Методические указания к выполнению практических работ по математике для специальности "Технология продукции общественного питания"

Скачать материал

Государственное автономное образовательное учреждение

Мурманской области среднего профессионального образования

«Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»

Методические указания

к выполнению практических работ по дисциплине

«Математика»

на 1 курсе

для специальности

19.02.10 «Технология продукции общественного питания»

2015 г.

Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Математика» разработаны на основе рабочей программы учебной дисциплины «Математика» для специальности 19.02.10 «Технология продукции общественного питания»

Организация-разработчик: ГАОУ МО СПО «Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»

Разработчики:

Кармановская Т.В., преподаватель ГАОУ МО СПО МСК им. Н. Е.Момота

Рассмотрены и одобрены

предметно-цикловой комиссией

«Естественнонаучные дисциплины»

Председатель _______ И.А. Егорова

Протокол № _____

от «___» _______________ 2015 года.

Рецензент:

Содержание

Пояснительная записка…………………………………………………..…..4

Практическая работа №1………………………………………………..……5

Практическая работа №2………………………………………………..……6

Практическая работа №3………………………………………………..…..8

Практическая работа №4………………………………………………..…..9

Практическая работа №5………………………………………………..…..10

Практическая работа №6………………………………………………..…..12

Практическая работа №7………………………………………………..…..13

Практическая работа №8……………………………………………..……..14

Практическая работа №9……………………………………………..……..15

Практическая работа №10…………………………………………………..16

Практическая работа №11…………………………………………………..18

Практическая работа №12…………………………………………………..19

Практическая работа №13…………………………………………………..20

Практическая работа №14…………………………………………………..21

Практическая работа №15…………………………………………………..21

Практическая работа №16…………………………………………………..23

Практическая работа №17…………………………………………………..26

Практическая работа №18…………………………………………………..27

Практическая работа №19…………………………………………………..28

Практическая работа №20…………………………………………………..30

Практическая работа №21…………………………………………………..32

Практическая работа №22…………………………………………………..32

Практическая работа №23…………………………………………………..34

Практическая работа №24…………………………………………………..36

Практическая работа №25…………………………………………………..37

Практическая работа №26…………………………………………………..38

Рекомендуемая литература…………………………………………………39

Пояснительная записка

По учебному плану в соответствии с рабочей программой на изучение дисциплины обучающимися предусмотрено аудиторных занятий 273 часов, из них практических занятий – 26 часов. В методические указания 26 практических работ по темам данного курса. Каждая практическая работа содержит сведения о цели ее проведения и практическом использовании.

Практические занятия

Номер заня- тия	Наименование темы занятия	Номер раздела, тема дисциплины	Объем в часах
Номер заня- тия	Наименование темы занятия	Номер раздела, тема дисциплины	Аудиторных	СРС
1	2	3	5	6
1	Целые и рациональные числа. Арифметический корень натуральной степени	1. Действительные числа	1
2	Иррациональные уравнения	2. Степенная функция	1
3	Показательные уравнения	3. Показательная функция	1
4	Логарифмические уравнения	4. Логарифмическая функция	1
5	Радианная мера угла	5. Тригонометрические формулы	1
6	Уравнение cosx = a	6. Тригонометрические уравнения	1
7	Показательные неравенства	3. Показательная функция	1
8	Уравнение sinx = a	6. Тригонометрические уравнения	1
9	Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла	5. Тригонометрические формулы	1
10	Формулы приведения	5. Тригонометрические формулы	1
11	Уравнение tgx=a	6. Тригонометрические уравнения	1
12	Решение тригонометрических уравнений	6. Тригонометрические уравнения	1
13	Изображение пространственных фигур на плоскости	8. Параллельность прямых и плоскостей	1
14	Расстояние между точками. Координаты середин отрезка.	10. Декартовы координаты и векторы в пространстве	1
15	Свойства тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции	11. Тригонометрические функции	1
16	Геометрический смысл производной	Раздел 12. Производная и её геометрический смысл.	1
17	Возрастание и убывание функции	Раздел 13. Применение производной к исследованию функций	1
18	Точки экстремума функции	Раздел 13. Применение производной к исследованию функций	1
19	Наибольшее и наименьшее значение функции	Раздел 13. Применение производной к исследованию функций	1
20	Исследование функции с помощью производной	Раздел 13. Применение производной к исследованию функций	1
21	Первообразная функции	Раздел 14. Интеграл.	1
22	Действия над векторами	Раздел 15. Декартовы координаты и векторы в пространстве	1
23	Многогранники	Раздел 16. Многогранники	1
24	Тела вращения	Раздел 17. Тела вращения.	1
25	Объем и площадь полной поверхности многогранников	Раздел 18. Объёмы многогранников.	1
26	Объем и площадь полной поверхности тел вращения.	Раздел 19. Объёмы и поверхности тел вращения.	1
	Итого		26

Практическая работа № 1

Тема: «Целые и рациональные числа.

Арифметический корень натуральной степени»

Цель: сформировать умение переводить обыкновенную дробь в десятичную и наоборот.

Краткие теоретические сведения к практической работе

Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6,….

Целые числа:

Рациональные числа имеют вид:

, где m – целое число,

n – натуральное число.

Существуют дроби десятичные (конечные и бесконечные), обыкновенные (правильные и неправильные).

Бесконечная десятичная дробь подразделяется на периодическую и непериодическую.

Например - 0,3333…. – дробь периодическая, повторяющуюся цифру 3 - называют её периодом и кратко записывают 0, (3), читается : «ноль целых и три в периоде».

Определение: Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.

Например : десятичная дробь

45,1834343434… = 45,18(34)

Читается : «45 целых, 18 сотых и 34 в периоде».

Задача 1. Записать число в виде десятичной дроби.

Поделим уголком

27 _____

22 2, 4545...

6...

Остатки повторяются, в частности группа цифр 45. Следовательно,

= 2,4545… = 2,(45).

Определение : Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, т. к. может быть представлена в виде дроби , где m – целое число, n – натуральное число.

Задача 2. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь 0,2(18) в виде обыкновенной.

Пусть х = 0,2(18) = 0,2181818…. .Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножаем обе части на 10, получаем

10 х = 2,181818… . (1)

Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому, умножаем обе части равенства (1) на 100, получаем

1000 х = 218,1818… . (2)

Вычитаем из равенства (2) равенство (1). Получаем

1000 х – 10 х = 218,1818 – 2,181818,

990 х = 216.

Выражаем х, получаем

Определение: Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Иррациональные числа так же как и рациональные могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Например:

С точностью до одной десятой

2,2360679774 …

Следовательно

Задача 3. ,

полученный результат является иррациональным.

Содержание практической работы

Вариант 1

1. Перевести десятичную дробь в обыкновенную

а) 2,(3),

б) 6, 7(3),

в) 4,(72),

г) 1, 5(21).

2. Перевести обыкновенную дробь в десятичную

а) ,

б) ,

в) .

3. Вычислить и определить каким числом является полученный результат (иррациональным или рациональным)

а) (,

б)

в)

г)

Практическая работа № 2

Тема: «Иррациональные уравнения»

Цель: сформировать умение решать иррациональные уравнения различного уровня.

Краткие теоретические сведения к практической работе

Определение: Уравнение называется иррациональным, если под знаком корня находится переменная.

Решение иррационального уравнения основано на следующем свойстве: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Решение примеров:

1) ,

Возведем обе части уравнения во вторую степень (так как корень второй степени)

, в результате получаем

, выражаем x

Проверка:

Подставляем полученный корень уравнения в первоначальное уравнение

, получаем

– верное равенство получили, следовательно является корнем уравнения.

: .

2) ,

Возведем обе части уравнения третью степень (так как корень третей степени)

Проверка:

Подставляем полученный корень уравнения в первоначальное уравнение

- верное равенство получили, следовательно является корнем уравнения.

: .

Содержание практической работы

Вариант 1

Решить уравнение

а)

б)

в)

г)

Практическая работа №3

Тема : «Показательные уравнения»

Цель: сформировать умение решать показательные уравнения.

Краткие теоретические сведения

Определение: Уравнение называется показательным, если в степени находится переменная.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения , где неизвестное.

Решение примеров:

Решить уравнение

1) сведем уравнение к общему основанию 3, получим

, основания равны следовательно и степени равны

разделим обе части уравнения на 2

=1,5

Ответ: x = 1,5.

2), сведем уравнение к общему основанию 2, получим

, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаем

, основания равны следовательно и степени равны

разделим обе части уравнения на 10, получим

Ответ: .

3) сведем уравнение к общему основанию 8, получим

, основания равны следовательно и степени равны

разделим обе части уравнения на -5

Ответ: .

Содержание практической работы

Решить уравнение:

Вариант 1

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

Практическая работа №4

Тема: «Логарифмические уравнения»

Цель: сформировать умение решать логарифмические уравнения.

Краткие теоретические сведения

Уравнение , где имеет единственный корень, который называют логарифмом числа по основанию и обозначают .

Определение: Логарифмом положительного числа по основанию , где , называется показатель степени с, в которую надо возвести число , чтобы получить .

Записывается

, если – основное логарифмическое тождество.

Действие нахождения логарифма называется логарифмированием. Действие нахождения числа по его логарифму называется потенцированием.

Основные свойства логарифмов:

1) +,

3) ,

4) .

Решение примеров:

разделим обе части на 5

Проверка:

Подставим в первоначальное уравнение и проверим равенство полученное

– равенство верное.

Ответ:

2) ,

применим к левой части первое свойство логарифмов

по определению логарифма получим

Проверка:

– подставляем в первоначальное уравнение

верное равенство, следовательно является корнем уравнения.

подставляем в первоначальное уравнение

– т. к. по определению подлогарифмическое число положительно, следовательно равенство не выполнимо и не является корнем уравнения.

Ответ:

Содержание практической работы

Вариант 1

Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение

Практическая работа №5

Тема : «Радианная мера угла»

Цель: сформировать умение применять для вычисления формулы перехода из градусной меры угла в радианную и наоборот, решать задачи практического содержания на вычисление длины дуги, радиуса и площади кругового сектора.

Краткие теоретические сведения

Определение: центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.

(1)

(2)

Таблица наиболее встречающихся углов в градусной и радианной мере

Градусы	0	30	45	60	90	180
Радианы	0

Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Т. К. угол в 1 радиан стягивает дугу, длина которой равна радиусу R, то угол в рад стягивает дугу длиной

. (3)

Площадь кругового сектора радиуса R, образованного углом в рад, равна

. (4)

Решение примеров:

1) Найти радианную меру угла

а) .

б) .

2) Найти градусную меру угла

а) .

3) Найти радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 3 см, если радиус окружности 1,5 см.

Решение:

Из формулы выразим

, подставим данные

рад.

Ответ: рад.

4) Вычислить радиус окружности, если дуге длиной 0,36 м соответствует центральный угол в 0,9 рад.

Решение:

Из формулы выразим

, подставим данные

см.

Ответ: см.

Содержание практической работы

Вариант 1

1. Найдите радианную меру угла:

а) 4⁰,

б) 130⁰,

в) 260⁰.

2. Найдите градусную меру угла:

а) ,

б) ,

в) .

3. Заполните таблицу:

	40
,рад
R, м	3		8
l, м		9		8
S, м²			65

Практическая работа №6

Тема: «Уравнение cos x = a»

Цель: сформировать умение решать уравнения вида cosx = a, с использованием общей формулы, а так же частных случаев.

Краткие теоретические сведения

Определение: Аркскосинусом числа а называется такое число , косинус которого равен a:

если .

Корни уравнения , где , выражаются формулой

. (1)

Для любого справедлива формула

(2)

Частные случаи решения уравнения :

1) (3)

2) (4)

3) (5)

1) Вычислить

Для вычисления используем формулу (2)

2) для решения уравнения используем формулу (1)

вычислим

Ответ: .

3) для решения уравнения используем формулу (1)

, вычислим

, разделим обе части уравнения на 2 или умножим на

Ответ: .

Содержание практической работы

Вариант 1

1. Вычислить

а)

б)

2. Решить уравнение

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Практическая работа №7

Тема: «Показательные неравенства»

Цель: отработать навыки решения логарифмических неравенств.

Краткие теоретические сведения

Решить неравенство:

а) 2³^x^-1 16

2³^x^-1 2⁴, т.к y=2^t(2>1), логарифмическая функция возрастает

3x-1<4,

3x<5,

б) Рассмотрим решение показательного неравенства:

Используя свойства показательной функции , преобразуем неравенство,

Вынесем общий множитель 3^хза скобки:

, учитывая, что функция , возрастает

Ответ. .

Содержание практической работы

Вариант 1

Решить неравенство

а) 3^5-3х 9;

б) 0,2^3х-2 ;

в) ^х-4 > ;

г)

Практическая работа №8

Тема: «Уравнение sinx = a»

Цель: сформировать умение решать уравнения вида sinx = a, с использованием общей формулы, а так же частных случаев.

Краткие теоретические сведения

Определение: Арксинусом числа а называется такое число , синус которого равен a:

если .

Корни уравнения , где , выражаются формулой

. (1)

Для любого справедлива формула

(2)

Частные случаи решения уравнения :

1) (3)

2) (4)

3) (5)

Решение примеров:

1) Вычислить

Для вычисления используем формулу (2)

2) для решения уравнения используем формулу (1)

вычислим

Ответ: .

3) для решения уравнения используем формулу (1)

, воспользуемся формулой (2), в результате получим

, вычислим

, разделим обе части уравнения на 2 или умножим на

Ответ: .

4) для решения уравнения используем формулу (4)

- разделим обе части уравнения на 3, или умножим на

Ответ: .

5) , перенесем в правую часть с противоположным знаком

, разделим обе части уравнения на 2

, для решения уравнения используем формулу (1)

, вычислим

- разделим обе части уравнения на или умножим на 3

Ответ: .

Содержание практической работы

Вариант 1

1. Вычислить

а) ,

б) ,

2. Решить уравнение

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Практическая работа №9

Тема : «Зависимость между синусом, косинусом и

тангенсом одного и того же угла»

Цель: сформировать умение применять для вычисления синуса, косинуса угла основное тригонометрическое тождество, формулы зависимости между тангенсом и котангенсом, зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом, формулы двойного угла.

Краткие теоретические сведения

Знаки синуса, косинуса и тангенса

- +
- + - +
+ - +++++=+=+====

Основное тригонометрическое тождество

(1)

(2)

(3)

Зависимость между тангенсом и котангенсом

(4)

(5)

(6)

Зависимость между тангенсом и косинусом

(7)

Зависимость между котангенсом и синусом

(8)

Задача 1. . Найти

По формуле (2) найдем

, учитывая, что угол находится в 1-й четверти, получим

, подставим

По формуле (6) вычислим

: , , .

Содержание практической работы

Вариант 1

1. а) Вычислить если и .

б)

в) Вычислить .

г) Вычислить .

д) Вычислить .

Практическая работа №10

Тема: «Формулы приведения»

Цель: сформировать умение применять формулы приведения при преобразовании тригонометрических выражений, а так же сводить к формулам приведения.

Краткие теоретические сведения

Формулы приведения


					-	-
			-	-
tg	ctg	- ctg	-tg	tg	ctg	- ctg	-tg	tg
ctg	tg	- tg	-ctg	ctg	tg	- tg	-ctg	ctg

Формулы приведения запоминать необязательно. Для того чтобы записать одну из них, можно руководствоваться следующими правилами:

1) В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии .

2) Если в левой части угол равен или , то синус заменяется на косинус, косинус – на синус, тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс. Если угол равен , то замены не происходит.

Решение упражнений

Вычислить с помощью формул приведения

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) Упростить

Содержание практической работы

Вариант 1

№526 (4, 8)

№528 (1)

№531 (1, 3)

Практическая работа №11

Тема: «Уравнение tgx = a»

Цель: сформировать умение решать уравнения вида tgx = a, с использованием общей формулы, а так же частных случаев.

Краткие теоретические сведения

Определение: Арктангенсом числа а называется такое число , тангенс которого равен a:

если .

Корни уравнения , где, выражаются формулой

. (1)

Для любого а справедлива формула

(2)

Решение примеров:

1) Вычислить

Для вычисления используем формулу (2)

2) для решения уравнения используем формулу (1)

вычислим

Ответ: .

3) для решения уравнения используем формулу (1)

, воспользуемся формулой (2), в результате получим

, вычислим

, разделим обе части уравнения на 2 или умножим на

Ответ: .

4) , перенесем в правую часть с противоположным знаком

, разделим обе части уравнения на 3

, для решения уравнения используем формулу (1)

, вычислим

- разделим обе части уравнения на или умножим на 3

Ответ: .

Содержание практической работы

Вариант 1

Вычислить

а) ,

б) ,

в)

2. Решите уравнение

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Практическая работа №12

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цель: отработать способы решения тригонометрических уравнений различного типа.

Краткие теоретические сведения

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Пусть

корни этого уравнения посторонний корень.

По формуле основного тригонометрического тождества получим

, подставим в первое уравнение

Пусть

, откуда .

вычислим

2. Уравнение

Используя формулу

, ,

, разделим обе части на , получим равносильное уравнение , пусть

откуда .

Содержание практической работы

Вариант 1

Решить уравнение

а)

б) = 0,

в)

г) = 0,

д)

е)

Практическая работа №13

Тема: «Изображение пространственных фигур на плоскости»

Цель: отработать навыки изображения пространственных фигур на плоскости;

• развитие умения систематизировать и анализировать информацию, делать выводы; умение понимать и использовать геометрические средства наглядности для решения задач; способствовать дальнейшему развитию пространственного представления;

• развитие навыков индивидуальной работы в достижении учебной цели.

• воспитание уважительного отношения к выбору профессии.

Содержание практической работы

Представить результаты в таблице.

Задание № 1.В таблице изобразите с помощью параллельного проектирования пространственные фигуры на плоскости и запишите вывод.

Изображение в пространстве	Изображение на плоскости	Вывод
Прямая а,		Изображение прямой _-----------(сохраняется или не сохраняется)
Параллельные прямые, а ׀׀ в		Изображение параллельных прямых _{--------------------------------}(сохраняется или не сохраняется)
Длина отрезка АВ,		Длина отрезка _{--------------------------} (сохраняется или не сохраняется)
Деление отрезка АВ точкой М.		Пропорциональность длин отрезков_{-------------------------------}(сохраняется или не сохраняется)
Величина угла		Величина угла_{-----------------------------} (сохраняется или не сохраняется)

Задание № 2. Применить теорию изображения плоских фигур для п- угольников.

Изображение в пространстве	Изображение на плоскости	Вывод
Правильный треугольник		Изображение на плоскости в виде_----( произвольного треугольника; правильного треугольника)
Прямоугольный треугольник		Изображение на плоскости в виде_----( произвольного треугольника; правильного треугольника или прямоугольного треугольника)
Прямоугольник		Изображение на плоскости в виде_----(прямоугольника или параллелограмма)
Квадрат		Изображение на плоскости в виде_----(квадрата или параллелограмма
Параллелограмм		Изображение на плоскости в виде_---

Практическая работа №14

Тема: «Декартовы координаты. Расстояние между точками.

Цель: отработать решение задач на применение формул вычисления расстояние между точками, координаты середин отрезка.

Краткие теоретические сведения

Определение: Расстояние между точками вычисляется по формуле

Определение: Координаты середин отрезка вычисляются по формуле

Содержание практической работы

ВАРИАНТ 1

На оси х найдите точку С(х;0;0) равноудаленную от двух точек А (3;5;1), В (-2;1;2).
Докажите, что четырёхугольник АВСД с вершинами в точках А (2;0;1), В (3;1;-1), С (4;-2;3) и Д (3;-3;5) является ромбом.
Найдите координаты вершины Д (х; у; z) параллелограмма АВСД, если координаты трёх вершин следующие: А (-1; 2; -3), В (0; 4; -2), С (2; -3; 1).

Практическая работа №15

Тема: «Свойства тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции»

Цель: отработать основные свойства тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, решать уравнения с использованием обратных тригонометрических функций, а так же отбирать корни из заданного отрезка.

Краткие теоретические сведения

1. ООФ (- ∞; + ∞)

2. Четность нечетная sin (-x) = - sin x

3. Монотонность: возрастает [ - π/2 + 2 π к; π/2 + 2 π к]; убывает [ π/2 + 2 π к; 3π/2 + 2 π к]

4. Ограниченность: сверху у = 1, снизу у = -1

5. Наибольшее и наименьшее значение у наиб.= 1; у наим.= -1

6. Непрерывность: непрерывна

7. ОЗФ [-1; 1 ]

8. Периодичность: периодическая с периодом 2 π

1. ООФ (- ∞; + ∞)

2. Четность четная cos (-x) = cos x

3. Монотонность: возрастает [ π + 2 π к; 2π + 2 π к]; убывает [ 0 + 2 π к; π + 2 π к]

4. Ограниченность: сверху у = 1, снизу у = -1

5. Наибольшее и наименьшее значение у наиб.= 1; у наим.= -1

6. Непрерывность: непрерывна

7. ОЗФ [-1; 1 ]

8. Периодичность: периодическая с периодом 2 π

Содержание практической работы

Вариант 1

1. Решить уравнение

а)

б)

в)

г) .

2. Найти область определения функции

а)

б)

в)

г) .

3. Функции изобразить график и описать основные свойства.

Практическая работа №16

Тема: «Геометрический смысл производной»

Цель: отработать основные формулы вычисления производной функции, находить угловой коэффициент касательной к графику функции, уравнение касательной к графику функции.

Краткие теоретические сведения

Производной функции в точке х называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

где .

Другие обозначения производной: .

Таблица

Таблица производных основных элементарных функций

1		8
2		9
3		10
4		11
5		12
6		13
7

Основные правила дифференцирования

1) Производная постоянной равна нулю:

2) Производная алгебраической суммы двух дифференцируемых функций и :

3) Производная произведения двух дифференцируемых функций и :

4) Производная частного двух дифференцируемых функций и :

5) Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Выясним геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f(x). Пусть точки А и М принадлежат графику функции

y = f(х).

Пусть х и x+h — абсциссы точек А и М, тогда их ординаты равны f (х) и f(x+h). Из треугольника АСМ, где С (x+h; f(x)), найдем угловой коэффициент k прямой AM, который зависит от h (его можно рассматривать как функцию k(h)).

Тогда , где МС =

= f(x + h) — f(x), AC = h, т. е.

k(h)= .

Пусть число х фиксировано, а h®0, тогда точка А неподвижна, а точка М, двигаясь по графику, стремится к точке А. При этом прямая AM стремится занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции y = f(x), потому что , существует и равен

f '(х). Итак,

f'(x)= tg a

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

k = tg a = f ' (х₀)

уравнение касательной

y = f '(x_o)x+f (x₀)—f '(x_o)x_o, или

y = f (x₀) + f '(x_o)(x - x_o).

Найти производные функций:

а) y = 2x^-^3/2

Найдем производную функции y = 2x^-^3/2. Для этого вынесем постоянный множитель за знак производной и воспользуемся формулой из таблицы производных: . Получим:

б) Задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки; нужно найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t₀.

Решение:

Пусть .

Известно, что значения скорости и ускорения материальной точки в некоторый момент времени являются соответственно значениями в этот момент I и II производных функции, задающей закон изменения пути движения точки.

У нас

(ед. ск.)

(ед. уск.)

в) Написать уравнение касательной к графику функции у = 2х² - 1, в точке с абсциссой х₀ = 3.

1) у'=4х

2) у' (3) = 4·3 = 12

3) у(3) = 2·3²-1 = 17

4) у= 17+ 12(х-3)

у=12х-19.

Содержание практической работы

Вариант 1

Составить уравнение касательной

1)	y = -17x + 2	2)	y = -x + 12
3)	y = 17x - 2	4)	y = 17x - 26

б)

1)	y = 4x + 40	2)	y = -18x - 10
3)	y = 18x + 8	4)	y = 8x +18

в)

1)	y = 33x + 24	2)	y =- 24x + 63
3)	y = 24x + 33	4)	y = 24x - 63

Практическая работа №17

Тема: «Возрастание и убывание функции»

Цель: отработать основной алгоритм нахождения возрастания и убывания функции.

Краткие теоретические сведения

Примеры:

Дифференцируемая функция у = f(х) возрастает на промежутке [а,b], если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.

Дифференцируемая функция у = f (x) убывает на промежутке [а;b],если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.

Пример:

а) Дана функция:

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y): , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и график ее не имеет вертикальных асимптот.

2) Найдем интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки х₁ = -5, х₂ = -1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

x
	+	-	+
	&	(	&

Ответ: y возрастает на

y убывает на (-5; -1).

Содержание практической работы

Вариант 1

Найти промежутки возрастания и убывания функции:

а)

б)

в)

г)

Практическая работа №18

Тема: «Экстремумы функции»

Цель: отработать основной алгоритм нахождения точек экстремума функции.

Краткие теоретические сведения

Функция у = f (x) имеет максимум в точке х = х₁ , если для всех значений х, достаточно близких к х₁, выполняется неравенство f (x) < f (x₁); х = х₁ – точка максимума; у_max = f (x₁)- максимум функции.

Функция у = f(x) имеет минимум в точке х = х₂ , если для всех значений х, достаточно близких к х₂, выполняется неравенство f (x) > f (x₂); х = х₂ – точка минимума; у_min= f (x₂) – минимум функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремальными.

Точки, в которых производная функции обращается к нуль, называются критическими точками I рода.

Первое достаточное условие существования экстремума функции. Если при переходе через критическую точку I рода х = х₀ производная функции у = f(x) меняет знак, то х = х₀ – точка экстремума.

При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то х = х₀ – точка максимума, а у_max= f(x₀). Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то х = х₀ – точка минимума, у_min= f(x₀).

Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке х = х₀ первая производная функции у = f (x) обращается в нуль, а вторая производная отлична от нуля, то х = х₀ – точка экстремума.

При этом если вторая производная в этой точке положительна

(f^{/ /}(x₀) >0), то х = х₀ – точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна (f^{/ /}(x₀)<0), то х = х₀ – точка максимума.

Пример:

Дана функция:

2) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки I рода х₁ = -5, х₂ = -1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

x		-5		-1
	+	0	-	0	+
	&	max	(	min	&

Ответ: x = -5 – точка максимума

x = -5 – точка минимума.

Содержание практической работы

Вариант 1

Найти точки экстремума

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

Практическая работа №19

Тема: «Исследование функции с помощью производной»

Цель: отработать основной алгоритм построения графика функции с помощью производной.

Краткие теоретические сведения

Пример. Исследовать и построить график функции

Область определения функции:
Функция не является ни четной ни нечетной.
Точек пересечения с осью x нет, так как x²+1>0 при любом x. Точка пересечения с осью y (0;-1).
Критические точки: , но x=1 - не принадлежит области определения функции. Решим неравенства методом интервалов. Отметим знаки интервалов на числовой прямой, учитывая кратность x=1.

Занесем результаты в таблицу

x		-0,4	(-0,4;1)	1	(1;2,4)	2,4
f’(x)	+	0	-	---	-	0	+
f(x)		-0,8		---		4,8
		max				min

Критические точки: x=1, но она не принадлежит области определения функции. Решим неравенства методом интервалов : (x-1)3<(>)0.

Составим таблицу:

x		1
	-	---	+
f(x)		---

6. Строим график функции согласно порядку исследования

Содержание практической работы

Вариант 1

Исследовать функцию и построить её график

а)

б)

Практическая работа №20

Тема: «Наибольшее и наименьшее значения функции»

Цель: отработать основной алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

Краткие теоретические сведения

Определение 1. Говорят, что функция достигает на множестве X своего наименьшего (наибольшего) значения в точке , если для любого имеет место неравенство ().

Введем для наименьшего и наибольшего значений следующие обозначения:

().

Рассмотрим различные случаи:

1. Пусть - отрезок. Имеет место теорема.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений.

Следствие. Если функция дифференцируема на интервале , то она достигает на отрезке наибольшего и наименьшего значений либо в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, либо на концах отрезка. (Смотри рисунок 1.)

Для функции, график которой изображен на рисунке 1, имеются две точки максимума () и одна точка минимума (), но для нее , а .

2. Пусть X – некоторый промежуток, на котором функция имеет единственную точку экстремума. Тогда имеет место теорема.

Теорема 2. Пусть - единственная точка экстремума функции на множестве X. Тогда, если - точка минимума, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения. Если же - точка максимума, то в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

Рисунок 2a Рассмотрим пример. На рисунке 2а - единственная точка минимума функции на промежутке . Поэтому .

На рисунке 2б - единственная точка максимума функции на промежутке . Поэтому .

3. Рисунок 2b Пусть - периодическая непрерывная на интервале функция. Тогда имеет место теорема.

Теорема 3. Если - периодическая непрерывная на интервале функция, то она достигает своего наибольшего значения в бесконечном числе точек максимума и наименьшего значения в бесконечном числе точек минимума.

Рисунок 3 Например, на рисунке 3 , а , где Т- главный период функции, а .

Если же исследуемая функция не удовлетворяет условиям теорем 1-3, то будет полезно построить график этой функции и по графику выяснить, существуют ли точки с наибольшим и наименьшим значениями. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке Х.

Решение. Исследуемая функция дифференцируема и непрерывна на отрезке, поэтому можно применить теорему 1.

а) Найдем производную: .

б) Найдем стационарные точки (в них производная обращается в нуль).

Точки - точки возможного экстремума. При этом . Найдем значения функции в точке и на концах отрезка и выберем среди них наибольшее и наименьшее значения. Так как

, то

, .

Содержание практической работы

Вариант 1

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

а)

б)

Практическая работа №21

Тема: «Первообразная функции»

Цель: отработать основные формулы нахождения первообразных.

Краткие теоретические сведения

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка F^/(x) = f(x).

Таблица первообразных

Функция	Первообразная

1. Найти общий вид первообразных:

а) ,

б)

Содержание практической работы

Вариант 1

Найти общий вид первообразных

а)

в)

г)

д)

е)

ж)

з) .

Практическая работа №22

Тема: «Действия над векторами»

Цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Координаты вектора. Скалярное произведение векторов»; закрепить умения использовать полученные знания для решения геометрических задач.

Краткие теоретические сведения

Пример 1

Даны векторы ; ;

Вычислить |(2+ )| – 4(2- )

Решение.

2 2

2+ 2+

2- 2-

4(2- ) 4(2- )

Так как 4(2- ) - это скалярное произведение векторов, то по формуле скалярного произведения получим:

4(2- )=16∙(-1) + (-20)∙1 + (-36)∙(-1)= -16 – 20 + 36 = 0

Тогда |(2+ )| – 4(2- ) = + 0 =

Ответ: |(2+ )| – 4(2- ) =

Пример 2. Выяснить при каких значениях m и n данные векторы коллинеарные: и .

Решение.

У коллинеарных векторов соответствующие коэффициенты пропорциональны. Запишем соответствующую пропорцию, из которой найдем m и n:

, откуда

Ответ: m = -2, n = -2.5.

Пример 3.

Вершины треугольника имеют координаты А(1; 2; 0), В(5; -1; 3), С(6; 5; 4). Найдите длины сторон треугольника и угол A треугольника ABC.

Решение.

1. Найдем координаты векторов , ,

2. Найдем длины каждого вектора. Это и будет длины сторон треугольника АВС.

- длина стороны АВ

- длина стороны ВС

- длина стороны АС

3. Найдем угол ВАС – это угол между векторами и .

Ответ: ,

Содержание практической работы

Вариант 1

1. Точка А отстоит от плоскости на расстоянии 12 см. Найти длину наклонной, проведенной из этой точки к плоскости под углом 45⁰.

2. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (2,5,-3) переходит в точку В (-2,1,0), а точка С(5,-3,-1) переходит в точку Д (-4,5,1)?

3. Даны четыре точки А(1,1,2), В (4,-3,1), С (0,3,-2), Д (7,1,0). Укажите среди векторов равные векторы.

4. Даны четыре точки А (5,-1,0), В (-2,4,0), С (3,-2,1), Д (-4,2,-3). Найти косинус угла между векторами и

Практическая работа №23

Тема: «Многогранники»

Цель: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках, совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей многогранников.

Краткие теоретические сведения

Пример 1. Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна дм, а диагональ боковой грани равна дм. Найдите диагональ данной призмы и площадь боковой поверхности.

Решение. В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. Необходимо найти диагональ призмы BD₁.

1. Рассмотрим треугольник BD₁D: угол D₁DB = 90⁰, BD = дм. Чтобы найти BD₁,необходимо знать сторону треугольника D₁D.

2. Рассмотрим треугольник AB₁B: угол B₁BA = 90⁰, AB₁ = дм, B₁B = D₁D. Для того чтобы найти B₁B, необходимо знать сторону треугольника AB.

3. Рассмотрим треугольник ABD: угол BAD = 90⁰, AB = AD (так как ABCD – квадрат). Следовательно, получим BD² = AB² + AD² = 2AB². Таким образом,

()² = 2AB², 18 = 2AB², AB² = 9, AB = 3 дм.

4. Из треугольника AB₁B: BB₁² = AB₁² – AB² = ()² – 3² = 32 – 9 = 23, BB₁ = дм.

5. B₁B = D₁D = дм.

6. Из треугольника BD₁D: BD₁² = BD² + DD₁² = ()² + ()² = 18+23 = 41, BD₁ = дм.

7. дм.

Ответ: BD₁ = дм, S_бок= 12дм.

Пример 2. В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности.

Решение.

Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности. (Это следует из свойств правильной пирамиды).

1) Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, найдем из его свойств:

2) Рассмотрим треугольник MOA – прямоугольный: MO = 10 см, AO = . По т. Пифагора получим

MA =

3) Рассмотрим треугольник MBК – прямоугольный: MB = MA = , BK = ½ BC = 8 см. По т. Пифагора получим .

4) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле .

Ответ :

Содержание практической работы

Вариант 1

1. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 и 16 см, а боковые ребра равны см. Найдите высоту пирамиды.

2. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2, найти площадь боковой поверхности.

3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды.

Практическая работа №24

Тема: «Тела вращения»

Цель: закрепить и обобщить знания о телах вращения; совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей тел вращения.

Краткие теоретические сведения

Пример 1. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 3см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле: S_полн = 2πr (r + h). Для нахождения S_полн необходимо знать радиус и высоту цилиндра.

8. Рассмотрим треугольник АВD – прямоугольны й: угол ABD = 90⁰, АD = см. Найдем катеты AB и BD.

9. Так как ABCD – квадрат, следовательно AB = BD. Обозначим AB = x.

10. По теореме Пифагора получим: AD² = AB² + BD² = x² + x² = 2x². Таким образом, .

AB = BD = 3 см.

11. AB = h = 3см, BO₁ = r = ½ BD = 1.5 см.

12. дм.

Ответ: S_полн = 13,5 см².

Пример 2. Около конуса, высота которого равна см и радиус основания 10 см, описана пирамида. Основанием пирамиды является ромб с острым углом 30°. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости основания, площадь осевого сечения конуса, площадь полной поверхности конуса, площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.

Найдем площадь полной поверхности конуса по формуле S=ΠR(R + l).

R = 10 см. Необходимо найти образующую конуса l = MN.

Рассмотрим ∆ MON – прямоугольный: MO = см, NO = 10 см. По теореме Пифагора получим, MN² = MO² + ON² = ()² + 10² = 300 + 100 = 400, следовательно, MN = 20 см. Тогда S_полн = 10 Π (10 + 20) = 300П см².

Найдем угол наклона образующей конуса к плоскости основания - . Для этого рассмотрим ∆ MON – прямоугольный:
Найдем площадь осевого сечения конуса – площадь ∆ MNH: S_∆_MNH = ½ NH MO = ½ 20 ∙ = см².
Найдем площадь полной поверхности пирамиды: S_полн = S_осн + 4S_AMB.

1) В основании пирамиды лежит ромб. Найдем площадь ромба. Для этого рассмотрим ∆ ADB: = 30⁰. AD = AB = 2R = 20 см.

2) S_∆_ADB =½ AD∙AB∙Sin= ½ 20 ∙ 20 ∙ sin30⁰ = 200∙1/2 = 100 см².

3) S_ABCD = 2 S_∆_ADB = 200 см².

4) S_∆_AMB = ½ AB∙MN = ½ 20∙20 = 200 см².

5) S_полн = S_осн + 4S_AMB = 200 + 4∙200 = 1000 см².

Ответ: = 60⁰, S_сеч = см², S_{полн
кон} = 300П см², S_{полн
пир} = 1000 см².

Содержание практической работы

Вариант 1

1. В цилиндре в осевом сечении лежит прямоугольник, площадь которого 40 см². Радиус цилиндра 4 см. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

2. Радиус основания конуса равен 20 см, образующая – 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию , на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.

3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами 6 дм и 8 дм и высотой, равной 14 дм, вписан в цилиндр. Найдите радиус основания цилиндра, площадь осевого сечения цилиндра, площадь полной поверхности цилиндра и параллелепипеда.

Практическая работа №25

Тема: «Объем и площадь полной поверхности многогранников»

Цели:

Научится определять длины ребер прямоугольного параллелепипеда и куба.
Научится вычислять длину диагонали прямоугольного параллелепипеда и куба.
Научится находить угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания.
Научится решать задачи с практическим содержанием.

Краткие теоретические сведения

Этапы выполнения работы.

Первый этап.

Последовательно выполните предложенные задания, используя учебник и тетрадь.

Прочитайте определение прямоугольного параллелепипеда
Изобразите прямоугольный параллелепипед в тетради
Обозначьте измерения прямоугольного параллелепипеда буквами а, в, с
Проведите диагональ прямоугольного параллелепипеда и обозначьте буквой d.
Запишите теорему о нахождении диагонали прямоугольного параллелепипеда
Запишите формулы нахождения площади полной поверхности и объёма прямоугольного параллелепипеда.
Запишите свойства прямоугольного параллелепипеда
Изобразите куб
Обозначьте измерения куба.
Проведите диагональ куба и обозначьте буквой d.
Запишите теорему о нахождении диагонали куба.
Запишите формулы нахождения площади полной поверхности и объёма куба.
Запишите свойства куба

Второй этап.

По данной модели последовательно выполните задания.

По предложенной модели измерьте длины ребер прямоугольного параллелепипеда или куба.
Запишите результаты измерения (а, в, с)
Вычислите длину диагонали d прямоугольного параллелепипеда или куба.
Определите угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания.
Найдите площадь полной поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда.
Сделайте вывод о результатах Вашего исследования.

Третий этап.

Решите задачу.

Требуется из проволоки сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с ребрами равными 12см, 8см, 5см. Сколько пойдет проволоки на изготовление прямоугольного параллелепипеда?
Требуется из проволоки сделать каркасную модель куба с ребром равными 5см. Сколько пойдет проволоки на изготовление куба?

Четвертый этап.

Ребро куба равно а. Найдите расстояние меду скрещивающимися прямыми, содержащими:

а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

Практическая работа №26

Тема: «Объем и площадь полной поверхности тел вращения»

Цель: закрепить и обобщить знания о телах вращения; совершенствовать умения и навыки решения задач.

Содержание практической работы

Вариант 1

	Цилиндр ( π ≈ 3 )
	I	II	III	IV
R	10	6		15
H	15	15	11
S_{осев.сеч}
S_осн.			432
S_{бок.пов.}				720
S_{пол.пов.}
V

Рекомендуемая литература

1. Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2002 г.

2. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. «Математика», М: Дрофа, 2002 г.,

3. Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Издательский центр «Академия»», 2008 г.

4. Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл. (базовый уровень). М: Издательский центр «Академия»», 2010 г.

5. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012.

6. Яковлев Г.Н. «Алгебра и начала анализа», часть 1. М: Наука, 1988 г.

7. Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г..

8. Колягин Ю.М. и др. «Алгебра и начала математического анализа», учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2008 г.

9. Колягин Ю.М. и др. «Алгебра и начала математического анализа», учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2009 г.

Дополнительная литература:

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.А. «Высшая математика в упражнениях и задачах», в 2 ч. М: «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003 г.

2. Щипачев В.С. «Основы высшей математики». М: Высшая школа, 2001 г.

3. Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике». М: Высшая школа, 1997 г.

4. Натансон И.П. «Краткий курс высшей математики» - С-Пб.: Лань, 2001 г.

5. Пехлецкий И.Д. «Математика». М: Мастерство, 2001 н.

6. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. «Математическая статистика». М: Высшая школа, 2001 г.

7. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Гуткин Н.И., Павлов А.Л. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы. М: Наука, 1992 г.

8. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С Дидактические материалы по математике. М: Высшая школа, 1001 г.

9. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М: Высшая школа, 2005 г.

10. Валуце Н.И., Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. М: Наука, 1989 г.

11. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. «Математика» Ростов н/Д: Феникс, 2005 г.

Скачать материал

Скачать материал "Методические указания к выполнению практических работ по математике для специальности "Технология продукции общественного питания""

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 655 024 материала в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Подготовка к ОГЭ по математике "Решение задач на проценты"Задачи на проценты

Рейтинг: 4 из 5

24.11.2015
20174
175

docx

Внеклассное мероприятие по математике "На золотом крыльце сидели"

24.11.2015
1375
2

docx

Рабочая программа по математике для специальности "Технология продукции общественного питания"

24.11.2015
733
0

pptx

Презентация к уроку математики по теме "Основное свойство дроби"

24.11.2015
965
2

docx

Конспект урока по математике 5 класса по ФГОС по теме "Основное свойство дроби"

Рейтинг: 5 из 5

24.11.2015
3115
43

pptx

Презентация к педсовету по ФГОС-2

Рейтинг: 5 из 5

24.11.2015
892
0

docx

Выступление на педсовете по ФГОС-2

24.11.2015
1807
2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 24.11.2015 1284
- DOCX 703.4 кбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Кармановская Татьяна Владиславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Кармановская Татьяна Владиславовна
- На сайте: 8 лет и 4 месяца
- Подписчики: 1
- Всего просмотров: 8747
- Всего материалов: 11