Методические указания для выполнения практических работ, специальность АТПП

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»

СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ

ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ДИСЦИПЛИНА   «МАТЕМАТИКА»

«математический и общий естественнонаучный цикл»

технический  профиль

Специальность 15.02.07 АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ПРОИЗВОДСТВ (ПО ОТРАСЛЯМ)

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Самара, 2016 г.

ОДОБРЕНО                                                             Составлено в соответствии

Предметно-цикловой                                              с требованиями ФГОС СПО по специальности

(методической) комиссией                                    Автоматизация технологических процессов и

                                                                                  производств (по отраслям)          

Председатель:

_________Н.Е. Афонина                                         Рекомендовано к изданию решением         

«____»____________2016 г.                                    методического совета №___________

                                                                                   «________»________________2016.г.

СОГЛАСОВАНО                                                    Председатель совета

Заместитель директора по                                      Заместитель директора по учебно-

учебной работе                                                        методической работе

_________Е.М.Садыкова                                       ___________________О.Ю.Нисман

«_____»___________2016 г.                                  «_____»___________2016 г.

Составитель: Памурзина Маргарита Александровна, преподаватель ГБПОУ «ПГК».

Рецензенты: Афонина Н.Е., преподаватель ГБПОУ «ПГК»,

                        Дерявская С.Н., методист ГБПОУ «ПГК»

            Методические указания для студентов по практическим занятиям являются частью программы подготовки специалистов среднего звена ГБПОУ «ПГК» по специальности 15.02.07. Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям) с требованиями  ФГОС СПО и рабочей программы по дисциплине.

Методические указания по выполнению практических работ адресованы  студентам очной формы обучения.

Методические указания по каждому практическому занятию включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных в рабочей программе дисциплины, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практического занятия работы студентов, инструкцию по их выполнению, методику анализа полученных результатов, порядок выполнения и образец отчета о проделанной работе.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Практические занятия №№ 1-2. Исследование функции и построения графика.

Практическое занятие № 3. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях.

Практическое занятие № 4. Решение прикладных задач с использованием элементов интегрального исчисления.

Практическое занятие № 5. Решение задач на применение множеств и операций над ними.

Практические занятия № 6. Решение вероятностных задач.

ВЕДЕНИЕ

Уважаемый студент!

   Методические указания по практическим занятиям (дисциплина «Математика») созданы Вам  в помощь для работы на занятиях, подготовки к ним, правильного составления отчетов.

   Приступая к выполнению  заданий практического занятия, Вы должны внимательно прочитать его цель и задачи, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами или примерной программой дисциплины «Математика» (для общеобразовательной подготовки), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практического занятия, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

   Все задания к практическому занятию Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

   Отчет о практическом занятии Вы должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

   Наличие положительной оценки по практическим занятиям необходимо для получения зачета по дисциплине и допуска к экзамену, поэтому, в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие, Вы должны найти время для его выполнения или пересдачи.

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим занятиям или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

   Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.

Желаем Вам успехов!!!

РАЗДЕЛ «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И

ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

Практические занятия № 1-2

Исследование функции и построение графика

Учебная цель: формировать умение исследовать функцию и строить график.

Учебные задачи: научиться проводить исследование сложных функций и строить их графики.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- применять математические методы для решения профессиональных задач;

знать:

- основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики.

Задачи практических занятий № 1-2

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.

4. Решить задачу на исследование функции и построения ее графика.

5. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 20011.

- Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер.- Изд. 4-е, испр. – Ростов н/Д : Феникс, 2010.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

  Переменная называется функцией переменой  (аргумент), если каждому допустимому значению  соответствует определенное значение . Символически функциональная зависимость между переменными записывается с помощью равенства , где  означает совокупность действий, которые надо произвести над , чтобы получить .

Область определения (существования) функции называется множество всех действительных значений аргумента, при которых она может иметь действительное значение. Обозначается D(f).

Функция  называется чётной, если для любого  из её области определения выполняется равенство                 (1.1),

т.е. при всех значениях  в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный значение функции не меняется. График четной функции симметричен относительно оси .

Функция  называется нечётной, если для любого  из её области определения                                                     (1.2).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно при­ближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала коор­динат.

Вертикальная  асимптота. График функции  при  имеет вертикальную асимптоту, если                             (1.3).

Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид:        (1.4).

Горизонтальная асимптота. График функции  при имеет горизонтальную асимптоту, если                         (1.5).

Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид:               (1.6).

Наклонная асимптота. Пусть график функции  имеет наклонную асимптоту                                          (1.7), где

        (1.8)                                  и                                  (1.9).

Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Определить промежутки монотонности функции можно с помощью первой производной.

Если  на промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке. Если  на промежутке I, то функция убывает на этом промежутке.

Точки из области определения функции, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими точками.

Если при переходе через точку  производная меняет знак с «+» на «-», то она является точкой максимума функции. Если при переходе через точку  производная меняет знак

с «-» на «+»,  то она является точкой минимума функции.

Точки минимума и максимума называются точками экстремума и обозначаются:

Значение функции в точке максимума называется максимумом функции: .  Значение функции в точке минимума называется минимумом функции:.

Значение функции в точках экстремума называется экстремумом функции.

   Кривая  называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

   Кривая  называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

   Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

   Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной.

Теорема. Если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика

Схема исследования функции:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на чётность, нечётность.

3. Найти нули функции: точки пересечения с осями координат.

4. Найти уравнения асимптот графика функции.

5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки его перегиба.

7. Построить график функции.

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Сформулируйте определение функции

2. Что называется областью определения функции?

3. Какие функции называются четными и как они исследуются на четность?

4. Какие функции называются нечетными?

5. Дайте определение асимптоты графика функции.

6. Перечислите виды асимптот.

7. Напишите формулы для нахождения вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

8. Дайте определение монотонности функции.

9. Сформулируйте практическое правило исследования функции на возрастание и убывание.

10. Дайте определение критической точки.

11. Что называется максимумом и минимумом функции?

12.Как исследуется функция на промежутки выпуклости графика?

13. Какие точки называются точками перегиба?

Задания для практического занятия № 1-2

Задание 1. Исследуйте функцию

Задание 2. Постройте график исследуемой функции. 

№ варианта	Функция	№ варианта	Функция
1		4
2		5
3		6

Инструкция по выполнению задания практического занятия № 1-2

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. При нахождении области определения функции обратите внимание на выражения, содержащие дроби, так как знаменатель дроби не может обращаться в нуль.

6. Для определения четности и нечетности функции необходимо изменить знак аргумента на противоположный, если эти значения принадлежат области определения функции. Используя условия (1.1) и (1.2), определим свойство четности или нечетности функции.

7. Чтобы определить нули функции, необходимо сначала приравнять функцию к нулю (точки пересечения с осью ), затем подставить в функцию значение аргумента , если нуль принадлежит области определения функции (точки пересечения с осью .

8. Асимптоты кривой находим:

- вертикальную по формулам (1.3) и (1.4);

- горизонтальную по формулам (1.5) и (1.6);

- наклонную по формулам (1.7), (1.8) и (1.9).

9. Для исследования функции на монотонность найдите первую производную функции и приравняйте ее к нулю. Найдем точки, где - критические и точки, где  не существует. Анализируем каждую критическую точку, т.е. выясняем меняет знак производная при переходе через эти точки (и тогда экстремум есть) или не меняет  (и тогда экстремума нет). Параллельно с этим находим интервалы возрастания и убывания функции.

10. Далее найдем точки, подозрительные на перегиб. С этой целью находим вторую производную и выясняем точки, где  и где она не существует. Анализируем каждую из полученных точек. Для этого выясняем меняется или не меняется знак второй производной при переходе через подозрительную точку. После этого делаем выводы относительно интервалов и направления выпуклости кривой и относительно точек перегиба используя теорему  и определение точки перегиба.

11. Для построения графика используем все полученные ранее результаты исследований.

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 1-2

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Исследование функции и построение графика.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение (см. образец отчета по практическому занятию № 1-2).

Образец отчета по практическому занятию № 1-2

Практическое занятие № 1-2

Исследование функции и построение графика

Задание 1. Исследуйте функцию  

Решение:

1. Найдем область определения функции (т.к. функция дробно-рациональная, ее знаменатель не должен быть равен нулю):

.

2. Исследуем функцию на чётность (для этого изменим знак аргумента на противоположный):

 функция не является чётной.

 функция не является нечётной.

График функции не является симметричным ни относительно начала координат, ни  относительно оси OY.

3. Найдем нули функции:

Пересечение с осью Ох: .

График пересекается с осью Ох в точке .

Пересечение с осью Оу: х=0. Но нуль не входит в область определения функции, следовательно график не пересекается с осью Оу.

4. Найдем асимптоты кривой.

. Значит,  - вертикальная асимптота.

. Горизонтальной асимптоты нет.

.

.

Значит, наклонная асимптота.

5. Найдем промежутки возрастания и промежутки убывания функции и ее экстремумы. Для этого найдем производную данной функции:

.

Приравняем ее к нулю

,  .

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю.

.

- критическая точка.

Определим знаки производной на промежутках: :

 возрастает на промежутках .

 убывает на промежутке .

В точке  производная функции меняет знак с «+» на «-», следовательно

.

 Точка .

6. Исследуем функцию на направление выпуклости и найдем точки перегиба.

Для этого найдем вторую производную:

Приравняем ее к нулю:

Дробь отлична от нуля, т. к.  

Определим знаки второй производной на промежутках :

График функции обращен выпуклостью вверх на . Т.к. кривая не меняет направление выпуклости, точек перегиба нет.

Задание 2. Постройте график исследуемой функции.

Решение.

РАЗДЕЛ  «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И

ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

Практическое занятие № 3

Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях

Учебная цель: формировать умение применять дифференциал функции в приближенных вычислениях.

Учебные задачи:

1. Научиться находить приближенное значение функции в заданной точке.

2. Научиться находить приближенное значение степени, корня.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях.

знать:

- основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики, теории вероятности и математической статистики.

Задачи практических занятий № 3

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.

4. Решить задачи на вычисление пути и работы переменной силы.

5. Оформить отчет

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2011.

- Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер.- Изд. 4-е, испр. – Ростов н/Д : Феникс, 2010.

- Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть II)/ под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.:Высшее образование, 2011.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Дифференциалом функции  называется произведение производной этой функции на произвольное приращение аргумента :

.

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента: . Поэтому дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

             (3.1)

1. Вычисление приближенного числового значения функции.

       (3.2).

2. Формулы для приближенных вычислений.

Формула для приближенного вычисления степеней:      (3.3).

Выражение для приближенного значения корней:     (3.4).

Если , то     (3.5).

Выражение для приближенного вычисления обратных величин:    (3.6)

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Дайте определение дифференциала функции.

2. Выпишите формулу для вычисления приближенного числового значения функции.

3. Выпишите формулы для приближенных вычислений степени, корня, обратной величины.

Задания для практического занятия № 3

Задание 1. Вычислить приближенное значение функции.

Задание 2. Вычислить приближенное значение степени.

Задание 3. Вычислить приближенное значение корня.

Задание 4. Вычислить приближенное значение обратной величины.

№	Задание 1	Задание2	Задание3	Задание4
1	при
2	при
3	при
4	при
5	при
6	при

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 3

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 3).

Образец выполнения практического занятия № 3

Практическое занятие № 3

Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях

Задание 1. Вычислить приближенное значение функции  при .

Решение. Воспользуемся формулой .

 Полагая  и , получаем.

;

, ;

.

  (точное значение функции 39,583005).

Ответ: 39,58

Задание 2. Вычислить приближенное значение .

Решение. Воспользуемся формулой.

Полагая  и , получаем

(точное значение выражения 1б,096144).

Ответ: 16,1.

Задание 3. Вычислить приближенное значение .

Решение. Воспользуемся формулой .

Полагая  и , получаем

(точное значение выражения 6,0373835392494).

Ответ: 6,04.

Задание 4. Вычислить приближенное значение .

Решение. Воспользуемся формулой.

Полагая  и , получаем .

Ответ: 0,996.

РАЗДЕЛ  «ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И

ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

Практическое занятие № 4

Решение прикладных задач с использованием элементов интегрального исчисления

Учебная цель: формировать умение применять определенный интеграл при вычислении физических величин.

Учебные задачи:

1. Научиться находить длину пройденного пути.

2. Научиться вычислять работу, совершаемую силой.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС СПО:

Студент должен

уметь:

- использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях.

знать:

- основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики.

.

Задачи практических занятий № 4

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Изучить методические рекомендации по выполнению работы.

4. Решить задачи на вычисление пути и работы переменной силы.

5. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2011.

- Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер.- Изд. 4-е, испр. – Ростов н/Д : Феникс, 2010.

- Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть II)/ под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.:Высшее образование, 2011.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

   Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхности и объемы произвольных тел. Но применение определенного интеграла не ограничивается вычислением площади фигуры. Определенный интеграл помогает решать ряд физических и общетехнических задач.

1. Задача  о вычислении пути.

  Согласно физическому смыслу первой производной, производная функции в точке есть мгновенная скорость точки, т.е. . Отсюда, . Проинтегрируем полученное равенство в пределах от до  и получим:

.

Тогда путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью  за отрезок времени  выражается интегралом:

                                            (4.1).

2. Задача о вычислении работы переменной силы.

   Работа, произведенная переменной силой  при перемещении по оси  материальной точки от  до , находится по формуле

                                         (4.2).

  Решение задач на вычисление работы силы упругости, связанных с растяжением или сжатием пружин, основывается на законе Гука: ,

где  - сила (Н), - абсолютное удлинение пружины ,  - коэффициент пропорциональности .

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Запишите формулу для вычисления пути, пройденного точкой за определенный промежуток времени.

2. По какой формуле вычисляется работа переменной силы?

Задания для практического занятия № 4

Вариант 1.

Задание 1. Тело движется прямолинейно со скоростью (м/с). Найти путь, пройденный за первые 5 секунд.

Задание 2. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью . Найдите наибольшую высоту подъема тела .

Задание 3. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. Одно тело двигалось со скоростью (м/с), другое - (м/с). На каком расстоянии они будут друг от друга через 5 секунд?

Задание 4. Для сжатия пружины на 4 см необходимо применить силу 78,4 Н. Вычислить работу, которую потребуется затратить для сжатия пружины на 2 см, 7см.

Вариант 2.

Задание 1. Скорость движения точки (м/с). Найти путь, пройденный точкой за 3-ю секунду.

Задание 2. Камень брошен с земли вертикально вверх. Найдите наибольшую высоту подъема камня , если его скорость .

Задание 3. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело двигалось со скоростью м/с, второе – со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга  они окажутся через 10с?

Задание 4. Для удлинения пружины на 2 см  необходимо приложить силу в 6 Н. Вычислить работу, которую необходимо затратить для растяжения пружины: 1) на 1см;  2) на 4 см.

Вариант 3.

Задание 1. Скорость движения точки (м/с). Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Задание 2. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью . Найдите наибольшую высоту подъема тела .

Задание 3. Два тела начали движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью (м/с), второе – со скоростью (м/с). В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

Задание 4. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе . Вычислить работу силы  при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н.

Вариант 4.

Задание 1 Скорость прямолинейного движения тела определяется по формуле (м/с). Какой путь пройдет тело за 5с от начала движения?

Задание 2. Мяч брошен с земли вертикально вверх. Найдите наибольшую высоту подъема мяча , если его скорость .

Задание 3. Два тела начинают движение одновременно из одной и той же точки: одно со скоростью (м/с), другое – со скоростью (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с, если они движутся в одном направлении и по одно прямой?

Задание 4. Найдите работу, которую нужно совершить при растяжении пружины на 3 см, если для ее растяжения на 6 см требуется сила 30 .

Инструкция по выполнению заданий практического занятия № 4

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. Выполнение первого задания необходимо начать с определения границ интегрирования:  время начала и окончания движения. Затем вычислить путь, пройденный точкой за этот промежуток времени, по формуле (4.1).

6. Аналогично выполняется второе задание. Для определения верхней границы интегрирования необходимо приравнять скорость к нулю, т.к. тело достигает наибольшей высоты подъема в такой момент времени , когда . Вычислить максимальную высоту можно по формуле (4.1).

7. В третьем задании сначала необходимо вычислить путь, пройденный первым телом, затем вычислить путь, пройденный вторым телом,  по формуле (4.1). Чтобы определить расстояние между телами, вычтите из большего значения меньшее.

8. В четвертой задаче используйте формулу (4.2). Чтобы найти коэффициент пропорциональности k, необходимо подставить данные в формулу закона Гука.

Порядок выполнения отчета по практическому занятию № 4

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Решение прикладных задач с использованием элементов интегрального исчисления.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 4).

Образец выполнения практического занятия № 4

Практическое занятие № 4

Решение прикладных задач с использованием элементов интегрального исчисления

Задание 1. Скорость движения тела задана уравнением м/с.  Найдите путь, пройденный телом за 10 секунд от начала движения.

Решение. (м).

Ответ:1090 м.

Задание 2. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью . Найдите наибольшую высоту подъема тела.

Решение. Тело достигает наибольшей высоты подъема в такой момент времени , когда , т.е. , откуда . По формуле (12.1) находим

Ответ: 78,4м.

Задание 3. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. Одно тело двигалось со скоростью (м/с), другое - со скоростью (м/с). Какое расстояние будет между телами через 6с?

Решение. .

Первое тело за 6 секунд пройдет расстояние (м/с).

Второе тело за 6 секунд пройдет расстояние (м/с).

Тогда расстояние между телами будет равно (м/с).

Ответ: 216(м/с).

Задание 4. Сила упругости  пружины, растянутой на 0,05 м, равна 3. Какую работу нужно произвести, чтобы растянуть пружину на 0,1 м?

Решение. Подставив данные в формулу закона Гука, получим:

. Т.е. сила упругости выражается соотношением: .

Найдем работу переменной силы по формуле (12.2):

(Дж).

Ответ: 0,3Дж.

РАЗДЕЛ «ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ»

Практическое занятие №5

«Решение задач на применение множеств и операций над ними»

Учебная цель: формировать умение  выполнять операции над множествами, применять основные тождества к упрощению  выражений.

Учебные задачи:

1. Научиться выполнять операции над множествами.

2. Уметь применять круги Эйлера к решению задач;

3. Применять основные тождества к упрощению  выражений.

4. Уметь применять полученные знания при решении прикладных задач.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

-                    применять математические методы для решения профессиональных задач;

знать:

- основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики.

 Задачи практического занятия:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на выполнение операций над множествами.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике.

2. Справочная литература:

а) М.С. Спирина, П.А. Спирин. Дискретная математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2010.

б) Г.А. Гончарова, А.А. Мочалин. Элементы дискретной математики. – М.: ФОРУМ – ИНФРА, 2011.

в) С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.-М.: Издательский центр «Академия», 2012.

3. Рабочие тетради: тетради для практических работ.

4. Калькуляторы: простые, по количеству студентов.

5. Ручки: по количеству студентов.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

Множество – совокупность элементов, объединенных некоторым признаком, свойством.

Примеры.

1. Множество натуральных чисел.

2. Множество студентов в колледже.

Элементы множества – объекты,  составляющие множество.

Введем обозначения: множества будем обозначать прописными буквами латинского алфавита А, В, С, …, а элементы множества – строчными a, b, c ,... .

Запись  означает, что элемент а принадлежит множеству А. Запись  означает, что элемент  не принадлежит множеству А.

Пример. Рассмотрим множество , состоящее из пяти элементов. Например, число , а .

Множество называется заданным, если или перечислены все его элементы, или указано свойство, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству.

Пример.  означает: множество составляют только целые числа, которые больше 5, но меньше 11.

Конечное множество – множество, которое содержит конечное число элементов.

Пример. Множество студентов группы.

Бесконечное множество – множество, состоящее из бесконечного числа элементов.

Пример. Множество натуральных чисел.

      Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента, и обозначается .

Пример. Множество нечетных чисел во множестве .

Если каждый элемент множества  есть элемент множества , то говорят, что  есть подмножество множества  и обозначают .

Пример. , . Имеем  (подмножество М).

Равными называются два множества и, состоящие из одинаковых элементов: . Ни количество элементов, ни порядок их следования не имеет значения для равенства множеств.

Пример.  и .

, так как решением обоих уравнений является одно и то же число 6.

 Универсальным  множеством  U называется множество  всех  элементов, которые могут встретиться  в данном  исследовании.

Число элементов множества  называется мощностью  множества и обозначается . Например, мощность пустого множества равна 0, а мощность множества планет Солнечной системы равна 9.

Существуют 3 способа задания множества:

1) Перечислением его элементов. Так можно задать только конечные множества.

Пример. А=.

2) Описанием характеристических свойств, которыми обладают его элементы.

Пример. А =- множество натуральных чисел, делящихся на 2.

3) Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже имеющихся элементов либо других объектов. В этом случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры.

Пример. Задать с помощью порождающей процедуры множество всех натуральных чисел: 1, 2, 3, ….

Решение. В данном случае порождающая процедура содержит два правила: а)  б) если , то .

Круги Эйлера.

Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера ( диаграмм Венна). Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами.

Таблица 5.1

Название операции	Обозначение	Изображение кругами Эйлера	Определение	Символическая запись
1. Пересечение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат одновременно А и В
2. Объединение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному  из множеств А и В
3. Разность множеств			Те и только те элементы множества А, которые не принадлежат В
4. Дополнение к множеству А			Те и только те элементы не принадлежат множеству А (т.е. дополняют его до универсального U)
5.Симметрическая разность			Те и только те элементы, которые принадлежат одному из множест: А либо В, но не являются общими элементами
6. Декартовое произведение			Множество упорядоченных пар, где первый элемент принадлежит множеству А, а другой – В.

Если   А, В – конечные множества, то

Применение кругов Эйлера при решении практических задач.

В математике встречаются арифметические, текстовые, сюжетные задачи. Эти задачи сформулированы на естественном языке (поэтому их называют текстовыми); в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому их часто называют арифметическими или сюжетными); они представляют собой задачи на разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда называют вычислительными).

Текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию №2

1. Что собой представляет множество?

2. Что называется элементом множества?

3. Какие виды множеств вы знаете?

4. Перечислите способы задания множеств.

5. Что называется объединением множеств?

6. Что называется пересечением множеств?

7. Что называется разностью и симметрической разностью множеств?

8. Что понимают под дополнением к множеству А?

9. Какие математические задачи называются текстовыми?

10. Что из себя представляет диаграмма Эйлера-Венна?

Задания для практического занятия № 5

Задание 1. Найти множества .

Задание 2. Записать множество и перечислить его элементы.

Задание 3. Перечислить элементы множества А.

Задание 4. Доказать с помощью кругов Эйлера тождества.

Задание 5. Решить текстовые задачи, используя диаграммы Эйлера-Венна.

№ варианта	Задание 1	Задание 2
1		Множество всех положительных чисел, кратных 9, которые меньше 80
2		Множество всех целых положительных степеней числа 5 меньших 630
3		Множество всех положительных простых чисел, меньших 30
4		Множество натуральных чисел, меньших 7
№ варианта	Задание 3	Задание 4
1		а). б)
2		а) б)
3		а) б)
4		а) б)
№ варианта	Задание 5
1	А) В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры? Б) Из 100 студентов отделения Автоматизации и Радиотехники 42 посещают спортивные секции, 30 – занимаются в учебных фирмах, а 28 – кружки художественной самодеятельности. На занятия в учебные фирмы и спорту успевают ходить 5 студентов. Спортом и художественной самодеятельностью занимаются 10, в учебных фирмах и художественной самодеятельностью – 8, а сразу все три увлечения имеют три студента. Сколько студентов не занимаются ни в каких секциях?
2	А) Студенты второго курса в количестве  78 человек, обучающиеся по специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» в колледже, могут посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 35 из них предпочли посещать компьютерные курсы, 31 решили получить права для вождения автомобиля. Кроме того, 14 студентов посещают оба курса. Сколько студентов не посещают дополнительные занятия? Б) На олимпиаде по математике студентам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 студентов. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600.  600 студентов  решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300  человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько студентов  не решило ни одной задачи?
3	А) На отделении «Автоматизации и Радиотехники» из 100 студентов, обучающихся по специальности «Автоматизация технологических процессов и производств», 66 человек знают английский язык, 54 знают французский язык и 33 человека знают оба языка. Сколько будущих специалистов в области гостиничного сервиса не знают ни английского, ни французского языков? Б) Студенты второго курса, обучающиеся по специальности «Автоматизация технологических процессов и производств», могут посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 25 из них предпочли изучать «Технический перевод с английского языка», 27 выбрали психологию, а 12 решили заниматься на компьютерных курсах. Кроме того, 20 студентов посещают курс «Технический перевод с английского языка» и психологии, пятеро изучают «Технический перевод с английского языка» и компьютерные курсы, а трое – компьютерные курсы и психологию. Известно, что никто из студентов не отважился посещать сразу три дисциплины, а двое не изучают ни одной дополнительной дисциплины. Сколько студентов учатся на данной специальности?
4	А) Сколько студентов принимало участие в научно-практической конференции, если известно, что 7 из них выступали в секциях «Математика» и «Инженерная графика», 11-только в секции «Математика» и 9 – только в секции «Инженерная графика»? Б) Группа грабителей посетила 18 квартир. Из них 12 вынесли телевизор, из 10 – компьютер, из 6 – музыкальный центр, из 5 – только телевизор и компьютер, из 2 – компьютер и музыкальный центр, из 3 – телевизор и музыкальный центр, из 2 квартир не вынесли ничего. Из сколько квартир украли все три предмета?

Инструкция по выполнению практического занятия №5

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант (задания для практического занятия).

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. При выполнении первого задания удобно начертить числовую прямую и отметить на ней точки, соблюдая включаемость точек во множество. Затем, применяя правила из таблицы 5.1, выполните заданные операции.

6. Перед выполнением второго задания прочтите способы задания множеств. Затем прочтите описание характеристических свойств, которыми обладают элементы заданного множества. По образцу сделайте краткую запись или перечислите элементы этого множества.

7. В третьем задании множество задано характеристическими свойствами в виде формул. Необходимо прочесть их и найти те числа, которые удовлетворяют заданным условиям. Перечислить их и записать.

8. Для доказательства тождества в четвертом задании воспользуйтесь таблицей 5.1. Представьте отдельно левую и правую части тождества с помощью кругов Эйлера и сравните рисунки. Если они одинаковые, тождество доказано. Если рисунки не совпадают, то данное тождество неверно.

9. В пятом задании используйте диаграмму Эйлера-Венна. Прочтите задачу и изобразите в виде прямоугольника универсальное множество – множество, включающее в себя все элементы задачи. Внутри прямоугольника изобразите в виде кругов подмножества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Определите объем каждой части диаграммы, приняв за х искомую величину. Составьте уравнение и решите его.

Порядок выполнения отчета по практическому занятию №5

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: «Решение задач на применение множеств и операций над ними».

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 5).

Образец отчета по практическому занятию №5

Задание 1. Найти множества: ,

если

Решение:

Отметим точки на числовой прямой, соблюдая включаемость точек во множество.

Применяя определения, получаем:

Т.к. , то (выбираем те точки, которые не входят в объединение множеств А и В);

 (те точки, которые принадлежат обоим отрезкам);

(те точки, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству С);

Т.к. , тогда  (точки множества исключают все точки множества А);

(точки, которые принадлежат множеству С, но не принадлежат множеству В).

Задание 2. Записать множество всех положительных чётных чисел, кратных 3, которые меньше 30 и перечислить его элементы.

Решение:

Четные числа можно записать в виде . Эти числа будут положительными, если .Значит, множество запишется в виде:

Элементами являются числа: 6, 12, 18, 24.

Ответ:

.

Задание 3. Перечислить элементы множества .

Решение:

Необходимо найти такие целые числа, на  которые 30 делится нацело  из  промежутка

Это числа: 2, 3, 5, 6, 10, 15.

Ответ: .

Задание 4. Доказать с помощью кругов Эйлера тождество .

Решение: Для доказательства тождества с помощью кругов Эйлера, представьте отдельно левую и правую часть тождества. Сравнение рисунков даёт возможность сделать вывод о справедливости тождества.

                                                                 

                                

Ответ: Области более темного цвета совпадают, тождество доказано.

Задание 5. В  группе  30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом,     23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение:

Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера.

Пусть человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом человек,  только автобусом и троллейбусом человек, только метро и автобусом человек.

Найдем, сколько человек пользовались только метро: .

Аналогично получаем: человек пользовались только автобусом,. – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: 
.
Отсюда .

Ответ: 3 человека ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта.

РАЗДЕЛ  «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Практическое занятие №6

Решение вероятностных задач

       Учебная цель: формировать умение вычислять вероятности наступления события, используя элементы комбинаторики, классическое определение вероятностей, формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Учебные задачи:

1. Научиться вычислять вероятность наступления события, используя формулы комбинаторики;

2. Научиться вычислять вероятность наступления события, используя формулы полной вероятности и формулу Байеса;

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

-   применять математические методы для решения профессиональных задач;

знать:

- основные понятия и методы математического синтеза и анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики.

Задачи практических занятий №6:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить задачи на вычисление вероятностей наступления событий, используя элементы комбинаторики, классическое определение вероятностей, формулу полной вероятности и формулу Байеса.

4. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Рабочая тетрадь по математике с конспектами лекций.

2. Справочная литература:

а) М.С. Спирина, П.А. Спирин. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

б) С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.

3. Рабочая тетрадь для практических занятий.

4. Калькулятор.

5. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

       В теории вероятностей приходится постоянно сталкиваться с задачами, в которых требуется расположить в соответствии с заданными правилами элементы некоторого конечного множества и подсчитать число всех возможных способов такого расположения.

      Пусть -множество из элементов. Любая совокупность элементов из множества называется выборкой из  элементов по  .

      Различают три основных вида выборок.

1. Упорядоченная -выборка из элементов множества, все элементы которой различны, называется размещением из  элементов по . Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                     (6.1).

2. Неупорядоченная -выборка из элементов множества, все элементы которой различны, называется сочетанием из  элементов по . Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                (6.2).

3. Упорядоченная последовательность, содержащая все  элементов совокупности, называется перестановкой из n элементов. Обозначается  и вычисляется по формуле:                                                                                                                (13.3).

Под событием принято понимать всякий факт, который может произойти в данных условиях.

Случайным называется событие, которое может произойти, а может не произойти при заданном комплексе условий.

Достоверным называется событие, если оно обязательно произойдет в данном испытании в результате выполнения комплекса условий.

Невозможным называется событие, если оно никогда не произойдет в данных испытаниях в результате выполнения совокупности условий.

Несовместными называются события, если наступление одного из них в том же испытании исключает наступление другого.

Несколько событий в данном испытании образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игрального кубика составляют полную группу.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условию симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. Пример равновозможного события: выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты.

Рассмотрим полную группу событий . Эти события попарно несовместны, элементарны, равновозможны. Те события , в результате наступления которых наступает и событие А будем называть благоприятствующих событию А.

I. Классическое определение вероятности.

Классической вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А к числу возможных исходов в данном испытании, образующих полную группу попарно несовместных, равновозможных, элементарных событий.

Таким образом, вероятность события  А определяется  формулой

                                                                                                    (6.4).

Где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства теории вероятностей:

а). Вероятность достоверного события равна единице.

б). Вероятность невозможного события равна нулю.

в). Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулем и единицей, т.е.  0<<1.

Классическое определение вероятности применяется только в следующих случаях:

• число элементарных событий конечно;
• результаты всех испытаний равновозможны;
• все равновозможные события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Теоремы теории вероятностей.

Т.-1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (ключевое слово «или»):           (6.5.)

Т.-2. Сумма вероятностей полной группы событий равна единице.

Т.-3. Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле:                                       (6.6.)

Т.-4. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей (ключевое слово «и»): .                  (6.7.)

Т.-5. Вероятность совместного появления (или произведения) двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло, т.е.  или .         (6.8.)

II. Формула полной вероятности.

Пусть события  образуют полную группу попарно несовместимых событий, и пусть событие  может произойти с каждым из событий , где .

Вероятность события , вычисленное в предположении, что  может произойти с каждым , где , называется полной вероятностью события .

Событие  можем представить в виде суммы: . Вычислим вероятность события :

Итак, вероятность события , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместимых событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события  :

,                       (6.9)

где  .

Равенство (4.9) называют формулой полной вероятности.

III. Формула Байеса

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А может произойти с каждой из гипотез , которое образует полную группу попарно несовместимых событий, при этом вероятности гипотез были известны заранее. Пусть проведён опыт, в котором наступило событие . Выясним, как при этом условии изменяется вероятность гипотез. То есть найдём .

Рассмотрим . По теореме о вероятности . Выразим

  - формула Байеса                                              (6.10).

Она позволяет пересмотреть вероятности гипотез, потому что как стало известно, что событие  произошло.

Вопросы для закрепления теоретического материала:

1. Какие виды событий Вы знаете? Дайте определение каждого вида.

2. Дайте определение классической вероятности.

3. Какими свойствами обладает вероятность?

4. Перечислите основные теоремы теории вероятностей.

5. Дайте определение полной вероятности наступления события А. По какой формуле она вычисляется?

6. По какой формуле вычисляется вероятность гипотезы?

Задания для практического занятия №6

Вариант №1

Задание 1. В профессиональном конкурсе участвовали 3 техника из первого цеха и 5 техников из второго цеха. По результатам конкурса были выбраны два призера. Найти вероятность того, что они оба являются представителями второго цеха.

Задание 2. На складе лежат 12 систем автоматизации, разработанные техником Ивановым, и 13 систем, разработанные техником Петровым. Случайным образом выбирают 4 систем в сборочный цех. Какова вероятность того, что среди этих 4 систем, по крайней мере 3 разработаны техником Ивановым?

Задание 3. Два технических отдела по организации работ по монтажу, ремонту и наладке систем автоматизации за отчетный период выдали одинаковое количество проектов. Возможный процент брака у первого отдела составляет 5%, у второго- 4%. Найти вероятность того, что наудачу взятый проект не соответствует установленным требованиям.

Задание 4. Прибор состоит из двух узлов. Работа каждого из узлов необходима для работы прибора в целом. Надежность(вероятность безотказной работы в течение определенного времени) первого узла равна 0,9, второго – 0,8. Прибор испытывался в течение определенного времени, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя. Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

Вариант №2

Задание 1. В производственном цеху фирмы работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

Задание 2. Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-и. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на два из трех вопросов?

Задание 3. Для сборки станка с программным управлением в сборочный цех поступают однотипные детали с двух складов В (1) и В(2). Причем, со склада В (1) -55%, а со склада (2)-45% всей продукции. Из каждых 100 деталей стандартными оказались 88 с первого склада и 77 - со второго. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной (событие А), т.е. требуется найти безусловную вероятность события А.

Задание 4. На складе имеется 28 комплектующих изделий от двух компаний поставщиков, из них 20 изделий от первой компании. Известно, что с вероятностью 0.7 среди поставок первой компании встречаются изделия, выполненные по новейшей технологии. Среди изделий второй компании  такие встречаются с вероятностью 0.8. Случайным образом выбранное изделие оказалось выполненным по новейшей технологии. Какова вероятность того, что это изделие от первой компании?

Вариант №3

Задание 1. Рабочему для изготовления деталей принесли 12 заготовок: 8 из стали 1-сорта и 4 из стали 2-го сорта. Какова вероятность того, что выбранные наугад две заготовки окажутся первого сорта?

Задание 2. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Установлено, что у 6 из 25 не выделен только первый параметр, у 5 – только второй, у 3 – оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что она не удовлетворяет стандарту?

Задание 3. На складе имеется 30 комплектующих изделий от двух компаний поставщиков, из них 20 изделий от первой компании. Известно, что с вероятностью 0.75 среди поставок первой компании встречаются изделия, выполненные по новейшей технологии. Среди изделий второй компании  такие встречаются с вероятностью 0.82. Какова вероятность того, что случайным образом выбранное изделие выполнено по новейшей технологии?

Задание 4. Среди поступающих проектов 40% от техников первого цеха, 60% от техников второго цеха. Вероятность неперспективных проектов для первого цеха равна 0,15, для второго цеха – 0,02. Наудачу выбранный проект оказался перспективным. Какова вероятность того, что он представлен техниками первого цеха?

Вариант №4

Задание 1. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что взятый наудачу студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?

Задание 2. В цехе работают три станка. Вероятность отказа в течении смены для станков соответственно равна 0,15, 0, 2 и 0,25. Найти вероятность того, что в течении смены безотказно проработают два станка

Задание 3. Приборы для регулирования технологических процессов были смонтированы двумя техническими отделами. Первым отделом было смонтировано 2 прибора, вторым - 3 прибора. Вероятность того, что прибор будет работать без поломок при монтаже в первом отделе равна 0.75, во втором – 0.7. Какова вероятность того, что случайно выбранный прибор будет работать без поломок?

Задание 4. В городе три колледжа, выпускающих специалистов в области машиностроения. В первом колледже выпускники этого профиля составляют 22% , во втором -28%, в третьем – 30% количества всех выпускников. По специальности не идут работать 5%, 4% и 2% выпускников специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» каждого учебного заведения соответственно. Какова вероятность, что случайно выбранный выпускник данного года не пошел работать по специальности и является студентом первого колледжа?

Инструкция по выполнению заданий практического занятия №6

1. Прочитайте краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия.

2. Устно ответьте на вопросы для закрепления теоретического материала  к практическому занятию.

3. Выберите свой вариант задания для практического занятия.

4. Внимательно прочитайте условие каждого задания. Определите, какие определения и формулы Вам необходимы для выполнения каждого задания.

5. При выполнении первого задания воспользуйтесь классическим определением вероятности и формулой (6.4). Для этого необходимо вычислить число благоприятствующих исходов данного события и число всех возможных исходов, используя одну из формул комбинаторики (6.1, 6.2, 6.3).

6. Во втором задании используйте теоремы о сумме вероятностей (6.5 и 6.6)

6. В третьем задании используйте формулу вычисления полной вероятности (6.9). Для этого сначала обозначьте буквами событие, вероятность которого нужно вычислить и возможные гипотезы по отношению к этому событию. Затем вычислите вероятность каждой гипотезы и условные вероятности события при условии, что каждая из гипотез произошла. Полученные результаты внесите в формулу полной вероятности и сделайте расчет.

7. В четвертом задании необходимо вычислить вероятность гипотезы при условии, что данное событие уже произошло. Для этого воспользуйтесь формулой Байеса (6.10). Данное задание выполняйте по схеме предыдущей задачи.

Порядок выполнения отчета по практическому занятию №6

1. На новой странице в тетради для практических занятий запишите число. Опустившись ниже на 1 см, запишите номер и тему практического занятия: Решение вероятностных задач.

2. Под темой практического занятия запишите номер своего варианта.

3. Далее записывайте по порядку номер каждого задания и его условие.

4. С новой строки запишите решение и ответ (см. образец отчета по практическому занятию № 6).

Образец отчета по практическому занятию №6

Практическое занятие №6

Решение вероятностных задач

Задание 1. В группе студентов, обучающихся по специальности «Автоматизация технологических процессов и производства», 30 учащихся: 25 юношей и 5 девушек. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность того, что это девушки?

Решение. Испытание – вызывают двух учащихся из 30. Событие А – вызвали двух девушек из 5. Нам нужно выбрать двух учащихся из 30. Тогда число всех элементарных исходов испытания равно (порядок не важен): , а количество благоприятных исходов равно . Тогда    .

Ответ: .

Задание 2. а) В лотерее 1000 билетов. Из них на один билет падает выигрыш 5000 руб., на 10 билетов – выигрыши по 1000 руб., на 50 билетов – выигрыши по 200 руб., на 100 билетов – выигрыши по 50 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 200 руб.

Решение. Рассмотрим события:

 - выиграть не менее 200 руб.;

 - выиграть 200 руб.;

 - выиграть 1000 руб.;

 - выиграть 5000 руб..

Очевидно, что . Так как события - несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий

Ответ: 0,061.

б) Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Решение. Пусть -событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а  - в том, что оно кратно 5. Так как и  - совместные события, то воспользуемся формулой (13.6):

 Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, …, 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события ); 18 кратными 5 (благоприятствуют наступлению события ) и 6 – кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события ). Таким образом, .

.

Ответ: 0,467.

Задание 3. Была проведена одна и та же контрольная работа в трёх параллельных группах. В первой, где 30 учащихся, оказалось 8 работ, написанных на «отлично». Во второй – 28 учащихся, из которых 6 работ выполнены на «отлично». В третьей – 27 учащихся, из которых 9 работ выполнены на «отлично». Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при повторной проверке работа из работ, принадлежащих наудачу выбранной группе, окажется выполненной на «отлично».

Решение. Испытание – выбирают группу из трёх и выбирают одну контрольную работу. Обозначим через  событие – работа выполнена на «отлично». Возможны следующие предположения (гипотезы): работа из первой группы, работа из второй группы, работа из третьей группы. Вероятность каждого из предположений равна , т.е.   и .

Следовательно,  образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Условная вероятность того, что работа будет выполнена на «отлично», при условии, что работа из первой группы, .

Искомую вероятность того, что работа выполнена на «отлично», находим по формуле полной вероятности:

Ответ: .

Задание 4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата  вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через  событие – деталь отличного качества. Можно сделать  два предположения (гипотеза): деталь  произведена  первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит  вдвое больше деталей, чем второй) ; деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена  первым автоматом, .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена  вторым  автоматом, .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна

.                                              Ответ: .

Список литературы, используемых при подготовке методических указаний:

1. М.С. Спирина, П.А. Спирин. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.-М.: Издательский центр «Академия», 20012.

2. С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений.- М.: Издательский центр «Академия», 2011.

3. Г.А. Гончарова, А.А. Мочалин. Элементы дискретной математики. – М.: «Академия», 2011.

4. Н.В. Богомолов. Математика: учеб. для ссузов. – М. : Дрофа, 2012.

5. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2012. – 575 с.

6. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум (часть 1)/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.- М.: Высшее образование, 2011.

7. 6. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум (часть 2)/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.- М.: Высшее образование, 2012.

8. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер.- Изд. 4-е, испр. – Ростов н/Д : Феникс, 2013.

Памурзина Маргарита Александровна

Преподаватель математических дисциплин

ГБПОУ «Поволжский государственный колледж»

СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

математический и общий естественнонаучный цикл

15.02.07 АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ПРОИЗВОДСТВ

(ПО ОТРАСЛЯМ)

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ