Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания к проведению ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ по дисциплине ТВ и МВ

Методические указания к проведению ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ по дисциплине ТВ и МВ


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Согласно учебному плану данная дисциплина проводится в 4 и 5 семестрах (II и III курса). По итогам изученной дисциплины сдается экзамен. На изучение данной дисциплины отводится 120 часов, из которых на практическую работу отводится 30 часов

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

Применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач;

Пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении статистических задач;

Применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

Основные понятия комбинаторики;

Основы теории вероятностей и математической статистики;

Основные понятия теории графов.

ОК-1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК-2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК-3. Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.

ОК-4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК-5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.

ОК-6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК-7. Ставить цели, мотивировать деятельность подчиненных, организовывать и контролировать их работу с принятием на себя ответственности за результат выполнения заданий.

ОК-8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознано планировать повышение квалификации.

ОК-9. Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.

ОК-10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

ПК-1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

ПК-1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК-2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК-3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.

Перечень заданий к практической работе.

Раздел 1. «Основные понятия комбинаторики» (4 часа)

Практическая работа №1. Решение задач на расчёт количества выборок. Определение типа комбинаторного объекта (тип выборки); Применение расчетных формул для каждого типа выборки

Практическая работа №2. Решение задач на расчет сложных выборок Применение основных теорем комбинаторики. Применение стандартных методов и моделей к решению вероятностных и статистических задач;


Раздел 2. «Основы теории вероятностей» (8 часов).

Практическая работа №3. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности. Методика вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием элементов комбинаторики.

Практическая работа №4. Вычисление вероятностей сложных событий. Методика вычисления вероятности суммы совместимых событий. Нахождение условных вероятностей. Представление сложных событий через элементарные события с помощью операций над событиями.

Практическая работа №5. Вычисление полной вероятности события. Вычисление вероятности события по формуле полной вероятности. Оценка вероятности гипотез с помощью формул Байеса.

Практическая работа №6. Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли. Методика вычисления вероятности событий в схеме Бернулли

Раздел 3. «Дискретные случайные величины» (4 часа).

Практическая работа №7. Решение задач на запись распределения ДСВ. Методика записи распределения функции от одной ДСВ. Методика записи распределения функции от двух независимых ДСВ.

Практическая работа №8. Вычисление характеристик ДСВ Методика вычисления характеристик ДСВ; характеристик функций от ДСВ по определению и с помощью свойств

Раздел №4. «Непрерывные случайные величины» (8 часов)

Практическая работа № 9. Использование расчетных формул, таблиц, графиков при решении статистических задач; Решение задач на формулу геометрического определения вероятности .

Практическая работы № 10. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения.

Практическая работа № 11. Использование современных пакетов прикладных программ многомерного статистического анализа. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для равномерно распределенной НСВ

Практическая работа № 12. Вычисление вероятностей для нормально распределенной и показательно распределенной величин

Раздел 6. «Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения» (6 часов).

Практическая работа №13. Построение для заданной выборки ее графической диаграммы; расчёт по заданной выборке её числовых характеристик.

Практическая работа №14. Вычисление точечных оценок. Методика расчета по заданной выборке точечные оценки для генеральной средней (математического ожидания), генеральной дисперсии и генерального среднеквадратического отклонения.

Практическая работа №15. Вычисление интервальных оценок. Методика расчета доверительного интервала с заданной надежностью для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии;

Итого 30 часов.



Раздел 1. «Основные понятия комбинаторики».

Практическая работа №1. Решение задач на расчёт количества выборок. Определение типа комбинаторного объекта (тип выборки); Применение расчетных формул для каждого типа выборки – 2 ч

ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

  1. Студент два раза извлекает по одному варианту из 34 экзаменационных. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если им подготовлено 30 вариантов, и первый вытянутый вариант студент не знал?

  2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных 5 отличников.

  3. В урне 3 черных и 7 белых шаров. Наугад вынимается один шар (без возвращения), а затем второй. Найти вероятность того, что шары будут разного цвета.

  4. В клетке 6 белых и 4 серых мыши. Случайным образом извлекают 3 мыши. Вычислить вероятность извлечения мышей одного цвета?

  5. На складе находятся 15 кинескопов, 10 из которых сделаны на Львовском заводе. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу кинескопов 3 окажутся Львовского завода.

Теоретическая часть.

Комбинаторика является разделом математики, в котором изучаются правила составления различных видов комбинаций из определенных элементов.

Теорема о числе комбинаций. Пусть имеется т групп (множеств) элементов, состоящих из n1, n2, … , nm элементов. Тогда выбрать по одному объекту из каждой группы можно n1·n2· … ·nm различными способами.

Пример. Из трех классов надо составить команду, отобрав по одному ученику из каждого класса. Сколько различных команд можно составить, если в классах имеется 16, 18 и 15 учеников соответственно.

Ответ. Согласно теореме о числе комбинаций в случае, когда т = 3, n1 = 16, n2= 18, n3= 15, можно составить 16•18•15 = 4320 различных комбинаций команд.

Определение. Множество, состоящее из п элементов, называется упорядоченным, если каждому элементу множества присвоен свой номер от 1 до п.

Бесконечное множество, т.е. если n = ¥, называется счетным.

Определение. Перестановками некоторого конечного множества называются различные упорядоченные наборы, составленные из всех элементов данного множества,.

Пример. Множество, состоящее из трех элементов {1,2,3} имеет следующие перестановки: (1,2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3,1,2), (3, 2,1). Всего имеется шесть возможных перестановок.

Теорема о числе перестановок.

Число всех перестановок для множества, состоящего из п элементов, равно Рп = n! (n-факториал), где n! = 1•2•3• .. . •п ( При n =0 по определению Р0 = 0! = 1).

Пример. Даны четыре цифры: 1, 2, 3, 4. Сколько всего различных 4-значных чисел можно составить из этих цифр?

Решение. Число различных комбинаций, составленных из 4 цифр, равно 4! . В результате количество различных 4-значных чисел будет равно 4! = 1• 2•3 •4 = 24.

Определение. Размещениями из п элементов по k называются упорядоченные наборы, состоящие из k элементов, взятых из заданных n элементов,.

Размещения отличаются друг от друга либо элементами, либо их порядком.

Теорема о числе размещений.

Число всех размещений из п элементов по k определяется по формуле

Аn k = n! / (nk )! = n(п -1) •(п - 2) • .... •(п - k + 1).

Пример. Из множества с тремя элементами {1, 2, 3} наборов по два элемента в каждом можно (с учетом их порядка в наборе) выбрать А32 = 3•2= 6 способами: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).

Следствие. При k = п из теоремы о числе размещений следует теорема о числе перестановок, а именно:

hello_html_631aa567.gif.

Пример. Сколько имеется различных вариантов занятия трех призовых мест 7 артистами одного уровня?

Ответ: Число различных комбинаций групп, составленных из 7 человек, по 3 человека в группе определяется формулой: hello_html_129b5424.gif= 7•6•5 = 210.

Определение. Сочетаниями из п элементов по k называются неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов, взятых из заданных п элементов.

Сочетания (неупорядоченные наборы) отличаются друг от друга лишь своими элементами.

Пример. Для множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3}, сочетаниями по два элемента будут служить лишь три комбинации: (1,2), (1,3), (2,3).

Теорема о числе сочетаний.

Число сочетаний, взятых из n элементов по k, определяется по формуле

hello_html_m75078edf.gif

 Пример. Сколькими различными способами можно выбрать 2 ампулы из упаковки, содержащей 5 ампул.

Решение. В примере множество состоит из n =5 элементов, а наборы из k = 2 элементов.

Причем наборы различаются между собой лишь разными ампулами из упаковки. Пользуясь теоремой о числе сочетаний, определяем число различных способов – сочетаний.

C52 = A52/P2 = (5·4·3·2·1)/[(1·2) · (1·2·3)] = 5·4/2 = 10 (способов).

Пример. У 6 мальчиков и 5 девочек имеются признаки инфекционного заболевания. Чтобы проверить наличие заболевания требуется взять анализ крови отдельно у 2 мальчиков и 2 девочек, выбранных случайным образом. Сколькими различными способами можно сделать такой выборочный анализ?

Решение. Количество способов выбора двух мальчиков из группы:

n1 = C62 = 6! / [2! · 4!] = 6 · 5 / 2 = 15 .

Количество способов выбора двух девочек из группы:

n2 = C52 = 5! / [2! · 3!] = 5· 4 / 2 = 10 .

В одном способе каждая пара мальчиков может быть взята совместно с каждой парой девочек. Поэтому, применяя теорему о числе комбинаций, получаем для всех возможных способов:

N = n1· n2 = 15·10 = 150.

Размещением с повторениями из n элементов по m или упорядоченной (n, m) – выборкой с возвращениями называется любой кортеж (a 1 , a 2 , …, a m ) элементов множества М, для которого

Поскольку в кортеж (a 1 , a 2 , …, a m ) на каждое место может претендовать любой из n элементов множества М, число размещений с повторениями Р(n, m)=n*n*….*n= n m

Р (n, m)= n m

Определим отношение эквивалентности на множестве размещений с повторениями из n элементов по m: (a 1 , a 2 , …, a m ) ~ ( b 1 , b 2 , ….., b m ) для любого с число элементов a i , равных с, совпадает с числом элементов b i , равных с.

Сочетанием с повторениями из n элементов по m или неупорядоченной (n, m) – выборкой с возвращениями называется любой класс эквивалентности по отношению ~ множества размещений с повторениями из n элементов по m. Другими словами, сочетания с повторениями суть множества М, причем один и тот же элемент допускается выбирать повторно.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m обозначается через C(n, m) и вычисляется по формуле:


Пусть М – множество мощности n, - разбиение множества М на k подмножеств, Кортеж (М 1 ,…, М к ) называется упорядоченным разбиением множества М.

Число разбиений R(m 1 , m 2) вычисляется по формуле:


В общем случае число R(m 1 , m 2 , ….m k ) упорядоченных разбиений ( М 1 , М 2 , ….М к ), для которых , равно , а число R(n, k) упорядоченных на k подмножеств вычисляется по формуле


Число

Примеры решения задач.

Пример №1

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?

Решение: P(4, 3)=4 3 = 64.

Ответ: 64.

Пример №2

Сколько существует вариантов бросания двух одинаковых кубиков?

Решение: Это число равно числу сочетаний с повторениями из 2 элементов по 6:

Ответ: 21.

Пример №3 .

В студенческой группе, состоящей из 25 человек, при выборе старосты за выдвинутую кандидатуру проголосовали 12 человек, против – 10, воздержались – 3. Сколькими способами могло быть проведено такое голосование?

Решение: Пусть М – множество студентов в группе, М 1 – множество студентов, проголосовавших за данную кандидатуру, М 2 – множество студентов, проголосовавших против, М 3 – множество студентов, воздержавшихся от голосования. Тогда ( M 1 , M 2 , M 3 ) – упорядоченное разбиение множества М. искомое число R(12, 10, 3) =.

Ответ: .

Пример №4.

Сколькими способами из группы в 25 человек можно составить 5 коалиций по 5 человек?

Решение: пусть Х – множество людей в группе, m i – число коалиций по i человек, где i – 1,…, 25. Тогда по условиям задачи /, и, следовательно, искомое число будет равно

Критерии оценки:

  • «5» - если решено 5 заданий верно;

  • «4» - если решено 5 заданий с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если решено 4 задания с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если задание не выполнено.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Данные методические указания, в котором представлены некоторые теоретические вопросы, рассмотрены примеры решения задач.

  2. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.


Практическая работа №2. Решение задач на расчет сложных выборок Применение основных теорем комбинаторики. Применение стандартных методов и моделей к решению вероятностных и статистических задач;- 2 ч

ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

  1. В клетке 6 серых и 4 белых мыши. Наугад выбирают 3-х мышей. Найти вероятность того, что хотя бы одна серая.

  2. В лабораторной клетке содержат 8 белых и 6 коричневых мышей. Наугад выбирают пять мышей из клетки. Найти вероятность того, что:

1)      три из них белые, а две коричневые;

2)      все одного цвета.
В группе из 10 человек четверо мужчин. Случайным образом выбирают трёх человек.

Какова вероятность того, что это:

1) все мужчины;

2) одна женщина и двое мужчин;

3) один мужчина и две женщины.

4. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника четыре партии из пяти или семь из девяти?

5. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 книг, причем 5 из них по теории вероятностей. Библиотекарь берет наугад 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы 1 учебник окажется по теории вероятностей.

Теоретическая часть.

Основные правила комбинаторики

При вычислении количества различных комбинаций используются правила сложения и умножения. Сложение используется, когда множества не совместны. Умножение - когда для каждой комбинации первого множества имеются все комбинации (или одинаковое число комбинаций) второго множества.

Пример. Из 28 костей домино берутся 2 кости. В каком числе комбинаций вторая кость будет приложима к первой?

На первом шаге имеется два варианта: выбрать дубль (7 комбинаций) или не дубль (21 комбинация). В первом случае имеется 6 вариантов продолжения, во втором - 12.

Общее число благоприятных комбинаций равно: .

А всего вариантов выбора 2 костей из 28 равно 378; т. е. при большом числе экспериментов в 7 случаях из 9 (294/378 = 7/9) при выборе 2 костей одна кость окажется приложимой к другой.

Размещения с повторениями

Размещение с повторением также в комбинаторике называется кортежем.

Рассмотрим задачу: сколько разных числовых последовательностей, длины 5, можно составить из 10 цифр?

Перенумеруем разряды:

1

2

3

4

5

В первый разряд можно поставить одну из 10 цифр. Независимо от того, какая цифра поставлена, во второй разряд можно также поставить одну из 10 цифр и т. д. Всего получается 105 различных чисел.

Для двоичной системы счисления (используются только две цифры: 0 или 1) получаем 25 различных числовых последовательностей. Для системы с основанием к и числом разрядов п соответственно получаем:

(1)

n -число позиций (разрядов); k-число элементов в каждой позиции (цифр).

В общем виде задача ставится следующим образом: имеется k типов предметов (количество предметов каждого типа неограниченно) и п позиций (ящиков, кучек, разрядов). Требуется определить, сколько разных комбинаций можно составить, если в позициях предметы могут повторяться? Ответ дается формулой (1).

Пример. Сколько разных числовых последовательностей может содержать 10-разрядное слово в троичной системе счисления? В первый разряд можно поставить один из трех символов (0, 1 или 2), во второй разряд - также один из трех символов и т. д. Всего получаем З10 чисел.

В некоторых случаях имеются ограничения на количество разных предметов, которые можно помещать на позиции. Пусть, например, имеется п позиций и на каждую i-ю позицию можно поставить ki предметов. Сколько в этом случае существует разных расстановок предметов по позициям?

Легко обосновывается формула:

(2)

Пример. В эстафете 100+200+400+800 метров на первую позицию тренер может выставить одного из 3 бегунов, на вторую - одного из 5, на третью - одного из 6, на четвертую - единственного бегуна (на каждую позицию выставляются разные бегуны). Сколько вариантов расстановки участников эстафетного забега может составить тренер?

В соответствии с формулой (2) получаем, что число вариантов равно: .

Размещения без повторений

Рассмотрим задачу: Сколько разных числовых последовательностей, длины 5, можно записать с помощью десяти цифр при условии, что в числовых последовательностях не используются одинаковые цифры?

Перенумеруем разряды:

1

2

3

4

5

В первый разряд можно поставить одну из 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Независимо от того, какая цифра помещена в первый разряд, во втором можно поставить только одну из 9 цифр, в третий - одну из 8 цифр и т. д. Всего существует различных числовых последовательностей, в каждой из которых нет двух одинаковых цифр.

В общем случае, если имеется k позиций и п разных предметов, причем каждый представлен в единственном экземпляре, то количество разных расстановок:

( 3)

В формуле (3) s означает факториал числа s, т. е. произведение всех чисел от 1 до s. Таким образом, s=s.

Пример 1. Из группы в 25 человек требуется выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько вариантов выбора руководящего состава группы? Старосту выбрать можно одним из 25 способов. Поскольку выбранный староста не может быть своим заместителем, то для выбора заместителя старосты остается 24 варианта. Профорга выбирают одним из 23 способов. Всего вариантов: .

Пример 2. На дискотеку пришло 12 девушек и 15 юношей. Объявлен "белый" танец. Все девушки выбрали для танцев юношей (и никто из них не отказался). Сколько могло образоваться танцующих пар?


Таким образом, размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений.

Перестановки без повторений

В предыдущих параграфах комбинации отличались как составом предметов, так и их порядком. Однако если в последней задаче юношей было бы тоже 12, то все комбинации отличались бы только порядком. Рассмотрим, сколько различных комбинаций можно получить, переставляя п предметов.

Положим в (3) , тогда получим

(4)

Пример. К кассе кинотеатра подходит 6 человек. Сколько существует различных вариантов установки их в очередь друг за другом? Расставим 6 человек произвольным образом и начнем их переставлять всеми возможными способами. Число полученных перестановок в соответствии с формулой (4) будет равно 6! = 720.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Pn = n!,

где .

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Перестановки с повторениями

Иногда требуется переставлять предметы, некоторые из которых неотличимы друг от друга. Рассмотрим такой вариант перестановок, который называется перестановками с повторениями.

Пусть имеется п1 предметов 1-го типа, n2 предмета 2-го, пк предметов -го типа и при этом п1+ п2+...+ пк = п. Количество разных перестановок предметов

(5)

Для обоснования (5) сначала будем переставлять п предметов в предположении, что они все различны. Число таких перестановок равно п! Затем заметим, что в любой выбранной расстановке перестановка n1 одинаковых предметов не меняет комбинации, аналогично перестановка n2 одинаковых предметов также не меняет комбинации и т. д. Поэтому получаем выражение (5).

Пример. Найдем количество перестановок букв слова КОМБИНАТОРИКА. В этом слове 2 буквы «к», 2 буквы «о», 1 буква «м», 1 буква «б», 2 буквы «и», 1 буква «н», 2 буквы «а», 1 буква «т» и 1 буква «р».

Таким образом, число перестановок букв этого слова равно:

Р(2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1) = 13!/(2! 2! 2! 2!)= 13!/16.

Сочетания без повторений

Если требуется выбрать к предметов из п, и при этом порядок выбираемых предметов безразличен, то имеем

. (6)

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Формула (6) может быть получена следующим образом. Выберем по очереди к предметов из п. Число вариантов будет равно . В этих расстановках к выбранных предмета имеют свои определенные позиции. Однако нас не интересуют в данном случае позиции выбранных предметов. От перестановки этих предметов интересующий нас выбор не меняется. Поэтому полученное выражение нужно разделить на

Пример 1. Из группы в 25 человек нужно выбрать троих для работы в колхозе. Если выбирать их последовательно, сначала первого, потом второго, потом третьего, то получим варианта. Но так как нас не интересует порядок выбора, а только состав выбранной бригады, поэтому полученный результат нужно разделить еще на 3!

Пример 2. В середине 60-х годов в России появились две лотереи, которые были названы "Спортлото": лотерея 5/36 и 6/49. Рассмотрим одну из них, например, 6/49. Играющий покупает билет, на котором имеется 49 клеточек. Каждая клеточка соответствует какому-либо виду спорта. Нужно выделить (зачеркнуть) 6 из этих клеточек и отправить организаторам лотереи. После розыгрыша лотереи объявляются шесть выигравших номеров. Награждается угадавший все шесть номеров, пять номеров, четыре номера и даже угадавший три номера. Соответственно, чем меньше угадано номеров (видов спорта), тем меньше выигрыш.

Подсчитаем, сколько существует разных способов заполнения карточек "Спортлото" при условии, что используется лотерея 6/49. Казалось бы, заполняя последовательно номер за номером, получим: . Но ведь порядок заполнения не имеет значения, тогда получаем:


Эту же задачу можно решить и другим способом. Выпишем все номера подряд и под выбираемыми номерами поставим 1, а под остальными - 0. Тогда различные варианты заполнения карточек будут отличаться перестановками. При этом переставляются 6 предметов одного вида (единицы) и 49 - 6 = 43 предмета другого вида (нули), т. е. опять


Если все участники заполняют карточки по-разному, то в среднем один из примерно 14 миллионов угадает все 6 номеров. А сколько человек в среднем угадают 5 номеров?

Выберем один из угаданных номеров () и заменим его на один

из не угаданных (). Итого: человек из 14 миллионов

угадают 5 номеров. А сколько угадают 4 номера? Выберем из 6 угаданных два и затем из 43 не угаданных тоже два и перемножим число вариантов выбора. Тогда получим: человек.

Аналогично найдем, что 3 номера угадают 246820 человек, т. е. примерно 1,77% от всех играющих.

Типовые задания

Задача № 1. Из 25 вопросов по алгебре и 25 вопросов по геометрии произвольным образом составлены экзаменационные билеты, каждый из которых состоит из одного вопроса по алгебре и одного - по геометрии. Коля выучил 20 вопросов по алгебре и 15 вопросов по геометрии. Найти вероятность того, что он получит хорошую оценку (четверку или пятерку), т.е. ответит на оба вопроса.

Решение. Проводим рассуждения в форме беседы с учащимися.

Сколько равновозможных исходов существует при произвольном (т.е. случайном) составлении билетов из двух вопросов?

Каждый из 25 вопросов по алгебре может оказаться в паре с любым из 25 вопросов по геометрии. Поэтому для нахождения всех способов нужно воспользоваться основным правилом комбинаторики – правилом умножения: 25x25 = 625. Вывод: число всех равновозможных исходов n = 625.

Вероятность какого события надо определить и сколько исходов ему благоприятствуют?

Надо определить вероятность события, состоящего в том, что Коле достанется билет, в котором он знает и вопрос по алгебре и вопрос по геометрии. Т.к. Коля выучил 20 вопросов по алгебре и 15 вопросов по геометрии, по основной теореме комбинаторики находим, что число исходов, благоприятных для этого события, есть 20x15 = 300. Вывод: число благоприятных исходов m = 300.

Используя определение вероятности события, находим

H=m/n=300/625=0,48

Ответ. 0,48.

Задача № 2. Ответ на экзамене оценивается тройкой, если ученик отвечает на один (любой) вопрос. Какова вероятность того, что Коля получит тройку?

Решение. Число всех равновозможных исходов при составлении билетов то же самое, что и в предыдущей задаче: n = 625.

Для интересующего нас события благоприятны такие исходы:

1. Коля получит билет, в котором он знает ответ на первый вопрос и не знает ответа на второй.

2. Коля получит билет, в котором он знает ответ на второй вопрос, но не знает ответа на первый.

Подсчитаем число элементарных исходов первого типа. Поскольку Коля знает ответы на 20 вопросов по алгебре и не знает ответов на 10 вопросов по геометрии, согласно основной теореме комбинаторики таких исходов будет m1 = 20x10 = 200.

Аналогично находим число благоприятных исходов второго типа m2 = 15?5 = 75 (Коля знает ответы на 15 вопросов по геометрии и не знает ответов на 5 вопросов по алгебре). Таким образом, общее число благоприятных исходов

m = m1 + m2 = 200 + 75 = 275.

По определению вероятности события получаем

P=m/n=275/625=0,44

Ответ. 0,44.

Наконец найдем вероятность того, что Коле совсем не повезет.

Задача № 4. Определить вероятность того, что Коле достанется билет, в котором он не знает ответ ни на один вопрос и, конечно, получит двойку.

Решение. Число всех равновозможных исходов при составлении билетов то же самое, что и в предыдущих задачах: n = 625. Число благоприятных исходов для интересующего нас события (но не для Коли!) m = 5x10 = 50, а его вероятность

P=m/n=50/625=0,08

Ответ. 0,08.

Критерии оценки:

  • «5» - если решено 5 заданий верно;

  • «4» - если решено 5 заданий с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если решено 4 задания с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если задание не выполнено.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Данные методические указания к практической работе №1, в котором представлены некоторые теоретические вопросы, рассмотрены примеры решения задач.

  2. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.

Раздел 2. «Основы теории вероятностей».

Практическая работа №3. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности. Методика вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием элементов комбинаторики. – 2 ч

ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание: изучить теоретический материал по данной теме и решить следующие задачи.

  1. В учебнике №1 решить задачи №10,12,13,14,15,16,18,20,21 на странице 10-11.

Алгоритм действий:

  1. Рассмотреть примеры решения задач в данном пособии, записать их.

  2. Оформить решения задач в соответствии с примерами.

Теоретическая часть

В теории вероятности под вероятностью случайного события понимают меру возможности осуществления события в конкретных условиях эксперимента (испытания).

Вероятность Р(А) случайного события А определяется отношением количества m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п:

P(A) = m / n. (1)

 Это определение называется классическим определением вероятности случайного события.

Поскольку в общем случае 0 £ т £ п, то из формулы (1) следует, что вероятность произвольного случайного события определяется в интервале [0,1], т.е. 0 £ P(A) £ 1 .

Пример. Определить вероятность того, что при извлечении одного шара из корзины, в которой находятся 1 белый, 5 зеленых и 4 красных шаров, извлеченный шар окажется зеленым.

Решение. Общее количество возможных элементарных событий при извлечении одного шара из корзины определяется общим количеством шаров в корзине, т.е. n = 1 + 5 + 4 = 10. Из них т = 5 элементарных событий (определяется количеством имеющихся зеленых шаров) являются благоприятствующими для нашей задачи. Обозначив это событие через А, по формуле (1) получим:

P(A) = 5 / 10 = 1/2 = 0,5.

 4. Основные свойства вероятности случайного события

1. Вероятность наступления невозможного события равна нулю.

Невозможное событие не может появиться в испытаниях, поэтому m = 0 и по формуле (1) получаем:

P(A) = 0 / n = 0.

2. Вероятность наступления достоверного события равна единице.

Количество появлений в испытаниях достоверного события равно общему числу событий, т.е. m = n, поэтому согласно формуле (1) получаем:

P(A) = n / n = 1.

5. Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий

Теорема 1. Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В).

Пример 1.2. В коробке находятся 4 таблетки аспирина, 6 — анальгина и 5 - цитрамона. Наугад извлекается одна таблетка. Найти вероятность того, что будет извлечена таблетка аспирина или анальгина.

Решение. Обозначим событием А – извлечение таблетки аспирина, событием В – извлечение таблетки анальгина.

Общее число событий равно 15 – числу таблеток.

Вероятность наступления события А в соответствии с формулой классической вероятности будет равна:

P(A) = 4 / 15 .

Вероятность наступления события В равна:

P(B) = 6 / 15 .

Данные события являются несовместными. Поэтому для нахождения искомой вероятности в соответствии с теоремой (1) следует сложить найденные вероятности:

Р(А или В) = Р(А ) + Р( В) = 4/15 + 6/15 = 10/15 = 2/3.

Случайное событие `A, состоящее в том, что случайное событие А не произошло, называется событием, противоположным событию А.

Теорема 2. Сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события `A равна единице:

Р(A) + Р(`А) = 1.

К примеру, при однократном подбрасывании монеты вероятности выпадения герба или цифры будут одинаковы и равны 0,5. Выпадение цифры является событием, противоположным выпадению герба. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице.

Определение. Случайные события А и В называются независимыми, если вероятность осуществления какого-либо одного из них не зависит от осуществления другого события.

Так при одновременном подбрасывании двух монет случайное событие А, состоящее в выпадении герба у одной монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у другой монеты, будут независимыми, поскольку не зависят друг от друга.

Пример 1. Опыт состоит в бросании двух монет. Найти вероятность того, что появится хотя бы один герб.

Решение. Случайное событие А - появление хотя бы одного герба.

Пространство элементарных событий в данном эксперименте определяется следующими исходами: Е = {ГГ, ГР, РГ, РР}, которые соответственно обозначаются e1, e2, e3, e4. Таким образом,

E=e1, e2, e3, e4; n=4.

Необходимо определить число исходов из Е, которые благоприятствуют появлению А. Это e1, e2, e3; их число m=3.

Используя классическую формулу определения вероятности события А, имеем

hello_html_5cfa858.gif.

Пример 2. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Случайное событие А - появление белого шара. Пространство элементарных событий Е включает исходы e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, где ei - появление одного шара (белого или черного);

E={e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7}, n=7.

Случайному событию А в пространстве Е благоприятствует 3 исхода; m=3. Следовательно, hello_html_m96436cc.gif.

Пример 3. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается два шара. Найти вероятность того, что оба будут белыми.

Решение. Случайное событие А - оба шара будут белыми.

Пример 3 отличается от примера 2 тем, что в примере 3 исходами, составляющими пространство элементарных исходов Е, будут не отдельные шары, а комбинации из 7 шаров по 2. То есть, чтобы определить размерность Е, необходимо определить число комбинаций из 7 по 2. Для этого необходимо использовать формулы комбинаторики, которые приводятся в разделе "Комбинаторный метод". В данном случае для определения числа комбинаций из 7 по 2 используется формула для определения числа сочетаний

hello_html_m4a0c9095.gif,

так как выбор производится без возвращения и порядок появления шаров неважен. Таким образом,

hello_html_m77f3d612.gif.

Число комбинаций, благоприятных для появления события А, определяется в виде

hello_html_5cdb90ea.gif.

Следовательно, hello_html_50d1b217.gif.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 8-9 заданий верно;

  • «4» - если выполнены 6-7 заданий с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 4-5 задания с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если выполнено менее 4 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2005. 479 с.



Практическая работа №4. Вычисление вероятностей сложных событий. Методика вычисления вероятности суммы совместимых событий. Нахождение условных вероятностей. Представление сложных событий через элементарные события с помощью операций над событиями. – 2 ч

ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

В учебнике №2 решить задачи №1.37-1.46 на странице 48-54./они представлены с

готовым решением/

В учебнике №1 решить задачи №10-15 с.48

Теоретическая часть

Пример 1.

В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет 
hello_html_7919b69.gif
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет 
hello_html_63bc9647.gif.

Пример 2. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность hello_html_68f0449f.gif.

Этот же результат можно получить по формуле
hello_html_600e0cfb.gif.

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
hello_html_m7eeb442e.gif.

Найдем вероятность hello_html_11259dd0.gif того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений hello_html_cf43d98.gif. Из этого числа исходов событию hello_html_28104f0d.gif благоприятствуют hello_html_m1d8f7e8.gif исходов. Следовательно, hello_html_m366e6bb.gif.

Искомая условная вероятность 
hello_html_6cb864b4.gif

Результаты совпали.

Пример 3. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В- маршрута №2.

Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): hello_html_m7fc8a559.gif. Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события совместны, то:

hello_html_m20d4cb49.gif;

hello_html_77eca262.gif;

отсюда искомая вероятность
hello_html_71b316e3.gif

Пример 4. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Решение. Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А - появление первой карты такой масти, В - появление второй карты той же масти. Событие В зависит от события А, т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме:

hello_html_m227e69f7.gif
где hello_html_729b3713.gif (после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же масти, что и первая - 8).

Получаем 
hello_html_m3463ba69.gif.

События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения:
hello_html_m60b361aa.gif.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 5-6 заданий.

  • «4» - если выполнены 4 задания.

  • «3» - если выполнены 3 задания.

  • «2» - если выполнено менее 3 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.

  2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике - М.: Высшая школа, 2005. 479 с.




Практическая работа №5. Вычисление полной вероятности события. Вычисление вероятности события по формуле полной вероятности. Оценка вероятности гипотез с помощью формул Байеса. – 2 ч

ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание: В учебнике №1 с.53-54 решить задачи №1-6

Алгоритм действий:

  1. В учебнике №1 с.50 рассмотреть примеры решения задач в данном пособии, записать их.

  2. Оформить решения задач в соответствии с примерами.

Теоретическая часть

Пусть событие А может наступить только с одним из n попарно несовместных событий Н1, Н2, …, Нn, которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

.

Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность р(Hi) (i = 1,2,…,n) можно переоценить, т.е. найти условные вероятности p(Hi / A).

Эта задача решается по формуле Байеса:

, (12)

где р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

Решение. а) Введем обозначения: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы Н1 – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, Н2 – переложены 2 разноцветных шара, Н3 – переложены 2 черных шара. Тогда

р(Н) = р(Нi) p(A/Hi) + p(H2) p(A/H2) + p(H3) p (A/H3).

Вероятности гипотез Нi и условие вероятности p(A/ Нi ) (i = 1, 2, 3) вычисляем по классической схеме:

, , ;

, , .

Полученные результаты подставим в формулу (1):

.

б) Вероятность р(Н1/А) находим по формуле Байеса:

.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 5-6 заданий верно;

  • «4» - если выполнены 4 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 3 задания с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если выполнено менее 3 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Кочетков Е. С., Смерчинская С. О., Соколов В. В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник/ Е. С. Кочетков, С. О. Смерчинская, В. В. Соколов., М: Форум: ИФРА-М, 2006. 240 с.

  2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике - М.: Высшая школа, 2005. 479 с.



Практическая работа №6. Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли. Методика вычисления вероятности событий в схеме Бернулли – 2 ч

ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

В учебнике №1 с.63 решить задачи №1-6

Алгоритм действий:

  1. В учебнике №1 с.55-56 повторить теоретический материал по данной теме, рассмотреть примеры решения задач, записать их.

  2. Оформить решения задач в соответствии с примерами.

Теоретическая часть

Последовательность независимых испытаний. Испытания Бернулли. Схема Бернулли

Повторные испытания называются независимыми, если вероятности исходов испытаний не зависят от исходов предшествующих испытаний. Например, многократное подбрасывание кубика, стрельба по мишеням (если считать вероятность попадания неизменной), безотказная работа однотипных устройств, эксплуатируемых в одинаковых условиях.

Испытаниями Бернулли называются повторные независимые испытания, в каждом из которых возможны два исхода (условно будем их называть «успехом» и «неудачей».), вероятности которых не изменяются от испытания к испытанию. Примерами испытаний Бернулли является многократное подбрасывание монеты (успех – выпадение герба); стрельба по мишеням в биатлоне (если считать вероятность попадания неизменной); тестирование изготавливаемых автоматом микросхем (успех – изготовление качественной микросхемы). Вероятность успеха в каждом испытании Бернулли будем обозначать символом p (P(успех)=P(у)=p), а вероятность неудачи – символом q (P(неудача)=P(н)=q). Естественно, что p+q=1, как сумма вероятностей противоположных событий.

Схемой Бернулли называется проведение заранее определённого числа n испытаний Бернулли. Примерами схемы Бернулли является проверка отделом технического контроля (ОТК) партии из 100 микросхем, изготовленных автоматом; стрельба по мишеням в биатлоне с использованием пяти патронов.

Формула Бернулли

В схеме Бернулли исследователей интересуют, как правило, не исходы каждого эксперимента в отдельности, а то, сколько успехов произошло во всей серии испытаний. В примере с биатлонистом нас мало интересует, как проходила его стрельба (попал ли он в 1-ю мишень, попал ли во 2-ю мишень и т.д.), интересует лишь количество пораженных мишеней в 5-ти попытках. В примере с ОТК нас не интересует последовательность выбора бракованных микросхем, а интересует общее количество бракованных изделий в проверяемой партии.

Пусть проведено n испытаний Бернулли: Тогда исход этой серии экспериментов можно представить в виде комбинации исходов каждого эксперимента серии:

=(1, 2, … n), (1)

где i =.

Обозначим через m количество успехов в n испытаниях Бернулли. Найдем вероятность того, что в n испытаниях Бернулли произойдет ровно k успехов, т.е. Pn(k)=Pn(m=k)=?

Для этого определим все способы, которыми могут появиться k успехов в n испытаниях Бернулли:

.(2)

Количество способов появления k успехов в n испытаниях – число слагаемых в выражении (2) – равно количеству способов неупорядоченного выбора без возвращения k номеров испытаний, в которых произошли успехи из n испытаний схемы Бернулли; и равно числу сочетаний . Учитывая, что слагаемые события в выражении (2) являются несовместными, применим к данному выражению теорему сложения вероятностей несовместных событий:

(3)


В силу независимости испытаний Бернулли вероятности каждого слагаемого в (3) одинаковы и равны вероятности совместного появления k успехов и n–k неудач:

.

Таким образом, вероятность появления k успехов в n испытаниях Бернулли равна:

;

. (4)

Выражение (4) называется формулой Бернулли.

Пример

Каждый транзистор, изготавливаемый автоматом, независимо от других может быть бракован с вероятностью 0,15. Что вероятнее: при изготовлении 10 транзисторов бракован будет один или два транзистора?

E: изготовление 10-ти транзисторов;

A1={бракован один транзистор из десяти};

A2={бракован один транзистор из десяти};

Требуется сравнить P(A1) и P(A2).

Решение. Т.к. по условию вероятность выпуска бракованного транзистора не изменяется и не зависит от качества предшествующих транзисторов, то данные испытания являются испытаниями Бернулли, где успехом назовем выпуск годного транзистора (p=1–0,15), а неудачей – выпуск бракованного (q=0,15).

Событие A1 состоит в появлении 9-ти успехов (и одной неудачи) в 10-ти испытаниях, а событие A2 – в появлении 8-ти успехов в 10-ти испытаниях Бернулли. Для вычисления вероятностей указанных событий воспользуемся формулой Бернулли (20):

;

.

Ответ: вероятнее изготовление лишь одного бракованного транзистора из десяти.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 5-6 заданий.

  • «4» - если выполнены 4 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 3 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если выполнено менее 3 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.

  2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2005. 479 с.




Раздел 3. «Дискретные случайные величины»


Практическая работы №7. Решение задач на запись распределения ДСВ. Методика записи распределения функции от одной ДСВ. Методика записи распределения функции от двух независимых ДСВ.- 2 ч

ЦЕЛЬ: отработать умения решать задачи по данной теме.

Задание: В учебнике №1 с.74 решить задачи №1-5

Алгоритм действий:

  1. В учебнике №1 с.64-65 повторить теоретический материал по данной теме, рассмотреть примеры решения задач, записать их.

  2. Оформить решения задач в соответствии с примерами.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 5 заданий.

  • «4» - если выполнены 4 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 3 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если выполнено менее 3 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.

  2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике - М.: Высшая школа, 2005. 479 с.



Практическая работа №8. Вычисление характеристик ДСВ Методика вычисления характеристик ДСВ; характеристик функций от ДСВ по определению и с помощью свойств

ЦЕЛЬ: отработать умения решать задачи по данной теме.

Задание: В учебнике №1 с.74-75 решить задачи № 6-10

Алгоритм действий:

  1. В учебнике №1 с.65-68 повторить теоретический материал по данной теме, рассмотреть примеры решения задач, записать их.

  2. Оформить решения задач в соответствии с примерами.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 5 заданий.

  • «4» - если выполнены 4 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 3 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если выполнено менее 3 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.

  2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2005. 479 с.



Раздел №4. «Непрерывные случайные величины».

Практическая работа № 9. Использование расчетных формул, таблиц, графиков при решении статистических задач; Решение задач на формулу геометрического определения вероятности. Методика вычисления вероятности для равномерно распределенной НСВ; Методика вычисления вероятности для случайной точки, равномерно распределенной в плоской фигуре; Методика вычисления вероятности для простейших функций от двух независимых равномерно распределенных величин X и Y методом перехода к точке M(X,Y) в соответствующем прямоугольнике.ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

Задача 1. Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут?

Задание 2 Решить задачу, используя геометрическое определение вероятности.
Парабола y = ax2 + bx + c касается полукруга и проходит через границы его диаметра d = 2(1 + 1). Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в полукруг, попадет в область, ограниченную дугой полукруга и параболой?

Задача 3. Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в квадрат, попадет в область, ограниченную вложенными квадратами со сторонами а и b?

Задача 4. Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, попадет в область, ограниченную вложенными окружностями с радиусом R и r?

Задача 5. Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в полукруг, попадет в область, ограниченную пересекающимися окружностями с радиусом R и r?

Теоретическая часть

Геометрический способ вычисления вероятностей

Одним из ограничений классического способа вычисления вероятностей (является то, что пространство элементарных исходов вероятностного эксперимента E должно быть конечным или счетным. В случае если пространство является несчетным, для вычисления вероятностей случайных событий может применяться геометрический способ.

Пусть пространство эксперимента E содержит несчетное множество элементарных исходов (т.е. ||=) и их можно трактовать как точки в евклидовом пространстве, а события эксперимента E – как некоторые области этого пространства. Тогда вероятность случайного события A может быть вычислена как отношение геометрической меры пространства (длины, площади, объема, гиперобъема) интересующего нас события A к геометрической мере пространства элементарных событий

P(A)=es(A)/es(),

где es() – геометрическая мера пространства события A; es() – геометрическая мера пространства элементарных исходов .

Пример 1

Стержень длиной L изгибается в произвольной точке. Причем положение точки изгиба равно возможно на интервале (O,L). Найти вероятность того, что точка изгиба окажется на отрезке [L/3, 2L/3].

E: излом стержня;

A={точка изгиба принадлежит отрезку [L/3, 2L/3]}; P(A)=?



Рис. 1 – Геометрическая интерпретация вероятностного эксперимента

Решение. Элементарным исходом данного вероятностного эксперимента является изгиб стержня в некоторой точке. Различаются исходы координатами точки изгиба. Поэтому элементарные исходы определим как координаты x точки изгиба стержня, т.е. =x.

Пространство элементарных исходов – множество всех возможных точек изгиба стержня, т.е. ={=x | O

Случайное событие A – также множество элементарных исходов (координат x точек изгиба стержня), которые принадлежат отрезку [L/3, 2L/3] (на рис. 6 обозначены жирной линией). Таким образом, A={=x | (L/3)

В данном случае геометрической мерой пространств событий A и является длина.

P(A)=es(A)/es()=(2L/3–L/3)/L=1/3.

Ответ: вероятность того, что точка изгиба стержня окажется на отрезке [L/3, 2L/3] равна 1/3.

Геометрический способ вычисления вероятностей случайных событий имеет следующие ограничения: во-первых, все элементарные исходы эксперимента должны быть равновозможными (как и в классическом способе). Так, если в примере 16 значение 1/3 получено при допущении о равномерном распределении предполагаемой точки изгиба стержня по всей его длине. Во-вторых, построить геометрическую интерпретацию вероятностного эксперимента порой бывает сложно.

Пример 2

Программный генератор случайных чисел возвращает значения, равномерно распределенные на отрезке [0;1]. С какой вероятностью произведение двух чисел, полученных с помощью генератора, превысит 0,5?

E: генерация двух случайных чисел x1, x2[0;1];

A={произведение x1x2 превышает 0,5}; P(A)=?.

Решение. Данный вероятностный эксперимент E заканчивается генерацией двух случайных чисел x и y, равномерно распределенных на интервале [0;1]. Это отличает один результат эксперимента E от других возможных результатов. Поэтому элементарным исходом вероятностного эксперимента E обозначим комбинацию двух случайных чисел (x, y), т.е. =(x,y). Поскольку элементарный исход определяется двумя числами (является двумерным вектором), то его можно представить как точку на плоскости (см. рис. 2).


Рис. 2 – Геометрическая интерпретация вероятностного эксперимента

Пространство – все множество элементарных исходов =(x,y), где 0

Событие A – множество элементарных исходов пространства для которых выполняется условие xy>0,5. Таким образом, A={=(x,y) | xy>0,5}={=(x,y) | 00,5/x}. Первые два неравенства определяют на плоскости квадрат, а последнее неравенство определяет на плоскости область, ограниченную гиперболой y=0,5/x, и заштрихованную на рис. 2 следующим образом: .

В итоге, множество элементарных исходов, благоприятных событию A – есть геометрическое место точек на плоскости, принадлежащих фигуре, заштрихованной на рис. 2 следующим образом: . Нетрудно убедиться в выполнении всех перечисленных условий для элементарного исхода 2=(0.7, 0.95) (см. рис. 2).

Учитывая, что все элементарные исходы эксперимента E равновозможны (поскольку равновозможны числа x и y), то для вычисления вероятности события A воспользуемся геометрическим способом (2). В данном случае геометрическими мерами пространств событий A и являются площади фигур:

es(A)=SDFG=SKDFH–SKDGH=;

es()=SBCFH=1;

P(A)=es(A)/es()=0,153/1=0,153.


Ответ: вероятность того, что произведение двух случайных чисел из отрезка [0;1] не превысит ½, примерно равна 0,153.


Пример решения.

Задача 1. В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е. 
hello_html_5b01458c.gifhello_html_m21708de7.png
Ответ: 0,353

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 5 заданий.

  • «4» - если выполнены 5 заданий верно с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 5 заданий верно с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если задание не выполнено.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Данные методические указания, в котором представлены некоторые теоретические вопросы, рассмотрены примеры решения задач.

  2. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.




Практическая работа № 10. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения.

Методика расчёта вероятностей для НСВ по её функции плотности и интегральной функции распределения. Методика вычисления математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения НСВ по её функции плотности. Медиана НСВ: определение, методика нахождения.- 2 ч

Цель: отработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

1. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:

xi

-1

0

1

pi

0,25

0,5

0,25

Найдите функцию распределения F(x) и, используя ее, найдите вероятность события х 0. Постройте график функции F(x).

2. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:

xi

-2

-1

0

1

2

pi

0,1

0,2

0,2

0,4

0,1

Найдите функцию распределения F(x) и, используя ее, найдите вероятности событий: а) –2 х < 1; б) х 2. Постройте график функции распределения.

3. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:

xi

0

1

2

3

4

pi

0,05

0,2

0,3

0,35

0,1

Найдите функцию распределения F(x) и найдите вероятности следующих событий: а) x < 2; б) 1 х < 4; в) 1 х 4; г) 1 < x 4; д) х = 2,5.

4. Найдите функцию распределения дискретной случайной величины х, равной числу выпавших очков при одном бросании игральной кости. Используя функцию распределения, найдите вероятность того, что выпадет не менее 5 очков.

5. Производятся последовательные испытания 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения случайного числа испытаний приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого прибора 0,9.

6. Задана функция распределения дискретной случайной величины х:


а) Найдите вероятность события 1 х 3.

б) Найдите таблицу распределения случайной величины х.

7. Задана функция распределения дискретной случайной величины х:


Составьте таблицу распределения данной случайной величины.

8. Монету бросают n раз. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения числа появлений герба. Постройте график функции распределения при n = 5.

9. Монету бросают, пока не выпадет герб. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения числа появлений цифры.

10. Снайпер стреляет по цели до первого попадания. Вероятность промаха при отдельном выстреле равна р. Найдите функцию распределения числа промахов.

Теоретическая часть

На практике для задания случайных величин общего вида обычно используется функция распределения.

Вероятность того, что случайная величина х примет определенное значение х0 , выражается через функцию распределения по формуле

р (х = х0) = F(x0 +0) – F(x0). (3)

В частности, если в точке х = х0 функция F(x) непрерывна, то

р (х = х0) =0.

Случайная величина х с распределением р(А) называется дискретной, если на числовой прямой существует конечное или счетное множество , такое, что р(,) = 1.

Пусть = {x1, x2,…} и pi = p({xi}) = p(x = xi), i = 1,2,…. Тогда для любого борелевского множества А вероятность р(А) определяется однозначно формулой

. (4)

Положив в этой формуле А = {xi / xi < x}, x R, получим формулу для функции распределения F(x) дискретной случайной величины х:

F(x) = p(x < x) =. (5)

График функции F(x) представляет собой ступенчатую линию. Скачки функции F(x) в точках х = х1, х2 …(x12<…) равны соответствующим вероятностям р1, p2, ….

Пример 1. Найдите функцию распределения

дискретной случайной величины х из примера 1 § 13.

Используя функцию распределения, вычислите

вероятности событий: х < 3, 1 x < 4, 1 x 3.

Решение. Используя данные из таблицы,

полученной в § 13, и формулу (5), получим

функцию распределения:


По формуле (1) Р(x < 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

р(1 x < 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

p (1 x 3) = p ( 1 x <3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

= F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888.

Пример 2. Дана функция


Является ли функция F(x) функцией распределения некоторой случайной величины? В случае положительного ответа найдите . Построить график функции F(x).

Решение. Для того чтобы наперед заданная функция F(x) являлась функцией распределения некоторой случайной величины х, необходимо и достаточно выполнение следующих условий (характеристических свойств функции распределения):

  1. F(x) – неубывающая функция.

  2. , .

  3. При любом х R F(x – 0) = F(x).

Для заданной функции F(x) выполнение

этих условий очевидно. Значит,

F(x) – функция распределения.

Вероятность вычисляем по

формуле (2):

.

График функции F(x) представлен на рисунке 13.

Пример 3. Пусть F1(x) и F2(x) – функции распределения случайных величин х1 и х2 соответственно, а1 и а2 – неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Доказать, что F(x) = a1F1(x) + a2F2(x) является функцией распределения некоторой случайной величины х.

Решение. 1) Так как F1(x) и F2(x) – неубывающие функции и а1 0, а2 0, то a1F1(x) и a2F2(x) - неубывающие, следовательно, их сумма F(x) тоже неубывающая.

2) ;

.

3) При любом х R F(x - 0) = a1F1(x - 0) + a2F2(x - 0)= a1F1(x) + a2F2(x) = F(x).

Пример 4. Дана функция


Является ли F(x) функцией распределения случайной величины?

Решение. Легко заметить, что F(1) = 0,2 > 0,11 = F(1,1). Следовательно, F(x) не является неубывающей, а значит, не является функцией распределения случайной величины. Заметим, что остальные два свойства для данной функции справедливы.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 10 заданий.

  • «4» - если выполнены 9-10 заданий верно с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 9-10 заданий верно с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если выполнено менее 5 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Данные методические указания, в котором представлены некоторые теоретические вопросы, рассмотрены примеры решения задач.

  2. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.



Практическая работа № 11. Использование современных пакетов прикладных программ многомерного статистического анализа. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для равномерно распределенной НСВ. Методика расчёта вероятностей для НСВ по её функции плотности и интегральной функции распределения. Методика вычисления математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения НСВ по её функции плотности. Медиана НСВ: определение, методика нахождения. – 2 ч

Цель: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

1. Случайная величина Х – время простоя контролеров-кассиров в супермаркете подчиняется закону распределения

Х 0 2 5

р 0,4 0,5 0,1

Составить F(х) и построить её график. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

2 Случайная величина Х – время простоя контролеров-кассиров в супермаркете подчиняется закону распределения

Х (тыс. руб.) 0 1 2 3

р 0,7 0,2 0,15 0,05

Составить F(х) и построить её график. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).


3. Изучение спроса изделий некоторой фирмы дало распределение случайной величины Х – числа потребляемых за месяц изделий.

Х 0 10 20 30 40 50

р 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2

Составить F(х) и построить её график. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

4. Изучение спроса изделий некоторой фирмы дало распределение случайной величины Х – числа потребляемых за месяц изделий.

Х 1 2 3

р 0,5 0,3 0,2

Составить F(х) и построить её график. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

5. Изучение спроса изделий некоторой фирмы дало распределение случайной величины Х – числа потребляемых за месяц изделий.

Y 0,5 1 3

р 0,5 0,3 0,2

Составить F(х) и построить её график. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

Теоретическая часть

Пусть дискретная случайная величина X задана законом распределения в виде таблицы следующего вида:

где значения случайной величины в первой строке упорядочены по возрастанию, во второй строке заданы вероятности принятия случайной величиной этих значений, причем p1 + p2 + ... + pn = 1. По этой таблице можно вычислить следующие характеристики X:

а) Математическое ожидание X по формуле

(1)

б) Математическое ожидание квадрата X, или начальный момент второго порядка, по формуле

(2)

в) Дисперсию X по формуле

D(X) = M(X 2) - (M(X))2 (3)

г) Среднее квадратическое отклонение (СКО) X по формуле

(4)

д) Центральные моменты второго, третьего и четвертого порядка X по формулам

(5)

Заметим, что центральный момент второго порядка совпадает с дисперсией.

е) Асимметрию X по формуле

(.6)

ж) Эксцесс X по формуле

(7)

з) Моду X, которая является ее значением, имеющим наибольшую вероятность.

Кроме того, по закону распределения строятся 2 графика.

а) Полигон распределения – ломаная линия, соединяющая точки на плоскости с координатами (x1; p1), ... (xn; pn). На полигоне мода видна особенно наглядно.

б) График функции распределения. Предварительно вычисляют так называемые «накопительные вероятности» по формулам

(8)

Рассмотрим вычисление законов распределений функций двух независимых случайных аргументов. Дискретные случайные величины X и Y называются независимыми, если при любых i и j

,

т.е. события (X=xj) и (Y=yi) независимы.

Пусть случайные величины X и Y независимы, причем X принимает m различных значений, а Y принимает n различных значений. Обозначим P(X=xj)=pj, P(Y=yi)=qi. Тогда законом совместного распределения (X,Y) называется таблица следующего вида:

Таким образом, P((X=xj)(Y=yi)) = pjqi. Элементы данной таблицы обладают следующим свойством:


Суммой дискретных случайных величин X и Y называется случайная величина Z=X+Y со всеми возможными значениями zk, определяемыми по формуле

zk = xj + yi ,

где xj, yi - возможные значения X и Y, zk – возможные значения Z, пронумерованные по порядку.

Заметим, что если множества значений X и Y конечны, то множество значений Z также будет конечным, обозначим количества их элементов m, n и s соответственно. Тогда будет выполняться неравенство

s mn ,

так как среди значений Z могут быть одинаковые.

Произведением дискретных случайных величин X и Y называется случайная величина U=XY со всеми возможными значениями uk, определяемыми по формуле

uk = xj yi ,

где xj, yi - возможные значения X и Y, uk – возможные значения U, пронумерованные по порядку.

Замечание, приведенное для суммы случайных величин, для их произведения также будет справедливым.

Если X и Y - независимые дискретные случайные величины, то законы распределения Z и U можно выписать в явном виде, исходя из закона их совместного распределения. Тогда будут выполняться следующие равенства:

P(Z=zk) = P(U=uk) = pj qi ,

если все значения Z и U различны, в противном случае вероятности, соответствующие одинаковым значениям этих величин, необходимо сложить.

Кроме того, известно, что (для выполнения этого свойства требование независимости величин необязательно), и (это свойство справедливо для независимых величин).

Типовой пример. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

а) Найти ее числовые характеристики.

б) Построить ее полигон распределения и график ее функции распределения.

в) Дискретная случайная величина Y, независимая от X, задана законом распределения:

Выписать закон совместного распределения X и Y, а также законы распределения случайных величин Z=X+Y и U=XY. Найти также математические ожидания Z и U.

Решение.

Результаты расчетов по пп. «а», «б» приведены на рис. 1. Ячейки с исходными данными отформатированы жирным шрифтом.

hello_html_20d98f0c.png

Рис. 1

В ячейке D3 рассчитана недостающая вероятность, исходя из того, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

В B5 реализуется формула (1), что проще всего сделать, вставив в эту ячейку встроенную функцию СУММПРОИЗВ (из категории «Математические») с первым аргументом B2:D2 и вторым аргументом B3:D3, третий аргумент оставить пустым.

В B6 реализуется формула (2), что проще всего сделать, вставив в эту ячейку функцию СУММПРОИЗВ с первым аргументом B2:D2, вторым аргументом также B2:D2, а третьим аргументом B3:D3.

В B7 реализуется формула (3), в B8 – формула (4), что затруднений не вызывает.

Для вычисления центральных моментов интервал A10:A12 заполняется числами 2; 3; 4. В ячейке B10 записывается первое слагаемое правой части формулы (5) при k=2 в следующем виде:

=(B$2-$B$5)^$A10*B$3

(поскольку значения расположены всегда в строке 2, вероятности всегда в строке 3, показатели степеней расположены всегда в столбце A, а значение математического ожидания – всегда в ячейке B5).

Затем интервал B10:D10 заполняется вправо и B10:D12 заполняется вниз. Для вычисления самих центральных моментов достаточно расширить выделение до B10:E12 (например, клавиатурой, нажав Shift + ) и щелкнуть по кнопке «Автосумма» на панели инструментов – в результате в интервале E10:E12 окажутся значения всех центральных моментов. При этом значения ячеек B7 и E10 должны совпасть.

В B13 реализуется формула (6), в B14 – формула (7), что затруднений не вызывает.

Мода вычислена в B15 по следующей формуле:

=ИНДЕКС(B2:D2;1;ПОИСКПОЗ(МАКС(B3:D3);B3:D3;0))

При вводе этой формулы через мастер функций следует иметь в виду, что функции ИНДЕКС и ПОИСКПОЗ находятся в категории «Ссылки и массивы», а функция МАКС – в категории «Статистические».

Смысл этой формулы следующий. Функция ИНДЕКС ищет элемент указанного интервала (в данном случае B2:D2), расположенный в его первой (единственной) строке и столбце, номер которого равен порядковому номеру (функция ПОИСКПОЗ) максимума значений интервала B3:D3 (функция МАКС) в этом же интервале (третий аргумент функции ПОИСКПОЗ здесь равен нулю, так как ищется точное совпадение позиций).

В интервале B17:D17 найдены накопительные вероятности по формулам (8): с этой целью в B17 введена формула =B3, в C17 =B17+C3, и интервал C17:D17 заполняется вправо.

Графики полигона распределения (построенный как точечная диаграмма) и функции распределения (построенный как гистограмма) приведены на рис. 2 и 3.

hello_html_484028ef.gif

Рис. 2

hello_html_m1d97e0cb.gif

Рис. 3

Для продолжения расчетов целесообразно щелкнуть по номеру строки 4, тем самым выделив ее всю, и затем выполнить команду меню «Окно», «Закрепить области» - в результате при вертикальной прокрутке экрана строки 1-3 будут оставаться неподвижными.

Результаты расчетов по п. «в» приведены на рис. 4.

hello_html_m366dfe62.png

Рис. 4

Для удобства дальнейших расчетов закон распределения Y записан по столбцам в интервале A19:B21. Составляется закон совместного распределения X и Y в интервале D20:G22. Для этой цели в D21 записывается формула =A20, которая дублируется в D22 (через буфер или заполнением вниз). В E20 записывается формула =B2, и интервал E20:G20 заполняется вправо. В E21 рассчитывается значение p1q1, для чего туда записывается формула =B$3*$B20 (т.к. все вероятности X расположены в строке 3, а все вероятности Y – в столбце B), и интервал E21:G22 заполняется вправо и вниз.

Далее в интервале A25:C26 находятся все значения Z=X+Y, среди которых могут быть повторяющиеся. Для этой цели в A25 записывается формула =B$2+$A20, и интервал A25:C26 заполняется вправо и вниз.

В данном примере среди значений Z оказалось повторяющееся, а именно 2 (оно для наглядности залито светло-серым цветом), которому соответствуют вероятности 0,14 и 0,16 в ячейках G21 и E22, расположенных в интервале E21:G22 на тех же позициях, что и значение 2 в интервале A25:C26.

Теперь составляем в окончательном виде закон распределения Z с соблюдением всех требований. Для этой цели в интервал A28:E28 записываем все различные значения Z (в данном случае их 5), упорядоченные по возрастанию (см. рис. 4), а в интервале A29:E29 рассчитываем соответствующие им вероятности. Для этого в A29 можно записать формулу =E21 и продублировать ее в B29, а вот в C29 (поскольку над ним находится повторяющееся значение 2) следует записать формулу =G21+E22. Затем в D29 вставляется формула =F22 и дублируется в E29.

Заметим, что такое составление закона распределения Z справедливо в данном случае. При других повторяющихся значениях Z следует поступать подобным образом, а при всех различных значениях Z достаточно в строку 29 переписать соответствующие им вероятности.

Аналогично в интервале A32:C33 формируются все значения U=XY, среди которых возможны повторяющиеся. В данном случае ими оказались -8 (залито светло-серым цветом) и 4 (залито темно-серым цветом). Затем в интервал A35:D35 записываем все различные значения U (в данном случае их 4), упорядоченные по возрастанию (см. рис. 4), а в интервале A36:D36 рассчитываем соответствующие им вероятности подобно тому, как это делалось для Z.

Поскольку в дальнейших расчетах будет участвовать вычисленное ранее значение M(X), но это значение расположено в скрытой ячейке B5, то для наглядности приравниваем к нему значение G26. Значение M(Y) легко вычисляется через функцию СУММПРОИЗВ, как описано выше. Вычислим M(Z) двумя способами: в G28 непосредственно через функцию СУММПРОИЗВ, а в G29 как M(X)+M(Y). Результаты должны совпасть.

Также вычислим M(U) двумя способами: в F35 непосредственно через функцию СУММПРОИЗВ, а в F36 как M(X)M(Y). В силу независимости X и Y результаты должны совпасть.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 5 заданий верно;

  • «4» - если выполнены 4 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 3 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если выполнено менее 3 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Данные методические указания, в котором представлены некоторые теоретические вопросы, рассмотрены примеры решения задач.

  2. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.


Практическая работа № 12. Вычисление вероятностей для нормально распределенной и показательно распределенной величин Методика вычисления вероятностей для нормально распределенной величины (или суммы нескольких нормально распределенных величин); Методика вычисления вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределенной величины.- 2 ч

Цель: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

В учебнике №1 с.185-186 решить задачи №1-4

Алгоритм действий:

  1. В учебнике №1 с.149-150 повторить теоретический материал по данной теме.

  2. В учебнике №2 с.136-138 и с.142-146 повторить теоретический материал по данной теме, рассмотреть примеры решения задач, записать их.

  3. Оформить решения задач в соответствии с примерами.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 4 задания верно;

  • «4» - если выполнены 4 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 3 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если выполнено менее 3 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Данные методические указания, в котором представлены некоторые теоретические вопросы, рассмотрены примеры решения задач.

  2. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.




Раздел 6. «Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения».

Практическая работа №13. Построение для заданной выборки ее графической диаграммы; расчёт по заданной выборке её числовых характеристик. Методика построения для заданной выборки ее графической диаграммы; Методика расчета по заданной выборке ее числовые характеристики – 2 ч

Цель: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

1. Дискретная случайная величина х – число мальчиков в семьях с 5 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) найдите закон распределения х; б) постройте многоугольник распределения; в) найдите вероятности событий: А – в семье не менее 2, но не более 3 мальчиков; В – не более 3 мальчиков; С – более одного мальчика.

2. С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Дискретная случайная величина х – число промахов. а) Найдите закон распределения х. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятности событий: x < 2; x 3; 1 < x 3.

3. 2 стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка при одном выстреле – 0,5, для второго – 0,4. Дискретная случайная величина х –число попаданий в мишень. а) Найдите закон распределения х. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события х 1.

4. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. а) Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу красных карандашей в выборке. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события 0 < x 2.

5. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Найдите закон распределения дискретной случайной величины х, равной числу оцененных на «отлично» работ среди извлеченных. Чему равна вероятность события x > 0?

Теоретическая часть

Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать жирными буквами х, у,….

Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина х, если указано конечное или счетное множество чисел

х1, х2

и каждому из этих чисел xi поставлено в соответствие некоторое положительное число pi, причем

р1 + р2 + …= 1.

Числа х1, х2… называются возможными значениями случайной величины х, а числа р1 , р2 ,… - вероятностями этих значений (pi = Р(х = xi)).

Таблица

xi

x1

x2

pi

p1

p2

называется законом распределения дискретной случайной величины х.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi, pi) и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины х.



Пример 1. По мишени производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле р = 0,8. Требуется: а) найти закон распределения дискретной случайной величины х, равной числу попаданий в мишень; б) найти вероятности событий: 1 х 3; х > 3; в) построить многоугольник распределения.

Решение. а) Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие вероятности вычисляем по формуле Бернулли:






Закон распределения х представится таблицей:

xi

0

1

2

3

4

pi

0,0016

0,0256

0,1536

0,4096

0,4096

Проверка: 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 + 0,4096 = 1.

б) Вероятность событий 1 х 3 и х > 3 равны:

р (1 х 3) = р ({1,2,3}) = р1 + р2 + р3 = 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 = 0,5888;

р( х > 3) = р ({4}) = р4 = 0,4096.

в) Многоугольник распределения представлен на рисунке 11.

Если возможными значениями дискретной случайной величины х являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

, k = 0,1,…n; q = 1- p,

то говорят, что случайная величина х имеет биномиальный закон распределения:

xi

0

1

n

pi

pn(0)

pn(1)

pn(n)

Рассмотренная выше в примере 1 случайная величина х имеет биномиальный закон распределения, в котором n = 4, p = 0,8.

Пример 2. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара; х – число извлеченных белых шаров. Найдите закон распределения дискретной случайной величины х и вероятность события х 2.

Решение. Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности р0, р1, р2, р3 подсчитываем классическим способом:

;

;

Закон распределения х:

xi

0

1

2

3

pi





Вероятность события х 2 равна:

р (х 2) = + = .

Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем m s n. Если возможными значениями дискретной случайной величины х являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле

pk = p(x = k) = , k = 0,1,…,m,

то говорят, что случайная величина х имеет гипергеометрический закон распределения.

Случайная величина х из примера 2 имеет гипергеометрический закон распределения с n =7, s = 3, m = 4.

Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются:

геометрический

xi

1

2

3

k

pi

p1

p2

p3

pk

где pk = qk-1p, q = 1 – p (0 < p < 1);

Закон распределения Пуассона:

xi

0

1

2

3

k

pi

p0

p1

p2

p3

pk

, - положительное постоянное.

Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при n , p 0, np = = const. Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:

, где = np.

Пример 3. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу поврежденных изделий, и найдите вероятности следующих событий:

А – повреждено менее 3 изделий;

В – повреждено более 2 изделий;

С – повреждено хотя бы одно изделие.

Решение. Возможные значения х: 0, 1, 2, ..., 500; так как n = 500 велико, а р = 0,002 мало, то положив = 500 0,002 = 1, вычислим вероятности

pk = p(x = k)

приближенно по формуле Пуассона:

, k = 0, 1, 2, ..., 500.

Закон распределения случайной величины х приближенно имеет вид:

xk

0

1

2

3

500

pk






или

xk

0

1

2

3

500

pk

0,368

0,368

0,184

0,061

0,000

Используя полученную таблицу, находим вероятности событий А, В и С:

p(A) = p(x < 3) = p ({0, 1, 2}) = 0,368 + 0,368 + 0,184 = 0,92.

p(B) = p (x > 2) = 1 – p( x 2) 1 – p ({0, 1, 2}) = 0,008.

p(C) = p (x 1) = 1 – p( x 0) 1 – p ({0}) = 1 – 0,368 = 0,632.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 5 заданий верно;

  • «4» - если выполнены 4 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 3 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если выполнено менее 3 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Данные методические указания, в котором представлены некоторые теоретические вопросы, рассмотрены примеры решения задач.

  2. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.




Практическая работа №14. Вычисление точечных оценок. Методика расчета по заданной выборке точечные оценки для генеральной средней (математического ожидания), генеральной дисперсии и генерального среднеквадратического отклонения – 2 ч.

Цель: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание: 1. Дискретная случайная величина х имеет закон распределения:

xi

0

3

4

5

8

pi

0,2

0,1

0,3

p4

0,15

Чему равна вероятность Р4 = Р (х = 5)? Постройте многоугольник распределения.

2. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.

3. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найдите закон распределения случайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке.

4. Дважды брошена игральная кость. Случайная величина х равна разности между числом очков при первом бросании и числом очков при втором бросании. Найдите закон распределения х и вероятность события 2 х 4.

5. Бросается игральная кость до первого появления шестерки. Случайная величина х равна количеству бросаний кости. Найдите закон распределения случайной величины х и вероятность события х 5.

Теоретическая часть.

Важной задачей математической статистики является задача оценивания (приближенного определения) по выборочным данным параметров закона распределения признака X генеральной совокупности. Другими словами, необходимо по данным выборочного распределения оценить неизвестные параметры теоретического распределения. Статистические оценки могут быть точечными и интервальными.

Задачу статистического оценивания, а также основные виды статистических оценок, рассмотрим для частного случая: пусть признак X генеральной совокупности распределен нормально, то есть теоретическое распределение имеет вид:

hello_html_cc22489.gif

с параметрами: hello_html_m5ab03616.gif– математическое ожидание признака X ; hello_html_158fd4a1.gif– среднеквадратическое отклонение признака X.

Точечной оценкой неизвестного параметра называют число (точку на числовой оси), которое приблизительно равно оцениваемому параметру и может заменить его с достаточной степенью точности в статистических расчетах.

Точечной оценкой генеральной средней hello_html_76ece422.gifи параметра a может служить выборочная средняя hello_html_4cf305d6.gif.

Точечными оценками генеральной дисперсии hello_html_m21fd67b3.gifмогут служить выборочная дисперсия hello_html_635a9f4c.gif, или, при малых объемах выборки n , исправленная выборочная дисперсия:

hello_html_m4bca5059.gif.

Точечными оценками для генерального среднеквадратического отклонения hello_html_m145ff072.gifмогут служить: hello_html_m2d8940be.gif – выборочное среднее квадратическое отклонение или hello_html_m4d9df6c1.gif – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Примеры решения задач

Пример 1. Для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака была извлечена выборка:

48

49

50

52

54

hello_html_m4befdfed.gif

2

4

6

2

1

Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

Решение.

Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя:
hello_html_m55cbb286.gif.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия:
hello_html_53b781b4.gif

Ответ: , hello_html_697e1bcc.gifhello_html_64c92033.gif.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 5 заданий верно;

  • «4» - если выполнены 4 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 3 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если выполнено менее 3 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.



Практическая работа №15. Вычисление интервальных оценок. Методика расчета доверительного интервала с заданной надежностью для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии; Методика расчета доверительного интервала с заданной надежностью для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии; Методика расчета доверительного интервала с заданной надежностью для вероятности события. – 2 ч

Цель: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание: Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением σ. Требуется: а) записать функцию плотности вероятности случайной величины Х – цена акции и построить её график; б) найти вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу ( , ); в) найти вероятность того, что абсолютная величина Х- окажется меньше .

1.; σ=0,2; α=14,9; β=15,3; ε=0,1.

2.; σ=0,3; α=15,8; β=16,1; ε=0,5.

3.; σ=0,25; α=16,9; β=17,3; ε=0,7

4. ; σ=0,4; α=18,7; β=19,2; ε=0,3

5. ; σ=0,5; α=19,9; β=20,3; ε=0,7

6. ; σ=0,4; α=20,8; β=21,5; ε=0,6

7. ; σ=0,3; α=21,7; β=22,1; ε=0,8

8. ; σ=0,5; α=22,8; β=23,4; ε=0,9

9. ; σ=0,4; α=24,9; β=25,6; ε=0,1

10. ; σ=0,5; α=23,3; β=24,4; ε=0,2

Теоретическая часть

Рассмотрим вначале случай, когда выборка объема n извлечена из нормальной генеральной совокупностиX~N(a, σ) с неизвестным параметром a и известным σ. Параметр a является математическим ожиданием (генеральным средним) случайной величины Х. В качестве точечной оценки параметра a возьмем выборочное среднее: hello_html_md65c62f.gif. Для уточнения приближенного равенства hello_html_65e41ca6.gif построим доверительный интервал, накрывающий параметр a с заданной доверительной вероятностью γ
Если выборка объема 
n извлекается из нормальной генеральной совокупности N(a,σ), то статистика hello_html_5e693b8.gif имеет нормальное распределение с параметрами: hello_html_287b1d03.gif. Поэтому доверительная вероятность γ удовлетворяет соотношению: 

hello_html_39952136.gif (2)

В этом соотношении неизвестной величиной является точность оценки ε. Обозначим hello_html_m29ac5e03.gif отсюда 

hello_html_4ceebf38.gif (3)

Значение uкр найдем с помощью таблицы функции Лапласа, учитывая, что hello_html_m1860c6c9.gif 
Доверительный интервал для генерального среднего будет иметь вид 

hello_html_m5bfb973.gif (4)

Этот метод построения доверительного интервала применяется и в случае, если генеральная совокупность Хне является нормальной. Согласно центральной предельной теореме, для выборки достаточно большого объема выборочное среднее hello_html_m43ce1173.gif будет иметь приближенно нормальное распределение с параметрами hello_html_5b181a.gif и hello_html_m7884aee2.gif где a и σ — соответствующие параметры генеральной совокупности. В этом случае для построения доверительного интервала используют формулу (4), определяя значение uкр по таблицам функции Лапласа, если n>30 При n30 значение uкр заменяют на tкр, которое определяют по таблице распределения Стьюдента, и формула (4) принимает вид: 

hello_html_60128cbc.gif (5)

где tкр = t(k;α)k=n-1α=1-γ (область двусторонняя). 
Если значение параметра 
σ неизвестно, то доверительный интервал строят по формуле (5), заменяя параметрσ с его оценкой 

hello_html_2867995f.gif

Величина hello_html_m4b9342cd.gif называется средней ошибкой выборки и зависит от способа отбора: в случае конечной генеральной совокупности объема N вносится «поправка на бесповторность отбора», равная hello_html_51c71a50.gif (табл. 1).

Таблица 1 - Средняя ошибка выборки для генерального среднего

Пример 1. Служба контроля Энергосбыта провела выборочную проверку расхода электроэнергии жителями одного из многоквартирных домов. С помощью случайного отбора было выбрано 10 квартир и определен расход электроэнергии в течение одного из летних месяцев (кВт*час): 125, 78, 102, 140, 90, 45, 50, 125, 115, 112
С вероятностью 
0.95 определите доверительный интервал для среднего расхода электроэнергии на одну квартиру во всем доме при условии, что отбор был: а) повторным; б) бесповторным, и в доме имеется 70квартир.

Решение. По условию задачи объем выборки n=10, т.е. выборка малая. В случае повторного отбора найдем границы доверительного интервала для генерального среднего по формуле (5), считая σ≈s

hello_html_37929886.gif

Найдем выборочное среднее арифметическое:

hello_html_m688510b4.gif и несмещенную оценку дисперсии 
hello_html_m344f4953.gif 
hello_html_43cea97b.gif 
hello_html_1755d7be.gif

Тогда оценка среднего квадратического отклонения σ равна 

hello_html_m138cd951.gif

По таблице распределения Стьюдента найдем значение tкр=t(k; α) для двусторонней критической области. Число степеней свободы k здесь равно k=n-1=9, а вероятность α=1-γ=0,05. Тогда tкр=t(k; α) = 2.26(двусторонняя область). 
При повторном случайном отборе средняя ошибка выборки равна 
hello_html_m286de1c7.gif а предельная ошибка hello_html_m1dea4fb7.gif т.е. доверительный интервал имеет границы hello_html_6a183aed.gif 
При условии, что отбор квартир был повторным, с вероятностью 
0.95 можно ожидать, что средний расход электроэнергии на одну квартиру во всем доме находится в интервале от 75.63 (кВт*час) до 121.17 (кВт*час). 
Найдем теперь границы доверительного интервала, считая отбор бесповторным. Предельную ошибку 
εопределим с учетом того, что генеральная совокупность конечна и имеет объем N (табл. 1). 

hello_html_m27618eb7.gifhello_html_2e973301.gif

Из условия задачи hello_html_me7c396e.gif tкр= tкр(9; 0.05) = 2.26. Отсюда предельная ошибка выборки hello_html_135897b0.gif и доверительный интервал имеет границы hello_html_45b06404.gif 
При условии, что отбор квартир был бесповторным, с вероятностью 
0.95 можно утверждать, что средний расход электроэнергии на одну квартиру во всем доме находится в интервале от 76.93 (кВт*час) до 119.47(кВт*час). 
Формула (3) позволяет при заданной доверительной вероятности 
γ и требуемой точности ε определить объем выборки n, учитывая тип отбора данных.

Пример 4. С помощью случайного повторного отбора определяется средний стаж работы служащих фирмы. Предполагается, что он подчиняется нормальному закону распределения. Каким должен быть объем выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0.95 можно было утверждать, что, принимая полученный средний стаж работы за истинный, совершается погрешность, не превышающая 0.5 года, если стандартное отклонение σ равно 2.7 года? 
Решение. По условию ε=0.5σ=2.7γ =0.95 и требуется найти объём выборки n при повторном отборе. В этом случае 2Ф(uкр)= γ, где hello_html_m7159f707.gif По таблице функции Лапласа (приложение 1) найдем, при каком uкрзначение hello_html_49299ef1.gif Получим uкр=1.96. Отсюда необходимый объем выборки 

hello_html_6ff13cc5.gif

Учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку, округляем результат до большего целого: n=113
Итак, чтобы с вероятностью 
0.95 и точностью ε=0.5 года определить средний стаж работы в фирме, требуется опросить не менее 113 служащих.

Критерии оценки:

  • «5» - если выполнены 10 заданий верно;

  • «4» - если выполнены 10 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

  • «3» - если выполнены 10 задания верно с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

  • «2» - если выполнено менее 5 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

  1. Данные методические указания, в котором представлены некоторые теоретические вопросы, рассмотрены примеры решения задач.

  2. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.


Список литературы

Основные источники:

  1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юрайт, 2007.327с. (в библиотеке - 20 экземпляров, учебники 2013 заказаны 27.09.2013 в кол-ве 20шт.)

  2. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Академия, 2013.352с. (в библиотеке - 20 экземпляров, учебники 2013 заказаны 27.09.2013 в кол-ве 20шт.)

  3. Гмурман В.Е. Практические занятия по теории вероятностей и математической статистике М.: Юрайт, 2007. 327с. (в библиотеке - 20 экземпляров, учебники 2013 заказаны 27.09.2013 в кол-ве 20шт.)

  4. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с. (в библиотеке - 20 экземпляров, учебники 2013 заказаны 27.09.2013 в кол-ве 20шт.)

Дополнительные источники:

  1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1989. 576 с.

  2. Богомолов Н.В. Практические задания по математике. М.: Высш. Шк., 2004. 495с.

  3. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 2008. 236 с.

  4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука,2008.-236 с.

  5. Электронная книга по курсу ТВ и МС http://allmathematics.ucoz.ru/load/teorija_ver_i_mat_statistika/ehlektronnaja_kniga_po_kursu_tv_i_ms/5-1-0-10

  6. Смирнов В.В. Методические рекомендации для выполнения индивидуального задания по дисциплине ТВ и МС для заочной формы http://polinskij.at.ua/load/23-1-0-137

Интернет – ресурсы

  1. Математический портал [электронная библиотека] URL: http://math-portal.ru/teorver (дата посещения 27.09.2013)

  2. Математический сайт [Теория вероятности примеры решения задач] URL: http://allmatematika.ru/page.php?25 (дата посещения 27.09.2013)

  3. Теория вероятностей и математическая статистика онлайн [интернет учебник] URL: http://teorver-online.narod.ru/teorver73.html (дата посещения 27.09.2013)

  4. Электронная книга по курсу ТВ и МС
    URL:http://allmathematics.ucoz.ru/load/teorija_ver_i_mat_statistika/ehlektronnaja_kniga_po_kursu_tv_i_ms/5-1-0-10 (дата посещения 27.09.2013)

  5. Смирнов В.В. Методические рекомендации для выполнения индивидуального задания по дисциплине ТВ и МС для заочной формы URL: http://polinskij.at.ua/load/23-1-0-137 (дата посещения 27.09.2013)









57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 13.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров83
Номер материала ДБ-078909
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх