Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания к выполнению практических работ по математике для специальности "Технология продукции общественного питания"

Методические указания к выполнению практических работ по математике для специальности "Технология продукции общественного питания"

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов

hello_html_m63ae90c0.gifhello_html_39344c36.gifhello_html_m65dbf9bc.gifhello_html_65b2fa4c.gifhello_html_2a620820.gifhello_html_m35e982b2.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m49fa3271.gifhello_html_54a1e79a.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m174cee92.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m7ad68ca8.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m4a399019.gifhello_html_m6bcfa2f.gifhello_html_5f1478df.gifhello_html_f172119.gifhello_html_m1729ce1b.gifhello_html_m3b6ebbfd.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2466487a.gifhello_html_2d33018c.gifhello_html_48f2ce7c.gifГосударственное автономное образовательное учреждение

Мурманской области среднего профессионального образования

«Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»












Методические указания

к выполнению практических работ по дисциплине

«Математика»

на 1 курсе

для специальности

19.02.10 «Технология продукции общественного питания»



























2015 г.

Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Математика» разработаны на основе рабочей программы учебной дисциплины «Математика» для специальности 19.02.10 «Технология продукции общественного питания»



Организация-разработчик: ГАОУ МО СПО «Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»


Разработчики:


Кармановская Т.В., преподаватель ГАОУ МО СПО МСК им. Н. Е.Момота




Рассмотрены и одобрены

предметно-цикловой комиссией

«Естественнонаучные дисциплины»

Председатель _______ И.А. Егорова

Протокол № _____

от «___» _______________ 2015 года.





Рецензент:

Содержание

Пояснительная записка…………………………………………………..…..4

Практическая работа №1………………………………………………..……5

Практическая работа №2………………………………………………..……6

Практическая работа №3………………………………………………..…..8

Практическая работа №4………………………………………………..…..9

Практическая работа №5………………………………………………..…..10

Практическая работа №6………………………………………………..…..12

Практическая работа №7………………………………………………..…..13

Практическая работа №8……………………………………………..……..14

Практическая работа №9……………………………………………..……..15

Практическая работа №10…………………………………………………..16

Практическая работа №11…………………………………………………..18

Практическая работа №12…………………………………………………..19

Практическая работа №13…………………………………………………..20

Практическая работа №14…………………………………………………..21

Практическая работа №15…………………………………………………..21

Практическая работа №16…………………………………………………..23

Практическая работа №17…………………………………………………..26

Практическая работа №18…………………………………………………..27

Практическая работа №19…………………………………………………..28

Практическая работа №20…………………………………………………..30

Практическая работа №21…………………………………………………..32

Практическая работа №22…………………………………………………..32

Практическая работа №23…………………………………………………..34

Практическая работа №24…………………………………………………..36

Практическая работа №25…………………………………………………..37

Практическая работа №26…………………………………………………..38

Рекомендуемая литература…………………………………………………39























Пояснительная записка


По учебному плану в соответствии с рабочей программой на изучение дисциплины обучающимися предусмотрено аудиторных занятий 273 часов, из них практических занятий – 26 часов. В методические указания 26 практических работ по темам данного курса. Каждая практическая работа содержит сведения о цели ее проведения и практическом использовании.

Практические занятия

Номер заня-

тия


Наименование темы
занятия

Номер

раздела,
тема дисциплины

Объем в часах

Аудиторных

СРС

1

2

3

5

6

1

Целые и рациональные числа. Арифметический корень натуральной степени

1. Действительные числа

1


2

Иррациональные уравнения

2. Степенная функция

1


3

Показательные уравнения

3. Показательная функция

1


4

Логарифмические уравнения

4. Логарифмическая функция

1


5

Радианная мера угла

5. Тригонометрические формулы

1


6

Уравнение cosx = a

6. Тригонометрические уравнения

1


7

Показательные неравенства

3. Показательная функция

1


8

Уравнение sinx = a

6. Тригонометрические уравнения

1


9

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

5. Тригонометрические формулы

1


10

Формулы приведения

5. Тригонометрические формулы

1


11

Уравнение tgx=a

6. Тригонометрические уравнения

1


12

Решение тригонометрических уравнений

6. Тригонометрические уравнения

1


13

Изображение пространственных фигур на плоскости

8. Параллельность прямых и плоскостей

1


14

Расстояние между точками. Координаты середин отрезка.

10. Декартовы координаты и векторы в пространстве

1


15

Свойства тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции

11. Тригонометрические функции

1


16

Геометрический смысл производной

Раздел 12. Производная и её геометрический смысл.

1


17

Возрастание и убывание функции

Раздел 13. Применение производной к исследованию функций

1


18

Точки экстремума функции

Раздел 13. Применение производной к исследованию функций

1


19

Наибольшее и наименьшее значение функции

Раздел 13. Применение производной к исследованию функций

1


20

Исследование функции с помощью производной

Раздел 13. Применение производной к исследованию функций

1


21

Первообразная функции

Раздел 14. Интеграл.

1


22

Действия над векторами

Раздел 15. Декартовы координаты и векторы в пространстве

1


23

Многогранники

Раздел 16. Многогранники

1


24

Тела вращения

Раздел 17. Тела вращения.

1


25

Объем и площадь полной поверхности многогранников

Раздел 18. Объёмы многогранников.

1


26

Объем и площадь полной поверхности тел вращения.

Раздел 19. Объёмы и поверхности тел вращения.

1


Итого

26










Практическая работа № 1

Тема: «Целые и рациональные числа.

Арифметический корень натуральной степени»

Цель: сформировать умение переводить обыкновенную дробь в десятичную и наоборот.


Краткие теоретические сведения к практической работе

Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6,….

Целые числа: hello_html_m42bdb59b.gif

Рациональные числа имеют вид:

hello_html_4b823660.gif, где m – целое число,

n – натуральное число.

Существуют дроби десятичные (конечные и бесконечные), обыкновенные (правильные и неправильные).

Бесконечная десятичная дробь подразделяется на периодическую и непериодическую.

Например - 0,3333…. – дробь периодическая, повторяющуюся цифру 3 - называют её периодом и кратко записывают 0, (3), читается : «ноль целых и три в периоде».

Определение: Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.

Например : десятичная дробь

45,1834343434… = 45,18(34)

Читается : «45 целых, 18 сотых и 34 в периоде».

Задача 1. Записать число hello_html_m7eff7082.gif в виде десятичной дроби.

Поделим уголком

27 hello_html_m3b9b2b27.gif_____

22 2, 4545...

50

44

60

55

50

44

6...

Остатки повторяются, в частности группа цифр 45. Следовательно,

hello_html_m7eff7082.gif= 2,4545… = 2,(45).

Определение : Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, т. к. может быть представлена в виде дроби hello_html_4b823660.gif , где m – целое число, n – натуральное число.

Задача 2. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь 0,2(18) в виде обыкновенной.

Пусть х = 0,2(18) = 0,2181818…. .Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножаем обе части на 10, получаем

10 х = 2,181818… . (1)

Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому, умножаем обе части равенства (1) на 100, получаем

1000 х = 218,1818… . (2)

Вычитаем из равенства (2) равенство (1). Получаем

1000 х – 10 х = 218,1818 – 2,181818,

990 х = 216.

Выражаем х, получаем

hello_html_22df77eb.gif.

Определение: Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Иррациональные числа так же как и рациональные могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Например: hello_html_md81ca6d.gif

С точностью до одной десятой

hello_html_54ada78e.gif

hello_html_73d2a3b0.gif2,2360679774 … hello_html_m3cc94303.gif

Следовательно hello_html_4a6b8e1.gif

Задача 3. hello_html_m53fa9405.gif,

полученный результат является иррациональным.

Содержание практической работы


Вариант 1

  1. Перевести десятичную дробь в обыкновенную

а) 2,(3),

б) 6, 7(3),

в) 4,(72),

г) 1, 5(21).

2. Перевести обыкновенную дробь в десятичную

а) hello_html_242862e0.gif ,

б) hello_html_m59bbff82.gif ,

в) hello_html_75823388.gif .

3. Вычислить и определить каким числом является полученный результат (иррациональным или рациональным)

а) (hello_html_70b6dfd0.gif,

б) hello_html_314778c1.gif

в) hello_html_m48dd9244.gif

г) hello_html_m1fb55cfa.gif



Практическая работа № 2

Тема: «Иррациональные уравнения»

Цель: сформировать умение решать иррациональные уравнения различного уровня.

Краткие теоретические сведения к практической работе

Определение: Уравнение называется иррациональным, если под знаком корня находится переменная.

Решение иррационального уравнения основано на следующем свойстве: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Решение примеров:

1) hello_html_5c51f766.gif,

Возведем обе части уравнения во вторую степень (так как корень второй степени)

hello_html_m53cb6817.gif, в результате получаем

hello_html_mf076f25.gif, выражаем x

hello_html_mddf1141.gif

hello_html_m5eda0789.gif

Проверка:

Подставляем полученный корень уравнения в первоначальное уравнение

hello_html_732b485e.gif, получаем

hello_html_109ae3e2.gif,

hello_html_1091ff95.gifверное равенство получили, следовательно hello_html_6f3fc6c7.gif является корнем уравнения.

hello_html_m6c2be858.gif: hello_html_6f3fc6c7.gif.

2) hello_html_259faabe.gif,

Возведем обе части уравнения третью степень (так как корень третей степени)

hello_html_m24e5213a.gif,

hello_html_md7c9e02.gif,

hello_html_m271b4a39.gif,

hello_html_m692a0b2d.gif

hello_html_m4066f1.gif

Проверка:

Подставляем полученный корень уравнения в первоначальное уравнение

hello_html_192bd5da.gif,

hello_html_m4900c510.gif,

hello_html_166c5992.gif,

hello_html_5d43683e.gif- верное равенство получили, следовательно hello_html_m1c7b9ae5.gif является корнем уравнения.

hello_html_m6c2be858.gif: hello_html_m1c7b9ae5.gif.


Содержание практической работы

Вариант 1

Решить уравнение

а) hello_html_m4a3391eb.gif

б) hello_html_65e7d8b9.gif

в) hello_html_m7f4e9fa4.gif

г) hello_html_m4c8eb1be.gif

Практическая работа №3

Тема : «Показательные уравнения»

Цель: сформировать умение решать показательные уравнения.

Краткие теоретические сведения

Определение: Уравнение называется показательным, если в степени находится переменная.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения hello_html_m5a1124db.gif, где hello_html_2923adf5.gifнеизвестное.

Решение примеров:

Решить уравнение

1) hello_html_m5daaa4b5.gif сведем уравнение к общему основанию 3, получим

hello_html_mb3f46bb.gif, основания равны следовательно и степени равны

hello_html_1b1ef5d0.gif

hello_html_m557cddfc.gif

hello_html_4f13f2fa.gifразделим обе части уравнения на 2

hello_html_m7beb3f21.gif=1,5

Ответ: x = 1,5.

2)hello_html_m5ec27b9a.gif, сведем уравнение к общему основанию 2, получим

hello_html_m553b89fd.gif, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаем

hello_html_m7f99011c.gif, основания равны следовательно и степени равны

hello_html_m172646e9.gif,

hello_html_38f54060.gif,

hello_html_2048fb38.gifразделим обе части уравнения на 10, получим

hello_html_m266cb09d.gif.

Ответ: hello_html_m266cb09d.gif.

3) hello_html_m40db2901.gif сведем уравнение к общему основанию 8, получим

hello_html_564b06ae.gif, основания равны следовательно и степени равны

hello_html_74fb7b68.gif

hello_html_m6f837435.gifразделим обе части уравнения на -5

hello_html_6d50bb01.gif

Ответ: hello_html_6502e3b2.gif.

Содержание практической работы

Решить уравнение:

Вариант 1

а) hello_html_m193f2bc8.gif

б) hello_html_m76ca731f.gif

в) hello_html_mb7bf248.gif

г) hello_html_1aa11c0e.gif

д) hello_html_m4354b8e8.gif

е) hello_html_af68d3d.gif

ж) hello_html_1627b881.gif

з) hello_html_m4fe6d948.gif

и) hello_html_4a81f492.gif


Практическая работа №4

Тема: «Логарифмические уравнения»

Цель: сформировать умение решать логарифмические уравнения.


Краткие теоретические сведения

Уравнение hello_html_26709f2f.gif, где hello_html_56614e74.gif имеет единственный корень, который называют логарифмом числа hello_html_58847f7b.gif по основаниюhello_html_m8f522f9.gif и обозначают hello_html_m27588a4d.gif.

Определение: Логарифмом положительного числаhello_html_58847f7b.gif по основанию hello_html_m8f522f9.gif, где hello_html_m73437e0a.gif, называется показатель степени с, в которую надо возвести число hello_html_m8f522f9.gif, чтобы получить hello_html_58847f7b.gif.

Записывается

hello_html_10a88504.gif

hello_html_270bb1d2.gif.

hello_html_m319beda0.gif, если hello_html_4031b073.gif– основное логарифмическое тождество.

Действие нахождения логарифма называется логарифмированием. Действие нахождения числа по его логарифму называется потенцированием.

Основные свойства логарифмов:

1) hello_html_m3d69710d.gif+hello_html_218979ee.gif,

hello_html_71814200.gif-hello_html_218979ee.gif,

3) hello_html_42e2a63f.gif,

4) hello_html_m16586fae.gif.

Решение примеров:

1) hello_html_m5bce1d05.gif

hello_html_74dd1e46.gif,

hello_html_m337b5d0f.gif

hello_html_m6c47872d.gif

hello_html_58cb2dab.gifразделим обе части на 5

hello_html_1bf686bf.gif

Проверка:

Подставим hello_html_m14b55a82.gif в первоначальное уравнение и проверим равенство полученное

hello_html_233ea190.gif,

hello_html_4358f7fc.gifравенство верное.

Ответ: hello_html_m5b397a29.gif

2) hello_html_m1b936b9a.gif,

применим к левой части первое свойство логарифмов

hello_html_3a8f337b.gif,

по определению логарифма получим

hello_html_40b81dc7.gif,

hello_html_7f46e0ba.gif

hello_html_957646d.gif,

hello_html_m3142480a.gif,

hello_html_m22562b1f.gif,

hello_html_f8cd041.gif,

hello_html_158efa73.gif,

hello_html_65e5296d.gif,

hello_html_34fd478e.gif.

Проверка:

hello_html_m22b7c139.gifподставляем в первоначальное уравнение

hello_html_m1c2f3754.gif

hello_html_ed3bbc8.gif,

hello_html_49e83d96.gif

hello_html_54a8a6a2.gifверное равенство, следовательно hello_html_m22b7c139.gif является корнем уравнения.

hello_html_3bffb2b8.gifподставляем в первоначальное уравнение

hello_html_e9a885a.gif

hello_html_68744a15.gifт. к. по определению подлогарифмическое число положительно, следовательно равенство не выполнимо и hello_html_m692a67ea.gif не является корнем уравнения.

Ответ: hello_html_m40122ede.gif

Содержание практической работы

Вариант 1

  1. Решите уравнение hello_html_1e4675e9.gif

  2. Решите уравнение hello_html_bd4bcaa.gif

  3. Решите уравнение hello_html_m5093d8f7.gif

  4. Решите уравнение hello_html_m66f56331.gif

  5. Решите уравнение hello_html_267383b2.gif

  6. Решите уравнение hello_html_3d61c902.gif

  7. Решите уравнение hello_html_655ba79b.gif


Практическая работа №5

Тема : «Радианная мера угла»

Цель: сформировать умение применять для вычисления формулы перехода из градусной меры угла в радианную и наоборот, решать задачи практического содержания на вычисление длины дуги, радиуса и площади кругового сектора.

Краткие теоретические сведения

Определение: центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.

hello_html_4ca9c0e1.gif(1)

hello_html_34dd23f5.gif(2)

Таблица наиболее встречающихся углов в градусной и радианной мере

Градусы

0

30

45

60

90

180

Радианы

0

hello_html_1efe9eb4.gif

hello_html_m2bf5a2e4.gif

hello_html_351c7e71.gif

hello_html_50661fa5.gif

hello_html_6b2fd1c.gif

Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Т. К. угол в 1 радиан стягивает дугу, длина которой равна радиусу R, то угол в hello_html_695bfd0f.gif рад стягивает дугу длиной

hello_html_m25561db.gif. (3)

Площадь кругового сектора радиуса R, образованного углом в hello_html_695bfd0f.gif рад, равна

hello_html_m75fb3475.gif. (4)

Решение примеров:

1) Найти радианную меру угла

а) hello_html_m4ed427ee.gif.

б) hello_html_m692c379c.gif.

2) Найти градусную меру угла

а) hello_html_12316127.gif.

3) Найти радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 3 см, если радиус окружности 1,5 см.

Решение:

Из формулы hello_html_m25561db.gif выразим hello_html_695bfd0f.gif

hello_html_484600f3.gif, подставим данные

hello_html_49e285e6.gifрад.

Ответ: hello_html_m69152c8.gif рад.

4) Вычислить радиус окружности, если дуге длиной 0,36 м соответствует центральный угол в 0,9 рад.

Решение:

Из формулы hello_html_m25561db.gif выразим hello_html_17021104.gif

hello_html_m2971861a.gif, подставим данные

hello_html_134a9132.gifсм.

Ответ: hello_html_54e544f4.gif см.

Содержание практической работы


Вариант 1

1. Найдите радианную меру угла:

а) 40,

б) 1300,

в) 2600.

2. Найдите градусную меру угла:

а) hello_html_1efe9eb4.gif,

б) hello_html_24554227.gif,

в) hello_html_2032e6e3.gif.

3. Заполните таблицу:

hello_html_m7ad1a880.gif

40




hello_html_695bfd0f.gif,рад


hello_html_m2bf5a2e4.gif



R, м

3


8


l, м


9

8hello_html_6b2fd1c.gif

S, м2



65

hello_html_m1640a5ee.gif


Практическая работа №6

Тема: «Уравнение cos x = a»

Цель: сформировать умение решать уравнения вида cosx = a, с использованием общей формулы, а так же частных случаев.

Краткие теоретические сведения

Определение: Аркскосинусом числа а hello_html_m65ee61a0.gif называется такое число hello_html_2404cc59.gif, косинус которого равен a:

hello_html_m4826d281.gifесли hello_html_38b72e7e.gif hello_html_66a9cb1b.gif.

Корни уравнения hello_html_6b77c7f5.gif, где hello_html_m2df272a4.gif, выражаются формулой

hello_html_3129c458.gif. (1)

Для любого hello_html_356ac619.gif справедлива формула

hello_html_m1f0006d5.gif(2)

Частные случаи решения уравнения hello_html_6b77c7f5.gif:

1) hello_html_m3e418a12.gif (3)

2) hello_html_m1dd81825.gif (4)

3) hello_html_m71d7ac7f.gif (5)

1) Вычислить

Для вычисления используем формулу (2)

hello_html_2b9a90fa.gif.

2) hello_html_6e13167a.gif для решения уравнения используем формулу (1)

hello_html_m2379ab6c.gifвычислим hello_html_7488e5dd.gif

hello_html_1ac7e471.gif.

Ответ: hello_html_1ac7e471.gif.

3) hello_html_m75467499.gif для решения уравнения используем формулу (1)

hello_html_66a275d3.gif, вычислим hello_html_m7b75f1a.gif

hello_html_59eae2bb.gif, разделим обе части уравнения на 2 или умножим на hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_m579cf874.gif.

Ответ: hello_html_m2a1d7e60.gif.


Содержание практической работы


Вариант 1

  1. Вычислить

а) hello_html_m361d6bf0.gif

б) hello_html_m5233b533.gif

2. Решить уравнение

а) hello_html_m7711540c.gif

б) hello_html_m1ed958f.gif

в) hello_html_m1eb6c39c.gif

г) hello_html_m54afcfe1.gif

д) hello_html_37be177c.gif

е) hello_html_5c824278.gif


Практическая работа №7

Тема: «Показательные неравенства»

Цель: отработать навыки решения логарифмических неравенств.


Краткие теоретические сведения

Решить неравенство:

а) 23x-1 hello_html_m7c48e444.gif 16

23x-1 hello_html_m7c48e444.gif 24, т.к y=2t (2>1), логарифмическая функция возрастает

3x-1<4,

3x<5,

x<hello_html_242862e0.gif

б) Рассмотрим решение показательного неравенства:

hello_html_69b983e9.gif

Используя свойства показательной функции hello_html_1052c405.gif, преобразуем неравенство,

hello_html_m26024ccb.gif

Вынесем общий множитель 3х за скобки:

hello_html_mc28f09e.gif

hello_html_719219bb.gif

hello_html_m12757f10.gif, учитывая, что функция hello_html_m675edcc9.gif, возрастает

hello_html_687d293b.gifhello_html_88c430.gif

Ответ. hello_html_687d293b.gif.


Содержание практической работы

Вариант 1

Решить неравенство

а) 35-3х hello_html_m7c48e444.gif 9;

б) 0,23х-2 hello_html_m6d1256d7.gif hello_html_m1825703.gif;

в) hello_html_4f6bba2f.gif х-4 > hello_html_m59fe56ba.gif;

г) hello_html_m489ed7fc.gif


Практическая работа №8

Тема: «Уравнение sinx = a»

Цель: сформировать умение решать уравнения вида sinx = a, с использованием общей формулы, а так же частных случаев.

Краткие теоретические сведения

Определение: Арксинусом числа а hello_html_m65ee61a0.gif называется такое число hello_html_7cbc1292.gif, синус которого равен a:

hello_html_ma17f460.gifесли hello_html_3d18cf2b.gif hello_html_m248cdaf5.gif.

Корни уравнения hello_html_277f4a34.gif, где hello_html_m2df272a4.gif, выражаются формулой

hello_html_m1d9ff618.gif. (1)

Для любого hello_html_356ac619.gif справедлива формула

hello_html_6d51058e.gif(2)

Частные случаи решения уравнения hello_html_277f4a34.gif:

1) hello_html_7c834381.gif (3)

2) hello_html_125e50b2.gif (4)

3) hello_html_m341dd3aa.gif (5)

Решение примеров:

1) Вычислить

Для вычисления используем формулу (2)

hello_html_m54f91e26.gif.

2) hello_html_m3cb7086c.gif для решения уравнения используем формулу (1)

hello_html_61aad2d6.gifвычислим hello_html_7109c626.gif


hello_html_m2cd1b62a.gif.

Ответ: hello_html_m2cd1b62a.gif.

3) hello_html_60b61080.gif для решения уравнения используем формулу (1)

hello_html_50fd3ad9.gif, воспользуемся формулой (2), в результате получим

hello_html_7c5ea61b.gif, вычислим hello_html_7109c626.gif

hello_html_m1c195856.gif, разделим обе части уравнения на 2 или умножим на hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_m688a67ae.gif.

Ответ: hello_html_m688a67ae.gif.

4) hello_html_505c1f5e.gifдля решения уравнения используем формулу (4)

hello_html_3e00ad74.gif- разделим обе части уравнения на 3, или умножим на hello_html_7f8f9891.gif

hello_html_73cf90d8.gif.

Ответ: hello_html_73cf90d8.gif.

5) hello_html_5213d33.gif, перенесем hello_html_39f1b7ec.gif в правую часть с противоположным знаком

hello_html_7771c601.gif, разделим обе части уравнения на 2

hello_html_md8487ae.gif, для решения уравнения используем формулу (1)

hello_html_527394d6.gif, вычислим hello_html_m3b178812.gif

hello_html_m46f16493.gif- разделим обе части уравнения наhello_html_7f8f9891.gif или умножим на 3

hello_html_m35c4290b.gif.

Ответ: hello_html_m35c4290b.gif .


Содержание практической работы

Вариант 1

1. Вычислить

а) hello_html_1f8c5c03.gif,

б) hello_html_m194c2089.gif,

2. Решить уравнение

а) hello_html_m7cea9b48.gif

б) hello_html_4e0dedf4.gif

в) hello_html_ea8fd92.gif

г) hello_html_m72668727.gif

д) hello_html_5f0a8981.gif

е) hello_html_m118eaa9a.gif

Практическая работа №9

Тема : «Зависимость между синусом, косинусом и

тангенсом одного и того же угла»

Цель: сформировать умение применять для вычисления синуса, косинуса угла основное тригонометрическое тождество, формулы зависимости между тангенсом и котангенсом, зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом, формулы двойного угла.

Краткие теоретические сведения

y

y

Знаки синуса, косинуса и тангенса

y

hello_html_m3b6df13a.gif hello_html_e209ca9.gif hello_html_71e60e45.gif

x

- +

- +

- +

+ -

x

x

+++++=+=+====


Основное тригонометрическое тождество

hello_html_m191de4fe.gif(1)

hello_html_7ecaaeb4.gif(2)

hello_html_84944a3.gif(3)

Зависимость между тангенсом и котангенсом

hello_html_563c774e.gif(4)

hello_html_2e2786ea.gif(5)

hello_html_m73e8e15d.gif(6)

Зависимость между тангенсом и косинусом

hello_html_6d4ed277.gif(7)

Зависимость между котангенсом и синусом

hello_html_m602c075a.gif(8)

Задача 1. hello_html_73b3d70d.gif. Найти hello_html_m4af008fb.gif

По формуле (2) найдем

hello_html_7ecaaeb4.gif, учитывая, что угол hello_html_695bfd0f.gif находится в 1-й четверти, получим

hello_html_m46e7c676.gif,

hello_html_4f070ba9.gif, подставим

hello_html_6631a389.gif.

По формуле (6) вычислим

hello_html_m73e8e15d.gif

hello_html_12302153.gif.

hello_html_m6c2be858.gif: hello_html_24f63e29.gif , hello_html_a027f4f.gif , hello_html_12302153.gif .

Содержание практической работы

Вариант 1

1. а) Вычислить hello_html_47879e7e.gifесли hello_html_m54d3f985.gif и hello_html_17a58711.gif.

б) hello_html_1f57f73c.gif

в) Вычислить hello_html_m1ac7d3cc.gif.

г) Вычислить hello_html_3a7cad7a.gif.

д) Вычислить hello_html_c5fff46.gif.


Практическая работа №10

Тема: «Формулы приведения»

Цель: сформировать умение применять формулы приведения при преобразовании тригонометрических выражений, а так же сводить к формулам приведения.

Краткие теоретические сведения

Формулы приведения


hello_html_7233e67b.gif

hello_html_m6ce6a22c.gif

hello_html_m57914d2.gif

hello_html_7f48fd18.gif

hello_html_m1f3a3a44.gif

hello_html_7620b178.gif

hello_html_52fd76b4.gif

hello_html_4a75d886.gif

hello_html_m4fc2064e.gif

hello_html_m4df7f5c8.gif

hello_html_m349f4e00.gif

hello_html_m349f4e00.gif

hello_html_27a4bcdf.gif

hello_html_m1c2c641.gif

-hello_html_m349f4e00.gif

-hello_html_m349f4e00.gif

hello_html_m1c2c641.gif

hello_html_27a4bcdf.gif

hello_html_m4eeda7ca.gif

hello_html_27a4bcdf.gif

hello_html_m1c2c641.gif

-hello_html_m349f4e00.gif

- hello_html_m349f4e00.gif

hello_html_m1c2c641.gif

hello_html_27a4bcdf.gif

hello_html_m349f4e00.gif

hello_html_m349f4e00.gif

tghello_html_7233e67b.gif

ctghello_html_695bfd0f.gif

- ctghello_html_695bfd0f.gif

-tghello_html_695bfd0f.gif

tghello_html_695bfd0f.gif

ctghello_html_695bfd0f.gif

- ctghello_html_695bfd0f.gif

-tghello_html_695bfd0f.gif

tghello_html_695bfd0f.gif

ctghello_html_7233e67b.gif

tghello_html_695bfd0f.gif

- tghello_html_695bfd0f.gif

-ctghello_html_695bfd0f.gif

ctghello_html_695bfd0f.gif

tghello_html_695bfd0f.gif

- tghello_html_695bfd0f.gif

-ctghello_html_695bfd0f.gif

ctghello_html_695bfd0f.gif

Формулы приведения запоминать необязательно. Для того чтобы записать одну из них, можно руководствоваться следующими правилами:

1) В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии hello_html_m70e1752c.gif.

2) Если в левой части угол равен hello_html_547380bd.gif или hello_html_m18cb7bc0.gif, то синус заменяется на косинус, косинус – на синус, тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс. Если угол равен hello_html_m4c2b985b.gif, то замены не происходит.

Решение упражнений

Вычислить с помощью формул приведения

1) hello_html_65c40222.gif.

2) hello_html_m133bc094.gif.

3) hello_html_1f9af1e9.gif.

4) hello_html_4f2a486b.gif.

5) hello_html_m31825128.gif.

6) Упростить hello_html_m4b6606f7.gif


Содержание практической работы

Вариант 1

526 (4, 8)

528 (1)

531 (1, 3)


Практическая работа №11

Тема: «Уравнение tgx = a»

Цель: сформировать умение решать уравнения вида tgx = a, с использованием общей формулы, а так же частных случаев.

Краткие теоретические сведения

Определение: Арктангенсом числа а hello_html_58433c9b.gif называется такое число hello_html_458b3445.gif, тангенс которого равен a:

hello_html_m4938eb5a.gifесли hello_html_m18070c2b.gif hello_html_46ee4905.gif.

Корни уравнения hello_html_494110a3.gif, гдеhello_html_m1813a47f.gif, выражаются формулой

hello_html_ee9c16d.gif. (1)

Для любого а hello_html_58433c9b.gif справедлива формула

hello_html_1820625f.gif(2)

Решение примеров:

1) Вычислить

Для вычисления используем формулу (2)

hello_html_m1dec20dc.gif.

2) hello_html_m61dd94e7.gif для решения уравнения используем формулу (1)

hello_html_3cb9ac8d.gifвычислим hello_html_20ec2ece.gif

hello_html_m39a0ab2.gif.

Ответ: hello_html_m39a0ab2.gif.

3) hello_html_m6e121bbe.gif для решения уравнения используем формулу (1)

hello_html_59d56917.gif, воспользуемся формулой (2), в результате получим

hello_html_m45236f3.gif, вычислим hello_html_20ec2ece.gif

hello_html_6be420c.gif, разделим обе части уравнения на 2 или умножим на hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_m5a318754.gif.

Ответ: hello_html_m5a318754.gif.

4) hello_html_mb76e1b2.gif, перенесем hello_html_5909bbae.gif в правую часть с противоположным знаком

hello_html_m6f773f73.gif, разделим обе части уравнения на 3

hello_html_4b9c92fd.gif, для решения уравнения используем формулу (1)

hello_html_m441f9b82.gif, вычислим hello_html_724d10ae.gif

hello_html_3eeb3234.gif- разделим обе части уравнения наhello_html_7f8f9891.gif или умножим на 3

hello_html_1cc33c5e.gif.

Ответ: hello_html_1cc33c5e.gif .


Содержание практической работы

Вариант 1

  1. Вычислить

а) hello_html_m1812a5e3.gif,

б) hello_html_m3d2acb5.gif,

в) hello_html_7fcdd78d.gif

2. Решите уравнение

а) hello_html_m51db4d50.gif

б) hello_html_m7349e347.gif

в) hello_html_m675acd01.gif

г) hello_html_1eaccca0.gif

д) hello_html_m3d99bb39.gif

е) hello_html_m315dec8c.gif

Практическая работа №12

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цель: отработать способы решения тригонометрических уравнений различного типа.

Краткие теоретические сведения

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

hello_html_1242d1ab.gif

Пусть hello_html_4acdf14d.gif

hello_html_2dea9c71.gifкорни этого уравнения hello_html_26ad0806.gif посторонний корень.

hello_html_m12c260ed.gif

hello_html_5c83cda8.gif.

hello_html_289aba8a.gif

По формуле основного тригонометрического тождества получим

hello_html_m41fbfb31.gif, подставим в первое уравнение

hello_html_m616164aa.gif

hello_html_m216af683.gif

Пусть hello_html_4acdf14d.gif

hello_html_m412df101.gif, откуда hello_html_438a9dad.gif.

hello_html_19e87e60.gif


hello_html_61aad2d6.gifвычислим hello_html_7109c626.gif


hello_html_m2cd1b62a.gif.

2. Уравнение hello_html_m1a012043.gif

hello_html_mdeb4233.gif

Используя формулу

hello_html_m64934a3b.gif, hello_html_73518df4.gif, hello_html_m3e337f1e.gif

hello_html_3d075ca7.gif,

hello_html_m177f1166.gif, разделим обе части на hello_html_41704374.gif , получим равносильное уравнение hello_html_6a72fc42.gif, пустьhello_html_3517b2fc.gif

hello_html_37c2adf0.gifоткуда hello_html_1c970490.gif.

hello_html_md0eafaa.gif

hello_html_m5ed8d710.gif

hello_html_m2d62d4a4.gif

hello_html_28c0f4f1.gif

hello_html_m605d1dad.gif

hello_html_m149fb6c9.gif


Содержание практической работы

Вариант 1

Решить уравнение

а) hello_html_2e596356.gif

б) hello_html_m22094480.gif= 0,

в) hello_html_m274e60f8.gif

г) hello_html_m453b2de5.gif= 0,

д) hello_html_15a3fce7.gif

е) hello_html_m7814dc9a.gif


Практическая работа №13

Тема: «Изображение пространственных фигур на плоскости»

Цель: отработать навыки изображения пространственных фигур на плоскости;

развитие умения систематизировать и анализировать информацию, делать выводы; умение понимать и использовать геометрические средства наглядности для решения задач; способствовать дальнейшему развитию пространственного представления;

развитие навыков индивидуальной работы в достижении учебной цели.

воспитание уважительного отношения к выбору профессии.


Содержание практической работы

Представить результаты в таблице.

Задание № 1.В таблице изобразите с помощью параллельного проектирования пространственные фигуры на плоскости и запишите вывод.

Изображение в пространстве

Изображение на плоскости

Вывод

а

Прямая а,



Изображение прямой -----------(сохраняется или не сохраняется)

в

а

Параллельные прямые, а ׀׀ в





Изображение параллельных прямых --------------------------------(сохраняется или не сохраняется)

А

В

Длина отрезка АВ,







Длина отрезка --------------------------

(сохраняется или не сохраняется)

М

В

А

Деление отрезка АВ точкой М.





Пропорциональность длин отрезков -------------------------------(сохраняется или не сохраняется)

Величина угла



Величина угла-----------------------------

(сохраняется или не сохраняется)

Задание № 2. Применить теорию изображения плоских фигур для п- угольников.

Изображение в пространстве

Изображение на плоскости

Вывод

Правильный треугольник


Изображение на плоскости в виде----( произвольного треугольника; правильного треугольника)

Прямоугольный треугольник


Изображение на плоскости в виде----( произвольного треугольника; правильного треугольника или прямоугольного треугольника)



Прямоугольник


Изображение на плоскости в виде----(прямоугольника или параллелограмма)

Квадрат



Изображение на плоскости в виде----(квадрата или параллелограмма

Параллелограмм


Изображение на плоскости в виде---


Практическая работа №14

Тема: «Декартовы координаты. Расстояние между точками.

Цель: отработать решение задач на применение формул вычисления расстояние между точками, координаты середин отрезка.

Краткие теоретические сведения

Определение: Расстояние между точками hello_html_3082568d.gif вычисляется по формуле

hello_html_5143870c.gif

Определение: Координаты середин отрезка hello_html_m5d5141a1.gif вычисляются по формуле

hello_html_m3fc03d65.gif

hello_html_b7700a8.gif

hello_html_m7cb523eb.gif


Содержание практической работы

ВАРИАНТ 1

  1. На оси х найдите точку С(х;0;0) равноудаленную от двух точек А (3;5;1), В (-2;1;2).

  2. Докажите, что четырёхугольник АВСД с вершинами в точках А (2;0;1), В (3;1;-1), С (4;-2;3) и Д (3;-3;5) является ромбом.

  3. Найдите координаты вершины Д (х; у; z) параллелограмма АВСД, если координаты трёх вершин следующие: А (-1; 2; -3), В (0; 4; -2), С (2; -3; 1).


Практическая работа №15

Тема: «Свойства тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции»

Цель: отработать основные свойства тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, решать уравнения с использованием обратных тригонометрических функций, а так же отбирать корни из заданного отрезка.

Краткие теоретические сведения


1. ООФ (- ∞; + ∞)

2. Четность нечетная sin (-x) = - sin x

3. Монотонность: возрастает [ - π/2 + 2 π к; π/2 + 2 π к]; убывает [ π/2 + 2 π к; 3π/2 + 2 π к]

4. Ограниченность: сверху у = 1, снизу у = -1

5. Наибольшее и наименьшее значение у наиб.= 1; у наим.= -1

6. Непрерывность: непрерывна

7. ОЗФ [-1; 1 ]

8. Периодичность: периодическая с периодом 2 π


1. ООФ (- ∞; + ∞)

2. Четность четная cos (-x) = cos x

3. Монотонность: возрастает [ π + 2 π к; 2π + 2 π к]; убывает [ 0 + 2 π к; π + 2 π к]

4. Ограниченность: сверху у = 1, снизу у = -1

5. Наибольшее и наименьшее значение у наиб.= 1; у наим.= -1

6. Непрерывность: непрерывна

7. ОЗФ [-1; 1 ]

8. Периодичность: периодическая с периодом 2 π


Содержание практической работы

Вариант 1

  1. Решить уравнение

а) hello_html_298e9898.gif

б) hello_html_779c69f5.gif

в) hello_html_m1af78bf3.gif

г) hello_html_m539d4aa7.gif.

  1. Найти область определения функции

а) hello_html_m87201cb.gif

б) hello_html_eb50ca.gif

в) hello_html_m734428f2.gif

г) hello_html_6f33a95b.gif.

  1. Функции hello_html_m64f68326.gif изобразить график и описать основные свойства.


Практическая работа №16

Тема: «Геометрический смысл производной»

Цель: отработать основные формулы вычисления производной функции, находить угловой коэффициент касательной к графику функции, уравнение касательной к графику функции.

Краткие теоретические сведения

Производной функции hello_html_m43308aa6.gif в точке х называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

hello_html_1fb2e4eb.gif,

где hello_html_ma3b6c4e.gif.

Другие обозначения производной: hello_html_m3e1339ca.gif.


Таблица

Таблица производных основных элементарных функций

1

hello_html_m54deee8.gif

8

hello_html_m33e666d0.gif

2

hello_html_m20f0f7ef.gif

9

hello_html_m29910e14.gif

3

hello_html_540201e.gif

10

hello_html_m30d5c855.gif

4

hello_html_m197ef65b.gif

11

hello_html_6b0cc4d4.gif

5

hello_html_3c8bab8.gif

12

hello_html_5f622ab9.gif

6

hello_html_m16d00a34.gif

13

hello_html_6df2edf9.gif

7

hello_html_m21a4e0e0.gif




Основные правила дифференцирования

  1. Производная постоянной равна нулю:

hello_html_625eb69.gif

  1. Производная алгебраической суммы двух дифференцируемых функций hello_html_m7b44abf4.gif и hello_html_m278ba05d.gif:

hello_html_m77b13324.gif

  1. Производная произведения двух дифференцируемых функций hello_html_m7b44abf4.gif и hello_html_m278ba05d.gif:

hello_html_7a025fb8.gif

  1. Производная частного двух дифференцируемых функций hello_html_m7b44abf4.gif и hello_html_m278ba05d.gif:

hello_html_4f1753e3.gif

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

hello_html_m36ae36c.gif

Выясним геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f(x). Пусть точки А и М принадлежат графику функции

y = f(х).

Пусть х и x+h — абсциссы точек А и М, тогда их ординаты равны f (х) и f(x+h). Из треугольника АСМ, где С (x+h; f(x)), найдем угловой коэффициент k прямой AM, который зависит от h (его можно рассматривать как функцию k(h)).

Тогда hello_html_m7711cad9.gif, где МС =

= f(x + h) — f(x), AC = h, т. е.

k(h)=hello_html_m4a26aac0.gif .

Пусть число х фиксировано, а h0, тогда точка А неподвижна, а точка М, двигаясь по графику, стремится к точке А. При этом прямая AM стремится занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции y = f(x), потому что hello_html_410e6ea3.gif, существует и равен

f '(х). Итак,


f'(x)= tg


Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

k = tg a = f ' (х0)

уравнение касательной

y = f '(xo)x+f (x0)—f '(xo)xo, или

y = f (x0) + f '(xo)(x - xo).


Найти производные функций:

а) y = 2x-3/2

Найдем производную функции y = 2x-3/2 . Для этого вынесем постоянный множитель за знак производной и воспользуемся формулой из таблицы производных: hello_html_m7a9ba63e.gif. Получим: hello_html_6a3b9ff1.gif

б) Задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки; нужно найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t0.

Решение:

Пусть hello_html_m65593742.gif.

Известно, что значения скорости и ускорения материальной точки в некоторый момент времени являются соответственно значениями в этот момент I и II производных функции, задающей закон изменения пути движения точки.

У нас hello_html_m7d11914c.gif

hello_html_265e5337.gif(ед. ск.)

hello_html_m3ecfd289.gif

hello_html_1de2d1db.gif(ед. уск.)

в) Написать уравнение касательной к графику функции у = 2х2 - 1, в точке с абсциссой х0 = 3.

1) у'=4х

2) у' (3) = 4·3 = 12

3) у(3) = 2·32-1 = 17

4) у= 17+ 12(х-3)

у=12х-19.

Содержание практической работы

Вариант 1

Составить уравнение касательной

hello_html_7fef6aec.gif

1)

y = -17x + 2

2)

y = -x + 12

3)

y = 17x - 2

4)

y = 17x - 26

б) hello_html_m1781129.gif

1)

y = 4x + 40

2)

y = -18x - 10

3)

y = 18x + 8

4)

y = 8x +18



в) hello_html_m5c1a7bfe.gif

1)

y = 33x + 24

2)

y =- 24x + 63

3)

y = 24x + 33

4)

y = 24x - 63



Практическая работа №17

Тема: «Возрастание и убывание функции»

Цель: отработать основной алгоритм нахождения возрастания и убывания функции.

Краткие теоретические сведения

Примеры:

Дифференцируемая функция у = f(х) возрастает на промежутке [а,b], если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.

Дифференцируемая функция у = f (x) убывает на промежутке [а;b],если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.

Пример:

а) Дана функция: hello_html_m6e037410.gif

  1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y): hello_html_m6e80b6ef.gif, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и график ее не имеет вертикальных асимптот.

  2. Найдем интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

hello_html_m5e0b7058.gif

hello_html_1c692a69.gif

hello_html_57d85007.gif

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки х1 = -5, х2 = -1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

x

hello_html_m300c0968.gif

hello_html_m2e8c8e09.gif

hello_html_2d4ca9ed.gif

hello_html_1922f03.gif

+

-

+

hello_html_6d64bc0a.gif

hello_html_m66b36ac.gif

hello_html_614d9791.gif

hello_html_m66b36ac.gif

Ответ: y возрастает на hello_html_1c62bd6a.gif

y убывает на (-5; -1).


Содержание практической работы

Вариант 1

Найти промежутки возрастания и убывания функции:

а) hello_html_38765a06.gif

б) hello_html_m4e0eb3af.gif

в) hello_html_432159a0.gif

г) hello_html_78324e2.gif


Практическая работа №18

Тема: «Экстремумы функции»

Цель: отработать основной алгоритм нахождения точек экстремума функции.

Краткие теоретические сведения

Функция у = f (x) имеет максимум в точке х = х1 , если для всех значений х, достаточно близких к х1, выполняется неравенство f (x) < f (x1); х = х1 – точка максимума; уmax = f (x1)- максимум функции.

Функция у = f(x) имеет минимум в точке х = х2 , если для всех значений х, достаточно близких к х2, выполняется неравенство f (x) > f (x2); х = х2точка минимума; уmin= f (x2) – минимум функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремальными.

Точки, в которых производная функции обращается к нуль, называются критическими точками I рода.

Первое достаточное условие существования экстремума функции. Если при переходе через критическую точку I рода х = х0 производная функции у = f(x) меняет знак, то х = х0точка экстремума.

При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то х = х0 – точка максимума, а уmax = f(x0). Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то х = х0 – точка минимума, уmin= f(x0).

Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке х = х0 первая производная функции у = f (x) обращается в нуль, а вторая производная отлична от нуля, то х = х0 – точка экстремума.

При этом если вторая производная в этой точке положительна

(f / / (x0) >0), то х = х0точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна (f / /(x0)<0), то х = х0 – точка максимума.

Пример:

Дана функция: hello_html_m6e037410.gif

  1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y): hello_html_m6e80b6ef.gif, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и график ее не имеет вертикальных асимптот.

  2. Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

hello_html_m5e0b7058.gif

hello_html_1c692a69.gif

hello_html_57d85007.gif

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки I рода х1 = -5, х2 = -1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

x

hello_html_m300c0968.gif

-5

hello_html_m2e8c8e09.gif

-1

hello_html_2d4ca9ed.gif

hello_html_1922f03.gif

+

0

-

0

+

hello_html_6d64bc0a.gif

max

min

hello_html_m66b36ac.gif

hello_html_614d9791.gif

hello_html_m66b36ac.gif

Ответ: x = -5 – точка максимума

x = -5 – точка минимума.

Содержание практической работы

Вариант 1

Найти точки экстремума

а) hello_html_c44f0eb.gif,

б) hello_html_m5fb7915b.gif,

в) hello_html_mba3a545.gif,

г) hello_html_67ea32e3.gif.

Практическая работа №19

Тема: «Исследование функции с помощью производной»

Цель: отработать основной алгоритм построения графика функции с помощью производной.

Краткие теоретические сведения

Пример. Исследовать и построить график функции hello_html_m50d2d2a0.gif

  1. Область определения функции: hello_html_339b591b.gif

  2. Функция не является ни четной ни нечетной.

  3. Точек пересечения с осью x нет, так как x2+1>0 при любом x. Точка пересечения с осью y (0;-1).

  4. hello_html_73b78cd1.gifhello_html_m9204f12.gifКритические точки: hello_html_m521ccef4.gif, но x=1 - не принадлежит области определения функции. Решим неравенства методом интервалов. Отметим знаки интервалов на числовой прямой, учитывая кратность x=1.

Занесем результаты в таблицу

x

hello_html_m57712c01.gif

-0,4

hello_html_m79116cad.gif(-0,4;1)

1

(1;2,4)

2,4

hello_html_m51454f4c.gif

f’(x)

+

0

-

---

-

0

+

f(x)


-0,8


---


4,8




max




min


  1. hello_html_6d95a6a9.gifhello_html_m816e78.gifКритические точки: x=1, но она не принадлежит области определения функции. Решим неравенства методом интервалов : (x-1)3<(>)0.

Составим таблицу:

x

hello_html_2bc271e4.gif

1

hello_html_m16e0c841.gif

hello_html_4b1da20.gif

-

---

+

f(x)


---



6. Строим график функции согласно порядку исследования



yy

>

hello_html_m60593107.gif

y = x+1




> x




х=1




Содержание практической работы

Вариант 1

Исследовать функцию и построить её график

а) hello_html_231d1699.gif

б) hello_html_m9d45620.gif


Практическая работа №20

Тема: «Наибольшее и наименьшее значения функции»

Цель: отработать основной алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.


Краткие теоретические сведения


Определение 1. Говорят, что функция hello_html_763cdb47.gif достигает на множестве X своего наименьшего (наибольшего) значения в точке hello_html_m759cb9fc.gif, если для любого hello_html_477f09f.gif имеет место неравенство hello_html_67d3ef9c.gif (hello_html_55b13501.gif).

Введем для наименьшего и наибольшего значений следующие обозначения:

hello_html_1259583.gif(hello_html_1c041860.gif).

Рассмотрим различные случаи:

  1. Пусть - отрезок. Имеет место теорема.

Теорема 1. Если функция hello_html_763cdb47.gifнепрерывна на отрезке hello_html_783cdc31.gif, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений.

hello_html_m558c7db2.png

Рисунок 1




Следствие. Если функция hello_html_763cdb47.gifдифференцируема на интервале hello_html_43bd806d.gif, то она достигает на отрезке hello_html_783cdc31.gifнаибольшего и наименьшего значений либо в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, либо на концах отрезка. (Смотри рисунок 1.)

Для функции, график которой изображен на рисунке 1, имеются две точки максимума (hello_html_m2648ac07.gif) и одна точка минимума (hello_html_m4bf2b366.gif), но для нее hello_html_m384bf713.gif, а hello_html_m71b431ca.gif.

  1. Пусть X – некоторый промежуток, на котором функция имеет единственную точку экстремума. Тогда имеет место теорема.

Теорема 2. Пусть hello_html_65a989ce.gif - единственная точка экстремума функции hello_html_763cdb47.gifна множестве X. Тогда, если hello_html_65a989ce.gif - точка минимума, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения. Если же hello_html_65a989ce.gif - точка максимума, то в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

hello_html_3d22adf6.png

Рисунок 2a


Рассмотрим пример. На рисунке 2а hello_html_65a989ce.gif - единственная точка минимума функции hello_html_763cdb47.gifна промежутке hello_html_679b049.gif. Поэтому hello_html_m59fc0a53.gif.

На рисунке 2б hello_html_65a989ce.gif - единственная точка максимума функции hello_html_763cdb47.gifна промежутке hello_html_679b049.gif. Поэтому hello_html_40ebed29.gif.

hello_html_m35d2cb8f.png

Рисунок 2b


Пусть hello_html_763cdb47.gif- периодическая непрерывная на интервале hello_html_679b049.gif функция. Тогда имеет место теорема.

Теорема 3. Если hello_html_763cdb47.gif- периодическая непрерывная на интервале hello_html_679b049.gif функция, то она достигает своего наибольшего значения в бесконечном числе точек максимума и наименьшего значения в бесконечном числе точек минимума.

hello_html_2f190d3a.png

Рисунок 3


Например, на рисунке 3 hello_html_2ed68e8.gif, а hello_html_3d2eab9c.gif, где Т- главный период функции, а hello_html_5572ca15.gif.

Если же исследуемая функция hello_html_763cdb47.gif не удовлетворяет условиям теорем 1-3, то будет полезно построить график этой функции и по графику выяснить, существуют ли точки с наибольшим и наименьшим значениями. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке Х.

hello_html_100abf09.gif

Решение. Исследуемая функция дифференцируема и непрерывна на отрезке, поэтому можно применить теорему 1.

а) Найдем производную: hello_html_395bf932.gif.

б) Найдем стационарные точки (в них производная обращается в нуль).

hello_html_313385ce.gif

hello_html_1927e410.gif.

Точки hello_html_1927e410.gif - точки возможного экстремума. При этом hello_html_m4c65e31d.gif. Найдем значения функции в точке hello_html_48d1512c.gif и на концах отрезка и выберем среди них наибольшее и наименьшее значения. Так как

hello_html_m2c626da6.gif, то

hello_html_37b59d9b.gif, hello_html_m515cfb88.gif.


Содержание практической работы

Вариант 1

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

а) hello_html_2f58e0ca.gif

б) hello_html_m7aef0ba8.gif

Практическая работа №21

Тема: «Первообразная функции»

Цель: отработать основные формулы нахождения первообразных.

Краткие теоретические сведения

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка F/(x) = f(x).

Таблица первообразных

Функция

Первообразная

hello_html_1aed21df.gif

hello_html_m39bbc6ef.gif

hello_html_m329f5a7d.gif

hello_html_m1f7b8748.gif

hello_html_m1afe3dc2.gif

hello_html_m18c84905.gif

hello_html_39b6f98e.gif

hello_html_m512e82fc.gif

hello_html_m5cca13d6.gif

hello_html_m37ae82cb.gif

hello_html_m3e88c53.gif

hello_html_7c0476dd.gif

hello_html_39ae8d38.gif

hello_html_m40b30048.gif

hello_html_797d3b6f.gif

hello_html_m45de28da.gif

1. Найти общий вид первообразных:

а) hello_html_m5fac9642.gif,

hello_html_m507a2fc9.gif

б) hello_html_221c1af6.gif

hello_html_m37819678.gif.


Содержание практической работы

Вариант 1

Найти общий вид первообразных

а) hello_html_m12094da6.gif

бhello_html_2e9d5835.gif

в) hello_html_m71eb367d.gif

г) hello_html_71ca0c4a.gif

д) hello_html_73674ce6.gif

е) hello_html_806965e.gif

ж) hello_html_m16e26f42.gif

з) hello_html_md0bc498.gif.

Практическая работа №22

Тема: «Действия над векторами»

Цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Координаты вектора. Скалярное произведение векторов»; закрепить умения использовать полученные знания для решения геометрических задач.


Краткие теоретические сведения

Пример 1

Даны векторы hello_html_52b6523f.gif; hello_html_m177daaef.gif; hello_html_4cd9f9ea.gifhello_html_m1a912674.gif hello_html_1e6b2fff.gifhello_html_m65c265fe.gif

Вычислить |(2hello_html_m1c808911.gif+ hello_html_m262a10d6.gif)| – 4(2hello_html_m671b8623.gif- hello_html_4cd9f9ea.gif)hello_html_1e6b2fff.gif

Решение.

2hello_html_m1c808911.gifhello_html_144b3c1c.gif hello_html_m23785cf1.gif 2hello_html_m1c808911.gifhello_html_m5b913cb3.gif

hello_html_m262a10d6.gifhello_html_m9869e6a.gif

2hello_html_m1c808911.gif+ hello_html_m262a10d6.gifhello_html_m332724d8.gif hello_html_m23785cf1.gif2hello_html_m1c808911.gif+ hello_html_m262a10d6.gifhello_html_m13c241d3.gif

hello_html_mf6b4edd.gif

2hello_html_7a324c6.gifhello_html_m23785cf1.gif2hello_html_6a415826.gif

2hello_html_m671b8623.gif- hello_html_4cd9f9ea.gifhello_html_m60b1548d.gifhello_html_m23785cf1.gif 2hello_html_m671b8623.gif- hello_html_4cd9f9ea.gif hello_html_m4dc8a37b.gif

4(2hello_html_m671b8623.gif- hello_html_4cd9f9ea.gif) hello_html_e329aee.gifhello_html_m23785cf1.gif4(2hello_html_m671b8623.gif- hello_html_4cd9f9ea.gif)hello_html_ma80f1d5.gif

Так как 4(2hello_html_m671b8623.gif- hello_html_4cd9f9ea.gif)hello_html_1e6b2fff.gif - это скалярное произведение векторов, то по формуле скалярного произведения hello_html_7267d8ee.gif получим:

4(2hello_html_m671b8623.gif- hello_html_4cd9f9ea.gif)hello_html_1e6b2fff.gif=16∙(-1) + (-20)∙1 + (-36)∙(-1)= -16 – 20 + 36 = 0

Тогда |(2hello_html_m1c808911.gif+ hello_html_m262a10d6.gif)| – 4(2hello_html_m671b8623.gif- hello_html_4cd9f9ea.gif)hello_html_1e6b2fff.gif = hello_html_575eace6.gif+ 0 = hello_html_575eace6.gif

Ответ: |(2hello_html_m1c808911.gif+ hello_html_m262a10d6.gif)| – 4(2hello_html_m671b8623.gif- hello_html_4cd9f9ea.gif)hello_html_1e6b2fff.gif = hello_html_575eace6.gif

Пример 2. Выяснить при каких значениях m и n данные векторы коллинеарные: hello_html_m13fe9ee2.gif и hello_html_m733b2cab.gif.

Решение.

У коллинеарных векторов соответствующие коэффициенты пропорциональны. Запишем соответствующую пропорцию, из которой найдем m и n:

hello_html_6dd3722e.gif, откуда hello_html_m439db2cd.gif

Ответ: m = -2, n = -2.5.


Пример 3.

Вершины треугольника имеют координаты А(1; 2; 0), В(5; -1; 3), С(6; 5; 4). Найдите длины сторон треугольника и угол A треугольника ABC.

Решение.

А(1; 2; 0)

В(5; -1; 3)

С(6; 5; 4)



  1. Найдем координаты векторов hello_html_2c551242.gif, hello_html_54975d8e.gif, hello_html_4c17faf4.gif

hello_html_2c551242.gifhello_html_44ba3704.gifhello_html_m23785cf1.gifhello_html_mc3e0e36.gifhello_html_m36136f70.gif

hello_html_54975d8e.gifhello_html_m18fc10e7.gifhello_html_m23785cf1.gifhello_html_m55155ede.gifhello_html_58301f86.gif

hello_html_60e76eb8.gifhello_html_357723f9.gifhello_html_m23785cf1.gifhello_html_60e76eb8.gifhello_html_14fc03ed.gif

  1. Найдем длины каждого вектора. Это и будет длины сторон треугольника АВС.

hello_html_m5a6ebc7.gif- длина стороны АВ

hello_html_m294a46c3.gif- длина стороны ВС

hello_html_m13490786.gif- длина стороны АС

  1. Найдем угол ВАС – это угол между векторами hello_html_2c551242.gif и hello_html_m7896b81.gif.

hello_html_m3e2dfb19.gif.

hello_html_783127f8.gif

Ответ: hello_html_2c620c0a.gif, hello_html_783127f8.gif

Содержание практической работы

Вариант 1

1. Точка А отстоит от плоскости на расстоянии 12 см. Найти длину наклонной, проведенной из этой точки к плоскости под углом 450.

2. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (2,5,-3) переходит в точку В (-2,1,0), а точка С(5,-3,-1) переходит в точку Д (-4,5,1)?

3. Даны четыре точки А(1,1,2), В (4,-3,1), С (0,3,-2), Д (7,1,0). Укажите среди векторов hello_html_57a93f1d.gif hello_html_fd25afc.gif равные векторы.

4. Даны четыре точки А (5,-1,0), В (-2,4,0), С (3,-2,1), Д (-4,2,-3). Найти косинус угла hello_html_m58576334.gif между векторами hello_html_3b8cd368.gif и hello_html_m7eb8738.gif


Практическая работа №23

Тема: «Многогранники»

Цель: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках, совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей многогранников.

Краткие теоретические сведения

Пример 1. Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна hello_html_m12ab8b0d.gifдм, а диагональ боковой грани равна hello_html_m15e7e2ec.gifдм. Найдите диагональ данной призмы и площадь боковой поверхности.

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

hello_html_m251c568c.gif

hello_html_m62644758.gif

Решение. В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. Необходимо найти диагональ призмы BD1.

  1. Рассмотрим треугольник BD1D: угол D1DB = 900, BD = hello_html_m12ab8b0d.gifдм. Чтобы найти BD1, необходимо знать сторону треугольника D1D.

  2. Рассмотрим треугольник AB1B: угол B1BA = 900, AB1 = hello_html_m15e7e2ec.gifдм, B1B = D1D. Для того чтобы найти B1B, необходимо знать сторону треугольника AB.

  3. Рассмотрим треугольник ABD: угол BAD = 900, AB = AD (так как ABCD – квадрат). Следовательно, получим BD2 = AB2 + AD2 = 2AB2. Таким образом,

(hello_html_m12ab8b0d.gif)2 = 2AB2, 18 = 2AB2, AB2 = 9, AB = 3 дм.

  1. Из треугольника AB1B: BB12 = AB12AB2 = (hello_html_m15e7e2ec.gif)2 – 32 = 32 – 9 = 23, BB1 = hello_html_1267f003.gifдм.

  2. B1B = D1D = hello_html_1267f003.gifдм.

  3. Из треугольника BD1D: BD12 = BD2 + DD12 = (hello_html_m12ab8b0d.gif)2 + (hello_html_1267f003.gif)2 = 18+23 = 41, BD1 = hello_html_5f59bcfa.gifдм.

  4. hello_html_42dec577.gifдм.

Ответ: BD1 = hello_html_5f59bcfa.gifдм, Sбок = 12hello_html_1267f003.gifдм.

Пример 2. В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности.

hello_html_m474f8ee.pngРешение.

Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности. (Это следует из свойств правильной пирамиды).

  1. Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, найдем из его свойств:

hello_html_1664968c.gif

hello_html_m65b6eec2.gif

hello_html_6eca735.gif

hello_html_78a23cdc.gif

  1. Рассмотрим треугольник MOA – прямоугольный: MO = 10 см, AO = hello_html_m7a76f59a.gif. По т. Пифагора получим

MA = hello_html_m4f697f2.gif

  1. Рассмотрим треугольник MBК – прямоугольный: MB = MA = hello_html_m31d6e222.gif, BK = ½ BC = 8 см. По т. Пифагора получим hello_html_6631cc83.gif.

  2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле hello_html_52ce45db.gif.

hello_html_5b3dde4c.gif

Ответ : hello_html_26399620.gif

Содержание практической работы

Вариант 1

1. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 и 16 см, а боковые ребра равны hello_html_m86a92b1.gifсм. Найдите высоту пирамиды.

2. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2, найти площадь боковой поверхности.

3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды.


Практическая работа №24

Тема: «Тела вращения»

Цель: закрепить и обобщить знания о телах вращения; совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей тел вращения.


Краткие теоретические сведения

Пример 1. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 3hello_html_2ae48aae.gifсм. Найдите площадь поверхности цилиндра.

О

A

C

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле: Sполн = 2πr (r + h). Для нахождения Sполн необходимо знать радиус и высоту цилиндра.
  1. Рассмотрим треугольник АВD – прямоугольны й: угол ABD = 900, АD = hello_html_m12ab8b0d.gifсм. Найдем катеты AB и BD.

D

Так как ABCD – квадрат, следовательно AB = BD. Обозначим AB = x.

О1

B

По теореме Пифагора получим: AD2 = AB2 + BD2 = x2 + x2 = 2x2. Таким образом, hello_html_m5028835f.gif.

AB = BD = 3 см.

  1. AB = h = 3см, BO1 = r = ½ BD = 1.5 см.

  2. hello_html_m5e61591e.gifдм.

Ответ: Sполн = 13,5 см2.

Пример 2. Около конуса, высота которого равна hello_html_34e56516.gifсм и радиус основания 10 см, описана пирамида. Основанием пирамиды является ромб с острым углом 30°. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости основания, площадь осевого сечения конуса, площадь полной поверхности конуса, площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. hello_html_11c88a9e.png

  1. Найдем площадь полной поверхности конуса по формуле S=ΠR(R + l).

R = 10 см. Необходимо найти образующую конуса l = MN.

Рассмотрим ∆ MON – прямоугольный: MO = hello_html_34e56516.gifсм, NO = 10 см. По теореме Пифагора получим, MN2 = MO2 + ON2 = (hello_html_34e56516.gif)2 + 102 = 300 + 100 = 400, следовательно, MN = 20 см. Тогда Sполн = 10 Π (10 + 20) = 300П см2.

  1. Найдем угол наклона образующей конуса к плоскости основания - hello_html_56919aa7.gif. Для этого рассмотрим ∆ MON – прямоугольный: hello_html_1a338bae.gif

  2. Найдем площадь осевого сечения конуса – площадь ∆ MNH: SMNH = ½ NH MO = ½ 20 ∙ hello_html_34e56516.gif = hello_html_m236409cd.gif см2.

  3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды: Sполн = Sосн + 4SAMB.

  1. В основании пирамиды лежит ромб. Найдем площадь ромба. Для этого рассмотрим ∆ ADB: hello_html_m3390eab2.gif= 300. AD = AB = 2R = 20 см.

  2. SADBADABSinhello_html_m3390eab2.gif= ½ 20 ∙ 20 ∙ sin300 = 200∙1/2 = 100 см2.

  3. SABCD = 2 SADB = 200 см2.

  4. SAMB = ½ ABMN = ½ 20∙20 = 200 см2.

  5. Sполн = Sосн + 4SAMB = 200 + 4∙200 = 1000 см2.

Ответ: hello_html_41213c4b.gif= 600, Sсеч = hello_html_m236409cd.gif см2, Sполн кон = 300П см2, Sполн пир = 1000 см2.


Содержание практической работы

Вариант 1

1. В цилиндре в осевом сечении лежит прямоугольник, площадь которого 40 см2. Радиус цилиндра 4 см. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

2. Радиус основания конуса равен 20 см, образующая – 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию , на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.

3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами 6 дм и 8 дм и высотой, равной 14 дм, вписан в цилиндр. Найдите радиус основания цилиндра, площадь осевого сечения цилиндра, площадь полной поверхности цилиндра и параллелепипеда.


Практическая работа №25

Тема: «Объем и площадь полной поверхности многогранников»

Цели:

  1. Научится определять длины ребер прямоугольного параллелепипеда и куба.

  2. Научится вычислять длину диагонали прямоугольного параллелепипеда и куба.

  3. Научится находить угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания.

  4. Научится решать задачи с практическим содержанием.

Краткие теоретические сведения

Этапы выполнения работы.


Первый этап.

Последовательно выполните предложенные задания, используя учебник и тетрадь.


  1. Прочитайте определение прямоугольного параллелепипеда

  2. Изобразите прямоугольный параллелепипед в тетради

  3. Обозначьте измерения прямоугольного параллелепипеда буквами а, в, с

  4. Проведите диагональ прямоугольного параллелепипеда и обозначьте буквой d.

  5. Запишите теорему о нахождении диагонали прямоугольного параллелепипеда

  6. Запишите формулы нахождения площади полной поверхности и объёма прямоугольного параллелепипеда.

  7. Запишите свойства прямоугольного параллелепипеда

  8. Изобразите куб

  9. Обозначьте измерения куба.

  10. Проведите диагональ куба и обозначьте буквой d.

  11. Запишите теорему о нахождении диагонали куба.

  12. Запишите формулы нахождения площади полной поверхности и объёма куба.

  13. Запишите свойства куба

Второй этап.

По данной модели последовательно выполните задания.

  1. По предложенной модели измерьте длины ребер прямоугольного параллелепипеда или куба.

  2. Запишите результаты измерения (а, в, с)

  3. Вычислите длину диагонали d прямоугольного параллелепипеда или куба.

  4. Определите угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания.

  5. Найдите площадь полной поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда.

  6. Сделайте вывод о результатах Вашего исследования.

Третий этап.

Решите задачу.

  1. Требуется из проволоки сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с ребрами равными 12см, 8см, 5см. Сколько пойдет проволоки на изготовление прямоугольного параллелепипеда?

  2. Требуется из проволоки сделать каркасную модель куба с ребром равными 5см. Сколько пойдет проволоки на изготовление куба?

Четвертый этап.

  • Ребро куба равно а. Найдите расстояние меду скрещивающимися прямыми, содержащими:

а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.


Практическая работа №26

Тема: «Объем и площадь полной поверхности тел вращения»

Цель: закрепить и обобщить знания о телах вращения; совершенствовать умения и навыки решения задач.

Содержание практической работы

Вариант 1





Цилиндр ( π ≈ 3 )

I

II

III

IV

R

10

6


15

H

15

15

11


Sосев.сеч





Sосн.



432


Sбок.пов.




720

Sпол.пов.





V







Рекомендуемая литература

  1. Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2002 г.

  2. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. «Математика», М: Дрофа, 2002 г.,

  3. Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Издательский центр «Академия»», 2008 г.

  4. Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл. (базовый уровень). М: Издательский центр «Академия»», 2010 г.

  5. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012.

  6. Яковлев Г.Н. «Алгебра и начала анализа», часть 1. М: Наука, 1988 г.

  7. Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г..

  8. Колягин Ю.М. и др. «Алгебра и начала математического анализа», учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2008 г.

  9. Колягин Ю.М. и др. «Алгебра и начала математического анализа», учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2009 г.

Дополнительная литература:

  1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.А. «Высшая математика в упражнениях и задачах», в 2 ч. М: «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003 г.

  2. Щипачев В.С. «Основы высшей математики». М: Высшая школа, 2001 г.

  3. Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике». М: Высшая школа, 1997 г.

  4. Натансон И.П. «Краткий курс высшей математики» - С-Пб.: Лань, 2001 г.

  5. Пехлецкий И.Д. «Математика». М: Мастерство, 2001 н.

  6. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. «Математическая статистика». М: Высшая школа, 2001 г.

  7. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Гуткин Н.И., Павлов А.Л. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы. М: Наука, 1992 г.

  8. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С Дидактические материалы по математике. М: Высшая школа, 1001 г.

  9. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М: Высшая школа, 2005 г.

  10. Валуце Н.И., Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. М: Наука, 1989 г.

  11. Омельченко В.П., Курбатова Э.В. «Математика» Ростов н/Д: Феникс, 2005 г.


Общая информация

Номер материала: ДВ-183857

Похожие материалы