Методические указания для выполнения практических работ для студентов специальности ТМ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»

СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ

ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ДИСЦИПЛИНА   «МАТЕМАТИКА»

«математический и общий естественнонаучный цикл»

технический  профиль

Специальность: 151901 «Технология машиностроения»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Самара, 2016 г.

ОДОБРЕНО                                                             Составлено в соответствии

Предметно-цикловой                                              с требованиями ФГОС СПО

(методической) комиссией                                     по специальности

                                                                                   «Технология машиностроения»

Председатель:

_________Н.Е. Афонина                                         Рекомендовано к изданию решением         

«____»____________2016 г.                                    методического совета №___________

                                                                                   «________»________________2016 г.

СОГЛАСОВАНО                                                    Председатель совета

Заместитель директора по                                      Заместитель директора по учебно-

учебной работе                                                        методической работе

_________Е.М.Садыкова                                       ___________________О.Ю.Нисман

«_____»___________2016 г.                                  «_____»__________________2016 г.

Составитель: Памурзина Маргарита Александровна, преподаватель ГБОУ СПО «ПГК».

Рецензенты: Афонина Н.Е., преподаватель ГБПОУ «ПГК»,

                        Дерявская С.Н., методист ГБПОУ «ПГК»

Методические указания для студентов по практическим занятиям являются частью программы подготовки специалистов среднего звена ГБОУ СПО «ПГК» по специальности 151901 «Технология машиностроения» в соответствии с требованиями  ФГОС СПО и рабочей программы по дисциплине.

Методические указания по выполнению практических работ адресованы  студентам очной формы обучения.

Методические указания по каждому практическому занятию включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных в рабочей программе дисциплины, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практического занятия работы студентов, инструкцию по их выполнению, методику анализа полученных результатов, порядок выполнения и образец отчета о проделанной работе.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Практическое занятие № 1	Представление комплексных чисел в алгебраической и тригонометрической формах. Выполнение действий над комплексными числами.
Практическое занятие № 2	Выполнений действий над матрицами. Вычисление и разложение определителей.
Практическое занятие № 3	Нахождение обратной матрицы.
Практические занятия № 4-5	Решение систем линейных уравнений различными способами.
Практические занятия № 6-7	Решение вероятностных задач с использованием элементов комбинаторики.
Практическое занятие № 8	Вычисление пределов.
Практическое занятие № 9	Нахождение промежутков монотонности и выпуклости  с помощью производных. Нахождение асимптот графика функции.
Практические занятия № 10-11	Исследование функции и построение графика.
Практическое занятие № 12	Интегрирование функций.
Практическое занятие № 13	Вычисление значений геометрических величин.
Практическое занятие № 14	Решение прикладных задач с использованием дифференциального и интегрального исчисления.
Литература

ВВЕДЕНИЕ

Уважаемый студент!

   Методические указания по практическим занятиям (дисциплина «Математика») созданы Вам  в помощь для работы на занятиях, подготовки к ним, правильного составления отчетов.

   Приступая к выполнению  заданий практического занятия, Вы должны внимательно прочитать его цель и задачи, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами или примерной программой дисциплины «Математика» (для общеобразовательной подготовки), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практического занятия, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

   Все задания к практическому занятию Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

   Отчет о практическом занятии Вы должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

   Наличие положительной оценки по практическим занятиям необходимо для получения зачета по дисциплине и допуска к экзамену, поэтому, в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие, Вы должны найти время для его выполнения или пересдачи.

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим занятиям или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

   Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.

Желаем Вам успехов!!!

РАЗДЕЛ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Практическое занятие № 1

Представление комплексных чисел в алгебраической и тригонометрической формах. Выполнение действий над комплексными числами

Учебная цель: формировать умение выполнять действия над комплексными числами.

Учебные задачи:

1. Научиться изображать комплексное число на комплексной плоскости.

2. Научиться применять определения для выполнения основных операций над комплексными числами: сложение, вычитание, деление и умножение.

3. Научиться представлять комплексное число в тригонометрической форме.

4. Научиться выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

-     выполнять действия над комплексными числами;

знать:

-   теорию комплексных чисел.

Задачи практического занятия № 1

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на изображение комплексного числа в комплексной плоскости, выполнение операций над комплексными числами, представление комплексного числа в тригонометрической форме.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

-Н.В.Богомолов. Сборник дидактических заданий по математике: учеб. пособие для ссузов.- М.: Дрофа, 2006.

3. Тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

Комплексными числами называются числа вида , где а и b – действительные числа, а число  называется мнимой единицей. Принято считать, что .

  Запись комплексного числа в виде  называется алгебраической формой записи комплексного числа. Действительное число а называется действительной частью комплексного числа , а  - его мнимой частью.

Основные договоренности:

1. Любое действительное число а может быть записано в форме комплексного числа: или.

2. Комплексное число  называется чисто мнимым числом.

3. Два комплексных числа  и  называются равными, если и .

4. Два комплексных числа называются взаимно сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаками:  и .

Геометрическое представление комплексного числа.

 Комплексное число  можно изобразить точкой плоскости с координатами . Плоскость , на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью. Комплексное число  можно геометрически изобразить в виде вектора с началом в точке  и концом в точке Р с координатами .

Пример: Изобразить на плоскости числа:

;    ;    ;    ;    ;    .

Решение.

  Модулем комплексного числа  называется действительное число .

 В геометрической интерпретации модуль – это длина вектора , изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.

  Аргументом комплексного числа  называется угол между положительным направлением оси  и вектором, изображающим это комплексное число. Из рис. видно, что .

Тригонометрическая форма комплексного числа.

 Абсциссу  и ординату  комплексного числа  можно выразить через его модуль и аргумент:  и . Тогда

.

Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

1. Сложение. Суммой комплексных чисел  и  называется комплексное число .

Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

2. Вычитание. Разностью комплексных чисел  (уменьшаемое) и  (вычитаемое) называется комплексное число .                             (1.4)

Таким образом, при вычитании комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

3. Умножение. Произведением комплексных чисел  и  называется комплексное число: .                                                              (1.5)

 Это определение вытекает из двух требований:

1) числа  и  должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

 2) число i обладает основным свойством: i ² = –1.

Пример: ( a+ bi )( a – bi )= a ² + b ². Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

4. Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) – значит найти третье число e+ f i (частное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно:

i.                                                            (1.6)

Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

1. .                                                                       (1.7)

2. .                                                                                (1.8)

3. .                                                                                                  (1.9)

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Дайте определение комплексного числа.

2. Какая часть комплексного числа называется действительной и какая мнимой?

3. Сформулируйте правила сложения, вычитания, произведения и частного двух комплексных чисел.

4. Дайте определение модуля комплексного числа и запишите формулу для его вычисления.

5. Как найти аргумент комплексного числа?

6. Запишите комплексное число в тригонометрической форме.

7. По какому правилу производится операция умножения комплексных чисел в тригонометрической форме?

8. По какому правилу производится операция деления комплексных чисел в тригонометрической форме?

9. Запишите формулу для возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме.

Задания для практического занятия № 1

Задание 1. Изобразить комплексное число в комплексной плоскости.

Задание 2. Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме.

Задание 3. Запишите комплексное число в тригонометрической форме.

Задание 4. Выполнить операции умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.

№ варианта	Задание 1	Задание 2	Задание 3	Задание 4
1				;
2				;
3				;
4				;
5				;
6				;

Инструкция по выполнению заданий практического занятия № 1

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. Для выполнения первого задания нарисуйте комплексную плоскость, на оси  отложите число действительной части комплексного числа, на оси  отложите - число мнимой части комплексного числа. Постройте вектор с началом в точке и концом в точке  как показано на рис.1.1.

6. При выполнении второго задания для нахождения суммы двух комплексных чисел в алгебраической форме используйте формулу (1.3), для разности – формулу (1.4), для произведения – формулу (1.5). Чтобы выполнить операцию деления, нужно числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю согласно формуле (1.6).

7. В третьем задании найдите модуль заданного комплексного числа по формуле (1.1). Чтобы вычислить аргумент комплексного числа, сначала найдите тангенс угла между вектором, изображающим комплексное число в координатной плоскости и положительным направлением оси по формуле (1.2). Затем по таблице значений тригонометрических функций найдите значение аргумента.

8. Перед выполнением четвертого задания найдите модуль и аргумент заданных комплексных чисел аналогично заданию 3, затем выполните операцию умножения по формуле (1.7), операцию деления – по формуле (1.8), операцию возведения в степень – по формуле (1.9).

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 1

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Представление комплексных чисел в алгебраической и тригонометрической формах. Выполнение действий над комплексными числами.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию № 1).

Образец отчета по практическому занятию №1

Практическое занятие № 1

Представление комплексных чисел в алгебраической и тригонометрической формах. Выполнение действий над комплексными числами

Задание 1: Изобразить комплексное число  в комплексной плоскости.

Решение.

Задание 2: Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме.

Решение.

;

;

;

.

Задание 3: Вычислить модуль и аргумент комплексного числа .

Решение.

;

.

Задание 4: Выполнить операции умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел , .в тригонометрической форме.

Решение.

,                                            ;

,                                               .

;

.

РАЗДЕЛ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Практическое занятие № 2

Выполнений действий над матрицами. Вычисление и разложение определителей

Учебная цель: формировать умения выполнять операции сложения матриц, умножения матрицы на число и произведения матриц, вычислять определители 2-го и 3-го порядков различными способами.

Учебные задачи:

1 научиться выполнять операцию сложения матриц;

2 научиться выполнять операцию умножения матрицы на число;

3 научиться выполнять операцию произведения матриц;

4 научиться вычислять определитель 2-го порядка;

5 научиться вычислять определители 3-го порядка;

6 научиться применять свойства при вычислении определителей.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- производить операции над матрицами и определителями;

знать:

- основные понятия и методы линейной алгебры.

Задачи практического занятия № 2

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на выполнение операций сложения, умножения на число и произведения матриц, вычисления определителей различными способами: по определению, разложением по элементам  i-той строки и i-того столбца.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум (часть1)/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.- М.: Высшее образование, 2005.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Определение: Прямоугольная таблица чисел  состоящая из  строк и  столбцов, называется матрицей размера

Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, второй – номер столбца.

            Если  то матрица называется квадратной матрицей го порядка.

            Кратко матрицы обозначают   

Операции над матрицами:

            1. Матрицы одинакового размера можно складывать.

Суммой матриц  называется матрица  такая, что любой элемент  этой матрицы равен сумме соответствующих элементов матриц  и  

Т. е.                                                                                 (2.1)

  Очевидно, что сложение матриц коммутативно и ассоциативно.

            2. Произведением матрицы  на число  называется матрица  такая, что любой ее элемент равен произведению числа  на соответствующий элемент матрицы

                                                                                           (2.2)

 

            3. Рассмотрим матрицы:  размера  и  размера

            Произведением матриц  назовем матрицу  размера  элементы которой определяются по правилу:                      (2.3)

 

            Т. е. элемент  равен сумме произведений элементов ой строки матрицы  на соответствующие элементы го столбца матрицы

            Умножение матриц некоммутативно, даже если определены оба произведения  и  Умножение матриц ассоциативно.

Определитель матрицы второго порядка называется число

                        (2.4)

Определитель матрицы третьего порядка называется число

       (2.5)

Схематично это правило записывается так:

                                                                                               (2.6)

и говорят, что определитель 3 – го порядка вычисляется по правилу треугольника, или по правилу Саррюса.

Свойства определителей:

1. При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым номером значение определителя не изменяется.

2. Общий множитель всех элементов ряда определителя можно вынести за знак определителя.

3. Определитель равен нулю, если имеет нулевую строку; две равные строки; какая-либо строка является линейной комбинацией других строк

4. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

 5. Если поменять местами две строки определителя, то он изменит только знак.

 6. Определитель, у которого все элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны 0, равен произведению диагональных элементов.

            Пусть   элемент матрицы определителя, стоящий в ой строке и м столбце.

            Минором элемента  назовем определитель го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием ой строки и го столбца. Обозначается этот минор

            Алгебраическим дополнением элемента  назовем его минор со знаком  Обозначается        

                                           (2.7)

Разложение определителя по элементам ряда.

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

                      (2.8)

или 

.                   (2.9)

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Дайте определение матрицы -го порядка.

2. Сформулируйте правило сложения матриц.

3. Сформулируйте правило умножения матрицы на число.

4. Сформулируйте правило произведения матриц.

5. Что называется определителем второго порядка?

6. Что называется определителем третьего порядка?

7. Дайте определение минора элемента определителя.

8. Что такое алгебраическое дополнение элемента определителя?

9. Сформулируйте правило вычисления определителя методом разложением по строке (столбцу).

Задания для практического занятия №2

Задание 1. Выполните действия: .

Задания 2. Перемножьте матрицы:

Задание 3. Вычислите определитель  двумя способами: по определению и разложением по i-той строке.  

Задание 4. Вычислите определитель  двумя способами: разложением по элементам  j-того столбца, по правилу Саррюса.

№ варианта
1	2	-4	7	1	1
2	3	-3	1	2	2
3	4	-2	4	1	3
4	5	-1	6	2	1
5	-2	5	3	1	2
6	-3	2	5	2	3

Инструкция по выполнению заданий практического занятия № 2

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. Для выполнения первого задания воспользуйтесь формулами (2.2) и (2.1), то есть сначала умножьте каждый элемент первой матрицы на число 3, а каждый элемент второй матрицы – на число 2. Затем необходимо сложить соответствующие элементы полученных матриц.

6. При выполнении второго задания примените формулу (2.3). Например, элемент первой строки и первого столбца будет получен как сумма произведений элементов первой строки первой матрицы на элементы первого столбца второй матрицы. Соответственно находятся все остальные элементы.

7. В третьем задании сначала вычислите определитель второго порядка по определению (формула 2.4). Затем этот определитель вычислите методом разложения по элементам i-той строки (формула 2.8). В результате вычислений вы должны получить один и тот же ответ.

8. В четвертом задании используйте сначала формулу (2.9) для вычисления определителя разложением по элементам  j-того столбца, затем формулу (2.5) и схему (2.6). Результаты вычислений должны совпадать.

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 2

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Выполнение действий над матрицами. Вычисление и разложение определителей.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Перепишите текст задачи для конкретного варианта, подставив соответствующие значения .

4. С новой строки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию № 2).

Образец отчета по практическому занятию №2

Практическое занятие № 2

Выполнений действий над матрицами. Вычисление и разложение определителей

Задание 1. Выполнить действия: .

Решение:

.

Задание 2. Перемножить матрицы .

Решение:

.

Задание 3. Вычислить определитель  по определению и элементам второй строки.

Решение. По определению:

По элементам второй строки:

Вывод: во всех случаях определитель равен 21.

Задание 4. Вычислить определитель  двумя способами: разложением по элементам 1-го столбца, по правилу Саррюса.

Решение. По элементам 1-го столбца:

По правилу Саррюса:

Вывод: во всех случаях определитель равен -66.

РАЗДЕЛ  «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Практическое занятие № 3

Нахождение обратной матрицы

Учебная цель: формировать умение вычислять обратную матрицу.

Учебные задачи:

1. научиться вычислять алгебраические дополнения элементов матрицы;
2. научиться находить обратную матрицу.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- производить операции над матрицами и определителями;

знать:

- основные понятия и методы линейной алгебры.

Задачи практического занятия № 3

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на нахождение обратной матрицы.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум (часть1)/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.- М.: Высшее образование, 2005.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Матрицей размера  называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

.

Если число столбцов матрицы n равно числу её строк m, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n:

Элементы  квадратной матрицы порядка n образуют её главную диагональ, а элементы  – побочную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю: .

Диагональная матрица называется единичной, если все её элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице:                            (3.1).

Матрица  называется обратной для квадратной матрицы А,

если                                                                               (3.2).

Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель не равен нулю.

Обратную матрицу можно найти по формуле: A^*,                      (3.3)

где A^* – матрица, присоединенная к матрице

A^* =                                                                               (3.4),

алгебраические дополнения элементов матрицы  

Пусть   элемент матрицы определителя, стоящий в ой строке и м столбце.

      Минором элемента  назовем определитель го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием ой строки и го столбца. Обозначается этот минор .

       Алгебраическим дополнением элемента  назовем его минор со знаком  

                                                       (3.5).

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1.      Что такое матрица?

2.      Какая матрица называется квадратной?

3.      Что называется главной диагональю?

4.      Что называется побочной диагональю?

5.      Какая матрица называется диагональной?

6.      Какая матрица называется единичной?

7.      Как найти обратную матрицу?

Задания для практического занятия № 3

Задание 1. Найдите матрицу - обратную для данной матрицы .

Задание 2. Сделайте проверку: установите, что .

№ варианта	Матрица А
1	а)	б)
2	а)	б)
3	а)	б)
4	а)	б)
5	а)	б)
6	а)	б)

Инструкция по выполнению заданий практического занятия № 3

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания.

5. Перед выполнением первого задания необходимо проверить имеет ли данная матрица обратную матрицу. Для этого необходимо вычислить определитель матрицы и убедиться в том, что он не равен нулю.

6. Вычислите алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы, используя формулу (3.5).

7. Составьте матрицу A^* – матрицу, присоединенную к матрице  по формуле (3.4).

8. По формуле (3.3) найдите матрицу - обратную для данной матрицы .

9. Во втором задании необходимо убедиться в том, что обратная матрица вычислена правильно. Для этого используйте формулу (3.2), т.е. выполните операцию умножения заданной матрицы и обратной ей матрицы. В результате Вы должны получить единичную матрицу (3.1).

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 3

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Нахождение обратной матрицы.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3.Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию № 3).

Образец отчета по практическому занятию № 3

Практическое занятие № 3

Нахождение обратной матрицы

Задание 1. Найти матрицу , обратную для матрицы

Решение:

Обратная матрица: .

1) Вычислим определитель: .

2) Вычислим алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы :

            

3) Составим матрицу A^* – матрицу, присоединенную к матрице :

.

4) Тогда обратная матрица будет иметь вид: .

Ответ:  

Задание 2. Сделать проверку: установить, что .

Решение:

Рассмотрим произведение:

Ответ: матрица  является обратной матрице А, т.к. .

РАЗДЕЛ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Практические занятия № 4-5

Решение систем линейных уравнений различными способами

Учебная цель: формировать умение решать системы линейных уравнений.

Учебные задачи:

1. научиться решать систему линейных уравнений по правилу Крамера;
2. научиться решать систему линейных уравнений методом обратной матрицы;
3. научиться решать систему линейных уравнений методом Гаусса.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- решать системы линейных уравнений различными методами;

знать:

- основные понятия линейной алгебры.

Задачи практических занятий № 4-5

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на нахождение решения системы линейных уравнений различными методами: по правилу Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Решением n линейных уравнений с m неизвестными называется упорядоченная совокупность , обращающая каждое уравнение системы

 в верное равенство.

Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен 0, имеет единственное решение, которое определяется следующими способами:

1. Метод Крамера.

Решение системы находится по формулам:             (4.1)

, где  – определитель матрицы системы;  – определитель, получаемый из определителя  заменой -го столбца столбцом свободных членов.

2. Метод обратной матрицы.

Решение системы находится с помощь уравнения:                                      (4.2),

где  – матрица, обратная матрице .

3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Данный метод решения системы линейных уравнений заключается в том, что нужно привести исходную систему к треугольному виду, т.е.

                                                                                        (4.3).

Затем последовательно находить каждую неизвестную.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

1)    перемена двух или нескольких уравнений местами;

2)    умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;

3)   прибавление к какому-либо уравнению системы другого уравнения, умноженного на число;

4)    удаление из системы уравнение вида .

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1.                  При каких условиях система линейных уравнений имеет единственное решение?

2.                  В чём заключается метод Крамера?

3.                  В чём заключается метод обратной матрицы?

4.                  В чём заключается метод Гаусса?

Задания для практических занятий № 4-5

Задание 1. Решите систему линейных уравнений по правилу Крамера.

Задание 2. Решите систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

Задание 3. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.

№ варианта	Система линейных уравнений	№ варианта	Система линейных уравнений
1		4
2		5
3		6

Инструкция по выполнению заданий практических занятий № 4-5

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания.

5. Для выполнения первого задания сначала вычислите определитель  матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных данной системы линейных уравнений. Далее необходимо вычислить определители , заменив последовательно первый, второй, третий столбцы определителя  на столбец свободных членов системы линейных уравнений. По формулам (4.1) найдите корни данной системы.

6. Во втором задания сначала найдите матрицу , обратную для матрицы . Для этого вычислите алгебраические дополнения каждого элемента матрицы  (см. практическую работу № 3). Затем решите уравнение (4.2).

7. При выполнении третьего задания систему линейных уравнений можно записать в виде расширенной матрицы и с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду. Затем запишите данную систему в виде . В последнем уравнении осталась одна неизвестная, которую можно найти по формуле:. Подставьте полученное значение  во второе уравнение и получите значение неизвестной . Аналогично вычислите значение  из первого уравнения. Сделайте проверку.

Порядок выполнения отчета по практическим занятиям № 4-5

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Решение систем линейных уравнений различными способами.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ  (см. образец отчета по практическим занятиям № 4-5).

Образец отчета по практическим занятиям №№ 4-5

Практические занятия № 4-5

Решение систем линейных уравнений различными способами

Задание 1. Решить систему  по правилу Крамера.

Решение.

Вычислим определитель матрицы .

Система линейных уравнений имеет единственное решение, т.к. определитель отличен от нуля.

Заменим первый столбец определителя  на столбец свободных членов и вычислим :

Заменим второй столбец определителя  на столбец свободных членов и вычислим :

Заменим третий столбец определителя  на столбец свободных членов и вычислим :

Подставим полученные значения в формулы Крамера:

.

Получим:.

Задание 2. Решить систему  методом обратной матрицы.

Решение.

Найдем матрицу , обратную для матрицы .

Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы :

.

Запишем обратную матрицу (см. практическое занятие № 3, формула 1.3):

Решим уравнение по формуле:

,      

       .

Задание 3. Решить систему  методом Гаусса

Решение.

Запишем расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, последовательно исключая неизвестные. Для этого используем элементарные преобразования систем линейных уравнений: умножаем вторую строку на (-2) и складываем ее с первой строкой; умножаем первую строку на 3, а третью – на (-4) и складываем их. Мы получили нули в первом столбце.

Первые две строки переписываем без изменения, затем умножаем последнюю строку на 3 и складываем ее со второй. Получили матрицу треугольного вида:

Запишем полученную матрицу в виде системы линейных уравнений и найдем неизвестные, начиная с третьего уравнения:

Ответ: .

Проверка: .

РАЗДЕЛ  «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Практические занятия №№ 6-7

Решение вероятностных задач с использованием элементов комбинаторики

       Учебная цель: формировать умение вычислять вероятности наступления события, используя элементы комбинаторики, классическое определение вероятностей, формулу полной вероятности и формулу Байеса, вычислять вероятности наступления события, используя формулу Бернулли, вычислять вероятности редких явлений по формуле Пуассона.

Учебные задачи:

1. Научиться вычислять вероятность наступления события, используя формулы комбинаторики;

2. Научиться вычислять вероятность наступления события, используя формулы полной вероятности и формулу Байеса;

3. Научиться вычислять вероятность наступления события, используя формулу Бернулли;

4. Научиться вычислять вероятность наступления редких явлений, используя формулу Пуассона.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

-   решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики;

знать:

-   основные математические методы решения прикладных задач;

-   основные понятия и методы теории вероятностей.

Задачи практических занятий №№ 6-7:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на вычисление вероятностей наступления событий, используя элементы комбинаторики, классическое определение вероятностей, формулу полной вероятности и формулу Байеса, формулу Бернулли, вычислять вероятности редких явлений по формуле Пуассона.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

а) М.С. Спирина, П.А. Спирин. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

б) С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

       В теории вероятностей приходится постоянно сталкиваться с задачами, в которых требуется расположить в соответствии с заданными правилами элементы некоторого конечного множества и подсчитать число всех возможных способов такого расположения.

      Пусть -множество из элементов. Любая совокупность элементов из множества называется выборкой из  элементов по  .

      Различают три основных вида выборок.

1. Упорядоченная -выборка из элементов множества, все элементы которой различны, называется размещением из  элементов по . Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                     (6.1).

2. Неупорядоченная -выборка из элементов множества, все элементы которой различны, называется сочетанием из  элементов по . Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                (6.2).

3. Упорядоченная последовательность, содержащая все  элементов совокупности, называется перестановкой из n элементов. Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                                                (6.3).

Под событием принято понимать всякий факт, который может произойти в данных условиях.

Случайным называется событие, которое может произойти, а может не произойти при заданном комплексе условий.

Достоверным называется событие, если оно обязательно произойдет в данном испытании в результате выполнения комплекса условий.

Невозможным называется событие, если оно никогда не произойдет в данных испытаниях в результате выполнения совокупности условий.

Несовместными называются события, если наступление одного из них в том же испытании исключает наступление другого.

Несколько событий в данном испытании образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игрального кубика составляют полную группу.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условию симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. Пример равновозможного события: выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты.

Рассмотрим полную группу событий . Эти события попарно несовместны, элементарны, равновозможны. Те события , в результате наступления которых наступает и событие А будем называть благоприятствующих событию А.

I. Классическое определение вероятности.

Классической вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А к числу возможных исходов в данном испытании, образующих полную группу попарно несовместных, равновозможных, элементарных событий.

Таким образом, вероятность события  А определяется  формулой

                                                                                                    (6.4).

Где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства теории вероятностей:

а). Вероятность достоверного события равна единице.

б). Вероятность невозможного события равна нулю.

в). Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулем и единицей, т.е.  0<<1.

Классическое определение вероятности применяется только в следующих случаях:

• число элементарных событий конечно;
• результаты всех испытаний равновозможны;
• все равновозможные события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Теоремы теории вероятностей.

Т.-1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (ключевое слово «или»):           (6.5.)

Т.-2. Сумма вероятностей полной группы событий равна единице.

Т.-3. Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле:                                       (6.6.)

Т.-4. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей (ключевое слово «и»): .                  (6.7.)

Т.-5. Вероятность совместного появления (или произведения) двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло, т.е.  или .         (6.8.)

II. Формула полной вероятности.

Пусть события  образуют полную группу попарно несовместимых событий, и пусть событие  может произойти с каждым из событий , где .

Вероятность события , вычисленное в предположении, что  может произойти с каждым , где , называется полной вероятностью события .

Событие  можем представить в виде суммы: . Вычислим вероятность события :

Итак, вероятность события , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместимых событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события  :

,                       (6.9)

где  .

Равенство (4.9) называют формулой полной вероятности.

III. Формула Байеса

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А может произойти с каждой из гипотез , которое образует полную группу попарно несовместимых событий, при этом вероятности гипотез были известны заранее. Пусть проведён опыт, в котором наступило событие . Выясним, как при этом условии изменяется вероятность гипотез. То есть найдём .

Рассмотрим . По теореме о вероятности . Выразим

  - формула Байеса                                              (6.10).

Она позволяет пересмотреть вероятности гипотез, потому что как стало известно, что событие  произошло.

IV. Формула Бернулли.

Опыты(испытания) называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Предположим, что в одних и тех же условиях производится независимых опытов, в каждом из которых возможны только два исхода: а) событие А произошло; б) событие А не произошло. Кроме того, будем считать, что вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же и равна

А значит, вероятность не наступления события А равна . Такая схема теории вероятностей называется схемой Бернулли.

Примерами испытаний по схеме Бернулли могут служить многократные подбрасывания монеты, извлечения из урны шаров черного или белого цвета, стрельба по мишени из одного и того же оружия и т.д.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

             или                      (6.11)

где .

Формулы (4.10), (4.11) используются, если выполняются все условия схемы Бернулли: проводиться серия из  испытаний; в каждом испытании выделяются два исхода: событие  и событие ; вероятность события : , вероятность события :   .

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, - находят соответственно по формулам:

                                                           (6.12).

V. Определение вероятностей редких явлений по формуле Пуассона.

  Если в каждом отдельном независимом испытании вероятность одного из событий близка к нулю, то события называют редкими. Редкими можно считать события: появление ошибки на некоторой странице в книге, телефонный звонок в квартиру за сутки, количество осадков, выпавших за июнь в городе N.

  Для определения вероятности таких явлений применяется асимптотическая формула Пуассона, названная по имени французского математика С.Пуассона.

  Теорема. Если вероятность р события А в каждом повторном испытании связана с числом независимых испытаний n, которое достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет m раз, приближенно находится по формуле

,                                        (6.13),

 где .

  Закон Пуассона применяется для определения вероятности появления m событий, происходящих независимо друг от друга с постоянной вероятностью (средней интенсивностью), причем число испытаний n достаточно велико (), а вероятность появления события в каждом испытании р мала ().

  Приближенные значения вероятности по формуле Пуассона приведены в таблице 6.1.

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Какие виды событий Вы знаете? Дайте определение каждого вида.

2. Дайте определение классической вероятности.

3. Какими свойствами обладает вероятность?

4. Перечислите основные теоремы теории вероятностей.

5. Дайте определение полной вероятности наступления события А. По какой формуле она вычисляется?

6. По какой формуле вычисляется вероятность гипотезы?

7. Как найти вероятность независимых повторных испытаний?

8. В каком случае применяется закон Пуассона?

Задания для практических занятий №№ 6-7

Вариант №1

Задание 1. В профессиональном конкурсе участвовали 4 технолога из первого цеха и 5 технологов из второго цеха. По результатам конкурса были выбраны два призера. Найти вероятность того, что они оба являются представителями второго цеха.

Задание 2. На складе лежат 10 деталей, изготовленные технологом Ивановым, и 11 деталей, изготовленные технологом Петровым. Случайным образом выбирают 5 деталей в сборочный цех. Какова вероятность того, что среди этих 5 деталей, по крайней мере 4 изготовлены технологом Ивановым?

Задание 3. Два производственных участка по выпуску деталей к автомобилям за смену выдали одинаковое количество изделий. Возможный процент брака на первом участке составляет 5%, на втором- 4%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, из числа поступивших на склад, не соответствует установленным требованиям.

Задание 4. Прибор состоит из двух узлов. Работа каждого из узлов необходима для работы прибора в целом. Надежность(вероятность безотказной работы в течение определенного времени) первого узла равна 0,9, второго – 0,8. Прибор испытывался в течение определенного времени, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя. Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

Задание 5. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,1. Куплено 4 билета. Найти вероятность того, что выиграет только один билет.

Задание 6. Задачник издан тиражом 20000 экземпляров. Вероятность того, что он сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что

а) тираж содержит три бракованные книги;

б) тираж содержит не более двух бракованных книги.

Вариант №2

Задание 1. В производственном цеху фирмы работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

Задание 2. Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-и. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на два из трех вопросов?

Задание 3. Для сборки станка с программным управлением в сборочный цех поступают однотипные детали с двух складов В(1) и В(2). Причем, со склада В(1) -60%, а со склада (2)-40% всей продукции. Из каждых 100 деталей стандартными оказались 85 с первого склада и 78 - со второго. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной(событие А), т.е. требуется найти безусловную вероятность события А.

Задание 4. На складе имеется 28 комплектующих изделий от двух компаний поставщиков, из них 20 изделий от первой компании. Известно, что с вероятностью 0.7 среди поставок первой компании встречаются изделия, выполненные по новейшей технологии. Среди изделий второй компании  такие встречаются с вероятностью 0.8. Случайным образом выбранное изделие оказалось выполненным по новейшей технологии. Какова вероятность того, что это изделие от первой компании?

Задание 5. Для данного баскетболиста вероятность попадания мяча в кольцо равна 0,7. Баскетболист выполнил серию из пяти бросков. Какова вероятность того, что при этом было ровно три попадания?

Задание 6. В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что

а) среди 200 студентов найдется ровно 4 левши?

б) среди 200 студентов найдется не более двух, являющихся левшой?

Вариант №3

Задание 1. Рабочему для изготовления деталей принесли 12 заготовок: 8 из стали 1-сорта и 4 из стали 2-го сорта. Какова вероятность того, что выбранные наугад две заготовки окажутся первого сорта?

Задание 2. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Установлено, что у 8 из 25 не выделен только первый параметр, у 6 – только второй, у 3 – оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что она не удовлетворяет стандарту?

Задание 3. На складе имеется 28 комплектующих изделий от двух компаний поставщиков, из них 20 изделий от первой компании. Известно, что с вероятностью 0.7 среди поставок первой компании встречаются изделия, выполненные по новейшей технологии. Среди изделий второй компании  такие встречаются с вероятностью 0.8. Какова вероятность того, что случайным образом выбранное изделие выполнено по новейшей технологии?

Задание 4. Среди поступающих проектов 30% от технологов первого цеха, 70% от технологов второго цеха. Вероятность неперспективных проектов для первого цеха равна 0,02, для второго цеха – 0,03. Наудачу выбранный проект оказался перспективным. Какова вероятность того, что он представлен технологами первого цеха?

Задание 5. В офисе пять компьютеров. Вероятность того, что каждый из них в течение года не потребует ремонта, равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение года придется ремонтировать только два компьютера.

Задание 6. В области в прошлом году было подготовлено 2000 выпускников пол специальности «Технология машиностроения». Вероятность того, что выпускники не найдут работу по специальности равна 0, 005. Найти вероятность того, что:

а) из 2000 выпускников 3 не устроятся на работу по специальности;

б) не устроятся не более двух.

Вариант №4

Задание 1. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что взятый наудачу студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?

Задание 2. В цехе работают три станка. Вероятность отказа в течении смены для станков соответственно равна 0,1, 0, 2 и 0,15. Найти вероятность того, что в течении смены безотказно проработают два станка

Задание 3. Изделия были произведены с использованием двух технологических линий. На первой линии было произведено 2 изделия, на второй линии: 3 изделия. Вероятность того, что изделие будет отличного качества при производстве на первой линии равна 0.75, на второй – 0.7. Какова вероятность того, что случайно выбранной изделие будет отличного качества?

Задание 4. В городе три колледжа, выпускающих специалистов в области машиностроения. В первом колледже выпускники этого профиля составляют 25% , во втором -35%, в третьем – 40% количества всех выпускников. По специальности не идут работать 5%, 4% и 2% выпускников специальности «Технология машиностроения» каждого учебного заведения соответственно. Какова вероятность, что случайно выбранный выпускник данного года не пошел работать по специальности и является студентом первого колледжа?

Задание 5. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На пункт технического контроля поступило 20 новых телевизоров. Какова вероятность того, что в этой партии имеется три телевизора со скрытыми дефектами.

Задание 6. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию равна 0,01. Найдите вероятность того, что

а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию;

б) в течение часа не более 2 абонентов позвонят на станцию.

Инструкция по выполнению заданий практических занятий №№ 6-7

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант задания для практического занятия.

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. При выполнении первого задания воспользуйтесь классическим определением вероятности и формулой (6.4). Для этого необходимо вычислить число благоприятствующих исходов данного события и число всех возможных исходов, используя одну из формул комбинаторики (6.1, 6.2, 6.3).

6. Во втором задании используйте теоремы о сумме вероятностей (6.5 и 6.6)

6. В третьем задании используйте формулу вычисления полной вероятности (6.9). Для этого сначала обозначьте буквами событие, вероятность которого нужно вычислить и возможные гипотезы по отношению к этому событию. Затем вычислите вероятность каждой гипотезы и условные вероятности события при условии, что каждая из гипотез произошла. Полученные результаты внесите в формулу полной вероятности и сделайте расчет.

7. В четвертом задании необходимо вычислить вероятность гипотезы при условии, что данное событие уже произошло. Для этого воспользуйтесь формулой Байеса (6.10). Данное задание выполняйте по схеме предыдущей задачи.

8. В пятой задаче выполняются все условия схемы Бернулли, следовательно можно применить формулу (6.11). Обозначьте через -количество независимых опытов, -количество наступления события А с двумя исходами в данном испытании, - вероятность наступления события А, - вероятность не наступления события , .

9. Для решения шестой задачи можно применить формулу Пуассона (6.13), т.к. выполняется схема Бернулли, причем число испытаний n достаточно велико (), а вероятность появления события в каждом испытании мала (). При выполнении задания под буквой б) примените подходящую для вашего примера формулу (6.12).  Приближенные значения вероятности по формуле Пуассона найдите в таблице 6.1.

Порядок выполнения отчета по практическим занятиям №№ 6-7

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Решение вероятностных задач с использованием элементов комбинаторики.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическим занятиям №№ 12-13).

Образец отчета по практическим занятиям №№ 6-7

Практические занятия №№ 6-7

Решение вероятностных задач с использованием элементов комбинаторики

Задание 1. В группе студентов, обучающихся по специальности «Технология машиностроения», 30 учащихся: 25 мальчиков и 5 девочек. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность того, что это девочки?

Решение. Испытание – вызывают двух учащихся из 30. Событие А – вызвали двух девочек из 5. Нам нужно выбрать двух учащихся из 30. Тогда число всех элементарных исходов испытания равно (порядок не важен): , а количество благоприятных исходов равно . Тогда    .

Ответ: .

Задание 2. а) В лотерее 1000 билетов. Из них на один билет падает выигрыш 5000 руб., на 10 билетов – выигрыши по 1000 руб., на 50 билетов – выигрыши по 200 руб., на 100 билетов – выигрыши по 50 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 200 руб.

Решение. Рассмотрим события:

 - выиграть не менее 200 руб.;

 - выиграть 200 руб.;

 - выиграть 1000 руб.;

 - выиграть 5000 руб..

Очевидно, что . Так как события - несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий

Ответ: 0,061.

б) Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Решение. Пусть -событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а  - в том, что оно кратно 5. Так как и  - совместные события, то воспользуемся формулой (13.6):

 Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, …, 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события ); 18 кратными 5 (благоприятствуют наступлению события ) и 6 – кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события ). Таким образом, .

.

Ответ: 0,467.

Задание 3. Была проведена одна и та же контрольная работа в трёх параллельных группах. В первой, где 30 учащихся, оказалось 8 работ, написанных на «отлично». Во второй – 28 учащихся, из которых 6 работ выполнены на «отлично». В третьей – 27 учащихся, из которых 9 работ выполнены на «отлично». Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при повторной проверке работа из работ, принадлежащих наудачу выбранной группе, окажется выполненной на «отлично».

Решение. Испытание – выбирают группу из трёх и выбирают одну контрольную работу. Обозначим через  событие – работа выполнена на «отлично». Возможны следующие предположения (гипотезы): работа из первой группы, работа из второй группы, работа из третьей группы. Вероятность каждого из предположений равна , т.е.   и .

Следовательно,  образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Искомую вероятность того, что работа выполнена на «отлично», находим по формуле полной вероятности:

Ответ: .

Задание 4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата  вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через  событие – деталь отличного качества. Можно сделать  два предположения (гипотеза): деталь  произведена  первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит  вдвое больше деталей, чем второй) ; деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена  первым автоматом, .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена  вторым  автоматом, .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна

.

Ответ: .

Задание 5. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,1. Сделано 5 выстрелов. Найти вероятность только одного промаха.

Решение. Случайная величина Х-количество промахов при выстрелах. Вероятность ровно  промахов вычисляется по формуле Бернулли  где - вероятность промаха при одном выстреле, - вероятность попадания при одном выстреле.

 В нашем случае ; .

 Вероятность только одного промаха

Ответ: 0,328.

Задание 6. Некоторое устройство выходит из строя, если откажет определённая микросхема. Вероятность его отказа в течение часа работы равна 0,004. Какова вероятность того, что

а) за 1000 часов работы придётся 5 раз менять микросхему;

б) за тысячу часов работы придется не более двух раз поменять микросхему.

Решение.

а) Очевидно, что схема Бернулли выполняется. Событие – микросхема отказала – произошло 5 раз в 1000 испытаниях. Вероятность p – очень мала, 0,004; число испытаний велико. Значит можно использовать формулу Пуассона:

Ответ: 0,1563.

б)

Ответ: 0,24.

Таблица 6.1

РАЗДЕЛ «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И

ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ»

Практическое занятие № 8

Вычисление пределов функций

Учебная цель: формировать умение вычислять пределы функций.

Учебные задачи:

- научиться вычислять пределы функций.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- анализировать сложные функции и строить их графики;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа.

Задачи практических занятий № 8

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на вычисление пределов функций.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Определение. Число А называется пределом функции в точке  и обозначается , если для любого числа  существует число  такое, что для всех , удовлетворяющих условию , где , выполняется неравенство .

  Функция  называется бесконечно малой при , если .

  Функция  называется бесконечно большой при , если .

  Если функция - бесконечно малая прии , то функция  - бесконечно большая, причем предполагается, что в окрестности точки  функция  не обращается в нуль. Наоборот, если при функция  - бесконечно большая, то функция  - бесконечно малая.

При вычислении пределов функций применяются следующие теоремы:

   Т-1. Если существуют пределы функций и при , то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов этих функций:

.       (8.1)

   Т-2. Если существуют пределы функций и при , то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов этих функций:

.    (8.2)

   Т-3.Если существуют пределы функций и при , предел функции  отличен от нуля, то существует также и предел отношения , равный отношению пределов этих функций:

.                               (8.3)

   Слелствие-1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

.                    (8.4)

   Слелствие-2. Если - натуральное число, то справедливы соотношения:

 и .                 (8.5)

  Слелствие-3 Предел многочлена (целой рациональной функции)  при  равен значению этого многочлена при , т.е.                                 

.                                    (8.6)

  Слелствие-4. Предел дробно-рациональной функции  при  равен значению этой функции при , если  принадлежит области определения этой функции, т.е.

.                                                                                (8.7)

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Дайте определение предела функции.

2. Какая функция называется бесконечно малой?

3. Какая функция называется бесконечно большой?

4. Перечислите теоремы, на которых основано вычисление пределов функции.

5. Перечислите следствия из теорем, на которых основано вычисление пределов функции.

Задание для практического занятия № 8

Задание. Вычислите пределы:

Вариант №1.

 1). ;                           2) ;                               3). ;

4). ;                    5). ;                         6). ;

 7) ;                                  8). ;                                  9) ;

10). ;                                                                                               11).

Вариант №2.

 1). ;                     2). ;                          3). ;

 4). ;                   5). ;                    6). ;

 7) ;                                       8) ;                                       9). ;

10). ;                                                                                         11).  

Вариант №3.

 1).;                        2). ;                                  3).;

4). ;                              5).  ;                               6). ;

 7) ;                                            8) ;                                       9). ;

10). ;                                                                                        11). .

Вариант №4.

 1).;                        2). ;                                  3). ;

4). ;                      5). ;                       6). ;

 7) ;                                         8) ;                                  9). ;

10).;                                                                                   11). .

Вариант №5.

1) ;                       2) ;                                      3) ;

4) ;                                5) ;                                     6) ;

7) ;                                        8) ;                                       9) ;

10) ;                                                                                                     11) .

Вариант №6.

1) ;                      2) ;                                    3) ;

4) ;                             5) ;                                6) ;

7) ;                                           8) ;                                       9) ;

10) ;                                                                                        11) .

Инструкция по выполнению заданий практического занятия № 8

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какое правило для вычисления данного предела необходимо использовать.

5. При выполнении первого задания используйте правило вычисления предела многочлена (8.6).

6. Для выполнения второго задания нужно использовать правило нахождения предела дробно-рациональной функции в точке, принадлежащей области определения функции (8.7).

7. При выполнении третьего задания используйте связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами (если - величина бесконечно малая, то обратная ей величина  является бесконечно большой) и определение предела бесконечно большой величины (предел бесконечно большой величины равен бесконечности).

8. Для выполнения четвертого, пятого и шестого заданий воспользуйтесь правилом раскрытия неопределенностей вида  (необходимо числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень аргумента в знаменателе.) и связью между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

9. В заданиях семь, восемь и девять функции представляют собой дробь, пределы числителя и знаменателя которых равны нулю. Чтобы раскрыть неопределенность вида , необходимо числитель (а в восьмом примере и знаменатель) разложить на множители.

10. Чтобы раскрыть неопределенность вида  в десятом задании, следует избавиться от иррациональности в числителе или знаменателе. Для этого умножьте и числитель, и знаменатель на сопряженное выражение (например, для  сопряженным будет выражение . Затем преобразуйте выражение и перейдите к пределу.

11. В задании одиннадцать имеем неопределенность вида . Необходимо привести дроби к общему знаменателю, произвести заданное действие и сократить на общий множитель числитель и знаменатель. Вычислить предел преобразованного выражения.

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 8

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Вычисление пределов функций.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ  (см. образец отчета по практическому занятию № 6).

Образец отчета по практическому занятию № 8

Практическое занятие № 8

Вычисление пределов функций

Задание. Вычислите пределы:

1. .

Решение. По правилу нахождения предела многочлена находим:

.

Ответ: 13.

2. .

Решение. Т.к. при  знаменатель дроби отличен от нуля, то по правилу нахождения предела дробно-рациональной функции получим:

Ответ: -3.

3.

Решение. При  предел знаменателя равен нулю, т.е. знаменатель – функция бесконечно малая. Тогда функция  при  -бесконечно большая. Произведение бесконечно большой на ограниченную величину есть величина бесконечно большая и ее предел при равен бесконечности.

Ответ:.

4.

Решение. При  числитель и знаменатель - величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применение теоремы о пределе частного получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на

 (при  и – величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

Ответ:

5. .

Решение. Пределы числителя и знаменателя при – бесконечно большие величины, т.е. получим неопределенность вида . Поэтому преобразуем данную функцию, разделив почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на :

 ( при   и  - величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

Ответ:.

6. .

Решение. Пределы числителя и знаменателя при   равны 0. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, т.к. получается отношение двух бесконечно малых величин (неопределенность ).

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю:

Ответ:

7. .

Решение. При  пределы числителя и знаменателя равны нулю, следовательно, получим неопределенность вида . Вынесем в числителе за скобки  и разделим числитель и знаменатель на , что допустимо, так как  до перехода к предельному значению. Тогда получим: =.

Ответ:0,5.

8. .

Решение. Раскроем неопределенность . Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное с числителем :

 

Ответ:1.

9. .

Решение. Раскроем неопределенность . Для этого приведем выражение к общему знаменателю.

Ответ:

РАЗДЕЛ  «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И

ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ»

Практическое занятие № 9

Нахождение промежутков монотонности и выпуклости с помощью производных. Нахождение асимптот графика функции

Учебная цель: формировать умения находить промежутки монотонности функции, промежутки выпуклости графика функции, асимптот графика функции.

Учебные задачи:

1.научиться находить промежутки монотонности функции с помощью первой производной;

2. научиться находить промежутки выпуклости графика функции с помощью второй производной;

3. научиться находить асимптоты графика функции.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- анализировать сложные функции и строить их графики;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа.

Задачи практических занятий № 9

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на нахождения промежутков монотонности функции, на нахождение промежутков выпуклости графика функции, на нахождение асимптот графика функции.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 575 с.

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2009. – 495 с.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

   Функция  называется возрастающей в промежутке , если для любых  и , принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .

   Функция  называется убывающей в промежутке , если для любых  и , принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .

   Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

   Возрастание и убывание функции  характеризуется знаком ее производной:

- если в некотором промежутке , то функция возрастает на этом промежутке;

- если в некотором промежутке , то функция убывает на этом промежутке.

   Критическими точками функции называются точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная  не существует или равна нулю.

   Кривая  называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

   Кривая  называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

   Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

   Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной.

   Теорема. Если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

   Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика.

   Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

   Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба  равна нулю, т.е. .

   Достаточное условие перегиба. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе  через некоторую точку меняет знак, то  есть точка перегиба ее графика.

   Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

    График функции  при   имеет вертикальную асимптоту, если .(9.1).

Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид  (9.2)

    График функции  при   имеет горизонтальную асимптоту, если  (9.3).

 Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид  (9.4).

   Уравнение наклонной асимптоты имеет вид    (9.5),

где          (9.6)                            и                         (9.7).

   Если при вычислении предела , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной.

Правило нахождение промежутков монотонности функции:

1) Найти область определения функции.

2) Найти производную функции .

3) Найти критические точки функции , т.е. точки, в которых обращается в нуль или терпит разрыв.

4) Исследовать знак производной  в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.

5) Сделать вывод о промежутках монотонности функции и их характере.

Правило нахождение промежутков выпуклости графика функции:

1) Найти область определения функции.

2) Найти вторую производную функции .

3) Найти точки, в которых  (критические точки).

4) Исследовать знак второй производной  в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.

5) Сделать вывод о промежутках выпуклости и направлении выпуклости графика функции.

6) Определить точки перегиба графика функции.

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Какая функция называется убывающей?

2. Какая функция называется возрастающей?

3. Какая функция называется монотонной?

4. Как найти промежутки монотонности функции?

5. Как определить выпуклость кривой вверх или вниз?

6. Что понимается под промежутком выпуклости графика функции?

7. Как исследуется функция на направление выпуклости с помощью второй производной?

8. Какие точки графика называются точками перегиба?

9. Дайте определение асимптоты графика функции.

10. Перечислите виды асимптот.

11. Напишите формулы для нахождения вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

Задания для практического занятия №9

Задание 1. Найти интервалы монотонности функции и определить вид монотонности.

Задание 2. Найти интервалы выпуклости графика функции, определить характер выпуклости, найти точки перегиба графика функции.

Задание 3. Найти асимптоты графика функции.

№ варианта	Задание 1.	Задание 2.	Задание 3.
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Инструкция по выполнению практического занятия № 9

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения, теоремы и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. Первое задание выполняйте по правилу нахождение промежутков монотонности функции.

6. При выполнении второго задания используйте теорему о связи между знаком второй производной  и видом выпуклости графика функции . Выполните данное задание по правилу нахождение промежутков выпуклости графика функции.

7. При выполнении третьего задания используйте определение асимптоты графика функции и условия существования вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

Вертикальные асимптоты кривой следует искать там, где знаменатель функции обращается в нуль (в точке разрыва) – формулы (9.1) и (9.2).

Для нахождения горизонтальной асимптоты используйте формулы (9.3)и (9.4)..

Наклонная асимптота записывается в виде (9.5) и вычисляется по формулам (9.6) и (9.7).

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 9

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Нахождение промежутков монотонности и выпуклости с помощью производных. Нахождение асимптот графика функции.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию № 9).

Образец отчета по практическому занятию № 9

Практическое занятие № 9

Нахождение промежутков монотонности и выпуклости с помощью производных. Нахождение асимптот графика функции

Задание 1. Найти интервалы монотонности функции и определить вид монотонности.

Решение.

1) Данная функция определена на всей числовой прямой.

2) Находим первую производную данной функции: .

3) .

 - критические точки.

4) Определим знаки производной в окрестностях критических точек.

                      +                             _                                      +

                                                                                                                                                    

                               -1                                  2              

5) Функция  возрастает на промежутке .

Функция  убывает на промежутке .

Задание 2. Найти интервалы выпуклости графика функции, определить характер выпуклости, найти точки перегиба графика функции.

Решение.

1) Данная функция определена на всей числовой прямой.

2) Находим вторую производную данной функции:

,                                     .

3) Находим критические точки второго рода. Для этого приравняем вторую производную к нулю: , или .

,                                            .

4) Методом пробных точек определяем знак второй производной в каждом из интервалов: .

                      +                             _                                      +

                                                                                                                                                    

                               -1                                  2              

5) а) на  и  график функции обращен выпуклостью вниз, на  график функции обращен выпуклостью вверх.

6) точки  являются точками перегиба, т.к. вторая производная при переходе через эти точки меняет знак.

Задание 3. Найти асимптоты графика функции .

Данная функция определена на . Точка , следовательно, функция имеет в этой точке разрыв.

а) Найдем вертикальную асимптоту: , следовательно, - вертикальная асимптота.

б) Найдем наклонную асимптоту : ,

.

- наклонная асимптота.

в) Найдем горизонтальную асимптоту: .

Следовательно, горизонтальной асимптоты нет.

РАЗДЕЛ «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И

ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ»

Практические занятия № 10-11

Исследование функции и построение графика

Учебная цель: формировать умение исследовать функцию и строить график.

Учебные задачи: научиться проводить исследование сложных функций и строить их графики.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- анализировать сложные функции и строить их графики;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа.

Задачи практических занятий № 10-11

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.

4. Решить задачу на исследование функции и построения ее графика.

5. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005.

- Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер.- Изд. 4-е, испр. – Ростов н/Д : Феникс, 2008.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

  Переменная называется функцией переменой  (аргумент), если каждому допустимому значению  соответствует определенное значение . Символически функциональная зависимость между переменными записывается с помощью равенства , где  означает совокупность действий, которые надо произвести над , чтобы получить .

Область определения (существования) функции называется множество всех действительных значений аргумента, при которых она может иметь действительное значение. Обозначается D(f).

Функция  называется чётной, если для любого  из её области определения выполняется равенство                 (10.1),

т.е. при всех значениях  в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный значение функции не меняется. График четной функции симметричен относительно оси .

Функция  называется нечётной, если для любого  из её области определения                                                     (10.2).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно при­ближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала коор­динат.

Вертикальная  асимптота. График функции  при  имеет вертикальную асимптоту, если                             (10.3).

Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид:        (8.4).

Горизонтальная асимптота. График функции  при имеет горизонтальную асимптоту, если                         (10.5).

Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид:               (10.6).

Наклонная асимптота. Пусть график функции  имеет наклонную асимптоту                                                                                      (10.7), где

                  (8.8) и                 (10.9).

Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Определить промежутки монотонности функции можно с помощью первой производной.

Если  на промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке. Если  на промежутке I, то функция убывает на этом промежутке.

Точки из области определения функции, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими точками.

Если при переходе через точку  производная меняет знак с «+» на «-», то она является точкой максимума функции. Если при переходе через точку  производная меняет знак

с «-» на «+»,  то она является точкой минимума функции.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума и обозначаются:

Значение функции в точке максимума называется максимумом функции: .  Значение функции в точке минимума называется минимумом функции:.

Значение функции в точках экстремума называется экстремумом функции.

   Кривая  называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

   Кривая  называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

   Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

   Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной.

Теорема. Если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика

Схема исследования функции:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на чётность, нечётность.

3. Найти нули функции: точки пересечения с осями координат.

4. Найти уравнения асимптот графика функции.

5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки его перегиба.

7. Построить график функции.

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Сформулируйте определение функции

2. Что называется областью определения функции?

3. Какие функции называются четными и как они исследуются на четность?

4. Какие функции называются нечетными?

5. Дайте определение асимптоты графика функции.

6. Перечислите виды асимптот.

7. Напишите формулы для нахождения вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

8. Дайте определение монотонности функции.

9. Сформулируйте практическое правило исследования функции на возрастание и убывание.

10. Дайте определение критической точки.

11. Что называется максимумом и минимумом функции?

12.Как исследуется функция на промежутки выпуклости графика?

13. Какие точки называются точками перегиба?

Задания для практических занятий № 10-11

Задание 1. Исследуйте функцию

Задание 2. Постройте график исследуемой функции. 

№ варианта	Функция	№ варианта	Функция
1		4
2		5
3		6

Инструкция по выполнению задания практических занятий № 10-11

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. При нахождении области определения функции обратите внимание на выражения, содержащие дроби, так как знаменатель дроби не может обращаться в нуль.

6. Для определения четности и нечетности функции необходимо изменить знак аргумента на противоположный, если эти значения принадлежат области определения функции. Используя условия (8.1) и (8.2), определим свойство четности или нечетности функции.

7. Чтобы определить нули функции, необходимо сначала приравнять функцию к нулю (точки пересечения с осью ), затем подставить в функцию значение аргумента , если нуль принадлежит области определения функции (точки пересечения с осью .

8. Асимптоты кривой находим:

- вертикальную по формулам (8.3) и (8.4);

- горизонтальную по формулам (8.5) и (8.6);

- наклонную по формулам (8.7), (8.8) и (8.9).

9. Для исследования функции на монотонность найдите первую производную функции и приравняйте ее к нулю. Найдем точки, где -критические и точки, где  не существует. Анализируем каждую критическую точку, т.е. выясняем меняет знак производная при переходе через эти точки (и тогда экстремум есть) или не меняет(и тогда экстремума нет). Параллельно с этим находим интервалы возрастания и убывания функции.

10. Далее найдем точки, подозрительные на перегиб. С этой целью находим вторую производную и выясняем точки, где  и где она не существует. Анализируем каждую из полученных точек. Для этого выясняем меняется или не меняется знак второй производной при переходе через подозрительную точку. После этого делаем выводы относительно интервалов и направления выпуклости кривой и относительно точек перегиба используя теорему  и определение точки перегиба.

11. Для построения графика используем все полученные ранее результаты исследований.

Порядок выполнения отчета по практическим занятиям № 10-11

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Исследование функции и построение графика.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение (см. образец отчета по практическим занятиям № 10-11).

Образец отчета по практическим занятиям № 10-11

Практические занятия № 10-11

Исследование функции и построение графика

Задание 1. Исследуйте функцию  

Решение:

1. Найдем область определения функции (т.к. функция дробно-рациональная, ее знаменатель не должен быть равен нулю):

.

2. Исследуем функцию на чётность (для этого изменим знак аргумента на противоположный):

 функция не является чётной.

 функция не является нечётной.

График функции не является симметричным ни относительно начала координат, ни  относительно оси OY.

3. Найдем нули функции:

Пересечение с осью Ох: .

График пересекается с осью Ох в точке .

Пересечение с осью Оу: х=0. Но нуль не входит в область определения функции, следовательно график не пересекается с осью Оу.

4. Найдем асимптоты кривой.

. Значит,  - вертикальная асимптота.

. Горизонтальной асимптоты нет.

.

.

Значит, наклонная асимптота.

5. Найдем промежутки возрастания и промежутки убывания функции и ее экстремумы. Для этого найдем производную данной функции:

.

Приравняем ее к нулю

,  .

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю.

.

- критическая точка.

Определим знаки производной на промежутках: :

 возрастает на промежутках .

 убывает на промежутке .

В точке  производная функции меняет знак с «+» на «-», следовательно

.

 Точка .

6. Исследуем функцию на направление выпуклости и найдем точки перегиба.

Для этого найдем вторую производную:

Приравняем ее к нулю:

Дробь отлична от нуля, т. к.  

Определим знаки второй производной на промежутках :

График функции обращен выпуклостью вверх на . Т.к. кривая не меняет направление выпуклости, точек перегиба нет.

Задание 2. Постройте график исследуемой функции.

Решение.

РАЗДЕЛ  «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И

ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ»

Практическое занятие № 12

Интегрирование функций

Учебная цель: формировать умение находить интегралы различных функций.

Учебные задачи:

1. Научиться находить интегралы элементарных функций.

2.Научиться находить интегралы методом подстановки.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа.

Задачи практических занятий № 12

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.

4. Решить задачи на нахождение интегралов с использованием таблицы интегралов и основных свойств и нахождение интегралов методом замены переменной.

5. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005.

- Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер.- Изд. 4-е, испр. – Ростов н/Д : Феникс, 2008.

- Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть II)/ под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2005.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

   Одной из главных задач дифференциального исчисления является задача нахождения скорости изменения какой-либо функции, т.е. задача нахождения производной. На практике часто приходится решать обратную задачу: зная скорость изменения функции, найти эту функцию. Эта операция называется интегрированием. Это означает, что необходимо найти такую функцию , которая удовлетворяет условию , где  - известная функция.

   Искомую функцию  называют первообразной функцией по отношению к функции .

  Если функция  имеет первообразную, то она имеет их бесконечное множество, которые могут различаться лишь на постоянное слагаемое.

 Теорема. Любая первообразная для функции  на промежутке  может быть записана в виде

 (основное свойство первообразных)

 Определение. Совокупность всех первообразных для данной функции  называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается , где  называют подынтегральной функцией, а выражение  - подынтегральным выражением, знак  называется знаком интеграла.

   Согласно определению неопределенного интеграла, можно записать

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:                                 (12.1)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:                                                                            (12.2)

3. Если , то        (12.3)

Таблица неопределенных интегралов.

 1.  ;                              при   .

2.                                                       7.

3. .                                           8.

4.                                              9.

5.                                                10.

6.                                            11.

12. .

   Непосредственным интегрированием принято называть вычисление неопределенных интегралов путем приведения их к табличным с применением основных свойств.

   Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда. В этих случаях одним из эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Этот метод описывается следующей формулой:

.

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Какое действие называется интегрированием?

2. Какая функция называется первообразной для данной функции ?

3. Чем отличаются друг от друга различные первообразные функции для данной функции ?

4. Дайте определение неопределенного интеграла.

5. Дайте определение подынтегральной функции и подынтегрального выражения.

6. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

7. В чем заключается метод замены переменных при отыскании неопределенного интеграла?

Задания для практического занятия № 12

Задание 1. Найдите интегралы, используя таблицу и основные свойства.

Задание 2. Найдите интегралы методом замены переменной.

Вариант № 1.

Задание 1.	Задание 2
а)                б) в)                    г) д)                           е)	а)                        б) в)                            г) д)                  е)

Вариант № 2.

Задание 1.	Задание 2
а)                б) в)                     г) д)                              е)	а)                         б) в)                             г) д)                  е)

Вариант № 3.

Задание 1.	Задание 2
а)               б) в)               г) д)                           е)	а)                        б) в)                           г) д)                е)

Вариант № 4.

Задание 1.	Задание 2
а)                 б) в)              г) д)                              е)	а)                       б) в)                    г) д)                             е)

Инструкция по выполнению заданий практического занятия № 10

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания.

5. В первом задании под буквами а), б), г) и д) вычисление неопределенных интегралов основывается на формулах из таблицы неопределенных интегралов и свойствах интегралов (12.1 и 12.2). Под буквами в) и е) необходимо использовать еще свойство (12.3).

6. При выполнении второго задания интегралы вычисляются методом замены переменной. При вычислении интегралов под буквами а) и б) замените функции в скобках другой переменной. Под буквами в) и е) в вариантах №1, №2 и №3 замените другой переменной знаменатель, а в варианте №4 – показатель степени.

7. Во втором задании при вычислении интеграла под буквой г) выделите в знаменателе полный квадрат и сделайте замену выражения в скобке, приведя данный интеграл к табличному.

8. При выполнении задания под буквой д) замените тригонометрическую функцию, имеющую показатель степени.

9. Проверьте правильность решения заданий.

10. Убедившись, что задания решены правильно на черновике, аккуратно спишите их в чистовик.

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 12

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Интегрирование функций.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию № 12).

Практическое занятие № 12

Интегрирование функций

Задание 1. Найдите интегралы, используя таблицу и основные свойства.

а) .

Решение: .

б) .

Решение: .

в) .

Решение: .

г) .

Решение: .

д) .

Решение: .

Задание 2. Найдите интегралы методом замены переменной.

а) .

Решение: пусть , тогда  и .

.

б) .

Решение: пусть , тогда  и

.

в) .

Решение: пусть , тогда  и

.

г) .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение: выделим полный квадрат в знаменателе

.

Пусть , тогда  и .

.

Ответ: .

д) .

Решение: пусть , тогда

.

е) .

Решение. Вычислим данный интеграл, используя метод подстановки.

Применим подстановку , откуда  и .

Ответ:

РАЗДЕЛ «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И

ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ»

Практическое занятие № 13

Вычисление значений геометрических величин

Учебная цель: формировать умение применять определенный интеграл при вычислении значений геометрических величин.

Учебные задачи:

1. Научиться вычислять площади плоских фигур.

2. Научиться вычислять объемы тел вращения.

3. Научиться вычислять длину дуги.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- вычислять значения геометрических величин;

- решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений.

знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

- основы интегрального и дифференциального исчислений.

Задачи практических занятий № 13

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на вычисление геометрических величин: площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длины дуги.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005.

- Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер.- Изд. 4-е, испр. – Ростов н/Д : Феникс, 2008.

- Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть II)/ под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.:Высшее образование, 2005.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

1. Вычисление площади плоской фигуры.

Пусть на отрезке  оси  задана непрерывная и неотрицательная функция .

     Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком  и прямыми  и , называют криволинейной трапецией.

  В математике понятие криволинейной трапеции связывают с декартовой системой координат.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если интегрируемая на отрезке  функция неотрицательна, то определенный интеграл  численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми  и , т.е.

 - формула Ньютона-Лейбница.            (13.1)

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

2. Вычисление объема тел вращения.

  Пусть задано тело объемом V. Проведем ось такую, что какую бы плоскость перпендикулярно этой прямой мы не взяли, нам известна площадь сечения тела этой плоскостью - . Тогда каждому числу  соответствует своя площадь сечения , т.е.  есть функция от  .

 Пусть эта функция непрерывна на , тогда справедлива формула

V=.

  Пусть функция , непрерывна на этом отрезке. Требуется вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной линиями  По формуле  V=, где -площадь поперечного сечения в точке . Любое поперечное сечение данной фигуры есть круг радиуса . Тогда площадь сечения . И объем можно вычислить по формуле

                                  (13.2)

3. Вычисление длины дуги кривой.

  Длина дуги кривой , заключенной между точками с абсциссами  и , определятся по формуле

                            (13.3)

Вопросы для закрепления теоретического материла:

1. Дайте определение криволинейной трапеции.

2. Объясните, в чем заключается геометрический смысл определенного интеграла.

3. Запишите формулу для вычисления объема тела вращения.

4. По какой формуле вычисляется длина дуги кривой?

Задания для практического занятия № 13

Задание 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции.

Задание 2. Вычислить площадь плоской фигуры.

Задание 3. Вычислить объем тела вращения.

Задание 4. Вычислить длину дуги кривой.

	Задание 1	Задание 2	Задание 3	Задание 4
вариант №1			а) , ,; б)	от начала координат до точки
вариант №2			а) , ,; б)	от начала координат до точки
вариант №3		,	а) ; б) ,	от начала координат до точки
вариант №4			а) ; б)	от начала координат до точки

Инструкция по выполнению задания практических занятий № 13

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. Выполнение первого задания необходимо начать с изображения криволинейной трапеции на координатной плоскости. Определить границы интегрирования. Затем вычислить площадь заданной криволинейной трапеции по формуле (13.1).

6. Во втором задании сначала изобразите плоскую фигуру, ограниченную графиками заданных функций. Затем найдите границы интегрирования, для этого приравняйте функции и найдите точки пересечения их графиков. Площадь плоской фигуры можно найти как разность площадей криволинейных трапеций, каждая из которых ограничена заданными функциями, прямыми  и (где и -точки пересечения графиков функций).

7. При выполнении третьего задания под буквой а) изобразите фигуру, полученную при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс. Затем вычислите объем полученной фигуры, используя формулу (13.2), где -заданная функция, ограничивающая криволинейную трапецию. Задание под буквой б) выполняйте аналогично шестому заданию.

8. Для выполнения четвертого задания сначала найдите производную заданной функции, затем подставьте ее в формулу (13.3) и вычислите длину дуги. Границами интегрирования будут абсциссы заданных точек.

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 13

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Вычисление значений геометрических величин.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 13).

Образец отчета по практическому занятию № 13

Практическое занятие № 13

Вычисление значений геометрических величин

Задание 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямыми

Решение. По определению фигура, ограниченная графиком функции , прямыми , является криволинейной трапецией, т.к. функция непрерывная и не меняет знак на ; прямые  пересекают график функции и прямую . Следовательно, ее площадь можно вычислить, используя формулу Ньютона-Лейбница.

.

Ответ: (ед.)

Задание 2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций   и  .

Решение. Найдем точки пересечения этих графиков (приравняем данные функции):

.

 Возведем во вторую степень обе части уравнения: ,

     и      - границы интегрирования.

Нарисуем графики заданных функций.

 На рис. фигура, о которой идет речь, заштрихована. Ее площадь равна разности площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , отрезком , лежащим на оси , прямыми и площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , отрезком , лежащим на оси , прямыми.

.

Ответ:(ед.)

Задание 3.

а) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями:

 

Решение.  Такое тело называется параболоидом вращения.

По формуле

Ответ:32(ед.)

б) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Найдем границы интегрирования: , .

Ввиду симметричности вращающейся фигуры можно вычислить объем в пределах от 0 до 1, затем результат удвоить.

Из рисунка видно, что искомый объем равен разности объемов тел, образованных при вращении вокруг оси абсцисс фигур  и . Тогда

   

Ответ:(ед.)

Задание 4. Вычислить длину дуги полукубической параболы  от начала координат до точки с координатами .

Решение. Для вычисления длины дуги воспользуемся формулой . Найдем производную функции . Тогда

.

Ответ: (ед.)

РАЗДЕЛ  «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И

ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ»

Практическое занятие № 14

Решение прикладных задач с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления

Учебная цель: формировать умение применять определенный интеграл при вычислении физических величин.

Учебные задачи:

1. Научиться находить длину пройденного пути.

2. Научиться вычислять работу, совершаемую силой.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений.

знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

- основы интегрального и дифференциального исчислений.

Задачи практических занятий № 14

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.

4. Решить задачи на вычисление пути и работы переменной силы.

5. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005.

- Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер.- Изд. 4-е, испр. – Ростов н/Д : Феникс, 2008.

- Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть II)/ под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.:Высшее образование, 2005.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

   Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхности и объемы произвольных тел. Но применение определенного интеграла не ограничивается вычислением площади фигуры. Определенный интеграл помогает решать ряд физических и общетехнических задач.

1. Задача  о вычислении пути.

  Согласно физическому смыслу первой производной, производная функции в точке есть мгновенная скорость точки, т.е. . Отсюда, . Проинтегрируем полученное равенство в пределах от до  и получим:

.

Тогда путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью  за отрезок времени  выражается интегралом:

                                            (14.1).

2. Задача о вычислении работы переменной силы.

   Работа, произведенная переменной силой  при перемещении по оси  материальной точки от  до , находится по формуле

                                         (14.2).

  Решение задач на вычисление работы силы упругости, связанных с растяжением или сжатием пружин, основывается на законе Гука: ,

где  - сила (Н), - абсолютное удлинение пружины ,  - коэффициент пропорциональности .

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Запишите формулу для вычисления пути, пройденного точкой за определенный промежуток времени.

2. По какой формуле вычисляется работа переменной силы?

Задания для практического занятия № 14

Вариант 1.

Задание 1. Тело движется прямолинейно со скоростью (м/с). Найти путь, пройденный за первые 5 секунд.

Задание 2. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью . Найдите наибольшую высоту подъема тела .

Задание 3. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. Одно тело двигалось со скоростью (м/с), другое - (м/с). На каком расстоянии они будут друг от друга через 5 секунд?

Задание 4. Для сжатия пружины на 4 см необходимо применить силу 78,4 Н. Вычислить работу, которую потребуется затратить для сжатия пружины на 2 см, 7см.

Вариант 2.

Задание 1. Скорость движения точки (м/с). Найти путь, пройденный точкой за 3-ю секунду.

Задание 2. Камень брошен с земли вертикально вверх. Найдите наибольшую высоту подъема камня , если его скорость .

Задание 3. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело двигалось со скоростью м/с, второе – со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга  они окажутся через 10с?

Задание 4. Для удлинения пружины на 2 см  необходимо приложить силу в 6 Н. Вычислить работу, которую необходимо затратить для растяжения пружины: 1) на 1см;  2) на 4 см.

Вариант 3.

Задание 1. Скорость движения точки (м/с). Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Задание 2. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью . Найдите наибольшую высоту подъема тела .

Задание 3. Два тела начали движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью (м/с), второе – со скоростью (м/с). В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

Задание 4. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе . Вычислить работу силы  при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н.

Вариант 4.

Задание 1 Скорость прямолинейного движения тела определяется по формуле (м/с). Какой путь пройдет тело за 5с от начала движения?

Задание 2. Мяч брошен с земли вертикально вверх. Найдите наибольшую высоту подъема мяча , если его скорость .

Задание 3. Два тела начинают движение одновременно из одной и той же точки: одно со скоростью (м/с), другое – со скоростью (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с, если они движутся в одном направлении и по одно прямой?

Задание 4. Найдите работу, которую нужно совершить при растяжении пружины на 3 см, если для ее растяжения на 6 см требуется сила 30 .

Инструкция по выполнению заданий практического занятия № 14

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. Выполнение первого задания необходимо начать с определения границ интегрирования:  время начала и окончания движения. Затем вычислить путь, пройденный точкой за этот промежуток времени, по формуле (12.1).

6. Аналогично выполняется второе задание. Для определения верхней границы интегрирования необходимо приравнять скорость к нулю, т.к. тело достигает наибольшей высоты подъема в такой момент времени , когда . Вычислить максимальную высоту можно по формуле (14.1).

7. В третьем задании сначала необходимо вычислить путь, пройденный первым телом, затем вычислить путь, пройденный вторым телом,  по формуле (14.1). Чтобы определить расстояние между телами, вычтите из большего значения меньшее.

8. В четвертой задаче используйте формулу (14.2). Чтобы найти коэффициент пропорциональности k, необходимо подставить данные в формулу закона Гука.

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 14

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Решение прикладных задач с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 14).

Образец выполнения практического занятия № 14

Практическое занятие № 14

Решение прикладных задач с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления

Задание 1. Скорость движения тела задана уравнением м/с.  Найдите путь, пройденный телом за 10 секунд от начала движения.

Решение. (м).

Ответ:1090 м.

Задание 2. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью . Найдите наибольшую высоту подъема тела.

Решение. Тело достигает наибольшей высоты подъема в такой момент времени , когда , т.е. , откуда . По формуле (12.1) находим

Ответ: 78,4м.

Задание 3. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. Одно тело двигалось со скоростью (м/с), другое - со скоростью (м/с). Какое расстояние будет между телами через 6с?

Решение. .

Первое тело за 6 секунд пройдет расстояние (м/с).

Второе тело за 6 секунд пройдет расстояние (м/с).

Тогда расстояние между телами будет равно (м/с).

Ответ: 216(м/с).

Задание 4. Сила упругости  пружины, растянутой на 0,05 м, равна 3. Какую работу нужно произвести, чтобы растянуть пружину на 0,1 м?

Решение. Подставив данные в формулу закона Гука, получим:

. Т.е. сила упругости выражается соотношением: .

Найдем работу переменной силы по формуле (12.2):

(Дж).

Ответ: 0,3Дж.

Список литературы, используемых при подготовке методических указаний:

1. М.С. Спирина, П.А. Спирин. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

2. С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.- М.: Издательский центр «Академия», 2011.

3. Г.А. Гончарова, А.А. Мочалин. Элементы дискретной математики. – М.: «Академия», 2011.

4. Н.В. Богомолов. Математика: учеб. для ссузов. – М. : Дрофа, 2012.

5. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2012. – 575 с.

6. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум (часть 1)/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.- М.: Высшее образование, 2011.

7. 6. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум (часть 2)/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.- М.: Высшее образование, 2012.

8. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер.- Изд. 4-е, испр. – Ростов н/Д : Феникс, 2013.

Памурзина Маргарита Александровна

Преподаватели математических дисциплин

ГБПОУ «Поволжский государственный колледж»

СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

математический и общий естественнонаучный цикл

151901 «Технология машиностроения»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ