Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания к практическим работам
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические указания к практическим работам

библиотека
материалов

ГАОУ СПО СТСПО





Методические рекомендации

для выполнения практических работ

по теме «Функция»

по дисциплине «Математика»






Преподаватель:

Каменская Е.П.





2015 г.

Данная работа содержит методические указания к практическим работам по дисциплине «Математика» и предназначена для обучающихся специальностям среднего профессионального образования.

Цель разработки: оказание помощи обучающимся в выполнении практических работ по предмету «Математика» по теме «Функция и её сврйства».










Разработчик:


ГАОУ СПО СТ СПО преподаватель Каменская Е.П.

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)











Одобрено на заседании методической комиссии общеобразовательных дисциплин

Протокол №_______ от «_____» _________ 20____г.

Председатель МК ________________________ /______________/




Пояснительная записка

Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических знаний, при предэкзаменационном повторении. Практические задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя при выполнении практического задания.

Практические задания разработаны в соответствии с учебной программой. В зависимости от содержания они могут выполняться студентами индивидуально или фронтально. Данные задания удобно использовать при предэкзаменационном повторении по теме «Функция, её свойства, производные и интеграл».



Содержание

Практическая работа №1 Функции одной переменной и их свойства…5

Практическая работа №3 Непрерывность функции, точки разрыва…..16

Практическая работа №4 Производная и ее геометрический смысл….

Рекомендуемая литература………………………………………………….79



Практическая работа №1

Тема: Функции одной переменной и их свойства.

Цель: сформировать умение использовать свойства функции для ее исследования, решать задачи и упражнения по данной теме.


Теоретические сведения к практической работе

Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие элемент у множестваY, то говорят, что на множестве Х определена функция со значениями в множестве Y, и записывают y=f(х).

Множество Х называется областью определения функции D(f), а множество Y – областью значений функции E(f).

Пример 1. Найти область определения функции

hello_html_m2e68d9ee.gif

Основные свойства функции:

  1. Четность и нечетность. Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x), и называется нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция y=f(x) называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно координатной оси у, график нечетной функции симметричен относительно начала координат (0;0).

Пример 2. Установить четность или нечетность функции.

hello_html_m2ac71795.gif

  1. Монотонность. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х из области определения, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

  2. Ограниченность. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке Х из области определения, если существует число М>0, такое, что hello_html_m41bf78b5.gif для любого hello_html_2e08a9a3.gif.

  3. Периодичность. Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т>0, если для любых значений х из области определения f(x+T)=f(x-T)=f(x).

Пример 3.



Содержание практической работы:

Задание 1. Найти область определения функции

hello_html_3acc32de.gif

Задание 2. Установить четность или нечетность функции.

hello_html_m1bbad08.gif

Зhello_html_m4209ca84.gifhello_html_m4209ca84.gifhello_html_m4209ca84.gifадание 3. Описать основные свойства функции по графику:

1hello_html_3b8239c2.gifhello_html_13264b2a.gifhello_html_1679605e.gifhello_html_1679605e.gif)

hello_html_6365f083.gifhello_html_6365f083.gifhello_html_41e1be8b.gifhello_html_41e1be8b.gifhello_html_519ec6cf.gif





hello_html_m4209ca84.gifhello_html_m4209ca84.gifhello_html_m4209ca84.gifhello_html_m54120866.gifhello_html_m54120866.gifhello_html_2c4a9ce3.gif4)

hello_html_m55f6f846.gifhello_html_1fb047c8.gifhello_html_m535bafb3.gifhello_html_mf2e5acc.gifhello_html_m1414ee1.gif












Практическая работа №2

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва.

Цель: сформировать умение исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва, определять род точек разрыва.

Теоретические сведения к практической работе

Функция hello_html_m7d78e68.gif называется непрерывной
в точке
х0, если она: 1) определена в точке х0; 2) имеет конечный предел при hello_html_m4ed4841d.gif; 3) этот предел равен значению функции в этой точке hello_html_m1479f34d.gif

Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.


Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.



Содержание практической работы

Задание 1. Доказать, что функция является непрерывной

hello_html_m5e6a6ee.gif


Задание 2. Найдите точки разрыва функции:


Практическая работа №3

Тема: Производная и ее геометрический смысл.

Цель: сформировать умение находить производные функций, находить производные сложных функций, знать геометрический смысл производной. применять правило Лопиталя для нахождения пределов.




Теоретические сведения к практической работе

Производной функции hello_html_m7d78e68.gif называется конечный предел отношения приращения функции hello_html_373e59b6.gif к приращению независимой переменной hello_html_127495db.gif при стремлении последнего к нулю:

hello_html_687d2e8.gif

Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Гhello_html_c31156a.gifеометрический смысл производной.
Если кривая задана уравнением hello_html_m7d78e68.gif,
то hello_html_m746f0174.gif— угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке (hello_html_m6e60c00e.gif).

Уравнение касательной к кривой hello_html_m7d78e68.gif
в точке х0 (прямая М0Т) имеет вид:

hello_html_2259526a.gif

Правила дифференцирования

пп

U = u(x), V=V(x) —
дифференцируемые функции

пп

U = u(x), V=V(x) —
дифференцируемые функции

I

hello_html_m76639a2b.gif

V

hello_html_23a46413.gif

II

hello_html_m6f556353.gif

VI

Производная сложной функции hello_html_3313a0db.gif

III

hello_html_877c8a0.gif

IV

hello_html_m2fb9e1f2.gif







Формулы дифференцирования основных элементарных функций

пп

с=const, х — независимая переменная,
u = u(x) — диф­ференцируемая функция

1

С= 0

9

hello_html_m4d667f41.gif

2

x= 1

10

hello_html_m76cb592f.gif

3

hello_html_27190283.gif

11

hello_html_m56e9ea8c.gif

4

hello_html_m262837fc.gif

12

hello_html_m65059aad.gif

5

hello_html_m60964f4a.gif

13

hello_html_m332ed949.gif

6

hello_html_m7adcb778.gif

14

hello_html_18e4e96a.gif

7

hello_html_m5a49ba8e.gif

15

hello_html_m4e939771.gif

8

hello_html_5bb807a5.gif





Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка hello_html_m6e78f2e1.gif или hello_html_m73f66af1.gif

Производная третьего порядка hello_html_47fa2c29.gif или hello_html_66fc4086.gif и т. д.

Пример 1. Найти производные функций:

а) hello_html_m379a2088.gifб) hello_html_m3ef67cea.gif

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

hello_html_363b8722.gif

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) получим:

hello_html_m3743a4b1.gif

Пример 2. Составить уравнение касательной к кривой hello_html_m33ee0e62.gifв точке с абсциссой х0=2.

Используем уравнения касательной:

1) hello_html_7873ab2d.gif

2) hello_html_7a3b1766.gif

hello_html_m4c2e9a73.gif

Подставим hello_html_37397e93.gif в уравнения и получим: hello_html_2b5bb311.gif

или hello_html_m3f350a21.gif — уравнение касательной.

Пример 3. Найти производную второго порядка функции hello_html_4e88591c.gif

Решение. hello_html_332a690b.gif поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.



hello_html_mf738f52.gif

hello_html_5e3f394c.gif

Содержание практической работы

Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций

1) hello_html_1df3be47.gifhello_html_m4f69abe2.gif hello_html_m1d099346.gifhello_html_m129c28d9.gif

2) hello_html_m22002232.gifhello_html_m7c45e013.gifhello_html_354a1cfe.gifhello_html_4e3d689e.gif3) 3)hello_html_26d0763d.gif hello_html_m4a98e42f.gifhello_html_m663ff39d.gifhello_html_m635cdaf5.gif

4) hello_html_m64a81e48.gifhello_html_617b504c.gifhello_html_666fd8c0.gifhello_html_5d56bde1.gif

5) hello_html_m78b6a415.gifhello_html_7da3b97.gifhello_html_m8beb79f.gifhello_html_1439fc88.gif

6) hello_html_3ae0357b.gif hello_html_658ad128.gifhello_html_m7f1d8e85.gifhello_html_m518ab065.gif


Задание 2. Составить уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х0.

1) hello_html_2e17457a.gif

2) hello_html_4c79be94.gif

3) hello_html_m625d0e9.gif

4) hello_html_m7406648e.gif

5) hello_html_c3295f3.gif

6) hello_html_55e5e700.gif

Задание 3. Найти производную второго порядка функции y=f(x).

1) hello_html_34085a96.gif

2) hello_html_25b8e56b.gif

3) hello_html_1571b011.gif

4) hello_html_m8fa7a8b.gif

5) hello_html_6fd4ddeb.gif

6) hello_html_m3c39cab0.gif



Практическая работа №4

Тема: Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл.

Цель: сформировать умение вычислять неопределенные и определенные интегралы, используя различные методы интегрирования.

Теоретические сведения к практической работе

Функция hello_html_m3e6eee5f.gif, определенная на интервале hello_html_76776a9b.gif, называется первообразной для функции hello_html_647b4410.gif, определенной на том же интервале hello_html_76776a9b.gif, если hello_html_37beaa2a.gif

Если hello_html_m3e6eee5f.gif — первообразная для функции hello_html_647b4410.gif, то любая другая первообразная hello_html_7616e9d1.gifдля функции hello_html_647b4410.gif отличается от hello_html_m3e6eee5f.gif на некоторое постоянное слагаемое, т. е. hello_html_6be43656.gif где hello_html_m2c4f3490.gif.

Неопределенным интегралом от функции hello_html_647b4410.gif называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл: hello_html_6be72ce9.gif где hello_html_m313c9e4.gif

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

hello_html_76a1558e.gif

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1. hello_html_1ed4c94c.gif

2. hello_html_4a923e9b.gif

3. hello_html_5dba6531.gif

4. hello_html_4ac82e18.gif

Таблица основных интегралов

1. hello_html_m5cd35ead.gif 2. hello_html_m7fa24a20.gif

3. hello_html_m127c121d.gifhello_html_1f527698.gif

4. hello_html_6ec92690.gif 5. hello_html_m58273d79.gif

6. hello_html_m18363f0d.gif 7.hello_html_27f6ee1e.gif

8. hello_html_379fe7bc.gif 9. hello_html_m3893d43b.gif

10. hello_html_1c36e10d.gif 11. hello_html_4ba25c69.gif

12. hello_html_67734a4b.gif 13. hello_html_2f5538d1.gif

14. hello_html_74c0b2d8.gif 15. hello_html_41e84963.gif

16. hello_html_m6fb080e9.gif 17. hello_html_m468b1b4b.gif

18. hello_html_5c02db83.gif

Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

hello_html_67ec6cd.gifhello_html_m39cd4fc0.gif

Решение.

hello_html_6c6b27c4.gif Проверка:

hello_html_1a86498f.gif

hello_html_m11f123c8.gif

Проверка:

hello_html_7fdb2e18.gif

hello_html_67c40379.gif

Определенный интеграл, его вычисление и свойства

Определенный интеграл от функцииhello_html_647b4410.gif, непрерывной на отрезке hello_html_2128638c.gif, вычисляется по формуле:

hello_html_m7c5d7096.gif (5)

где hello_html_m3e6eee5f.gif— первообразная для функции hello_html_647b4410.gif, т. е. hello_html_37beaa2a.gif

Формула (5) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Свойства определенного интеграла:

hello_html_m3ad49de2.gifhello_html_67b1e8c6.gif


hello_html_m13eb88b4.gif

hello_html_m2ecf6ecd.gif

hello_html_359d24c8.gif

6) Если hello_html_36faefa0.gif для всех hello_html_7bb3260b.gif, то hello_html_m6d173ab1.gif

7) Если hello_html_2f1737ea.gif для всех hello_html_7bb3260b.gif, то hello_html_m69148922.gif

При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д.

Пример 4. Вычислить определенный интеграл hello_html_m47475723.gif

Решение.

hello_html_25cb276c.gif

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить интегралы.

1) hello_html_5ca4a999.gifhello_html_m7843d4a8.gif

2) hello_html_1c9e7465.gifhello_html_5e05b652.gif

3) hello_html_e081115.gifhello_html_64b36b15.gif

4) hello_html_m54915d62.gifhello_html_ma2aef6a.gif

5) hello_html_4ad526a5.gifhello_html_m185d550d.gif

6) hello_html_m4711d5c1.gifhello_html_540fbbd4.gif

Задание 2. Вычислить определенный интеграл.

1) hello_html_33db4041.gif

2) hello_html_m3c002eac.gif

3) hello_html_m47475723.gif

4) hello_html_363dd84d.gif

5) hello_html_m497c0f86.gif

6) hello_html_6bee9231.gif




Практическая работа №5

Тема: Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур.

Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площадей, длин и объемов фигур.

Теоретические сведения к практической работе

Площади плоских фигур

1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями hello_html_m7dcffc8b.gifhello_html_m52bc6eb9.gif, где hello_html_362b89a9.gifдля всех hello_html_7bb3260b.gif, и прямыми hello_html_m457c76db.gif, hello_html_m60658c79.gif, то ее площадь вычисляется по формуле:

hello_html_m56dd886d.gif (8)

hello_html_223a88.png

hello_html_m3255e2ec.png

Рис. 1

Рис. 2


Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

hello_html_15b3a167.gif

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:

x

0

1

1

2

2

3

3

4

4

y

2

1

1

2

2

7

7

14

14

Для построения прямой достаточно двух точек, например hello_html_m70713287.gif и hello_html_360f936a.gif.

Найдем координаты точек hello_html_m24e0d2d6.gif и hello_html_m7bf55c18.gif пересечения параболы hello_html_m6fc8c649.gif и прямой hello_html_383291dd.gif.

Для этого решим систему уравнений

hello_html_1a0eeb0b.gif

Тогда hello_html_m57446c94.gif Итак, hello_html_368008a8.gif

Площадь полученной фигуры найдем по формуле (8), в которой

hello_html_m596c510b.gifпоскольку hello_html_362b89a9.gif для всех hello_html_ma02ab6.gif. Получим:

hello_html_22233045.gif

Вычисление объемов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой hello_html_2e3c53e6.gif, осью OX и прямыми hello_html_m457c76db.gif, hello_html_m60658c79.gif (рис. 5), то его объем вычисляется по формуле:

hello_html_m374fe312.gif (12)

hello_html_6c2e83a0.png

hello_html_m602627a1.png

Рис. 5

Рис. 6

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями: hello_html_m55be856c.gif

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 6).

Чтобы получить объем тела вращения из объема hello_html_m7991f79b.gif тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем hello_html_m68ddfcb5.gif тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем hello_html_m2ca1515b.gif. По формуле (12) найдем hello_html_m7991f79b.gif и hello_html_m68ddfcb5.gif: hello_html_11ed6129.gif (ед. объема);

hello_html_738726c1.gif(ед. объема);

hello_html_5ad51cac.gif(ед. объема).

Содержание практической работы

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1) hello_html_203f4cde.gif

2) hello_html_m77c719fb.gif

3) hello_html_5cf87f45.gif

4) hello_html_m2ec0a99f.gif

5) hello_html_7074d47.gif

6) hello_html_m7241dc6.gif

Задание 2. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями.

1) hello_html_m52c03712.gif

2) hello_html_4db5d8ba.gif

3) hello_html_60381db2.gif

4) hello_html_190990ef.gif

5) hello_html_30b9360e.gif

6) hello_html_m2991ee45.gif





Рекомендуемая литература

Основные источники

  1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. – М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. – М: Издательский центр «Академия», 2011

  3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2009

Дополнительные источники

  1. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2007

  2. Математика и информатика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В./ - М.: Издательский центр «Академия», 2009




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 18.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров229
Номер материала ДВ-352096
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх