а). Вероятность достоверного события равна единице.

б). Вероятность невозможного события равна нулю.

в). Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулем и единицей, т.е.  0<<1.

Классическое определение вероятности применяется только в следующих случаях:

  • число элементарных событий конечно;
  • результаты всех испытаний равновозможны;
  • все равновозможные события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Теоремы теории вероятностей.

Т.-1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (ключевое слово «или»):           (4.5.)

Т.-2. Сумма вероятностей полной группы событий равна единице.

Т.-3. Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле:                                       (4.6.)

Т.-4. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей (ключевое слово «и»): .                  (4.7.)

Т.-5. Вероятность совместного появления (или произведения) двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло, т.е.  или .         (4.8.)

II. Формула полной вероятности.

Пусть события  образуют полную группу попарно несовместимых событий, и пусть событие  может произойти с каждым из событий , где .

Вероятность события , вычисленное в предположении, что  может произойти с каждым , где , называется полной вероятностью события .

Событие  можем представить в виде суммы: . Вычислим вероятность события :

Итак, вероятность события , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместимых событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события  :

,                       (4.9)

где  .

Равенство (4.9) называют формулой полной вероятности.

III. Формула Байеса

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А может произойти с каждой из гипотез , которое образует полную группу попарно несовместимых событий, при этом вероятности гипотез были известны заранее. Пусть проведён опыт, в котором наступило событие . Выясним, как при этом условии изменяется вероятность гипотез. То есть найдём .

Рассмотрим . По теореме о вероятности . Выразим

  - формула Байеса                                              (4.10).

Она позволяет пересмотреть вероятности гипотез, потому что как стало известно, что событие  произошло.

IV. Формула Бернулли.

Опыты(испытания) называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Предположим, что в одних и тех же условиях производится независимых опытов, в каждом из которых возможны только два исхода: а) событие А произошло; б) событие А не произошло. Кроме того, будем считать, что вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же и равна

А значит, вероятность не наступления события А равна . Такая схема теории вероятностей называется схемой Бернулли.

Примерами испытаний по схеме Бернулли могут служить многократные подбрасывания монеты, извлечения из урны шаров черного или белого цвета, стрельба по мишени из одного и того же оружия и т.д.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

             или                      (4.11)

где .

Формулы (4.10), (4.11) используются, если выполняются все условия схемы Бернулли: проводиться серия из  испытаний; в каждом испытании выделяются два исхода: событие  и событие ; вероятность события : , вероятность события :   .

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, - находят соответственно по формулам:

                                                           (4.12).

V. Определение вероятностей редких явлений по формуле Пуассона.

  Если в каждом отдельном независимом испытании вероятность одного из событий близка к нулю, то события называют редкими. Редкими можно считать события: появление ошибки на некоторой странице в книге, телефонный звонок в квартиру за сутки, количество осадков, выпавших за июнь в городе N.

  Для определения вероятности таких явлений применяется асимптотическая формула Пуассона, названная по имени французского математика С.Пуассона.

  Теорема. Если вероятность р события А в каждом повторном испытании связана с числом независимых испытаний n, которое достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет m раз, приближенно находится по формуле

,                                        (4.13),

 где .

  Закон Пуассона применяется для определения вероятности появления m событий, происходящих независимо друг от друга с постоянной вероятностью (средней интенсивностью), причем число испытаний n достаточно велико (), а вероятность появления события в каждом испытании р мала ().

  Приближенные значения вероятности по формуле Пуассона приведены в таблице 4.1.

 

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №4

1. Какие виды событий Вы знаете? Дайте определение каждого вида.

2. Дайте определение классической вероятности.

3. Какими свойствами обладает вероятность?

4. Перечислите основные теоремы теории вероятностей.

5. Дайте определение полной вероятности наступления события А. По какой формуле она вычисляется?

6. По какой формуле вычисляется вероятность гипотезы?

7. Как найти вероятность независимых повторных испытаний?

8. В каком случае применяется закон Пуассона?

 

Задания для практического занятия №4

 

Вариант №1

Задание 1. В профессиональном конкурсе участвовали 4 менеджера из гостиницы А  и 5 менеджеров гостиницы В. По результатам конкурса были выбраны два призера. Найти вероятность того, что они оба являются представителями одной гостиницы.

Задание 2. Для обустройства гостиничных номеров поступают шкафы-купе с двух мебельных фабрик В(1) и В(2). Причем, с фабрики В(1) -60%, а с фабрики (2)-40% всей продукции. Из каждых 100 поступивших шкафов стандартными оказались 85 с первой фабрики и 78 - со второй. Найти вероятность того, что взятый наудачу шкаф окажется стандартным (событие А), т.е. требуется найти безусловную вероятность события А.

Задание 3. Прибор состоит из двух узлов. Работа каждого из узлов необходима для работы прибора в целом. Надежность(вероятность безотказной работы в течение определенного времени) первого узла равна 0,9, второго – 0,8. Прибор испытывался в течение определенного времени, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя. Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

Задание 4. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,1. Куплено 4 билета. Найти вероятность того, что выиграет только один билет.

Задание 5. Задачник издан тиражом 20000 экземпляров. Вероятность того, что он сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что

а) тираж содержит три бракованные книги;

б) тираж содержит не более двух бракованных книги.

 

 

Вариант №2

Задание 1.В коробке «Ассорти» -20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова вероятность того, что обе конфеты окажутся с фруктовой начинкой?

Задание 2. Имеются три одинаковые с виду урны. В первой – 6 белых шаров и 4 черных, во второй- 8 белых и 7 черных шаров, в третьей – только белые шары. Некто подходит наугад к  одной из урн и вынимает из нее один шар. Найдите вероятность того, что шар белый.

Задание 3. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил40 деталей, второй – 35, третий- 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие сделал второй рабочий.

Задание 4. Для данного баскетболиста вероятность попадания мяча в кольцо равна 0,6. Баскетболист выполнил серию из четырех бросков. Какова вероятность того, что при этом было ровно три попадания

Задание 5. В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что

а) среди 200 студентов найдется ровно 4 левши?

б) среди 200 студентов найдется не более двух, являющихся левшой?

 

Вариант №3

Задание 1. Шахматную секцию посещают семь студентов первого курса, пять студентов второго курса и шесть студентов третьего курса. Какова вероятность того, что в финальной игре на первенство колледжа по шахматам противники будут однокурсники?

Задание 2. Гостиница «Россия» имеет три источника поставки клиентов – туристических фирм А, В и С. На долю фирмы А приходится 50% общего количества присланных клиентов, В -30%, С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А клиентов уже проживали ранее в этой гостинице, фирмой В – 5% и С – 6%.

Найти вероятность того, что наудачу выбранный гость останавливается в этой гостинице не в первый раз.

Задание 3. В турслете участвуют 70% первокурсников и 30% второкурсников. Среди студентов 1 курса 60% юношей, а среди студентов 2 курса 40% юношей. Все юноши по очереди дежурят у костра, сменяясь каждый день. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день у костра дежурит студент первого курса.

Задание 4. В офисе пять компьютеров. Вероятность того, что каждый из них в течение года не потребует ремонта, равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение года придется ремонтировать только два компьютера.

Задание 5. С базы в гостиничный комплекс отправлено 4000 тщательно упакованных зеркал. Вероятность того, что зеркало разобьется в пути, равна 0, 0005. Найти вероятность того, что:

а) из 4000 изделий в комплекс прибудут 3 разбитых;

б) не более двух разбитых.

Вариант №4

Задание 1. В вазе 10 белых и 8 алых роз. Наудачу берут два цветка. Какова вероятность того, что они разного цвета?

Задание 2. Из 100 студентов, отправленных на профессиональный конкурс, 27 выбраны из группы №1, 27 – из группы №2, остальные из группы №3. В первой группе 4% отличников, во второй – 3%, в третьей – 6%. Найти вероятность того, что студент, занявший первое место в конкурсе, отличник.

Задание 3. В городе три колледжа, выпускающих специалистов для работы в гостиничном бизнесе. В первом колледже выпускники этого профиля составляют 25% , во втором -35%, в третьем – 40% количества всех выпускников. По специальности не идут работать 5%, 4% и 2% выпускников специальности «Гостиничный сервис» каждого учебного заведения соответственно. Какова вероятность, что случайно выбранный выпускник данного года не пошел работать по специальности и является студентом первого колледжа?

Задание 4. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. В гостиницу для обустройства номеров поступило 20 новых телевизоров. Какова вероятность того, что в этой партии  имеется три телевизора со скрытыми дефектами.

Задание 5. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию равна 0,01. Найдите вероятность того, что

а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию;

б) в течение часа не более 2 абонентов позвонят на станцию.

 

Инструкция по выполнению практического занятия №4

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. При выполнении первого задания воспользуйтесь классическим определением вероятности и формулой (4.4). Для этого необходимо вычислить число благоприятствующих исходов данного события и число всех возможных исходов, используя одну из формул комбинаторики (4.1, 4.2, 4.3).

6. Во втором задании используйте формулу вычисления полной вероятности (4.9). Для этого сначала обозначьте буквами событие, вероятность которого нужно вычислить и возможные гипотезы по отношению к этому событию. Затем вычислите вероятность каждой гипотезы и условные вероятности события при условии, что каждая из гипотез произошла. Полученные результаты внесите в формулу полной вероятности и сделайте расчет.

7. В третьем задании необходимо вычислить вероятность гипотезы при условии, что данное событие уже произошло. Для этого воспользуйтесь формулой Байеса (4.10). Данное задание выполняйте по схеме предыдущей задачи.

8. В четвертой задаче выполняются все условия схемы Бернулли, следовательно можно применить формулу 4.11. Обозначьте через -количество независимых опытов, -количество наступления события А с двумя исходами в данном испытании, - вероятность наступления события А, - вероятность не наступления события , .

9. Для решения пятой задачи можно применить формулу Пуассона (4.13), т.к. выполняется схема Бернулли, причем число испытаний n достаточно велико (), а вероятность появления события в каждом испытании мала (). При выполнении задания под буквой б) примените подходящую для вашего примера формулу 4.12.

 

Порядок выполнения отчета по практическому занятию №4

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: «Решение вероятностных задач».

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 4).

 

Образец отчета по практическому занятию №4

 

Задание 1. В группе ГС-229 30 учащихся: 5 мальчиков и 25 девочек. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность того, что это мальчики?

Решение. Испытание – вызывают двух учащихся из 30. Событие А – вызвали двух мальчиков из 5. Нам нужно выбрать двух учащихся из 30. Тогда число всех элементарных исходов испытания равно (порядок не важен): , а количество благоприятных исходов равно . Тогда    .

Ответ: .

 

Задание 2. Была проведена одна и та же контрольная работа в трёх параллельных группах. В первой, где 30 учащихся, оказалось 8 работ, написанных на «отлично». Во второй – 28 учащихся, из которых 6 работ выполнены на «отлично». В третьей – 27 учащихся, из которых 9 работ выполнены на «отлично». Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при повторной проверке работа из работ, принадлежащих наудачу выбранной группе, окажется выполненной на «отлично».

Решение. Испытание – выбирают группу из трёх и выбирают одну контрольную работу. Обозначим через  событие – работа выполнена на «отлично». Возможны следующие предположения (гипотезы): работа из первой группы, работа из второй группы, работа из третьей группы. Вероятность каждого из предположений равна , т.е.   и .

Следовательно,  образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Искомую вероятность того, что работа выполнена на «отлично», находим по формуле полной вероятности:

Ответ: .

 

Задание 3. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата  вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через  событие – деталь отличного качества. Можно сделать  два предположения (гипотеза): деталь  произведена  первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит  вдвое больше деталей, чем второй) ; деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена  первым автоматом, .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена  вторым  автоматом, .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна

.

Ответ: .

 

Задание 4. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,1. Сделано 5 выстрелов. Найти вероятность только одного промаха.

Решение. Случайная величина Х-количество промахов при выстрелах. Вероятность ровно  промахов вычисляется по формуле Бернулли  где - вероятность промаха при одном выстреле, - вероятность попадания при одном выстреле.

 В нашем случае ; .

 Вероятность только одного промаха

Ответ: 0,328.

 

Задание 5. Некоторое устройство выходит из строя, если откажет определённая микросхема. Вероятность его отказа в течение часа работы равна 0,004. Какова вероятность того, что

а) за 1000 часов работы придётся 5 раз менять микросхему;

б) за тысячу часов работы придется не более двух раз поменять микросхему.

Решение.

а) Очевидно, что схема Бернулли выполняется. Событие – микросхема отказала – произошло 5 раз в 1000 испытаниях. Вероятность p – очень мала, 0,004; число испытаний велико. Значит можно использовать формулу Пуассона:

Ответ: 0,1563.

б)

Ответ: 0,24.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4.1

 

 

 

 

Раздел  «Элементы математической статистики»

 

Практическое занятие № 5

«Решение статистических задач и обработка информации»

 

Учебная цель: формировать умение обрабатывать результаты наблюдений.

 

Учебные задачи:

1. Научиться строить статистическое распределение выборки.

2. Научиться составлять эмпирическую функцию распределения и строить ее график.

3. Научиться строить графики вариационных рядов: полигон частот и гистограмму частот.

4. Научиться вычислять числовые характеристики вариационного ряда..

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО третьего поколения

 

Студент должен

уметь:

-        пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками, схемами при решении задач;

-        проводить элементарную статистическую обработку информации и результатов исследований.

 

знать:

-               основы теории вероятностей и математической статистики.

 

Задачи практического занятия № 5

 

1.Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2.Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3.Решить задачи на построение статистического распределения выборки, составления эмпирической функции распределения, построения ее графика, полигона частот и гистограммы частот.

4. Вычислить числовые характеристики дискретной случайной величины.

5.Оформить отчет.

 

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике.

2. Справочная литература:

а) М.С. Спирина, П.А. Спирин. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

б) С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

3. Рабочие тетради: тетради для практических работ.

4. Калькуляторы: простые, по количеству студентов.

5. Ручки: по количеству студентов.

 

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

 

Генеральной совокупностью называется весь набор однородных объектов, изучаемых относительно некоторого качественного или количественного признака. Число всех изучаемых объектов N называется объемом генеральной совокупности.

   Выборка –это та часть генеральной совокупности, элементы которой подвергаются статистическому обследованию. Число  вошедших в выборку элементов называется объемом выборки.

Значение случайной величины , содержащие в выборке, называются вариантой.

Система вариант , расположенных в порядке возрастания, называются вариационным рядом.

   Абсолютной частотой (частостью) варианты  называется число членов совокупности, имеющей значение .

 Отношение частоты к объему выборки  называют относительными частотами.

   Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им абсолютных или относительных частот.

 

                           Таблица 5.1

 

 

 

   Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки .

Для построения полигона на оси абсцисс откладывают варианты xi, здесь они равны серединам интервалов, т.е. , а на оси ординат - соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

                         Рис. 5.1

Если объем выборки из генеральной совокупности случайной величины велик, то прибегают к предварительной группировке данных: размах выборки разбивают на частичных интервалов. Для подсчёта числа интервалов  применяют эмпирическую формулу Стерджесса:  (округление до ближайшего целого).

Объём выборки: , где  - число значений случайной величины, попавших в каждый разряд. Значения случайных величин, когда одна и та же величина встречается дважды (как верхняя граница одного интервала и нижняя граница другого интервала), то эта величина относится к той группе, где эта величина выступает в роли верхней границы.

Разность                                                                                         

между наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.

Величину каждого интервала (разряда)  можно вычислить по формуле                                                                       

Границы интервалов , ; .

Середина i-го разряда .                                                           

 Исходная выборка заменяется выборкой объёма r.

   Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению .

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

Площадь -го прямоугольника равна сумме частот вариант -го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

 

 Рис. 5.2

Интервальным вариационным рядом, а также гистограммой пользуются и при изучении дискретных случайных величин, когда в дискретном вариационном ряде большое количество вариант, из-за чего он обозрим.

Эмпирическая функция распределения, определяющая для каждого значения х относительную частоту  события , вычисляется по формуле, т.е.     (5.1)   

*

 

Числовые характеристики вариационного ряда.

  Одна из задач математической статистики – оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки различны, то ; если же все значения имеют частоты , то .                                                 (5.2)

Замечание: Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за  принимают середины частичных интервалов.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Если все значения признака выборки различны, то;                       (5.3)

 если же все значения имеют частоты , то.             (5..4)

Для характеристики рассеивания значений признака выборки вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратичным отклонением.

Выборочным среднеквадратичным отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии: .                                                                                   (5.5)

Вычисление дисперсии – выборочной или генеральной, можно упростить, используя формулу: . Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за  принимают середины частичных интервалов.

 

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию № 10

 

1. Дайте определение генеральной совокупности.

2. Что называется выборкой, вариантой?

3. Дайте определение вариационному ряду.

4. Что называется абсолютной и относительной частотами варианты?

5. Дайте определение статистическому распределению выборки.

6. Что называется полигоном частот и гистограммой частот?

7. Дайте определение эмпирической функции распределения?

8. Какие числовые характеристики вариационного ряда используют в статистической обработке результатов исследования?

 

Задания для практического занятия № 5

 

Задание 1. Найти статистическое распределение выборки.

Задание 2.. Построить полигон частот статистической выборки.

Задание 3.. Построить гистограмму частот статистической выборки.

Задание 4. Составить эмпирическую функцию распределения статистической выборки.

Задание 5. Вычислить следующие числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение.

 

Вариант № 1

   Показатель относительной важности гостиничной продукции может быть получен путем сравнения структуры доходов гостиниц в различных регионах и странах. Например, статистика по структуре доходов в выбранных тридцати регионах Европы показывает долю (в %) дохода от сдачи номеров (доходы от номеров для гостей обеспечивается оплатой номеров и завтраков с учетом местных налогов):

50, 51, 60, 49, 65, 59, 51, 53, 64, 50,  36, 47, 56, 49, 48, 51, 44, 39, 48, 45, 35, 63,43, 58, 59, 54, 60, 47, 48, 48.

 

 

Вариант № 2

   Исходя из прогноза прибытия иностранных граждан в Москву к 2016 году,  потребность в гостиничной базе должна составить 283,2 тыс. мест. В настоящее время в тридцати выбранных гостиницах столицы имеется число мест:

764, 680, 860, 120, 400, 700, 345, 978, 120, 1031, 300, 350, 900, 830, 830, 1100, 214, 300, 411, 516, 559, 1180, 246, 160, 549, 1009, 976, 1609, 1260, 879.

 

 

Вариант № 3

   По данным Организации экономического сотрудничества и развития (ОЭСР), занятость в туристической отрасли в некоторых развитых странах мира составляет (млн. человек):

360, 1080, 283, 723, 1200, 980, 458, 990, 586, 1153, 800, 876, 567, 389, 500, 650, 556, 876, 485, 660.

 

Вариант № 4

Приведены данные подготовки одного гостиничного номера к приему гостей в разных гостиницах города (в минутах):

60, 54, 43,100, 25. 121, 47, 70, 55, 37, 44, 67, 76, 34, 85, 120, 66, 90, 57, 67, 92, 90, 39, 76, 90, 65, 75, 56, 87, 72.

 

 

Инструкция по выполнению практического занятия № 5

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия №10.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. Для построения статистического распределения выборки сначала размах выборки необходимо разбить на частичных интервалов. Для подсчёта числа интервалов  примените эмпирическую формулу Стерджесса:  (округлите до ближайшего целого). Затем вычислите размах и величину каждого интервала по формуле . Для заполнения таблицы подсчитайте середины разрядов по формуле  и абсолютную частоту  (количество вариант, входящих в каждый интервал).

6. При выполнении второго задания прочтите определение полигона частот. По оси абсцисс откладывайте значения , а на оси ординат - соответствующие им частоты  (данные используйте из таблицы). Точки соедините отрезками.

7. В третьем задании для построения гистограммы частот на оси абсцисс отложите частичные интервалы, а над ними проведите отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

8. При выполнении четвертого задания обратитесь к определению эмпирической функции распределения статистической выборки и используйте формулу для ее составления: .

9. Для вычисления числовых характеристик вариационного ряда используйте формулы: (5.2) – для выборочной средней, (5.4) – для выборочной дисперсии и (5.5) – для выборочного среднеквадратического отклонения.

10. Проверьте правильность решения заданий.

11. Убедившись, что задания решены правильно на черновике, аккуратно перепишите их в чистовик.

 

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 5

 

1. На новой странице в тетради по выполнению практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: «Построение вариационного ряда, эмпирической функции распределения, ее графика. Построение полигона и гистограммы частот».

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строчки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию № 5).

 

Образец выполнения практического занятия № 10

 

Дано распределение времени на подготовку к экзамену по математике (мин):

15; 20; 45; 15; 25; 35; 40; 25; 35; 25; 35; 35; 45; 45; 25; 20; 25; 35; 20; 35, 40; 20; 40; 50; 35; 25; 25; 35; 40; 25.

1. Найти статистическое распределение выборки.

2. Построить полигон частот статистической выборки.

3. Построить гистограмму частот статистической выборки.

4. Составить эмпирическую функцию распределения статистической выборки.

5. Вычислить следующие числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение.

 

Решение:

1. Расположим заданные значения величины  в порядке возрастания:

15; 15; 20; 20; 20; 20; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 5; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 40; 40; 40; 40; 40; 45; 45; 45.

Объем выборки .

Вычислим значение k:

. Возьмём k=6.

Размах выборки:

Величина интервала (длина разряда) имеет значение:

Заполним таблицу

 

Таблица 5.2

 

Границы разрядов

Середины разрядов

Количество значений

1

15-20

17,5

6

1,2

2

20-25

22,5

8

1,6

3

25-30

27,5

0

0

4

30-35

32,5

8

1,6

5

35-40

37,5

5

1

6

40-45

42,5

3

0,6

Всего:

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Построим полигон частот:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                         

Рис. 5.3

3. Построим гистограмму частот:

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.4

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составим эмпирическую функцию распределения:

 

5. Вычислим числовые характеристики вариационного ряда.

Выборочная средняя:

.

Выборочная дисперсия:

.

Выборочное среднеквадратичное отклонение:

.

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы, используемых при подготовке методических указаний:

 

1. М.С. Спирина, П.А. Спирин. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

2. С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.- М.: Издательский центр «Академия», 2007.

3. М.С. Спирин. Дискретная математика для студ. учреждений сред. проф. образования.- М.: Издательский центр «Академия», 2006.

4. Г.А. Гончарова, А.А. Мочалин. Элементы дискретной математики. – М.: «Академия», 2007.

5. Н.В. Богомолов. Математика: учеб. для ссузов. – М. : Дрофа, 2009.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Памурзина Маргарита Александровна

 

 

 

 

Преподаватели математических дисциплин

 

 

 

ГБОУ СПО «Поволжский государственный колледж»

 

 

 

СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ

 

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

 

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

 

Естественно-научный цикл

 

социальноэкономический профиль

 

 

101101 «Гостиничный сервис»

 

 

 

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел  «Элементы теории вероятностей»

 

Практическое занятие №4

«Решение вероятностных задач»

 

Учебная цель: формировать умение вычислять вероятности наступления событии, используя классическое определение вероятностей,  формулу полной вероятности и формулу Байеса, вычислять вероятности наступления события, используя формулу Бернулли, вычислять вероятности редких явлений по формуле Пуассона.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

 

I. Классическое определение вероятности.

Классической вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А к числу возможных исходов в данном испытании, образующих полную группу попарно несовместных, равновозможных, элементарных событий.

Таким образом, вероятность события  А определяется  формулой

                                                                                                   

Где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства теории вероятностей:

а). Вероятность достоверного события равна единице.

б). Вероятность невозможного события равна нулю.

в). Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулем и единицей, т.е.  0<<1.

Классическое определение вероятности применяется только в следующих случаях:

  • число элементарных событий конечно;
  • результаты всех испытаний равновозможны;
  • все равновозможные события образуют полную группу попарно несовместных событий.

II. Формула полной вероятности.

Пусть события  образуют полную группу попарно несовместимых событий, и пусть событие  может произойти с каждым из событий , где .

Вероятность события , вычисленное в предположении, что  может произойти с каждым , где , называется полной вероятностью события .

Событие  можем представить в виде суммы: . Вычислим вероятность события :

Итак, вероятность события , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместимых событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события  :

,                       

где  .

Равенство (4.9) называют формулой полной вероятности.

III. Формула Байеса

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А может произойти с каждой из гипотез , которое образует полную группу попарно несовместимых событий, при этом вероятности гипотез были известны заранее. Пусть проведён опыт, в котором наступило событие . Выясним, как при этом условии изменяется вероятность гипотез. То есть найдём .

Рассмотрим . По теореме о вероятности . Выразим

  - формула Байеса                                              

Она позволяет пересмотреть вероятности гипотез, потому что как стало известно, что событие  произошло.

IV. Формула Бернулли.

Опыты(испытания) называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Предположим, что в одних и тех же условиях производится независимых опытов, в каждом из которых возможны только два исхода: а) событие А произошло; б) событие А не произошло. Кроме того, будем считать, что вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же и равна

А значит, вероятность не наступления события А равна . Такая схема теории вероятностей называется схемой Бернулли.

Примерами испытаний по схеме Бернулли могут служить многократные подбрасывания монеты, извлечения из урны шаров черного или белого цвета, стрельба по мишени из одного и того же оружия и т.д.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

             или                     

где .

Формулы (4.10), (4.11) используются, если выполняются все условия схемы Бернулли: проводиться серия из  испытаний; в каждом испытании выделяются два исхода: событие  и событие ; вероятность события : , вероятность события :   .

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, - находят соответственно по формулам:

                                                          

V. Определение вероятностей редких явлений по формуле Пуассона.

  Если в каждом отдельном независимом испытании вероятность одного из событий близка к нулю, то события называют редкими. Редкими можно считать события: появление ошибки на некоторой странице в книге, телефонный звонок в квартиру за сутки, количество осадков, выпавших за июнь в городе N.

  Для определения вероятности таких явлений применяется асимптотическая формула Пуассона, названная по имени французского математика С.Пуассона.

  Теорема. Если вероятность р события А в каждом повторном испытании связана с числом независимых испытаний n, которое достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет m раз, приближенно находится по формуле

,                                       

 где .

  Закон Пуассона применяется для определения вероятности появления m событий, происходящих независимо друг от друга с постоянной вероятностью (средней интенсивностью), причем число испытаний n достаточно велико (), а вероятность появления события в каждом испытании р мала ().

  Приближенные значения вероятности по формуле Пуассона приведены в таблице

 

Задания для практического занятия №4

 

Вариант №1

Задание 1. В профессиональном конкурсе участвовали 4 менеджера из гостиницы А  и 5 менеджеров гостиницы В. По результатам конкурса были выбраны два призера. Найти вероятность того, что они оба являются представителями одной гостиницы.

Задание 2. Для обустройства гостиничных номеров поступают шкафы-купе с двух мебельных фабрик В(1) и В(2). Причем, с фабрики В(1) -60%, а с фабрики (2)-40% всей продукции. Из каждых 100 поступивших шкафов стандартными оказались 85 с первой фабрики и 78 - со второй. Найти вероятность того, что взятый наудачу шкаф окажется стандартным (событие А), т.е. требуется найти безусловную вероятность события А.

Задание 3. Прибор состоит из двух узлов. Работа каждого из узлов необходима для работы прибора в целом. Надежность(вероятность безотказной работы в течение определенного времени) первого узла равна 0,9, второго – 0,8. Прибор испытывался в течение определенного времени, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя. Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

Задание 4. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,1. Куплено 4 билета. Найти вероятность того, что выиграет только один билет.

Задание 5. Задачник издан тиражом 20000 экземпляров. Вероятность того, что он сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что

а) тираж содержит три бракованные книги;

б) тираж содержит не более двух бракованных книги.

 

 

Вариант №2

Задание 1.В коробке «Ассорти» -20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова вероятность того, что обе конфеты окажутся с фруктовой начинкой?

Задание 2. Имеются три одинаковые с виду урны. В первой – 6 белых шаров и 4 черных, во второй- 8 белых и 7 черных шаров, в третьей – только белые шары. Некто подходит наугад к  одной из урн и вынимает из нее один шар. Найдите вероятность того, что шар белый.

Задание 3. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил40 деталей, второй – 35, третий- 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие сделал второй рабочий.

Задание 4. Для данного баскетболиста вероятность попадания мяча в кольцо равна 0,6. Баскетболист выполнил серию из четырех бросков. Какова вероятность того, что при этом было ровно три попадания

Задание 5. В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что

а) среди 200 студентов найдется ровно 4 левши?

б) среди 200 студентов найдется не более двух, являющихся левшой?

 

Вариант №3

Задание 1. Шахматную секцию посещают семь студентов первого курса, пять студентов второго курса и шесть студентов третьего курса. Какова вероятность того, что в финальной игре на первенство колледжа по шахматам противники будут однокурсники?

Задание 2. Гостиница «Россия» имеет три источника поставки клиентов – туристических фирм А, В и С. На долю фирмы А приходится 50% общего количества присланных клиентов, В -30%, С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А клиентов уже проживали ранее в этой гостинице, фирмой В – 5% и С – 6%.

Найти вероятность того, что наудачу выбранный гость останавливается в этой гостинице не в первый раз.

Задание 3. В турслете участвуют 70% первокурсников и 30% второкурсников. Среди студентов 1 курса 60% юношей, а среди студентов 2 курса 40% юношей. Все юноши по очереди дежурят у костра, сменяясь каждый день. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день у костра дежурит студент первого курса.

Задание 4. В офисе пять компьютеров. Вероятность того, что каждый из них в течение года не потребует ремонта, равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение года придется ремонтировать только два компьютера.

Задание 5. С базы в гостиничный комплекс отправлено 4000 тщательно упакованных зеркал. Вероятность того, что зеркало разобьется в пути, равна 0, 0005. Найти вероятность того, что:

а) из 4000 изделий в комплекс прибудут 3 разбитых;

б) не более двух разбитых.

Вариант №4

Задание 1. В вазе 10 белых и 8 алых роз. Наудачу берут два цветка. Какова вероятность того, что они разного цвета?

Задание 2. Из 100 студентов, отправленных на профессиональный конкурс, 27 выбраны из группы №1, 27 – из группы №2, остальные из группы №3. В первой группе 4% отличников, во второй – 3%, в третьей – 6%. Найти вероятность того, что студент, занявший первое место в конкурсе, отличник.

Задание 3. В городе три колледжа, выпускающих специалистов для работы в гостиничном бизнесе. В первом колледже выпускники этого профиля составляют 25% , во втором -35%, в третьем – 40% количества всех выпускников. По специальности не идут работать 5%, 4% и 2% выпускников специальности «Гостиничный сервис» каждого учебного заведения соответственно. Какова вероятность, что случайно выбранный выпускник данного года не пошел работать по специальности и является студентом первого колледжа?

Задание 4. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. В гостиницу для обустройства номеров поступило 20 новых телевизоров. Какова вероятность того, что в этой партии  имеется три телевизора со скрытыми дефектами.

Задание 5. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию равна 0,01. Найдите вероятность того, что

а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию;

б) в течение часа не более 2 абонентов позвонят на станцию.

 

Образец отчета по практическому занятию №4

 

Задание 1. В группе ГС-229 30 учащихся: 5 мальчиков и 25 девочек. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность того, что это мальчики?

Решение. Испытание – вызывают двух учащихся из 30. Событие А – вызвали двух мальчиков из 5. Нам нужно выбрать двух учащихся из 30. Тогда число всех элементарных исходов испытания равно (порядок не важен): , а количество благоприятных исходов равно . Тогда    .

Ответ: .

 

Задание 2. Была проведена одна и та же контрольная работа в трёх параллельных группах. В первой, где 30 учащихся, оказалось 8 работ, написанных на «отлично». Во второй – 28 учащихся, из которых 6 работ выполнены на «отлично». В третьей – 27 учащихся, из которых 9 работ выполнены на «отлично». Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при повторной проверке работа из работ, принадлежащих наудачу выбранной группе, окажется выполненной на «отлично».

Решение. Испытание – выбирают группу из трёх и выбирают одну контрольную работу. Обозначим через  событие – работа выполнена на «отлично». Возможны следующие предположения (гипотезы): работа из первой группы, работа из второй группы, работа из третьей группы. Вероятность каждого из предположений равна , т.е.   и .

Следовательно,  образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Искомую вероятность того, что работа выполнена на «отлично», находим по формуле полной вероятности:

Ответ: .

 

Задание 3. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата  вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через  событие – деталь отличного качества. Можно сделать  два предположения (гипотеза): деталь  произведена  первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит  вдвое больше деталей, чем второй) ; деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена  первым автоматом, .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена  вторым  автоматом, .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна

.

Ответ: .

 

Задание 4. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,1. Сделано 5 выстрелов. Найти вероятность только одного промаха.

Решение. Случайная величина Х-количество промахов при выстрелах. Вероятность ровно  промахов вычисляется по формуле Бернулли  где - вероятность промаха при одном выстреле, - вероятность попадания при одном выстреле.

 В нашем случае ; .

 Вероятность только одного промаха

Ответ: 0,328.

 

Задание 5. Некоторое устройство выходит из строя, если откажет определённая микросхема. Вероятность его отказа в течение часа работы равна 0,004. Какова вероятность того, что

а) за 1000 часов работы придётся 5 раз менять микросхему;

б) за тысячу часов работы придется не более двух раз поменять микросхему.

Решение.

а) Очевидно, что схема Бернулли выполняется. Событие – микросхема отказала – произошло 5 раз в 1000 испытаниях. Вероятность p – очень мала, 0,004; число испытаний велико. Значит можно использовать формулу Пуассона:

Ответ: 0,1563.

б)

Ответ: 0,24.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел  «Элементы математической статистики»

 

Практическое занятие № 5

«Решение статистических задач и обработка информации»

 

Учебная цель: формировать умение обрабатывать результаты наблюдений.

 

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Генеральной совокупностью называется весь набор однородных объектов, изучаемых относительно некоторого качественного или количественного признака. Число всех изучаемых объектов N называется объемом генеральной совокупности.

   Выборка –это та часть генеральной совокупности, элементы которой подвергаются статистическому обследованию. Число  вошедших в выборку элементов называется объемом выборки.

Значение случайной величины , содержащие в выборке, называются вариантой.

Система вариант , расположенных в порядке возрастания, называются вариационным рядом.

   Абсолютной частотой (частостью) варианты  называется число членов совокупности, имеющей значение .

 Отношение частоты к объему выборки  называют относительными частотами.

   Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им абсолютных или относительных частот.

 

                           Таблица 5.1

 

 

 

   Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки .

Для построения полигона на оси абсцисс откладывают варианты xi, здесь они равны серединам интервалов, т.е. , а на оси ординат - соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

                         Рис. 5.1

Если объем выборки из генеральной совокупности случайной величины велик, то прибегают к предварительной группировке данных: размах выборки разбивают на частичных интервалов. Для подсчёта числа интервалов  применяют эмпирическую формулу Стерджесса:  (округление до ближайшего целого).

Объём выборки: , где  - число значений случайной величины, попавших в каждый разряд. Значения случайных величин, когда одна и та же величина встречается дважды (как верхняя граница одного интервала и нижняя граница другого интервала), то эта величина относится к той группе, где эта величина выступает в роли верхней границы.

Разность                                                                                         

между наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.

Величину каждого интервала (разряда)  можно вычислить по формуле                                                                       

Границы интервалов , ; .

Середина i-го разряда .                                                           

 Исходная выборка заменяется выборкой объёма r.

   Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению .

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

Площадь -го прямоугольника равна сумме частот вариант -го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

 

 Рис. 5.2

Интервальным вариационным рядом, а также гистограммой пользуются и при изучении дискретных случайных величин, когда в дискретном вариационном ряде большое количество вариант, из-за чего он обозрим.

Эмпирическая функция распределения, определяющая для каждого значения х относительную частоту  события , вычисляется по формуле, т.е.     (5.1)   

*

 

 

 

Числовые характеристики вариационного ряда.

  Одна из задач математической статистики – оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки различны, то ; если же все значения имеют частоты , то .                                                 (5.2)

Замечание: Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за  принимают середины частичных интервалов.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Если все значения признака выборки различны, то;                       (5.3)

 если же все значения имеют частоты , то.             (5..4)

Для характеристики рассеивания значений признака выборки вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратичным отклонением.

Выборочным среднеквадратичным отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии: .                                                                                   (5.5)

Вычисление дисперсии – выборочной или генеральной, можно упростить, используя формулу: . Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за  принимают середины частичных интервалов.

 

Задания для практического занятия № 5

 

Задание 1. Найти статистическое распределение выборки.

Задание 2.. Построить полигон частот статистической выборки.

Задание 3.. Построить гистограмму частот статистической выборки.

Задание 4. Составить эмпирическую функцию распределения статистической выборки.

Задание 5. Вычислить следующие числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение.

 

Вариант № 1

   Показатель относительной важности гостиничной продукции может быть получен путем сравнения структуры доходов гостиниц в различных регионах и странах. Например, статистика по структуре доходов в выбранных тридцати регионах Европы показывает долю (в %) дохода от сдачи номеров (доходы от номеров для гостей обеспечивается оплатой номеров и завтраков с учетом местных налогов):

50, 51, 60, 49, 65, 59, 51, 53, 64, 50,  36, 47, 56, 49, 48, 51, 44, 39, 48, 45, 35, 63,43, 58, 59, 54, 60, 47, 48, 48.

 

 

Вариант № 2

   Исходя из прогноза прибытия иностранных граждан в Москву к 2016 году,  потребность в гостиничной базе должна составить 283,2 тыс. мест. В настоящее время в тридцати выбранных гостиницах столицы имеется число мест:

764, 680, 860, 120, 400, 700, 345, 978, 120, 1031, 300, 350, 900, 830, 830, 1100, 214, 300, 411, 516, 559, 1180, 246, 160, 549, 1009, 976, 1609, 1260, 879.

 

 

Вариант № 3

   По данным Организации экономического сотрудничества и развития (ОЭСР), занятость в туристической отрасли в некоторых развитых странах мира составляет (млн. человек):

360, 1080, 283, 723, 1200, 980, 458, 990, 586, 1153, 800, 876, 567, 389, 500, 650, 556, 876, 485, 660.

 

Вариант № 4

Приведены данные подготовки одного гостиничного номера к приему гостей в разных гостиницах города (в минутах):

60, 54, 43,100, 25. 121, 47, 70, 55, 37, 44, 67, 76, 34, 85, 120, 66, 90, 57, 67, 92, 90, 39, 76, 90, 65, 75, 56, 87, 72.

 

Образец выполнения практического занятия № 10

 

Дано распределение времени на подготовку к экзамену по математике (мин):

15; 20; 45; 15; 25; 35; 40; 25; 35; 25; 35; 35; 45; 45; 25; 20; 25; 35; 20; 35, 40; 20; 40; 50; 35; 25; 25; 35; 40; 25.

1. Найти статистическое распределение выборки.

2. Построить полигон частот статистической выборки.

3. Построить гистограмму частот статистической выборки.

4. Составить эмпирическую функцию распределения статистической выборки.

5. Вычислить следующие числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение.

 

Решение:

1. Расположим заданные значения величины  в порядке возрастания:

15; 15; 20; 20; 20; 20; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 5; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 40; 40; 40; 40; 40; 45; 45; 45.

Объем выборки .

Вычислим значение k:

. Возьмём k=6.

Размах выборки:

Величина интервала (длина разряда) имеет значение:

Заполним таблицу

 

Таблица 5.2

 

Границы разрядов

Середины разрядов

Количество значений

1

15-20

17,5

6

1,2

2

20-25

22,5

8

1,6

3

25-30

27,5

0

0

4

30-35

32,5

8

1,6

5

35-40

37,5

5

1

6

40-45

42,5

3

0,6

Всего:

 

 

30

 

 

2. Построим полигон частот:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                         

Рис. 5.3

3. Построим гистограмму частот:

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.4

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составим эмпирическую функцию распределения:

 

5. Вычислим числовые характеристики вариационного ряда.

Выборочная средняя:

.

Выборочная дисперсия:

.

Выборочное среднеквадратичное отклонение:

.

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел «Элементы логики»

 

Практическое занятие №1

«Решение задач на применение алгебры логики»

Учебная цель: формировать умение производить операции над высказываниями, составлять таблицу истинности составных высказываний.

 

Учебные задачи:

1. Научиться определять истинность высказываний.

2. Научиться производить операции над высказываниями.

3. Научиться составлять таблицу истинности составных высказываний.

 

Задания для практического занятия №1

Вариант № 1

Задание 1. С  помощью таблицы истинности  проверить  справедливость логического закона.

Задание 1. Установить, является ли предложение высказыванием, и если является, истинно оно или ложно:

а) «Вы студент?»;                                                б) «»;

в) «Если , то»;                              г)  - квадратное уравнение.

Задание 3. Среди следующих высказываний выделить элементарные и составные. В составных высказываниях обозначить элементарные высказывания буквами и записать с помощью логических символов.

1) «Спортсмен подлежит дисквалификации, если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, и если он принял «допинг».

2) «Если он или умеет писать или читать, то он грамотный человек».

3) «Марс есть спутник Земли».

4) «Студент не может заниматься, если он устал и голоден».

Задание 4. Из двух простых высказываний А  и В составить сложные высказывания по формулам:  :

: «Знаешь рецепт».                                                      : «Лекарство подействовало».

Задание 5. Определить истинность составного высказывания , если даны простые высказывания:

: «Я являюсь студентом Поволжского государственного колледжа».

: «В нашей группе юношей больше, чем девушек».

: « Преподавателя математики зовут Маргарита Александровна».

Задание 6. Определить вид формулы с помощью таблицы истинности: .

Задание 7. Доказать или опровергнуть тождество: .

 

Вариант № 2

Задание 1. С  помощью таблицы истинности  проверить  справедливость логического закона

.

Задание 2. Установить, является ли предложение высказыванием, и если является, истинно оно или ложно:

а) «- прямоугольник»;                            б) «»;                      

в) «17-простое число»;                                       г) «».

Задание 3. Среди следующих высказываний выделить элементарные и составные. В составных высказываниях обозначить элементарные высказывания буквами и записать с помощью логических символов.

1) «Число является простым, если оно делится только на 1 и само на себя».

2) «Если Иванов здоров и богат, то он здоров».

3) «Рысь–представитель семейства кошачьих».

4) «Либо все люди должны быть счастливыми, либо никто» (Роберт Оуэн).

Задание 4. Из двух простых высказываний А  и В составить сложные высказывания по формулам:  :

: «Иметь свою волю».                                                      : «Иметь свою долю».

Задание 5. Определить истинность составного высказывания , если даны простые высказывания:

: «Число 225 делится нацело на 5».

: «В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам».

: « Логарифмы существуют только для отрицательных чисел».

Задание 6. Определить вид формулы с помощью таблицы истинности: .

Задание 7. Доказать или опровергнуть тождество: .

 

Вариант № 3

Задание 1. С  помощью таблицы истинности  проверить  справедливость логического закона.

Задание 2. Установить, является ли предложение высказыванием, и если является, истинно оно или ложно:

а) «Вам нравиться учиться?»;                              б) «»;

в) «Рим – столица Эстонии»;                               г) «».

Задание 3. Среди следующих высказываний выделить элементарные и составные. В составных высказываниях обозначить элементарные высказывания буквами и записать с помощью логических символов.

1) «Я не вымокну, если на улице нет дождя или если прогулка отменяется и я останусь дома».

2) «Петров ходит в кино только в том случае, когда там показывают комедию».

3) «Я – студент Поволжского государственного колледжа».

4) «Если спортсмен интенсивно тренируется и при этом принимает запрещенные стимуляторы, то он достигает высоких спортивных результатов либо попадется на допинге». Задание 4. Из двух простых высказываний А  и В составить сложные высказывания по формулам:  .

: «На улице пасмурно».                                                      : «Идет дождь».

Задание 5. Определить истинность составного высказывания , если даны простые высказывания:

: «Я учусь на отделении «Управление бизнесом и сервисом».

: «Площадь треугольника равна произведению основания на высоту».

: « Логарифмы существуют только для положительных чисел».

Задание 6. Определить вид формулы с помощью таблицы истинности: .

Задание 7. Доказать или опровергнуть тождество: .

 

Вариант № 4

Задание 1. С  помощью таблицы истинности  проверьте  справедливость логического закона.

Задание 2. Установить, является ли предложение высказыванием, и если является, истинно оно или ложно:

а) «Давайте пойдем гулять»;

б) «Который час?»;

в) «Всякий человек желает стать хозяином гостиничного комплекса»;

г) « если ».

Задание 3. Среди следующих высказываний выделить элементарные и составные. В составных высказываниях обозначить элементарные высказывания буквами и записать с помощью логических символов.

1) «Чтобы успешно сдать экзамен, нужно иметь при себе зачетку и ответить на вопросы».

2) «Необходимое и достаточное условие для жизни растений состоит в наличии питательной почвы, чистого воздуха и солнечного света».

3) «Сегодня прекрасная погода».

4) «Быть или не быть – вот в чем вопрос» (Шекспир).

Задание 4. Из двух простых высказываний А  и В составить сложные высказывания по формулам:  .

: «Есть следствие»,                                                     : «Есть причина».

Задание 5. Даны простые высказывания:

: «10 – четное число».

: «Москва - большой город».

: «Каждый четырехугольник является параллелограммом».

  Определите истинность составного высказывания .

Задание 6. Определить вид формулы с помощью таблицы истинности: .

Задание 7. Докажите или опровергните тождество: .

 

Образец выполнения практического занятия №1

Задание 1. С помощью таблицы истинности проверить справедливость логического закона

А = А ()

Решение:

Таблица истинности:

А ()

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

Ответ: из таблицы видно,  истинные и ложные  значения первой и последней колонок  совпадают

Задание 2. Установить, является ли предложение высказыванием, и если является, истинно оно или ложно.

Решение:

Предложение

Высказывание

Значение логической переменной

Волга впадает в Каспийское море.

+

1

Студент второго курса.

-

-

+

0

.

+

1

Задание 3. Среди следующих высказываний выделить элементарные и составные. В составных высказываниях обозначить элементарные высказывания буквами и записать с помощью логических символов.

Решение:

Высказывания

Вид высказывания

Формула

Число 6 является делителем числа 36.

Простое

 

 

Двузначное число 19 простое.

Составное

: «19-число двузначное».

В: «19-число простое».

 

 

Квадратное уравнение имеет не более двух корней.

Составное

: «Квадратное уравнение не имеет корней».

: «Квадратное уравнение имеет один корень».

: «Квадратное уравнение имеет два корня».

 

Если капитан корабля получает специальное указание, то он должен покинуть порт на своем корабле.

Составное

: «Капитан получает специальное указание».

: «Капитан покидает порт».

 

 

Задание 4. Из двух простых высказываний А  и В составить сложные высказывания по формулам: , , , , , , .

: «Рыть яму другому».

: «Попасть в яму».

Решение:

Формула

Составное высказывание

Не рой яму другому.

Или рой яму другому, или попадешь в нее сам.

Вырыл яму другому и попал в нее сам.

Если будешь рыть яму другому, то попадешь в нее сам.

Если будешь рыть яму другому, то не попадешь в нее сам.

Вырыл яму другому и не попал в нее сам.

Попадешь в яму только тогда, когда выроешь ее другому.

Задание 5. Даны простые высказывания:

: «Из окон гостиницы «Волга» видна набережная реки Волги».

: «В городе Самара не более 10 гостиниц».

: «Современный отель «Россия» расположен в пригороде Самары».

: «Хостел в переводе с английского – общежитие.».

  Определите истинность составного высказывания  .

Решение:

1

0

0

1

0

1

0

Ответ: оно ложно.

Задание 6. Определить вид формулы с помощью таблицы истинности: .

Решение:

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

Ответ: Данная формула будет нейтральной или выполнимой, так как она может принимать как истинное, так и ложное значения.

Задание 7. Докажите или опровергните тождество

Решение:

Используя равносильности под номерами 28, 7, 18, 20, 18, получим:

Ответ: тождество доказано.

 

 

 

 

Раздел «Основы дискретной математики»

 

Практическое занятие №3

«Построение и применение графов при решении задач»

Учебная цель: формировать умение строить графы и использовать графы при решении текстовых задач.

Задания для практического занятия № 3

Задание 1. Пусть граф задан матрицей смежности (рис 3.6). Постройте изображение этого графа. Укажите степени вершин этого графа.

Задание 2. Граф G задан диаграммой (рис 3.7).

1) Составьте для него матрицу смежности.

2) Укажите степени вершин графа.

3) Составьте два различных маршрута длины 5цепь соединяющие вершину V2 и V5.

4) Определите вид графа.

Задание 3. Решите задачу «о переправах», изобразите решение графом.

Задание 4. Решите задачу, используя графы (рис 3.8).

 

 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Задание 1

(рис. 3.6)

а)

б)

в)

г)

Задание 2

(рис. 3.7)

а), г)

б), д)

в), е)

а), д)

 

Задание 3

 

 

Вариант 1

  Три генерала - Строгий, Лихой и Грозный – со своими адъютантами переправлялись через реку с помощью двухместной лодки. Адъютант может либо перевозить своего генерала, либо переправляться с другим адъютантом. Однако ни один  из генералов не разрешил своему адъютанту ни оставаться с другим генералом вдвоем на берегу, ни переправляться с ним через реку. Как они переправились через реку?

 

Вариант 2

  Трое мужчин и три женщины должны переправиться через реку. У них была одна лодка, которая вмещала только двух человек. Грести умели все мужчины и только одна женщина. Кроме того, женщины требовали, чтобы ни на одном берегу не оставалось больше женщин, чем мужчин. Как им переправиться через реку?

 

Вариант 3

  Муж, жена и двое детей должны переправиться на противоположный берег реки при помощи лодки. Муж и жена весят по 100 кг, а дети – по 50 кг. Как им быть, если лодка вмещает до 100 кг и каждый из них умеет грести?

Вариант 4

  Человеку необходимо было переправить через реку с помощью лодки волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то она съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ел. Человек все-таки перевез через реку и волка, и козу, и капусту. Как он это сделал?

 

Задание 4

Вариант 1

  Винни-Пух вышел на прогулку, взяв с собой карту (рис.3.3, а). Числа на рисунке обозначают время движения в минутах от пункта до пункта. Помогите Винни-Пуху найти кратчайший путь от своего дома в пункте А до дома Пятачка в пункте К. Перечислите пункты, через которые должен пройти Винни-Пух, и подсчитайте время, которое он затратит на весь путь. Является ли данный маршрут цепью?

Вариант 2

  Атос поскакал в гости к Портосу, взяв с собой карту (рис. 3.3, б). Числа на рисунке обозначают время движения в часах от пункта до пункта. Помогите Атосу найти кратчайший путь от своего поместья в пункте Е до поместья Портоса в пункте Д. Перечислите пункты, через которые должен проехать Атос, и подсчитайте время, которое он затратит на весь путь. Является ли данный маршрут цепью?

Вариант 3

  Рыцарь, находясь в пункте А, узнал, что Прекрасной Даме, в пункте О, ровно через сутки может грозить опасность. Взяв с собой карту (рис.3.3, в), он немедленно выехал на помощь. Числа на рисунке обозначают время движения в часах от пункта до пункта. Успеет ли Рыцарь спасти Прекрасную Даму? Ответ обоснуйте, указав кратчайший путь. Является ли данный маршрут цепью?

Вариант 4

  Рыцарь, находясь в пункте А, узнал, что Прекрасной Даме, в пункте К, через 14 часов может грозить опасность. Взяв с собой карту (рис.3.3, г), он немедленно выехал на помощь. Числа на рисунке обозначают время движения в часах от пункта до пункта. Успеет ли Рыцарь спасти Прекрасную Даму? Обоснуйте ответ, указав кратчайший путь. Является ли данный маршрут цепью?

Рис.3.6                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.3.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.8

 

Образец отчета по практическому занятию №3

Задание 1. Пусть граф задан матрицей смежности. Постройте изображение этого графа. Укажите степени вершин этого графа.

 

 

 

1

1

1

1

1

 

1

1

 

1

1

 

 

 

1

1

 

 

1

1

 

 

1

 

Решение:

                 

Степени вершин графа: ; ; ; ; .

 

Задание 2. Граф G задан диаграммой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Составьте для него матрицу (таблицу) смежности.

2) Укажите степени вершин графа.

3).Составьте маршрут длины 5., цепь соединяющие вершину V и V5.

4) Определите вид графа.

Решение:

1)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

1

 

1

 

1

1

 

1

 

1

1