Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания к расчетной работе «Приближенное вычисление определенных интегралов»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические указания к расчетной работе «Приближенное вычисление определенных интегралов»

библиотека
материалов

Методические указания к расчетной работе

«Приближенное вычисление определенных интегралов»


I. Теоретическая часть

1. Постановка задачи

Пусть требуется вычислить, hello_html_3c4d7702.gif где hello_html_3ca5cc9c.gif непрерывная на промежутке hello_html_79934160.gif функция. Если можно найти первообразную hello_html_41dec0d5.gif функции hello_html_7cde62b0.gif, то интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница hello_html_m2c770ee1.gif Но формула Ньютона – Лейбница не всегда позволяет вычислить данный определенный интеграл. Во многих случаях первообразные функции либо вообще не выражаются через элементарные функции, либо оказываются слишком сложными для расчетов. Если же подынтегральная функция hello_html_7cde62b0.gif задана в виде таблицы, то понятие первообразной вообще теряет смысл. Здесь на помощь приходит приближенное вычисление определенных интегралов с необходимой точностью. (Кстати на практике часто не требуется знать точное значение данного интеграла).

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла hello_html_m7727bb2e.gif по заданным или вычисленным значениям подынтегральной функции hello_html_7cde62b0.gif в некоторых точках (узлах) отрезка hello_html_fed88c.gif Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования – квадратурными. Рассмотри простейшие из них.


2. Метод прямоугольников

Если hello_html_298e3b2f.gif на сегменте hello_html_79934160.gif, то hello_html_m713b1027.gif представляет собой площадь криволинейной трапеции hello_html_m447206e4.gif, ограниченной сверху графиком функции hello_html_1e4a3c3d.gif снизу отрезком hello_html_79934160.gif оси Ox, с боков отрезками прямых hello_html_74913ac.gif


hello_html_m27b79f8f.pnghello_html_12ca2a66.png

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Составим интегральную сумму, соответствующую делению отрезка hello_html_79934160.gif на hello_html_1ed71afd.gif равных частей (отрезков) длины hello_html_72321425.gif точками hello_html_4733ae0d.gif. Обозначим далее через hello_html_m250d86fb.gif значения функции hello_html_7cde62b0.gif в точках деления hello_html_m731302e9.gif

Составим суммы hello_html_14024208.gif Каждая из этих сумм является интегральной суммой для hello_html_7cde62b0.gif на отрезке hello_html_67235cc.gif и поэтому приближенно выражает интеграл. Обозначив, hello_html_m4740aea.gif получим hello_html_m5c6a8dc4.gif (3.1)

hello_html_4dadadb5.gif(3.2) Формулы (3.1) и (3.2) называют формулами прямоугольников.

Формула (3.1) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников (см. рис. 3.1)), а формула (3.2) – площадь ступенчатой фигуры, составленной из «выходящих» прямоугольников (см. рис. 3.2)).

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формулам прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число hello_html_1ed71afd.gif (т.е. чем меньше шаг деления hello_html_7fa3140.gif).

Абсолютная погрешность приближенных равенств (3.1) и (3.2) оценивается с помощью следующей формулы

hello_html_c50e0ba.gif(3.3)


3. Метод трапеций

Естественно ожидать, что мы получим более точное значение определенного интеграла, если данную кривую hello_html_370aa5e2.gif заменим не ступенчатой линией, как это было в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (см. рис. 3.3).

Разобьем отрезок hello_html_67235cc.gif на hello_html_1ed71afd.gif равных частей длины hello_html_5f279186.gif Абсциссы точек деления hello_html_76c1dd2e.gif Пусть hello_html_m8a4b985.gif - соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид

hello_html_503cfb35.jpg hello_html_60c1d4e5.gif

hello_html_59542c12.gif

Заменим кривую hello_html_370aa5e2.gif ломаной

линией, звенья которой

соединяют концы ординат

Рис. 3.3

hello_html_1d9cdfdb.gifТогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями hello_html_c5fa3b0.gif и высотой hello_html_7fa3140.gif:

hello_html_m519437e6.gifили

hello_html_m3d537062.gif(3.4)

Формулу (3.4) называют формулой трапеций, так как её геометрический смысл связан с заменой площади каждой прямоугольной полоски, на которые разбивается криволинейная трапеция, на площадь прямоугольной трапеции (рис. 3.3).

Заметим, что формулы (3.1), (3.2), (3.4) приближают интеграл hello_html_705ddf5f.gif тем лучше, чем больше hello_html_1ed71afd.gif, т.е. число делений промежутка hello_html_79934160.gif. Известно, что абсолютная ошибка Rn, которая получается при замене определённого интеграла на hello_html_79934160.gif его приближенным значением по формуле трапеций –

hello_html_m79d078a9.gif, где hello_html_4d63cf0e.gifhello_html_32d28887.gif. (3.5)

Отсюда видно, что при возрастании hello_html_1ed71afd.gif ошибка убывает примерно как hello_html_5ba7a70f.gif


4. Метод парабол (метод Симпсона 1)

Если заменить график функции hello_html_5d3651ff.gif на каждом отрезке hello_html_116afd56.gif разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного интеграла hello_html_705ddf5f.gif Предварительно найдём площадь S криволинейной трапеции,

hello_html_154b8871.jpgограниченной сверху графиком параболы hello_html_7448f9b7.gif сбоку – прямыми hello_html_3b16750d.gifhello_html_604ce91c.gif и снизу – отрезком hello_html_63adcf8.gif. Пусть парабола проходит через три точки hello_html_967852b.gifhello_html_m3f89b1d5.gifhello_html_m70abb36c.gif

где hello_html_8d38e44.gif- ордината параболы в точке

hello_html_m36764ad0.gifhello_html_m4278bfa3.gif- ордината параболы в точке

hello_html_m5904b298.gif; hello_html_m1bbabc74.gif - ордината параболы в

точке hello_html_604ce91c.gif (см. рис 3.4). Площадь S равна

Рис. 3.4.

hello_html_36479ebb.gif(3.6)

Выразим эту площадь через hello_html_m4e28f819.gif Из равенств для ординат hello_html_5df19a36.gif находим, что hello_html_36fc0d68.gifhello_html_514b47cf.gif Подставляя эти значения hello_html_7fe88526.gif и hello_html_d872e6f.gif в равенство (3.6), получаем


hello_html_m7dfc59bc.gif

hello_html_m114b9cf2.gif(3.6?)

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла hello_html_m1208640f.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Рис. 3.5hello_html_9fdbb85.jpg


Для этого отрезок hello_html_79934160.gif разобьём на hello_html_m7940548b.gif равных частей (отрезков) длинной hello_html_6e50adfa.gif точками hello_html_m553331c8.gif В точках деления hello_html_7bc72323.gif вычисляем значения подынтегральной функции hello_html_3391a6c0.gif где hello_html_665af421.gif (см. рис.3.5)

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными hello_html_m720cc781.gif, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным hello_html_333bbb44.gif.

На отрезке hello_html_m69bf799b.gif парабола проходит через три точки hello_html_2511a386.gif Используя формулу (3.6) находим hello_html_4758d641.gif

Аналогично находим hello_html_55499e1d.gif,…,hello_html_75f3f73f.gif

Сложив полученные равенства, имеем

hello_html_22ebf516.gifили

hello_html_5ab495c6.gif. (3.7)

Формула (3.7) называется формулой парабол (или Симпсона).

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (3.7) оценивается соотношением hello_html_2335cd42.gif где hello_html_m1cbc6b13.gifhello_html_5f1095b5.gifhello_html_7f0e341f.gif (3.8)

hello_html_21947b3a.gifубывает примерно как hello_html_m3e22e60e.gif.

Если, например hello_html_m2ccaef3f.gifто формулы прямоугольников и трапеций дают ошибку порядка hello_html_m66072225.gif, а параболическая формула –hello_html_m1d6f6a8d.gif.

Отметим, что формула (3.7) даёт точное значение интеграла hello_html_705ddf5f.gif во всех случаях, когда hello_html_278687bc.gif - многочлен, степень которого меньше или равна трём (тогда hello_html_3cf5b950.gif).

Если отыскание четвертой производной подынтегральной функции затруднительно, то для оценки погрешности вычисления интеграла hello_html_m7727bb2e.gif по формуле Симпсона можно применить следующий прием.

Полагая hello_html_76a77e98.gif, вычисляют приближенное значение данного интеграла по формуле Симпсона для шага hello_html_2744aeca.gif; пусть найденное значение интеграла есть hello_html_4452d63f.gif; затем шаг hello_html_m720cc781.gif удваивают, и вычисление по формуле Симпсона проводят для шага hello_html_m2f4d265d.gif; пусть найденное значение интеграла есть hello_html_m3daf0c51.gif; погрешность второго вычисления приблизительно в 16 раз больше погрешности первого и обе они имеют одинаковый знак. Поэтому погрешность первого вычисления

( при шаге hello_html_2744aeca.gif) определяется следующей формулой (учитывающей и знак погрешности): hello_html_m6ad1aa3.gif (этот способ можно назвать оценкой погрешности формулы Симпсона по методу удвоения шага вычислений).


5. Графическое интегрирование

Это еще один способ вычисления определенного интеграла, который применяется тогда, когда подынтегральная функция задана графически. Этот метод основан на теореме о среднем.

Теорема о среднем. Если hello_html_7cde62b0.gifнепрерывная на hello_html_67235cc.gifфункция, то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере одно значение hello_html_m4f729965.gifтакое, чтоhello_html_2801b474.gif, (3.9)

т.е. в точке hello_html_7fe88526.gif, где hello_html_m9661b36.gif функция принимает свое среднее значение.

hello_html_4ee6222d.jpg


hello_html_m3793ec1f.jpg


Равенство (3.9) представим в виде hello_html_778138be.gif и предположим, что hello_html_m2c73b6c6.gif на hello_html_67235cc.gif, тогда геометрический смысл теоремы состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием hello_html_67235cc.gif и высотой, равной среднему значению функции или ординате в точке hello_html_7fe88526.gif (рис. 3.6). На рис. 3.6 функция достигает среднего значения в двух точках hello_html_m7981db94.gif

Рис. 3.6 Рис. 3.7

Рассмотрим криволинейную трапецию (рис. 3.7), площадь ее по теореме о среднем равна hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_43c52fb3.gif- площади прямоугольника с высотой hello_html_m3fe68273.gif, и длиной hello_html_m68b8fc26.gif. Проведем «на глаз» горизонтальную прямую, примерно так чтобы получить нужный прямоугольник. Абсциссы точек пересечения прямой и кривой будут те точки hello_html_m62037aba.gif, о которых упоминается в теореме о среднем. Отложим на оси Ox, слева от начала координат масштабную единицу, (на рис. 3.7 hello_html_mced6ab4.gif) и продолжим проведенную горизонтальную прямую до пересечения с осью ординат. (Если a<0, то лучше вначале слева от a провести вертикальную прямую, и при дальнейших действиях заменить ось Oy этой прямой). Пусть прямая пересекает ось Oy в точке Q, тогда OQ=f(hello_html_m62037aba.gif). Соединим точки P и Q и из точки a проведем прямую aM параллельно PQ до пересечения в точке M с ординатой из точки b.

Покажем, что hello_html_3261938e.gif, т.е. величина отрезка bM численно равна значению определенного интеграла.

Действительно hello_html_m47d341.gif. Отсюда

hello_html_378d9320.gif.

hello_html_62ce94.jpg

Замечание. На рис.3.7 функция f(x)>0 и bM>0. Высказанное предложение имеет место для любой непрерывной на hello_html_67235cc.gifфункции f(x). Например, на рис. 3.8 функция f(x) меняет знак.

Заштрихованные площади равны по модулю и противоположны по знаку, hello_html_m7727bb2e.gif будет

Рис. 3.8 отрицателен. Проведя предыдущие построения, получаем отрезок bM, величина которого отрицательна и здесь hello_html_3261938e.gif.


II. Порядок выполнения работы

Задание 3.1

Вычислить hello_html_m7727bb2e.gif по формуле Ньютона – Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на hello_html_1ed71afd.gif равных частей. Оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.

Решение:

  1. Вычислим по формуле Ньютона – Лейбница hello_html_m7d4c5540.gif.

  2. Делим интервал интегрирования hello_html_67235cc.gif на hello_html_1ed71afd.gif равных частей длиной hello_html_7fa3140.gif точками hello_html_m79225348.gif, при этом hello_html_70488bab.gif. (Для формулы Симпсона на hello_html_m7940548b.gif частей с шагом hello_html_3444b4fc.gif).

  3. Вычислим значения подынтегральной функции hello_html_4f5e6056.gif

  4. Полученные значения занесем в таблицу 3.1:

Таблица 3.1 5. Вычислим данный интеграл по приближенным

формулам:

k

xk=x0+kh

yk=f(xk)

0

x0=a

y0

1

x1=a+h

y1

n

xn=a+nh

yn

1) по первой формуле прямоугольников

hello_html_m6d4ebf7b.gif.

Найдем абсолютную ошибку этого приближения

hello_html_50c0af7c.gif(по недостатку) и относительную

(процентную) ошибку hello_html_m630873af.gif.

2) по второй формуле прямоугольников hello_html_3210b57f.gif.

Найдем для этого приближения абсолютную и относительную (по избытку) (см.1)).

3) по формуле трапеций hello_html_42e10eef.gif.

Найдем абсолютную и относительные ошибки.

4) по формуле Симпсона hello_html_78ea0cd8.gif.

Найдем абсолютную и относительные ошибки этого приближения.

  1. Результаты занесем в таблицу 3.2. Таблица 3.2

Методы вычисления

Фор-ла Ньютона-

Лейбница

Фор-ла прямоугол.


Фор-ла

трапеций

Фор-ла Симпсона

по

недост.

по избыт.



hello_html_152663b7.gif

hello_html_m575b8f8.gif





hello_html_m717959a6.gif

-





hello_html_m6bf07f8e.gif

-






Задание 3.2

Определить на какое число частей следует разделить интервал интегрирования hello_html_67235cc.gif, для приближенного вычисления интеграла hello_html_m7727bb2e.gif методом:

а) прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона, чтобы получить заданную точность вычисления hello_html_363d9209.gif.

Решение:

а). Найдем hello_html_1ed71afd.gif для формул прямоугольников:

1. Найдем производную подынтегральной функции hello_html_31ab8d11.gif.

2. Найдем наибольшее значение hello_html_79aab084.gif на hello_html_67235cc.gifhello_html_30a92cfe.gif.

3. Подставив значения hello_html_66849bfc.gif, запишем выражение предельной абсолютной погрешности hello_html_m9cc4e28.gif.

4. Решая неравенство hello_html_283b780f.gif, где hello_html_363d9209.gif- заданное значение, найдем искомое число hello_html_1ed71afd.gif.

б) Найдем hello_html_1ed71afd.gif для формулы трапеций:

1. Найдем hello_html_6290dfb7.gif, дифференцируя найденное значение hello_html_31ab8d11.gif второй раз.

2. Найдем наибольшее значение hello_html_m453dee8a.gif на hello_html_67235cc.gifhello_html_3807c34e.gif.

3. Подставив значения hello_html_18f79cde.gif, запишем выражение предельной абсолютной погрешности: hello_html_2c23535e.gif.

4. Решая неравенство hello_html_2afab64b.gif, где hello_html_363d9209.gif- заданное значение точности, найдем искомое число hello_html_1ed71afd.gif.

в) Найдем hello_html_m7940548b.gifдля формулы Симпсона:

1. Найдем hello_html_m59525281.gif, дважды дифференцируя найденную вторую производную hello_html_6290dfb7.gif.

2. Найдем наибольшее значение hello_html_2205d025.gif на hello_html_67235cc.gifhello_html_456d9f83.gif.

3. Подставив значения hello_html_208a9317.gif, запишем выражение предельной абсолютной погрешности: hello_html_m4b29b313.gif.

4. Решая неравенство hello_html_m6a077fd1.gif, где hello_html_363d9209.gif- заданная степень точности, найдем искомое число hello_html_m7940548b.gif.


Задание 3.3.

Пусть функция hello_html_370aa5e2.gif представлена на hello_html_67235cc.gifкривой, изображенной на рис. Графически проинтегрировать эту кривую.

Решение:


  1. Разобьем hello_html_67235cc.gif на n не обязательно равных частей, но так, чтобы на каждом частичном интервале функция вела себя монотонно точками hello_html_55064d41.gif. Отмечаем середину каждого из частичных интервалов: hello_html_1a4e9090.gif, проводим ординаты точек hello_html_7f942295.gif до пересечения с кривой и проектируем точки пересечения на ось Oy. Получаем OQ1=f(hello_html_m1a3d09a1.gif), OQ2=f(hello_html_642ecff7.gif),…, OQn=f(hello_html_2234094.gif). Будем считать, что точки hello_html_7f942295.gif, это точки, фигурирующие в теореме о среднем на промежутке hello_html_3135b197.gif, т.е. hello_html_m635682ff.gif. Так как промежуток hello_html_3135b197.gif мал, то мы считаем, что hello_html_7f942295.gif- середина промежутка.

  2. Слева от начала координат на оси Ox откладываем отрезок OP, причем hello_html_mced6ab4.gif(масштабная единица) и соединяем P с точками Q1, Q2,…,Qn.

  3. Из точки a проводим прямую aM1//PQ1 до пересечения в точке M1 с ординатой из x1. Согласно высказанного вначале предложения

hello_html_m3c856ce6.gif.

  1. Далее из точки M1 проводим прямую M1M2//PQ2 до пересечения в точке M2 с ординатой из x2.

hello_html_1c713f54.gif.

  1. Из точки M2 проводим прямую M2M3//PQ3 до пересечения в точке M3 с ординатой из x3.

hello_html_3e61db8b.gif. И т.д.

  1. Из точки Mn-1 проводим прямую Mn-1Mn//PQn до пересечения в точке Mn с ординатой из xn=b.

hello_html_227780c5.gif.

Замечание. Ломанная aM1M2Mn изображает (приближенно) график функции hello_html_m1cabab3f.gif (см. рис. 3.9). Так что если взять какое-то значение xhello_html_m3bdc747.gif, то ордината ломанной, соответствующая этому значению x, будет величина hello_html_m1cabab3f.gif. Конечно, чем больше n, тем точнее получается результат.



III. Примеры

Задание 3.1

Вычислить hello_html_m73ab859b.gif по формуле Ньютона – Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на 8 равных частей. Оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.

Решение:

  1. Вычислим по формуле Ньютона – Лейбница hello_html_m7d4c5540.gif.

hello_html_356ff4c4.gif

  1. Делим интервал интегрирования hello_html_3fd74789.gif на hello_html_12b6e7ea.gif равных частей длиной hello_html_49f9d4c4.gifточками hello_html_5b092ae2.gif.

  1. Вычислим значения подынтегральной функции

hello_html_m127f32a3.gifhello_html_m6c5b1dc.gif4. Полученные значения занесем в таблицу 3:

Таблица 3.3

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

xk

1

2

3

4

5

6

7

8

9

yk

1,0000

2,6458

3,6056

4,3589

5,0000

5,5678

6,0828

6,5574

7,0000

5. Вычислим данный интеграл по приближенным формулам:

1) по первой формуле прямоугольников: hello_html_m6d4ebf7b.gif.

hello_html_m55906a0e.gif

Найдем абсолютную ошибку этого приближения (по недостатку) hello_html_50c0af7c.gif=

=hello_html_m28419e24.gif и относительную (процентную) ошибку

hello_html_m630873af.gif=hello_html_m786b8423.gif

2) по второй формуле прямоугольников hello_html_3210b57f.gif.

hello_html_56e2f6ae.gif

Найдем для этого приближения абсолютную ошибку (по избытку) hello_html_4ca0431d.gif и относительную ошибку

hello_html_7558429d.gif

3) по формуле трапеций hello_html_42e10eef.gif.

hello_html_448d1c6.gifНайдем абсолютную ошибку этого приближения hello_html_m2c706197.gif и относительную ошибку

hello_html_38a4ead.gif

4) по формуле Симпсона hello_html_78ea0cd8.gif.

hello_html_m35df00e2.gif

Найдем абсолютную ошибку hello_html_7b1fafac.gif и относительную ошибку этого приближения

hello_html_6258500c.gif

  1. Результаты занесем в таблицу 3.4.

Таблица 3.4

Методы вычисления

Фор-ла Ньютона-

Лейбница

Фор-ла прямоугол.


Фор-ла

трапеций

Фор-ла Симпсона

по

недост.

по избыт.

hello_html_152663b7.gif

38

34,8183

40,8183

37,8183

37,9655

hello_html_m717959a6.gif

-

3,1817

2,8183

0,1817

0,0345

hello_html_m6bf07f8e.gif

-

8,37%

7,42%

0,48%

0,09%


Задание 3.2

Определить на какое число частей следует разделить интервал интегрирования hello_html_m26e0721c.gif, для приближенного вычисления интеграла hello_html_m53c8ab3e.gif методом:

а) прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона с точностью hello_html_6ee6faef.gif

Решение:

а). Найдем hello_html_1ed71afd.gif для формул прямоугольников:

1. Найдем производную подынтегральной функции hello_html_31ab8d11.gif.

hello_html_m1d22cefb.gif

2. Найдем наибольшее значение hello_html_79aab084.gif на hello_html_m26e0721c.gifhello_html_4d7bed2e.gif.

3. Подставив значения hello_html_d02c00d.gif, запишем выражение предельной абсолютной погрешности hello_html_m21d6a44b.gif.

4. Решая неравенство hello_html_7d0805ca.gif, найдем искомое число hello_html_1ed71afd.gif. Т.к. 0,00001=10-5, то, hello_html_76ef9ac5.gif Следовательно, чтобы

вычислить данный интеграл с точностью до 0,00001 надо разделить интервал интегрирования на n=123246 равных частей.

б) Найдем hello_html_1ed71afd.gif для формулы трапеций:

1. Найдем hello_html_6290dfb7.gif, дифференцируя найденное значение hello_html_31ab8d11.gif второй раз.

hello_html_151f7e96.gif

2. Найдем наибольшее значение hello_html_m453dee8a.gif на hello_html_m26e0721c.gif

hello_html_m2652824e.gif

3. Подставив значения hello_html_m4aa45e2a.gif, запишем выражение предельной абсолютной погрешности: hello_html_b4b0d57.gif

4. Решая неравенство hello_html_m66721d68.gif

Нашли число n=180 (как ближайшее целое число к 179,58), на которое надо разбить интервал интегрирования, чтобы вычислить приближенно по формуле трапеций данный интеграл с точностью 0,00001

в) Найдем hello_html_m7940548b.gifдля формулы Симпсона:

1. Найдем hello_html_m59525281.gif, дважды дифференцируя найденную вторую производную hello_html_6290dfb7.gif: hello_html_285408b5.gif

2. Найдем наибольшее значение hello_html_2205d025.gif на hello_html_m26e0721c.gifhello_html_1e283fb5.gif.

3. Подставив значения hello_html_1813754d.gif, запишем выражение предельной абсолютной погрешности: hello_html_m5f264ee2.gif.


4. Решая неравенство

hello_html_5471f66d.gifБлижайшее четное число большее 8,5 - n=10 , следовательно, интервал интегрирования надо разделить на 10 равных частей, чтобы при вычислении данного интеграла получить его приближенное значение по формуле Симпсона с точностью до 0,00001.


Задание 3.3.

Графически проинтегрировать кривую, изображенную на рис. 3.9.


hello_html_m3157e28f.jpg

Рис. 3.9


Решение:

Пусть функция hello_html_370aa5e2.gif представлена на hello_html_67235cc.gifкривой, изображенной на рис.8.

  1. Разобьем hello_html_67235cc.gifна n не обязательно равных частей, но так, чтобы на каждом частичном интервале функция вела себя монотонно. На рис. 3.9 n=4 и точки деления a=x0, x1 ,x2 ,x3,x4=b.

  2. Отмечаем середину каждого из частичных интервалов: hello_html_2ae1ccdb.gif, проводим ординаты точек hello_html_7f942295.gif до пересечения с кривой и проектируем точки пересечения на ось Oy. Получаем OQ1=f(hello_html_m1a3d09a1.gif), OQ2=f(hello_html_642ecff7.gif), OQ3=f(hello_html_m43b7bc97.gif), OQ4=f(hello_html_13ec849.gif). Будем считать, что точки hello_html_7f942295.gif, это точки, фигурирующие в теореме о среднем на промежутке hello_html_3135b197.gif, т.е. hello_html_m635682ff.gif. Так как промежуток hello_html_3135b197.gif мал, то мы считаем, что hello_html_7f942295.gif- середина промежутка.

  3. Слева от начала координат на оси Ox откладываем отрезок OP, причем hello_html_mced6ab4.gif(масштабная единица) и соединяем P с точками Q1, Q2,Q3,Q4.

  4. Из точки a проводим прямую aM1//PQ1 до пересечения в точке M1 с ординатой из x1. Согласно высказанного вначале предложения

hello_html_m3c856ce6.gif.

  1. Далее из точки M1 проводим прямую M1M2//PQ2 до пересечения в точке M2 с ординатой из x2.

hello_html_1c713f54.gif.

  1. Из точки M2 проводим прямую M2M3//PQ3 до пересечения в точке M3 с ординатой из x3.

hello_html_3e61db8b.gif.

  1. Из точки M3 проводим прямую M3M4//PQ4 до пересечения в точке M4 с ординатой из x4=b.

hello_html_64a9fb21.gif.


IV. Контрольные вопросы

1. В каких случаях применяется приближенное вычисление определенных интегралов?

2. Формулы прямоугольников.

3. Формула трапеций.

4. Формула Симпсона.

5. Формула абсолютной погрешности.

6. Формула относительной погрешности.

7. Когда применяется графическое интегрирование?

8. Сформулировать теорему о среднем.

9. Графический смысл теоремы о среднем.

10. Алгоритм метода графического интегрирования?


V. Индивидуальные задания

Задание 3.1 Вычислить hello_html_m7727bb2e.gifпо формуле Ньютона – Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал интегрирования на hello_html_1ed71afd.gif равных частей. Оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой.


Таблица 3.5

вар

hello_html_m7727bb2e.gif, hello_html_1ed71afd.gif

вар

hello_html_m7727bb2e.gif, hello_html_1ed71afd.gif

вар

hello_html_m7727bb2e.gif, hello_html_1ed71afd.gif

1

hello_html_5190bf04.gifn=10.

11

hello_html_m29cc5793.gif

21

hello_html_m1d00783d.gif

2

hello_html_2c71e269.gif, n=10.

12

hello_html_m37cf5fe.gif

22

hello_html_m4ff38aaa.gif

3

hello_html_1f7049a5.gifn=10.

13

hello_html_m22268ef6.gif

23

hello_html_m42bc03d.gif

4

hello_html_1f7049a5.gifn=10.

14

hello_html_m452eb760.gif

24

hello_html_m685af914.gif

5

hello_html_m7e129a7a.gif, n=10.

15

hello_html_m7b1cebd1.gif

25

hello_html_m3c476ba9.gif

6

hello_html_46088d08.gifn=10.

16

hello_html_319a05b3.gif

26

hello_html_3adfd30.gif

7

hello_html_484a5c17.gif, n=10.

17

hello_html_m75a5893c.gif

27

hello_html_4732cb3d.gif

8

hello_html_m462d4564.gifn=10.

18

hello_html_m43dd0091.gif

28

hello_html_m63dcc9cc.gif

9

hello_html_4d8fd257.gif, n=10.

19

hello_html_m533ad593.gif

29

hello_html_1563adbe.gif

10

hello_html_m679e7c6f.gif, n=10.

20

hello_html_m38947fe.gif

30

hello_html_m64c089fa.gif



Задание 3.2

Определить на какое число частей следует разделить интервал интегрирования hello_html_67235cc.gif, для приближенного вычисления интеграла hello_html_m7727bb2e.gif методом: а) прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона, чтобы получить заданную точность вычисления hello_html_363d9209.gif.




Таблица 3.6

вар hello_html_m7727bb2e.gif, hello_html_363d9209.gif

вар hello_html_m7727bb2e.gif, hello_html_363d9209.gif

вар hello_html_m7727bb2e.gif, hello_html_363d9209.gif

1. hello_html_mab79ebf.gif, hello_html_m70dd6e77.gif

11. hello_html_m2449539f.gif

21.hello_html_m62bca770.gif

2. hello_html_m7e129a7a.gif, hello_html_m403c5eb5.gif

12. hello_html_4e25e6e5.gif

22.hello_html_782200af.gif

3. hello_html_m638c1238.gif, hello_html_m403c5eb5.gif

13. hello_html_787c0f71.gif

23.hello_html_66196cf4.gif

4. hello_html_4d8fd257.gif, hello_html_m403c5eb5.gif

14.hello_html_m1720b02.gif

24.hello_html_6741db2f.gif

5. hello_html_m462d4564.gifhello_html_m403c5eb5.gif

15. hello_html_m252c1271.gif

25.hello_html_519d7cd0.gif

6. hello_html_m30503555.gifhello_html_m403c5eb5.gif

16. hello_html_4423fc7c.gif

26.hello_html_m46cd7efc.gif

7. hello_html_484a5c17.gif, hello_html_m403c5eb5.gif

17. hello_html_m3c31df8.gif

27.hello_html_m739629b3.gif

8. hello_html_m7e129a7a.gif, hello_html_m403c5eb5.gif

18. hello_html_5c416ee8.gif

28.hello_html_m7fe6f634.gif

9. hello_html_1f7049a5.gifhello_html_m403c5eb5.gif

19. hello_html_m74508f0d.gif

29.hello_html_6a2d5de.gif

10. hello_html_m3c31df8.gif

20. hello_html_75132af4.gif

30.hello_html_4afcf8d8.gif








1 Симпсон Томас (1710-1761) – английский математик.

16


Автор
Дата добавления 10.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров346
Номер материала ДВ-324166
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх