Международный конкурс

Доступно для всех учеников
1-11 классов и дошкольников

Наградные документы для всех участников

Подать заявку

Оплата после прохождения

Инфоурок › Физика ›Другие методич. материалы›Методические указания к практическим заняниям по Технической механике

Методические указания к практическим заняниям по Технической механике

Скачать материал

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ДОНЕЦКОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ГОРНОЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЕ УЧИЛИЩЕ ИМЕНИ А.Ф. ЗАСЯДЬКО»

Методические указания

к выполнению практических работ

по учебной дисциплине «Техническая механика»

Рассмотрена и одобрена на заседании

методической комисси общепрофессиональных и профессиональных дисциплин

Протокол № ___от «___» ________20___ г.

Председатель МК ____________________

Донецк, 2017

Методические указания к выполнению практических работ по учебной дисциплине «Техническая механика», разработаны в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования 13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (горная отрасль) базовой подготовки и утвержденного приказом Министерства образования и науки ДНР от 24.08.2015г. № 418., и

рабочей программы учебной дисциплины «Техническая механика»

по специальности:

13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (горная отрасль)

Организация-разработчик: ГПОУ «Донецкое профессиональное горноэлектромеханическое училище имени А.Ф. Засядько».

Составитель: Ключников Александр Валериевич - методист, преподаватель первой квалификационной категории.

ВВЕДЕНИЕ

Дальнейшее ускорение научно-технического прогресса — решающего фактора перевода экономики на путь интенсивного развития, широкое внедрение прогрессивных технологических процессов, увеличение выпуска новых машин и оборудования, транспортных средств, приборов, а также полимерных и композиционных материалов ставят перед учебными заведениями новые, более сложные задачи подготовки высококвалифицированных специалистов, способных не отставать от темпов развития научно-технического прогресса и последовательного перехода к внедрению машин, обеспечивающих механизацию и автоматизацию всех процессов производства. Решение этих задач зависят от технически грамотных кадров.

Изучение теоретической механики помогает учащимся в освоении смежных специальных дисциплин.

Раздел «Теоретическая механика» состоит из трех разделов: статика, кинематика, динамика. Назначение предмета — дать будущим техникам основные сведения о законах движения в равновесия материальных тел.

Пособие содержит методические указания к решению задач, задачи по вариантам, список рекомендуемой литературы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО «ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ»

Если некоторые условия ограничивают движение тела в одном или нескольких направлениях, то такое тело называется несвободным.

Тела, которые ограничивают движение рассматриваемого тела, называются связями. Действие связи на тело называют реакциями связи. Направление реакции связи противоположно тону направлению, по которому связь препятствует движению тела. Сила, с которой тело действует на связь, называется силой давления на связь. Сила реакции и сила давления на связь равны по модулю, но противоположны по направлению.

Последовательность решения задач на равновесие несвободных тел:

1. Выяснить, какое тело (точка) в данной задаче находится в состоянии равновесия, и приложить к нему заданные силы.

2. Выделенное тело освободить от связей и их действие заменить силами реакций.

3. Выбрать координатные оси и составить уравнения равновесия.

4. Решить уравнения равновесия.

5. Проверить правильность решения задачи.

Методику решения задач с помощью уравнения равновесия рассмотрим на примерах.

Для решения первой задачи (№ 1–20), которая относится к теме «Плоская система произвольно расположенных сил, требуется составить уравнения проекций на координатные оси и уравнения моментов.

Проекция вектора – скалярная величина, которая определяется отрезками, отсекаемыми перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на ось.

Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси (рис. 1, а), и отрицательной (–), если проекция направлена в противоположную сторону (рис. 1, б).

Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на плечо, т.е. на длину перпендикуляра, восставленного из точки, относительно которой берется момент, к линии действия силы. Момент принято считать положительным, если он стремится повернуть тело по часовой стрелке (рис. 2, а), и отрицательным (рис. 2, б), если вращение направлено в противоположную сторону.

Пример 1. Однородная балка закреплена в точке А с помощью шарнирно-неподвнжиой опоры и поддерживается в точке В стержнем (рис. 3, а). Найти реакции щарнирно-неподвижной опоры и стержня ВС. Силой тяжести балки и стержня пренебречь.

Решение. Изобразим балку вместе с нагрузками, соблюдая заданные размеры ее участков и угла a (рис. 3, б).

Освободим балку от связей в точках А и В, заменив эти связи их реакциями. Начало координат поместим в точке А, ось х совместим с осью балки, а ось у направим перпендикулярно балке. Если, стержень растягивается, то его реакция направлена в сторону от рассматриваемого тела, а при сжатии – от стержня к телу.

Составим три уравнения равновесия:

SX_i=0 — алгебраическая сумма проекций сил на ось х;

SУ_i=0 — алгебраическая сумма проекций сил на ось у;

SМ_A=0 — алгебраическая сумма моментов относительно точки А.

Уравнение проекций сил на ось х имеет вид SХ_i = 0; X_A –R_Bsin60°=0 (1)

Силы F и Y_A не вошли в уравнение, так как они перпендикулярны оси x и их проекции на эту ось равны нулю.

Проекции силы на ось y SY_i=0; Y_A–F+R_Bcos60°=0, (2),

реакция X_A перпендикулярна оси y и ее проекция на эту ось равна нулю.

Для составления уравнения моментов за центр моментов принимаем точку А. Плечо силы R_B равно длине перпендикуляра, восстановленного из точки А (центра моментов) к лини действия силы R_B. Из рис. 3, б видно, что AD=(a+b)cos60°=0.

SM_A=0; Fa–M–R_B(a+b)cos60°=0.

Подставив числовые значения, получим

Выразим из (2) Y_A=F-R_Bcos60°. Подставив значения сил, получим

Y_A=4000–2000×0,5=3000Н.

Из (1) X_A=R_Bsin60°=2000×0,866=1732Н.

Проверим правильность решения задачи, составив уравнения моментов относительно точки В:

SM_B=0; Y_A(a+b) –M - Fb=0.

Подставим числовые значения 3000ּ4-2000-4000ּ2,5=0; 12000–12000=0.

Задача решена верно, так как при подстановке получили тождество 0=0.

Вторую задачу (№ 21-30) можно решать после изучения тем «Пара сил» и «Плоская система произвольно расположенных сил».

Напомним, что в шарнирно-неподвижной опоре А реакция направлена по нормали к опорной поверхности (рис.4, а). Модуль и направление реакции шарнирно-неподвижной опоры В неизвестны. В этом случае реакцию R_B заменяют двумя составляющими: вертикальной Y_B и горизонтальной Х_B. Освобожденная от связей балка изображена на рис. 4, б. Порядок решения подобных задач такой же, как и в примере 1.

Пример 2. Для балки (рис. 5, а) определить опорные реакции по следующим данным: а=1,5 м, b=1 м, c=2 м, F₁=8 кН, F₂=10 кН, q=0,4 кН/м, M=5 кН×м.

Решение. Освободим балку от связей, отбросив опоры и приложив вместо них неизвестные реакции (рис. 5, б). Напомним, что для плоской системы параллельных сил достаточно двух уравнений равновесия SМ_А=0; SМ_В=0.

Уравнение моментов относительно точки А:

SМ_А=0; .

Уравнение моментов относительно точки В:

SМ_В=0; .

Из первого уравнения

Из второго уравнения

Значение реакции R_B получено со знаком минус. Это означает, что она направлена вертикально вниз.

Для проверки правильности найденных реакций опор балки составляем уравнение SY=0; R_A–F₁–qc+F₂+R_B=0, или 4,8–8–2×0,4+10–6=14,8–14,8=0.

Следовательно, R_A и R_В определены верно.

Третью задачу следует решать после изучения темы «Центр тяжести». В этих задачах требуется находить центр тяжести плоских фигур, составленных из простых геометрических фигур. Положение центра тяжести плоской фигуры определяется по формулам:

где x_c и y_c — искомые координаты центра тяжести фигуры; x_i и y_i — координаты центров тяжести составных частей фигуры, которые определяются из заданных размеров; A — площади составных частей.

Последовательность решения таких задач рассмотрена в примере.

Пример 3. Вычислить координаты центра тяжести сечения плоской фигуры (рис. 6, а).

Решение. Заданную плоскую фигуру разбиваем на составные части, центры тяжести которых легко определяются (рис. 6, б) — прямоугольник I, треугольник II и прямоугольники III и IV. Располагаем координатные оси, как показано, на рис. 6, б. Находим площади каждой части и координаты x_c и y_c их центров тяжести С_i. Все эти данные заносим табл. 2.

Таблица 2

Составные части	Площади составных частей А_i, мм²	Координаты центра тяжести каждой части
Составные части	Площади составных частей А_i, мм²	x_i, мм	y_i, мм
I	300ּ160=48000	80	150
II	ּ120ּ180=–10800
III	120ּ120=14400
IV	80ּ60=4800

Вычисляем координаты x_c и y_c центра тяжести плоской фигуры:

При решении задач можно использовать метод отрицательных площадей, как это показано на рис. 6, в. Здесь данная фигура разделена на три части: прямоугольники I и III и треугольник II, причем площадь треугольника II, вырезанная из плоской фигуры, берется со знаком минус, т.е. считается отрицательной. Легко проверить, что если при таком разделении фигуры все исходные данные свести в табл. 3 и выполнить вычисления, то получится тот же результат.

Таблица 3

Составные части	Площади составных частей А_i, мм²	Координаты центра тяжести каждой части
Составные части	Площади составных частей А_i, мм²	x, мм	y, мм
I	300ּ280=84000
II	ּ120ּ180=–10800
III	60ּ80=4800

Определяем

Центр тяжести тела в обоих случаях совпадает, что указывает на правильность решения задачи.

Четвертую задачу (№31–40) следует решать после изучения тем «Основные понятия кинематики» и «Кинематика точки». В задачах рассматривается равнопеременное движение точки. Следует учесть, что при использовании уравнения равнопеременного движения точки по криволинейной траектории кроме касательного ускорения, у тоски возникает нормальное ускорение , направленное по радиусу кривизны траектории к ее центру.

Для решения задач используются соответствующие готовые уравнения и формулы, выведенные в учебниках (см. приложение). Решение задач целесообразно иллюстрировать рисунками.

Пример 4. По дуге радиусом r =1200м (рис.7) движется поезд, его скорость в начале движения по дуге составляет . После того как поезд прошел расстояние 800 м, его скорость уменьшилась до 36 км/ч. определить полное ускорение в начале и конце движения.

Решение. Определим касательное ускорение из уравнений:

Из второго уравнения

Из первого уравнения .

Так как движение равномерно замедленное, то касательное ускорение в течение всего времени движения постоянно. Найдем нормальное ускорение:

в начале движения

в конце движения

Полное ускорение:

в начале движения ;

в конце движения .

Пример 5. Точка движется прямолинейно по закону (S – в метрах, t – в секундах). Найти ее среднее ускорение в промежутке между моментами t₁=2 с и t₂=4 с, а также истинное ускорение в момент t₃=3 с.

Решение. Сначала определим скорость точки .

Подставив вместо t его значения t₁=2 с и t₂=4 с, находим:

Следовательно, приращение скорости за данный промежуток времени

Среднее ускорение точки

Для определения ускорения точки в любой момент времени возьмем производную от скорости по времени и поставим в это уравнение вместо t его значение t₃=3 c; a=12ּ3²=108 м/с².

Пятую задачу (№41—50) следует решать после изучения тем «Простейшие движения твердого тела», «Основные понятия и аксиомы динамики», «Метод кинетостатики для материальной точки». Рассматривая вращательное движение твердого тела, необходимо отчетливо уяснить, что вращение тела характеризуется угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω и угловое ускорение ε), а отдельные точки вращающегося тела совершают криволинейное движение (по окружностям) и их движение характеризуется линейными величинами (путь S, скорость v и ускорение a_τ, a_n). При решении задач динамики необходимо пользоваться принципом Даламбера, с помощью которого задачи динамики решаются с использованием уравнения равновесия статики. Согласно принципу Даламбера, в каждый данный момент действующие на материальную точку силы уравновешиваются силами инерции.

При решении задач рекомендуется такая последовательность: 1) выделить точку, движение которой рассматривается в данной, задаче; 2) выяснить, какие активные силы действуют на точку и изобразить их на рисунке; 3) освободить точку от связей, заменив их реакциями; 4) к образовавшейся системе сил добавить силу инерции, помня, что направлена она по линии вектора ускорения точки, но в противоположную сторону; 5) выбрать расположение осей координат и составить два уравнения проекций всех сил на эти оси (ΣX_i=0; ΣY_i=0); 6) решив уравнения, определить искомые значения величин.

Пример 6. Маховик диаметром 0,8 м начинает вращаться из состояния покоя, Через 10 с после начала движения скорость точек обода маховика достигает 8 м/с. Определить ускорение этих точек. Чему равно число оборотов маховика за первые 10 с равнопеременного вращения?

Решение. По значению скорости точки находим угловую скорость вращения маховика через 10 с после начала вращения:

Угол поворота маховика за 10 с:

Число оборотов маховика за 10 с:

Угловое ускорение маховика

Нормальное ускорение точек обода маховика в момент t=10 c

Касательное ускорение точек обода маховика

Пример 7. Груз массой 200 кг (рис. 8) опускается равноускоренно с помощью невесомого троса, перекинутого через блок, и в первые 5 с проходит 10 м. Определить силу натяжения троса.

Решение. Обозначив груз точкой А, приложим к нему силу тяжести G, реакцию троса Т и добавим к ним силу инерции F_и, направив ее в сторону, противоположную ускорению.

Ускорение а определяем из уравнения равнопеременного движения , так как начальная скорость v₀=0.

Согласно принципу Даламбера силы G, Т и F_и находятся в равновесии, т.е. откуда . Выражая силу инерции и силу тяжести через массу груза (), получаем

Пример 8. Для остановки поезда, движущегося, по прямолинейному участку пути со скоростью v=10 м/с, производится торможение. Через сколько секунд остановится поезд, если при торможении развивается постоянная сила сопротивления, равная 0,02 силы тяжести поезда. Какой путь пройдет поезд до остановки?

Решение. Поезд совершает поступательное движение. Рассматривая его как материальную точку (рис. 9), движущуюся в направлении оси Ох, укажем, действующие силы: G – сила тяжести поезда, R – нормальная реакция рельсов, F – сила сопротивления, направленная противоположно вектору скорости. Силы G и R уравновешиваются согласно аксиоме действия и противодействия.

По теореме об изменении количества движения материальной точки в проекциях на ось Ох: Так как получим .

Откуда

Для определения пройденного пути поездом до его остановки воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

Работа силы торможения отрицательна (Ða= (F,^Ùv)=180° и cosa=-1), поэтому и путь пройденный поездом:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задачи 1-10. Балка шарнирно закреплена в точке А и удерживается в горизонтальном положении стержнем ВС, нагружена, как показано на рис. 10, силами F₁ и F_{2 =}0,6 F₁ и парой с моментом М. Определить реакцию ВС и шарнира А. Данные для своего варианта задачи выбрать из табл. 4.

Таблица 4

№ задачи и схемы на рис. 10

Вариант

F₁, кН

M, kH×м

рис. 10

a°

№ задачи и схемы на рис. 10

Вариант

F₁, кН

M, kH×м

a°

1, I

2,2

0,6

0,8

2,II

3,4

1,2

2,5

5,2

2,6

1,2

2,2

3,2

1,5

4,4

1,5

0,5

2,5

1,2

2,5

6,2

3,III

2,6

0,5

0,8

1,2

4,IV

3,4

1,5

1,2

0,6

3,6

3,4

1,2

2,5

3,5

1,4

5,V

3,2

1,2

6,VI

3,4

1,2

2,8

0,8

2,5

0,5

2,5

1,5

0,5

2,5

1,2

3,5

4,5

7,VII

2,5

8,VIII

2,5

0,5

2,8

1,2

2,4

1,4

1,5

1,2

7,2

9,IX

1,6

0,8

10,X

1,8

0,8

1,5

3,2

1,5

6,5

1,5

2,6

1,2

2,8

3,5

2,0

3,5

2,5

Задачи 11-20. Определить реакции опор балки, нагруженной как показано на рис. 11. Данные для своего варианта задачи выбрать из таблицы 5.

рис. 11

Таблица 5

№ задачи и схемы на рис.11	Вариант	a	b	c	F₁	F₂	М, кН×м	q, кН/м
№ задачи и схемы на рис.11	Вариант	м			кН		М, кН×м	q, кН/м
11, I	00	2,2	1,8	1	20	10	12	4
	13	1,5	2	1,5	12	8	20	6
	27	1,4	1,2	2,2	10	20	15	8
12, II	01	1,5	1,5	2	12	20	6	8
	15	1,2	2	1,8	10	40	8	6
	26	1,5	1,5	2	16	8	10	12
13, III	02	2	2,5	0,5	20	1	0,6	6
	14	2,2	2	0,8	18	0,8	0,8	5
	29	2	2	1	16	2	0,8	5
14, IV	03	2,5	1,5	1	0,8	1,2	5	4
	17	1,5	2,5	1	1	4	4	6
	28	1,5	1	2,5	1,2	0,6	5	8
15, V	05	2	2,6	0,4	10	5	30	5
	16	2	2,5	0,5	12	6	24	10
	21	2	2,4	0,6	14	7	15	8
16, VI	04	1,2	1	2,8	5	10	12	5
	19	1,4	2	1,6	6	12	10	6
	20	0,8	1,2	3	7	14	15	10
17, VII	07	1	1,5	2,5	10	12	10	4
	18	1,5	1	2,5	12	10	10	2
	23	1,5	2,5	1	20	14	10	3
18, VIII	06	0,5	1,5	3	8	10	4	2
	11	1,5	0,5	3	10	8	5	3
	22	1,5	3	0,5	12	20	6	4
19, IX	09	1,5	2,5	1	10	12	10	2
	10	2,5	1,5	1	12	6	8	3
	25	1	3	1	14	7	4	4
20, X	08	0,5	1,5	3	10	10	12	3
	12	1	2,5	1,5	8	12	8	2
	24	1,5	1,5	2	12	14	4	5
	30	1	1,5	2,5	4	16	5	4

Задачи 21—30. Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластинки, форма и размеры которой в миллиметрах показаны на рис. 12. Данные своего варианта взять из табл. 6.

Таблица 6

№ схемы на рис. 12	Вариант	a	b	№ схемы на рис. 12	Вариант	a	b
№ схемы на рис. 12	Вариант	мм		№ схемы на рис. 12	Вариант	мм
I	00	170	150	II	01	240	180
	04	180	140		05	270	200
	08	190	130		09	280	190
	12	200	120		13	290	220
	16	210	110		17	260	180
	20	170	100		21	250	210
	24	160	100		25	920	290
	28	150	110		29	900	300
III	02	880	310	IV	03	430	280
	06	890	290		07	440	290
	10	870	300		11	460	310
	14	910	320		15	480	320
	18	900	280		19	490	330
	22	260	120		23	360	160
	26	270	100		27	310	140
	30	280	110		31	320	150

Для выполнения четвертого, пятого и шестого заданий номера задач взять из таблицы 7.

Таблица 7

Номер варианта	Номера задач			Номер варианта	Номера задач
Номер варианта	4	5	6	Номер варианта	4	5	6
00	31	41	51	16	37	43	54
01	32	42	52	17	38	42	53
02	33	43	53	18	39	41	52
03	34	44	54	19	40	49	51
04	35	45	55	20	31	45	60
05	36	46	56	21	32	46	59
06	37	47	57	22	33	47	58
07	38	48	58	23	34	48	57
08	39	49	59	24	35	41	56
09	40	50	60	25	36	42	55
10	31	49	55	26	37	43	54
11	32	48	56	27	38	44	53
12	33	47	57	28	39	45	52
13	34	46	58	29	40	46	51
14	35	45	59	30	37	47	60
15	36	44	60	31	38	48	59

Задача 31. Плоская деталь, укрепленная на платформе строгального станка, движется к резцу со скоростью 0,3 м/с, а обратно (холостой ход) — со скоростью 0,6 м/с. За сколько времени будет острогана деталь длиной 3 м и шириной 0,5 м, если ширина стружки равна 2 мм?

Задача 32. Прямолинейное движение точки определяется уравнением s=40+2t+0.5t², где s — в метрах, t — в секундах. Определить скорость v, пройденный путь s и ускорение а через 10 с после начала движения.

Задача 33. Уравнение прямолинейного движения точки, s=2t+t², где s — в метрах, t — в секундах. Определить время t, в течение которого скорость тела достигает 10 м/с, пройденный за это время путь s и ускорение a.

Задача 34. Тело падает с высоты H=78,4 м. Определить время падения t и скорость v в момент достижения Земли.

Задача 35. При отходе от станции поезд через 3 мин поезд набрал скорость v = 64,8 км/ч. Определить ускорение и пройденный путь s за указанное время.

Задача 36. Поезд, проходя мимо разъезда, затормозил и далее двигался равнозамедленно. Через 4 мин он остановился на станции, находящейся на расстоянии 2 км от разъезда, Определить скорость v₀ в начале торможения и ускорение а.

Задача 37. Свая после удара копрового молота углубляется в землю равнозамедленно в течение 0,02 с с начальной скоростью v₀=5 м/с. Определить необходимое число ударов молота, чтобы заглубить сваю на 1500 мм.

Задача 38. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 490 м/с. Определить высоту и время подъема.

Задача 39. Поезд, отходя от станции, движется равноускоренно по закругленному пути радиусом r=600 м. Определить касательное a_t, нормальное а_n и полное ускорение поезда через 3 мин, когда пройденный путь равен 1620 м.

Задача 40. Точка движется из состояния покоя и за время t=15 с ее скорость увеличивается до v=20 м/с. Определить пройденный точкой путь и ее полное ускорение в конце 15 с, считая движение равноускоренным по дуге окружности радиуса r=500 м.

Задача 41. Определить скорость и ускорение точки, находящейся на поверхности Земли в Ленинграде, учитывая только вращение Земли вокруг своей оси. Широта Ленинграда 60°, радиус Земли r= 6000 км.

Задача 42. Вал начинает вращаться из состояния покоя с ускорением a=4 рад/с². Через какое время вал сделает 128 оборотов?

Задача 43. Колесо из состояния покоя начинает вращаться равноускоренно и через t=3 с имеет частоту вращения n=900 мин^-1. Определить угловое ускорение и число оборотов j_обколеса за указанное время.

Задача 44. Какую силу надо приложить к телу массой m=90 кг, лежащему на гладкой горизонтальной поверхности, чтобы оно приобрело скорость v=8 м/с через 4 с?

Задача 45. Вагонетка с грузом массой 800 кг начинает двигаться из состояния покоя равноускоренно по прямолинейному горизонтальному пути и через 8 с достигает скорости v= 1,6 м/с. Определить силу, движущую вагонетку, если сопротивление движению равно 0,01 веса вагонетки.

Задача 46. Тело под действием горизонтальной силы F=80 Н движется прямолинейно по горизонтальной гладкой поверхности. Уравнение движения имеет вид:s=4t+2t², где s — в метрах, t — в секундах. Определить массу этого тела.

Задача 47. Груз массой т=450 кг, подвешенный на стальном канате, спускается вниз с ускорением a_t=2,5м/с². Найти натяжение стального каната.

Задача 48. Груз массой 20 кг поднимается на веревке равноускоренно. Определить ускорение а_t,при котором натяжение веревки будет равно 300 Н.

Задача 49. С какой максимальной угловой скоростью может вращаться в вертикальной плоскости тело массой m =1,2 кг, привязанное к нити длиной l=0,6 м, если нить выдерживает максимальное натяжение 400 Н? Массой нити пренебречь.

Задача 50. Груз массой т=400 кг поднимается вертикально вверх с ускорением a_t=4,8 м/с² с помощью троса, перекинутого через блок. Определить натяжение троса, пренебрегая его массой.

Задача 51. Автомобиль, масса которого 1800 кг, движется по выпуклому мосту с постоянной скоростью v=70 км/ч. Определить максимальную силу давления на мост, если радиус кривизны его r=180 м.

Задача 52. Определить радиус кривизны выпуклого моста в его верхней точке, если сила давления автомобиля при его движении по мосту с постоянной скоростью, равной 70 км/ч, составляет 10 кН. Масса автомобиля 1200 кг.

Задача 53. Шкив диаметром 500 мм передает мощность Р=8 кВт при частоте вращения п=710 мин^-1. Определить вращающий момент и окружную силу.

Задача 54, Ручной подъемный механизм имеет рукоятку длиной l=300 мм. Рабочий, прикладывая к концу ее силу F=200 Н, вращает рукоятку с угловой скоростью w=0,1 рад/с. Определить работу, затрачиваемую рабочим в течение 30 мин.

Задача 55. При передаче мощности P=7,5 кВт на ободе колеса диаметром d=80 мм действует окружная сила F= 500 Н. Определить угловую скорость колеса, считая его вращение равномерным.

Задача 56. Автомобиль массой 1500 кг под действием силы тяги F=1150 Н движется равноускоренно по горизонтальному пути с начальной скоростью v=18 км/ч. Определить время t, необходимое для достижения скорости v=72 км/ч, и ускорение а автомобиля.

Задача 57. Сколько времени должна действовать сила F=500 Н, приложенная к покоящемуся телу массой т=130 кг, если она сообщит телу скорость v=25 м/с? Какой путь пройдет тело под действием силы, если оно перемещается по гладкой горизонтальной плоскости?

Задача 58. Какую силу нужно приложить к автомобилю массой m= 1500 кг, движущемуся по прямолинейному горизонтальному пути со скоростью v=70 км/ч, для того чтобы за время t=15 с его скорость уменьшилась до 20 км/ч? Какой путь пройдет при этом автомобиль?

Задача 59. Определить, какую силу надо приложить к телу массой т=300 кг, движущемуся прямолинейно, чтобы на пути s= 200 м его скорость уменьшилась с 20 до 10 м/с. Найти время движения тела до полной остановки, пренебрегая силой трения, если значение действующей силы не изменится.

Задача 60. Самолет массой 3500 кг для взлета должен иметь скорость 180 км/ч. На разгон самолета тратится время t=30 с. Определить среднее значение силы тяги самолета (силой сопротивления движению самолета пренебречь).

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО РАЗДЕЛУ: «Сопротивление материалов».

Приступить к выполнению практических работ следует после изучения основных вопросов программы предмета и повторения раздела «Статика» (методика определения реакций связей балок и стержневых конструкций). В процессе изучения учебного материала требуется внимательно разобрать соответствующие примеры решения задач, которые имеются в учебниках в пособиях. Затем самостоятельно решить несколько аналогичных задач и только после этого выполнить практическое задание.

Изучая соответствующий учебный материал, следует иметь четкое представление о методе сечений для определения внутренних силовых факторов (ВСФ). Легко запомнить все пункты метода сечений, если записать их словом «розу»:

Р — разрезаем тело плоскостью на две части,

О — отбрасываем одну часть,

3 — заменяем действие отброшенной части внутренними, силами,

У - уравновешиваем оставшуюся часть и из уравнения равновесия определяем внутренние силы.

В общем случае нагружения тела внутренние силы (силы упругости), возникающие в поперечном сечении нагруженного бруса, могут быть заменены их статическим эквивалентом - главным вектором и главным моментом. Если последние разложить по осям координат (рис. 1), то получим шесть составляющих с общим названием «внутренние силовые факторы»:

N_z — продольная сила;

Q_x иQ_y — поперечные силы;

М_г — крутящий момент;

М_хи Му — изгибающие моменты.

Нормальные напряжения — следствие возникновения продольной силы N_xили изгибающих моментов М_х и М_y; касательные напряжения— следствие возникновения поперечных сил Q_xи Q_y или крутящего момента М_z.

Числовое значение напряжений в поперечных сечениях тела зависит не только от возникновения силового фактора, но и от размеров поперечного сечения — от соответствующей геометрической характеристики прочности сечения.

Условием прочности при расчете по допускаемому напряжению называется неравенство вида s£ [s] или t £ [t], где [s] и [t] —допускаемые напряжения, т. е. максимальные значения напряжений, при которых гарантируется прочность детали.

где s_пред — предельное напряжение для материала рассчитываемой детали; [n] т-коэффициент запаса прочности детали, зависит от ответственности детали, срока 'службы, точности расчета и других факторов.

При решении задач следует применять единицы Международной системы (СИ).

Единицей давления, механического напряжения и модуля упругости установлен паскаль (1Па=Н/м²) и кратная единица — мегапаскаль (1 МПа=10⁶ Па).

К выполнению первой практичекой работы следует приступать после изучения темы «Растяжение и сжатие», метода сечений и разбора решенных примеров в данном пособии и рекомендуемой литературе — [1, гл.1, гл.2]; [2, гл.1, гл.2]; [5, гл. 3]; [6 гл. 19].

Задача требует от учащегося умения определить продольные силы, нормальные напряжения, удлинения и построить эпюры N и s. Растяжением (сжатием) называют такое погружение бруса, при котором в поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор— продольная сила N, в любом поперечном сечении бруса численно равная алгебраической сумме внешних сил, действующих на оставленную часть бруса.

Правило знаков: внешняя сила N, направленная от сечения, считается положительной; в противном случае она отрицательна (рис. 2).

Удлинение (укорочение) бруса, или отдельных его участков, определяется по формуле Гука

rl=Nl/AE

которую можно представить еще и в виде rl=s(l/E) помня, что N/A=s.

Пример 1. Для двухступенчатого бруса (рис. 3) определить и построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Определить удлинение (укорочение) бруса. Модуль упругости Е=2×10⁵ МПа.

Решение. Разделим брус на участки, границы которых определяются сечениями, где изменяется площадь поперечного сечения или приложены внешние нагрузки. Мысленно рассечем брус в пределах первого участка и отбросим верхнюю часть бруса (рис. 3, 6), Сила F₁ уравновешивается внутренней силой

N_I = F₁ = 40·10³ Н = 40 кН.

Аналогично в пределах участка II (рис. 3, в) отбросим верхнюю часть бруса и рассмотрим оставленную часть бруса с действующей силой F_1, которая уравновешивается продольной силой N_II:

N_II = F₁ = 40·10³ Н = 40 кН.

Продольная сила на участке III (рис. 3, г) уравновешивается в сечении внешними силами F₁ и F₂ и равна их алгебраической сумме

N_III= F₁ - F2=40×10³-50×10³= -10×10³H = -10 кН.

Построим эпюру N (рис. 3, д). Для этого параллельно оси бруса проведем базовую (нулевую) линию. Левее ее откладываем значение продольной силы, вызванной сжатием участка, а правее — растяжением. В пределах участка III брус сжат (N_III=-10 кН), в пределах участков II н I брус растянут (N_II=N₁=40 кН).

Для определения напряжений в поперечных сечениях значение продольных сил необходимо разделить на площади соответствующих сечений.

Площадь поперечного сечения бруса в пределах участка l

аналогично на участках II, III

Находим напряжение на отдельных участках бруса и строим эпюру (рис. 3, е):

В соответствии с полученными значениями напряжений строим эпюру нормальных напряжений.

Полное удлинение бруса равно алгебраической сумме удлинений его участков:

или Во второй практической работе рассматриваются статически неопределимые системы с числом неизвестных реакций связей, на единицу превышающем число уравнений статики (уравнений равновесия), которые можно составить для этой системы. Поэтому при решении подобных задач рекомендуется придерживаться такой последовательности:

1) брус, равновесие которого рассматривается, освободить от связей и заменить действие связей реакциями;

2) составить уравнение равновесия, в него войдут неизвестные реакции связей, без которых невозможно определить продольные силы, возникшие в стержне (уравнение проекций всех внешних сил на ось и уравнение моментов относительно неподвижного шарнира, которым жесткий брус прикреплен к стене);

3) рассмотреть картину деформации системы, изобразив ее на рисунке;

4) рассматривая с геометрической точки зрения картину деформации, составить уравнение перемещений, в которое войдут те же неизвестные реакции, что и в уравнение статики;

5) произвести в уравнении перемещений необходимые упрощения;

6) уравнение статики и уравнение перемещений решить совместно, определить искомые реакция связей;

7) определить внутренние силовые факторы (продольные силы) в частях деформируемого стержня (если в задаче требуется определить допускаемую нагрузку), выразить продольные силы через искомую нагрузку;

8) завершить решение задачи, производя заданный в ее условии расчет.

Исходя из условия прочности, можно производить три вида расчетов: а) проверочный, при котором проверяется, выполнено ли условие прочности s£[s] (или п£ [п]); б) определение допускаемой нагрузки; в) проектный, при котором определяются необходимые размеры поперечных сечений бруса, обеспечивающие заданную прочность.

Пример 2. Жесткий брус ОD (рис. 4, а), шарнирно закрепленный в.точке О, удерживается в равновесии с помощью стержней 1 и 2. В точке D брус нагружен силой F₁=40 кН. Определить напряжения в поперечных сечениях обоих стержней, если l=1 м, площади поперечных сечений соответственно: A₁=4 см² и A₂=6 см².

Решение. Разрезаем стержни и заменяем их действие ни брус силами N₁ и N₂ (рис. 4, б). В данном случае реакции шарнира О нас не интересуют, а в уравнение моментов относительно точки О (уравнение равновесия статики)

– F×2,5а + N₂2а + N₁а=0 (1)

входят обе неизвестные силы. Следовательно, задача один раз статически неопределима (уравнения проекций на оси х и у ничего не дают, так как в них войдут еще две неизвестные составляющие реакции шарнира О).

Для того, чтобы составить дополнительное уравнение перемещений, допустим, что после нагружения бруса узел С опустился на rl₂, а узел В — на rl₁. Из подобие треугольников ОBВ₁, и ОСС₁ получим уравнение перемещений

rl₂=2rl₁ (2)

Так как rl₁=N₁l₁/(EA₁) и rl₂=N₂l₂/(EA₂), а l₂=2l₁, что следует из рассмотрения тех же треугольников ОBВ₁и ОСС₁,то уравнение (2) имеет вид

Подставив в уравнение значения A₁=4 см² и A₂=6 см², находим, что N₂=1,5N₁.

Решив последнее уравнение совместно с уравнением (1), получим:

откуда ;

N₂=1,5×N₁=1,5×25=37,5 кН =37,5×10³ Н.

Теперь легко найти напряжение в поперечных сечениях стержней, помня, что A₁=4 см²=4×10^-4 м² и A₂=6 см²=6×10^-4 м²,

Пример 3. Абсолютно жесткий брус (рис. 5, а) опирается на шарнирно неподвижную опору О и прикреплен к двум стержням в точках В и С с помощью шарниров. Определить: а) нормальные силы, возникшие в стержнях; б) допускаемую нагрузку [F], приравняв большее из напряжений, возникшее в одном из стержней, допускаемому напряжению [s]=160 МПа.

Решение. Разрезаем стержни и вводим искомые силы N₁ и N₂ (рис. 5, б), составляем уравнение равновесия, приняв за центр моментов шарнир О:

Fa – N₁2a – N₂5a=0, (1)

которое после деления обеих частей на а приобретает вид

F – 2N₁ – 5N₂=0.

В результате удлинения стержней брус займет новое положение (рис.5, 6). Из подобия треугольников ОВВ₁ и ОСС₁ следует пропорция rl₁/2a=rl₂/5a, из которой получаем зависимость между удлинениями стержней: 5rl₁ –2rl₂=0.

Выразим в этом уравнении перемещения шарниров В (rl₁) и (rl₂) по формуле Гука:

(2)

Умножим обе части уравнения на Е и, подставив числовые значения величин l₁=4 м, l₂=3 м, А₁=20×10^-4 м² и А₂=10×10^-4 м², получим уравнение перемещений в окончательном виде:

5N₁-3N₂=0.

Решив совместно уравнения (1), (2), находим значения искомых сил N₁»0,1F и N₂»0,16F.

По найденным значениям внутренних сил находим напряжения в сечениях стержней:

Па и Па.

s₂>s₁, следовательно, допускаемую нагрузку определяем по напряжениям в стержне 2, помня, что [s]=160МПа=160×10⁶Па и 160[F]=160×10⁶[F]=10⁶H=1000 кН.

Третью практическую работу следует решать после изучения темы «Практические расчеты на срез и смятие», разбора решенного примера и рекомендуемой литературы — [1, гл.5]; [8, гл.3].

Детали для соединения отдельных элементов машин (заклепки, болты, штифты и т. п.) воспринимают нагрузки, перпендикулярные их продольной оси. Расчеты таких деталей базируются на следующих основных допущениях:

1) в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор — поперечная сила Q;

2) касательные напряжения в поперечном сечении распределены по его площади равномерно;

3) если соединение осуществлено несколькими одинаковыми деталями (болтами в т. п.), то принимается, что все они нагружены одинаково.

Условие прочности при срезе

где t_ср— расчетное напряжение среза, возникающее в поперечном сечении рассчитываемой детали; k — количество срезов одной заклепки; Q — поперечная сила; I — число болтов, заклепок и т. п.; [t_ср]=(0,25/0,35) s_т — допускаемое напряжение среза, где s_т — предел текучести материала болта.

Расчетная формула на смятие имеет вид

где А_см — расчетная площадь смятия, А_см=d_mind; [s_см]— допускаемое напряжение на смятие, принимают по табл. 7; d_min — минимальная толщина соединяемых деталей; d — диаметр заклепки.

В заклепочном соединении проверяется прочность листа по формуле:

где т — число заклепок, попадающих в одно поперечное сечение листа; b — ширина листа; d — толщина листа; d — диаметр заклепок.

Пример 4. Определить высоту h и диаметр d головки стержня, нагруженного растягивающей силой F (рис. 6), Допускаемые напряжения для стали СтЗ при продавленных отверстиях принимаем [s]=140 МПа (см. табл. 1).

Решение. Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности стержня на растяжение:

Определяем высоту головки из условия прочности на срез, принимая [t_ср] =100 МПа:

Таблица 1

Материал конструкции	Допускаемые значения
	при продавленных отверстиях		при сверленых отверстиях
	[t_ср]	[s_см]	[t_ср]	[s_см]
Сталь Ст2 Сталь Ст3	100 100	240 280	140 140	280 320

[t_ср]=F_p/(pd₀h)£ [t_ср], откуда

Определяем диаметр опорной поверхности головки из условия ее прочности на смятие, принимая [s_см]=280 МПа:

К выполнению четвертой практической работы следует приступить после изучения темы «Кручение», разбора решенного примера и рекомендуемой литературе — [1, гл.6]; [2, гл.6]; [8, гл. 4]..

В соответствии с международной системой единиц (СИ) заданную в условии частоту вращения n, мин^-1, необходимо выразить в единицах угловой скорости (рад/с), применив формулу w=pn/30. Тогда зависимость между передаваемой мощностью Р, кВт, угловой скоростью w, рад/с, и внешним моментом, M_вр, Н×м, скручивающим вал, запишется в виде M_вр=P/w.

Допускаемый угол закручивания на практике обычно задается в град/м, поэтому для перевода в единицы СИ это значение необходимо умножить на p/180°. Например, если дано [j°]=0,4 град/м, то 0,4 град/м=0,4p/180°=0,07 рад/м.

Пример 5. Для стального вала (рис. 7, a) определить из условия прочности требуемые диаметры каждого участка и углы закручивания этих участков. Угловую скорость вала принять w =100 рад/с, допускаемое напряжение [t]= 30 МПа, модуль упругости сдвига G =0,8×10¹¹ Па.

Решение. Вал вращается с постоянной угловой скоростью, следовательно, система вращающих моментов уравновешена. Мощность, подводимая к валу без учета потерь на трение, равна сумме мощностей, снимаемых с вала:

P₁= P₂+ P₃+ P₄=10+12+8=30 кВт.

рис. 7.

Определяем вращающие моменты на шкивах:

M₁=P₁/w=30×10³/100=300 Н×м;

M₂=P₂/w=10×10³/100=100 Н×м;

M₃=P₃/w=12×10³/100=120 Н×м;

M₄=P₄/w=8×10³/100=80 Н×м.

Для построения эпюр крутящих моментов проведем базовую (нулевую) линию параллельно оси вала и, используя метод сечений, найдем значения крутящего, момента на каждом участке, отложим найденные значения перпендикулярно базовой линии.

В пределах каждого участка значение крутящего момента сохраняется постоянным (рис. 7, б):

;

Из условия прочности вала на первом участке определяем по формуле:

откуда: .

На втором участке: .

На третьем участке: .

Вычисляем полярные инерции сечений вала:

;

Углы закручивания соответствующих участков вала:

;

Пятую практическую работу следует выполнять после изучения темы «Изгиб» и внимательного разбора решенного примера.

При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникает два внутренних силовых фактора — поперечная сила Q_у и изгибающий момент М_х. Поперечная сила, возникающая в произвольном поперечном сечении численно равна алгебраической сумме» всех внешних сил (если все силы параллельны оси y), действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно той точки продольной оси балки, через которую проходит рассматриваемое сечение. Для отыскания опасного сечения строят эпюры Q_у и М_х, используя метод сечения.

Условимся о правиле знаков: внешняя сила F, стремящаяся сдвинуть левую часть балки вверх относительно правой или (что то же самое) правую часть вниз относительно левой, вызовет возникновение положительной поперечной силы (рис. 8, a).

Внешняя сила или момент, изгибающие балку таким образом, что сжатые волокна находятся сверху балки (рис. 8, б), вызывают положительный изгибающий момент, который на эпюре М_х откладывается вверх от оси абсцисс, т. е. в сторону сжатых волокон, иначе можно сказать, что эпюры изгибающих моментов строятся на сжатом волокне.

Для балок, имеющих много участков нагружения, т. е. нагруженных комбинацией нагрузок, целесообразно строить эпюры по характерным сечениям, а именно: вычислять поперечные силы и нагибающие моменты только для сечений, в которых эпюры претерпевают изменения, а затем, зная закон изменения эпюры между найденными сечениями; соединить их соответствующими линиями. К характерным относятся сечения, в которых приложены сосредоточенные силы или моменты, а также сечения, где начинается или кончается распределенная нагрузка.

Для того чтобы вычислить поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении, необходимо мысленно рассечь плоскостью в этом месте балку и часть балки (любую), лежащую по одну сторону от рассматриваемого сечения, отбросить. Затем по действующим на оставленную часть балки внешним силам надо найти искомые значения Q_y и М_х, причем знак их надо определить по тому действию, какое оказывают внешние силы на оставленную часть балки в соответствии с принятым ранее правилом знаков.

При построении эпюры слева направо отбрасывается правая часть балки, а Q_У к М_х находятся по силам, действующим на левую часть. При построении эпюры справа налево, наоборот, отбрасывается левая часть, а Q_У я М_x определяются по силам действующим на правую часть балки.

Для построения эпюр необходимо запомнить следующие правила.

1. На участке балки, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра Q_y — прямая, параллельная базовой линии, а эпюра М_х — наклонная прямая.

2. Под сосредоточенной силой на эпюре (Q_у наблюдается скачок, численно равный приложенной внешней силе, а на эпюре М_х — излом.

3. В точке приложения сосредоточенной парой сил на эпюре момента происходит скачок на размер момента этой пары, а эпюра Q_у не претерпевает изменения.

4. На участке действия равномерно распределенной нагрузки эпюра Q_у выражается наклонной прямой, а эпюра М_х — параболой, обращенной выпуклостью навстречу действию распределенной нагрузки.

5. Если на участке действия распределенной нагрузки эпюра пересекает базовую линию, то в этом сечении изгибающий момент принимает экстремальное значение.

6. Если на границе действия распределенной нагрузки не приложено сосредоточенных сил, то на эпюре Q_у, участок, параллельный оси абсцисс, переходит в наклонный без скачка, а параболическая и наклонная части эпюры М_х сопрягаются плавно без изгиба.

7. Изгибающий момент в концевых сечениях балки всегда равен нулю, за исключением случая, когда в концевом сечении действует сосредоточенная пара сила. В этом случае изгибающий момент в концевом сечении балки равен моменту действующей пары сил.

8. В сечении, соответствующем заделке, Q_y и М_х численно равны опорной реакции и реактивному моменту.

Решать задачу рекомендуется в такой последовательности:

1) определить реакции опор балки (по двум уравнениям моментов — одно относительно левой опоры, второе относительно правой), а затем обязательно проверить правильность решения по уравнению проекций на ось, перпендикулярную балке;

2) построить эпюру поперечных сил;

3) построить эпюру изгибающих моментов (для этого целесообразно использовать метод построения по характерным сечениям, который достаточно подробно изложен в рекомендованных учебниках [5], [6]);

4) по эпюре изгибающих моментов определить расчетный (наибольший по абсолютному значению) изгибающий момент, выразив его в ньютоно-метрах (Н×м);

5) в выражении условия прочности принять s — [s] и определить требуемый осевой момент сопротивления поперечного сечения балки;

6) выразить значение W_x в м³ (при подстановке в расчетную формулу W_х=М_х/[s] значения М_х выражаются в Н×м, а значения [s] — в Па, результат получим в м³) и с помощью таблиц соответствующих ГОСТов по найденному значению W_x подобрать необходимый номер профиля швеллера (ГОСТ 8240—72) или двутавра (ГОСТ 8239—72); при решении задач контрольной работы, т.е. в учебных целях, можно использовать старые ГОСТы 1956г. (ГОСТ 8209—56 «Балки двутавровые» и ГОСТ 8240—56 «Швеллеры»), которые имеются в любом сборнике задач по сопротивлению материалов, изданном до 1976 г.

Пример 6. Для балки (рис. 9, а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, если сила F=8 кН, интенсивность равномерно распределенной нагрузки q=4 кН/м, момент М=11 кН·м, расстояние a=2 м, b=4 м, с=3 м.

Решение. Определяем опорные реакции:

откуда ;

откуда .

Для проверки составляем сумму проекций всех сил на вертикальную ось у:

Строим эпюру поперечных сил (рис. 9, б).

В сечении К: Q_Yk=0.

В сечении А: Q_yA_лев=-qa=-4×2=-8 кН; Q_yA_прав=-qa+R_A=-8+11=3 кН.

В сечении А: на эпюре Q_y получается скачок на величину реакции R_A.

В сечении D: Q_yD_лев=qa+R_A= -4×2+11=3 кН; Q_yD_прав= - qa+R_A-F= -8+11-8= -5 кН.

В сечении В: Q_Y_в= -R_B= -5 кН.

Строим эпюру изгибающих моментов по характерным сечениям K, А, D, В (рис. 9, в).

В сечении К изгибающий момент М_Хк=0, так как в этом сечении нет сосредоточенного момента.

В сечении А рассмотрим левую часть, на которую действует равномерно распределенная нагрузка: .

В сечении В действует сосредоточенный момент М: .

В сечении D рассмотрим правую часть, на которую действует сила R_B и сосредоточенный момент М:.

Соединим полученные точки эпюры на участках. DВ и АD наклонными прямыми, на участке АK — параболой, обращенной выпуклостью навстречу равномерно распределенной нагрузке.

К выполнению шестой практической работы следует приступить после изучения темы: «Изгиб и кручение», разбора примера и рекомендуемой литературе — [1, гл.8, гл.9]; [2, гл.7, гл.8]; [8, гл. 6, гл.7, гл.8].

При совместном действии изгиба и кручения в поперечном сечении груза возникают нормальные и касательные напряжения. Расчет производится по формулам, выведенным на основе гипотез прочности:

где М_э-так называемый эквивалентный момент.

По гипотезе наибольших касательных напряжений (третья гипотеза прочности)

По гипотезе потенциальной энергии формы изменения (пятая гипотеза прочности)

В обеих формулах М_к — крутящий момент в опасном поперечном сечении вала; М_и — суммарный изгибающий момент в том сечении, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т.е.

Для решения шестой задачи рекомендуется такая последовательность:

1) привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действие реакциями в вертикальной и горизонтальной плоскостях, т.е. получить расчетную схему вала;

2) по заданной мощности Р и угловой скорости w определить вращающие моменты, действующие на вал;

3) вычислить нагрузки F₁, F_r1, F₂ и F_r2 приложенные к валу;

4) составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях;

5) построить эпюру крутящих моментов;

6) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтально плоскостях (эпюры М_х и М_у);

7) определить наибольшее значение эквивалентного момента

или ;

8) положив s_эй — [s], определить требуемое значение осевого момента сопротивления W_х=M_э/[s];

9) из выражения W_х=pd³/32 определить d — диаметр вала, округлив его значение (в мм) в большую сторону до целого четного числа или числа, оканчивающегося на пять.

Пример 7. Для стального вала круглого поперечного сечения одним зубчатым колесом (рис. 10, а), передающего мощность Р=12 кВт при угловой скорости w=40 рад/с, определить диаметр вала в опасном сечении, приняв [s]=60 МПа и полагая, что F_r=0,4F_t.

Решение.

1. Момент, передаваемый валом:.

2. Окружная сила: .

3. Радикальная сила: .

4. Опорные реакции от окружностей силы (рис. 10, б)

откуда ; ,

откуда .

5. Проверяем правильность определения опорных реакций.

6. Строим эпюры изгибающих моментов в вертикальной плоскости (рис. 10, в).

В сечении С: М_с=0.

В сечении А: М_А=F_t×0,3=2000×0,3=600 Н×м.

В сечении В: М_В=0.

Находим опорные реакции от радикальной силы F_r (рис. 10, г):

откуда: .

Проверяем правильность определения опорных реакций:

SУ=0; .

Строим эпюру изгибающих моментов от силы F_r, действующей в горизонтальной плоскости (рис. 10, б).

В сечении С: М_с=0.

В сечении А: М_А= -F_r×0,3= -800×0,3= -240 Н×м.

В сечении В: М_B =0.

Значение крутящего момента в любом сечении вала М_к=300 Н×м. Из эпюр изгибающих моментов следует, что опасное сечение вала проходит через точку A.

Определяем наибольшее значение эквивалентного момента:

Определяем диаметр вала в опасном сечении:

Принимаем d=50 мм.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1. (1-6)Двухступенчатый стальной брус, длины ступеней которого указаны на рис. 11 (схемы I—VI) нагружен силами F₁ и F₂. Построить эпюры, продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение (укорочение) бруса, приняв Е=2×10⁵ МПа. Числовые значения сил F₁и F₂,а также площадей поперечных сечений ступеней А₁ и А₂ для своего варианта взять из табл. 2.

Таблица 2

№ задачи и схемы на рис. 11	Вариант	F₁, кН	F₂, кН	А₁, см²	А₂, см²	№ задачи и схемы на рис. 11	Вариант	F₁, кН	F₂, кН	А₁, см²	А₂, см²
1, I	01	10	20	1,2	0,8	2,II	02	3,3	8,0	0,4	0,5
	07	12	10	1,2	0,8		08	4	9,2	0,5	0,6
	13	12	20	0,7	0,9		14	4,8	10	0,4	0,8
	19	14	22	3,5	2,3		20	9	22	1,0	3,0
	25	21	40	2,4	2,2		26	5,0	9,8	0,5	1,0
3, III	03	15	30	2,1	1,6	4, IV	04	10,8	29	1,8	2,0
	09	14	18	2,3	2,1		10	8	18	2,0	3,0
	15	20	32	2,5	2,2		16	7,6	20,5	2,8	3,2
	21	14	34	1,9	1,3		22	23,1	40,5	3,8	4,2
	27	30	36	2,4	1,6		28	17,6	43,2	3,0	3,2
5, V	05	3,5	12	2,5	1,8	6, VI	06	6	3	0,4	0,8
	11	27	27	2,8	2,0		12	3	6	0,5	0,9
	17	18	38	2,0	1,8		18	6,2	9	0,4	0,8
	23	15	35	3,2	2,6		24	3	8	0,8	1,2
	29	1,4	20	2,6	1,5		30	9,6	16	0,6	1,5

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2. (7-12) Определить требуемый размер поперечного сечения стальных стержней (рис. 12), удерживающих в равновесии горизонтальный жесткий брус, шарнирно закрепленный одним концом, если [s]=160 МПа. Определив требуемое значение площади А, найти напряжения в поперечных сечениях обоих стержней. Данные своего варианта взять из табл. 3.

Таблица 3

№ задачи и схемы на рис. 12	Вариант	F, кН	М, кН ×м	№ задачи и схемы на рис. 12	Вариант	F, кН	М, кН ×м
7, I	01	18	40	8, II	02	4	24
	07	20	36		08	16	48
	13	19	30		14	20	50
	19	4	48		20	24	40
	25	60	50		26	19	36
9, III	03	18	30	10, IV	04	10	45
	09	40	80		10	12	30
	15	24	36		16	24	24
	21	14	18		22	25	35
	27	38	22		28	14	20
11, V	05	10	18	12, VI	06	40	45
	11	20	18		12	38	42
	17	24	30		18	42	30
	23	48	30		24	32	50
	29	6	15		30	20	24

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3. (13-22) Для решения третий задачи данные своего варианта взять из табл. 4.

рис. 14.

рис. 13.

Задача 13. Определить напряжения среза и смятия, возникающие в призматической шпонке, соединяющей шкив с валом (рис. 13), если окружная сила F =4 кН. Шпонка длиной l=80 мм наполовину входит в паз вала и наполовину в паз ступицы. Размеры: D =800 мм; d=60 мм; b=20 мм; h=12 мм.

Задача 14. Зубчатый венец шестерни прикрепляется к ступице болтами, расположенными по окружности диаметром D=200 мм (рис. 14). Определить касательные напряжения среза в болтах, если передаваемый момент М=24 кН×м, диаметр болтов d=20 мм, число болтов i=8.

Задача 15. Определить диаметр болта d, соединяющего проушину с двумя накладками (рис. 15), и проверить ее на срез и смятие. Растягивающая сила F=10 кН; допускаемое касательное напряжение на срез [t_ср]=90 МПа; допускаемое напряжение на смятие! [s_см] =280 МПа. Размеры: d=16 мм; b=60 мм.

рис. 16.

рис. 15.

Задача 16. Равнополочные уголки 75´75´8 (ГОСТ 8509—72) соединены со стальным листом толщиной d=10 мм с помощью заклепок d=20 мм (рис. 16). Растягивающая сила F=260 кН; допускаемое касательное напряжение на срез для материала заклепок [t_ср]=120 МПа, допускаемое напряжение смятия [s_см] =280 МПа. Определить необходимое количество заклепок.

Задача 17. Шпилька диаметром 20 мм прикрепляет к стенке стальной лист сечением b´D=100´8 мм (рис. 17). Чему равны расчетные касательные напряжения среза и напряжения смятия в шпильке, если сила F=3 кН?

Задача 18. Стальная скоба для подъема груза силой тяжести. G=270 кН имеет ветви диаметром d_B мм в штырь диаметром d_ш—72 мм (рис. 18). Проверить прочность штыря на срез и отверстия ветви на смятие. Допускаемое касательное напряжение среза [t_ср]=100 МПа; допускаемое напряжение смятия [s_см]=280 МПа.

рис. 17

рис. 18

Задача 19. Две стальные полосы толщиной d=16 мм соединены с помощью болта, установленного в отверстие без зазора (рис. 20). Определить из расчета на срез требуемый диаметр болта и проверить стенки отверстия полос на смятие, если сила F=20 кН, допускаемое касательное напряжение на срез для материала болта [t_ср]=100 МПа; допускаемое напряжение смятия [s_см]=280 МПа.

Задача 20. В стыке двух листов применены заклепки диаметром d=28 мм. Соединение выполнено, как показано на рис. 19. Допускаемые напряжения: [t_ср]=100 МПа; [s_см]=280 МПа; [s_р]=140 МПа. Определить наибольшую растягивающую силу, допускаемую для стыка.

рис. 20.

рис. 19.

Задача 21. Определить необходимую высоту h и диаметр d головки стержня, растягиваемого силой F=50 кН (рис. 21), если [t_ср]=80 МПа, допускаемое напряжение смятия [s_см] =260 МПа, диаметр отверстия d_o =30 мм.

рис. 17

рис. 18

рис. 20.

рис. 19.

Таблица 6

№ задачи и схемы на рис. 18	Вариант	F₁	F₂	М кН·м	№ задачи и схемы на рис. 18	Вариант	F₁	F₂	М, кН·м
№ задачи и схемы на рис. 18	Вариант	кН		М кН·м	№ задачи и схемы на рис. 18	Вариант	кН		М, кН·м
32, I	01	18	30	4,0	33, II	02	3,0	8,4	0,4
	07	20	40	4,5		08	4,2	9,0	0,35
	13	12	10	3,2		14	4,8	10,0	0,64
	19	28	50	6,0		20	5,0	9,8	0,90
	25	24	46	5,4		26	4,6	9,2	0,86
34, IV	03	14	26	4,2	35, V	04	3,2	8,6	0,45
	09	16	36	4,3		10	4,4	9,2	0,38
	15	8	6	3,4		16	4,8	10,2	0,60
	21	24	46	5,8		22	5,2	9,8	0,94
	27	20	42	5,2		28	4,8	9,6	0,82
36, VII	05	12,0	30,0	1,5	37, VIII	06	16,8	34,8	2,0
	11	10,8	30,8	1,8		12	12,0	42,0	2,4
	17	12,8	34,8	1,6		18	11,2	31,0	2,8
	23	11,2	24,7	1,4		24	15,0	37,5	2,5
	29	11,8	28,9	2,0		30	14,5	32,8	2,6

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №6 (38-46). Для стального вала постоянного поперечного сечения с одним зубчатым колесом (рис. 25), передающего мощность Р, кВт, при угловой скорости w₁ рад/с (числовые значения этих величин для своего варианта взять из табл. 7); а) определить вертикальные и горизонтальные составляющее реакции подшипников, б) построить эпюру крутящих моментов; в) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях; г) определить диаметр вала, приняв [s] =60 МПа (в задачах 38, 40, 42, 44, 46) или [s]= 70 МПа (в задачах 39, 41, 43, 45) и полагая F_r=0,4F_t. В задачах 38 - 42 расчет производить по гипотезе потенциальной энергия формоизменения, а в задачах 43 - 46 — по гипотезе наибольших касательных напряжений.

Таблица №7

№ задачи и схемы на рис. 18	Вариант	Р, кВт	w, рад/с	№ задачи и схемы на рис. 18	Вариант	Р, кВт	w, рад/с	№ задачи и схемы на рис. 18	Вариант	Р, кВт	w, рад/с
38, I	01	30	10	39, II	02	22	14	40, III	03	40	18
	10	36	12		11	40	16		12	35	40
	19	52	15		20	50	20		21	30	32
	28	24	24		29	30	24		30	36	24
41, IV	04	24	12	42, V	05	35	32	43, VI	06	18	40
	13	48	18		14	15	60		15	18	38
	22	30	20		23	20	58		24	30	42
44, VII	07	40	18	45, VIII	08	45	10	46, IX	09	10	25
	16	50	40		17	42	20		18	50	30
	25	42	38		26	30	24		27	38	23

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

Основная

1. Мовнин М. С., Израелит А. Б. Техническая механика. Часть вторая. Сопротивление материалов. Л., «Судостроение», 1971.

2. Кинасошвили Р. С. Сопротивление материалов. Краткий учебник. М., Физматгиз, 1962.

3. Ицкович Г. М., Винокуров А. И., Минин Л. С., Руководство к решению задач по сопротивлению задач. М., Росвузидат, 1963.

4. Шапиро Д. М., Подорванова А. И., Миронов А. Н., Сборник задач по сопротивлению материалов. Учебн. пособие для машиностроительных техникумов. М., «Высшая школа», 1970.

Дополнительная

5. Чернилевский Д. В., Лаврова Е. В., Романов В. П. Техническая механика. М., 1980.

6. Ицкович Г. М. Сопротивление материалов. М., 1982.

7. Аркуша А. И., Фролов М. И. Техническая механика. М., 1983.

8. Мовнин М. С.Израелит А. Б., Рубашкин А. Г. Руководствок решению задач по технической механике. М., 1977.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1.

Тема урока: Расчет прочных заклепочных швов при осевом нагружении.

Ц е л ь у р о к а: Сформировать:

- понимание студентами функций задач при изучении математики;

- систематизация и обобщение новых знаний;

- повторение и закрепление знаний на практике для формирования навыков.

Т и п у р о к а: Совершенствование знаний, умений, навыков.

П л а н р а б о т ы:

По исходным данным выполнить расчет прочных заклепочных швов при осевом нагружении.

И с х о д н ы е д а н н ы е:

1. Величина осевой нагрузки Q и характер ее действия (статическая, динамическая).

2. Материал соединяемых деталей.

3. Способ изготовления отверстий под заклепки.

П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь р а с ч е т а:

1. Задаются типом шва и соответственно коэффициентом j.

Тип шва j

Однорядный внахлестку………………………………………………………………0,67

Двухрядный » ……………………………………………………….0,75

Однорядный с двумя накладками………………………………………………….....0,71

Двухрядный » » » …………………………………………………….0,84

2. Из условия прочности на растяжение определяют необходимую площадь сечения соединяемых деталей с учетом ослабления их отверстиями под заклепки

. (1)

3. По рекомендуемым соотношениям

определяют размеры элементов шва.

4. Из условий прочности на срез и смятие

(2)

(3)

определяют необходимое количество заклепок z, принимая большее из двух полученных значений.

5. Разрабатывают конструкцию заклепочного шва, уточняя при этом размеры элементов соединения.

6. Проверяют закрепочный шов:

а) на растяжение деталей по формуле ; (4)

б) на срез деталей закрепками по формуле . (5)

Задание 1. Рассчитать закрепочное соединение (рис.1.a),

нагруженное статической осевой растягивающей силой Q = 74*10³н.

Материал полосы и проушины – сталь

Ст.3. Отверстия под заклепки сверленые. Ширина проушины b≽100 мм, толщина полосы s = 6 мм.

Р е ш е н и е. 1. Принимаем для соединения полосы с проушиной двухрядный заклепочный шов внахлестку. Назначаем j = 0,75.

2. Определяем размеры сечения проушины с учетом ослабления ее отверстиями под заклепки. По таблице

элемент шва	вид деформации	способ изготовления отверстия	допускаемые напряжения, н/мм²
			ст. 2	ст. 3
склепываемые детали	Растяжение срез	- -	140 90		160 100
заклепки	срез	продавливание сверление	100 140	100 140
	смятие	продавливание сверление	240 280	280 320

Табл. 1

для стали Ст.3

. (6)

По формуле (1) необходимая площадь сечения проушины

Принимаем толщину проушины равной толщине полосы, тогда ширина проушины

. (7)

3. Определяем размеры элементов шва.

а) По формуле диаметр отверстий под заклепки

Принимаем заклепки с полукруглой головкой, изготовленные из стали Ст. 3. По таблице

диаметр заклепки d, мм (ГОСТ 10299-68)

диаметр отверстия d₀, мм

диаметр заклепки d, мм (ГОСТ 10299-68)

диаметр отверстия d₀, мм

Машино- и станкостроение

грубая сборка

Машино- и станкостроение

грубая сборка

6,5

8,5

10,5

6,7

8,7

11,0

13,0

16,5

21,0

13,0

17,0

21,0

Табл. 2

назначаем: диаметр заклепок d = 12 мм, диаметр отверстий d₀ = 13 мм.

б) По формуле

t = (3÷ 6) d₀(8)

шаг шва.

t = (3÷6) d₀ = (3÷6) = 39 ÷ 78 мм. Чтобы разместить по ширине проушины целое число шагов, принимаем t = 55 мм.

в) По формуле

е = 1,65d₀(9)

расстояние от края полосы до оси заклепки

е = 1,65d₀= 1,65*132 = 21,4 мм,

принимаем е = 35 мм.

г) По формуле

a ≥ 0,6 t (10)

Расстояние между рядами заклепок

a ≥ 0,6 t = 0,6*55 = 33 мм,

принимаем а = 35 мм.

4. Из условий прочности на срез и смятие определяем число заклепок z. Из табл. 2 для заклепок из стали Ст. 3

= 140 н/мм², = 320 н/мм².

По формуле

принимаем z=4.

5. Разрабатываем конструкцию закрепочного шва (см. рис).

6. Окончательно принимаем ширину проушины и полосы

b = 2t = 2*55 = 110 мм.

6. Закрепочное соединение проверяем:

а) на растяжение проушины и полосы. Для полосы опасным является сечение I-I, ослабленное двумя отверстиями (m = 2), в этом сечении возникает продольная сила N_I = Q*. По формуле

расчетное напряжение растяжения в сечении I-I

= ,

что удовлетворяет условию‹ ;

б) на срез заклепками краев полосы или проушины. По табл. 2 для стали Ст. 3 = 100 н/мм².

Усилие, приходящееся на одну заклепку,

По формуле

расчетное напряжение среза

что удовлетворяет условию τ_ср‹ [τ]_ср.

Вывод:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2.

Тема урока: Расчет сварных соединений при осевом нагружении.

Ц е л ь у р о к а: Сформировать:

- понимание студентами функций задач при изучении математики;

- систематизация и обобщение новых знаний;

- повторение и закрепление знаний на практике для формирования навыков.

Т и п у р о к а: Совершенствование знаний, умений, навыков.

П л а н р о б о т ы :

По исходным данным выполнить расчет сварных соединений при осевом нагружении.

И с х о д н ы е д а н н ы е:

1. Величина осевой нагрузки Q и характер ее действия.

2. Материал соединяемых деталей.

3. Вид электросварки и марка электродов.

П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь р а с ч е т а:

1. Задаются типом шва и формой его сечения в зависимости от конструкции свариваемых деталей.

2. Определяют допускаемые напряжения для сварочного соединения.

3. Определяют общую расчетную длину швов l_ш.

4. При соединении комбинированными швами определяют длину лобовых и фланговых швов.

5. Вычерчивают сварное соединение и уточняют размеры соединяемых деталей.

Задание 1. Рассчитать сварное соединение встык ,

нагруженное статистической осевой растягивающей силой Q = 400*10³ н. Толщина полос s = 16 мм, материал – сталь Ст. 2. Сварка полуавтоматическая под слоем флюса.

Р е ш е н и е. 1. По таблице 1 и 2 выбираем допускаемое напряжение для сварного соединения:

Вид деформации и напряжения

Автоматическая и полуавтоматическая сварка под флюсом

Ручная дуговая электродами

Э50А, Э42А

Э50, Э42

Растяжение

Сжатие

Срез

0,65

0,9

0,6

Табл.1

диаметр заклепки d, мм (ГОСТ 10299-68)

диаметр отверстия d₀, мм

диаметр заклепки d, мм (ГОСТ 10299-68)

диаметр отверстия d₀, мм

Машино- и станкостроение

грубая сборка

Машино- и станкостроение

грубая сборка

6,5

8,5

10,5

6,7

8,7

11,0

13,0

16,5

21,0

13,0

17,0

21,0

Табл. 2

2. По формуле

определяем необходимую длину шва

Принимаем ширину полосы b = 180 мм.

Задание 2. Рассчитать сварное соединение внахлестку равнобокого уголка 75×75×8, z₀= 21,5 мм (ГОСТ 8509-57) с косынкой (см рис 1). Нагрузка осевая растягивающая переменная: Q_max=139*10³н, Q_max= 46*10³н.Сварная ручная дуговая электродом Э50А. Материал уголка и косынка – сталь Ст. 3.

Р е ш е н и е. 1. Для уменьшения длины перекрытия уголка с косынкой принимаем комбинированный угловой шов с нормальным сечением. Высоту катета шва принимаем равной толщине полки уголка, т. е. K = 8 мм.

2. Определяем допускаемое напряжение среза для сварного соединения.

По таблице 1 для угловых швов при переменной нагрузке

где

По табл. 2 для стали Ст. 3 .

Следовательно,

= 0,82*0,65*160 = 85 н/мм².

4. По формуле

определяем общую расчетную длину всех швов

5. Определяем размеры лобового и фланговых швов:

а) принимаем длину лобового шва равной ширине полки уголка

l_л= b =75 мм;

б) суммарная длина фланговых швов

l_фл= l_ш – l_л = 290 – 75 = 215 мм;

в) по формуле

длина флангового шва у пера уголка

По формуле

l_фл = l_1фл+ l_2фл

l_1фл = l_фл – l_2фл = 215 – 62 = 153 мм.

Вывод:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

Тема урока: Расчет резьбовых соединений на прочность при постоянной нагрузке.

Ц е л ь у р о к а : Сформировать:

- понимание студентами функций задач при изучении математики;

- систематизация и обобщение новых знаний;

- повторение и закрепление знаний на практике для формирования навыков;

Т и п у р о к а : Совершенствование знаний, умений, навыков.

П л а н р о б о т ы:

1.По исходным данным выполнить расчет резьбовых соединений на прочность при постоянной нагрузке.

2. Рассмотреть основные случаи расчета резьбовых соединений.

Основным критерием работоспособности резьбовых соединений является прочность. Все стандартные болты, винты и шпильки изготовляют равнопрочными на разрыв стержня по резьбе, на срез резьбы и на отрыв головки, поэтому расчет на прочность резьбового соединения обычно производится только по одному основному критерию работоспособности – прочности нарезанной части их стержня, при этом определяют внутренний диаметр резьбы d₁. длину болта, винта или шпильки принимают в зависимости от толщины соединяемых деталей. Остальные размеры деталей резьбового соединения (гайки, шайбы и др.) принимают в зависимости от диаметра резьбы по ГОСТу.

С л у ч а й 1. Болт нагружен осевой растягивающей силой Q. Гайка завинчивается, но не затягивается. Последующая затяжка болта отсутствует.

Этот случай встречается редко. Примером служит болтовое соединение грузовой скобы (рис. 1).

Расчет сводится к определению внутреннего диаметра резьбы d₁ из условия прочности на растяжение

откуда

где - допускаемое напряжение на растяжение для винта (болта);

s_т – предел текучести материала болта (стр. 52);

- требуемый (допускаемый) коэффициент запаса прочности.

Для болтов из углеродистой стали принимают = 1,5 ÷ 3. Большие значения коэффициента запаса принимают при невысокой точности определения величины нагрузки Q или для конструкции повышенной ответственности.

Пример 1. Определить диаметр резьбы болта для крепления скобы (см. рис. 3.32). Нагрузка статическая Q = 15 н/мм². Материал болта – сталь 20.

Р е ш е н и е . 1. Для стали 20 s_т = 245 н/мм². Для резьбового соединения принимаем = 2. По формуле

допускаемое напряжение при растяжении

2. Внутренний диаметр резьбы болта

= .

По таблице принимаем резьбу М16.

Номинальный диаметр резьбы d

Резьбы с крупным шагом

Резьбы с мелким шагом

Шаг резьбы

Внутренний диаметр

d₁

Средний диаметр

d₂

Шаг резьбы

Внутренний диаметр

d₁

Средний диаметр

d₂

1,5

1,75

2,5

3,5

8,376

10,106

13,835

17,294

20,752

26,211

31,670

9,026

10,863

14,701

18,376

22,051

27,727

33,402

1,25

1,5

8,647

10,647

14,376

18,376

21,835

27,835

32,752

9,188

11,188

15,026

19,026

22,701

28,701

34,051

Табл. 1

С л у ч а й 2. Винт нагружен осевой растягивающей силой Q. Гайка завинчивается, но не затягивается. Затягивание резьбы производится под нагрузкой.

Примером является резьбовое соединение винтовой стяжки (рис. 2).

В период подтягивания под нагрузкой винт испытывает растяжение и кручение. Напряжение растяжения от силы Q

Напряжение кручения от момента в резьбе

Отношение напряжений

Принимая для метрической резьбы с крупным шагом d₂ » 1,1 d₁, l = 2⁰30¢ и r¢ = 9⁰45¢, получим или . Эквивалентное напряжение для винта по гипотезе энергии формоизменения

Из этой формулы следует, что подтягивание резьбы под нагрузкой повышает расчетное напряжение в винте примерно на 30% по сравнению со случаем простого растяжения. Таким образом, расчет винта на совместное действие растяжения и кручения можно заменить расчетом на растяжение, принимая для расчета не внешнюю нагрузку Q,,а увеличенную с учетом кручения Q_расч.

Для метрических резьб

В данном случае внутренний диаметр резьбы винта определяется из условия прочности:

откуда

- допускаемое напряжение для винта (болта), определяемое по формуле

Требуемый (допускаемый) коэффициент запаса прочности принимают по таблице в зависимости от материала, характера нагрузки и диаметра резьбы d.

Значения требуемого коэффициента запаса прочности при расчете болтов с неконтролируемой затяжкой

сталь

Постоянная нагрузка

Переменная нагрузка

Диаметр резьбы d, мм

От 6

До 16

Св. 16

До 30

Св. 30

До 60

От 6

До 16

Св. 16

До 30

Св. 30

До 60

Углеродистая…

Легированная…

5-4

6,6-5

4-2,5

5-3,3

2,5-1,6

3,3

10-6,5

7,5-5

6,5

6,5-5

5-4

Табл. 2

В начале расчета ориентировочного задаются диаметром резьбы d и по табл. 2 для соответствующего интервала диаметров принимают. Если в результате расчета получится d, который не лежит в ранее принятом интервале диаметров, то задаются другим значением d и расчет повторяют.

Для силовых соединений не допускаются болты диаметром d меньше 8 мм, так как болты малых диаметров легко перетянуть при сборке до возникновения в них остаточных деформаций

Аналогичный расчет рекомендуется для затянутых болтов, не нагруженных внешней осевой нагрузкой.

При контролируемой затяжке (этот контроль можно осуществлять специальными динамометрическими ключами и др.) величина не зависит от диаметра резьбы d. В этом случае

для углеродистых сталей = 1,7–2,2;

« легированных» = 2-3.

Большие значения коэффициента запаса принимают при невысокой точности определения действующих нагрузок или для конструкции повышенной ответственности.

Пример 1. Винтовая стяжка имеет правую и левую метрическую резьбу с крупным шагом (см. рис. 2). Определить диаметр резьбы, если максимальная осевая нагрузка Q = 20 кн. Материал винтов – сталь 20. нагрузка постоянная.

Р е ш е н и е. 1. Для резьбового соединения с неконтролируемой затяжкой по табл. 2 принимаем = 3 в предложении, что наружный диаметр резьбы будет в интервале 16 ÷30 мм. Для стали 20 s_т = 245 н/мм². По формуле

допускаемое напряжение

2. Расчетная нагрузка

3. Внутренний диаметр резьбы винтов

По табл.1 принимаем резьбу М24.

С л у ч а й 3. Болтовое соединение нагружено поперечной силой Т.

В этом соединении (рис. 3) болт ставится с зазором в отверстия деталей.

При затяжке болта на стыке деталей возникают силы трения, которые препятствуют относительному их сдвигу. Внешняя сила Т непосредственно на болт не передается, поэтому его рассчитывают по силе затяжки V:

где k = 1,2 ÷ 2 – коэффициент запаса по сдвигу деталей;

f – Коэффициент трения. Для стальных и чугунных поверхностей

f = 0,15 ÷ 0,20.

i = 1 ÷ 2 – число стыков (на рис. 3.34 i = 2);

z – число болтов (в расчете задаются).

При затяжке болт работает на растяжение и кручение, следовательно,

Внутренний диаметр резьбы болта

Допускаемое напряжение определяется так же, как во 2 случае расчета.

В болтах, поставленных с зазором, усилие затяжки V значительно больше поперечной силы Т, что требует больших диаметров или большого числа их. Например, при k = 1,5, f = 0,15, i = 1 и z = 2 по формуле

Для разгрузки болтов от поперечной силы применяют различные замки, втулки, шрифты и др. (рис. 4).

Роль болта в таких случаях сводится к обеспечению плотного соприкосновения деталей.

Для уменьшения диаметров болтов применяются также точечные (калиброванные) болты, устанавливаемые в отверстия из-под развертки. Они могут быть цилиндрическими (рис. 5, а) или конусными (рис. 5, б). Эти болты работают на срез, как шрифты. Диаметр стержня болта d₀ при этом значительно меньше; его определяют из условия прочности на срез:

где i = 1 ÷ 2 – число плоскостей среза болта;

z – число болтов;

- допускаемое напряжение на срез стержня болта;

= (0,2 ÷ 0,3) σ_т.

Резьбу болта не рассчитывают, так как отсутствует затяжка резьбы. Соединения болтами, установленными в отверстия из-под развертки, имеют повышенную стоимость из-за сравнительной сложности технологии изготовления (рис. 4).

Пример 1. Стальные полосы, растянутые усилием Т = 2,8 кн, крепятся при помощи двух болтов, выполненных из стали А12 (рис. 3.)

Определить диаметр болтов. Нагрузка постоянная.

Р е ш е н и е . 1. Для болтового соединения с неконтролируемой затяжкой по табл.2 принимаем = 3,5 в предположении, что наружный диаметр резьбы будет в интервале 16 ÷ 30 мм. Для стали А12 σ_т = 240 н/мм². Допускаемое напряжение растяжения

2. Принимаем: коэффициент запаса по сдвигу листов k = 1,6 и коэффициент трения f = 0,16.

Необходимое усилие затяжки болта

= .

3. По формуле расчетное усилие затяжки болта

= 1,3*7 = 9,1 кн.

4. Внутренний диаметр резьбы

= .

По табл.1 принимаем резьбу М16.

С л у ч а й 4. Болтовое соединение предварительно затянуто при сборке и нагружено внешней осевой растягивающей силой (рис. 6).

Этот случай соединения часто встречается в машиностроении для крепления крышек цилиндров, подшипниковых узлов и т. п.

Обозначим: V₀ – сила предварительной затяжки болта при сборке; Q – внешняя растягивающая нагрузка, приходящаяся на один болт.

Предварительная затяжка болта (при сборке) должна обеспечить плотность соединения и отсутствие, как говорят, раскрытия стыка после приложения внешней (рабочей) нагрузки Q.

В результате предварительной затяжки болта силой V₀(рис) он удлинится на величину , а детали стыка сожмутся на .

При действии на предварительно затянутый болт внешней растягивающей нагрузки Q болт дополнительно удлинится на величину , а сжатые детали частично разгрузятся и восстановят свою толщину на , причем, в пределах до раскрытия стыка,

Действие сжатых деталей на болт уменьшится и составит V₁, которое называется о с т а т о ч н ы м у с и л и е м з а т я ж к и.

Полное усилие, действующее на болт,

R = V₁+Q.

Задача об определении результирующей нагрузки болта статически неопределима и решается с помощью уравнения перемещений.

По закону Гука, упругие удлинения (укорочения) прямо пропорциональны нагрузкам, т. е.

где β_б и β_д – коэффициенты податливости соответственно болта и соединяемых деталей, численно равные изменениям длин под действием силы в 1 н*.

Подставляя значения и в уравнение , получим

откуда

полное усилие, растягивающее болт,

R = V₁+Q =() + Q =

Величина называется к о э ф ф и ц и е н т о м в н е ш н е й н а -

г р у з к и. Следовательно, полное усилие

В большинстве случаев расчет коэффициентов податливости β_б и β_д связан с большими трудностями. Опыт расчетов и эксплуатации конструкций показывает, что коэффициент χ обычно небольшой.

При приближенных расчетах принимают:

для соединений стальных и чугунных деталей с упругими прокладками (асбест, паронит, резина и др.) χ = 0,4 ÷ 0,5.

для соединений стальных и чугунных деталей, без упругих прокладок χ = 0,2 ÷ 0,5.

При уточненных расчетах определяют значения β_б и β_д, а затем χ.

При определении β_дпользуются методом, по которому предполагается, что деформации от гайки и головки болта распространяются в глубь соединяемых деталей по конусу (рис 7),

образующие которого наклонены под углом α. Рекомендуется принимать tg α = 0,5. Наружный диаметр меньшего основания конуса равен диаметру D₁ кольцевой опорной поверхности гайки, головки болта, пружиной шайбы и др.

Для упрощения расчетов конус заменяют полым цилиндром, наружный диаметр D которого равен среднему диаметру конуса. В простейшем случае для соединения, показанного на рисунке (а) при болте постоянного сечения и однородных деталях

и ,

где l_б– длина деформируемой части стержня болта;

h_д- суммарная толщина деталей; h_д ≈ l_б;

Е_би Е_д - дули продольной упругости материалов;

F_б и F_д- площади сечения болта и деталей.

Для соединения, изображенного на рисунке (а)

и D = D₁+0,5 h_д tg α.

Формула (в) справедлива, пока остаточная сила предварительной затяжки соединяемых деталей V₁ (рис. 3.37,в) не упадет до нуля, в противном случае начнется раскрытие стыка деталей и, следовательно, плотность соединения нарушится.

Минимальную силу предварительной затяжки болта V₀_min, обеспечивающую нераскрытие стыка деталей, определяет по предельному случаю при V₁= 0 по формуле

0 =

но

следовательно

V₀_min = (1 – χ) Q.

Практически предварительная затяжка болта V₀ должна быть больше V₀_min. Из условия сохранения плотности стыка соединяемых деталей принимают

V₀= K_зат (1 – χ) Q,

Где К_зат – коэффициент запаса предварительной затяжки; при постоянной нагрузке К_зат = 1,25 ¸ 2; при переменной нагрузке К_зат = 2 ¸ 4.

Заменив в выражении заменив значение V₀ по зависимости, получим окончательную формулу для определения полного усилия R, действующего на затянутый болт, после приложений внешней нагрузки Q:

при расчете болта на прочность необходимо учесть влияние крутящего момента при затяжке. При этом возможны два варианта:

Вариант I. Болт затянут предварительно, до приложения внешней нагрузки. Дополнительно затяжка болта под нагрузкой отсутствует.

В этом случае расчетное усилие болта с учетом влияния кручения болта при затяжке

Внутренний диаметр резьбы болта подсчитывают по формуле

при этом допускаемый коэффициент запаса прочности [п_т] принимают по табл. 2.

Пример 1. Крышка подшипникового узла нагружена осевым усилием вала А = 12,5 кн (рис. 8). Определить число болтов М12, выполненных из стали 25. Возможны небольшие кол5ебания нагрузки за счет изменения передаваемой мощности. Между крышкой и корпусом имеется набор стальных регулировочных прокладок. Дополнительная затяжка болтов при рабочем режиме недопустима. Материал крышки – стальное литье. Размер h = 8 мм

¬ рис. 8

Решение. 1. Для стали 25 s_т = 275 н/мм². По табл. 2 при постоянной нагрузке принимаем [п_т] = 4,5. Допускаемое напряжение

2. По табл. 1 для М12 d₁ = 10,106 мм.

3. Нагрузка на один болт

4. Болты в данном соединении должны быть поставлены с предварительной затяжкой при сборке. Упругие прокладки отсутствуют. Согласно рекомендациям принимаем: c = 0,25; при постоянной нагрузке К_зат = 2. Расчетное усилие болта

По формуле

определим число болтов

откуда

Принимаем z = 6.

Проследим, изменится ли расчетное число болтов в данном примере, если коэффициент внешней нагрузки c определить расчетом.

Согласно данным болт, крышка и регулировочные прокладки соединения стальные. Прием для стали Е = 2,1*10⁵ н/мм². По ГОСТ 6402-70 пружинная шайба для болта М12 имеет наружный диаметр D₁ = 19,2 мм и внутренний диаметр d₀ = 12,2 мм.

Согласно рис. (3.38 б) наружный диаметр цилиндра деформируемой зоны крышки

По формулам

определим коэффициенты податливости болта b_б и крышки вместе с прокладками b_д при l_б=h_д= h:

коэффициент внешней нагрузки

Расчетное значение коэффициента c = 0,26 мало отличается от ранее принятого значения c = 0,25. Очевидно, что при расчетном значении c также получится число болтов z = 6.

В а р и а н т II. Болт затянут предварительно, до приложения внешней нагрузки. Возможна дополнительная затяжка болта при действии полной внешней нагрузки.

В этом случае расчетное усилие болта с учетом влияния кручения при дополнительной затяжке

Внутренний диаметр резьбы находят по формуле

Допускаемое напряжение на расстояние болта определяют по формуле

принимая допускаемый коэффициент запаса прочности [п_т] принимают по табл. 2.

Пример 1. Крышка газового резервуара привернута 12.ю шпильками (рис. 9) из стали 35. Материал прокладки – асбест. Возможна дополнительная затяжка шпилек при рабочем режиме. Максимальная сила давления газа на крышку Q₁ = 30 кн. Определить диаметр резьбы шпилек при переменной нагрузке.

Р е ш е н и е. 1. Сила давления газа, приходящаяся на одну шпильку,

2. Для стали 35 s_т = 314 н/мм. Предполагая, что диаметр резьбы шпилек будет в интервале 16 ¸ 30 мм, по табл. 2 принимаем при переменной нагрузке [п_т] = 6,5. Допускаемое напряжение

3. Для герметичности соединения шпильки поставлены с предварительной затяжкой при сборке, причем возможна дополнительная затяжка их при действии полной рабочей нагрузки.

Учитывая упругую асбестовую прокладку в соединении, принимаем c = 0,45. При переменной нагрузке К_зат = 3. По формуле

4. Внутренний диаметр резьбы

По табл. 1 принимаем резьбу М16, у которой d₁ = 13,835 мм.

С л у ч а й 5. Болтовое соединение предварительно затянуто при сборке и нагружено внецентренной растягивающей силой Q.

В этом соединении применяют болты с костыльной головкой (рис. 10, а). Расчет соединения ведется по расчетной силе Q_расч, которая определяется по формуле

Силу Q_расч приводят к паре сил (Q_расч = Q_расч) и силе Q ¢_расч (рис. 10, б)

Напряжения растяжения от силы Q ¢_расч = Q_расч

Напряжения изгиба от пары сил (Q_расч, = Q ¢_расч) при эксцентрисете головки е

Наиболее суммарное напряжение в болте

Для определения диаметра резьбы болта задаются величиной эксцентриситета е. Так, например, при е = 0,5 d₁, внутренний диаметр резьбы болта

В данном случае диаметр d₁ в 2,24 раза больше, чем для болта с нормальной головкой. По этой причине болты с эксцентричной (костыльной) головкой применяются редко.

При конструировании любого резьбового соединения принимают меры, устраняющие прекосы опорных поверхностей деталей под гайки и головки цекуют, приливы (бобышки) фрезеруют, а в отдельных случаях применяют косые шайбы (рис. 11).

Вывод:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4.

Тема урока: Расчет фрикционных передач.

Ц е л ь у р о к а: Сформировать:

- понимание студентами функций задач при изучении математики;

- систематизация и обобщение новых знаний;

- повторение и закрепление знаний на практике для формирования навыков.

Т и п у р о к а: Совершенствование знаний, умений, навыков.

П л а н р а б о т ы:

По исходным данным выполнить расчет фрикционных передач.

Исходные данные:

1. Передаваемая мощность N или вращающий момент М на ведущем или на ведомом катке.

2. Угловые скорости катков w₁ и w₂ или одна из них и передаточное число i.

3. Условия работы.

Последовательность расчета:

1. Выбирают материалы катков в зависимости от условий работы и для менее прочного материала принимают допускаемое напряжение [s]_к или допускаемую нагрузку на единицу длины контактной линии [q].

2. Задаются расчетными коэффициентами К и y_А.

3. Определяют требуемое межосевое расстояние передачи А из условия контактной прочности или из условия ограничения погонной нагрузки.

4. Определяют геометрические размеры катков, уточняя фактическое межосевое расстояние А¢.

5. Полученные размеры передачи проверяют по контактным напряжениям s_к или по нагрузке на единицу длины контактной линии q, сравнивая их с допускаемой величиной [s]_к или [q]. Проверка нужна не только при уменьшении размеров, полученных при проектном расчете, но и для выявления вычислительных ошибок.

Разрешается недогрузка передачи до 10% и перегрузка до 5%.

Задание 1. Рассчитать закрытую фрикционную цилиндрическую передачу с гладким ободом для привода винтового толкателя. Вращающий момент на ведущем катке М₁ = 46,4*10³ н*мм. Передаточное число передачи i = 3.

Р е ш е н и е. 1. Для обоих катков закрытой передачи принимаем сталь 40Хн с поверхностной закалкой, для которой [s]_к = 800 н/мм² и Е = 2,1*10⁵ н/мм².

По формуле

приведенный модуль упругости (оба катка стальные) Е_пр= Е₁ = Е₂ = 2,1*10⁵ н/мм².

По табл. 1 для закрытой передачи (при работе в масляной ванне) f = 0,05.

материал

Условия работы

Сталь по стали……………..

Сталь по стали или чугуну, чугун по чугуну…………….

Текстолит или фибра по чугуну или стали…………...

Сталь по бронзе…………….

В масле

В сухую

периодическая смазка

0,04 – 0,05

0,15 – 0,18

0,20 – 0,25

0,08 – 0,10

Табл. 1

2. Для передачи принимаем

3. По формуле

4. По формулам

геометрические размеры передачи:

а) диаметр катков

принимаем D₁ = 90 мм.

D₂ = D₂i = 90*3 = 270 мм.

б) фактическое межосевое расстояние

в) ширина обода катков

b₂ = y_AA¢ = 0,3*180 = 54 мм. Принимаем b₂ =55 мм, b₁ = 60 мм.

5. По формуле

полученные размеры передачи проверяем по величине контактных напряжений

Недогрузка передачи составляет 5,6%, что допустимо.

1. Окружное усилие

По формуле

прижимное усилие

В данном примере прижимное усилие Т больше окружного усилия Р

что является крупным недостатком фрикционных передач.

Вывод:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №5.

Тема урока: Расчет на прочность открытых цилиндрических прямозубых передач.

Ц е л ь у р о к а: Сформировать:

- понимание студентами функций задач при изучении математики;

- систематизация и обобщение новых знаний;

- повторение и закрепление знаний на практике для формирования навыков.

Т и п у р о к а: Совершенствование знаний, умений, навыков.

П л а н р а б о т ы:

По исходным данным выполнить расчет на прочность открытых цилиндрических прямозубых передач.

Исходные данные:

1. Мощность на валу шестерни N₁.

2. Угловые скорости шестерни w₁ и колеса w₂.

3. Условия работы.

Последовательность расчета:

1. Определяют передаточное число передачи i.

2. Задаются числом зубьев шестерни z₁ ³ 17 и определяют число зубьев колеса z₂.

3. Уточняя передаточное число i¢ и угловую скорость колеса w₂.

4. Определяют внешний момент на шестерне М₁.

5. Выбирают материалы для шестерни и колеса

твердость	Марки сталей
≤НВ 350	шестерни	45	50	55	50Г	35Х, 40Х	40Х
≤НВ 350	колеса	35, 40Л	35, 45Л	45, 55Л	45, 50	50, 55	35Х, 40Х

Табл. 1

Марка стали	Вид заготовки	термообработка	Диаметр, заготовки, мм	Механические характеристики, н/мм²			твердость		Область применения
Марка стали	Вид заготовки	термообработка	Диаметр, заготовки, мм	σ_в	σ_т	σ-₁	НВ	HRC	Область применения
40Л	литье	нормализация	любой	520	294	224	147	-	Колеса малонагруженных передач
45	поковка	То же	До 100 100-300 300-500	589 569 550	294 284 274	253 245 236	167-217	-	Колеса передач общего шиностроения
55	То же	„	До 100 100-300 300-500	647 628 608	324 314 304	278 270 262	185-229	-	Шестерни передач общего машиностроения при v ≤ 8 м/сек
50Г	„	„	До 150 150-400	637 608	363 314	274 262	190-229	-	Шестерни и колеса передач общего машиностроения при v ≤ 8 м/сек
40Х	”	”	До 60 100-200 200-300	981 765 736	785 490 490	437 362 352	200-230	-	Шестерни и колеса передач общего назначения при v ≤ 8 м/сек
40Х	”	улучшение	До 120	948	686	480	257-550	-	То же
40Х	”	Поверхностная закалка	любой	736	490	351	500-550	51-55	”

Табл. 2

с учетом требуемых габаритов передачи и условий работы.

6. Определяют число циклов нагружения N_ц зубьев шестерни и колеса за весь срок службы передачи

N_ц = 572,4wT,

а затем коэффициенты режима нагрузки k_ри

7. Определяют допускаемые напряжения изгиба [s]_и

и [s]_{и пред}

для материалов шестерни и колеса.

8. По числу зубьев z₁и z₂ принимают коэффициенты формы зуба у₁ и у₂

z или z_э	18	20	22	24	26	28	30	35	40
у или y_э	0,354	0,372	0,383	0,395	0,404	0,411	0,416	0,431	0,442
z или z_э	45	50	65	80	100	150	300	рейка
у или y_э	0,451	0,457	0,472	0,478	0481	0,490	0,496	0,523

Табл.3

9. Определяют сравнительные характеристики прочности зубьев шестерни колеса на изгиб у[s]_и. Расчет передачи ведут по менее прочному зубу.

10. Задаются расчетными коэффициентами нагрузки К, износа у, ширины обода колеса y_т.

11. Определяют модуль зацепления из условия прочности на изгиб

и принимают ближайшее большее значение по ГОСТ 9563-60 по табл. 4

ряды

Модули, мм

1,0

1,125

1,25

1,375

1,5

1,75

2,25

2,5

2,75

3,5

4,5

5,5

Табл. 4

12. Определяют геометрические размеры передачи. Диаметры делительных окружностей d_д1 и d_д2 вычисляются с точностью до 0,01 мм.

13. Определяют окружную скорость v зубчатых колес и назначают степень точности их изготовления

Вид передачи	Вид зубьев	Степень точности
		6-я	7-я	8-я	9-я
		Предельная окружная скорость v, м/сек
Цилиндрическая	Прямые косые	15 30	10 15	6 10	3 6
коническая	прямые	9	6	4	2,5

Табл. 5

14. Уточняют коэффициент нагрузки К¢ по формуле

К¢ =К_дин К_{кц .}

15. Определяют расчетные напряжения σ_и в основании зуба шестерни и колеса при номинальной нагрузке и сравнивают с [s]_и. В формулу

подставляют уточненное значение К¢. Допускается перегрузка до 5%, а недогрузка не более 10%.

16. Определяются расчетные напряжения изгиба s_{и пик} в зубьях шестерни колеса при кратковременном действии пиковой нагрузки и сравнивают с [s]_{и пред}

Если условия прочности не выполняются, то либо увеличивают модуль, либо изменяют материалы или режимы термообработки и расчет повторяют.

Задание 1. Рассчитать открытую цилиндрическую прямозубую передачу привода автоматической линии (рис. 1).Мощность, развиваемая электродвигателем, N_дв= 6,1 квт при нормальной скорости w_дв = 99,4 рад/сек. Передаточное число редуктора i_ред = 2,5, к. п. д. h_ред = 0,96. Нагрузка нереверсивная, близкая к постоянной. В период пуска кратковременно действующая пиковая нагрузка в 1,5 раза больше номинальной. Срок службы привода Т = 21*10³ ч. Угловая скорость тихоходного вала привода w_т = 10 рад/сек.

Р е ш е н и е. 1. Передаточное число привода

придаточное число открытой зубчатой передачи (ориентировочно)

Угловая скорость шестерни открытой передачи

2. Число зубьев колес. Для шестерни принимаем z₁ = 20, тогда

z₂ = z₁i = 20*3,97 = 79,4.

Принимаем z₂ = 80.

3. Фактические передаточное число и угловая скорость колеса открытой передачи

4. Мощность на валу шестерни

Вращающий момент на шестерне

5. Материалы для шестерни и колеса. Учитывая, что передача открытая, тихоходная и по условию задачи габариты ее не оговариваются, принимаем по табл. 1 и табл. 2 при твердости < НВ350 следующее сочетание марок сталей:

для шестерни – сталь 45; термообработка – нормализация; s_т = 294 н/мм²; s_-1=253 н/мм² (считаем, что диаметр заготовки шестерни до 100 мм); твердость НВ167-217;

для зубчатого колеса – сталь 40Л, термообработка – нормализация; s_т = 294 н/мм²; s_-1=253 н/мм²; твердость НВ147. При выборе материалов учтено, что твердость зубьев шестерни должна быть на (25 ¸ 50) НВ больше твердости зубьев колеса.

6. Число нагружения зубьев за весь срок службы формулировка поставленного вопроса

N_ц = 572,4wT,

у шестерни N_ц1 = 572,4w₁Т = 572,4*39,7*21*10³ = 47,7*10⁷;

у колеса N_ц2 = 572,4w₂Т = 572,4*9,9*21*10³ = 11,9*10⁷.

Коэффициент режима нагрузки k_ри. Подставляя в формулу

значения N_ц1, N_ц2 и учитывая затем рекомендуемое минимальное значение коэффициента режима нагрузки k_ри, получаем k_ри = 1.

7. Допускаемое напряжение изгиба в зубьях при одностороннем нагружении для материала шестерни

где k_s = 1,8 и [п] = 1,5;

для материала колеса

где k_s = 1,8 и [п] = 1,8.

Допускаемое предельное напряжение изгиба для материала шестерни и колеса [s]_и _пред = 0,8s_т= 0,8*294 = 235 н/мм².

8. Коэффициент формы зуба:

шестерни у₁ = 0,372 при z₁ = 20;

колеса у₂ = 0,478 при z₂ = 80.

9. Сравнительная характеристика прочности зубьев на изгиб:

шестерни у₁[s₀]_и1= 0,372*140 = 52 н/мм²,

колеса у₂ [s₀]_и2= 0,448*104 = 49,7 н/мм².

Расчет передачи на прочность необходимо вести по колесу, зубья которого менее прочны на изгиб.

10. Принимаем расчетные коэффициенты:

а) коэффициент нагрузки при консольном расположении колес К = 1,5;

б) коэффициент износа g = 1,8;

в) коэффициент ширины обода колеса y_т = 15.

11. Модуль зацепления из условия прочности зубьев колеса на изгиб

по ГОСТ 9563-60 принимаем т = 4 мм.

12. Основные геометрические размеры передачи:

а) диаметры длительных окружностей

б) диаметр окружностей выступов

полученный D_e₁ соответствует предварительно принятому диаметру заготовки шестерни до 100 мм;

в) межосевое расстояние

г) ширина обода:

колеса b₂= y_тm= 15*4 = 60 мм;

шестерни b₁ = b₂ + 5 мм = 60 + 5 = 65 мм, при этом соблюдается условие b₂ ≤ d_д1.

13. Окружная скорость зубчатых колес

по табл. 5 принимаем 9-ю степень точности зубчатого зацепления.

14. Уточняем коэффициент нагрузки К¢

К¢ =К_дин К_{кц .}

По табл. 6 динамический коэффициент нагрузки К_дин= 1,4.

Вид передачи

Степень точности

Окружная скорость колес v, м/сек

1-3

3-8

8-12

12-18

18-23

К_дин

Прямозубая

1,2

1,3

1,4

1,2

1,4

1,5

1,3

1,5

косозубая

1,1

1,25

1,05

1,15

1,35

1,15

1,25

1,3

1,4

Табл. 6

При постоянной нагрузке коэффициент нагрузки К_кц = 1.

К¢ =К_дин К_кц= 1,4*1 = 1,4.

15. Расчетные напряжения изгиба в основании ножки зуба при номинальной нагрузке:

шестерни

колеса

Недогрузка зуба колеса составляет

что допустимо.

16. Расчетные напряжения изгиба в основании зуба при перегрузке в период пуска

у колеса

следовательно прочность зубьев обеспечена.

Вывод:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №6.

Тема урока: Расчет на прочность закрытых цилиндрических прямозубых передач.

Ц е л ь у р о к а: Сформировать:

- понимание студентами функций задач при изучении математики;

- систематизация и обобщение новых знаний;

- повторение и закрепление знаний на практике для формирования навыков.

Т и п у р о к а: Совершенствование знаний, умений, навыков.

П л а н р а б о т ы:

По исходным данным выполнить расчет на прочность закрытых цилиндрических прямозубых передач.

Исходные данные:

1. Мощность на валу шестерни N₁.

2. Угловые скорости шестерни w₁ и колеса w₂.

3. Условия работы.

Последовательность расчета:

1. Определяют передаточное число передачи i.

2. Определяют вращяющий момент на валу шестерни М₁.

3. Выбирают материалы колес и назначают термообработку

твердость	Марки сталей
≤НВ 350	шестерни	45	50	55	50Г	35Х, 40Х	40Х
≤НВ 350	колеса	35, 40Л	35, 45Л	45, 55Л	45, 50	50, 55	35Х, 40Х

Табл. 1

Марка стали	Вид заготовки	термообработка	Диаметр, заготовки, мм	Механические характеристики, н/мм²			твердость		Область применения
Марка стали	Вид заготовки	термообработка	Диаметр, заготовки, мм	σ_в	σ_т	σ-₁	НВ	HRC	Область применения
40Л	литье	нормализация	любой	520	294	224	147	-	Колеса малонагруженных передач
45	поковка	То же	До 100 100-300 300-500	589 569 550	294 284 274	253 245 236	167-217	-	Колеса передач общего шиностроения
55	То же	„	До 100 100-300 300-500	647 628 608	324 314 304	278 270 262	185-229	-	Шестерни передач общего машиностроения при v ≤ 8 м/сек
50Г	„	„	До 150 150-400	637 608	363 314	274 262	190-229	-	Шестерни и колеса передач общего машиностроения при v ≤ 8 м/сек
40Х	”	”	До 60 100-200 200-300	981 765 736	785 490 490	437 362 352	200-230	-	Шестерни и колеса передач общего назначения при v ≤ 8 м/сек
40Х	”	улучшение	До 120	948	686	480	257-550	-	То же
40Х	”	Поверхностная закалка	любой	736	490	351	500-550	51-55	”

Табл. 2

4. Определяют число циклов нагружения колес N_ц

N_ц = 572,4wT,

И вычисляют коэффициенты режима нагрузки k_рк и k_ри

5. Определяют допускаемые напряжения:

а) контактные [s]_к и [s]_{и пред} для материала колеса, как менее прочного;

б) изгиба [s]_к и [s]_{и пред} для материалов шестерни и колеса.

6. Задаются расчетными коэффициентами: нагрузки К и ширины обода ψ_А.

7. Определяют минимальное межосевое расстояние А из условия контактной прочности

Для стандартных редукторов А округляют до ближайшего значения по ГОСТ 2185-66.

8. Задаются модулем зацепления т = (0,01 ¸ 0,02) А по ГОСТ 9563-60

ряды

Модули, мм

1,0

1,125

1,25

1,375

1,5

1,75

2,25

2,5

2,75

3,5

4,5

5,5

Табл. 3

Уменьшение модуля зацепления т и соответствующее увеличение z способствует уменьшению удельного скольжения, что увеличивает надежность против заедания. При малом т увеличивается коэффициент перекрытия e, уменьшаются шум и трудоемкость нарезания колес, но прочность зубьев на изгиб понижается.

9. Определяют суммарное число зубьев z_с, а затем число зубьев шестерни z₁ и колеса z₂.

10. Уточняют передаточное число i¢.

11. Определяют геометрические размеры передачи. Диаметры делительных окружностей определяют с точностью до 0,01 мм.

12. Определяют окружную скорость колес v и назначают степень точности.

Вид передачи	Вид зубьев	Степень точности
		6-я	7-я	8-я	9-я
		Предельная окружная скорость v, м/сек
Цилиндрическая	Прямые косые	15 30	10 15	6 10	3 6
коническая	прямые	9	6	4	2,5

Табл. 4

13. Уточняют коэффициент нагрузки К¢.

14. Определяют расчетные контактные напряжения s_к в зоне зацепления зубьев. В формулу

подставляют уточненные значения А¢, i¢, К¢. Допускается недогрузка не более 10% и перегрузка до 5%. Если условие прочности не выполняется, то либо увеличивают степень точности изготовления колес, уменьшая тем самым коэффициент нагрузки К¢, либо увеличивают ширину обода колеса b₂, не выходя за пределы рекомендуемых значений y_А. Если эти меры не дадут должного эффекта, то либо увеличивают межосевое расстояние, либо назначают другие материалы колес или другую термообработку и расчет повторяют.

15. По табл. 5 принимают коэффициенты формы зуба у₁ и у₂ и определяют расчетные напряжения изгиба s_и в основании зуба шестерни и колеса

Износом зубьев в закрытой передаче пренебрегают (g = 1). Если s_и > [s]_и, о задаются новым значением модуля т, соответственно изменяя z₁ и z₂, и повторяют проверочный расчет передачи на изгиб. При этом межосевое расстояние А на изменяется, а следовательно, не нарушается контактная прочность передачи.

16. Определяют расчетные контактные s_{к пик} и s_{и пик} напряжения при перегрузках по формулам

Если условия прочности не выполняются, то назначают другие материалы или другие режимы термообработки и весь расчет повторяют.

Пример 1. Рассчитать закрытую прямозубую передачу одноступенчатого цилиндрического редуктора привода ленточного транспортера. Мощность на валу шестерни N₁ = 4,9 квт при w₁ = 99,3 рад/сек. Угловая скорость колеса w₂ = 24,8 рад/сек. Срок службы передачи Т = 21*10³ ч. нагрузка нереверсивная, постоянная. В период пуска кратковременная (пиковая) нагрузка в 1,8 раза больше номинальной.

Р е ш е н и е. 1. Передаточное число редуктора

2. Вращающий момент на валу шестерни редуктора

3. Материалы для шестерни и колеса. По условию примера габариты редуктора не оговариваются. По табл. 1 выбираем для шестерни сталь 50Г, а для колеса – сталь 45.

4 и 5. По данным допускаемые напряжения: для материала колеса [s]_к = 459 н/мм²; [s]_{к пред}; [s₀]_{и 2} = 136 н/мм²; [s₀]_{и 2 пред} = 227 н/мм²; для материала шестерни [s₀]_{и 1} = 152 н/мм²; [s₀]_{и 1 пред} = 290 н/мм².

6. Принимаем расчетные коэффициенты:

а) коэффициент нагрузки при симметричном расположении колес К = 1,3;

б) коэффициент ширины обода колеса y_А = 0,3.

7. Межосевое расстояние передачи

принимаем А = 160 мм.

8. Модуль зацепления

т = (0,01 ¸ 0,02) А = (0,01 ¸ 0,02)*160 = 1,60 ¸ 3,20 мм.

Из экономических соображений принимаем по ГОСТ 9563-60 т = 2 мм.

9. Суммарное число зубьев

числа зубьев шестерни и колеса:

10. Фактическое передаточное число редуктора

11. Основные геометрические размеры передачи:

а) диаметры делительных окружностей:

б) фактическое межосевое расстояние:

в) диаметр окружностей выступов:

Полученные D_e₁ и D_e₂ соответствуют предварительно принятым диаметрам заготовок.

г) ширина обода:

колеса

b₂= y_АА¢ = 0,3*160 = 48 мм;

принимаем b₂ = 50 мм;

шестерни b₁ = b₂ + 5 мм = 50 + 5 = 55 мм.

Условие b₁ £ d_el соблюдено.

12. Окружная скорость зубчатых колес

по табл. 4 принимаем 8-ю степень точности изготовления зубчатых колес.

13. Уточненный коэффициент нагрузки К¢.

по табл. 5 и 6 принимаем

Вид передачи

Степень точности

Окружная скорость колес v, м/сек

1-3

3-8

8-12

12-18

18-23

К_дин

Прямозубая

1,2

1,3

1,4

1,2

1,4

1,5

1,3

1,5

косозубая

1,1

1,25

1,05

1,15

1,35

1,15

1,25

1,3

1,4

Табл. 5

Расположение колес относительно подшипников

Степень точной передачи

Отношение (для конических колес )

0,4

0,8

1,0

1,2

1,6

Симметричное

1,25

1,15

1,25

1,1

1,2

1,3

1,15

1,25

1,35

1,25

1,3

1,45

1,3

1,4

1,5

Несимметричное или консольное

1,2

1,3

1,4

1,3

1,4

1,55

1,35

1,5

1,6

1,35

1,5

1,6

1,4

1,55

1,65

Табл. 6

К¢ =К_дин К_кц = 1,5*1 = 1,5.

14. Расчетные контактные напряжения для рабочей поверхности зубьев

недогрузка составляет

, что допустимо.

15. Коэффициенты формы зуба по табл. 7 (интерполированием*):

z или z_э	18	20	22	24	26	28	30	35	40
у или y_э	0,354	0,372	0,383	0,395	0,404	0,411	0,416	0,431	0,442
z или z_э	45	50	65	80	100	150	300	рейка
у или y_э	0,451	0,457	0,472	0,478	0481	0,490	0,496	0,523

Табл. 7

Для шестерни z₁ = 32, у₁ = 0,422.

Для колеса z₁ = 128, у₁ = 0,483.

Расчетные напряжения изгиба в зубьях (g = 1): шестерни

колеса

т. е. Прочность зубьев на изгиб обеспечена.

16. Расчетные предельные напряжения в период пуска: а) контактные для рабочих поверхностей зубьев

б) изгиба в основании ножки зуба шестерни

колеса

что допустимо.

Вывод:

Приложение

Некоторые сведения из элементарной математики

Пропорция ; 1) ad = bc; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Действия со степенями:

1) ; 2) ;

3) , например ;

4) , например ;

5) , например ;

6) , например .

Действия с корнями:

1) ; 2) ;

3) , например ; 4) .

Вычисления с приведением чисел к стандартному виду:

1) ; 2) ,

например .

Плоский угол: 1 рад » 57,3°.

Круг, окружность:

1) площадь круга ;

2) площадь кругового кольца ;

3) площадь кругового сектора ; 4) длина окружности ;

5) длина дуги кругового сектора .

Здесь r, d – радиус и диаметр круга, сектора; a - центральный угол сектора; R, r и D, d – наружный и внутренний радиусы и диаметры кольца.

Круговой цилиндр:

1) площадь поперечного сечения ;

2) площадь продольного диаметрального сечения ;

3) боковая поверхность .

Здесь r, d – радиус и диаметр круга; h – высота цилиндра.

Треугольник косоугольный:

1) теорема косинусов ;

2) теорема синусов .

Здесь a,b,g и a, b, c – соответственно углы и их противолежащие стороны.

Треугольник прямоугольный:

1) теорема Пифагора ;

2) тригонометрические функции ; ; ;

3) нахождение катетов: ; ; ;

4) нахождение гипотенузы: .

Здесь a и a, b – соответственно острый угол и его противолежащий и прилежащий катеты; с – гипотенуза.

Формулы приведения тригонометрических функций:

1) ; 2) ; 3) .

Скачать материал

Скачать материал "Методические указания к практическим заняниям по Технической механике"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 663 776 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Документ аттестации кабинета "Паспорт кабинета физики"

08.07.2017
1074
4

pptx

Презентация по обмену опытом на тему " Работа кабинета физики"

08.07.2017
489
0

pptx

Презентация по обмену опытом на тему "Работа кружка робототехники"

08.07.2017
550
12

pptx

Презентация по физике на тему " Атомная энергетика" (9 класс)

07.07.2017
1788
25

rar

Разработка урока физики по теме "Механические и электромагнитные колебания. Колебательные системы"

07.07.2017
2056
22

rar

Урок физики на тему "Строение атома"

07.07.2017
641
0

pptx

Проект проведения "Недели физики"

06.07.2017
852
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 08.07.2017 3912
- DOCX 30.4 мбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Ключников Александр Валериевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Ключников Александр Валериевич
- На сайте: 6 лет и 10 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 4001
- Всего материалов: 1