Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодические указания к самостоятельной работе по дисциплине ОУД.04 «Математика» Расчетно-графическая работа «Вычисление площадей поверхности и объёмов геометрических фигур»

Методические указания к самостоятельной работе по дисциплине ОУД.04 «Математика» Расчетно-графическая работа «Вычисление площадей поверхности и объёмов геометрических фигур»

Скачать материал

Методические указания к самостоятельной работе

по дисциплине ОУД.04 «Математика»

Расчетно-графическая  работа

 «Вычисление площадей поверхности и объёмов геометрических фигур»

 

Теория

Определение: Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Виды параллелепипедов:

1)      Прямой это такой параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскостям основания. (У него все боковые грани являются прямоугольниками, а основания  параллелограммами).

2)      Прямоугольный параллелепипед это прямой параллелепипед, но в основании которого лежит прямоугольник. (У него все грани являются прямоугольниками).

3)      Куб это прямоугольный параллелепипед у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны. (У куба все грани    равные квадраты).

 

Определение: Диагональное сечение призмы это пересечение призмы с диагональной плоскостью. У прямоугольного параллелепипеда диагональное сечение  это прямоугольник, одна из сторон которого равна диагонали прямоугольника, лежащего в основании, а вторая сторона является боковым ребром параллелепипеда.

 

Определение: Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной.

Виды пирамид:

1)Треугольная, четырёхугольная, пятиугольная,... -в зависимости от многоугольника, лежащего в основании пирамиды;

2) Правильная и неправильная пирамида.

Определение: Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания.

Определение: Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из её вершины (

Основные формулы:

                                                          

Куб:    -диагональ куба, ребро которого равно ;

          -диагональ квадрата со стороной ; 

 -объём куба;         

 

                          Призма:

, где  длина бокового ребра- периметр перпендикулярного сечения призмы;

2. Sполн. пов. = Sбок + 2 Sосн - площадь полной поверхности призмы, где

- площадь основания правильной треугольной призмы;

3. Vпризмы = Sоснов ·H, где Н- высота призмы,

     если призма прямая, то её высотой является боковое ребро: H=         

Пирамида:

- площадь основания правильной треугольной пирамиды;

- периметр основания правильной треугольной пирамиды;

 - площадь боковой поверхности правильной пирамиды;

          

 

Усечённая пирамида:

 ; , где  и b- стороны оснований;

;   - площади оснований правильной треугольной усечённой пирамиды;

 -объём усечённой пирамиды;

 где апофема усечённой пирамиды;

-

площадь полной поверхности усечённой пирамиды

 

Тела вращения

Цилиндр:

;  

площадь полной поверхности цилиндра;

- объём цилиндра;

-площадь осевого сечения цилиндра;

-площадь перпендикулярного сечения цилиндра.

 

Конус:

-площадь перпендикулярного сечения конуса, r-радиус круга в сечении;

- площадь основания конуса;

- площадь боковой поверхности конуса;- площадь полной поверхности конуса;

- объём конуса, где H- высота конуса.

                         

 

Шар:

- площадь поверхности шара; R- радиус шара;

- объём шара;

-площадь сечения шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстояние d;    - радиус круга в сечении;

 площадь осевого сечения шара.

Вписанные и описанные многогранники и тела вращения

                

          Рис.1                                    Рис.2                                     Рис.3

 

Рис.1 - Правильная четырёхугольная призма, описанная вокруг цилиндра;

Рис.2- Конус, описанный вокруг правильной четырёхугольной пирамиды, в которую вписан второй конус;

Рис.3- Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы;                                                                  

                 

             Рис.4                                Рис.5                                 Рис.6

 

Рис.4- Куб, вписанный в шар;

Рис.5- Цилиндр, описанный вокруг шара

Рис.6-Конус, вписанный в цилиндр.

Типовой расчёт заданий

Задание 1. Найдите площадь многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

 

Решение

Поверхность многогранника состоит из двух квадратов со стороной 2, площадь каждого из которых равна 4, четырёх прямоугольников со сторонами 1 и 2, площадь каждого из которых равна 2, и двух невыпуклых шестиугольников ,  площадь каждого из которых равна

. Значит, площадь поверхности многогранника равна сумме площадей указанных многоугольников:

Ответ: 22

Задание 2. Найдите объём фигуры, изображённой на рисунке. Её основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Решение

 Данный многогранник представляет из себя четырёхугольную пирамиду, в основании которой лежит квадрат со стороной 6, из которой вырезана пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной 3, а вершина совпадает с вершиной первой пирамиды. Высотой обеих пирамид является боковое ребро первой пирамиды, по условию, перпендикулярное плоскости основания пирамиды и равное 3. Объём пирамиды находится по формуле

,  тогда получаем:

.          

       Ответ: 27

Задание 3.  Радиусы двух шаров равны 6 и 8 см. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей данных шаров.

Решение

 

Площадь поверхности данных шаров равна

 ,

Радиус шара, площадь которого равна сумме площадей поверхностей данных шаров:   , отсюда находим  R==10 (см).

 

Ответ: 10 см

Задание 4. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то площадь его поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба и его объём (Рис.1)

                                             

              Рис.1                                                                    Рис.2

Решение

Обозначим ребро куба х (Рис.2). Шесть равных граней куба являются квадратами, поэтому площадь поверхности куба . Если ребро куба увеличить на 1, то оно станет равно , а площадь поверхности- . Учитывая, что площадь поверхности  куба при этом увеличивается на 30, получаем уравнение

, решая его находим х=2.

Ответ: 2

Задание 5. В цилиндрический сосуд. в котором находится 6  воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза.

Чему равен объём детали?

Решение

Обозначим  высота водяного столба начальная и - после погружения детали. Водяной столб имеет форму цилиндра, объём цилиндра

Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза (, а площадь основания цилиндра не изменилась, то и объём увеличился в 1,5 раза,  т.е. стал равен   

Следовательно, объём детали равен 

 

                         

 

Ответ:

 

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы:

Основные источники:

1. Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие для СПО/ Алпатов А.В.— Электрон. текстовые данные.— Саратов: Профобразование, Ай Пи Эр Медиа, 2019.— 162 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/80328.html.— ЭБС «IPRbooks»

2. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2018.

Дополнительные источники:

1. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2015.

2. Григорьев В. П. Математика: учебник. - М.: Академия, 2016.

3. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для всех специальностей. — М. : Российский государственный университет правосудия, 2015

 

Аннотация

В период дистанционного обучения сложность у обучающихся колледжа при изучении нового материала и выполнении заданий самостоятельной работы возникает из-за отсутствия прямого контакта с преподавателем.

Методические указания к самостоятельной работе по дисциплине ОУД.04 «Математика» для обучающихся СПО первого курса по теме «Расчётно-графическая работа «Вычисление площадей поверхности и объёмов геометрических фигур»» поможет студентам обобщить и систематизировать изученный теоретический материал по теме, разобраться в решении типовых заданий по приведённым в пособии примерам.

В пособии приведён список рекомендованных источников, интернет- ресурсов.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал

Краткое описание документа:

Аннотация

В период дистанционного обучения сложность у обучающихся колледжа при изучении нового материала и выполнении заданий самостоятельной работы возникает из-за отсутствия прямого контакта с преподавателем.

Методические указания к самостоятельной работе по дисциплине ОУД.04 «Математика» для обучающихся СПО первого курса по теме «Расчётно-графическая работа «Вычисление площадей поверхности и объёмов геометрических фигур»» поможет студентам обобщить и систематизировать изученный теоретический материал по теме, разобраться в решении типовых заданий по приведённым в пособии примерам.

В пособии приведён список рекомендованных источников, интернет- ресурсов.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 103 625 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 25.05.2020 325
    • DOCX 414.1 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кихтенко Нелли Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кихтенко Нелли Анатольевна
    Кихтенко Нелли Анатольевна
    • На сайте: 5 лет и 7 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 33482
    • Всего материалов: 40

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой