1751101
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
V ЮБИЛЕЙНЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНКУРС
ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыМетодические указания для выполнения практических работ по математике

Методические указания для выполнения практических работ по математике

библиотека
материалов

hello_html_5eabadbe.png

Министерство образования и науки Самарской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

Самарской области

«ТОЛЬЯТТИНСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»













МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по выполнению практических работ студентами

по дисциплине ен. 01 математика

«Математический и общий естественнонаучный цикл»

программы подготовки специалистов среднего звена

по специальности 22.02.06 Сварочное производство




















Тольятти, 2015г.

РАССМОТРЕНО И ОДОБРЕНО

Предметной комиссией

специальности 22.02.06

Председатель

_____________А.В.Бажанов

___________2015г









Составил: __________ Кислова Л.Н., преподаватель ГАПОУ СО « ТМК»












Методические рекомендации для выполнения практических работ являются частью программы подготовки специалистов среднего звена по специальности СПО 22.02.06 Сварочное производство в соответствии с требованиями ФГОС третьего поколения.

Методические рекомендации по выполнению практических работ адресованы студентам очной формы обучения.

Методические рекомендации включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных во ФГОС третьего поколения, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практической работы студентов и инструкцию по ее выполнению, методику анализа полученных результатов, порядок и образец отчета о проделанной работе.


СОДЕРЖАНИЕ


Название практических работ


страницы

1. Вычисление пределов функций

6

2. Применение производной к исследованию функций

10

3. Нахождение дифференциала функции

14

4. Интегрирование элементарных функций

17

5. Интегрирование функций методом замены и по частям

20

6. Приложение неопределенного интеграла к решению

прикладных задач

24

7. Вычисление определенных интегралов

28

8. Вычисление определенного интеграла методом замены и по

частям

31

9. Решение прикладных задач на применение интеграла

35

10. Решение дифференциальных уравнений

39

11. Определение сходимости числовых рядов

42

12. Решение задач и упражнений на применение элементов

комбинаторики

48

13. Решение задач на применение теории вероятности

52

14. Решение задач прикладного характера на вычисление

вероятностей

56

15. Действия над матрицами

60

16. Решение систем линейных уравнений с несколькими

переменными по формулам Крамера

66

17. Решение систем линейных уравнений с несколькими переменными методом Гаусса

70

18. Выполнение действий над комплексными числами

73
























Введение


УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!


Методические указания по дисциплине «математика» для выполнения практических работ созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к практическим работам, правильного составления отчетов.

Приступая к выполнению практической работ, Вы должны внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными стандартами третьего поколения (ФГОС-3), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

Все задания к практической работе Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

Отчет о практической работе Вы должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения дифференцированного зачета по дисциплине, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую работу Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя.


Желаем Вам успехов!!!


В результате освоения учебной дисциплины математика обучающийся должен обладать предусмотренными ФГОС по специальности 22.02.06 Сварочное производство базовой подготовки следующими умениями, знаниями:

У 1 анализировать сложные функции и строить их графики;

У 2 выполнять действия над комплексными числами;

У 3 вычислять значения геометрических величин;

У 4 производить операции над матрицами и определителями;

У 5 решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики;

У 6 решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений;

У 7 решать системы линейных уравнений различными методами;

З 1 основные математические методы решения прикладных задач;

З 2 основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теорию комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

З 3 основы интегрального и дифференциального исчисления;

З 4 роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.

Изучение программного материала должно способствовать формированию у студентов общие компетенции (ОК):

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.









Раздел I «Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление»

Тема 1.1 «Функция. Предел функции»

Практическая работа №1: «Вычисление пределов функции».

Учебная цель: приобрести умения по вычислению пределов функций.

Образовательные результаты

Студент должен

уметь:- вычислять пределы функций.

знать: - определение предела функции, теоремы о пределах и следствия о них.

Задачи практической работы

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчёт по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Учебно-методическая литература:

-Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. Учебное пособие средних спец. учебных заведений – 7-е изд., стер.-М.: Высшая школа, 2009.-495с.

- Пехлецкий И. Д. Математика. Учебник. 3-е изд. – М.: Издательский центр ”Академия”, 2009-304с.

2. Рабочая тетрадь в клетку.

3. Раздаточный материал: карточки-задания, МУ-15шт.

4. ПК.

5. Простой калькулятор.

6. Ручка, карандаш простой.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Число А называется пределом функции ƒ(x) при x→а, если для любого числа ε>0 можно указать такое δ>0, что для любого x≠а, удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство .

В таком случае пишут

Теорема 1. Если существуют пределы функций и , то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций и :

.

Теорема 2. Если существуют пределы функций и при , то существует и предел их произведения, равный произведению пределов функций и :

.

Теорема 3. Если существуют пределы функций и при и предел функции отмечен от нуля, то существует предел отношения , равный отношению пределов функций и :

; .

Следствия.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

2. Если n- натуральное число, то

; .

3. Предел многочлена при равен значению этого многочлена при , т.е. .

4. Предел дробно-рациональной функции при равен значению этой функции при , если принадлежит области определения функции, т.е. .

Функция называется бесконечно малой при , если .

Функция называется бесконечно большой при , если .

Если функция - бесконечно малая при , то функция - бесконечно большая.

Наоборот, если при функция - бесконечно большая, то -бесконечно малая.


Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что называется пределом функции при ?

2. Как обозначается предел функции ?

3. Какая функция называется бесконечно малой?

4. Какая функция называется бесконечно большой?

5. Теоремы о пределах и следствия.

Задания для практического занятия:

1 Вариант 2 вариант

1. Вычислить пределы

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Инструкция по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания рассмотрим пример.

.

2. При выполнении второго задания рассмотрим пример.

.

3. При выполнении третьего задания рассмотрим пример.

.

4. При выполнении четвёртого задания рассмотрим пример.


Пределы числителя и знаменателя при равны нулю:


Разложим квадратный трёхчлен в числителе и знаменателе по формуле где и - корни трёхчлена.





.

5. При выполнении пятого задания рассмотрим пример.


Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на сопряжённый числителю множитель и затем сократив дроби, получим


Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задание.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.




Раздел 1«Математический анализ: Дифференциальное и интегральное исчисление”.

Тема 1.2 Производная функции.

Практическая работа №2 по теме «Применение производной к исследованию функций»

Учебная цель: приобрести умения по применению производной к исследованию функций.

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- анализировать сложные функции и строить их графики;

- исследовать функцию с помощью второй производной

знать:

- основы дифференциального исчисления;

- формулы и правила нахождения первой и второй производной.

Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка, карандаш простой, линейка ученическая.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ- 15 шт.

5. ПК.

6. Простой калькулятор.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Правило нахождения экстремумов функции с помощью второй производной:

1. Найти производную

2. Найти критические точки функции, в которых .

3. Найти вторую производную .

4. Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной – минимум. Если вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Направление выпуклости графика функции

Кривая называется выпуклый вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка. Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной, в любой точке этого промежутка.

Выпуклость вниз или вверх кривой характеризуется знаком второй производной функции : если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Правило нахождения точек перегиба графика функции

1. Найти вторую производную .

2. Найти критические точки функции , в которых образуется в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной в промежутках, на которых найденные критические точки делят область определения функции . Если критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то она является абциссой точки перегиба графика.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Правило нахождения экстремумов функции с помощью второй производной.

2. Какие точки функции называются критическими?

3. Что называется экстремумом функции?

4. В каком случае кривая выпуклая вниз, и в каком случае – вверх?

5. Правила нахождения точек перегиба графика функции .


Задания для практического занятия:

1Вариант 2Вариант

1. Исследуйте функцию на экстремум с помощью второй производной.

.

2. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:

.

3. Дан закон прямолинейного движения точки

(t – в секундах, s – в метрах).Найдите максимальную скорость движения этой точки.

Инструкция по выполнению практической работы

При выполнении первого задания рассмотрите пример.

Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной

.

1) Производная

.

2) Критические точки :



, - критические точки.

3) Вторая производная

.

4) Исследовать знак второй производной в каждой критической точке:

, значит, является точкой максимума

, значит, является точкой минимума.

5) Вычислим значения функции в этих точках:



Ответ: ; .

2. При выполнении второго задания рассмотрите пример.

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба кривой

1)Производная


2) Вторая производная


3) Критические точки: .



- критическая точка.

4) Исследуем знак второй производной в промежутках и

;

точка перегиба

Найдём


Ответ: на промежутке кривая выпукла вниз; на промежутке кривая выпукла вверх; - точка перегиба.

3. При выполнении третьего задания рассмотрим пример.

Найти максимальную скорость движения точки, если закон прямолинейного движения задан уравнением (в метрах, в секундах).

Скорость движения точки есть первая производная пути во времени:


Исследуем эту функцию на максимум и минимум с помощью второй производной:






Вторая производная отрицательна, следовательно, скорость является наибольшей при сек.

Найдём значение скорости в момент сек:

.

Ответ: .

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 3.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Образец отчёта по практической работе

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.


Раздел 1«Математический анализ: Дифференциальное и интегральное исчисление”.

Тема 1.3 Дифференциал функции

Практическая работа №3 по теме «Нахождение дифференциала функции»

Учебная цель: приобрести навыки и умения нахождения дифференциала функции

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- находить дифференциал функции;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа, формулы и правила дифференцирования

Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ – 15 шт.

5. ПК.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Определение. Дифференциалом функции или дифференциалом первого порядка называется произведение производной этой функции на дифференциал аргумента.


Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка.


(таблица дифференциалов прилагается).

Геометрический смысл: дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке при данных значениях и .

.

1)

2)

3)

Примеры.

Найдите дифференциал функции.

1)

2)

3)

4)

5)

.

6) ;

7) ;

Вопросы для закрепления теоретического материала к

практической работе.

1. Что называется дифференциалом функции?

2. Как обозначается дифференциал функции?

3. Каков геометрический смысл дифференциала функции?

Практическое задание.

Найти дифференциал функций.

Вариант 1. Вариант 2.

1) 1)

2) 2)

3) 3)

4) 4)

5) 5)

6) 6)

7) 7)

8) 8)

Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания рассмотреть примеры 1 и 2.

2. При выполнении второго задания рассмотреть задачу 2.

3. При выполнении третьего задания рассмотреть пример 4.

4. При выполнении четвертого задания рассмотреть пример 4.

5. При выполнении пятого задания рассмотреть формулы .

6. При выполнении шестого задания рассмотреть пример 3.

7. При выполнении седьмого задания рассмотреть пример 6.

8. При выполнении седьмого задания рассмотреть пример 7.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 8.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Содержание отчета.


Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.


Раздел 1«Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление”.

Тема 1.4 Неопределенный интеграл

Практическая работа №4 по теме «Интегрирование элементарных функций».

Учебная цель: приобрести навыки и умения при нахождении интегралов простейших функций.


Образовательные результаты

Студент должен

уметь:

- находить неопределенный интеграл простейших функций;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

- правила интегрального исчисления.

Задачи практической работы:

  1. Изучить теоретический материал.

  2. Выполнить практическую работу.

  3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения):


1.Учебно-методическая литература:


- Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике». Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: «Высшая школа», 2009 г.

- Микеев В.С. «Краткий справочник по математике». – Красноярск, 1996 г.

- «Алгебра и начала анализа», под ред. Колмогорова А.Н., - М.: «Просвещение», 2009 г.

2. Рабочая тетрадь в клетку.

3. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ– 15 штук.

4. ПК, проектор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной функции f(x), если в каждой точке интервала (a,b) справедливо равенство

Определение: Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом


Иначе, по определению,

, где F(x) – какая-либо первообразная функции f(x); С- произвольная постоянная.

При нахождении неопределенных интегралов применяем следующие правила:

1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если , то .


2) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

Таблица неопределенных интегралов прилагается.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию :

1. Почему интеграл называется неопределенным?

2. Что означает C в определении неопределенного интеграла?

3. Сформулируйте основные правила неопределенных интегралов.

4. Какие из следующих равенств записаны верно, а какие нет:

а)

б)

в)


Задания для практического занятия :

Инструкция по выполнению практической работы


1. При выполнении первого и второго задания используйте правило 2

(интеграл от суммы равен сумме интегралов)


2. При выполнении третьего задания рассмотрите пример



3. При выполнении четвертого задания рассмотрите пример

4. При выполнении пятого задания рассмотрите пример


5. При выполнении шестого задания рассмотрите пример

6. При выполнении седьмого задания примените свойство дробей и правило 2 интегрального исчисления

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 7.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Образец отчета по практической работе

1. Тема практического занятия.

2. Учебная цель.

3. Повторить теоретический материал

4. Выполнить задания практической работы.

5. Ответить на контрольные вопросы.

6. Сдать отчет.


Раздел 1«Математический анализ: Дифференциальное и интегральное исчисление”.


Тема 1.4 Неопределенный интеграл


Практическая работа №5 по теме «Интегрирование функций методом замены и по частям

Учебная цель: приобрести навыки и умения при нахождении неопределенного интеграла методом замены переменной и по частям.

Образовательные результаты

Студент должен

уметь:

- находить неопределенный интеграл простейших функций методом замены переменной и по частям;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

- правила интегрального исчисления

Задачи практической работы:


1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1.Учебно-методическая литература:


- Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике». Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: «Высшая школа», 2009 г.

- Щипачев В.С.«Задачи по высшей математике», М.Высшая школа, 2010.

- «Алгебра и начала анализа», под ред. Колмогорова А.Н., - М.: «Просвещение», 2009 г.

2.Рабочая тетрадь в клетку.

3. Ручка

4.Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ– 15 штук.

5. ПК, проектор.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы:

Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной функции f(x), если в каждой точке интервала (a,b) справедливо равенство

Определение: Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом


Иначе, по определению,

, где F(x) – какая-либо первообразная функции f(x); С- произвольная постоянная.

Операция неопределенного интегрирования является обратной по отношению к операции дифференцирования. Это дает возможность «прочитать» известную таблицу производных «справа-налево» и получить таблицу основных неопределенных интегралов.

При нахождении неопределенных интегралов применяем следующие свойства:

1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если , то .

2) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

3)Интегрирование по частям

4) Замена переменной

Для нахождения интеграла заменяем переменную x переменной t с помощью подстановки: . Дифференцируя это равенство получим: . Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значение, выраженное через t и dt, имеем:. После интегрирования в правой части равенство вместо t подставляем его в выражение через .

Таблица неопределенных интегралов прилагается.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что является основной задачей интегрального исчисления?

2. Как называются все элементы равенства: ?

3. Что означает постоянная C в определении неопределенного

интеграла?

4. Какие методы интегрирования вы знаете?

Задания для практического занятия :

1)

1)

2)

2)

3)

3)

4)

4)

5) Интегрирование по частям:

5) Интегрирование по частям:




Инструкция по выполнению практической работы


1. При выполнении первого задания рассмотрите пример

Введем подстановку 3x+2=t.

Дифференцируя, имеем 3dx=dt , откуда .

Подставив в данный интеграл вместо и dx их выражение, получим:


Заменив t его выражения через x, получим:

;

2. При выполнении второго задания рассмотрите пример

Введем подстановку

Дифференцируя, имеем , откуда .

Подставив в данный интеграл вместо и их выражение, получим:


Заменив t его выражения через x, получим:


3. При выполнении третьего задания рассмотрите пример

Введем подстановку

Дифференцируя, имеем , откуда .

Подставив в данный интеграл вместо и их выражение, получим:


Заменив t его выражения через x, получим:



4. При выполнении четвертого задания рассмотрите пример



Введем замену ,



Подставив замену в данный интеграл, получим






5. При выполнении пятого задания рассмотрите пример


Заметим, что , следовательно, интеграл можно записать в виде:



По формуле имеем:


Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 5.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Образец отчета по практической работе

Тема практического занятия.

Учебная цель.

Повторить теоретический материал

Выполнить задания практической работы.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет.

Раздел 1. Математический анализ: дифференциальное и

интегральное исчисление


Тема 1.4 Неопределенный интеграл

Практическая работа №6 по теме «Приложение неопределенного интеграла к решению прикладных задач»

Учебная цель: приобрести навыки и умения вычисления определенного интеграла при решении прикладных задач.

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- вычислять значение геометрических величин;

- решать прикладные задачи с использованием дифференциального и

интегрального исчисления;

знать:

- основы дифференциального и интегрального исчисления;

- роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.

Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ- 15 шт.

5. ПК.

6. Простой калькулятор.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Неопределенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических и физических величин. Рассмотрим задачи.

Задача 1. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону . Найти закон её движения.

Решение:

, откуда .

Интегрируя, получим: ; . .Ответ: .

Задача 2. Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной

в каждой ее точке (х;у) равен - 3х.

Решение: К = - 3х. Известно, что к = tgα =; следовательно, = - 3x,

dy = - 3xdx; y = - x2 + C.

Мы нашли семейство кривых (парабол), для которых угловой коэффициент касательной равен -3х. Эти кривые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое С. При С=0 получим параболу с вершиной в начале координат.

Задача 3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1;4), если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой точке выражается равенством к = 3x2 – 2x.

Решение: к= , dy = (3x2 – 2x)dx.

y = x3x2 + C; Вычислим С. Т.к. 4= 13 – 12 +С,

То С = 4. Искомое решение кривой имеет вид: у = х3 – х2 + 4.

Задача 4. Скорость движения точки изменяется по закону (м/с).

Найти путь пройденный точкой за 10 сек от начала движения.

Решение:

.

Ответ: s=1090м.

Задача 5. Скорость прямо линейного движения точки задана формулой

Найти закон движения s, если за время t =2с. Точка прошла путь

10 м.

Решение: Так как , то . Интегрируя, получим

. Используя начальные условия, имеем 10= 23 -3·2 +С. Отсюда

С = 8. Итак, закон движения точки имеет вид s = t3 -3t + C.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе

1. Что такое неопределенный интеграл?

2. Что такое интегральные кривые?

        1. В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?

        2. Приведите примеры применения неопределенного интеграла.

Творческое задание. Составить и решить задачу на применение

неопределенного интеграла.

Практическое задание

Вариант1

1. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону Найти закон её движения.

2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1;4), если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой точке выражается равенством

к = 3x2 – 2x.

3. Скорость движения точки изменяется по закону (м/с).

Найти путь пройденный точкой за 5 сек от начала движения.

4. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой

Найти закон движения s, если за время t =3с. точка прошла путь

12 м.

Вариант 2

1. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону Найти закон её движения.

2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1;3), если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой точке выражается равенством

к = 2x2 – 4x.

3. Скорость движения точки изменяется по закону (м/с).

Найти путь пройденный точкой за 6 сек от начала движения.

4. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой

Найти закон движения s, если за время t =4с. точка прошла путь

8 м.

Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания рассмотреть задачу 1.

2. При выполнении второго задания рассмотреть задачу 3.

3. При выполнении третьего задания рассмотреть задачу 4.

4. При выполнении четвертого задания рассмотреть задачу 5.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 4.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.

Раздел 1. Математический анализ: дифференциальное и

интегральное исчисление

Тема 1.5 Определенный интеграл

Практическая работа №7 по теме «Вычисление определенного интеграла»

Учебная цель: приобрести навыки и умения вычисления определенного интеграла

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- вычислять определенные интегралы;

знать:

- основные понятия и методы математического анализа;

- таблицу интегралов и свойства определенного интеграла

Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ- 15 шт.

5. ПК.

6. Простой калькулятор.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Определение 1. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю.


Определение 2. Если - первообразная функция для , то приращение первообразной функции при изменении аргумента x от до называется определенным интегралом.

- формула Ньютона-Лейбница (таблица интегралов прилагается).

Методы вычисления определенного интеграла:

1) Определенный интеграл и его непосредственное вычисление.

Свойства:

а) Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций.


б) Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла:

в) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

г) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

д) Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

Примеры:

1)

2)

3)

4)


Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе

1. Что такое определенный интеграл?

2. Что в записи означают числа a и b?

3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

4. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

Практическое задание.

Вычислить интегралы.

Вариант 1

1) ; 2) 3) 4)

5) 6) 7)

Вариант 2

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания рассмотреть пример1.

2. При выполнении второго задания рассмотреть пример 4.

3. При выполнении третьего задания рассмотреть пример 4.

4. При выполнении четвертого задания рассмотреть пример 3.

5. При выполнении пятого задания рассмотреть пример 4.

6. При выполнении шестого задания смотреть таблицу

интегрирования.

7. При выполнении седьмого задания рассмотреть пример 2.

Примеры:

1)

2)

3)

4)

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 7.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.


Раздел 1. Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление


Тема 1.5 Определенный интеграл

Практическая работа № 9 по теме «Решение прикладных задач на применение интеграла»

Учебная цель: приобрести навыки и умения вычисления определенного интеграла, решения прикладных задач.


Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- вычислять значение геометрических величин;

- решать прикладные задачи с использованием дифференциального и

интегрального исчисления;

знать:

- основы дифференциального и интегрального исчисления;

- роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.

Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ- 15 шт.

5. ПК.

6. Простой калькулятор.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических и физических величин.

Задача 1. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону . Найти закон её движения.

Решение:

, откуда .

Интегрируя, получим: ; Ответ: .

Задача 2. Скорость движения точки изменяется по закону (м/с).

Найти путь пройденный точкой за 10 сек от начала движения.

Решение:


.

Ответ: 1090м.

Некоторые формулы применения интеграла.

  1. При вычислении работы: .

  2. Сила давления: , где ydx - площадь полосы;

  3. Центр тяжести: .

Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение:

Выполним построение графиков функций и. Искомая фигура заключена между параболой и осью ОХ.

Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ:. hello_html_48fc986b.jpg

а =-2, b =2 - пределы интегрирования.

Следовательно, .

Ответ: кв.ед.


Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе

. Что такое определенный интеграл? 2.Что такое неопределенный интеграл?

        1. Что такое интегральные кривые?

        2. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?

        3. Приведите примеры применения определенного интеграла.

Творческое задание. Составить и решить задачу на применение

интегралов.

Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания рассмотреть задачу 3.

2. При выполнении второго задания построить графики функций,

Определить пределы интегрирования и применять формулу

Ньютона – Лейбница.

3. При выполнении третьего задания рассмотреть задачу 2.

4. При выполнении пятого задания рассмотреть задачу 1.

5. При выполнении пятого задания построить графики функций,

Определить пределы интегрирования и применять формулу

Ньютона – Лейбница.

Практическое задание

Вариант 1
  1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

  2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

  3. Скорость движения точки . Найти путь, пройденной точкой за 4-ю секунду. Примечание: .

  4. Вычислите работу произведенную при сжатии пружины на 0,06м, если для сжатия её на 0,01м нужна сила 10Н. (Примечание: Надо применять формулу (закон Гука),- коэффициент пропорциональности (н/м).

  5. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями:

Вариант 2

  1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

  2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

  3. Скорость движения точки . Найти путь, пройденной точкой за 5секунд. От начала движения.

  4. Вычислите работу произведенную при сжатии пружины на 0,05м, если для сжатия её на 0,01м нужна сила 12Н. (Примечание: Надо применять формулу (закон Гука),- коэффициент пропорциональности (н/м).

  5. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями:



Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 5.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.


Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.




Раздел 1. Математический анализ: дифференциальное и

интегральное исчисление

Тема 1.6 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Практическая работа № 10 по теме «Решение дифференциальных уравнений»

Учебная цель: приобрести навыки и умения решения дифференциальных уравнений

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- решать дифференциальные уравнения

знать:

- основы интегрального и дифференциального исчисления;

- методы решения дифференциальных уравнений

Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ - 15 шт.

5. ПК.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x,y,y¹)=0, F(x,y,y¹,yⁿ)=0, F(x,y,y¹,yⁿ,…,)=0

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение в которое входит столько независимых производных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну производную постоянную

Пример 1.

Найти общее решение уравнений.

а)

б)

Решение:

а) поэтому

И левую и правую часть умножаем на dx, получим dy=4xdx

Проинтегрируем обе части полученного равенства:



Ответ:

б)



Ответ:

Уравнение в которых переменные разделяются, называются дифференциальными уравнениями с разделяющими переменными. Для того, чтобы решить дифференциальное уравнение с разделительными переменными, нужно произвести разделение переменных, а затем взять интеграл от обеих частей уравнения.


Пример 2.

Найти общее решение уравнения

Решение.

Запишем в виде

Произведем разделение переменных, для этого левую и правую часть умножим на ( ).

Проинтегрируем обе части равенства:



1n ||||1nC (произвольную постоянную здесь удобно взять в виде логарифма, ). Поэтому ||=С||, т.е. и .

Последние два множества решений можно объединить одной формулой , если считать теперь, что произвольная постоянная С может иметь любой знак.

Ответ: .

Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе

  1. Какое уравнение называется дифференциальным?

  2. Что значит решить дифференциальное уравнение?

  3. Как решаются дифференциальные уравнения с разделяющими переменными?

Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания рассмотреть пример1.

2. При выполнении второго задания рассмотреть пример 2.

3. При выполнении третьего задания рассмотреть пример 2.

4. При выполнении четвертого и пятого задания рассмотреть пример 2.

Практическое задание

Вариант 1 Вариант 2

Найти общее решение уравнений.

а) а)

б) б)

в) в)

г) г)

д) д)

Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания рассмотреть пример1.

2. При выполнении второго задания рассмотреть пример 2.

3. При выполнении третьего задания рассмотреть пример 2.

4. При выполнении четвертого и пятого задания рассмотреть пример 2.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания а) – д).

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.


Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.

Раздел 1. Математический анализ: дифференциальное и

интегральное исчисление

Тема 1.7 Ряды

Раздел 2 Основы теории вероятностей и математической статистики

Практическая работа №11 по теме «Определение сходимости числовых рядов».

Учебная цель: приобрести навыки и умения при определении сходимости и расходимости числовых рядов.

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- определять сходимость числовых рядов;

знать:

- признаки сходимости и расходимости числовых рядов;

- основные понятия и методы математического анализа

Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ - 15шт.

5. ПК.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Числовым рядом называется сумма вида , где числа

, , ,…,,… называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.

Суммы ,

,

,

…………………..

, составленные из первых членов ряда называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм , , , …,,... Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S-суммой сходящегося ряда, т.е. или .

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма ряда при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (в частности стремится к или к , то такой ряд называется расходящимся. Если ряд сходится, то значение при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Ряд вида называется гармоническим.

Пример. Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену:






Пример 1. Найдите формулу общего члена ряда:


Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону или по закону . Значит, n член ряда имеет вид

или


Пример2. Вычислите сумму членов ряда.


Находим частичные суммы членов ряда:





………………………………………………….

Общий член этой последовательности:


Последовательность частных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и .

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:

Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

  1. Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрический ряд , который сходится при и расходится при и гармонический ряд являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщённый гармонический ряд

Если р=1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если p<1 , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p>1 имеем геометрический ряд, в котором он является сходящимся. Итак, обобщённый гармонический ряд сходится при p>1 и расходится при .

Пример 3. Используя признак сравнения, исследуйте сходимость ряда:

а)


Необходимый признак сходимости ряда выполняется.

Сравним данный ряд с геометрическим рядом , который сходится, так как .

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

б)


Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда, следовательно ряд расходится. При сравнении данного ряда с гармоническим также убеждаемся, что ряд расходится.


  1. Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами выполняется условие , то сходится при и расходится при .

Признак Даламбера не даёт ответа, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие приёмы.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

а)



Следовательно, данный ряд сходится.

б)

, т.е. ряд расходится.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе

1. Что называется числовым рядом?

2. Какой ряд называется расходящимся?

3. Какой ряд называется сходящимся?

4. Какой ряд называется геометрическим?

5. Какой ряд называется гармоническим?

Практическое задание

I Вариант II Вариант

  1. Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену:

а) а)

б) б)

2. Найдите формулу общего члена ряда:

а) а)

б) б)

3. Вычислите сумму членов ряда:


4. Используя признак сравнения, исследуйте сходимость ряда:

5. Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда:

Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания рассмотреть пример1.

2. При выполнении второго задания рассмотреть пример 2.

3. При выполнении третьего задания рассмотреть пример 2.

4. При выполнении четвертого и пятого задания рассмотреть пример 4.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 5.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.


Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.


Раздел 2 Основы теории вероятности и математической статистики

Тема 2.1 Основные понятия теории вероятностей

2.1 Практическая работа №12 по теме «Решение задач и упражнений на применение элементов комбинаторики»

Учебная цель: приобрести навыки и умения решения задач на применение элементов комбинаторики

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- решать задачи на применение элементов комбинаторики;

знать:

- определения и формулы элементов комбинаторики

Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, инструкционные карты, 30 шт.

папка с методическими указаниями.

5. ПК.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Различают три основных вида соединений: размещений, перестановки и сочетаний.

Размещения.

Размещения из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.Число размещений из n элементов по m обозначаются символом и вычисляется по формуле

=n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)]= n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (1)

Примеры:

  1. Найти число размещений из 10 элементов по 4.

Согласно формуле (1) получим: =;

  1. В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели должно быть 5 различных уроков?

Решение.

Различных способов составить расписания, очевидно, столько, сколько существует пятиэлементных упорядоченных подмножеств у четырнадцати элементного множества. Следовательно, число способов равно . По формуле (1), пологая в ней n=14, m=5

=

Перестановки.

Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из n элементов обозначаются символом

Перестановки представляют частный случай размещения из n элементов по n в каждом, т.е.

n(n-1)(n-2)…3.2.1 или (2)

1*2*3…(n-1)n=n!

Примеры:

1) Составить всевозможные перестановки из элементов а,b.

Решение.

По формуле (2) имеем: 1*2*3=6; (а,в,с);(а,с,в);(в,а,с);(с,а,в);(с,а,в);(в,с,а).

(2) Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6 при условии, что в числе цифры не повторяются.

Решение.

Для того чтобы число, составленное из заданных цифр делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные 5 цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е.

5!=5*4*3*2*1=120;

Сочетания.

Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m обозначается . Оно находится по формуле

=/, которую можно записать в виде (3)

= (4)

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

=(0mn) ( по определению полагают = In=1);

+=

Примеры:

1) Вычислите: +

Решение.

Согласно формуле (4) получим

+=

2) В чемпионате страны по футболу (высшая лига) участвуют 18 команд, причём каждые две команды встречаются между собой 2 раза. Сколько матчей играется в течение сезона?

Решение.

В первом круге состоится столько матчей, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, содержащего 18 элементов, т.е. их число равно .По формуле (4), получаем

=

Во втором круге играется столько же матчей, поэтому в течении сезона состоится 306 встреч.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе

  1. Что называется размещениями из n элементов по m в каждом?

  2. Что называется сочетаниями из n элементов по m в каждом?

  3. Что называется перестановками из n элементов? Как вычисляются перестановки?


Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания применять формулу (4).

2. При выполнении второго задания применять формулу (2).

3. При выполнении третьего задания применять формулу (1).

Практическое задание

Вариант 1

  1. Из восьми сотрудников в июле могут пойти в отпуск три человека. Сколькими способами это можно сделать?

  2. Сколькими способами можно расставить 6 книг на полке?

  3. На собрании 25 человек. Нужно выбрать президиум в составе председателя, его заместителя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант 2

  1. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов, можно образовать из 14 преподавателей?

  2. Сколькими способами можно составить список учеников из 10 человек, если нет однофамильцев?

3. Из восьми сотрудников в июле могут пойти в отпуск три человека. Сколькими способами это можно сделать?

Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания применять формулу (4).

2. При выполнении второго задания применять формулу (2).

3. При выполнении третьего задания применять формулу (1).

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 3.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.


Раздел 2 Основы теории вероятностей и математической статистики


Тема 2.1 Основные понятия теории вероятностей

Практическая работа №13 по теме «Решение задач на применение теории вероятностей».

Учебная цель: приобрести навыки и умения при вычислении числа вероятностей при решении задач.

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- решать задачи на вычисление вероятности с использованием

элементов комбинаторики;

знать:

- теорию вероятности;

- формулы сочетаний, формулы вычисления вероятности, методы

решения задач на применение теории вероятностей

Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.


Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ – 15 шт.

5. ПК.

6. Простой калькулятор.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий (испытанием). Всякий результат или исход испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие непременно должно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным. События обозначаются буквами А, В, С.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Число М появлений события А при N испытаниях называют частотой, а отношения М/ N частностью (относительной частотой) т.е.

(1)

За вероятность появления события принимается величина, около которой группируются наблюдаемые значения частности.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношения числа исходов т, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.

(2)

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше 1, т.е.

Невозможному событию соответствует вероятность Р(А)=1, а достоверному - вероятность Р(А)=1.

Задача 1. Произведя 100 выстрелов, стрелок попал в цель 86 раз. Найти частность попадания в цель данного стрелка.

Решение.

М=100, N=86. По формуле (1) получим

Задача 2. Из урны, в которой находится 12 белых и 8 чёрных шаров, вынимают наудачу 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся чёрными?

Решение.

Обозначим событие, состоящее в появлении двух чёрных шаров, через А. общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 по два:


Число случаев m, благоприятствующих событию A составляют:

По формуле находим вероятность появления двух чёрных шаров:

Теорема сложения вероятности:

а) для несовместных событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

б) для совместных событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Задача 3. В ящике в случайном порядке расположены 20 деталей, причём 5 из них стандартные. Рабочий берёт наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной (событие А).

Решение.

Очевидно, по крайней мере, одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдёт любое из трёх несовместных событий:

В- одна деталь стандартная, 2 нестандартные;

С- две детали стандартная, одна нестандартная;

D- три детали нестандартные.

А=В+С+D. По теореме сложения имеем:

Р(А) =Р(В) +Р(С) +Р(D).





Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе

  1. Какие события называются достоверными?

  2. Что называется вероятностью события?

3. Как формулируется теория сложения вероятности?

Практическое задание:

2. Среди 4000 первых чисел

натурального ряда имеется 551

просто число. Найдите частость

появления простого числа.

3. В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Найти вероятность того, что детали окажутся стандартными.

3. В классе 17 девочек и 14 мальчиков. Определите вероятность того, что оба вызванных ученика окажутся мальчиками.

4. Имеется 100 лотерейных билетов.

Известно, что на 5 билетов попадёт

Выигрыш по 20р, на 10 - по - 15р, на 15 - по 10р, на 25 - по 2р, на

Остальные нечего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен

выигрыш не менее 10р.

4. В коробке находятся 250

лампочек, из них 100 на 100Вт,

50 на 60Вт, 50 на 25Вт, 50 на

15Вт. Вычислить вероятность

того, что мощность любой

наугад взятой лампочки не

больше 60Вт.


Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания рассмотреть задачу 1.

2. При выполнении второго задания рассмотреть задачу 1.

3. При выполнении третьего задания рассмотреть задачи 2.

4. При выполнении четвертого задания рассмотреть задачу 2.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 4.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.

Раздел 2 Основы теории вероятностей и математической статистики


Тема 2.1 Основные понятия теории вероятностей

Практическая работа №14 по теме «Решение задач прикладного характера на вычисление вероятностей»

Учебная цель: приобрести навыки и умения применения теории вероятности при решении прикладных задач

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- решать задачи на вычисление вероятности с использованием

элементов комбинаторики;

знать:

- теорию вероятности;

- формулы сочетаний, формулы вычисления вероятности, методы

решения задач на применение теории вероятностей

Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ - 15шт.

5. ПК.

6. Простой калькулятор.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Пусть события (гипотезы) , , …, образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например , событие может наступить с некоторой условной вероятностью . Тогда вероятность наступления события равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события :

, (1)

где .

Формула (1) называется формулой полной вероятности.

Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий (гипотез) , , …, , которые образуют полную группу событий. Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса (формуле вероятности гипотез):

, (2)

где - вероятность каждой из гипотез после испытания, в результате которого наступило событие ; - условная вероятность события после наступления события , а находится по формуле полной вероятности (2).

Пример1. На склад поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором – 35% и на третьем 25%, причем на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором – 80% и на третьем – 70%. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

Решение. Введем следующие обозначения: - деталь изготовлена на первом станке, - на втором станке и - на третьем станке; событие - деталь оказалась первого сорта. Из условия следует, что , , , , и . Следовательно,


Пример2. В первом ящике имеются 8 белых и 6 черных шаров, а во втором – 10 белых и 4 черных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар – черный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик.

Решение. Введем обозначения: - был выбран первый ящик; - был выбран второй ящик; - при проведении двух последовательных испытаний выбора ящика и выбора шара был вынут черный шар. Тогда , . Вероятность извлечения черного шара после того, как выбран первый ящик, составляет . Вероятность извлечения черного шара после того, как выбран второй ящик, равна .

По формуле полной вероятности находим вероятность того, что вынутый шар оказался черным:


Искомая вероятность того, что черный шар был вынут из первого ящика, вычисляется по формуле Байеса:

.

Практическое задание.

Вариант 1

1. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке содержится 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

2. Имеются 3 одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором 10 черных шаров, а в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

3. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна .

Найти вероятность того , что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течении 4 суток не превысит нормы.

Вариант 2

1. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар белый.

2. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

3. На склад ежедневно поступают детали с трех предприятий. С первого – 30 деталей, со второго – 20 и с третьего – 40. Установлено, что 2, 4 и 5% продукции этих предприятий, соответственно, имеют дефекты. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь оказалась с дефектом.

Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания рассмотреть пример1.

2. При выполнении второго задания рассмотреть пример 2.

3. При выполнении третьего задания рассмотреть пример 2, применять формулу Бернулли.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 3.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.


Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.

Раздел 3 Основы линейной алгебры

Тема 3.1 Понятие матрицы. Определители

Практическая работа №15 по теме «Действия над матрицами»

Учебная цель: приобрести умения по выполнению операций над матрицами и вычислению определителей.

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- производить операции над матрицами и определителями.

знать:

- основы линейной алгебры.


Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.


Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ – 15 шт.

5. ПК.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел aij , i=1,2,…, m,

j=1,2, …, n.

, состоящая из m строк и n столбцов.

Суммой A+B () – матриц и называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц : , i=1,2, …, m, j=1,2, …, n.

Произведением матрицы на действительное число называется матрица, получающаяся из матриц A умножением всех ее элементов на : , i=1, 2, …, m, j=1,2, …, n.

Произведением AB() – матрицы A=(aij) на - матрицу B=(bij) называется - матрица элемент которой сij, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строке матрицы A и j-го столбца матрицы B:

Матрицы перемножать возможно тогда, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Для матриц одинакового размера справедливы свойства следующих алгебраических операций:

Нуль-матрицей называется матрица О, все элементы которой равны нулю. Единичной матрицей E называется квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.

Матрица называется транспонированной к матрице А, если строки и столбцы матрицы А поменять местами с сохранением порядка.


Свойства операции транспонирования:

1) 3)

2) 4) .

Определители квадратных матриц.

Определитель матрицы А обозначается или .

Определителем матрицы первого порядка, называется элемент ; .

Определителем матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле


Определителем матрицы третьего порядка , или определитель третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:


Знаки с которыми члены определителя входят в формулу, легко запомнить, пользуясь схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.

Знаки с которыми члены определителя входят в формулу, легко запомнить, пользуясь схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.

hello_html_m656fbf04.png

hello_html_3a6aba78.png


+ -

Минором, соответствующим данному элементу определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного определителя вычёркиванием строки и столбца, на пересечении который стоит данный элемент. Миноры обозначают буквой М с двумя индексами. Так, например М12 , соответствующий элементу а12, есть определитель


Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если это сумма не четна.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается через . Здесь i означает номер строки, а k – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.


Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно находить определители второго и третьего порядков, а для определителя более высокого порядка применим следующий способ.

Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца.

Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Этот способ основан на том, что в силу свойства треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Свойства определителей.

  1. Определитель не изменится, если все его строки заменить (транспонировать) соответствующими столбцами (равномерность строк и столбцов).

  2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный.

  3. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

  4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

  5. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

  6. Если к одной строке (столбцу) поэлементно прибавить другую строку (столбец), то новый определитель совпадает с исходным (не изменится).

  7. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

  1. Что называется матрицей размера ?

  2. Как обозначается определитель матрицы?

  3. Что называется определителем матрицы второго порядка?

  4. Что называется минором?

  5. Что называется алгебраическим дополнением?

Практическое задание

I Вариант II Вариант

1.Найдите матрицу.

а) а)

б) б)

2. Найдите произведение матриц.

3. Вычислите определители второго порядка

а) б) . а) б)

4. Вычислите определитель третьего порядка по формуле.

5. Вычислите определитель третьего порядка разложением определителя по элементам первой строки.

6. Вычислите определитель третьего порядка путём преобразования его с помощью свойств.

7. Вычислите определитель четвертого порядка


Инструкция по выполнению практической работы

  1. При выполнении первого задания рассмотрите пример.

Найти сумму матриц А и В, если



  1. При выполнении второго задания рассмотрите пример.

Вычислить матрицу , если

.


  1. При выполнении третьего задания рассмотрите пример.

Найти произведение А В, если



  1. При выполнении четвертого задания рассмотрите пример.

Вычислить определитель третьего порядка по формуле.


  1. При выполнении пятого задания рассмотрите пример.

Вычислить определитель третьего порядка разложением определителя по элементам первой строки.


  1. При выполнении шестого задания рассмотрите пример.

Вычислить определитель третьего порядка путём преобразования его с помощью свойств.


  1. При выполнении седьмого задания привести определитель к треугольному виду.


Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 7.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.

Раздел 3 Основы линейной алгебры

Тема 3.2 Решение систем линейных уравнений с несколькими переменными.

Практическая работа №16 по теме «Решение систем линейных уравнений с несколькими переменными по правилам Крамера

Учебная цель: приобрести навыки и умения решения систем линейных уравнений с несколькими переменными по правилам Крамера

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- решать системы линейных уравнений различными методами;

знать:

- методы решения систем уравнений, методы вычисления определителя, формулы Крамера


Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ - 15шт.

5. ПК.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

В общем случае система линейных уравнений с несколькими переменными имеет вид:
Если число уравнений равно числу неизвестных (m=n), то матрица коэффициентов этой системы А=называется квадратной .

Для квадратных матриц вводится понятие определителя. Определитель матрицы A-это число обозначаемое , или в более подробной записи

, где A=, которое находиться по следующему правилу:

Если матрица А содержит всего один элемент а11 , то =а11,т.е. её определитель совпадает с данным элементом.

Если размерность матрицы А равна n, то её определитель можно вычислить в виде линейной комбинации n определителей (n-1)- го порядка

a11A11-a12A12+a13A13-…+(-1)n-1a1nA1n.

Например, =a11-a12=a11a22-a12a21.

Аналогично, =a11-a12+a13=

=a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31.

Схематически можно изобразить так:

Для решения системы линейных уравнений с несколькими переменными будем применять правило Крамера :

Рассмотрим примеры.

Пример 1

Решение. Определить системы = =2

=

Ответ: (1;2).

Пример 2.

Решение. Определитель системы

=1 -1 +2=1(0-(-1))-1(2-0)+2(2-0)=1*1-

-1*2+2*2=30.

Система имеет единственное решение.

==1-1+2=1*1-1*0+2*0=1;

==1-1+2=0+2+0=2;

==1-1+2=0-0+2=2;

X1=; X2= X3= Ответ: .

Если определитель системы равен 0, то система не имеет решений.

Свойства:

  1. Определитель не меняется, если его строки заменить столбцами с соответствующими номерами.

  2. При перестановке двух строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный.

  3. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбцы), то он равен 0.

  4. Общий множитель элементов некоторой строки можно выносить за знак определителя.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе

  1. Что называется определителем?

  2. Как находить определители 2-го и 3-го порядков?

  3. Какие методы применяют для решения систем линейных уравнений с несколькими переменными?

  4. Какие формулы применяют для решения систем линейных уравнений по правилу Крамера?

  5. Когда система имеет единственное решение? Когда система не имеет решений? Когда система имеет бесконечное множество решений?

Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении первого задания рассмотреть пример1.

2. При выполнении второго задания рассмотреть пример 2.

3. При выполнении третьего задания рассмотреть пример 2.

Практическое задание.

1)


2)


3)



1)


2)


3)

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задание.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.

Раздел 3 Основы линейной алгебры


Тема 3.2 Решение систем линейных уравнений с несколькими переменными.

Практическая работа №17 по теме «Решение систем линейных уравнений с несколькими переменными методом Гаусса»

Учебная цель: приобрести навыки и умения решения систем линейных уравнений с несколькими переменными методом Гаусса

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- решать системы линейных уравнений различными методами;

знать:

- основные понятия и методы линейной алгебры


Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ – 15 шт.

5. ПК.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Суть метода Гаусса – метод исключения переменных. Из первого уравнения системы выражаем одну переменную через остальные. Подставляя эту переменную во все остальные равенства, которые образуют линейную систему. Для этой системы повторяем описанную процедуру, и так далее, сокращая на каждом шаге число переменных.

Ясно, что на каком-то шаге может возникнуть противоречивое равенство. Тогда делаем вывод: исходная система решений не имеет. Для любой системы линейных уравнений метод Гаусса позволяет:

- найти единственное решение, если оно не существует;

- указать способ нахождения любого числа решений, если их существует бесконечно много;

- выяснить, что решений не существует, если их на самом деле нет.

Рассмотрим примеры решения систем линейных уравнений с несколькими переменными.

Пример 1.

Пусть х=-2y-z-1.

Решение: Подставляя выражение х через переменную у и х во второе и

третье уравнения, записываем систему в виде:

выражаем у через: у=z+2.

у=z+2 подставляем в третье уравнение.

z=24:(-12); z=-2.

Подставляя во втором уравнении вместо z значение z=-2, получаем у=0.

Подставляя в первое уравнение значения z=-2 и у=0, находим х.

х=-2∙0-(-2)-1=1.

Ответ: (1; 0; -2).

Пример 2.


Решение:

х=-2у-z-1.

Подставляя это выражение во второе уравнение, замечаем, что оно имеет вид: -2=1.

Возникло противоречивое равенство, т.е. система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 3.


Решение:

Преобразуем систему:

z выражаем: z=2+11у.

Исходная система эквивалентна

Переменная у – свободная, придав ей любое значение (например, у=0), находим решение системы (у=0, z=2, х=-3). Исходная система имеет бесконечно много решений.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе

  1. Какая система уравнений называется линейной?

  2. Что значит решить систему уравнений?

  3. В чем заключается метод Гаусса?





Практическое задание.

Вариант 1 Вариант 2

Решите системы уравнений методом Гаусса.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 3.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.


Раздел 4 Комплексные числа


Тема 4.1 Действия над комплексными числами

Практическая работа №18 по теме «Действия над комплексными числами».

Учебная цель: приобрести навыки и умения выполнения действий над комплексными числами

Образовательные результаты:

Студент должен

уметь:

- выполнять действия с комплексными числами;

знать:

- основные понятия и теорию комплексных чисел

Задачи практической работы.

1. Изучить теоретический материал.

2. Выполнить практическую работу.

3. Сдать отчет по практической работе.

Обеспеченность занятия (средства обучения)

1. Учебно-методическая литература:

- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений.- М.: Высшая школа, 2009

- Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике», М. Высшая школа, 2009

- Пехлецкий И. Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального образования – 3-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2009

2. Рабочая тетрадь.

3. Ручка.

4. Раздаточные материалы: карточки-задания, МУ -15 шт.

5. ПК.

6 Простой калькулятор.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Комплексное число имеет вид a +bi; здесь а и b – действительные числа, i – мнимая единица. «Мнимые» числа составляют частный вид комплексных чисел.

ii=i² = -1. а называется действительной частью, в называется мнимой частью.

Запись комплексного числа z = a + bi называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Два комплексных числа a1 + b1i a2 + b2i считаются равными, если a1 = a2 , b1 = b2 .

  1. Сложение и вычитание комплексных чисел.

Суммой комплексных чисел a1 + b1i и a2 + b2i называют комплексное число

(a1 + a2) + (b1 + b2)i . Разность (а11i) – (а2 – в2i) = (а12) + (в1- в2)i

Пример 1. (-3+5i)+(4-8i)=1-3i; Пример 2. (2+0i)+(7+0i)=9+0i = 9.

Пример 3. (3-4i)-(3+4i)=(3-3) + (-4 -4)i= -8i.

  1. Умножение комплексных чисел.

Произведением комплексных чисел a1 + b1i и a2 + b2i называется (a1a2b1b2)+(a1b2+b1a2)i

Пример 4. (1-2i)(3+2i)=3-6i+2i-4i2 = 3-6i+2i+4 = 7-4i.

Пример 5. (a+bi)(a-bi) = a2 –( bi)2 = a2 - bi2 = a2 –b2 i2 = a2 –b2 (-1) =a2 + b2 .

Пример 6. 3i∙4i =12i2=12∙(-1)= -12

Пример 7. i8=(i2)4=(-1)4=1; (-i)6=(-1)6∙i6=1∙(-1)= -1.

Пример 8. (1 + i)8=((1 +i)2)4=(1 + 2i + i2)4=(2i)4= 24∙i4=16.

  1. Деление комплексных чисел.

Правило деления комплексных чисел:

Пример 9.


Модулем комплексного числа называется число z=

  1. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Комплексное число можно изобразить точкой с координатами (а;в)на координатной плоскости. Каждой точке плоскости с координатами (а;в) соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0;0) и концом в точке М(а;в).


Ось ординат – мнимая ось; ось абсцисс – действительная ось.

Расстояние между точками z1 и z2 : .

Аргумент комплексного числа записывается так: .


Пример 10. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексного числа: z=1 + 1.

По условию . Точка, изображающая данное число, лежит в 1 четверти.

.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

(a +bi) = r(cosφ + isinφ).

Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.


1. Произведение комплексных чисел

( 1 )

При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Частное комплексных чисел

( 2 )

При делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, аргументы вычитаются.

3. Для возведения комплексного числа в n-ю степень используют формулу Муавра.

. ( 3 )

4. Для извлечения корня n – ой степени из комплексного числа используют формулу

- арифметический корень, к= 0, 1,…n – 1.

Для представления комплексного числа с алгебраической формы в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа; 2) одно из значений аргумента этого числа.

Пример 11а). Представить в тригонометрической форме число 3i.

Решение. а = 0, в = 3, r = 3. Поскольку вектор, изображающий число3i, лежит на положительной полуоси Оу, то главное значение аргумента φ = . Таким образом,

или

Пример 11б). -2- 2i.

Решение. Здесь а = -2, в = -, r = 4; точка, изображающая данное число, лежит в 3 четверти; Поэтому

или

Пример12. Найти произведение

= .

Пример 13. Выполнить деление

= .

Пример 14. Возвести в степень:


Пример 15. Извлечь из корня: . Решение: представим число i в тригонометрической форме. . r = 1. Далее имеем:


При к = 0:

при к = 1:

при к = 2:

Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе.

1. Назовите правила сложения, вычитания, умножения, деления комплексных чисел

2. Чему равен модуль комплексного числа?

3. Назовите правило записи комплексного числа в тригонометрической форме.

4. Назовите правило умножения, деления, извлечения из корня, возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме.

Практическиe задания

Вариант 1 Вариант 2

1.Выполните действия с комплексными числами:

а) (2 + 3i) + (4 – 5i) а) (4 – 2i) + (3 + 6i)

б) (6 – 2i)∙(3 + 4i) б) (5 + 3i)∙(2 – 7i)

в) (7 + i):(5 + 2i) в) (9 + 5i):(2 + 4i)

2. Выполните действия с комплексными числами в тригонометрической форме

а) выполните умножение:

б) выполните деление

в) выполните возведение в степень:

3. Представьте число 4i 3. Представьте число 5i

в тригонометрической форме в тригонометрической форме



Инструкции по выполнению практической работы

1. При выполнении примера а) из 1 –го задания рассмотреть примеры 1-3.

2. При выполнении примера б) из 1 –го задания рассмотреть примеры 4-6.

3. При выполнении примера в) из 1 –го задания рассмотреть пример 9.

4. При выполнении примера а) из 2 –го задания рассмотреть пример 12

5. При выполнении примера б) из 2 –го задания рассмотреть пример 13.

6. При выполнении примера в) из 2 –го задания рассмотреть пример 14.

7. При выполнении задания 3 рассмотреть примеры 11а и 11б.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задания 1 – 3.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Содержание отчета

Тема практического занятия.

Цель практического занятия.

Повторить теоретический материал.

Выполнить практическое задание.

Ответить на контрольные вопросы.

Сдать отчет преподавателю.























Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Лабиринт
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону N273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» педагогическая деятельность требует от педагога наличия системы специальных знаний в области обучения и воспитания детей с ОВЗ. Поэтому для всех педагогов является актуальным повышение квалификации по этому направлению!

Дистанционный курс «Обучающиеся с ОВЗ: Особенности организации учебной деятельности в соответствии с ФГОС» от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (72 часа).

Подать заявку на курс

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Лабиринт
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.