Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания и контрольные задания для обучающихся 3 курса заочного отделения по ЕН.01 Математика

Методические указания и контрольные задания для обучающихся 3 курса заочного отделения по ЕН.01 Математика

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ «АПШЕРОНСКИЙ ЛЕСХОЗ-ТЕХНИКУМ»





ЕН.01 Математика




МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

3 КУРСА

СПЕЦИАЛЬНОСТИ

35.02.01. ЛЕСНОЕ И ЛЕСОПАРКОВОЕ ХОЗЯЙСТВО




Контрольная работа № 1



















г. Апшеронск

2015г.


РАССМОТРЕНЫ И ОДОБРЕНЫ

на заседании УМО специальности 35.02.01 Лесное и лесопарковое хозяйство №______

от «_____»__________2015 г.

Председатель

______________Н.А. Трегубова



СОГЛАСОВАНО

Заместитель директора по учебной работе ГБПОУ КК «Апшеронский лесхоз-техникум»

_____________Г.А. Бондарева

«_____»__________2015г.



Методические указания и контрольные задания для обучающихся 3 курса заочного отделения по ЕН.01 Математикаразработаны в соответствии с рабочей программой по ЕН.01 Математика, на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования 35.02.01 Лесное и лесопарковое хозяйство, утвержденного приказом Министерства образования и науки РФ за № 450 от 07.05.2014 г., зарегистрированного в Министерстве юстиции за № 32872 от 26.06.2014 г., для обучающихся 3 курса заочного отделения.



Разработчик: М.М.Яценко преподаватель

ГБПОУ КК «АЛХТ» ______________



Рецензент: Н.В.Марченко преподаватель

ГБПОУ КК «АЛХТ» ______________




















СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка……………………………………………………..

4

Введение……………………………………………………………………..

5

Литература…………………………………………………………………...

7

ЕН.01 Математика…………………………………………………………..

8

Методические указания по выполнению контрольной работы…….........

25

Контрольная работа № 1……………………………………………………

27

Приложение………………………………………………………………….

32



































Пояснительная записка.

Основная форма работы обучающегося заочного отделения – самостоятельная работа с учебной литературой, в результате которой он получает теоретическую подготовку, необходимую для выполнения контрольной работы по учебной дисциплинеЕН.01 Математика.

Внимательно ознакомьтесь с «Введением» и «Общими методическими указаниями».

Изучая программный материал учебной дисциплины, придерживайтесь последовательности:

- самостоятельное изучение тем учебной дисциплины;

- применение знаний по математике в профессиональной деятельности;

- минимальный перечень изучаемых вопросов;

- требования к результатам освоения учебной дисциплины;

- практические работы;

- контрольная работа.

В пособии по каждой теме дисциплины содержится краткий теоретический материал, образцы решения и оформления примеров, литература, необходимая при изучении материала. Приведены задания обязательной контрольной работы по дисциплинеЕН.01 Математика.




























ВВЕДЕНИЕ.


Основная цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний и навыков, необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в той или иной мере математику, для умения выполнять практические расчеты, для формирования и развития логического мышления. Учебная дисциплина ЕН.01Математика входит в математический и общий естественнонаучный цикл, формирующий базовый уровень знаний для освоения общепрофессиональных дисциплин ивключает следующие общие и профессиональные компетенции:

ОК 1.Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы профессиональных задач, оценивать их эффективное качество.

ОК 3. Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.

ОК 4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5.Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Ставить цели, мотивировать деятельность подчиненных, организовывать и контролировать их работу.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.1. Планировать, осуществлять и контролировать работы по лесному семеноводству.

ПК 1.2. Планировать, осуществлять и контролировать работы по выращиванию посадочного материала.

ПК 1.3. Проектировать и контролировать работы по лесовосстановлению, лесоразведению и руководить ими.

ПК 1.4. Проектировать и контролировать работы по уходу за лесами и руководить ими.

ПК 1.5. Осуществлять мероприятия по защите семян и посадочного материала от вредителей и болезней.

ПК 2.1. Проводить предупредительные мероприятия по охране лесов от пожаров, загрязнений и иного негативного воздействия.

ПК 2.2. Осуществлять тушение лесных пожаров.

ПК 2.3. Проводить лесопатологическое обследование и лесопатологический мониторинг с использованием современных информационных технологий.

ПК 2.4. Проводить работы по локализации и ликвидации очагов вредных организмов, санитарно-оздоровительные мероприятия в лесных насаждениях и руководить ими.

ПК 3.1. Проектировать и осуществлять отвод лесных участков для проведения мероприятий по использованию лесов.

ПК 3.2. Планировать и контролировать работы по использованию лесов с целью заготовки древесины и других лесных ресурсов и руководить ими.

ПК 3.3. Планировать, осуществлять и контролировать рекреационную деятельность.

ПК 4.1. Проводить таксацию срубленных, отдельно растущих деревьев и лесных насаждений.

ПК.4.2. Осуществлять таксацию древесной и недревесной продукции леса.

ПК.4.3. Проводить полевые и камеральные лесоустроительные работы.

С целью овладения указанным видом профессиональной деятельности и соответствующими профессиональными компетенциями обучающийся в ходе освоения учебной дисциплины должен:

уметь:

- решать обыкновенные дифференциальные уравнения;

- решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления;

- решать простейшие задачи, используя элементы теории вероятности;

- выполнять действия над векторами;

знать:

- о роли и месте математики в современном мире, общности её понятий и представлений;

- основы аналитической геометрии;

- основные понятия и методы математического анализа, теории вероятности и математической статистики;

- основные численные методы решения прикладных задач;

- простые математические модели систем и процессов в сфере профессиональной деятельности;

Программой учебой дисциплины предусмотрены: практические занятия – обучающиеся должны выработать умение и навыки по решению: обыкновенных дифференциальных уравнений, прикладных задач с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления,

простейших задач, используя элементы теории вероятности и выполнению действий над векторами.

Контрольная работавыполняются в отдельной тетради. Записывая условие задачи, указывайте исходные данные и конечный результат. Применяйте формулы и четкие расчеты, вычерчивайте требуемые таблицы и графики. В конце работы укажите используемую литературу, поставьте дату выполнения и свою подпись. Работу выполняйте по варианту, указанному в учебном графике. Если работа выполнена не в соответствии с предъявляемыми требованиями, то контрольная работа не зачитывается и возвращается на доработку.

Заканчивается изучение ЕН.01Математикасдачей дифференцированного зачета. К дифференцированному зачету допускаются студенты, имеющие зачтенную контрольную работу.

Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы, следует изучить программный материал в следующей последовательности:



Литература

Основные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов-на-Дону, Феникс, 2012.

  2. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, - Москва, Дрофа, 2012.

  3. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. - Москва, Дрофа, 2012.

  4. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике, - Москва, Дрофа, 2012.

  5. Дадаян А.А., Математика. – Москва, ФОРУМ-ИНФРА-М, 2012.

Дополнительные источники:

  1. Апанасов П. Т., Орлов М. И.. Сборник задач по математике. Москва, Высшая школа, 1987.

  2. Валуцэ И. И., Дилигун Т. Д. Математика для техникумов на базе средней школы. Москва, Наука, 1989.

  3. Высшая математика для экономистов /под ред. Кремера Н. Ш. – Москва, ЮНИТИ, 2002.

  4. Калинина В.Н., Панкин В.Ф., Математическая статистика.- Москва, АСАДЕМА, 2001.

  5. Калнин Р. А.. Алгебра и элементарные функции. Москва, Наука, 1967.

  6. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /под ред. Яковлева Г.Н. 4.1. - Москва, Наука, 1987.

  7. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /под ред. Яковлева Г.Н. 4.2. - Москва, Наука, 1988.

  8. Рудник А. Е., Клуева Л. А., Мосолова М. С.. Сборник задач по элементарной математике. Москва, Наука, 1974.

  9. Цыпкин А. Г.. Справочник по математике для средней школы. Под ред. С. А. Степанова. Москва, Наука, 1979.













ЕН.01 МАТЕМАТИКА

РАЗДЕЛ 1.Основы аналитической геометрии.

Тема 1.1. Основы аналитической геометрии.

Краткие теоретические сведения

Понятие вектора известно из школьного курса. Наиболее часто мы будем пользоваться координатной формой записи векторов: . Напомним, что всегда вектор предполагается свободным, т.е. его можно без изменения длины и направления переносить в любую точку пространства. В случае координатного задания вектора его длина вычисляется по формуле:

. (4.1)

Направление же вектора определяется углами , , , образованными вектором с положительными полуосями координат Ох, Оу, Oz, которые можно найти из формул для направляющих косинусов этих углов:

(4.2)


Операции над векторами

Произведение вектора на скалярный множитель  определяется по формуле  = (а1, а2, а3).

Для двух векторов ,hello_html_mba6a889.gif их сумма и разность определяются по правилам:



Геометрически сумма и разность векторов строится как на рисунке:







Если точка О - начало координат, а М - точка с координатами (x, y, z), то вектор называетсярадиусом-вектором точки М.

Вектор с началом в точке А(x1, y1, z1) и концом в точке В(x2, y2, z2) в координатном виде записывается так: =.

Примеры.

а) В треугольнике АВС сторона АВ точками М и N разделена на три равные части: Найти вектор , если . Если построить треугольник и указанные вектора, то из геометрических правил сложения и вычитания легко получаются равенства т.е.. Так как , то Таким образом,

б) Найти длину вектора = (10, 15, -30) и его направляющие косинусы.

По формулам (4.1) и (4.2) определяем




  1. Найти вектор , если А(2, 1, 0) и В(3, 0, 5).


Из формулы для координат вектора имеем = (3-2, 0-1, 5-0) =

= (1, -1, 5).


Задачитекущего контроля наличия умений самостоятельной работы

а) Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что Найти вектор если = ,

б) Найти координаты вектора гдеА(0, 0, 1), В(3, 2, 1), С(4, 6, 5), D(1, 6, 3).


в) Даны радиусы - векторы вершин треугольника АВС:

Показать, что треугольник АBC - равносторонний.

г) Вычислить длину вектора (1, 2, 1) и найти его направляющие косинусы.

д) Даны точки А(1, 2, 3) и В(3, -4, 6). Найти длину и направление вектора .

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение и свойства

Пусть даны два вектора и.Тогда их скалярное произведение определяется из равенства , где  - угол между этими векторами.

Если векторы заданы в координатной форме ,hello_html_mba6a889.gif, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

а) ;

б) если  (ортогональные вектора), то = 0;

в) ;

г) ;

д) , где λ- любое число.


Примеры.

а) Найти скалярное произведение векторов = (2, 1, 1) и = (2, -5, 1).

Из определения имеем = .

б) Даны вектор = (m, 3, 4) и вектор = (4, m, -7). При каких значениях m вектор ортогонален вектору ?

Из условий ортогональности имеем: = 4m + 3m -28 = 0,

7m = 28, m = 4.

в) Найти , если и .

Из свойств скалярного произведения имеем: ,

т.к. , тогда

г) Определить угол между векторами = (1, 2, 3) и= (0, 4, -2).

Так как Из координатного представления векторов находим 0+8-6=2,


Задачитекущего контроля наличия умений самостоятельной работы

а) Даны векторы = (3, -2, -4), = (6, -2, 3). Найти ()().

б) Вычислить работу силы = (1, 2, 1) при перемещении материальной точки из положения М1(-1, 2, 0) в положение М2(2, 1, 3) . Напомним, что работа вектора силы равна скалярному произведению вектора на вектор перемещения .

в) Найти координаты вектора , если он коллинеарен вектору

= (2, 1, 0) и его скалярное произведение на вектор равно 3, т.е.


ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Определение векторного произведения

Если вектора и заданы в координатной форме то их векторное произведение определяется по формуле:

,

где -орты осей координат Ox, Oy, Oz, соответственно:


Пример. Найдем векторное произведение векторов hello_html_2e6fefd0.gif.

Из приведенной формулы имеем



РАЗДЕЛ 2.Основные понятия и методы математического анализа.

Тема 2.1. Предел функции.

Краткие теоретические сведения

Определение.Число b называется пределом функции f(x) в точке x0, если для всех значений х, достаточно близких к x0 и отличных от x0, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b. Пишут: .


Свойства пределов. Пусть существуют пределы . Тогда:

  1. Предел константы равен самой константе: .

  2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций: .

  3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций: .

  4. Постоянный множитель выносится за знак предела: .

  5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций: .

  6. Показатель степени можно выносить за знак предела: .


Задания:Изучить правила раскрытия неопределённостей,, первый и второй замечательные пределы.

Задачитекущего контроля наличия умений самостоятельной работы

1.Непосредственное вычисление пределов


1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ; 13) ;

14) ; 15) .


2.Раскрытие неопределенности вида

І. 16) ; 17) ; 18) ; 19) ;

20) ; 21) ; 22) ; 23) ;

24) ; 25) ; 26) ; 27) ;

28) ; 29) ; 30) ;31) ;

ІІ. 32) ; 33) ; 34) ; 35) ;

36) ; 37) ; 38) ; 39) ;

40) ; 41) ; 42) ; 43) ;

44) ; 45) ; 46) ; 47)

3.Раскрытие неопределенности вида

48) ; 49) ; 50) ; 51) ;

52) ; 53) ; 54) ; 55) ;

56) ; 57) ; 58) ; 59) ; 60)

4. І замечательный предел

61) ; 62) ;63); 64) ; 65) ;

66) .

5. ІІ замечательный предел

67) ; 68) ; 69) ; 70) .


Вопросы текущего контроля наличия умений самостоятельной работы

  1. Что называется функцией одной независимой переменной?

  2. Перечислить основные элементарные функции.

  3. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

  4. Что такое предел функции y = f(x) при xa?

  5. Дайте определение правого и левого пределов функции y = f(x)

  6. Дайте определение предела последовательности.


Тема 2.2. Дифференциальное исчисление функций.

Краткие теоретические сведения

Определение.Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении последнего к нулю.

f′ (x) = =

Формулы дифференцирования

Правила дифференцирования

Применение производной




















,





Уравнение касательной:

f(x) возрастает на I, если

f′ (x) > 0 на I.


f(x) убывает на I, если

f′ (x) < 0 на I.

Выпуклость графика функции и его перегибы:

у" > 0, выпуклость вниз


у" _> 0, выпуклость вверх

Задачитекущего контроля наличия умений самостоятельной работы

І. Вычислить производные следующих функций:

1)у = 2х2 – 3х + 5;2)у = 4 – х4;3)у = х4х2; 4)у = 5х4 – 7х2 + х – 3; 5)у = х4 + 4х3 – 8х2 + 9х – 5;

6); 7); 8);

9);10); 11);

12); 13); 14); 15); 16);

17)Найти ;

18)Найти ;

19); 20); 21); 22);

22а)у = ехх2; 22б) у = 3х4sinx.


ІІ. Вычислите производные сложных функций:

23); 24); 25); 26); 27);

Вопросы текущего контроля наличия умений самостоятельной работы

  1. Дать определение производной функции y =f(x).

  2. Каковы геометрический и механический смыслы производной?

  3. Как найти производную сложной функции?

Тема 2.3.Интеграл и его свойства.

Краткие теоретические сведения

Определение. Первообразной для функцииy =f(x) на некотором промежутке называется функция F(x), производная которой равна исходной функции, т.е. (x) = f(x)

Отыскание первообразных называется неопределённым интегрированием, а выражение, охватывающее совокупность всех первообразных для данной функции f(x), называется неопределённым интегралом и обозначается так:


І. Основные формулы интегрирования



;


;


;


;


;


;


;


;


;

;


;


;


.


ІІ. Основные свойства интегралов


10. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: .

20. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

30. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: .


40. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:

.

50. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С: .

60. Интеграл от сложной функции с линейным аргументом вычисляется по формуле:

.

ІІІ. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов:

.

Методы интегрирования

  1. Непосредственное интегрирование. Используется таблица интегралов, свойства неопределённых интегралов и различные преобразования подынтегрального выражения.

  2. Интегрирование по частям. Данный способ состоит в том, подынтегральное выражение представляется в виде произведения двух множителей u и dv и заменяется двумя интегрированиями: 1) отыскание v из выражения для dv; 2) отыскание интеграла для vdu:

.

  1. Метод замены переменной. Его применяют в том случае, если исходный интеграл сложно или невозможно с помощью алгебраических и иных преобразований свести к одному или нескольким табличным интегралам. Способ заключается в том, что заменяется новой переменной такая часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя).

Задачитекущего контроля наличия умений самостоятельной работы

І. Непосредственное интегрирование.


1. ; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.;

7.; 8.; 9.; 10.; 11.;

12.; 13.; 14.; 15.

ІІ. Способ подстановки.


16. ; 17.; 18.; 19.; 20.;

21.; 22.; 23.; 24.; 25.; 26.; 27.; 28.; 29.; 30..


ІІІ.Способ интегрирования по частям.


31.; 32.; 33.; 34.; 35.; 36.;37.; 38.; 39.; 40..


ІV. Вычисление определенных интегралов.

41.; 42.; 43.; 44.; 45.; 46.; 47.;

48.; 49.; 50.; 51.; 52.;

53.; 54. ; 55..


V.Применение определенного интеграла.


Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:

56. Осью Ох, прямыми и параболой ; 57.y2 = 9x, x = 16, x = 25, y = 0;

58. y = -x2 + 4 и y = 0; 59. у = х2, у = 1/х, х є [1; е]; 60. у2 = х, у = х2; 61. у = 8+2х-х2, у = х+6;

62.x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0, y = 0.


Вопросы текущего контроля наличия умений самостоятельной работы

  1. Какая функция называется первообразной?

  2. В чём состоит суть метода интегрирования по частям?

  3. В чём состоит суть метода замены переменной?

  4. Каков смысл определённого интеграла?

  5. В чём состоит суть метода замены переменной в определённом интеграле?


Тема 2.4. Дифференциальные уравнения.

Краткие теоретические сведения

Дифференциальными называются уравнения, которые содержат искомую фукнцию, её производные и (или) дифференциалы различных порядков, независимые переменные.

Решить дифференциальное уравнение – это значит найти такую функцию, подстановка которой в это дифференциальное уравнение превращает его в тождество.

Решения, содержащие конкретные значения постоянных, называются частными решениями дифференциального уравнения.

Заданиетекущего контроля наличия умений самостоятельной работы

1 вариант

2 вариант

1.

Общим решением дифференциального уравненияhello_html_m5b8e94eb.png является …



 hello_html_m1f90bac0.png

hello_html_4ffa41fb.png

hello_html_m5c5fe4df.png

hello_html_m4ff6ee3c.png


Общим решением дифференциального уравнения hello_html_m6fe64f31.png является …

hello_html_m2061af9a.png

hello_html_8662815.png

hello_html_2625d5eb.png

hello_html_m60935090.png

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения(x + 5)dy – (y +10)dx = 0

Найти общее решение дифференциального уравнения(x - 10)dy – (y -5)dx = 0

3.

Частными решениями дифференциального уравнения hello_html_1f273e9c.png являются …



hello_html_2fa3f32a.png

hello_html_m316f9fdf.png



 hello_html_m4e09654c.png


Частными решениями дифференциального уравнения hello_html_4358b2a0.png являются …

 hello_html_m38f3346f.pnghello_html_m22cf4e49.png

hello_html_m6b94f78e.pnghello_html_1fba2244.png



Вопросы текущего контроля наличия умений самостоятельной работы

  1. Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?

  2. Что такое общее решение дифференциального уравнения первого порядка?

  3. Что такое частное решение и в чём суть начальных условий для дифференциального уравнения первого порядка?

  4. Что такое дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными и каким методом его можно решить?



РАЗДЕЛ 3. Теория вероятностей и математическая статистика.

Тема 3.1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей.

Краткие теоретические сведения

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира.

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая.

Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить.

Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.

Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.

.

Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношениеm к n.

Из этого определения вытекают следующие свойства:

  1. Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

Действительно, число m искомых событий заключено в пределах . Разделив обе части на n, получим

.

2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. .

3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку .

Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим

.

Задача 2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.


Подсчитаем число m, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:

.

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно

.

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет

.

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:

.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А12+ … +Аn.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна суммевероятностей этих событий.

или


Следствие 1. Если событие А1, А2, … ,Аn образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице.

.

Задача 1. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

.

Задача 2. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города Аравна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.

Решение. События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

, т.е. .

Задача 3. Вероятность того, что день будет ясным, . Найти вероятность того, что день будет облачным.

Решение. События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

, т.е.

Теорема умножения вероятностей независимых событий

При совместном рассмотрении двух случайных событий А и В возникает вопрос:

Как связаны события А и В друг с другом, как наступление одного из них влияет на возможность наступления другого?

Простейшим примером связи между двумя событиями служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно приводит к наступлению другого, или наоборот, когда наступление одного исключает возможность наступления другого.

Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Пусть А и В - два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется число .

Обозначив условную вероятность , получим формулу ,

Задача 1. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.

Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка.

Тогда , и по формуле находим .

Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле

.

Задача 2. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение. Пусть - из первой урны извлечен белый шар; - из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события и независимы.

Так как,, то по формуле находим

.

Задача 3. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.

Решение. Пусть событие А- выход из строя первого элемента, событие В- выход их строя второго элемента. Эти события независимы (по условию).

а) Одновременное появление А и В есть событие АВ. Следовательно,

.

б) Если работает первый элемент, то имеет место событие (противоположное событию А- выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий и :

;

.

Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть и, значит,

.

Заданиятекущего контроля наличия умений самостоятельной работы

  1. В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

  2. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).

  3. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.

  4. из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

  5. Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».

  6. В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

  7. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?


Тема 3.2. Случайные величины и их числовые характеристики.

Краткие теоретические сведения

Математическая статистика - это раздел математики, который имеет своим предметом изучения методов сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.

При этом под статистическими данными понимается совокупность чисел, которые представляют количественные характеристики интересующих нас признаков изучаемых объектов. Статистические данные получаются в результате специально поставленных опытов, наблюдений.

Статистические данные по своей сущности зависят от многих случайных факторов, поэтому математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой.

Случайная величина, способы ее задания

Случайнойназывается величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Если для какой- либо величины ее измерение повторять многократно в практически одинаковых условиях, то обнаружится, что всякий раз получаются несколько отличные друг от друга результаты. Это складывается влияние причин двух видов: 1) основных, определяющих главное значение результата; 2) второстепенных, обуславливающих их расхождение.

При совместном действии этих причин понятия необходимости и случайности оказываются тесно связанными между собой, но необходимое преобладает над случайным.

Таким образом, возможные значения случайных величин принадлежат некоторым числовым множествам.

Случайным является то, что на этих множествах величины могут принять любое значение, но какое именно, заранее сказать нельзя.

Случайная величина связана со случайным событием.

Если случайное событие - качественная характеристика испытаний, то случайная величина - его количественная характеристика.

Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами а их значение – прописными- .

Вероятность того, что случайная величина примет значение обозначают:

и т.д.

Случайные величины задают законами распределения.

Закон распределения случайной величины - это соответствие, установленное между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Законы распределения могут быть заданы тремя способами: табличным, графическим, аналитическим. Способ задания зависит от типа случайной величины.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные случайные величины.

Дискретная и непрерывная случайные величины

Если значения, которые может принимать данная случайная величина , образует дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел то и сама случайная величина называется дискретной.

Если же значения, которые может принимать данная случайная величина , заполняют конечный или бесконечный промежуток (а, в) числовой оси Ох, то случайная величина называется непрерывной.

Каждому значению случайной величины дискретного типа отвечает определенная вероятность ; каждому промежутку (а, в) из области значений случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная вероятность того, что значение, принятое случайной величиной, попадает в этот промежуток.


Закон распределения случайной величины

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:











При этом , где суммирование распространяется на все (конечное или бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины .

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью функции плотности вероятности.

Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной , попадет в промежуток (а, в), определяется равенством

.

График функции называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток (а, в) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х=а, х=в.


Задача 1. Даны вероятности значений случайной величины : значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 – вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4 – вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины .

Решение. Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке, получим ряд распределения:

2

4

8

10


0,4

0,2

0,1

0,3


Возьмем на плоскости хОрточки (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) и (10; 0,3). Соединив последовательные точки прямолинейными отрезками, получим многоугольник (или полигон) распределения случайной величины


Математическое ожидание дискретной случайной величины

    1. Наиболее исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения вероятностей. Однако не всегда обязательно знать весь закон распределения. Иногда можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения, например, числом, имеющим смысл «среднего значения» случайной величины, или же числом, показывающим средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайной величины. Оперируя числовыми характеристиками, можно решать многие задачи, не пользуясь законом распределения.

Одна из самых важных числовых характеристик случайной величины есть математическое ожидание.

Если известна дискретная случайная величина , закон распределения которой имеет вид

Значения




Вероятности




то математическим ожиданием (или средним значением) дискретной величины называется число

.

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины , зная закон ее распределения

-1

0

1

2

3


0,2

0,1

0,25

0,15

0,3

Решение.

.

Свойства математического ожидания.

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:


  1. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой этой величине:


  1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

.

  1. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

.

Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины.

Пример 2. Найдем математическое ожидание случайных величин и, зная законы их распределения

1)

-8

-4

-1

1

3

7








2)

-2

-1

0

1

2

3








Решение:

,

.

Получили любопытный результат: законы распределения величин и разные, а их математические ожидания одинаковы.







Из рисунка б видно, что значение величины более сосредоточены около математического ожидания , чем значения величины , которые разбросаны (рассеяны) относительно ее математического ожидания (рисунок а).

Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины относительно ее математического ожидания является дисперсия, которая обозначается через .

Определение.Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием , т.е. .

Отклонениеи его квадрат также являются случайными величинами.

Определение.Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

.

Свойства дисперсии.

  1. Дисперсия постоянной величины С равна 0:

.

  1. Если - случайная величина, а С – постоянная, то


.

  1. Если и- независимые случайные величины, то

.

Для вычисления дисперсий более удобной является формула

.

Пример 3. Дискретная случайная величина распределена по закону:


-1

0

1

2


0,2

0,1

0,3

0,4


Найти .

Решение. Сначала находим .

,

а затем .

.

По формуле имеем

.

Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

Заданиетекущего контроля наличия умений самостоятельной работы

Найти математическое ожидание случайной величины X, если закон ее распределения задан таблицей:

Х

1

2

3

4

р

0,3

0,1

0,2

0,4


РАЗДЕЛ4.Простые математические модели систем и процессов в сфере профессиональной деятельности

Вопросы для самостоятельного изучения:

1.Формулировка геометрического, механического и экономического смысла производной

2.Приложение производной в экономической теории.

3.Использование понятия определенного интеграла в экономике.

4.Описание процессов в естествознании, технике и экономике с помощью дифференциальных уравнений







Методические указания по выполнению контрольной работы.


  1. Контрольная работа должна быть выполнена в тетради в клетку. Необходимо оставить поля шириной 2-3 см для замечаний преподавателя. На обложке тетради должны быть четко написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер /шифр/, номер контрольной работы.

  2. В работу должны быть включены все задания, в соответствии с вариантом.

  3. Перед решением каждого задания нужно полностью выписать его условие.

  4. Показателем высокого уровня выполнения работы будет считаться аккуратное оформление всех расчетов, с указанием использованных формул, методов и правил.

  5. Номер варианта определяется по последним двум цифрам шифра. Если ваши цифры больше 30, то вычитаем 30 и определяем номер своего варианта.

  6. Выполненную работу необходимо предоставить преподавателю на

проверку до сессии. Работу, выполненную с ошибками нужно переделать и предоставить на повторную проверку.

  1. Выполнение работы является основанием для допуска к дифференцированному зачету по дисциплине.

  2. Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается студенту.








ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ


Вариант

НОМЕРА ВАРИАНТОВ

1

2

11

22

31

42

51

61

72

2

4

13

24

33

44

53

62

74

3

6

15

26

35

46

55

63

76

4

8

17

28

37

48

57

64

78

5

10

19

30

39

50

59

65

80

6

1

12

21

32

41

52

66

71

7

3

14

23

34

43

54

67

73

8

5

16

25

36

45

56

68

75

9

7

18

27

38

47

58

69

77

10

9

20

29

40

49

60

70

79

11

2

15

28

39

41

54

61

71

12

4

13

30

32

43

56

62

73

13

8

11

26

35

42

51

63

75

14

10

17

24

37

44

55

64

77

15

6

12

22

31

45

52

65

79

16

1

14

21

33

47

53

66

72

17

3

16

23

34

46

58

67

74

18

5

18

25

36

50

57

68

76

19

7

20

27

40

49

59

69

78

20

9

19

29

38

48

60

70

80

21

10

17

26

33

42

54

64

73

22

1

19

28

35

44

51

65

75

23

3

12

30

37

46

53

66

77

24

5

14

21

39

48

55

67

79

25

7

16

23

32

50

57

68

71

26

9

18

25

34

41

59

69

72

27

2

20

27

36

43

52

70

74

28

4

15

29

38

45

56

61

76

29

6

11

22

31

47

60

62

78

30

8

13

24

40

49

58

63

80












КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА№1

Задание 1.

Даны вектора и .

Найти:

1) Скалярное произведение ;

2) Найти угол между векторами и;

3) Векторное произведение и длину .

1

,

6

,

2

,

7

,

3

,

8

,

4

,

9

,

5

,

10

,


Задание 2.

Даны координаты вершин треугольника -, , на плоскости.

Найти:

а) уравнение стороны ;

б) уравнение высоты, опущенной из вершины;

в) уравнение медианы, проведенной из вершины ;

г) уравнение средней линии, параллельной .

Выполнить чертеж.

11

,,

16

, ,

12

, ,

17

, ,

13

, ,

18

, ,

14

, ,

19

, ,

15

, ,

20

, ,


Задание 3.

Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

21

а)

б)

в)

26

а)

б)

в)

22

а)

б)

в)

27

а)

б)

в)

23

а)

б)

в)

28

а)

б)

в)

24

а)

б)

в)

29

а)

б)

в)

25

а)

б)

в)

30

а)

б)

в)


Задание 4.

Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных:

31

а)

б) y=

36

а)

б)

32

а)

б)

37

а)

б)

33

а)

б)

38

а)

б)

34

а)

б)

39

а)

б)

35

а)

б)

40

а)

б)


Задание 5.

Найти неопределенные интегралы методами:

1) непосредственного интегрирования; 2) замены переменной;

3) интегрирования по частям.

41

1); 2) ; 3)

46

1)2)3)

42

1);

2)3)

47

1);2) 3)

43

1) ; 2) ; 3)

48

; 2); 3)

44

1) 2) 3)

49

1); 2);3)

45

1)

2)3)

50

1) ; 2); 3)


Задание 6.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями


51

,

56

,

52

,

57

,

53

,

58

, , ,

54

,

59

,

55

, , ,

60

, ,






Задание 7.

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

61

(х + 3) dy - (у + 2) dx= 0,

если у = 3 прих= 2

66

,

если у = 4 при х = 0

52

(1 - х) dy - (у - 1) dx = 0,

если у = 3 при х = 2

57

1 + х)уdy- (1 + у)х dx= 0,

если у = 0 при х = 0

53

2(х + 1) dy = у dx,

если у = 2 при х = 1

58

х2dy + (у −3)dx = 0,

если у = 4 при х = -1

54

(х2+ l)dy = 2xydx,

если у = 2 при х = 1

59

(1 + у) dх - (1 - х) dу= 0,

если у = 3 при х= -2

55

(х2+ 1) dy = хуdx,

если у = 2при х =

60

(1 + х) уdх - (1 - у) хdу = 0,

если у = 3 при х = 2


Задание 8.

Закон распределения дискретной случайной величины представлен в таблице. Необходимо:

1) проверить, является ли данная таблица законом распределения дискретной случайной величины;

2) определить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднеквадратичное отклонение (x);

71.

X

0

1

2

3

4

5

6

pi

0,01

0,12

0,23

0,28

0,19

0,11

0,06

72.

X

0

1

2

3

4

5

6

pi

0,20

0,31

0,24

0,13

0,07

0,04

0,01

73.

X

0

1

2

3

4

5

6

pi

0,04

0,08

0,32

0,31

0,15

0,08

0,02

74.

X

0

1

2

3

4

5

6

pi

0,42

0,23

0,15

0,10

0,06

0,03

0,01

75.

X

0

1

2

3

4

5

6

pi

0,03

0,29

0,12

0,15

0,21

0,16

0,04

76.

X

0

1

2

3

4

5

6

pi

0,05

0,12

0,18

0,30

0,18

0,12

0,05

77.

X

0

1

2

3

4

5

6

pi

0,06

0,08

0,12

0,24

0,33

0,14

0,03

78.

X

0

1

2

3

4

5

6

pi

0,16

0,25

0,25

0,16

0,10

0,05

0,03

79.

X

0

1

2

3

4

5

6

pi

0,02

0,38

0,30

0,16

0,08

0,04

0,02

80.

X

0

1

2

3

4

5

6

pi

0,08

0,10

0,14

0,17

0,19

0,18

0,14

















ПРИЛОЖЕНИЕ.

Примеры решения заданий из контрольной работы №1.

Задание 1.

Задание №1

Даны вектора и .

Найти:

1) Скалярное произведение ;

2) Найти угол между векторами и;

3) Векторное произведение и длину .

и .


Решение

  1. Скалярное произведение векторов найдем по формуле .

. Ответ:

  1. Для того чтобы найти угол между векторами и, узнаем, чему будет равен его косинус. Для этого воспользуемся формулой скалярного произведения векторов, выразив из нее:.

Таким образом .

Зная косинус угла, найдем его величину - рад. Ответ: рад.

  1. Найдем векторное произведение векторов и, воспользовавшись формулой.

.

Откуда вектор .

Модуль вектора найдем по формуле .

.

Ответ: ,

Задание №2

Даны координаты вершин треугольника -, , на плоскости.

Найти:

а) уравнение стороны ;

б) уравнение высоты, опущенной из вершины;

в) уравнение медианы, проведенной из вершины ;

г) уравнение средней линии, параллельной .

Выполнить чертеж.

, ,


Решение

а) Уравнение стороны








б) уравнение высоты, опущенной из вершины.

То есть уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной другой прямой. Точка , прямая

Уравнение






в) уравнение медианы, проведенной из вершины.

Точка - середина стороны .

,

Уравнение




г) уравнение средней линии, параллельной .

- середина стороны ,-середина стороны .

, .

, .

Уравнение





.

По полученным уравнениям выполним чертеж:





Задание 3.

Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)

б)

в)

Решение

а)


В данном примере нельзя непосредственно воспользоваться теоремой о пределе частного, так как предел числителя и предел знаменателя равны.

Для раскрытия неопределенности такого вида вынесем и в числителе и в знаменателе наивысшую степень аргумента за скобки:


.


б).


При непосредственной подстановке убеждаемся, что предел числителя и знаменателя равны нулю. Для раскрытия неопределенности такого вида необходимо квадратный трехчлен в числителе разложить по формуле:

, где и - корни квадратного трехчлена.

Решим уравнение . Корни и.

.


в). При подстановке выясняем, что получается неопределенность типа . В таком случае, используя преобразования , и свойства эквивалентности (если , , тогда и ), получим

.

Задание 4.

Найти производные данных функций :

а)

б)

Решение

а)

Используя формулы,,, где - сложная функция, получим

.

.

б). Заменим кубический корень дробным показателем и найдем производную сложной степенной функции (формулы и, где - сложная функция):

,

.

Задание 5.

Найти неопределенный интеграл

а)

б)

в)

Решение

а) .

Так как , то

.

б) .

Введем подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда . Подставив в данный интеграл вместо и их выражения, получим

.

Заменив его выражением через, находим

.

в) .

Положим,; тогда , , т.е. . Используя формулу hello_html_m37b57cbe.png, получим

.


Задание 6.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и .

Решение

Выполним построение фигуры:


Искомая площадь заключена между параболой и осью .

Найдем точки пересечения параболы с осью .Полагая, найдем . Так как данная фигура симметрична относительно оси , то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси , и полученный результат удвоим:

(кв. ед.).

(кв. ед.).

Ответ:


Задание 7.

Найти частное решение уравнения , если при.

Решение. 1. Все члены уравнения

(1)

разделим на :

. (2)

В уравнении (2) ,.

Положим:

. (3)

2. Продифференцируем равенство (3) по x:

. (4)

3. Подставим значения yи из равенств (3) и (4) в уравнение (2):

(5)

или

. (6)

4. . (7)

5. Разделим переменные в уравнении (7): ,

. (8)


6. Проинтегрируем равенство (8):

, (9)

, (10)

7. При условии (7) уравнение (6) примет вид:

. (11)

8. Подставим в уравнение (11) значение u из равенства (10):

. (12)

9. Разделим переменные в уравнении (12):

. (13)

10. Проинтегрируем равенство (13):

; . (14)

11. Подставим значения u и z из равенств (10) и (14) в равенство (3):

. (15)

12. Проверка. Найдем из равенства (15):

. (16)

Подставим значения из равенства (16) и y из равенства (15) в уравнение (2):

;

;

.

Получим тождество.

13. Подставим начальные условия и в общее решение (15):, откуда . Следовательно, частное решение будет: .

Ответ.

Задание 8.

В таблице приведен закон распределения Р( Х=хi ) = рi, дискретной случайной величины. Требуется:

а) проверить, действительно ли значения, представленные в таблице, являются законом распределения дискретной случайной величины;

б) определить математическое ожидание М (х), дисперсию D(x) и среднее квадратичное отклонение этой дискретной случайной величины.

X

0

1

2

3

pi

0,29

0,41

0,21

0,09

Решение

а) Чтобы значения, представленные в таблице, являлись законом распределения дискретной случайной величины, должны быть выполнены два условия:

1) значенияxi, следуют в строго возрастающем порядке;

2)сумма всевозможных вероятностей рi, равна единице, т.к. в таблице представлены все возможные значения дискретной случайной величины и они образуют полную группу событий:

.

Проверяем их выполнение.

Условие 1) выполнено: значенияxiдискретной случайной величины расположены в строго возрастающей последовательности - 0, 1, 2, 3.

Проверяем второе условие:

.

Вычисляем сумму вероятностей, стоящих во второй строке:

.

Второе условие тоже выполнено.

Значит, в таблице действительно приведен закон распределения дискретной случайной величины.

б) Находим основные характеристики заданной дискретной случайной величины.

1) Определим математическое ожидание или среднее значение дискретной случайной величины:


Итак, математическое ожидание .

2) Для нахождения дисперсии по формуле D(x) = М (х2) - а2 необходимо сначала найти М(х2) - среднее значение квадрата этой случайной величины. Запишем закон распределения квадрата случайной величины xi2:

X

0

1

4

9

pi

0,29

0,41

0,21

0,09

Определим математическое ожидание или среднее значение квадрата дискретной случайной величины xi2:


Находим дисперсию:

D(X) = M(x2)-a2 = 2,06-(1,10)2 = 2,06-1,21 = 0,85.

3) Вычисляем среднее квадратичное отклонение ,характеризующее средний разброс значений хi дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения а. Оно равно корню квадратному из дисперсии:

.

Ответ:а) Заданная в условии задачи таблица представляет закон распределения дискретной случайной величины.

б) Математическое ожидание этой случайной величины ; её дисперсия D(x) = 0,85; среднее квадратичное отклонение

32

Общая информация

Номер материала: ДБ-366436

Похожие материалы